大学物理平面任意力系
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第3章 平面任意力系
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化 第2节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第3节 物体系的平衡•静定和超静定问题 第4节 平面简单桁架的内力计算
1
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系实例
2
各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系叫平面任意力系。
n
MO MO (F1) MO (F2 ) ...... MO (Fn ) M o (Fi )
i 1
主矩与简化中心的选择有关
8
2.平面任意力系的简化结果
平面任意力系向平面内任一点简化，一般可以得到一个 力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简 化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各 力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。
5
二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
参见动画：平面任意力系向平面内任一点的简化
称点O为简化中心
6
平面力系向作用面内一点简化
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
7
1. 主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
18
例题
平面任意力系
例题2
主矢FR的方向余弦
cosFR , i
Fx 0.328 FR
cosFR , j
Fy 0.945 FR
C
则有
FR , i 70.84
FR , j 180 19.16
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 力系对O点的主矩为
–70.84o。MO
FRx
M O M O F
MO (FR ) FRd MO
n
而 MO M o (Fi )
n
i 1
MO (FR ) M o (Fi ) 合力矩定理得证
合力矩定理：平面任意力i系1 的合力对平面内任一点的矩等于
力系中各力对同一点的矩的代数和。
3．平面力系为平衡力系的情况
若FR′=0，MO=0，则原力系为平衡力系。
12
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
kN，F2=70 kN。求力系向点O简
9m
1.5m
F1 G1
3.9m
90
3m
B G2 A
O
5.7m
F2
x
化 的 结 果 ， 合 力 与 基 线 OA 的 交 点到O点的距离x，以及合力作用 线方程。
17
例题
平面任意力系
例题2
y
3m
C
解： 1.将力系向O点简化，得主矢和主矩，
如右图所示。
C
ACB arctan AB 16.7
CB
9m 1.5m
F1 G1
3.9m
90
F2
主矢的投影
3m
B G2 A x FRx Fx
O
5.7m
F1 F2 cos 232.9 kN
MO
O
FRx
A
FRy Fy
FRy
FR
G1 G2 F2 sin 670.1 kN
力系主矢FR的大小 FR (Fx )2 (Fy )2 709.4 kN
固定端约束
=
=
参见动画：插入端约束受力的简化
固定端A处的约束力可简化为两个约束力FAx、FAy和一个
矩为ＭA的约束力偶
9
动画
插入端约束实例
参见动画：插入端约束实例(机翼)
参见动画：遮雨蓬
10
三、平面任意力系的简化结果分析
1．简化为一力偶的情况
若FR′=0，MO0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为 n
14
例题
平面任意力系
例题1
主矢的方向：
cosFR
, i
FRx FR
0.614
cosFR
,
j
FRy FR
0.789
y
F2 A 60
B F3
°
FR , i 52.1 FR , j 37.9
y
A
B
2m
2. 求主矩MO
F1
F4 C 30° x MO
FR
O
3m
MO MO F
O
x C
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
平面任意力系
例题1
解： 求向O点简化结果
B
F3
F4
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx F2 cos 60 F3 F4 cos 30 0.598 kN
C 30° x FRy Fy
F1 F2 sin 60 F4 sin 30 0.768 kN
2m
所以，主矢的大小 FR FRx2 FRy2 0.794 kN
例题
平面任意力系
例题1
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力 构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
F4
C 30° x
O
3m
13
例题
y
F2
A 60°
F1
O
3m
15
例题
平面任意力系
例题1
最后合成结果
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。
如图所示。 y
y
A
B
A
B
MO
FR
O
FR
x
O
FR
x
C
C
FR FR 合力FR到O点的距离 d M O 0.51 m
FR
16
例题
平面任意力系
例题2
y
3m
C
重力坝受力情况如图所示。 G1=450kN，G2=200kN， F1=300
M O M o (Fi )
此时主矩与简化中心的选择无关。
2．简化为一i1 合力的情况
（1）若FR′0，MO=0，力FR′就是原力系的合力FR。 此时合力FR的作用线通过简化中心。
（2）FR′0，MO0，此时仍可合成为一个力。
d Mo FR
11
合力矩定理的证明：
作用于点O ′的原力系合力FR与作用在点O的FR′和力偶MO 等效，由力的平移定理有
O 70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m FRy
FR
2 355 kN m
一、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到刚体上任意
一点BHale Waihona Puke Baidu但必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等
于原来的力F对新作用点B的矩。 证明：
M Fd MB (F)
3
动画
力线平移定理
参见动画：平面力线平移定理
4
参见动画：钳工用丝锥攻螺纹(断)
为什么如此攻螺纹会断？
参见动画：力线平移实例
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化 第2节 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 第3节 物体系的平衡•静定和超静定问题 第4节 平面简单桁架的内力计算
1
第1节 平面任意力系向作用面内一点简化
平面任意力系实例
2
各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行 的力系叫平面任意力系。
n
MO MO (F1) MO (F2 ) ...... MO (Fn ) M o (Fi )
i 1
主矩与简化中心的选择有关
8
2.平面任意力系的简化结果
平面任意力系向平面内任一点简化，一般可以得到一个 力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简 化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各 力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。
5
二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
参见动画：平面任意力系向平面内任一点的简化
称点O为简化中心
6
平面力系向作用面内一点简化
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
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1. 主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
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例题
平面任意力系
例题2
主矢FR的方向余弦
cosFR , i
Fx 0.328 FR
cosFR , j
Fy 0.945 FR
C
则有
FR , i 70.84
FR , j 180 19.16
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 力系对O点的主矩为
–70.84o。MO
FRx
M O M O F
MO (FR ) FRd MO
n
而 MO M o (Fi )
n
i 1
MO (FR ) M o (Fi ) 合力矩定理得证
合力矩定理：平面任意力i系1 的合力对平面内任一点的矩等于
力系中各力对同一点的矩的代数和。
3．平面力系为平衡力系的情况
若FR′=0，MO=0，则原力系为平衡力系。
12
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
kN，F2=70 kN。求力系向点O简
9m
1.5m
F1 G1
3.9m
90
3m
B G2 A
O
5.7m
F2
x
化 的 结 果 ， 合 力 与 基 线 OA 的 交 点到O点的距离x，以及合力作用 线方程。
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例题
平面任意力系
例题2
y
3m
C
解： 1.将力系向O点简化，得主矢和主矩，
如右图所示。
C
ACB arctan AB 16.7
CB
9m 1.5m
F1 G1
3.9m
90
F2
主矢的投影
3m
B G2 A x FRx Fx
O
5.7m
F1 F2 cos 232.9 kN
MO
O
FRx
A
FRy Fy
FRy
FR
G1 G2 F2 sin 670.1 kN
力系主矢FR的大小 FR (Fx )2 (Fy )2 709.4 kN
固定端约束
=
=
参见动画：插入端约束受力的简化
固定端A处的约束力可简化为两个约束力FAx、FAy和一个
矩为ＭA的约束力偶
9
动画
插入端约束实例
参见动画：插入端约束实例(机翼)
参见动画：遮雨蓬
10
三、平面任意力系的简化结果分析
1．简化为一力偶的情况
若FR′=0，MO0，则原力系简化为一个合力偶。合力偶矩为 n
14
例题
平面任意力系
例题1
主矢的方向：
cosFR
, i
FRx FR
0.614
cosFR
,
j
FRy FR
0.789
y
F2 A 60
B F3
°
FR , i 52.1 FR , j 37.9
y
A
B
2m
2. 求主矩MO
F1
F4 C 30° x MO
FR
O
3m
MO MO F
O
x C
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
平面任意力系
例题1
解： 求向O点简化结果
B
F3
F4
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx F2 cos 60 F3 F4 cos 30 0.598 kN
C 30° x FRy Fy
F1 F2 sin 60 F4 sin 30 0.768 kN
2m
所以，主矢的大小 FR FRx2 FRy2 0.794 kN
例题
平面任意力系
例题1
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力 构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
F4
C 30° x
O
3m
13
例题
y
F2
A 60°
F1
O
3m
15
例题
平面任意力系
例题1
最后合成结果
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。
如图所示。 y
y
A
B
A
B
MO
FR
O
FR
x
O
FR
x
C
C
FR FR 合力FR到O点的距离 d M O 0.51 m
FR
16
例题
平面任意力系
例题2
y
3m
C
重力坝受力情况如图所示。 G1=450kN，G2=200kN， F1=300
M O M o (Fi )
此时主矩与简化中心的选择无关。
2．简化为一i1 合力的情况
（1）若FR′0，MO=0，力FR′就是原力系的合力FR。 此时合力FR的作用线通过简化中心。
（2）FR′0，MO0，此时仍可合成为一个力。
d Mo FR
11
合力矩定理的证明：
作用于点O ′的原力系合力FR与作用在点O的FR′和力偶MO 等效，由力的平移定理有
O 70.84
A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m FRy
FR
2 355 kN m
一、力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F平行移到刚体上任意
一点BHale Waihona Puke Baidu但必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等
于原来的力F对新作用点B的矩。 证明：
M Fd MB (F)
3
动画
力线平移定理
参见动画：平面力线平移定理
4
参见动画：钳工用丝锥攻螺纹(断)
为什么如此攻螺纹会断？
参见动画：力线平移实例