平面向量的减法运算
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。
一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。
二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。
设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。
设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。
七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。
设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。
八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
2.2 平面向量的减法
B C
A
C
B
A
习题 2.2 A组
第 4、6、7、8、11 题. B组
第 5 题.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
① a 与-a互为相反向量.
② 零向量的相反向量仍是零向量.
③ 任上一a图向(中量-a的与)=它a0.相b反=0向. 量的和是零向量, 即:
问题1. 向量AB与向量BA有什么关系? 能化简
AB BC - DC - ED EF 吗?
答: 向量 AB 与向量 BA是互为相反向量, 即 AB = -BA.
2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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1. 什么是相反向量? 2. 向量加法与向量减法有什么关系? 3. 怎样作向量的减法? 两个非零向量的差向 量是怎样的一个向量?
(一) 相反向量
定义: 与向量 a 长度相等, 方向相反的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 -a.
如图:
a
b
-a
b = -a, a = -b, |a| = |b|.
= CΒ BC =0.
4. 化简: 习题: (习题2.2) A 组
(1)AB BC CA;
(2) (AB MB) BOOM;
(3) OAOC BOCO; (4) AB- AC BD-CD;
(5) OA-OD AD;
(6) AB- AD- DC;
(7) NQ QP MN - MP.
-
b
-a
-b-=a--ab
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法在数学中，平面向量是用来描述平面上的位移和力的工具。
平面向量具有大小和方向两个特征，可以通过数学运算来完成加法和减法操作。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法运算，并探讨其应用。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加箭头来表示，如AB→表示从点A到点B的位移向量。
平面向量还可以用坐标表示，如向量→AB的坐标表示为(ABx , ABy)。
其中，ABx表示向量在x轴上的分量，ABy表示向量在y轴上的分量。
二、平面向量的加法两个平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加的操作。
设有两个向量→AB和→CD，其坐标分别为(ABx , ABy)和(CDx , CDy)。
那么，向量→AB与→CD的和为→AB + →CD，其坐标为(ABx + CDx , ABy + CDy)，即两个向量的横坐标分量相加得到新向量的横坐标，纵坐标分量相加得到新向量的纵坐标。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量的操作。
设有两个向量→AB和→CD，其坐标分别为(ABx , ABy)和(CDx , CDy)。
那么，向量→AB减去向量→CD的差为→AB - →CD，其坐标为(ABx - CDx , ABy - CDy)，即两个向量的横坐标分量相减得到新向量的横坐标，纵坐标分量相减得到新向量的纵坐标。
四、平面向量的应用平面向量的加法与减法在数学中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 位移问题：平面向量的加法可用于求解物体在空间中的位移问题。
通过将各个位移向量进行加法运算，可以得到物体的总位移向量。
2. 力的合成：力的合成是指多个力的作用下，合成后产生的力。
通过将各个力向量进行加法运算，可以得到合成力的大小和方向。
3. 航空航天：在航空航天领域中，平面向量的加法与减法被广泛运用于导航和控制系统中，用以计算飞行器的位置和速度。
4. 平面几何：平面向量的加法与减法在平面几何中也有重要应用。
高中数学-平面向量的减法
2、向量加法的平行四边形法则 Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
例3：如图平行四边形ABCD, AB a,
DA b,OC c, 证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BDCD
解:原式 CB BDCD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
Come on!
知识小结
1、理解向量减法的定义 2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
思想方法小结
D
b, 使它们起点相同，那么
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、减向量的终点指向被减向量的终点
平面向量加减法口诀
向量的加法口诀： 首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。
二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀： 首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。
学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。
附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。
而平面向量的加减法是我们研究平面向量时必须掌握的基本运算。
本文将详细介绍平面向量的加减法，包括定义、运算规则以及应用实例等内容。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的箭头，可以表示为有序数对(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。
平面向量通常用字母加箭头表示，如AB->表示从点A指向点B的向量。
三、平面向量的加法1. 定义：平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
2. 运算规则：设向量A->的分量表示为A-> = (a1, a2)，向量B->的分量表示为B-> = (b1, b2)，则A-> + B-> = (a1 + b1, a2 + b2)。
3. 几何解释：将向量A->的起点与向量B->的终点相连，得到一个新的向量C->，C->的终点即为A-> + B->的终点。
四、平面向量的减法1. 定义：平面向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
2. 运算规则：设向量A->的分量表示为A-> = (a1, a2)，向量B->的分量表示为B-> = (b1, b2)，则A-> - B-> = (a1 - b1, a2 - b2)。
3. 几何解释：将向量B->取反，即将其方向反转180度，然后与向量A->相加，得到一个新的向量C->，C->的终点即为A-> - B->的终点。
五、平面向量加减法的性质1. 交换律：A-> + B-> = B-> + A->，A-> - B-> ≠ B-> - A->2. 结合律：(A-> + B->) + C-> = A-> + (B-> + C->)，(A-> - B->) - C-> ≠ A-> - (B-> - C->)3. 零向量：对于任意向量A->，有A-> + 0-> = A->，A-> - 0-> = A->4. 相反向量：对于任意向量A->，存在一个向量-B->，使得A-> + (-B->) = 0->，这个向量-B->称为A->的相反向量。
平面向量的加减法计算
平面向量的加减法计算平面向量是数学中的重要概念，它可以用来描述平面上的位移、速度、力等物理量。
在解决实际问题时，平面向量的加减法计算是非常常见且重要的一种操作。
本文将详细介绍平面向量的加减法计算方法，并通过具体例子进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用箭头上方标注一个字母来表示，如向量a可以表示为→a。
平面向量可以用坐标表示，也可以用始点和终点的坐标表示。
例如，向量→AB的始点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量→AB的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)。
二、平面向量的加法计算平面向量的加法计算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体计算方法为将两个向量的对应坐标相加。
例如，向量→a(x1, y1)和向量→b(x2, y2)相加得到向量→c(x1+x2, y1+y2)。
举例：已知向量→a(3, 4)和向量→b(2, -1)，求向量→c=→a+→b的坐标表示。
解：根据向量的加法计算方法，我们有：→c(3+2, 4+(-1))，即→c(5, 3)。
三、平面向量的减法计算平面向量的减法计算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体计算方法为将被减向量的对应坐标减去减向量的对应坐标。
例如，向量→a(x1, y1)减去向量→b(x2, y2)得到向量→c(x1-x2, y1-y2)。
举例：已知向量→a(3, 4)和向量→b(2, -1)，求向量→c=→a-→b的坐标表示。
解：根据向量的减法计算方法，我们有：→c(3-2, 4-(-1))，即→c(1, 5)。
四、平面向量的加减法计算的几何意义平面向量的加减法计算不仅仅是数学上的一种运算，它还具有几何意义。
对于向量的加法，可以理解为将一个向量的终点与另一个向量的始点相连，得到一个新的向量；对于向量的减法，可以理解为将一个向量的终点与另一个向量的终点相连，得到一个新的向量。
这种几何意义的理解有助于我们更好地理解和应用平面向量的加减法计算。
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法在平面向量的运算中，加法和减法是两个基本且重要的运算操作。
通过合适的方法进行向量相加或相减，可以获得新的向量，进而帮助我们解决实际问题和优化计算过程。
本文将重点探讨平面向量的加法和减法，并介绍它们的性质和运算规则。
一、向量的表示平面上的向量可以用有序数对表示，我们通常以大写字母加箭头（→）来表示向量，例如向量A可以表示为A→ = (x,y)。
其中，x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：对于任意向量A和B，有A + B = B + A。
2. 结合律：对于任意向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 零向量：零向量的表示为O→ = (0,0)，对于任意向量A，有A +O→ = A。
根据以上性质，我们可以通过向量的对应分量相加的方式来进行向量的加法运算。
例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的和A→ + B→ = (x1+x2,y1+y2)。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法同样满足交换律和结合律，减法的规则可以通过相应的加法来表示。
对于向量A和向量B，向量的减法可以表示为A→ - B→ = A→ + (-B→)，其中-A→表示向量B→的反向量。
向量的反向量的表示为-A→ = (-x,-y)，即将向量的每个分量取反。
根据向量的加法运算规则，我们可以将向量的减法转化为相应的加法运算。
例如，向量A→ = (x1,y1)和向量B→ = (x2,y2)，它们的差A→ - B→ = A→ + (-B→) = (x1,y1) + (-x2,-y2) = (x1-x2,y1-y2)。
四、几何意义向量的加法和减法在平面几何中具有重要的几何意义。
对于向量的加法，可以将两个向量的起点放在同一个位置，然后将终点相连，所得的新向量即为其和向量。
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言在数学中，向量是一个朝着特定方向的量，它有大小和方向两个属性。
平面向量可以按照特定的法则进行加减运算，这使得我们可以方便地处理平面上的各种几何问题。
本文将详细介绍平面向量的加减法，在探讨其原理和应用的基础上，给出一些实例进行解析。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上的一个有方向的线段，可以用一个箭头来表示。
平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如a→和b→。
其中，线段的起点称为向量的起点，线段的终点称为向量的终点。
平面向量还可以用坐标表示，如向量a→可以表示为(a₁, a₂)。
三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量按照一定的法则相加得到一个新的向量。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的加法定义如下：a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)换句话说，平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
这一法则也可以简单归纳为平行四边形法则。
1. 加法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的和可以计算如下：a→ + b→ = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)四、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的减法定义如下：a→ - b→ = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)换句话说，平面向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
1. 减法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的差可以计算如下：a→ - b→ = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)五、平面向量的性质平面向量的加法和减法满足一些性质，下面列举几个重要的性质：1.交换律：a→ + b→ = b→ + a→2.结合律：a→ + (b→ + c→) = (a→ + b→) + c→3.零向量：对于任意向量a→，都有a→ + 0→ = a→4.反向量：对于任意向量a→，都有a→ + (-a→) = 0→这些性质对于解题和简化计算过程是非常有用的。
第33课 平面向量的减法
第四单元4.2.2《平面向量的减法》教案一、创设情境激发兴趣问题：我们知道，两个实数可以进行加减法运算.向量的加法已经学过了，那么两个向量的减法是怎么进行的呢?分析：我们把与向量a长度相等且方向相反的向量，叫作向量a的相反向量，记作-a. 其中a和-a互为相反向量.则有：(1)-(-a )= a .(2)任一向量与其相反向量的和是零向量 , 即 a+(−a)=(−a)+a=0.(3)若a，b互为相反向量 , 那么a = -b，b = - a，a + b= 0.规定：零向量的相反向量还是零向量.a加上b的相反向量叫作a与b的差 ,即a+（-b）= a -b= 0.求两个向量差的运算，叫向量的减法.二、自主探究讲授新知如图 4-18，CB=b，根据相反向量的定义有：CB BC-== - b，则()AB CB AB BC AB CB-=+=+-.可见，在向量减法运算中类似结论依然成立.图 4-18由上述分析，可得结论：在向量运算中，减一个向量等于加上这个向量的相反向量.把求两个向量差的运算，叫作向量的减法，即a -b= a+（-b）.问题1：如何求两个非零向量的差向量呢？了解观看课件思考自我分析思考理解记忆类比实数的加减法运算，使学生自然理解知识点，激发学生学习兴趣带领学生分析引导式启发学生得出结果带领学生总结加深理解1.不共线的两个非零向量a 与b 的减法：作法：如图4-19，在平面上任取一点A ，依次作AB = a ，BC =-b ，因为 a -b= a +（-b ），对向量 a 与（-b ）使用向量加法的三角形法则，得 a -b= a +（-b ）=AB +BC =AC .2. 共线的两个非零向量的减法： 当非零向量a 与b 共线时 , 在平面上任取一点A ，首尾相接作AB = a ，BC =-b ，同样可得 a -b= a +(-b ) =AB +BC =AC .情形一：a 与 b 方向相同，如图 4-20：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b 情形二：a 与 b 方向相反，如图 4-21：作法：（1）以A 为起点，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ，（2）以B 为起点，作BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ，那么 AC⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b .理解记忆 思考 辨析 思考 归纳引导启发 学生 思考 仔细 分析 关键 词语 “首尾 相接“ 进一步 理解 加深 记忆第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例 1如图4-22(1) , 已知向量a，b，求作向量a-b，并指出其几何意义.解：如图 4-22(2)所示，以平面上任一点A为起点，作AB= a，AD=b，BC=-b，由向量减法的定义可知 ,AC=a+(-b)=a-b .连接AC,则向量AC即为所求的差向量.又因为AD+DB=AB，即b+DB=a ，所以DB=a-b .因此，向量减法的几何意义是：a-b表示把a与b平移到同一起点后 , 向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.例2填空：（1）AB AD-=_____________ ；（2）BC BA-=_____________ ；（3）OD OA-=_____________ .解：根据向量减法的定义，减一个向量等于加上它观察思考主动求解小组讨论交流通过例题领会帮助学生更好理解掌握知识点通过例题进一步领会的相反向量，可知， （1）AB AD -=+AB AD -（）=+AB DA DA AB DB =+=；（2）BC BA -=+BC BA -（）=+BC AB AB BC AC =+=；（3）OD OA -=+OD OA -（）=+OD AO AO OD AD +==.思考：当向量a 与b 不共线时，把和向量a+b 与差向量 a -b 作在一个图上，可以得出什么结论?方法提炼：向量减法作图的两种常用方法： 1. 定义法.向量 a 与 b 的差，即是向量 a 加上向量 b 的相反向量，即 a -b = a +(-b ).此时向量a 与向量-b 依然遵循“首尾相接，由始至终”的向量加法口诀.作法如图4-23所示：2. 几何意义法.如图 4-24，把向量a 与向量b 平移到同一起点后，向量b 的终点指向向量a 的终点的向量就是 a -b .即“同一起点，减指被减”.(减向量指向被减向量)思考 归纳 理解 记忆观察 思考 主动 求解 归纳 领会 掌握观察 学生 是否 理解 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 的情 况 强化 思想 及时 练习 巩固 所学 知识四、随堂练习 强化运用 1.填空.(1)AB AD -=_____________；(2)BA BC -=_____________； (3)BC BA -=_____________；(4)OA OB -=_____________； (5)OD OA -=_____________.2.已知下列各组向量a ，b ，求作 a +b 和 a -b .3.根据图形填空.(1)OA OB -=_____________； (2)OC OA -=_____________ . 五、 课堂小结 归纳提高1. 向量减法的定义及几何意义.2. 向量减法的运算法则：三角形法则.3. 向量减法作图的两种常用方法. 六、布置作业 拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.2水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材观察 思考领会 掌握 主动 求解 归纳 总结记录检验 学生 学习 效果 关注 学生 练习 中的 错误 使得 学生 在总 结中 提高 分层次 要求教学反思根据教师上课实际情况，课后填写：学生知识、技能的掌握情况、情感态度、思维情况、学生合作交流的情况，及时总结反思。
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法平面向量是数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域中广泛应用。
在平面上，向量的加法和减法是基本操作，通过它们可以计算出两个或多个向量的合成向量或差向量。
本文将详细介绍平面向量的加法和减法。
一、向量的表示和基本概念在平面几何中，向量通常用带箭头的有向线段表示。
向量有大小和方向两个属性，可以用有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为a = (a₁, a₂)，其中a₁为x轴分量，a₂为y轴分量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加得到一个新的向量。
对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的加法可以表示为：a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据加法的定义，我们可以得出以下结论：1. 加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 存在零向量，它与任何向量相加都不改变该向量的值，即a + 0 = a。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
对于平面上的向量a = (a₁, a₂)和向量b = (b₁, b₂)，它们的减法可以表示为：a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
根据减法的定义，我们可以得出以下结论：1. 减法不满足交换律，即a - b ≠ b - a。
2. 减法满足结合律，即(a - b) - c = a - (b + c)。
3. 任何向量减去自身等于零向量，即a - a = 0。
四、向量的几何意义向量的加法和减法可以通过向量的几何意义来理解。
具体而言，向量的加法可以解释为将一个向量沿着另一个向量的方向进行平移得到一个新的向量。
而向量的减法可以解释为从一个向量指向另一个向量的位置，得到一个连接两个位置的向量。
五、向量的图形运算法则在进行向量的加法和减法计算时，我们可以借助平移和三角形等图形运算法则来简化计算过程。
平面向量的加减法
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，uAuCur
uuur 所表示的向量就是AB 与
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
即
uuur uuur uuur OA OB BA．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
运算法则
已知a、b， a-b可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.
巩固知识 典型例题
向量加r 法r满足r交换r 律和r 结r 合律r ：r r r a b b a (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur度．
创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
位移uAuCur
叫做位移
uAuBur 与位移
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。
平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。
一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。
常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。
二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。
将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。
相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。
三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。
用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。
其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。
四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。
2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。
3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。
五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。
2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。
3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
平面向量的减法运算ppt课件
(3) OA OB BC ；
(4) BA BC ；
(5) AB BC AD ；
(6) AB DA BD BC CA ．
课堂探究
小结
相反向量
与向量 Ԧ 长度相同，方向相反的向量，
叫做 Ԧ 的相反向量，记作−．
Ԧ
向量的
减法运算
减法运算
向量 加上的相反向量，叫做
数的减法法则来定义向量的减法？
与实数运算类似，我们利用“相反
向量”，通过向量的加法来定义减
法．
自学指导1
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向
量，叫做的相反向量，记作−．
−
➢ 任意向量与其相反向量的和是零向量，即a + −a = 0
➢ 如果a，互为相反向量，那么a = −, a + = 0
学习目标
1.识记相反向量的概念及相关性质.
2.类比实数的减法运算，识记平面向量的减法运算法则及几何意义.
3.会利用向量的减法法则解决实际问题.
准备好学案6.2.2
课本、笔记本、草稿纸
平面向量的减法运算
高中必修二第六章
2
复习巩固
已知非零向量a, b, 求a b.
①向量加法的三角形法则：(位移）
➢ 零向量的相反向量仍是零向量。
自学指导1
我们规定，向量 加上
Ԧ
的相反向量，叫做Ԧ 与 的差，
即 − = + (−)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向
量相当于加上这个向量的相反向量.
向量的减法运算
问：结合着向量加法的学习，思考向量减法的几何意义是什么呢？
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、基本概念平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量有起点和终点，可以表示为两个点之间的有向线段。
加减法是指将两个或多个数值相加或相减的运算。
对于平面向量，加法和减法也是有规则的。
二、平面向量的加法1.定义设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a+b表示从O出发先沿着a到达A，再沿着b到达C，则C就是a+b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)。
3.几何意义将一个向量加上另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
三、平面向量的减法设有两个平面向量a和b，它们的起点分别为O，它们的终点为A和B，则a-b表示从B出发先沿着-b到达O，再沿着a到达C，则C就是a-b的终点。
2.坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
3.几何意义将一个向量减去另一个向量相当于将这两个向量首尾相接形成一个新的向量，并将这个新的向量旋转180度。
这个新的向量与原来的两个向量组成一个三角形。
四、平面向量加减法的性质1.交换律a+b=b+a，a-b≠b-a2.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c=a-(b+c)3.分配律k(a+b)=ka+kb，k为常数对于任意平面向量a，存在唯一的平面向量-b，使得a+(-b)=0。
五、应用举例平面向量加减法在物理学、力学、几何学等领域有广泛应用。
例如，在力学中，可以用平面向量表示物体所受到的力和加速度；在几何学中，可以用平面向量表示线段和角度等概念。
六、总结平面向量加减法是基本的运算规则，在数学和其他领域都有广泛应用。
掌握了平面向量加减法的性质和应用方法，可以更好地理解和解决相关问题。
平面向量的减法运算
平面向量的减法运算
平面向量的表示
平面向量可以通过坐标表示形式来表示。
假设平面向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，向量B的坐标表示为(Bx, By)，则平面向量A 的减法运算可以表示为：
A -
B = (Ax - Bx, Ay - By)
示例
例如，如果平面向量A的坐标表示为(3, 4)，向量B的坐标表示为(1, 2)，则平面向量A减去向量B的结果为：
A -
B = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)
注意事项
在进行平面向量的减法运算时，需要注意以下几点：
1. 向量的减法运算是按照对应坐标进行计算，即分别减去相应
的x坐标和y坐标。
2. 减法运算结果是一个新的向量，其中x坐标为原向量的x坐
标之差，y坐标为原向量的y坐标之差。
3. 平面向量的减法运算不改变向量的方向，只改变向量的大小。
结论
通过平面向量的减法运算，我们可以得到一个新的向量，该向
量具有原向量的方向，并且大小为原向量之差的绝对值。
这种运算
在平面几何中具有重要的应用，能够帮助我们求解各种几何问题。
通过以上的介绍，我们了解了平面向量的减法运算及其基本性质。
希望这份文档对您有所帮助！。
平面向量的加法与减法知识点
平面向量的加法与减法知识点平面向量是物理学、数学等学科中重要的概念，它们具有方向和大小，并且能够进行加法和减法运算。
理解和掌握平面向量的加法与减法操作是解决向量运算问题的基础。
本文将为您介绍平面向量的加法与减法的相关知识点。
一、平面向量的表示方法平面向量可使用多种方式进行表示，其中最常见的是坐标表示和几何表示。
1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，形如(A, B)，其中A和B分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 几何表示：平面向量也可以用有向线段在平面上表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量相加的操作是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，则它们的和向量c = a + b= (a1+b1, a2+b2)。
其中c为向量a和b的和向量。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量减法的操作是将被减向量的对应分量分别减去减向量的对应分量。
设有两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，则它们的差向量d = a - b = (a1-b1, a2-b2)。
其中d为向量a和b的差向量。
四、平面向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 零向量：零向量是长度为零的向量，记作0。
对于任意向量a，有a + 0 = a。
4. 相反向量：对于任意向量a，存在一个相反向量-b，使得a + (-b) = 0。
五、使用平面向量进行运算通过平面向量的加法和减法，我们可以计算多个向量的和或差，以及对向量进行数乘操作。
1. 向量的数乘：数乘是指将向量的每个分量乘以同一个实数。
设有向量a = (a1, a2) 和实数k，则k乘以向量a的结果是k * a = (k * a1, k * a2)。
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r b
平
1（.三首角尾形相法接则，：首指ar向+br尾）
面 向
量
的
2（.平同行个四起边点形，法所则夹ar ：对角ar线+brb）r
加 法
数量中的减法：5-3=2 也可以看做 5+（-3）=2 即 减去一个数可以看做加上这个数的相反数
类比：减去一个向量可以看做加上这个向量的负向量
向量中的减法：
ar
a
、b
，请画出向量
a
b
a
b
a O A
b
a
b
B
例2 化简 ： ⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解：⑴ OD OA AD ⑵ AB AC BD DC CB BD DC
CD DC 0
1、已知 a、b
，求作
a
b
b
bБайду номын сангаас
a
b
a
a
b
a
2、快速抢答：
AB AD __D_B___
(-
ar )
C
+(-
ar )B+(-
arA)
=
-O3ar
l >0方向相同
l <0方向相反
rrrr 规定 0a = 0, l 0 = 0
判断正误：
r
一. - 2a
r
的 模a 是
充分 必要r r
二. l >1 l a是> a
rr rr 三. 0?b 0,3?0 0
2的模的-2倍。
r
r
- 2a = - 2 ? a
充分不必。的要充要条r条件件r 。
- 2a > a
rr
四. 已知a = 2 b
rr
a = ? 2则b
例2: 如图所示，在平行四边形ABCD中，
、
AB a
uuur OD
AD b
设
a
b
uuur AO
，
，试用 ， 表示向量
平行四边形对角线互相平分
。
D b
O
C
A
a B
-
r b
rA
a
ar
-
r b
r b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA - OB = OarA++((--brO) B) = OA + BO = BA
ar
A
ar
-
r b
r b
O- br B
O B
Car
ar -
r b
r b
AB
uuur uuur uuur AC - AB = BC
OB OC DB _C__D__
BA BC ___C_A__
OA OC BO CO __B_A__
OAOB __B_A__
AB AC BD DC __0___
NQ QP MN MP __0___ AB BC DC DA __0___
AB BC AD DB _B_C___ MD MN MP DP _M__N__
A
ar
-
r b
ar
Cr
b
Buuur uuur uuur
BC - BA = AC
同起点，连终点，指向被减
3、动脑思考
若
a、b共线时，怎样作
a
b
？
① 共线同向
a
b b
a
a
aa
b
b
b
AC
B
a
b
AB
AC
CB
② 共线反向
a a a a
a
a bbbbb
B
a
b
AB
A
AC
C
CB
例1
已知如图所示向量
AM AN MGGE _N__E__ ABCD AC BD __0____
如图所示，在平行四边形ABCD中，设
AB a
，AD b，试用a
，b
表示向量 AC
、 BD DB
、。
D
C
b
A
a B
ar ar ar ar Oar +arA+ar =B3ar C
实l -ar数arar与-向ar 量-的ar 乘法运算