2018年江苏南通学科基地原创卷(一)数学 (扫描版 无答案)
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(6)
2018年高考模拟试卷（6） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 1P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD时，求λ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．BC2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C 的半径r ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab Cλ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD 1∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . (6)分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()02020204138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ．s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x xx x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，AB，BC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足 ()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．CADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为 h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，圆锥侧面造价a 元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，ACBD（第16题）VE F直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=，AE EQ μ=（λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．（第18题）2018年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC '的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2018年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线x的交点为，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =-2，得f (2)= f (-2)+ f (2)，所以f (-2)=0， 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )， 所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (-1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，(AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4， 所以AD == 当且仅当5m =n =±AD ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，（第14题） CADB（第15题）所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分 所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分 又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分ACBD（第16题）VE FO17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o45，所以1h r=，圆锥的体积为231111ππ33V r h r==，圆柱的体积为222πV r h=．……2分因为1290πV V+=，所以23221π90ππ3V r h r==-，所以32222709033r rhr r-==-．……4分因为311π90π3V r=<，所以r<0r<<．所以32222709033r rhr r-==-，定义域为{|0r r<<．……6分（2）圆锥的侧面积21πS r r==，圆柱的侧面积222πS rh=，底面积23πS r=．……8分容器总造价为1232y aS aS=++2222π2π2πr a rh a r a=++2222π()a r rh r=++()22902π23ra r rr⎡⎤=+-⎣⎦()210π543a rr=+．……10分令254()f r rr=+，则254()2f r rr'=-．令()0f r'=，得3r=．当03r<<时，()0f r'<，()f r在(0 3)，上为单调减函数；当3r<<()0f r'>，()f r在(3上为单调增函数．因此，当且仅当3r=时，()f r有最小值，y有最小值90πa元．……13分所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分又离心率caa=，……4分所以222222()a c a b==-，所以22a=，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分（2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=，所以010010()()x x x y y y λλ⎧+-⎪⎨=-⎪⎩①②， …… 8分由①得，011+x x λλ= 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =，11y =， 代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=，由1112n n n b b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x -+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分 又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题 第I 卷(必做题，共160分)、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 •设复数z 满足(2 -i)z =1 i ( i 为虚数单位)，则复数z 二▲ 2 •已知集合, B 」0,2?，贝U AUB 共有 ▲ 个子集.3 •根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ •4 •在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9个小矩形的面积和的 丄，且第一组5 数据的频数为25，则样本容量为▲在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的渐近线方程为y = x ,若函数y 二sin( •・x W )(门，0)的部分图象如图所示， 则•，的值为 ▲•现有5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 5的卡片，它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取 2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 •9 •在三棱锥P-ABC 中，D , E 分别为PB , PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V ,三棱锥P - ABC 的体积为V ，则也=▲•V 2T ■ T10 •设点P 是 ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且BC • 2BA =3BP ,设1011 .已知数列｛a n ｝中，a 1 =1, a ? =4 , a^10 .若｛a n ^a n ｝是等比数列，则a^_▲_i=12212.已知 a , b R , a b ，若 2a -ab -b -4=0，则 2a-b 的最小值为▲ •2 2 2 2 213•在平面直角坐标系 xOy 中，动圆C:(x-3)，(y-b)二r (其中r -b <9)截x 轴所得的弦长恒为4 .若过点O 作圆C 的一条切线，切点为 P ，则点P 到直线2x • y -10 =0距离的 最大值为S —1IT Whil e 1 ：：：7S — S + 3I — I + 2End While Print S--1PD = h AB +P AC 贝V 九+ 卩=(2,0)，则双曲线C 的方程为 ▲ 函数f(x)二-4的定义域为_▲且它的一个焦点为（第 7题）▲ .14.已知 —〔0,2二，若关于k 的不等式•而一 .CO^^k si n 3v_cos 3r 在「：，-2 ］上恒成立, 则二的取值范围为 ▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. 已知向量 订二(sin 今，舟),n 二(-2 厂.3cos|)，函数 f(x)二m n .(1) 求函数f(x)的最小正周期；T 呻7T(2) 若 m // n ，且 x 三(0,—)，求 f (4x)的值.216.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，CD // AB , AB=2CD , AC 交BD于O ，锐角 PAD 所在平面 PAD 丄底面 ABCD ,圆 O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，BC // AD , E ,F 在AD 上，且 1OE =OF BC, EG 二 FG .2(1)设.AOB -二，试将多边形 ABCDFGE 面积S 表示成二的函数关系式;(1) 求证: (2) 求证:PA// 平面 QBD ;BD _AD . 17.如图所示,(2)多边形已知函数f(x) =(x-1)e x ax 2，其中a R , e 是自然对数的底数. (1)若a =0 ,求函数y = f (x)的单调增区间; (2)若函数f (x)为R 上的单调增函数，求 a 的值;(3) 当a 0时，函数y = f (x)有两个不同的零点 x ! , x 2，求证：为x 2 0 .已知数列 江［的前n 项和为S n ,把满足条件空S n (N *)的所有数列〈aj 构成的集合 (1) 若数列订」通项公式为a n 1，求证：爲〕M ；2(2) 若数列faj 是等差数列，且^a n - n» M ，求2a^a 1的取值范围；(3 )设b n 二丄(n ・N *)，数列Sn ［的各项均为正数，且 'a n 〉M •问数列 Y 中是否存在 a n无穷多项依次成等差数列？若存在， 给出一个数列:a 的通项；若不存在，说明理由.18.2 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知F ,2分别为椭圆 笃•爲=1 ( a b 0 )的左、右a b A(2 ,0)和点(1,3e)，其中e 为椭圆的离心率. 焦点，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程; (2)过点A 的直线I交椭圆于另一点 B ，点M 在直线I 上，且OM =MA .若 MF ! _ BF 2 , 求直线I 的斜率.19.20.21 •【选做题】本题包括学习必备欢迎下载2018年高考模拟试卷（4）数学u （附加题）A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A •［选修4』：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB为O O的直径，D为O O上一点，过若DA = DC,求证：AB = 2BC.C •B .［选修4 _2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知a,b・R，向量为r二2是矩阵A J a 2的属于特征值-3的一个特征向量.1 b 1（1）求矩阵A的另一个特征值；（2）求矩阵A的逆矩阵A」.C .［选修4 Y:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x - -1 -电t5— ft （t为参数）•以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为匸= 2-2cos（—.—）.4 求直线l被曲线C所截得的弦长.D .［选修4七：不等式选讲］（本小题满分10分）已知实数x, y, z满足x + y + z = 2，求2x2 3y2 z2的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内.作答.22. (本小题满分10分)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4 .现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)在各项均不相同的数列a1 , a2, a s，…，a. (N*)中，任取k(k・N ,且k_n)项变动位置，其余n-k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为P n(k).(1 )求P4(0) F4(1) F4(2) F4(3)的值；(2)求P5(5)的值；n nA kF n(n—k) A n 1=(n 1)、P n(n—k)(3)设k - ，求证：k=°.2018年高考模拟试卷(4)参考答案数学I一、填空题： 1. 1 + 3i ［解析】i)(2 D =口 . 5 5 2 _i (2 —i)(2 i) 52. 8【解析】由条件得 AUB 二｛-1,0,2｝，所以AUB 的子集有8个.3. 10【解析】由题意可知 ^1 3 3 ^10.4. 150【解析】设第一个小矩形面积为 x ，由6x =1，得x = 2，从而样本容量为 25 6 = 150 .62 25.x 2 -y 2 =1【解析】设双曲线 C 的方程为 笃-爲=1(a 0,b ■ 0)，因为双曲线C 的渐近线方a b程为y =_x ，所以a =b ，又因为一个焦点为(.2,0)，所以c= .2，所以a=b=1，所以双曲线 C 的方程为x 2 - y 2 =1g)x -4 _0,所以 X 乞-2号音2込，所以.牛4.210=3 2n 丄—2，所以送 a =3049 .i 士12. 3【解析】因为 a , b R , a b , 2a 2 -ab -b 2 -4 =0 ,所以(a -b)(2a b) =4 .6. (_：:, -2］【解析】由已知得，7. 4【解析】由图知函数的周期为8 . 3【解析】从5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 55 的卡片中随机种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有 12种情况,_ 1 __PABS PAB h , V | = V E39.-【解析】因为V 2 =V C4所以也V 2 2_ABDS DAB3所以其概率为聖.20 51 1 h 1S PAB V2 ,3 2 2 410三【解析】因为BC 2BA =3BP ，所以BC -BP =2(BP -BA)，即3 1—?=P ，所以AP 」AC ,3TT T 1 T —I T 1 T 所以 ADAD 11. 3049【解析】 a n 1 一弘=3 2n1，所以 a n 二印•(a ? —aj •—a ?) - (a^a nJ )3令 a _b =t , 2a b =4 , t 0 ,则 a =丄 t 4 , b =2 2 _t , t t f 3*t ' 所以2a _b 令 1) > 3 2. t -J =8,当且仅当t =1时取等号. 所以2a - b 的最小值为8 .313. 3 5 [解析】因为动圆C:(x —3)2・(y-b)2 =r 2 (其中r 2 -b 2 <9 )截x 轴所得的弦长恒为4,所以r 2 =b 2 4 ,设P(x °, y °),由已知条件得，9 b^r 2 x 2 - y 2 ,所以x ] y 2 = 5 ,即点P 在10 圆x 2+y 2=5,所以点P 到直线2x+y_10=0距离的最大值为 ~^卡屈=3眞. V 53' cos 3v - sinv -• cosv ,题意即为 f (k) > 0在[-匚j -2 ]上恒成立，即f min (k) > 0 .由于日€0,2兀),Si n 日> 0且cose > 0,则日乏|0,弓.f(k) =0 > 0恒成立，符合;sin ? v -COS3.0 ,所以f (k)在［-匚3 -2 1上单调递增，不符合;sin J-cosJ ：：：0，所以 f (k)在-:,-2 1 上单调递减,此时 f min (k) = f (-2) = -2 sin ： - cos - 、. sin- cos 二 > 0 , 即 2sin % sin v < 2cos % COST .令 f(x)=2x 3+7X ( x > 0)，不等式即为 f (sin6) < f(cos0),J由于f (x) =6x 2 1x^ > 0 ,所以f(x)在0,匚 上单调递增, 而当 v -[0, -j)时，si n^ ::: COST ，所以 f(sin 二)< f(cos^)恒成立.综上所述，二的取值范围是1), =(|, ■ 3COS 2),x C0S2 = sin -15 .解：(1) ； m = (si 门乡, 1 x 3 .f (x)二 m n sin2 2 2 =sinXCOSn+ COS -S in n= sin x n,23 2 3 2 3所以函数f (x)的最小正周期为T 二肚=4 n 1 鸣 2 (2)T m= (si 门乡,* , n =(* , ^3 COS |)T 呻，且 m // n ,..... ^4 分'14.0,才【解析】f(k)=ksi n 3 —_02当-(「，亍］时,当 二［0，；)时,.Xx 1 1sin ■ 3cos0 ,222 2sin X蔷，因为侧面 PAD_底面ABCD ，平面PAD^l 平面ABCD 二AD ,PH 平面PAD ，所以PH _平面ABCD , ...................... 8分 又BD 二平面 ABCD ，所以PH _BD , ...................... 10分 因为「PAD 是锐角三角形，所以 PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA_BD ，所以BD _平面PAD , ....................... 12分又AD 平面PAD ,所以BD _AD . ...................... 14分17•解：连接 EF ,BE,OB,OG ,-OE =OF 」BC , ■ BC =EF _ BE _ EO , 2 - EG =FG , OG _ EF ,......... 2 分(1 )在 Rt BEO 中,BO =1 , AOB - J ,EO =cos v , BE =sin ：, BC =EF =2cos 丁 ,.... 4分1 1s 弟形ABCD S EGF (AD BC) BE — EF OG2 211 二(2 2cosRsin 2cos^ 1 =sin^cos 亠sin 亠 cos^,寫：二(0,—).2 2 2(0,2)，10分.sin 2x =2sin c 矗^'33吊x cos x 二 2 - 6 6 6 512分2\t3cos2x =1 -2sin x =1 -2 () 6 1.f (4x) sin 2x cos2x211 53 1216.证明：(1) 因为 AB//CD , 所 AO =2OC , 又 PQ =2QC ， 所以 PA / /OQ ， 又OQ 二平面QBD ， PA 二平面QBD , 所以PA//平面QBD . ........... 6分 (2)在平面PAD 内过P 作PH _ AD 于H ,如图，连接 AB =2CD , OQ , .cosx = 1 —sin 2 x =33""6"14分B学习必备欢迎下载(2)令t 二sin v cos J,匚三(0, —),2学习必备 欢迎下载=0,t 2 _1兀则 sin ncos，且 t = 2 sin(r —)三(1, . 2], 2 4t 2 _1 t 2 1 1s - t =- t 一一 = —(t i )2 -1, t ・(1, 2],2 2 2 2当 t = 2，即 时，S max =—2 ,42即多边形ABCDFGE 面积S 的最大值为—2平方米.2 18 •解：(1)因为椭圆经过点 A(2,0)和点(1,3e),a =2,所以 1 9c i =1,|4 4 b 2 b 2 c 2 二a 2,2 2 解得a =2, b = •3, c =1,所以椭圆的方程为 丄 11 .4 3(2)解法一：由(1)可得 F(-1 ,0) , F 2(1,0), 设直线I 的斜率为k ，则直线I 的方程为y =k(x -2).y =k(x 「2),由方程组 2 y 2 消去y ,整理得(4k 23)x 2 -16k 2x 16k 2乞 +L —1 4 3 _1 ,2f 2\解得x =2或X =8k2 _6 ,所以B 点坐标为8k2 _6 , -12k.4k 2 +3\4k +3 4k +3丿由OM =MA 知，点 M 在OA 的中垂线x =1上, 所以 F 1M =(2，-k) , F 2B = 8k ^6 -1,4k +3 4k +34k +3 4k +3222若 MF — BF 2，贝y FM F 2B =8k2一18 ¥4k +3 4k+3解法二：由（1）可得 Fd-1,0） , F 2（1, 0）,设 B(x 0, y 0) ( X 。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为3，则该三棱柱的体积是▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． 17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，A BCP（17题图）FE求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝fn (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，C2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144． 9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32． 11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合； 若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝na n－n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点，∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ． ∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M CFDD解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S=⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝ap，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q＜0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q＞0，且不妨设由f ′(x)＝0得f ′(x)有唯一零点x0＝log q tln q，于是当x＞x0时，f ′(x)恒大于0或恒小于0，当x＜x0时，f ′(x)恒小于0或恒大于0，这样f(x)在区间(0，x0)与(x0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解．……………………10分当q＜0时，如果t＞0．如果n为奇数，则方程①变为|q|n+tn+s＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n为偶数，则方程①变为|q|n－tn－s＝0．由q＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A中的元素个数最多有3个．………………………………12分再由当a n＝6n－8，，b n＝(－2)n，则a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．A＝{1，2，4}．由此，可知集合A中的元素个数最多有3个．…………………16分数学Ⅱ（附加题）21A．证明：连AC，在△ABC与△ADP中，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ADP＝∠ABC，又因为AD·BC＝DP·AB，即ADDP＝ABBC，所以△ABC∽△ADP，所以∠BAC＝∠DAP．因为直线PA与圆O相切，所以∠DAP＝∠ACD，所以∠BAC＝∠ACD，所以，A B∥CD，所以圆内接四边形ABCD为等腰梯形，所以AD＝BC．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷（6）市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,数k 的取值围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．．．域作答．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+--≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(23200021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以1=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n⇒a p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解．当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为 |q |n－tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即AD DP ＝AB BC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2－3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2－3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通学科基地密卷数学(3)
（第5题） （第11题） 2018年高考模拟试卷（3）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R，i 为虚数单位)，则22a b +的值为．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60则应从丁专业抽取的学生人数为 ．4．从1个黑球，1个黄球，3相同的概率是 ．5．右图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1为 ．7. 各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 8. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成 等比数列，则72S S +的值为 ．9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则yz x =的最大值与最小值之和为 ．10．已知函数2()||2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是 ．11．将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π4y x ϕ=+（πϕ<）的图象（如图），点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴 两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=， 则()tan ϕθ-的值为 ．12．已知正实数,x y 满足111x y+=，则3411x yx y +--的最小值为 ．13．已知AB 是圆C :222x y r +=的直径,O 为坐标原点,直线l :2r x c=与x 轴垂直,过圆C 上任意一点P (不同于,A B )作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点, 则2OM ONr⋅的 值为 .14.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面 分别与PB ，PC 交于点E ，F ． （1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求证：AD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知π1sin()cos 62C C +-=．（1）求角C ；（2）若a ＋b ＝4，设D 为AB 的中点，求线段CD 长的最小值．PACDEF（第15题）17．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用x ，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <．（ⅰ）若213t t =，求a 的值；（ⅱ）若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷（3）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD AB ⊥于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：OBP CQP ∠=∠．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是二阶矩阵24a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属性特征值3的一个特征向量， 求直线:230l x y --=在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线l '的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线l 的方程为()πcos 24ρθ-=，圆C 的方程为4sin 2cos ρθθ=-， 试判断直线l 与圆C 的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）对任意实数t ，不等式|3||21||21||2|t t x x -++-++≥恒成立，求实数x 的取值范围．QPDCBAO（第21-A ）( 第23题 )ABCDFEM 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种 抽奖方案，方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与 否互不影响，并凭分数兑换奖品．（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0；（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，π3ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 在线段EF 上运动，且EM EF λ=． （1）当12λ=时，求异面直线DE 与BM 所成角的大小；（2）设平面MBC 与平面ECD 所成二面角的大小为θ（π02θ<≤），求cos θ的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案：{}|0x x > 解析：由并集定义可得AB ={}|0x x >．2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方，且2534a bi i+=+，所以25534a bi i+==+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6，所以 100名学生中丁专业抽取人数为6601820⨯=人. 4．答案：310解析：将黑球标记为a ，黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件 有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种， 其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为310. 5．答案：7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =；第三次，1510S =>，7k =．6. 答案：125解析：顶点坐标为()4,0±，渐近线方程为34xy =±，由对称性不妨取顶点()4,0，渐近线方程为34y x =，故顶点到其渐近线的距离为125d =.7.8，底面积为4，故体积6，即m =方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为1213326h h ==.8. 答案：80解析：因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅.又26a =，设公差为d , 故()()()26665d d d +=-⋅+，即22d d =，又公差不为零，故2d =.即42210a a d =+=. 所以72421780S S a a a +=++=.9. 答案：154解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.yz x=的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A 处取到最大值.又()2,6A ，故max 3z =.在点C 处取到最小值.又()4,3C ,故min 34z =.所以z 的最大值与最小值之和为315344+=10．答案：(02)， 解析：10()4102x f x x x ⎧⎪=⎨--<⎪-⎩≥，，，， 所以)(x f 在(0)-∞，上单调递增，在[0)+∞，上为常数函数，则222220x x xx x ⎧-<-⎪⎨-<⎪⎩， 解得20<<x ．11．答案：2-解析：将函数()π4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π3π44y x +,所以()(3π,,2,3,,4M OM N ON MN ϕ=-===由余弦定理可得，5cos π6θθ===， ()()35tan tan ππ46ϕθ=-=-35tan πtan π462351tan πtan π46-==-++⋅ 12．答案：7+解析：方法一：因为111x y+=，所以11111,1x y y x -=-=.又343434111111x y y x x y x y+=+=+----，所以()113434777y x y x x y x y ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭.当且仅当2x =时取等号.方法二：因为111x y+=，所以xy x y =+，即()()111x y -⋅-=. 故()()3134143434777111111x y x y x y x y x y -+-++=+=++≥++------当且仅当2x =时取等号.方法三：因为()34343347411111111x y x x x x x y x x x y+=+=+=++-------，所以34711x y x y +≥+--，当且仅当2x =时取等号.13．答案：1解析：设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则2παβ+=,∴tan tan 1αβ=，记直线l :2r x c=与x 轴的交点为H ,()()OM ON OH HM OH HN ⋅=+⋅+，则2(,0)r H c ,0,0OH HN OH HM ⋅=⋅=,∴22||||OM ON OH HM HN OH HM HN ⋅=+⋅=-⋅22422|||||||tan ||||tan |()()r r r HM HN AH BH r r r c c c αβ⋅==+-=-∴242222()()r r OM ON r r c c⋅=--=.即2OM ON r ⋅的值为1 14.【答案】(8,【解析】方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数2()|21|f x x x =--与函数()g x t =的图象如下图所示，所以14,x x 是方程221x x t --=的两根，23,x x 是方程221x x t --=-的两根，由求根公式得4132x x x x -=-=，且02t <<，所以41322()()x x x x -+-=，令()2(22f t=，由()0f t '==得65t =，函数()f t 在区间6(0,]5递增，在区间6[,2)5递减，又6(0)()(2)85f f f ===，所以所求函数的取值范围是(8,.二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． 因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥． 因为CDPD D =，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ． （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ， 因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． 因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ．16．（本小题满分14分）解：（1）因为π1sin()cos 62C C +-=11cos 22C C -=，所以π1sin()62C -=．又因为0πC <<，所以π3C =．（2）法一：因为D 是AB 中点，所以1()2CD CA CB =+，所以2221(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+，即2221()4CD a b ab =++，所以224()CD a b ab =+-23()124a b +=≥，当且仅当2a b ==时等号成立．所以CD法二：在ABC △中，由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅，可设22214cos b c CD A bc+-=． 在ABC △中，由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅⋅，可设222cos 2b c a A bc+-=．所以222222142b c CD b c a bc bc +-+-=，所以2221()4CD a b ab =++．下同法一．法三：以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以(0)(2a A b B ，，，所以(42a b D +， 所以2221()4CD a b ab =++， 下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN ∥l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=．因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN == 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以△PMN的面积为132⨯= （2）直线PM 与圆O 相切，证明如下： 设00()M x y ，，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--．联立方程组00545343200x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩，，解得点P 的坐标为()0000004(53)4(54)4343y x y x y x -----，， 所以()000000004(53)4(54)4343y x PM x y y x y x --=-----，，由于()00OM x y =，，2204x y +=， 所以2200000000004(53)4(54)4343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=-----0000004(53)4(54)443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-，所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证． 18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152x m x -==-cm ，竖直方向每根支条长为261322y y n -==-cm2cm ．从而，所需木料的长度之和L 2(15)4(13)822yx =-+-+=822()x y ++cm ．（2）由题意， 1132xy =，即260y x =，又由152,132,2x y--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥可得1301311x ≤≤．所以260822()L x x=++．令260t x x =+，其导函数226010x-<在1301311x ≤≤上恒成立，故260t x x=+在130[,13]11上单调递减，所以可得372[33,]11t ∈．则26082()]L x x =++82]t =+=82+．因为函数y =y =在372[33,]11t ∈上均为增函数，所以82L =+在372[33,]11t ∈上为增函数，故当33t =，即13,20x y ==时L 有最小值16+答：做这样一个窗芯至少需要16+长的条形木料．19．（1）2()36(2)f x x x a '=-+-，其判别式2(6)12(2)12(+1)a a ∆=---=．①当1a -≤时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞．………………………………………1分②当1a >-时，由()0f x '>，得x <x >所以()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞． 3分综上，当1a -≤时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当1a >-时，()f x 的单调增区间为(-∞，)+∞．4分（2）（ⅰ）方程()0f x =，即为323(2)0x x a x -+-=，亦即2[3(2)]0x x x a -+-=，由题意1t ，2t 是方程23(2)0x x a -+-=的两个实根， ………………5分故123t t +=，122t t a =-，且判别式21(3)4(2)0a ∆=--->，得14a >-． 由213t t =，得134t =，294t =， ………………………………………8分 故1227216t t a =-=，所以516a =．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的12[]x t t ∈，，()16f x a -≤恒成立． 因为123t t +=，12t t <，所以1232t t <<， 所以120t t <<或120t t <<．①当120t t <<时，对12[]x t t ∈，，()0f x ≤， 所以016a ≤-，所以16a ≤．又1220t t a =->，所以2a <．………………………………………12分②当120t t <<时，2()36(2)f x x x a '=-+-，由（1）知，存在()f x 的极大值点11(0)x t ∈，，且1x =（方法1）由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤，将1x =(72a +，解得11a ≤．…14分又1220t t a =-<，所以2a >．因此211a <≤．…………………………15分 综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，．………………………………………16分（方法2）211362a x x =-+，由题得321111()3(2)16f x x x a x a =-+--≤， 将211362a x x =-+，代入化简得31(1)8x --≥，得11x -≥，故110x -<≤，因为211362a x x =-+在1[10)x ∈-，上递减，故(211]a ∈，．综上，a 的取值范围是1(2)(211]4-，，． ……………………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）将1n =代入111(1)n n nn a a n ++=++λ，得2122a a =+λ， 由11a =，283a =，得3=λ． （2）由111(1)3n n nn a a n ++=++，得1113n n n a a n n +-=+，即113n n nb b +-=． 当2n ≥时，111221()()()n n n n n b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-111[1()]33113n --=-111223n -=-⨯， 因为1111a b ==，所以131223n n b -=-⨯． 因为11b =也适合上式，所以131223n n b -=-⨯．（3）由（2）知，3()23n nna n =-． 假设存在正整数r s t ，，且r s t <<，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列， 则2r t s +=且2r t s a a a +=，即()()()33322333r t s r t s r t s -+-=-，整理得2333r t sr t s +=， （*） 设3n nn c =，*n ∈N ，则1111120333n n nn n n n n c c ++++--=-=< 所以{}n c 单调递减数列． ① 若1r =，当3s ≥时，则2293ss ≤， 所以()*左边13>，右边29≤，显然等式不成立，当2s =时，得313933t t ==，解得3t =， 所以1r =，2s =，3t =符合题意． ② 若2r ≥，因为s r >，所以1s r +≥， 所以1s r c c +≤，所以()112122033333r sr r r r r s r r +++---=≥≥，所以03t t ≤，所以t 不存在， 即2r ≥时，不存在符合题意的r s t ，，．综上，存在1r =，2s =，3t =，使得r s t ，，与r s t a a a ，，同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接OA ，因为OD AB ⊥，OA OB =，所以12BOD AOD AOB ∠=∠=∠， 又12ACB AOB ∠=∠，所以ACB DOB ∠=∠， 又因为180BOP DOP ∠=-∠，180QCP ACB ∠=-∠， 所以BOP QCP ∠=∠，所以B ，O ，C ，Q 四点共圆，所以OBP CQP ∠=∠. B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：由题意，3=A αα，即2113411a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2343a b +=⎧⎨+=⎩，，解得11a b ==-，，所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． 设l 上一点()P x y ，在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y '''，， 则1214x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即24x x y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩，， 所以1(2)31()6x x y y x y ⎧''=-⎪⎨⎪''=+⎩，，代入直线:230l x y --=，得75180x y ''--=， 即直线l '的方程为75180x y --=. C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：由()πcos 24ρθ-=cos sin 2θθ+=，所以直线l直角坐标方程为0x y +-=． 由4sin 2cos ρθθ=-，得24sin 2cos ρρθρθ=-， 所以圆C 的直角坐标方程为22240x y x y ++-=，即()()22125x y ++-=． …… 8分所以圆心到直线的距离2d ==-所以直线l 与圆C 相交． D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设()|3||21|f t t t =-++，即13221()432323t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-⎨⎪->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，所以()f t 的最小值为72，所以7|21||2|2x x -++≤．当2x <-时，不等式即为7(21)(2)2x x ---+≤，解得32x -≥，矛盾；当122x -≤≤时，不等式即为7(21)(2)2x x --++≤，解得12x -≥，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为7(21)(2)2x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤．综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (X ＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13．（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为X 1，都选择方案B 抽奖的中奖次数 为X 2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，P 0)，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2P 0，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝6P 0．若E (2X 1)>E (3X 2)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (2X 1)<E (3X 2)，则83<6P 0⇒49<P 0<1，若E (2X 1)＝E (3X 2)，则83＝6P 0⇒P 0＝49．综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大； 当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，1AB =，2BC AD ==，π3ABC ∠=，则AC ，所以222AB AC BC +=，即90BAC ∠=．因为四边形ACEF 为矩形，所以FA AC ⊥， 因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF平面ABCD AC =，平面ACEF ，所以FA ⊥平面ABCD ．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B，C ，(D -E ，(0,0,1)F ，当12λ=时，12EM EF=，所以M ．所以(BM =-，(1,0,1)DE =，所以(1,0,1)(0BM DE ⋅=⋅-=，所以BM DE ⊥，即异面直线DE 与BM 所成角的大小为90．（2）平面ECD 的一个法向量1(0,1,0)=n ， 设000(,,)M x y z ，由000(0,,1)(0,,0)(EM x y z λ==-=-，得0000)1x y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，即),1)M λ-，所以(),1)BM λ--=，(BC =-． 设平面MBC 的法向量2(,,)x y z =n ，因为22,,BC BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n即0,)0,x x y z λ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩取1y =，则x =z ，所以平面MBC的一个法向量2)=n ， 因为π02θ<≤，所以1212cos θ⋅==⋅n n n n因为01λ≤≤，所以1cos 2θ⎤∈⎥⎣⎦，．。
江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8） 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 1872212（第4题）则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)． （1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； （2）BM ACP ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置ABCDPM（第16题）设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元． （1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4． （1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A的坐标．OABCD（第17题）19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，．．．．．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）D CBA（第21—A题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．（本小题满分10分）AB CDA 1B 1C 1（第22题）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分． （1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件 ，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个(A 33⎪⎭变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以 输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ， 求出32x y +最大值为3．7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有221x x -λ+12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥=⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=，即λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+， 所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a=±．根据点13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积． 因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =．||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=． 又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()AD BC AE ED BE EC ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=．14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a ---≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-． 二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分 （2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝ …… 14分16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分ABCDP M（第16题）O又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分 （2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分 因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分 （注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分（2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分 故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减．综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减；当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分 （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x-≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分 （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增， 所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤， 则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥， 也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+， 所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分 （2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ，所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111()()n n k n k nS S S S +---=-+- 111n k nn n k n k n a a S S S S +-+----=+⋅⋅ 11111k n n k n k n n n a a S S S S -+---+=⋅-⋅111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分 因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--． 由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<， 又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分 则6EB x =-，CE ……………………………4分 由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分 即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分 所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分 圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分 即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅所以直线1DB 与平面11A C D…… 5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --． …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分． 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了 211122k k ++个，所以(1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++， 即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。
(完整版)2018年南通市数学学科基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160 分）、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.复数z a i （a R , i是虚数单位），若z2是实数，则实数a的值为▲2.在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox点P 1,2在其终边上，则sin的值为▲N x x 2 ，则图中阴影部分所表示的设全集U是实数集R M x x 3集合为▲.U（第3题）45名学生的高校招生体检表中视力情况进行从某校高三年级随机抽取一个班，对该班统计，其结果的频率分布直方图如右上图•若某高校A专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有▲人能报考A专业.5 .袋中共有大小相同的4只小球，编号为1 , 2, 3, 4.现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲.6 .执行如图所示的算法，则输出的结果是▲.2 27.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 - y 1 k k 3的一个焦点为（.5,0）,则该双曲线的离心率为▲（第6题）8 .现用一半径为10 cm,面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗) ，则该容器的容积为▲cm3.9 .平行四边形ABCD^，已知AB= 4, AD= 3，/ BAD= 60°，点E F分别满足T T T T ur ULTAE= 2ED DF= FC,贝U AF BE 的值为▲S10.设S是等比数列｛a n｝的前n项和，若满足a4 + 3 a ii= 0,则西=▲ 色411•在平面直角坐标系xOy中，已知直线y kx被圆x2 y2 2mx 2.3my 3m2 1 0 截得的弦长是定值(与实数m无关)，则实数k的值为▲.12 .在△ ABC中, cosA 2sinBsinC , tanB tanC 2，则tan A 的值为▲.13.设F是椭圆竺+ 坐 =1( a>0,且a z2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭a2圆上移动.则当4AF- BF取得最大值a的值是▲ .k 172 ------- x 2,x < 0 , 414.设函数f (x)4g(x)k x —，其中k 0 .若存23x , x 0,在唯一的整数x，使得f(x) g(x)，则实数k的取值范围是▲、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)3 在厶ABC中，A为锐角，且si nA -.5(1)若AC 2 , BC -，求AB 的长；51(2)若tan A B ，求tanC 的值.316. (本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC中，AC BC，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC// 平面PDE(1)求证：DE//平面PBC(2)若平面PCD-平面ABC求证：平面PABL平面PCD17. (本小题满分14分h与l2间的距离是1 m, |2与|3间的距离设I, , l2, l3是同一平面内的三条平行直线,是2 □,△ ABC的三个顶点分别在|1, |2, |3.(1) 如图〔，△ ABC为等边三角形，求△ ABC勺边长；18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设P为圆0：x2 y2umr ^uurn垂线，垂足为Q点M满足PQ V2MQ .(1)求证：当点P运动时，点M始终在一个确定的椭圆上;(2)过点T 2 , t (t R)作圆0的两条切线，切点分别为代B.①求证：直线AB过定点(与t无关);(2) 如图2,A ABC为直角三角形，且B为直角顶点，求AB 4BC的最小值.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) e x , g(x) mx 2 .(1) 若直线y kx 1与f (x)的图象相切，求实数 k 的值； (2)设函数h(x) f (x) g(x)，试讨论函数h(x)在(0 ,)上的零点个数;(3) 设为必R ，且治X 2，求证：迪电f(x2)f(x1).AB②设直线AB 与(1)中的椭圆交于 C, D 两点，求证：W 、2 .CD19. (本小题满分16分)设等差数列 a n 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数, (1)设数列4 其前n 项和为S n ， b na n①若32 5，S s 40，求b 2的值; ②若数列 b n 为等差数列，求b n ； (2)求证：数列a n 中存在三项(按原来的顺序)成等比数列.2 x2 x-i2018年高考模拟试卷(数学u (附加题)21. 【选做题】本题包括A B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A. ［选修4—1:几何证明选讲］（本小题满分10分）求证：AE平分DAF .B. ［选修4—2:矩阵与变换］（本小题满分10分）1 a已知矩阵M 所对应的变换T M把直线I : 2x y 3变换为自身，求实数b 3C. ［选修4 —4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）的右焦点，求实数m的值.D. ［选修4 —5:不等式选讲］（本小题满分10分）1 1 1设a , a2, a3均为正数，且1，求证:4 a2 a3【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.如图，四边形ABCD是圆的内接四边形, BC BD , BA、CD的延长线交于点E .已知直线I: x tcos ytsi n（t为参数）恒经过椭圆C：x 5cosy 3si n（为参数）22. (本小题满分10分)k k! * 设随机变量E的分布列为P( k) ，其中k N , k 6,c(1)求c的值；(2)求E的数学期望日E ).("求a1, a2, a3 的值;(2)猜想数列a n的通项公式，并证明.【答案】【解析】2a 1 2ai是实数，则【答案】2.5 5【解析】根据三角函数定义，sin2.(1)2 22c为常数.23. (本小题满分10分)已知数列a n满足a n C C n 12C2222C3323c n nV2018年高考模拟试卷(7)参考答案填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.3.【答案】2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为 （C J M ）I N ，即为2,34.【答案】18【解析】校 A 专业对视力要求不低于的学生数为 45 1 0.75 0.25 0.2 18 .5 .【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的 有4种，则所求概率为 2 .3 6 .【答案】2【解析】根据循环，依次得到 n,M,S 的值分别为3, 3, iog 24 ;3 3 545 12 4 5 124,5,10924 log 2 5，…，11, 12, log 24 |如2扌 L log 212, 因为S log 24 log 2 4- L 晦斧 2> 2，所以最后的输出结果为 2. 7 .【答案】-52【解析】由题意，2k 3 5，即k 4，所以双曲线为 手 y 2 1，所以离心率为 £ . 8 .【答案】128 n所以h 6，容积为3 n 2h 暫n 8 6 128 n.3 3 9. 【答案】 610.【答案】76【解析】由a 4 + 3 an= 0,知q 71，所以鱼 1 q"7 . 3 気1 q 14 611.【答案】-i3【解析】由x 2 y 2 2mx 2 3my 3m 21 0得,【解析】设圆锥底面半径为 r ，高为h ，由题意,n 10 80 n ,得 r 8 .LUT 因为AEULT ULT AFBE2uun uur -AD , AF3UUL 1 uurAD 1AB2UUL UUL uurAD DF AD1 ULT 1AB ； UJT BE UJ BAcur AE 2 uur -AD 3ULTAB , 那么 2 LILT uuu 2 UUL 21 UIT 22 uu uur2AD AB 2AD AB AB AD 6 8 46 .3323m 2234km J3m则圆心 m , . 3m 到直线y kx 的距离为 ------- =—，设截得的半弦长为 p ,所以吨Z C 詈需乎子II °所以cos AII sin 2 A13 •【答案】 【分析】当a >2时，设椭圆的另外一个焦点为 F ',联结AF , BF .贝V AF + BF > | AB = 3.故 AF + BF = 4a — (AF'+ BF ) w 4 a — 3. AF- BF 2 4 a — 3 2 4 a — 3所以AF BF w (—2 )2 w (— )2.当且仅当线段 AB 过点F ',且AF = BF = 厂时,上式等号成立，此时， ABL x 轴，且AB 过点F '.于是 2 2 4 a — 3 2 3 2 2 2 2 34c = | FF | = (—2 )— (2)= 4a — 6a ,即 c = a — 2 a . 3贝U a 2 = 4+ (a 2—2a ),14. 【答案】17,6 3类似地，当O v a v 2时，可得a — . 3. 【分析】当k 16时，f(x), g(x)的图象相切; k 6时，f (x), g(x)的图象均过点 2 ,4 , 4, 16，故唯一的正整数 x 3，同时匸」7 w k ，从而17w k <6 . 4 3、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)解：("因为sinA 5, A 0，n,则 p 2 m 2 1k灵m 21 k2 所以3k 1 0 , k3 3 .12.【答案】1【解析】由cosA 2sin BsinC 得，3k 1 m 2 k 212 (与实数m 无关)，1 ksinBsinC 2sin BsinC ，所以 tanBtanCcos B C 2sin Bsin C ,即 cosB cosC2解得c 8，所以AB 的长为8 •5 516. （本小题满分14分）证明：（1）因为BC//平面PDE BC 平面 ABC 平面PDE 平面AB （=DE ,所以BC// DE……3分因为DE 平面PBC BC 平面PBC 所以DE//平面PBC ……6分 （2）由（1）知，BC// DE在厶ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点. 因为AC BC ，所以AB CD ,……9分 因为平面 PCD_平面 ABC平面PCD I 平面 ABC CD , AB 平面ABC 贝U AB 平面PCD因为AB 平面PAB 所以平面PABL 平面PCD17. （本小题满分14分.2 2 2 /心ABC 中，由余弦定理cosA JCb 汙得，善22 c 22 2c(2)由(1)知，ta nAcos A3- 43-5- 4-5所以 tanB tan A A B在厶ABC 中，ABC所以 tan C tan A B3 14 3 13 ……11分 1 3 1 4 39 •79 ~3 •.…14分12分 14分 tan A tan A B 1 ta nAta n A Bn ,3 13 tan A tan B4 9 tan A tan B 13 134 ~955 ，12分列表:1 cos(2)如图2,过点B 作12的垂线，分别交 I 1 ,13于点D,E.设 DBA ，贝U EBC n2 贝U AB —,cos BC 2 sin 是AB4BC 1 cos 8 sin求导,1 cos8 sin sin 2 cos8cos ・2 sin38cossin cos sin 3图2 tan 31sin cos10分tan2 .记 tan解: (1)如图1,过点B 作12的垂线，分别交h , 13，于点D, E,13所以边长AB 2.... 2分DA8分55 ，12分时，f()取最小值，此时sin2、5cos答：("边长AB为今(2) AB 4BC长度的最小值为5仞……14分18. (本小题满分16分)_LULffl UULT —解：(1)设点M (x , y)，由.2MQ PQ，得P x ,、.2y .因为P为圆O：x2 y22上的动点，2 2所以x22y 2，即22 y2 1 ,2所以当点P运动时，点M始终在定椭圆22 y2 1 上. ……4分(2)①设Ag , y1), B(X2 , y2),当％ 0时，直线AT的方程为：y % 上1 x为，即%y皆y；,y1因为xj y12 2，所以X1X %y 2 ,当％0时，直线AT的方程为：X2,综上，直线AT的方程为：NX 2 .同理，直线BT的方程为: X2X y?y2. 又点T 2, t (t R)在直线AT, BT上,4 0 ,则2x1 ty1 2，①2x2 ty2 由①②知，直线AB的方程为：2x 所以直线AB过定点 1 ,0 . ②设C(X3 , y a), D(X4 , y4),贝y O到AB的距离d2AB 4 t2 '2x ty 2由『2 J得(t 8)y4ty 2，②ty 2 ....... 9分2 r2 d2 2. £ 4 .……11 分所以AB < .2 .……16分CD19. （本小题满分16分） 解：设等差数列a n 的公差为d .(1)①由 a 25 , S 5 40得， a 1 d 5, 5a 15 4 2 d 40,..... 2分解得a 12, d 3 .所以b 21 色 24分a 2a 2 5②因为数列b n 为等差数列，所以2b 2b 14，即2 蛍1S 1 1 S 3 1 .a 2 a 1 a a2所以2a 1 d 13 a 1 d1 ，解得 a 1d ( d 0已舍）.6分a 1da 1 2dn n 1此时， b n S n1 a 1丄- 1 n18分a nna t2(2) 因为a a ! 1 aa 1 1 d 是数列 a n的第a 1 1项，因为无穷数列 a n 的各项均为互不相同的正整数，所以 a 1 N * , d Na na a1 (d 2) 1a 12a 122,a 1aa !(d 2) 1印印(d 2)d ,~2t 813分4 2t (t2TXi ： < 2 ^)2t 2 2 < 2 (t 2 4)2 t 2 46) > 0 (显然)的第a 1（d 2） 1项, 2) 11 d 是 a 1 (d (t 24)t 24CD 4 t 8 2 .?~42t 2 80 ,又 a 1 a 1 a 1 (d 2) 1,所以数列a n 中存在三项a i , a ai ! , a ai (d 2)1按原来的顺序)20. (本小题满分16分)解：(1)设直线y kx 1与f(x)的图象的切点为(x 0 ,e“).所以 e x0(x 0 1) 1 0 .令 (x) e x (x 1) 1 , (x) e x x .令(x)所以min (x)(0) 0,所以x 0 0 ,所以k 1 .x(2) h(x) e x mx 2 (x 0).令 h(x) 0 得 与 m .xx “e (x 2)32当x 2时，t(x)有最小值t(2) e 4 m .因为t(x)在(0 ,)上的图象是连续不断的,2当m ep 时，t(x) 0在(0 ,)上恒成立，所以h(x)在(0 ,)无零点; 当m 牙时，Mx) 0所以h(x)在(0 ,)有且仅有一个零点;2 彳当m 亍时，此时t ming t(2) 0，因为t m所以t(x)在(0,2)上有且仅有一个零点.3m.又因为 t(3m)豆三 m4(e 3m 9m3), 9m9m成等比数列. …16分因为f (x)e x ，所以e x0 k xe 0kx 01x令 t(x)禺 m (x 0) , t (x)丄 丄m 2e mm m 2 e m —m令u(x) e x 则u (x) e x 1 x , x (2,),x2u (x) e x 2x，所以u (x) e x所以u (x)在(2,所以u (x)在(2,所以u（x）在（2,所以所以所以3me）上单调递增，所以u （x） u）单调递增，所以u（x） u（2））单调递增，所以u（x） u（2）3x3在（2,）恒成立,小39m ,h(x)在(0 ,综上所述，m (3)因为f(x) 即t(3m) 0，所以t(x)在(2,）上有两个零点.2er时,2e T时，e x在所以f(X2) f(x),所以f(X i) f(X2)X2h(x)在(0，h(x)在(0，h(x)在(0 ,X i仏)X2）无零点;）有且仅有e2e2e2）上有且仅有一个零点.个零点;）有两个零点.上单调增，且f (X i)XX2X.eX i ,e xx2x i$ Je eX.ee X10分2(X2令(X)X i)因为x所以（x）X2 Xi eX2 X eXe所以(0)i (x2(X20), (x) 0,所以0 ,所以（）式成立，所以【选做题】本题包括AX i) X2Xli().2e x(e x2 (e x i )22(e x i ):(x)在(0 ,)上单调递增,(X)f(X i) f(X2) f(X2) f(X i)X2i6分X数学H（附加题）B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作演算步骤.C.［选修4—1几何证明选讲］(本小题满分10分)证明：因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以EAD BCD .因为BC BD，所以BCD BDC . 又BAC EAF ,BAC BDC ,所以EAD EAF，即AE平分DAF .D.［选修4—2:矩阵与变换］(本小题满分10分)解：设P(x , y)是I : 2x y 3上任意一点，1 a在矩阵M 对应的变换得到点为(x, y ),b 3由1 a x x x，得y y x ay , bx 3y , ..... 5分b 3y代入直线I:2x y 3，得( 2 b)x (2a 3)y 3, ……7分2所以b 2,解得a 1, b 4. ……10分2a 3 1 :C.［选修4 —4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)解：将直线I化为普通方程，得y tan (x m)3分2 2将椭圆C化为普通方程，得x y 1.……6分25 9因为a 5,b 3,c 4，则右焦点的坐标为(4,0) .8分而直线l经过点(m,0),所以m 4.8分……10分（当且仅当a i a2 a3 3时等号成立）8分D.［选修4 —5:不等式选讲］(本小题满分10分)证明：因为a1, a2, a3均为正数，且丄丄丄1 ,a 1 a2a3J所以a1 a2 a3 (a a? a3)丄1—》3 a1a2a3 3 3丄19 ,a*i a2 83 a i a2 a3（当且仅当a i a 2 a 33时等号成立）8分3447 719 .(2)猜想:a n =2n因为k k!(k 1) 1 k! (k 1) k! k! (k1)! k!,又由概率分布的性质可知k5P( 15k) 1 ,55即 k k! 1 k k! 1 (k 1)!k! 1 6! 1!719 1k1 c c k 1ck 1 cc所以 c719.由（ 1)知 P( k) k k!)719,k N *,k6 ,于是 P(2)2 2! 4,P(1) 1 ，亠 5 P( 3) 3 3! 719719 719719P(4) 4 4!96 ,P(5)5 5! 600719719719719 .解：（1）18 预，证明：①当n 1 , 2, 3时，由上知结论成立;②假设 k 时结论成立, 则有 a kC k 1 Ck TC k 21 时，a k1C 0 1c k 3 C k 1 1 2C k C k 1 2 C k+1 3k+1C k+1 k+1~ck+1 ~2所以a 1 a 2 a 3》9 .10分【必做题】第22题、第 23题，每题 10分，共计20分. 22. （本小题满分10分） 所以1 18 96 7195^ 10分23. （本小题满分10分）解：(1) ai= 2 , a 2=4 ,a 3= 8 .由c k c n 1 c：得C0C1：C k+k 1 C： 12C：-1C k+k2C k 2 C： 222C： 3 c k 3 K3K2a： i2k 又c k+1a k 所以a k C01 ~2~1 J ^(C k2(C：由①②得,C1： 2c1：11)!k!(k 1)!2k2k2k1(C0k+1C k+1 k+12C23亍C： 3C k 322C k 212(2 k2n1)!(k 1)(k 1)k!(k 1)!C1：22C： 32C： k矿C： k刃C：1k-1FT~2：+1 C k+1 k+12 ：+1 ，k+1C：+1 ：+1、厂)k k+1C k+1 k + C k+1 k k21)!(2k 2)(k 1)!(k 1)!c：1k-12c：C：+1k2C k+1—C k+1 k 1：+1C：+1 ： 1o~ ),21时结论也成立.10分。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷(10)理
（第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（10）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则AB =2． 在复平面内，复数－3＋i 和1－i 为 ▲ ．3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20将400名学生随机地编号为1~400分为20个组．若第1为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ． 4． 幂函数2()f x x -=的单调增区间为 ▲ ． 5． 执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6． 在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，则△ABP 的最大边是AB 的概率 为 ▲ ．7． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ▲ ．8． 设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ， 2120n n a a -+<”的 ▲ 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一） 9． 已知正三棱柱111A B C ABC -的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为 ▲ ． 10．定义在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上的函数5cos 2y x =的图象与2sin y x =-的图象的交点横坐标为0x ，则0tan x 的值为 ▲ ．11．已知函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．若函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．DE12．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 是以AD 为直径的半圆上任意一点，则AE BP ⋅的取值范围是 ▲ ．13．已知正数x y ，满足221x y +=，则18x y+的最小值为 ▲ ． 14．已知等差数列3-的首项A ，若数列A 恰有6项落在区间1A -内，则公差AD 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，b =π6B A -=． （1）求sin A 的值；（2）求c 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，F 为 PO 的中点.（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB，求证：CF ⊥平面PBD .17．(本小题满分14分已知椭圆E ：222210x y a b a b +=>>()的右准线的方程为4x =，左、右两个焦点分别为1(F -，2F . （1）求椭圆E 的方程；（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1FC 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在 x 轴上方），且12FC F B +等于椭圆E （第16题）ABCDPOEF（第18题）求直线1FC 的方程.18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成 直四棱柱1111A BC D ABCD -，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，DAB ∠=60°，1AA AD =，设DAO θ∠=．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）当sin θ取何值时，四棱柱1111A BC D ABCD -的体积最大？并求出最大值． （注：木材的长度足够长）19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．（1）若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立，求a 的 取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数()2ln f x t x =，2()g x x k =-（t ∈R ，k ∈R ）． （1）当1k =时，① 若函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求t 的值；② 若曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当1t =时，设()()()h x f x g x =-，若函数()h x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：1212x x +>．2018年高考模拟试卷（10）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径OA 与OB 互相垂直，E 为圆O 上一点，直线OB 与圆O 交于另一点F ，与直线AE 交于点D ，过点E 的切线CE交线段BD 于点C ．求证：2CD CB CF =⋅． B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，0614⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ．若矩阵C 满足=AC B ，求矩阵C 的特征值 和相应的特征向量．B DCEAOF（第21-A 题）（第22题）C ．[选修：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最大距离． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知a b ∈R ，，且a b >，求证：22122a a ab b+-+≥23b +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知定点()0,3R -，动点P Q ，分别在x 轴，y 轴上移动，延长PQ 至点M ， 使得12PQ QM =，且0PR PM ⋅=． （1）求动点M 的轨迹C ；（2）过点()0,2T 任作一条直线与C 相交于A B ，，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．求证：动点D 在定直线上．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列．在{}n a 的每相邻两项之间插入这两项的算术 平均数，得到新数列{(1)}n a ，这样的操作叫做该数列的1次“A ”扩展．连续m 次“A ” 扩展，得到新数列{()}n a m ．例如：数列1，2，3第1次“A ”扩展后得到数列1，32， 2，52，3；第2次“A ”扩展后得到数列1，54，32，74，2，94，52，114，3．1A 1C1M （1）求证：{()}n a m 为等差数列，并求其公差m d ；（2）已知等差数列{}n a 共有n 项，且111a d ==，．若{()}n a m 的所有项的和为()n S m ，求使22()2017n S n n ->成立的n 的取值集合．2018年高考模拟试卷（10）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】(1, 2) 2．【答案】3．【答案】3914．【答案】(0)-∞，5．【答案】4【解析】当4n =时，2322214S =++=，此时S p <不成立． 6．1【解析】设AD a =，当AB AP=时，222(2)(2)(2a a a PC PC a PC a =+-⇒==或（舍），所以所求概率为：11． 7．【答案】221520y x -= 【解析】由双曲线的渐近线方程b y x a=±可知2b a =；又由题意5c =，那么a =曲线方程为221520y x -=． 8．【答案】必要不充分【解析】由222121(1)n n n a a a q q --+=+，因为2210n a q ->，所以要使2120n n a a -+<，必须 10q +<，即1q <-，所以“0q <”是“2120n n a a -+<”的必要不充分条件．9．【答案】21π【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线1M M 的 中点，连结1A O ，11A M ，所以三角形11A M O 为直角三角形，132M O =，11A M 1A O =，所以该棱柱外接球的表面积为24π21π⨯=．10．【答案】34【解析】令5cos 22sin x x =-，即25(12sin )2sin x x -=-，所以210sin sin 30x x --=，因为()π02x ∈，，所以3sin x =，即03sin x =，从而03tan 4x =．11．【答案】104m -<<【解析】依题意，x m +22010x x x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥． 即2010x x x m x x ⎧+<=⎨-⎩，，，≥．记函数20()10x x x g x x x ⎧+<=⎨-⎩，，，≥． 结合函数()g x 图象知，104m -<<．12．【答案】2⎡⎤⎣⎦【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(2,0)B ， (1,2)E ．设(cos ,1sin )P +θθ，,22π3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦θ，所以5sin()AE BP ⋅=+θϕ，其中1tan 2=ϕ，且()0,2π∈ϕ．由于,22π3π⎡⎤+++∈⎢⎥⎣⎦θϕϕϕ，所以sin()1,sin()2π⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦θϕϕ，所以)⎡⎤+∈⎣⎦θϕ．13．【答案】【解析】()()()()222222221818641665y y x x x y x y x yy x y x +=+⋅+=++++，令0y t x =>，则()()222186411665t t x yt t +=++++，记()22641()1665p t t t t t=++++， 由()0p t '=得，2t =．经检验，当2t =时，min ()125p t =，所以18x y +的最小值为14．【答案】99[,)87【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由11a =-，由数列{}n a 恰有6项落在区间1(,8)2内，得1670,1,21,28,8,n n n n d a a a a +++>⎧⎪⎪≤⎪⎪⎨>⎪⎪<⎪⎪≥⎩即0,31,23,295,96,d n d n d n d n d >⎧⎪⎪-≤⎪⎪⎪>⎨⎪⎪+<⎪⎪+≥⎪⎩令32y d =， 则0,1,,15,661 1.6y y n y n y n y n >⎧⎪≥-⎪⎪<⎪⎨>+⎪⎪⎪≤+⎪⎩0n >时， 该不等式表示的区域为如图所示的四边形ABCD 内部，及其边BC 、CD (不含顶点B 、D )，其中(1,1)A ，116(,)55B ，127(,)55C ，66(,)55D ．n *∈N ，2n ∴=，此时7(2,6P ），4(2,)3Q ，7463y ∴<≤，即734623d <≤，9987d ∴≤<，∴公差d 的取值范围是99[,)87． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC 中，因为1a =，b =π6B A -=，由正弦定理得，1sin πsin 6A A =+， …… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+，即cos A A =， …… 4分又22sin cos 1A A +=，所以sin A ． …… 6分（2）由（1）知，cos A =，则sin 22sin cos A A A =，213cos212sin 14A A =-=， …… 10分在△ABC 中，因为πA B C ++=，π6B A -=，所以5π26C A =-．则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-116n +1566n =+113214=⨯1114=． ……12分由正弦定理得，sin sin a C c A == …… 14分16．(本小题满分14分) 【证】（1）连接OE ，因为PD // 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD面ACE OE =，所以PD //OE . …… 3分因为四边形ABCD 是正方形知，所以O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点. …… 6分 （2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以OC ，所以PC OC =.因为F 为PO 中点，所以CF PO ⊥. …… 8分 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD . …… 10分 而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC PC ⊂平面PAC ，ACPC C =，所以BD ⊥平面PAC ， …… 12分 因为CF ⊂平面PAC ，所以BD CF ⊥. 因为,PO BD ⊂平面PBD ，POBD O =，所以CF ⊥平面PBD . …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题设，c =2a c = …… 3分得29a =，2221b a c =-=，故椭圆方程为2219x y +=. …… 6分（2）连结BO 并延长交椭圆E 于D ，则易证1F OD ∆≅∆ ABCDPOEF所以12OF D OF B ∠=∠. 因为12180CFO BF O ∠+∠=，所以11180CFO DFO ∠+∠=，所以1,,C F D 三点共线. …… 8分 当CD x ⊥轴时，不合题意；当CD 不与x 轴垂直时，设:(CD y k x =+ ，代入椭圆方程并化简得2222(19)7290k x x k +++-=， …… 10分 设1122(,),(,)C x y D x y ，则1,2x =，所以22122236(1)()(19)k x x k +-=+. 又2222212122236(1)()()(19)k k y y k x x k +-=-=+，所以2222212122236(1)()()4(19)k CD x x y y k +=-+-==+ ，得k =，…… 13分所以直线1F C 的方程为y x =+. …… 14分18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，2cos AD θ=，所以梯形的高sin 603h AD θ==．又2cos(60)AB θ=-，2cos(120)CD θ=-， …… 3分 所以梯形ABCD 的面积12cos(60)2cos(120)3cos 2S θθθ⎡⎤=-+-⨯⎣⎦ …… 5分 cos(60)cos(60)3cos θθθ⎡⎤=--+⨯⎣⎦(2sin60sin )θθ=3sin 22θ=（2dm ）． …… 8分 （2）设四棱柱1111A B C D ABCD -的体积为V ，因为12cos AA AD θ==，所以123sin 22cos 6sin (1sin )2A V S A θθθθ=⋅⨯==-． …… 10分设sin t θ=，因为060θ︒<<，所以0t ⎛∈ ⎝， 所以23()6(1)6()V t t t t t =-=-+，0t ⎛∈ ⎝．由2()6(31)18(V t t t t '=-+=-， …… 12分令()0V t '=，得t =，()V t 与()V t '的变化情况列表如下：由上表知，()V t 在t =时取得极大值，即为最大值，且最大值V…… 15分答：当sin θ时，四棱柱1111A B C D ABCD -3dm ． 16分19．(本小题满分16分)解：（1）由条件知13n n b b +-=，即23n n a a +-=， …… 2分 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3． 由1a a =，322a a =+，所以3123a a a -=+=，即1a =， 所以11a =，22a =．所以22(1)(1)323322n n n n n S n n n --⎡⎤⎡⎤=+⨯++⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． …… 5分 （2）① 由2n T n =，得121n n n b T T n -=-=-（2n ≥），由于11b =符合上式，所以21n b n =-（n *∈N ）， …… 7分 所以121n n a a n ++=-． 所以1(1)()n n a n a n +--=--，即11(1)n n a na n +-=---，所以数列{}(1)n a n --为等比数列，且公比为1-，因为10a a =>，所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-（n *∈N ）． …… 10分② 不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥， 由于121n n a a n ++=-，所以不等式即为10n n a a +≥． 当n 是奇数时，(1)n a a n =+-，1n a a n +=-+，所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥， 即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立，所以26a a -+-≥，解得23a -≤≤． …… 13分 当n 为偶数时，(1)n a a n =-+-，1n a a n +=+，由10n n a a +≥，得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ，且2n ≥恒成立， 所以22a a ---≥，解得21a -≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围是01a <≤． …… 16分 19．(本小题满分16分) 20．(本小题满分16分)解：（1）当1k =时，2()1g x x =-，所以2()t f x x'=，()2g x x '=．① 由题意，切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，所以1t =． …… 2分② 设函数2()()()2ln (1)h x f x g x t x x =-=--，(0)x ∈+∞，． “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有 一个零点”．求导，得2222()2t t xh x x x x-'=-=．（ⅰ）当0t ≤时，由(0)x ∈+∞，，得()0h x '≤，所以函数()h x 在(0)+∞，单调递减． 因为(1)0h =，所以函数()h x 有且仅有一个零点1，符合题意． …… 5分（ⅱ）当0t >时，()h x '=，当x 变化时，()h x 与()h x '的变化情况列表如下：所以函数()h x在(上单调递增，在)∞+上单调递减，所以当xmax ()ln 1h x h t t t ==-+． 注意到(1)0h =，且(1)0h h =≥， 若1t =，则max()0h x =，所以函数()h x 有且仅有一个零点1，符合题意．若01t <<，取11 e x -=∈ ，11()e0h x -=-<，所以函数()y h x =存在两个零点，一个为1，另一个在1(x ，与题意不符． 若1t >，取2)x t =+∞，由于2222222()2ln 1210h x t x x tx x =-+<-+=， 所以函数()y h x =存在两个零点，一个为1，另一个在2)x ，与题意不符． 综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的取值范围是0t ≤或1t =． …… 9分（2）当1t =时，2()2ln h x x x k =-+．因为12()()0h x h x ==，所以2211222ln 2ln 0x x k x x k -+=-+=， 即2211222ln 2ln x x x x -=-．令2()2ln x x x ϕ=-，则22(1)2()2x x x x x-'ϕ=-=，当01x <<时，()0x 'ϕ>，当1x >时，()0x 'ϕ<， 所以()x ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()x ϕ在1x =处有极大值，所以1201x x <<<．令()()(2)s x x x ϕϕ=--，(0,1)x ∈， …… 12分 则()()()244440222s x x x x x'=->-=-+-，所以()s x 在(0,1)上单调递增，从而()(1)0s x s <=， 所以211()()(2)x x x ϕϕϕ=<-，而()x ϕ在(1,)+∞上递减，且211,21x x >->，所以212x x >-，即1212x x +>． …… 16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 【证】连结OE ，则OE CE ⊥，因为OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠． …… 2分 因为OA OB ⊥，所以90ODA OAE ∠+∠=， 因为OE CE ⊥，所以90OEA CED ∠+∠=，所以ODA CED ∠=∠， …… 6分 所以CD CE =．因为CE 是圆O 的切线段，所以2CE CB CF =⋅，所以2CD CB CF =⋅． …… 10分 B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ，由=AC B ，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0,1,6,4,a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩解得1,2,1,4.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦C ． …… 5分 设212()(1)(4)25614f λλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=． 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．B DCEAOF因为()πsin 33ρθ-=，所以()1sin 32ρθθ=， …… 2分将其化为普通方程，得3x -y +6=0． …… 4分 将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得x 2+y 2=4． …… 6分 所以圆心()00O ，到直线l ：3x -y +6=0的距离d==3． …… 8分所以P 到直线l 的最大距离为d +2=5． …… 10分 D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 【证】因为a b ∈R ，，且a b >， 所以221222a b a ab b +--+212()()a b a b =-+- 2)(1)()(b a b a b a -+-+-= …… 5分≥33=， 所以22212b ab a a +-+≥32+b ． …… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)（1）解：设(,)M x y ，0(,0)P x ，0(0,)Q y ．由1PQ QM =，得0001(,)(,)x y x y y -=-，即00122x x y y⎧=-⎪⎨⎪=⎩． …… 2分因为0PR PM ⋅=，所以00()()30x x x y ---=，所以24x y =．所以动点M 的轨迹C 为抛物线，其方程为24x y =． …… 5分 （2）证：设直线AB 的方程为2y kx =+，代入24x y =，得2480x kx --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有128x x =-． 直线AO 的方程为11y y x x =；直线BD 的方程为2x x =，所以交点1221(,)y xD x x ．7分 设2121x x y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，注意到128x x =-及2114x y =， 则有1121211824y x x y y y x -===-，因此动点D 在定直线2y =-（0x ≠）上． …… 10分 23．(本小题满分10分)（1）证：① 当1m =时，n a 与1n a +的算术平均数为12n n a a ++， 则11112222n n n n n n n n a a a a a a da a ++++++--=-==为常数， 所以当1m =时，数列{()}n a m 为等差数列，且公差12d d =． …… 2分② 假设当(1m k k =≥)时，数列{()}n a k 为等差数列，且公差2k kd d =， 则当1m k =+时，数列{()}n a k 中相邻两项()n a k 与1()n a k +的算术平均数为1()()2n n a k a k ++，由11111()()()()()()()()22222n n n n n n kn n k a k a k a k a k a k a k d da k a k +++++++--=-===， 知数列{(1)}n a k +中任意相邻两项的差为常数12k d +，所以当1m k =+时，数列{()}n a m 为等差数列，且公差112k k d d ++=．由①②可知，{()}n a m 为等差数列，且公差2m md d =． …… 5分（2）解：（方法一）由已知可知n a n =，设数列{()}n a m 的项数为m b ，则1(1)21m m m m b b b b +=+-=-，且121b n =-， 所以112(1)m m b b +-=-，所以11(22)2m m b n --=-⋅，即1(22)21m m b n -=-⋅+． 所以111((22)21)(22)21()((22)21)122m m m n m n n S m n ----⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅2(1)21m n n -++=． …… 7分 则22222222(1)21(1)221()22n n n n n n n n S n n n -++--++-=-=． 令222()(1)221(1x f x x x x x =--++≥)，则222222()22(1)2ln 22412(2(1)2ln 22)1x x x x f x x x x x x x '=⋅+-⋅⋅⋅-+=+-⋅⋅-+． 由1x ≥可知，2220x -≥，22(1)2ln 20x x -⋅⋅≥， 所以()0f x '≥，所以()f x 在[1)+∞，上单调递增．又因为(2)(3)2017201722f f <>，， 所以使22()2017n S n n ->成立的n 的集合为{}*|3n n n ∈N ，≥． …… 10分 （方法二）同上可得22222(1)21()n n n n S n n n -++-=-，令22()()n f n S n n =-，则222(1)221()2n n n n f n --++=2(1)[(1)2(21)]=2n n n n -+⋅-+ 2(1)[(1)22(1)1]2n n n n -+⋅-++=2(1)[(1)(22)1]2n n n -+⋅-+=， 则()f n 单调递增，以下同上． …… 10分。
2018年南通基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==+，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．ABCB 1C 1A 1MN （第16题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MAMC =． 求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）（第18题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b +=>>()且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值； （2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥．（第21—A 题）ABDP（第22题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 1171BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以11MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，， 则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即299n n --≤0，设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增．因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则342BM =，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x =+，19b y x =+，则10a b +=．因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a 知，当n 充分大，则2n a >，矛盾；若01q <<，由1a 知，当n 充分大，则1n a <，矛盾，所以1q =，从而1n a a =，所以π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．ABCB 1C 1A 1MN 因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos2x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为M N 与1AA 所成角的大小为90°，所以M N ⊥1AA ，因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以M N ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故M N ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ． （2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 1=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c =222(0)c a b c =->，解得2241a b ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为221x y +=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y -=．②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，． （3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+．所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是1p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤．设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得1e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e ．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 0a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 1c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y zy z x ++++≥，即()()()2222111111yx z x y z x y z y z x++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，(D 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，(1PD =0，设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ，，=-，()011PD ，，=-． 设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ．设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）．设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()(()1111!1!1!1111!1!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立）， 所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
高三数学-2018南通市学科基地数学科研卷2018531 精品
2018南通市学科基地数学科研卷 18.5.31一、填空题1．若不等式|ax+2|<6的解集为（-1，2），则实数a 等于 . 2．x 为三角形的一个内角，且22cos sin =+x x ，则x 2sin 等于 。
3．在某次数学测试中,学号为i(i=1,2,3,4)的四位学生的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89, 90},且满足f(1)<f(2)≤ f(3)<f(4).则这四位学生考试成绩所有可能情况有_ _ __种. 4．已知命题p ：若a ≥b ，则c d >．命题q ：若e f ≤，则a b <．若p 为真且q 的否命题为真，则“c d ≤”是“e f ≤”的 条件 . 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若3231510=S S ，则公比q 等于 . 6．已知集合(){}{}25log 5112,121A x x x B x m x m =-+≤=+<<-,若A B A =，则 .7．已知函数f(2x +1)是偶函数，则的f(2x )图象的对称轴是 .8．在二项式()0,,0,0)(12≠>>+n m b a bx ax n m 中有02=+n m ，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项，则ba的取值范围为 _ _. 9．P 是椭圆12222=+by a x 上的任意一点，F 1、F 2是它的两焦点，O 为坐标原点，21PF +=，则动点Q 的轨迹方程是 .10.锐角△ABC 中，若B=2A ，则ab的取值范围是 。
11. 已知函数)(x f 是R 上的减函数，A （0，-2），B （-3，2）是其图象上的两点，那么不等式2|)2(|>-x f 的解集是 .12.在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和最小:1=91+.二、填空题14．已知函数f(x) = 2sin ωx + 1在[0,4π]上单调递增，且在这个区间上的最大值为13+,则实数ω的一个可能值是 ( )A.32 B. 38C. 38或34D. 3415．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条定长为b 的线段， Q 是A 1D 1上的定点，P 是C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积 （ ） (A)变量且有最大值；(B)是变量且有最小值；(C)是变量无最大值最小值；(D)是常量.16．在圆x y x 522=+内，过点),(2325有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为 数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差],(11∈d ，则n 的取值集合为 ( ) A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} C.{3,4,5} D.{3,4,5,6} 三、解答题17．已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在[]6,6ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值； （3）在（2）条件下)(x f 先按平移后再经过伸缩变换后得到.sin x y =求. 解：18．已知函数ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当∈x （2,3-）时，;0)(>x f当∈x （3,-∞-）),2(+∞ 时，0)(<x f （Ⅰ）求)(x f 在[0，1]内的值域；（Ⅱ）c 为何值时，c bx ax ++2≤0的解集为R. 解：19. 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ，CD=a ，F 为BE 的中点。
江苏省南通市2018年中考数学试题
江苏省南通市2018年中考数学试题第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）A ．4B ．2C ．2±D ．2-2.下列计算中，正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()328a a = C ．325a a a += D ．842a a a ÷=3.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．3x ≥B ．3x <C ．3x ≤D ．3x >4.函数y x =-的图象与函数1y x =+的图象的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.下列说法中，正确的是（ ）A.—个游戏中奖的概率是110，则做10次这样的游戏一定会中奖 B.为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D. 若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小6.篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分.某篮球队共进行了 6场比赛，得了 12分，该队获胜的场数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.如图，//AB CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交,AB AC 于点E F 、，再分别以E F 、为圆心，大于12EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若110ACD ∠=︒，则CMA ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．35︒C ．70︒D ．45︒8.—个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）A ．232cm πB ．23cm πC ．252cm π D ．25cm π 9.如图，等边ABC ∆的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A B C →→的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为()x s ，2y PC =，则y 关于x 的函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10.正方形ABCD 的边长2AB =，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE BD 、相交于点M N 、，则MN 的长为（ ）A B 1- C D 第Ⅱ卷（共120分）二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.“辽宁舰”最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为 ．12.分解因式：3222a a b ab -+= ．13.正n 边形的一个内角为135︒，则n = ．14.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 ．15.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点，若35BC AB ==，，OD BC ⊥于点D ，则OD 的长为 ．16.下面是“作一个30︒角”的尺规作图过程.已知：平面内一点A .求作：A ∠，使得30A ∠=︒.作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作孤，与O 交于点D ，作射线AD .DAB ∠即为所求的角. 请回答：该尺规作图的依据是 ．17.如图，在ABC ∆中，90,3,4C AB BC ∠=︒==，点O 是BC 中点，将ABC ∆绕点O 旋转得A B C '''∆，则在旋转过程中点A C '、两点间的最大距离是 ．18.在平面直角坐标系xOy中，过点()3,0A作垂直于x轴的直线AB，直线y x b=-+与双曲线1yx=交于点()()1122,,,P x y Q x y，与直线AB交于点()33,R x y，若123y y y>>时，则b的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（111220133tan303-⎛⎫+--+︒⎪⎝⎭；（2）解方程：11322xx x-=---.20.解不等式组()3214213212x xxx⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩①②，并写出x的所有整数解.21.“校园安全”受到全社会的广泛关注.某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为度；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解” 程度的总人数.22.四张扑克牌的点数分别是2, 3, 4, 8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上.（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回‧‧‧，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率.23.如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60︒方向行驶12 千米至B 地，再沿北偏东45︒方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求,B C 两地的距离.（结果保留根号）24.如图，ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 延长线于点F .（1）求证：CF AB =；（2）连接BD BF 、，当90BCD ∠=︒时，求证：BD BF =.25.一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh ，两车之间的距离为ykm ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系.根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为 /km h ，快车的速度为 /km h ；（2）解释图中点C 的实际意义，并求出点C 的坐标；（3）求当x 为多少时，两车之间的距离为500km .26.如图，ABC ∆中，6,,AB cm AC BC ===，点P 以1/cm s 的速度从点B 出发沿边BA AC →运动到点C 停止，运动时间为ts ，点Q 是线段BP 的中点.（1）若CP AB ⊥时，求t 的值；（2）若BCQ ∆是直角三角形时，求t 的值；（3）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 的关系式，并写出t 的取值范围.27.已知，正方形 ABCD ，()()()()0,4,1,4,1,5,0,5A B C D ----，抛物线224y x mx m =+-- (m 为常数)，顶点为M（1）抛物线经过定点坐标是 ，顶点M 的坐标（用m 的代数式表示）是 ；（2）若抛物线224y x mx m=+--(m为常数)与正方形ABCD的边有交点，求m的取值范围；（3）若45ABM∠=︒时，求m的值.28.如图，O的直径26AB=，P是AB上（不与点A B、重合）的任一点，点C D、为O 上的两点.若APD BPC∠=∠，则称CPD∠为直径AB的“回旋角”.（1）若60BPC DPC∠=∠=︒，则CPD∠是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若CD的长为134π，求“回旋角”CPD∠的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120︒，且PCD∆的周长为24+AP的长.。
(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
4高三数学试卷第1页共17页2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第I 卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 .已知集合 A={1 , 4}, B={ x|1< x <3}，则 A H B= ▲ .22. 设复数z （2 i ） （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲3. 函数的y ... 3 log 2 x 定义域为 ▲4. 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为:s 0i[| :t 1t I 'For I From 1 To 3 !|:s s+I :'t 11 II:End For 丨r stii:Print ri i ! ________________________________________ i（第4题）5. 如图是甲、乙两位同学在 5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小） 的那一位同学的方差为 ▲.6. 将黑白2个小球随机放入编号为 1, 2, 3的三个盒子中，则黑白两球均不在 1号盒子 的概率为 ▲ .7. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数y cos2x 的图象向右平移 一个单位得到g （x ）的图6象，贝U g （—）的值为▲ .22y 28.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 198 79 210013（第 5 题）近线的距离为—▲卄丄冗 c r「sinx 2cosx砧/古斗▲9. 若tan x 3，贝U 的值为▲4 3sinx 4cosx10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x€ R都有f(x+4)= f(x)+ f(2), f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为▲.11.已知S n为数列｛a n｝的前n项和，且a； 1 a n1a n 1, S I32a13 , 则｛a n｝的首项的所有可能值为▲.5 0与圆C 2212.在平面直角坐标系xOy中，已知直线丨：3x 4y:x y 10x 0交A, B两点，P为x轴上一动点，则△ ABP周长的最小值为▲.2 亠x x a , x > a ,、卄13. 已知函数f (x) 2记A ｛x|f(x) 0｝，右AI ( ,2)x x 3a, x a .则实数a的取值范围为▲.14. 若厶ABC中，AB= , 2，BC=8, B 45°,D ABC所在平面内一点且满足uuu uuur uuur uur(AB AD) (AC AD) 4，贝V AD长度的最小值为▲二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)如图，在厶ABC 中，a, b, c 为A B, (1)求证：sinC 2sin( A B)；3(2 )若 cos A，求 tanC 的值.5请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字 1C 所对的边，CD 丄AB 于D ，且BD AD c .2(第 15 题)16. (本小题满分14分)在正四棱锥V ABCD 中，E , F 分别为棱VA , VC 的中点. (1) 求证：EF //平面 ABCD ; (2) 求证：平面 VBD 丄平面BEF .锥的底面半径都为r cm .圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为 45° ;圆柱的高为18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : £ 占1(a b 0)离心率为甘，其短轴a b 2长为2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，A 为椭圆C 的左顶点，P , Q 为椭圆C 上两动点，直线 PO 交AQ 于E ,17. (本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为 90 n cm 3, (第16题)它是由圆锥和圆柱两部分连接而成， 圆柱与圆h 2 cm .已知圆柱底面的造价为 2a 元/ cm 2,圆柱侧面造价为a 元/ cm 2,圆锥侧面造价为、.2a 元/cm 2. (1) 将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域; (2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？h 2（第 17题）存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) x k lnx, k N *， g(x) cx 1，c R . (1) 当k 1时，① 若曲线y f (x)与直线y g(x)相切，求c 的值；② 若曲线y f (x)与直线y g(x)有公共点，求c 的取值范围.(2) 当k >2时，不等式f (x)>ax 2 bx >g(x)对于任意正实数x 恒成立，当c 取得 最大值时，求a ,b 的值.直线 QO 交AP 于 D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1 , k 2，且k ,k 2 luir ADuir uur DP ， AEuu n EQ19.(本小题满分 16分）设数列｛a “｝的前n 项和为 S n ， 已知 a 1 1 ，S n 1 1 （ n N ）.(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列;(2)若数列｛b n ｝满足：b! 1，b n b n7an 1①求数列｛b n ｝的通项公式; ②是否存在正整数n ,使得4 n 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不为非零实数)2S n2018年高考模拟试卷（2）数学u （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定 两题，并在相应的答题区域内作答 A .［选修4 —1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 上两点，EM = EN ,点F 在MN 的延长线上.求证：/B .［选修4— 2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下，四边形 ABCD 变成四边形 ABCD ，其中 A(1 ,1) , B( 1 , 1) , C( 1 , 1) , A (3,3) , B( 1 ,1) , D (1, 1). (1) 求矩阵M ;(2) 求向量DC 的坐标.x = t ,l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方y = t — 3程是p= 4cos 0,求直线I 被圆C 截得的弦长.D .［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）E ,F . M , N 为 AB , CD BFM = Z AFM .C .［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 A已知 x>0, y>0, z>0, 2x 2y z 1，求证:【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内.作答. 22. (本小题满分10分)某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛.已知该同学数学获一等奖的概率为 2，物理，化学，生物获一等奖的概率都是-1，且四门学科 32是否获一等奖相互独立.(1) 求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； (2) 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望 E X23. (本小题满分10分)已知函数 f(x) x x 1，记 f ’(x) f(x)，当 n 》2 时，f n (x) f n1(f(x)). (1) 求证：f 2(x)在(1,)上为增函数；(2) 对于任意n N *，判断f n (x)在(1,)上的单调性，并证明.3xy yz zx < -.52018年高考模拟试卷(2)参考答案、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.{1}【解析】依题意，A n B={1} 3 4i 【解析】由于z (2 i)23 4i ，所以z 的共轭复数为3 4i .0,8【解析】由3 log 2x > 0,解得0 x < 8 .36【解析】s 1 2 3 6, t 1 2 3 6，输出的结果r 6 6 36.2【解析】由茎叶图可知， x 88 89 90 91 9290 ,c1 5一 c所以甲的方差为s2 5,1(x ' x)2 2；有2 2 4种，所以概率为4 .2x的距离为4.3 1 2 得 sin x 2cos x tan x 21 ( 3)' 3sin x 4cos x 3tan x 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以2,得 f(2)= f( 2)+ f(2)，所以 f( 2)=0，f(2)=0，所以 f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f(2【解析】g(x) cos 2x3，所以 【解析】一条渐近线 y2x 与右准线xg (2) cos 5的交点为 5_1 32 .乙卫)，其到另一条渐近 5将以上各式相加，得 12. 14【解析】设直线11. 3, 4【解析】因为 所以 a 2 1 a ； a ：, 又S 3a 123，所以a f同理乙的方差为 4，所以比较稳定的是甲.9【解析】所3 3 9 种, “黑白两球均不在1号盒子”【解析】由tan x tan x10.x= 1) + f(2)= f(1)+0= 4 .对称点为B ，易知B B 恰为圆C 的直径，记A B 与x 轴 交于点 Q ,则 PA PB PA PB >AB ,所以△ ABP 的周长的最小值为 AB AB ，易求得结果为14.再考虑临界位置不难求解.14. 2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意,设所以uuuuur设 D(x , y)，所以 AB ( 1 ,1)，AC1v (m n)2 (7m n)2 1 .50m 2 2n 2 12mn8 8当且仅当5m= n= 2 5时，AD 取得最小值 2 . 二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 15. (本小题满分14分)(1)证明：因为BD AD ,2n24> 8210mn2413.,丄【解析】条件可转化为函数 f(x)4在(，2)上存在零点， 所以方程x 2 | x a | 2a 有根，所以函数g (x) x 2与h(x) | x a | 2a 的图象 有交点的横坐标在(，2)上，注意到函数h(x) | x a | 2a 的图象为顶点(x 2 |x a| 2a 6•—2a 」.，2一1—・一4 —_2 .a , 2a )在直线y=2x 上移动的折线,uuu UULT 所以(AB AD)LULT uur(AC AD) (x y)(7x 即(x y)(y 7x)x 4，令y m，则 y 7x n 所以AD x 2 y 213B( 1 , 1y(7 ,y) xy8216. (本小题满分14分)(1)因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF // AC ,……3分又因为 EF 平面ABCD , AC 平面ABCD , 所以EF //平面ABCD .(2)连结 AC , BD 交于点O ，连结VO . 因为V ABCD 为正四棱锥， 所以VO 丄平面ABCD .又AC 平面ABCD ，所以VO X AC . 又因为 BD X AC , EF // AC , 所以EF 丄VO , EF 丄BD . •…又 VO , BD 平面 VBD , VO A BD=O 所以EF 丄平面VBD ,……12分又EF 平面BEF ，所以平面 VBD 丄平面BEF .……14分所以 acosB bcosAlC，由正弦定理，得sin AcosB 1sin B cos A —sin C ,所以 sin C 2sin(A B).(2)解：由(1)得，sin(A B) 2sin( A B),所以 sin AcosB cosAsinB 2(sin AcosB cos As in B),化简，得 3cos A si nB si n AcosB . 10分 又cosA 3，所以sinA 害，所以tanA ，tan B 9,12分所以 tanCtan(A B)tan A tan B 1 tan Ata nB48 1114分6分(第 16题)18.17. (本小题满分14分)(1)解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h r ,圆锥的体积为V 3 n 2h 1 3 n 3，圆柱的体积为 V n 2h 2 ...... 2分3 32d 3因为V V 90n ,所以 V 2n h 2 90 n 3n ,o所以h 2270 r 3 3r 290 rF 3...... 4分因为V 1 n390 n,所以 r 3-10 .因此0r 3310 .所以h 2270 r 33r 2 90 r孑3，定义域为 {r |0 r3310}....... 6分(2)圆锥的侧面积Sn . 2r 2 n 2,圆柱的侧面积Sa2 n h 2，底面积S 32n .……8分当3 r 3110时，f (r) 0 , f (r)在3,33 10上为单调增函数.因此，当且仅当r 3时，f(r)有最小值，y 有最小值90 n a 元.……13分(本小题满分16分) (1 )解：因为短轴长2b=2，所以b=1, ....................................................... 又离心率-¥，所以a 2c ,…… a 2 2 2 2 2 2所以a 2c 2(a b )，所以a 2 ,高三数学试卷第102 ni(r 2 rh 2 r 2) 2n a 2r 2「9° 310n a 「254••…10分3r令 f (r) r 254，则 f (r)2r 54r 2.令 f (r) 0 ,得 r 3 .容器总造价为y 2aS aS 2 2aQ当0 r 3时, f (r) 0 , f(r)在(0,3)上为单调减函数; 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm . 14分2 22 n a 2 n h 2a2 n ay|L2 分.JP4分、丿XX.E页共17页2对任意n N 都成立,高三数学试卷 第13页共17页2所以椭圆C 的标准方程为今 y 2 1 .……6分 (2)由(1),点 A( 42,0)，设 P(x ,yj , D(X o ,y °),则％ 匕儿,y ok 2X o ,所以221.所以数列｛ a n ｝为等比数列，首项为 1,公比为2.19. (本小题满分16分) (1 )解：由 S n 12£1，得 S n 2£ 1n 》2),两式相减，得a n 1 2a n o ，即an 12a n因为印1，由佝 a 2) 2耳1，得a 22，所以竺2 ,a 1an 1所以a nuur 因为ADiuur X DP ，所以Xoy o2(X 1 X o )L ①L ②’(y i y o )L L 由①得,■^X o X 1由②得，y 1宜 k X )k 2(X i 11分两边同时乘以k i 得,k 12x k i k 2(x i 所以 X1(1 2k 12)y i.2k 12，(1 2kf)代入椭圆的方程得, 1，14分同理可得， 2 -A122 丄2 k2k'1 2 k ；'16分(2)①由(1)知，a n 2n 116分由7冷，得b n1 7 2，n n 1 n n 1. _即 2 b n 1 2 b n 1，即 2 b n 1 2 b n 1 ,因为b 1，所以数列2n1b n是首项为1，公差为1的等差数列. 所以2n1b n 1 (n 1)所以b n茹.nb i ,i 1两式相减，(2)0(2)1(2)2 L (护1(1)n 1 ($TT22 (n 2) (2)n,所以T n 4 (2n 4) (l)n.12分n由b ii 14 n，得4 (2n 4) (A n，即显然当n2时，上式成立,设 f (n) 山 2n1( n Nn)，即f(2)因为f(n 1) f(n)常(罟 2所以数列f(n)单调递减,所以f(n) 0只有唯一解n所以存在唯一正整数n 2 , 使得nb 4 n成立.i 120.(本小题满分16分)(1)解：当k 1 时，f (x) xlnx，所以 f (x) 1高三数学试卷第12页共ln x .17页10分②设T n则T n 1 2 (2)11 23 G)2 L n (1)n1,所以1T n 1 ($ 2 3 (2)31、nn (寸),16分1ln沟c①①设切点为P(x°, y°)，则y。