最新高二数学暑假预科讲义 第二讲 等差数列初步 中等教师版

目录第二讲等差数列初步 (2)考点1：等差数列的概念 (2)题型一：等差数列判别 (2)考点2：等差数列的通项公式 (2)题型二：等差数列通项公式 (3)考点3：等差数列的求和公式 (5)题型三：等差数列求、 (5)考点4：等差数列的性质 (8)题型四：等差数列性质 (8)课后综合巩固练习 (11)第二讲 等差数列初步考点1：等差数列的概念定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．题型一：等差数列判别例1.列数列是等差数列吗？如果是求出公差，如果不是请说明理由． ①13579，，，，，；②5137--，，，，；③5555，，，，； ④222222---，，，，，，；⑤531123---，，，，，，； 【解答】①是．2d =；②是，4d =；③是．d =0；④不是；⑤不是．考点2：等差数列的通项公式已知等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，第n 项（通项）为n a ，通项公式：()11n a a n d =+-. 叠加法求其通项公式． 叠加法： 1n n a a d --= 12n n a a d ---= 23n n a a d ---=21a a d -=将这1n -个式子左右分别相加可得1n a a -=()1n d -，故()11n a a n d =+-． 知道数列的首项与末项，可以求项数，公式为11n a a n d-=+．题型二：等差数列通项公式例2.（1）已知等差数列{}n a 的通项公式为73n a n =-，则公差为_______，首项为_____． 【解答】3-，4．（2）等差数列951，，，的第4项4a =_______，第20项20a =_______． 【解答】3-，67-（3）等差数列3711103，，，，的项数n =______，第5项为_______． 【解答】2619，（4）（2018秋•珠海期末）已知数列{}n a 是等差数列，且22a =-，510a =，则数列{}n a 的通项n a =_______．解法一：设{}n a 的公差为d ，由已知条件112410a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解出4d =，16a =-，所以1(1)6(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯644n =-+-410n =-．解法二：52310(2)12d a a =-=--= ∴4d =，12a d +=-，∴16a =-，∴410n a n =-． （5）（2018春•杭州期中）等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．8(,)75+∞ C ．83(,)7525D ．83(,]7525【解答】解：由题意可得，10911a a >⎧⎨⎩…，（6）（2019•柳州一模）等差数列{}n a 中，若46131520a a a a +++=，则101215a a -的值是() A ．4B ．5C ．6D ．8【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，46131520a a a a +++=，143420a d ∴+=，（7）（2019•莆田二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题” )，后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为( ) A ．116B ．131C ．146D ．161【解答】解：依题意，设a 满足被3除余2且被5除余1，则a 加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1，设被3除余2且被5除余1的数为{}n a ，则{}n a 是以11为首项，以15为公差的等差数列，所以1011(101)15146a =+-⨯=． 故选：C ．例3.（1）已知43n a n =-，则d =______．【解答】3- （2）已知1001n a n =-，则d =______．【解答】100 （3）已知123a d ==，，则n a =______．【解答】31n a n =- （4）已知512a d ==-，，则n a =______．【解答】211n -+（5）已知4132a d ==，，则n a =______（6）已知315122a d ==-，，则n a =_____（7）等差数列34575，，，，的项数为______．【解答】73 （8）等差数列42026-，，，，的项数为_______．【解答】16 （9）等差数列3032013-，，，，的项数为______．【解答】673 （10）等差数列110824--，，，，的项数为______．【解答】35考点3：等差数列的求和公式已知等差数列{}n a，首项为1a，公差为d，通项为n a，前n项和为n S．()12nnn a aS+=；⑵()112nn nS na d-=+．题型三：等差数列求、例4.（1）等差数列371179，，，，的各项的和为_______．【解答】820（2）已知数列{}na是等差数列，13a=，2d=，则20S=________．【解答】440（3）（2019•新课标Ⅰ）记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4S=，55a=，则()A．25na n=-B．310na n=-C．228nS n n=-D．2122nS n n=-【解答】解：设等差数列{}na的公差为d，由4S=，55a=，得1146045a da d+=⎧⎨+=⎩，∴132ad=-⎧⎨=⎩，25na n∴=-，24nS n n=-，故选：A．（4）（2018•曲靖二模）在我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：良马与驽马几日相逢？()A．8日B．9日C．12日D．16日【解答】解：由题可知，良马每日行程na构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程nb构成一个首项为97，公差为0.5-的等差数列，则10313(1)1390n a n n =+-=+，970.5(1)97.50.5n b n n =--=-， 则数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和为112522250⨯=，又数列解得：9n =或40n =-（舍)，即九日相逢． 故选：B ．（5）（2018春•梅州期末）等差数列{}n a 中，若4a ，6a 是方程2221170x x -+=的两根，则数列{}n a 的前9项和等于( ) A ．66B ．99C ．144D ．297【解答】解：等差数列{}n a 中，4a ，6a 是方程2221170x x -+=的两根， 4622a a ∴+=，∴数列{}n a 的前9项和：（6）（2019•荆州三模）已知在数列{}n a 中，11(*n n a a n N -=+∈且2)n …，设n S 为{}n a 的前n 项和，若972S =，则9(a = ) A ．8B ．12C ．16D ．36【解答】解：在数列{}n a 中，11(*n n a a n N +=+∈且2)n …， 11n n a a +∴-=，∴数列{}n a 是以1为公差的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，972S =，95412a a ∴=+=．故选：B ．（7）（2019•临渭区模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．32B ．32-C ．23 D ．23-【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，816S =，61a =，（8）（2019•黄山三模）平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为例5.（2018春•温州期末）已知等差数列{}n a 前n 项和为2n S an bn c =++，则下列一定成立的是( ) A ．0a =B ．0a ≠C ．0c ≠D ．0c =【解答】解：等差数列{}n a 前n 项和为2n S an bn c =++， 11a S a b c ∴==++，22142()3a S S a b c a b c a b =-=++-++=+， 33293(42)5a S S a b c a b c a b =-=++-++=+，等差数列{}n a 中，2132a a a =+， 2(3)5a b a b c a b ∴+=++++， 0c ∴=．故选：D ．考点4：等差数列的性质1．等差中项：若x A y ，，成等差数列，则A 称为x y ，的等差中项，2x yA +=． 2．等差数列{}n a 的简单性质（其中公差为d ）： （1）()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；（2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a +=+；若2m p q =+，则有2m p q a a a =+（p ，q ，m ，n *∈N ）；若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+（3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即n a ，n m a +，2n m a +，，为等差数列，公差为md ；（4）{}n a 的前n 项和为n S ，则()2121n n S n a -=-．题型四：等差数列性质例6.（1）（2019春•沙坪坝区校级期中）等差数列{}n a 中，若23a =，47a =，则6(a =) A ．11 B ．7C ．3D ．2【解答】A ．（2）（2019春•宿州期中）在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则2814a a a -+等于() A ．10B ．12C ．11D ．4-【解答】解：等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=， 可得：8560a =，解得812a =， 则2814812a a a a -+==， 故选：B ．（3）（2018春•朔州期末）在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，25833a a a ++=，则。