利用Kaula准则分析几种地球重力场模型
地理引力模型剖析[宝典]
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地理引力模型分析及其应用一、引力模型及其参数讨论引力模型(或引力力程)以牛顿经典力学的万有引力公式为基础，在经济学中进行了改变，参考牛顿第一定律的公式形式，可以将两点之间的简单引力模型表示为：T ij=KQ a i Q b j/d c ij其中，T ij表示j点对i点的引力大小；Q i Q j表示两点的“质量”，可以用人口、GDP 等来表示；d ij表示两点间的距离，不一定是地理上的距离；k、a、b、c为系数。
Tinbergen（1962）和 Poyhonen（1963）对其在经济学领域做了发展、延伸，提出了一个比较完整且简便的经济学模型。
这个模型认为两个经济体之间的单项贸易流量与它们各自的经济规模（一般用 GDP来表示）成正比，与它们之间的距离成反比。
通常引力模型的简化形式为： M ij =KY i Y j/D ij 式中，K为常数（通常也称为引力系数）；Y i和Y j为内生变量，由模型要求通过的特定条件“平衡”出来；Dij为空间距离。
对于引力模型公式中的参数是随具体的应用领域及实际情况而定的，但会保持引力模型中的公式的基本骨架。
例如在国际贸易方面可能采用其简化形式，也有可能会增加其评定项目，相应的公式中也就增加了表示“质量”的参数，及M ij =K （Y i+P i)(Y j+P j)/D ij 。
如果还不能准确的表达实际情况，需要变化相应的参数指数，直到公式可以在误差之内准确表达、预测、判断国家之间的贸易情况。
也就是说，引力模型的一个重要特点，它的基本形式保持不变，只要对参数和分量的定义作出适当的改变，就可将引力模型应用于不同的问题。
二、引力模型的应用（1）零售引力模型当在A和B两个城市间存在着一个等级相对低的C城市，A城市对C城市吸引的零售额为 T a=KP a P c/D2ac 。
B城市对C城市吸引的零售额为T b=KP b P c/D2bc 。
相比得：T a P a D2bc－ = －﹒－T b P b D2ac式中：P a表示城市A的人口，P b 表示城市B的人口，P c表示城市C的人口，D ac表示城市A到城市C的距离，D bc表示城市B到城市C的距离；当城市A和B对城市C吸引的零售额相等，表示这一点是城市A和B对消费者吸引的分界点，靠近A城市一侧的消费由A城市供给，靠近B城市的一侧由B城市供给。
全球重力场模型
以 星 载 GPS 精 密 跟 踪 定 轨 为 主 要 技术，还包括在卫星上安装重力
梯度仪直接测定地球重力场重力 梯 度 张 量 。 这 就 是 CHAMP 、 GRACE和GOCE计划。
5 全球重力场模型
建立地球重力场模型的方法
卫星观测技术的比较
第一代卫星 观测技术
地面卫星跟踪
第二代卫星 观测技术
上长波大地水准面年变化测定精度为 0.01~0.001mm/yr。
5 全球重力场模型 地面重力观测
地球重力场模型的发展历史
1952 年 ， Zhongolovich 出 版 了 开 创 性 著 作《地球外部重力场及其基本常数》， 提出并解决了与大地测量学和天文学基 本常数（即地球外部重力场的全球描 述）的修正相关的重要问题。
球谐展开模型目前已经获得不同系列的高精度重力场球谐展开系数， 阶数也在不断升高。
5 全球重力场模型
全球重力场模型及空间分辨率
根据采样定理，地球重力场模型的分辨率取决于全球重力值空间采 样率的Nyqust频率：
N= p Dl
其中Δλ为采样间隔，N为级数展开模型的截断阶，即模型的最高阶， 或 简 称 模 型 的 阶 。 N≤50 称 为 低 阶 模 型 ， 相 应 的 最 高 分 辨 率 约 为 400km；N>50为高阶模型。更高阶模型相应于更高的分辨率。
5 全球重力场模型
全球重力场模型及空间分辨率
引力位球谐展开的公式：
åå ( ) V
( r,J, l )
=
GM r
¥ n=0
næ m=0 èç
aö r ø÷
n
Cnm cos ml + Snm sin ml
Pnm (cosJ )
地理引力模型分析
地理引力模型分析及其应用一、引力模型及其参数讨论引力模型(或引力力程)以牛顿经典力学的万有引力公式为基础，在经济学中进行了改变， 参考牛顿第一定律的公式形式，可以将两点之间的简单引力模型表示为：T ij =KQ a i Q b j /d c ij其中，T ij 表示j 点对i 点的引力大小；Q i Q j 表示两点的“质量”，可以用人口、GDP 等来表示；d ij 表示两点间的距离，不一定是地理上的距离；k 、a 、b 、c 为系数。
Tinbergen （1962）和 Poyhonen （1963）对其在经济学领域做了发展、延伸，提出了一个比较完整且简便的经济学模型。
这个模型认为两个经济体之间的单项贸易流量与它们各自的经济规模（一般用 GDP 来表示）成正比，与它们之间的距离成反比。
通常引力模型的简化形式为： M ij =KY i Y j /D ij 式中，K 为常数（通常也称为引力系数）；Y i 和Y j 为内生变量，由模型要求通过的特定条件“平衡”出来；Dij 为空间距离。
对于引力模型公式中的参数是随具体的应用领域及实际情况而定的，但会保持引力模型中的公式的基本骨架。
例如在国际贸易方面可能采用其简化形式，也有可能会增加其评定项目，相应的公式中也就增加了表示“质量”的参数，及M ij =K （Y i +P i )(Y j +P j )/D ij 。
如果还不能准确的表达实际情况，需要变化相应的参数指数，直到公式可以在误差之内准确表达、预测、判断国家之间的贸易情况。
也就是说，引力模型的一个重要特点，它的基本形式保持不变，只要对参数和分量的定义作出适当的改变，就可将引力模型应用于不同的问题。
二、引力模型的应用（1）零售引力模型当在A 和B 两个城市间存在着一个等级相对低的C 城市，A 城市对C 城市吸引的零售额为 T a =KP a P c /D 2ac 。
B 城市对C 城市吸引的零售额为T b =KP b P c /D 2bc 。
重力模型的简介
增长系数
0.9526
1.0145
1.0182
用平均增长系数法第三次迭代计算OD表 表 用平均增长系数法第三次迭代计算
O/D 1 2 3 1 17.823 17.127 4.276 2 16.684 62.318 11.544 3 4.438 12.291 20.310
合计 38.946 91.736 36.130
重力模型
重力模型法 （Gravity Method） ）
模拟物理学中的牛顿的万有引力定律 模拟物理学中的牛顿的万有引力定律
基本假定：交通区 到交通区 到交通区j的交通分布量 基本假定：交通区i到交通区 的交通分布量 与交通区i的交通量 交通区j的交通吸引量 的交通量、 与交通区 的交通量、交通区 的交通吸引量 成正比，与交通区i和 之间的交通阻抗参数 成正比，与交通区 和j之间的交通阻抗参数 如两区中心间交通的距离、 ，如两区中心间交通的距离、时间或费用 等成反比。 等成反比。
tij = α
两边取对数， 两边取对数，得
(Oi Dj )β
γ cij
ln tij = ln α + β ln( Oi Dj ) −γ ln( cij )
tij Oi Dj cij 已知数据 α β γ 待标定参数
令：
y = ln tij
a0 = lnα
a1 = β
a2 = −γ
x1 = ln(Oi D j )
模型本身不满足交 通守恒约束条件： 通守恒约束条件：
改进的重力模型可表示为： 改进的重力模型可表示为：
α qij = kOi Dβ f (cij ) j
常见的交通阻抗函数有以下几种形式： 常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
幂函数： 幂函数： 指数函数： 指数函数： 组合函数： 组合函数：
GOCE卫星径向重力梯度一阶、二阶径向偏导数标准差的近似解析公式
GOCE卫星径向重力梯度一阶、二阶径向偏导数标准差的近似解析公式徐天河;贺凯飞【摘要】基于Kaula准则,推导卫星重力梯度径向分量Tzz一阶、二阶径向偏导数T.zz、Tzz标准差的近似解析表达式,给出GOCE卫星.Tzz、Tzz标准差的近似估计值,由此分析Tzz延拓处理中可忽略的延拓误差最大高度。
解析公式表明：T.zz、Tzz标准差的计算公式可近似表示成若干伽玛函数线性组合的开方,GOCE卫星.Tzz、Tzz标准差近似解析估值分别为1.269×10^-15s^-2m^-1和1.109×10^-20s^-2m^-2,由此若得到满足1 mE的精度要求,可忽略的延拓误差最大高度对于T.zz应小于%Approximate analytical formula for standard deviation of the firstand second radial derivatives T·zz and T¨zz of GOCE radial gravity gradient Tzz are derived based on Kaula＇s rule.From the derived formula,the maximum height to be ignored for the continuation of GOCE Tzz is estimated.It shows that the formula of the standard deviation of T·zz and T¨zzcan be expressed approximately by square root of linear combinationof a series of Γ functions,the estimated standard deviations are about1.269×10^-15 s^-2m^-1 and 1.109×10^-20 s^-2m^-2 respectively for GOCE satellite.To meet the precision requirement of 1 mE,the maximum heights to be ignored for GOCE T·zz and T¨zz are less than 0.8 km and 7.6 km respectively.A numerical calculation by using strict formula for the standard deviation of T·zz and T¨zz from simulated GOCE orbits is performed.The results show the proposed approximate analytical formula can reasonably evaluate standard deviations of GOCE T·zz and T¨zz,andtheir relative errors are all less than 2%,which proves their validation and correctness.【期刊名称】《测绘学报》【年(卷),期】2011(040)004【总页数】6页(P416-420,441)【关键词】解析公式;卫星重力梯度;相对误差;Kaula准则【作者】徐天河;贺凯飞【作者单位】武汉大学测绘学院,湖北武汉430079;长安大学地测学院,陕西西安710054【正文语种】中文【中图分类】P2071 引言欧洲地球重力场和海洋环流探测卫星（GOCE）重力场恢复涉及诸多研究内容，如数据预处理、数字滤波、大型方程组快速解算、正则化算法等［1－3］，而重力梯度数据预处理是其中的关键问题，主要包括数据的粗差探测、系统误差标定、数据归算等［1－2］。
第三章 交通需求预测-重力模型
−1
该模型结构满足
∑X
i
ij
= U j 及∑ X ij = Ti
j
束条件，故称为双约束重力模型
l l
用双约束重力模型预测步骤： 1、将预测的交通产生量、吸引量及阻抗代入 双约束重力模型， 2、假定Bj的初始值为1，计算Ai 3、将Ai代入计算Bj，并迭代至收敛 4、将所得Ai、Bj代入求得Xij，即为交通分布 预测量。
出行特性、交通服务水平 、个人 属性、 家庭属性 和地区特性等。 一、出行特性 a．出行目的
自由出行：汽车(出租)利用率高。
b．出行距离 步行 <3km 自行车 <5km 摩托车 <8km 公共汽车 <300km 轿车 <500km 货车 <500km 铁路 500-1000km、低附加值货物 飞机 >1000km、高附加值货物 水运(内河) 短途、捷径、观光 水运(近海、远洋) 旅游、散货、低附加值货物。
二、重力模型法
l 基本假设为：交通区i到交通区j的出行分布
1、无约束重力模型
l
万有引力模型
模型为：
F = K⋅
l
量与i区的出行发生量、j区的出行吸引量成正 比，与i区和j区之间的交通阻抗成反比。 根据对约束情况的不同分类，重力模型有三种 形式：无约束重力模型、单约束重力模型和双 约束重力模型。
X ij = k ⋅
基于 EIGEN6C2模型的 Kaula 规则精化
基于 EIGEN6C2模型的 Kaula 规则精化梁建青;沈云中;张兴福【摘要】The paper will modify the Kaula rule based on the EIGEN6C2 gravity field model .The key point is to multiply a degree related second order rational function to the Kaula rule .The coefficient parameters of the rational function are estimated based on the EIGEN6C2 gravity field model .The approximation error of the modified Kaula rule with respect to EIGEN6C2 and EGM2008 gravity field models are only 0.26% of that of the original Kaula rule .Therefore the modified Kaula rule can more reasonably reflect the power spectrum of the earth’s gravity field ,which can be used as a constraint in computing the gravity field model .%高精度重力场模型精化Kaula规则其要点是将Kaula规则乘上一个与位系数阶数项相关的二阶有理函数，并基于EIGEN6C2重力场模型解算有理函数模型的系数。
精化后的Kaula规则与EIGEN6C2模型和EGM2008模型的逼近误差都只是原来Kaula规则的0畅26％。
因此，精化后的Kaula规则更能正确表示各阶引力位的实际能量，对于重力场模型的解算提供更加合理的约束。
地球重力场和形状
正常椭球:一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。
它产生的重力场称为正常重力场。
正常重力场的等位面称为正常水准面。
因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。
正常(地球)椭球是一个假想的球体。
是一个理想化的椭球体。
正常重力位U：近似的地球重力位。
是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。
扰动位T：地球实际重力位W与正常重力位U之差。
T＝W－U根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解决地球重力位和形状的问题。
1、水准面: 重力等位面。
具有几何性质与物理性质。
1）、无数个；2）、复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面；3）、水准面彼此不平行，不相交；4）、每个水准面对应唯一的位能W＝常数，物体在水准面上移动重力不做功。
2、大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。
1）、一个特定的重力等位面，唯一。
2）、其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。
因而只能用一个平均海水面代替它。
3、似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。
1）、不是水准面2）、与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几乎重合，在山区只有2～4m的差异。
4、正常椭球（水准椭球、等位椭球）：正常椭球：大地水准面的规则形状。
实际上，质量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相同的规则物体都可正常椭球。
目前都采用水准椭球作为正常椭球，又称等位椭球。
5、总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。
1）、中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午面与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同；2）、4个基本参数a e，fM，J2，ω；3）、与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差距N的平方和最小。
6、参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)
2
一、地球重力场模型
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2
r
R r
2
2
R
R r
2
2 Rr cos r [1 (
2
R r
)
2
2
R r
cos ]
l (
) 2
cos
1 2
1
V
1 r
(1 l )
f r
(1
1 2
l
3 8
l
2
5 16
l ) dm
2H R
3H R
2
2
)] 2 0
H R
3
0H
R
2
1 g 0 . 3086 H 0 . 72 10
7
H
2
0 0 . 3086 H
22
二、地球正常重力场
正常重力场参数
在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参 数决定,即：
U0, A0 fM , A2 f ( A C ) fK M ,
3
V v 0 v1 v 2
v
i0
n
i
按(R/r)集项
3
一、地球重力场模型
v0
f r
f r
dm
M
f
M r
v1
M
R r
cos dm 0
v2
f r
M
(r )
R
R
2
( cos ) dm 2 2
2
3
1
v3
f r
第三节重力模型法精品PPT课件
，但没有考虑出行者的个体因素影响； ②交通区内出 行交通量无法求出； ③若交通小区之间的距离非常小 时，有夸大预测的可能性。
九、交通分布模型的选用
重力模型法能够考虑路网阻抗的变化，要求 数据不苛刻，因此适用范围较广，可用于各 种交通规划。
增长系数法可以作为重力模型法的补充，在 重力模型法无法满足约束条件时，可以辅助 应用（例如课本P142）；也可以用于预测城 市外部交通量及公路交通量。
假设γ=1，下面采用乌尔希斯模型来检验其是否 合理。
交通区1：
小区1总体可达性
根据 Tij Oi •
Dj
n
Cij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ D j Cij
计算小区1到各小区出行量：
j=1
82 T11 8 10 3.2
T12
8 14 4 10
2.8
T12
8 10 4 10
2
同样计算交通区2，交通区3。
D
8
14
10
可以看出，由于采用单约束，只满足了现状产生 量O约束，没有满足现状吸引力D约束。
若令 1.0,则有 :
多元回归分析式
ln tij ln OiD j ln k ln Cij
已知
Y a bx
例题：参数标定 现状OD表
tij 1 2 3 D（∑i）
1
2
3
200
100
100
150
250
200
100
150
150
450
500
450
小区之间阻抗表
O（∑j） 400 600 400 1400
4
95.7 104.3 200
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
球谐分析方法确定重力场
m =0 N max n=m N max N max n=m * Pnm (cos θ ) + sin mλ ∑ C nm N max n=m
∑ Dnm Pnm (cosθ )]
（5-1-8）
~ 显然，上式中只需要 2( N + 1) 次计算三角函数。记
A(m, θ ) =
改进的计算方法
以下给出不同的勒让德函数的计算方法。首先由勒让德函
数的递推公式
Pn ,m + 2 ( x) = 2(n + 1)
令 m = n −1得
x 1− x2
Pn , m +1 ( x) − (n − m)(n + m + 1) Pn ,m ( x)
Pn , n −1 ( x) =
又上式可以变化为
以用递推公式（5-1-11）式计算，也可以用以下结果计算。
可以导得相应的规格化的递推公式：
P0, 0 ( x) = 1 ，
Pn +1, n +1 ( x) =
P1,1 ( x) = 3 1 − x 2
（5-1-11） （5-1-12）
2n + 3 1 − x 2 Pn ,n ( x) 2n + 2 Pn +1,m ( x) = a n x Pn ,m ( x) − bn Pn −1, m ( x)
（5-1-5） （5-1-6）
以上就是利用地球（引力或重力）位系数（亦称地球重力模型） C nm 、 D nm 计算大地 水准面高 N 和重力异常 ∆g 的公式。
常规计算方法 首先，在实际计算过程当中，大地水准面高 N 的计算公式
（ 5-1-7 ） 中 的 地 球 位 系数 的 个 数 不 可能 是 无 穷个 ， 它 总 是 一个 有 限 值， 设 为 ~ N max = N ，即（5-1-7）式可改写为
物 理 大 地 测 量 学6
δD = δH + δ ′D
由此可求得补偿密度为
δ0 = δ − δ ′ =
δH
D
在海洋地区，设海洋面与大地水准面重合，P为海洋深 度，取海水密度为1.03g·cm－3，则
δD = 1.03P + δ ′( D − P )
这可由比较Ⅱ和Ⅲ两个柱体得到，并且可以解得补偿 密度为
(δ − 1.03) P δ0 = δ − δ ′ = D−P
要注意，在大陆地区，补偿区域为由大地水准面到补 偿面之间深度为常数D的这层区域；而在海洋地区，补 偿区域为海底到补偿面之间的区域。D一般在100km左 右。
对重力观测值的均衡改正就是补偿密度为δ0的物质对 重力观测值的改正，因此，其计算方法与地形改正相 似。
∆3 g i = fδ∆α {∆a − [(a + ∆a ) 2 + ∆H ] + (a 2 + ∆H ) }
δH = (δ1 − δ ) H ′ δ H′ = H δ1 − δ
在海洋地区，设海深为P，海水的质量亏损由于海底下 方表层深度小于T而得到补偿，用P′表示T与海底表层 的厚度之差，则
(δ − 1.03) P = (δ1 − δ ) P′
所以
δ − 1.03 P′ = P δ1 − δ
这种模型在大陆地区的补偿区域为深度在T与T＋H′的 区域，补偿密度为δ1=δ1－δ；在海洋地区的补偿区域为 深度在T－P′与T之间的区域，补偿密度为－δ0。T一般 在30km左右。
调整后地球与真正地球的区别就是将所有高出大 地水准面的质量去掉，将它们移到大地水准面内部或 大地水准面下面某一位置。但是在移动质量的时候应 考虑到不要改变地球的总质量、质心位置以及大地水 准面的形状。 目前虽然归算方法很多，但没有一种归算能符合 所有要求。 所谓重力归化，就是将地球调整以后的影响计算 出来，在重力观测值中加以改正。这种归化方法随地 形质量的处理方法不同而有所不同。
基于时空域混合法利用Kaula正则化精确和快速解算GOCE地球重力场
基于时空域混合法利用Kaula正则化精确和快速解算GOCE地球重力场郑伟;许厚泽;钟敏;员美娟;周旭华【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2011(054)001【摘要】The GOCE Earth's gravitational field complete up to degree and order 250 is recovered based on the time-space-wise-approach associated with Kaula regularization in order to study the influences of satellite gravity gradiometry on the accuracy of medium-high frequency Earth' s gravitational field recovery. The simulated results show: Firstly, the time-space-wise-approach is an effective way to accurately and rapidly determine the high-degree Earth's gravitational field;Secondly, the Kaula regularization is one of the key processes to reduce ill condition of normal matrix; Thirdly, the large-scale linear system of equations is solved quickly using the improved pre-conditioned conjugate-gradient iterative approach, and the computing speed can be improved at least l000 times as compared to the direct least-squares approach; Fourthly, at the degree 250 ,cumulative geoid height and gravity anomaly errors are 9. 295 cm and 0. 204 mGal with orbital error I cm and gravity gradient error 3XIO-12/s2 , respectively. Finally, the complementarity of high-accuracy and high-resolution Earth' s gravitational field recovery between international GRACE and GOCE missions is demonstrated.%为了研究卫星重力梯度技术对中高频地球重力场反演精度的影响,本文基于时空域混合法,利用Kaula正则化反演了250阶GOCE地球重力场.模拟结果表明:第一,时空域混合法是精确和快速求解高阶地球重力场的有效方法;第二,Kaula正则化是降低正规阵病态性的重要方法;第三,基于改进的预处理共轭梯度迭代法可快速求解大型线性方程组,计算速度较直接最小二乘法至少提高1000倍;第四,基于卫星轨道误差1 cm和卫星重力梯度误差3×10-12/s2,在250阶处反演累计大地水准面和重力异常的精度分别为9.295 cm 和0.204 mGal.第五,论证了基于国际GRACE和GOCE卫星计划反演高精度和高空间分辨率地球重力场的互补性.【总页数】8页(P14-21)【作者】郑伟;许厚泽;钟敏;员美娟;周旭华【作者单位】中国科学院测量与地球物理研究所动力大地测量学重点实验室,武汉,430077;日本京都大学防灾研究所,京都,611-0011;中国科学院测量与地球物理研究所动力大地测量学重点实验室,武汉,430077;中国科学院测量与地球物理研究所动力大地测量学重点实验室,武汉,430077;武汉科技大学应用物理系,武汉,430081;中国科学院上海天文台,上海,200030【正文语种】中文【中图分类】P223【相关文献】1.利用 GOCE 卫星轨道数据恢复地球重力场模型的方法 [J], 苏勇;范东明;游为2.利用GOCE卫星观测数据反演地球重力场模型 [J], 梁建青;沈云中;陈秋杰;张兴福3.利用平均加速度法恢复GOCE地球重力场模型 [J], 苏勇;范东明;贺全兵4.GRACE卫星关键载荷实测数据的有效处理和地球重力场的精确解算 [J], 郑伟;许厚泽;钟敏;员美娟;周旭华;彭碧波5.基于改进的预处理共轭梯度法和三维插值法精确和快速解算GRACE地球重力场[J], 郑伟;许厚泽;钟敏;员美娟因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
第二章地球重力场2
(
)
由布隆斯公式得: 由布隆斯公式得:
kM N= = 2 γ rγ T R * ∑ m=0 r C nm cos mλ + Snm sin mλ Pnm (cos θ ) ∑ n= 2
n 的重力异常
如果地球表面上有一个谐函数H,则在地球以外, 如果地球表面上有一个谐函数 ,则在地球以外,球近似的值 H 可以用布阿桑积分式 可以用布阿桑积分式(1-89)在整个单位球上的积分计算, 在整个单位球上的积分计算, 在整个单位球上的积分计算
2-23
重力的垂直梯度, 重力的垂直梯度,归化到海水面的空间改正
使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上,需要从理 使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上, 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题. 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题.设地面测的重力为 g, , 大地水准面上的重力为g 大地水准面上的重力为 0,则用泰勒级数展开有
利用边值条件 (2-148),则大地水准面以外每个点的 T 值 , 均可以确定. 均可以确定. 将边值条件写成
大地水准面上各点的g 值假设都已知,那么,在这个面上T 大地水准面上各点的 值假设都已知,那么,在这个面上 有线性的组合.依据1-l 节 和T/n 有线性的组合.依据 7节,T 值的确定乃是位论中 的第三边值问题. 如果解出T 再应用布隆斯公式(2-144), 的第三边值问题. 如果解出 值,再应用布隆斯公式 , 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量, 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量,即大地 水准面起伏 N. .
(2-162) )
(2-162)由司托克斯导出,称为司托克斯函数 )由司托克斯导出,称为司托克斯函数
(2-162) )
四种重力模型比较
四种重力模型比较朱学毅【期刊名称】《舰船导航》【年(卷),期】2001(000)002【摘要】惯导系统必须利用有效的重力模型，以便精确地构造重力方程式。
本文比较了四种常用的重力模型，并且总结了它们之间的主要区别，为了使比较具有一致性，本文使用了WGS－84参数，并且把重力分量转换到参考椭球面上的本地导航系（东，北，天）。
下面分别描述这四种重力模型（按照其精度和／或有效性递增的顺序）：（1）低伟度重力模型是标准重力矢量的一种近似。
当以导航坐标系表示时，其水平分量相对于椭球切面的水平分量定义为零。
（2）J2重力模型使用了标准重力势能的近假（它可以描述为无数个球面谐波数列），并且在以地球中心为固定原点的坐标系（BCEF）中生成重力矢量，此后这些ECEF分量被转换到本地导航坐标系中，其中子乖平面中的重力分量在椭球表面或其上方不为零。
重力与经度无关。
（3）标准重力模型产生了一个垂直于参考椭球面的重力矢量（根据定义）；在椭球面上方，重力矢量有一个非零的北向分量。
重力矢量作为标准重力势能的梯度，是与经度无关的。
（4）一般重力近似模型使用了与实际重力势能近似的多项式（它表示为无穷项的两倍和），重力在三个方面上的分量在椭球表面上或其上方均不为零。
这个重力模型产生的重力矢量的各分量与经度有关。
在文章的开始列出了符号的意义，随后介绍了重力势能和标准重力势能概念。
根据不同的经度，纬度和海拔高度对四种重力模型中的重力矢量方向进行了对比（关于参考椭球），同时还检查了重力分量与坐标系的关系。
【总页数】7页(P29-35)【作者】朱学毅【作者单位】无【正文语种】中文【中图分类】U666.12【相关文献】1.EGM96,WDM94和GPM98CR高阶地球重力场模型表示深圳局部重力场的比较与评价2.重力场模型研究进展及最新重力位模型精度比较分析3.GRACE RL06与RL05时变重力场模型数据初步比较分析4.多类地球重力场模型的高程异常精度比较5.几种卫星测高海洋重力场模型精度比较分析因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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利用Kaula准则分析几种地球重力场模型
作者：周星甄冬松
来源：《城市建设理论研究》2012年第34期
摘要：利用Kaula准则研究分析了现有的几种有代表性的地球重力场模型，得到了比较可靠的信息，可以为研究其他星体的重力场模型提供有利的帮助。
关键子：Kaula准则；地球重力场模型；EGM96
Abstract: The use of Kaula criteria analyzes the existing several representative earth gravity field model, has been relatively reliable information, it can provide beneficial help to study other star's gravitational field model.
Key words: Kaula criterion; earth gravity field model; EGM96
中图分类号：P223文献标识码：A 文章编码：
一、引言
随着卫星技术的发展，人类得到有关地球重力场的数据越来越多，而Kaula准则在地球重力场模型求解过程中的作用也越来越弱，现在基本不用了。
但Kaula准则包含了很多重力场信息，利用Kaula准则研究分析地球重力场模型还是具有很大价值。
本文利用Kaula准则对现有几种有代表性的模型进行了分析比较，得到了一些重要的信息，论证了Kaula准则的可靠性，为Kaula准则应用到其他星体提供有利的支持。
二、Kaula准则
Kaula准则最早被提出是Kaula在1966年在他的《Theory of Satellite Geodesy》书中。
他给出的最初形式：
≈160×10-12/l3
Kaula准则一问世就得到了学者们的普遍关注，如今已有了比较完备的公式：
=A(2l+1)1/2g10-5gl-B
为l阶的阶方差,l为模型的阶,m为模型的某阶的次,A和B是待定系数. A和B一般是由经验得到。
Phillips.R.J 和Lambeck.K在1980年给出了一个新的公式:
三、计算结果及分析比较
3.1模型的选择
主要选择有代表性的几种模型：OSU91A、GFZ96、EGM96和EIGEN-CGO1C。
3.2计算结果
所采用的公式：
计算结果如下：
图 1（OSU91A模型）
图2（GFZ96模型）
图3（EGM96模型）
图4（EIGEN-CG01C模型）
图5（综合）
从图从图1中可以看出，整体符合得比较好，在刚开始几阶基本上没有什么偏差，到了10阶以后一直延续到200阶就出现了少许偏差，而200 阶到250阶左右又符合得非常好，后面的就随着阶数的增加，符合程度就越差。
从图 2中可以看出，两条曲线基本吻合，只是在 200 阶以后逐渐出现较大偏离，从10阶左右到60阶左右，GFZ96 的阶方差要比Kaula曲线小，而60-180 阶，GFZ96的阶方差要比Kaula曲线大，180-210阶出现一个平稳的过度期。
从图3中可以看出，1-10阶和275-320阶符合得非常好，70-250阶出现了相对比较大偏差。
从图4中可以看出，从45阶以后，EIGEN-CG01C的阶方差总比Kaula曲线要大。
从图5中可以看出，这四种模型总体上是一致的，只是在后面的高阶出现一点点偏差。
OSU91A、GFZ96、EGM96和EIGEN-CG01C计算的阶方差与Kaula曲线之差的标准差分别是1.47307E-13、1.47374E-13、1.47274E-13和1.47393E-13。
3.3结果分析
从3.2的计算结果中，得出以下几点结论：
（1）几种模型阶方差在总体上与Kaula曲线是一致，这与Kaula准则的原理是相符合的，证明了利用Kaula准则研究重力场模型是可靠的。
（2）OSU91A,GFZ96,EGM96 这几种模型在低阶部分普遍比中、高阶部分符合得好。
求解过程中，可能因为在中、高阶部分的 Kaula 准则的约束低于低阶部分，且EGM96在高阶部分的符合程度要比OSU91A，GFZ96要好是因为EGM96的地面数据要比它们要多，要广有关。
（3）EIGEN-CG01C在模型的求解过程中没有使用Kaula准则作为约束条件但是它的方差与Kaula曲线还是很吻合，这就证明即使模型没有用Kaula准则，Kaula准则也是可以用来分析检验地球重力场模型。
（4）EIGEN-CG01C一般要比其它模型的阶方差要大，主要是因EIGEN-CG01C采用的数据是全球分布的，且是低轨卫星数据，重力场信号比较强
（5）从几种模型的综合结果上看,它们的阶方差在低阶部分几乎是一致的, 高阶部分出现了差异,主要是因为地球重力场模型的低阶位系数主要是由卫星跟踪数据求解的，而地面重力数据则是反映重力场的局部信息，主要用于确定高阶位系数,而高轨卫星跟踪数据对模型的敏感度不强,地面数据的变化对模型的高阶影响很大。
（6）从这四种模型的阶方差与Kaula曲线之差的标准差来看，虽然相差不大，但还是有差别，EGM96 模型是最小的，也就是说它的阶方差在总体上与Kaula准则符合的最好，
OSU91A次之，然后是GFZ96，最差的是EIGEN-CG01C。
EGM96与OSU91A求解位系数的方法在很大程度上是相同的，都是对于直到70阶次的重力场低阶部分，把卫星跟踪数据、地面重力观测数据和直接的测高结果组合起来，实施最完善的和最严格的建模和估计技术，估计70到360阶次的位系数，则充分利用了由规则的10×10 平均重力异常网格估计地球位系数时的对称性质求解。
这种也是目前求解高阶地球重力场模型最有效的方法，所以它们的阶方差与Kaula曲线符合的比较好，由于EGM96计算时采用的数据比OSU91A要丰富，包括了最近解密的地面重力观测数据，还加入T/P 卫星两年的精密测高数据以及对Stella\LAGEOS—2和低轨道的超紫外线探测卫星的新数据信息，理所当然EGM96结果要比OSU91A好。
本来EIGEN-CG01C解算过程中应用了 GRACE和CHAMP卫星数据，这些数据的精度比较高，但是由于这些卫星发射时间比较短，数据积累还不够，求解时，数据采用的时间段很短，且在理论和方法的研究上还有待进一步改善，所以它的阶方差与Kaula曲线符合的最差。
四、结论
研究表明：上述结果论证了Kaula准则的可靠性，为Kaula准则应用到其他星体提供有利的支持。
Kaula准则可以对已有重力场进行分析检核，这将是它在地球重力场模型的又一个重
要作用。
月球已使用Kaula准则求解到了 LP165 模型，随着卫星技术的定向探测技术的不断发展，月球和火星要求得到更高阶次的重力场模型，Kaula准则仍将是一有力的工具。
参考文献
[1] Kaula.W.M. 《Theory of Satellite Geodesy》 Blasdell Publishing Co., 1966b
[2] Phillips.RJ Lambeck.KGravity fields of the terrestrial planets - Long-wavelength anomalies and tectonics，Reviews of Geophysics and Space Physics, vol. 18, Feb. 1980, p. 27-76
[3]宁津生邱卫根陶本藻，地球重力场模型理论，武汉测绘科技大学出版社，1990
[4]鄢建国平劲松李斐王威，应用 LP165P 模型分析月球重力场特征及其对绕月卫星轨道的影响，地球物理学报，2006 年 3 月第 49 卷第 2 期。