黑龙江省绥滨县2018届高三数学上学期第二次月考试题 理

2017-2018学年度高三第二次月考理科数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题：（每题5分，共60分。

）1．已知集合,则等于（ ）.A. 0B. 3C. 0或3D. 1或32．若复数z 满足()123i z i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）A. -2B. 2C. -4D. 43．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. ()0,1D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．函数()y f x =满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立， 且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称， ()14f =，则()()()201620172018f f f ++=（ ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 05．已知，不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为 （ ）A. B. C. D.6．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C =，则下面等式一定成立的为（ ） A. A B = B. A C = C. B C = D. A B C ==7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．π36B ．8πC ．π29 D ．π8278．在中，点O 是BC 的三等分点（靠近点B ），过点O 的直线分别交直线AB ， AC 于不同两点M N ，，若，， ,m n 均为正数，则11m n+的最小值为（ ）A. 2B. 13+C. 13+D. 1+ 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.40322017 B. 20152016 C. 20162017 D. 2015100810．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ）A. 1089B. 680C. 840D. 252011．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ） A. 36 B. 24 C. 22 D. 20 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()02f =，则不等式()20xf x e -<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. ()2,-+∞D. (),2-∞ 二、填空题：（每题5分，共20分。

） 13．命题p : ,,2sin 20646x x m πππ⎡⎤⎛⎫∃∈-+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，命题()2:0,,210q x x mx ∃∈+∞-+<，若()p q ⌝∧为真命题，则实数m 的取值范围为________.14．若偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()()13f a f a +>-，则a 的取值范围是_____________ ；15．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖” 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．16．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）三、解答题：（要有必要的步骤和文字说明，共70分。

） 17．已知向量，＝cos 2,sin 3x x π⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数，（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； （2）当x∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且n a 是2与n S 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥A-BCDE 中，是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面ABC 平面BCDE ，AB=2，AD=4．（1）若点G 是AE 的中点，求证：AC//平面BDG（2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥B-EFC 的体积.20．在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试, （I ）若Q 大学本次面试中有,,B C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,,235，求甲同学面试成功的概率； （II ）若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组总有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望．25．已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象过原点,且在1x =处取得极值,直线330x y -+=与曲线()y f x =在原点处的切线互相垂直.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意实数的[],2,2m n ∈-,恒有()()f m f n t -≤成立,求实数t 的取值范围.31．已知函数()2e 1xf x ax bx =---，其中,a b R ∈， e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，讨论()g x 在[]0,1上的单调性； （Ⅱ）设()32ln21h x x x x e =--+，证明：当122ex <<时， ()0h x <； （Ⅲ）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围.22．选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案1．C 2．B【解析】由题意可得： ()()()()231231511122i i i z i i i i +++===-+--+， 则实部与虚部之和为15222-+=. 本题选择B 选项.3．D【解析】函数()()ln f x x x ax =-,则f ′(x )=ln x −ax +x (1)a x-=ln x −2ax +1令f ′(x )=ln x −2ax +1=0得ln x =2ax −1， 函数f (x )=x (ln x −ax )有两个极值点,等价于f ′(x )=ln x −2ax +1有两个零点，等价于函数y =ln x 与y =2ax −1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a =12时，直线y =2ax −1与y =ln x 的图象相切， 由图可知,当0<a <12时，y =ln x 与y =2ax −1的图象有两个交点。

则实数a 的取值范围是(0, 12).故选D点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，数形结合的思想应用很关键. 4．C【解析】∵函数y =f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )成立， 且函数y =f (x −1)的图象关于点(1,0)对称 ∴f (x +4)=−f (x +2) =−[−f (x )]=f (x ).∴函数的周期为4. ∵函数f (x )为奇函数,∴f (0)=0,∴f (2)=−f (0)=0.∵f (1)=4,∴f (−1)=−f (1)=−4,f (2)=f (0)=0， f (2016)+f (2017)+f (2018)=f (0)+f (1)+f (2)=0+4+0=4， 本题选择C 选项. 5．B【解析】由不等式对于一切实数恒成立，得，由存在，使成立，得，所以，且，=，令 ，，当，解得，代入，选B.【点睛】对于不等式中求最值问题，如果一下不能很好的构造不等式，可以考虑利用两个变量的等式关系消去一个变量，变成关于一个变量的函数关系，但是要注意定义域的确定。

6．C【解析】在ABC 中， 2cos 1sin sin cos 22A ABC +==， 2sin sin B C ∴ cos cos sin sin 1B C B C =-++， ()cos cos sin sin cos 1B C B C B C ∴+=-= B C ππ-<-<， 0,B C ∴-= B C =，故选C7．B试题分析：由三视图知该几何体是高为22的等腰直角三角形的三棱锥，其直观图，如图所示：则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R ，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴2112R =+=，故外接球的表面积是248R ππ=，故选A ． 8．C【解析】由题意作出图形如下：易知()11212333333m n AO AB BC AB AC AB AB AC AM AN =+=+-=+=+ 由于M 、O 、N 三点共线，可知2133m n+=，所以1111221113333m n n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选C 9．D【解析】循环依次为1111,1,2;3,1,3;6,1,4;336s t i s t i s t i =====+===++=直至1111,2016;12123122015t i =++++=++++++结束循环，输出111111111211212312201522320152016t ⎛⎫=++++=-+-++- ⎪++++++⎝⎭120152120161008⎛⎫=-=⎪⎝⎭，选D. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 10．A【解析】当7n =时，序列如图：故74202101401058470601089S =++++++=，故选A ． 11．B【解析】由题意可分成两类:第一类是将3个男生每个大学各推荐1人,共有323212A A =种推荐方法;第二类是将3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学,其余2个女生从剩下的大学中选,共有22232212C A A =种推荐方法,故共有12+12=24种推荐方法. 本题选择B 选项.点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”． 12．B【解析】构造函数()()xf xg x e =，则函数的导数为()()()()2''x xxf x e f x eg x e -=，∵f ′(x )<f (x ),∴g ′(x )<0，即g (x )在R 上单调递减； 又()()()0002,02f f g e =∴==，则不等式()20xf x e -<化为()2xf x e<，它等价于g (x )<2，即g (x )<g (0)，∴x >0，即所求不等式的解集为(0,+∞). 本题选择B 选项. 13．[]1,1-【解析】∵()p q ⌝∧为真命题，∴命题p 、￢q 都是真命题，q 是假命题， ∵命题p : ,,2sin 20646x x m πππ⎡⎤⎛⎫∃∈-+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴﹣6π≤2x +6π≤23π，∴12-≤sin（2x+6π）≤1 ∵sin （2x+6π）=2m ，∴12-≤2m≤1，∴﹣1≤m≤2，∵￢q 都是真命题，q 是假命题，∴x 2﹣2mx+1≥0，∴△=4m 2﹣4≤0，即﹣1≤m≤1． ∴﹣1≤m≤1，即所求m 的取值范围是[]1,1-． 故答案为： []1,1- 14．1a <【解析】偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，在(],0-∞上是增函数，则在()0,+∞上为减函数，由于()()13f a f a +>-，则13a a +<- ，平方得： 222169a a a a ++<-+，88a < ， 1a <.15．C【解析】若A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若C 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是C ． 16．28【解析】∵各项系数和为256，令1x =得n 2256=,即8n = 该二次展开式中的第1r +项为1r T +=881rrr Cx -⎛⎫ ⎪⎝⎭=8438r rC x -令843r -=0，得2r =，此时常数项为3T =28C =28 故答案为28.17．（1）()π1sin 262f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ， ()πππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （2）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积转化为三角函数关系式，再利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求单调递增区间（2）先确定对应正弦函数定义区间，再根据正弦函数图像求值域 试题解析：（1），令，解得：，所以函数的单调递增区间为（）。