初三数学阅读理解题集
初三数学《阅读理解》专题训练
2011中考数学专题复习（三）：阅读理解班级：___________ 姓名:___________ 学号:____________1. 阅读下列证明过程：已知，如图1四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：_________．(2)作DE∥AB的目的是：__________．(3)有人认为第9步是多余的，你的看法呢？为什么？答：________．(4)判断四边形ABED为平行四边形的依据是：_________．(5)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是__________．(6)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答______．2、阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.3、阅读材料：某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去。
例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…。
请你协助他们探索这个问题。
（1） 写出判定扇形相似的一种方法：若_____________________________，则两个扇形相似；（2） 有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a 、弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为_________________；（3） 如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm ，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径。
初中数学题阅读理解类练习
初中数学题阅读理解类1.【实践探索】某校数学综合实践活动课上利用三角形纸片进行拼图探究活动．（1）某小组用一幅三角板按如图①摆放，则图中∠1＝；（2）某小组利用两块大小不同等腰直角三角板△ABC和△EBD按图②摆放，点A、C、E在一直线上，连接CD交BE于点F，经小组同学探索发现CD⊥AE，请你证明此结论；【拓展研究】（3）课后，某小组自制了两块三角形纸片△ABC和△DEF（如图③），其中∠A＝∠D，AB＝DE，∠C+∠F＝180°，他们把两块三角形纸片的AB与DE重叠在一起（A与D重合，B与E重合），C、F在AB两侧，过点B作BM⊥AC，垂足为M（如图④），经实践小组探索发现，线段AC、CM、AF之间存在某种数量关系，请你探究此关系并加以证明．2.新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为[x]即当n为非负整数时，若n-21≤x＜n+21，则[x]＝n；如：[0]= [0.48]=0，[0.64]=[1.493]=1，[2]=2，[3.5]=[4.12]=4试解决下列问题：（1）填空①[π]=________；②若[x]=3，则实x的取值范围为________；(2)在关于x、y的方程组⎩⎨⎧=++=+22312yxmyx中，若未知数x、y满足2725<+≤yx，求[m]的值（3）当[2x-1]=4时，若y=4x-9，求y的最小值；（4）求满足[x]= x23的所有非负实数x的值，请直接写出答案.13.（2019•天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC ⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．4.(2015•黔西南州)求不等式0)3)(12(>+-xx的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①⎩⎨⎧>+>-312xx或②⎩⎨⎧<+<-312xx．解①得21>x ；解②得3-<x．∴不等式的解集为21>x或3-<x．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式0)1)(32(<+-xx的解集．（2）求不等式02131≥+-xx的解集．25.请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=，PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=1500，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．6.（10分）（2020•天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC 的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2，则它的面积为；（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF=EG=EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF=20，求线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示）375237.（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME ＝1，求正方形ABCD的面积．8.（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x 0 1 2 3 …y 0 1 …结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．49.（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE ＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．5610.【教材呈现】下面是某数学教材中的部分内容例4：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过点C 画直线CE ， 使CE ∥AB,交AD 的延长线于点E,求证：AD=ED. 证明：∵CE ∥AB （已知）∴∠ABD=∠ECD, ∠BAD=∠CED(两直线平行,内错角相等)在△ABD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BD BD CED BAD ECD ABD∴△ABD ≌△ECD(AAS)∴AD=ED(全等三角形的对应边相等)【方法运用】在△ABC 中，AB=4，AC=2，点D 在边BC 上. (1)(2分）如图①，当点D 是BC 的中点时，AD 的取值范围是 ；(2) (6分）如图②，若BD:DC=1:2，求AD 的取值范围.【拓展提升】(4分）如图③，在△ABC 中，点D ，F 分别在边BC ，AB 上，线段AD ，CF 相交于点E ，且BD:DC=1：2，AE:ED=3：5，若△ACF 的面积为2，则△ABC 的面积为11.（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形； ②矩形； ③菱形； ④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且∠DBC ＝45°，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，∠BCD ＝60°．求⊙O 的半径．12.（2020•齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST 于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．713.如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP 面积的最大值．14.已知，在△ABC中，∠BAC=900，∠ABC=900，D为直线BC上一动点（不与点B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF.（1）如图①，当点D在线段BC上时， BC，CD，CF三条线段之间的数量关系为；（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请写出CF，BC，CD三条线段之间的关系，并证明；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF，BC，CD三条线段之间的关系．8参考答案1.2.93. 【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．10114.（1）根据“异号两数相乘,积为负”可得 ①⎩⎨⎧<+>-01032x x 或 ② ⎩⎨⎧>+<-01032x x ……………………………（3分）解不等式组①得无解,解不等式组②得231<<-x ………………………………（4分） ∴原不等式的解集为231<<-x ……………………………………………（6分） （2）依题意可得①⎪⎩⎪⎨⎧>+≥-020131x x 或 ②⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-020131x x ……………………………（3分）解①得x ≥3,解②得x<－2……………………………………………………（4分）∴原不等式的解集为x ≥3或x<－2…………………………………………（6分）5. 如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°， 得△BP ′A ，则△BPC ≌△BP ′A ． ∴AP ′＝PC ＝1，BP ＝BP ′＝． 连结PP ′，在Rt △BP ′P 中， ∵ BP ＝BP ′＝，∠PBP ′＝90°， ∴ PP ′＝2，∠BP ′P ＝45°． 在△AP ′P 中， AP ′＝PC ＝1，PP ′＝2，AP ＝，∵ 12 ＋22 ＝(5) 2 ，即AP ′2 ＋PP ′2 ＝AP 2 ．∴ △AP ′P 是直角三角形，即∠AP ′P ＝90°． ∴∠AP ′B ＝∠AP ′P ＋∠BP ′P ＝135°． ∴ ∠BPC ＝∠AP ′B ＝135°．过点B 作BE ⊥AP ′交AP ′的延长线于点E ． 则∠EP ′B ＝45°，∴ EP ′＝BE ＝BP ′＝1，∴AE ＝2.6.【分析】性质探究：如图1中，过点C 作CD ⊥AB 于D ．解直角三角形求出AB （用AC 表示）即可解决问题．理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA ＝CB ＝m ，则AB ＝m ，构建方程求出m 即可解决问题．②如图2中，连接FH ．求出FH ，利用三角形中位线定理解决问题即可． 类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB 与AC 的关系即可． 【解答】解：性质探究：如图1中，过点C 作CD ⊥AB 于D ． ∵CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝30°，AD ＝BD ， ∴AB ＝2AD ＝2AC •cos30°＝AC ，∴AB ：AC ＝：1． 故答案为：1．理解运用：（1）设CA ＝CB ＝m ，则AB ＝m ，由题意2m +m ＝4+2，∴m ＝2，∴AC ＝CB ＝2，AB ＝2，∴AD ＝DB ＝，CD ＝AC •sin30°＝1，∴S △ABC ＝•AB •CD ＝．故答案为．（2）如图2中，连接FH ． ∵∠FGH ＝120°，EF ＝EG ＝EH ， ∴∠EFG ＝∠EGF ，∠EHG ＝∠EGH ，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，∴FH＝EF＝20，∵FM＝MG．GN＝GH，∴MN＝FH＝10．类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α∴AB＝2AD＝2AC•sinα∴AB：AC＝2sinα：1．故答案为2sinα：1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，学会构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．7.【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD 的长，运用三角形面积公式求解即可；（2）根据（1）的证明可求解；（3）①证明△CME∽△ABM，得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．【解答】解：（1）连接DE，如图，∵点O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC边上的中线，∴D，E为BC，AC边上的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△ODE∽△OAB，∴＝，∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD＝，OD＝，∴，＝；（2）由（1）可知，，是定值；点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比，故＝，是定值；（3）①∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4，∴△CME～△AMB，∴，12∵E为CD的中点，∴，∴，∴，∴，即；②∴S△CME＝1，且，∴S△BMC＝2，∵，∴，∴S△AMB＝4，∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，又S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6，∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12．【点评】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8.【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大．【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，故答案为【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD ＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；（3）方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB 交AB于点N，求出AG＝6，AD＝12，证明△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM ＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，可得出答案；方法二：证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQP＝∠P AE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，∴AE＝AF，∠EAG＝90°，又∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，13理由如下：∵∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，∴AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴BE＝DG；（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，由题意知，AE＝4，AB＝8，∵＝，∴AG＝6，AD＝12，∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，∴△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．方法二：如图2，设BE与DG交于Q，∵，AE＝4，AB＝8∴AG＝6，AD＝12．∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAB＝∠GAD，∵，∴△EAB∽△GAD，∴∠BEA＝∠AGD，∴A，E，G，Q四点共圆，∴∠GQP＝∠P AE＝90°，∴GD⊥EB，连接EG，BD，∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．10. (1)1<AD<3；(2) 2<AD<310；（3）711.【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；14（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题．12.【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM 垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；（4）先求出AT的范围，即可求解．【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．1513.【分析】（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；（2）先证明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；（3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．14.（1）证明：如图1，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵四边形ADEF为正方形，∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，∴∠BAC=∠FAD，∴∠BAC-∠DAC=∠FAD-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．...（1）由等腰直角三角形和正方形的性质可以得出△ABD ≌△ACF ，就可以得出BD=CF，就可以得出结论；（2）如图2，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CF=BC+CD；（3）如图3，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CD=BC+CF．16。
初三数字阅读题库及答案
初三数字阅读题库及答案数字阅读是提高学生数学素养和解决问题能力的重要方式。
以下是一份初三数字阅读题库及答案，供同学们练习和参考。
题目一：某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产200个，实际每天生产了220个。
如果原计划生产周期为10天，实际生产周期为多少天？答案：原计划总共生产零件数量为200个/天× 10天 = 2000个。
实际每天生产220个零件，所以实际生产周期为2000个÷ 220个/天≈ 9.09天。
题目二：一个班级有48名学生，其中1/3是男生，剩下的是女生。
如果班级组织一次郊游，需要每4名学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？答案：班级中男生人数为48 × 1/3 = 16人。
女生人数为48 - 16 = 32人。
班级总人数为16 + 32 = 48人。
每组4人，所以可以组成48 ÷ 4 = 12个小组。
题目三：小明计划在暑假期间读一本300页的书。
如果他每天读30页，那么他需要多少天才能读完这本书？答案：小明每天读30页，要读完300页，需要的天数为300页÷ 30页/天= 10天。
题目四：一家超市在促销活动中，原价为100元的商品现在打8折出售。
如果顾客使用优惠券再减去20元，那么顾客实际需要支付多少钱？答案：商品打8折后的价格为100元× 0.8 = 80元。
使用优惠券后的价格为80元 - 20元 = 60元。
顾客实际需要支付60元。
题目五：某公司在第一季度的销售额为500万元，第二季度的销售额比第一季度增长了20%。
如果第三季度的销售额比第二季度减少了15%，那么第三季度的销售额是多少？答案：第二季度销售额为500万元× (1 + 20%) = 500万元× 1.2 = 600万元。
第三季度销售额为600万元× (1 - 15%) = 600万元× 0.85 = 510万元。
中考数学专题复习新定义阅读理解题(一)
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是，最小的“本位数”是．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
4．阅读下列材料解决问题：
材料一：完全平方数是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数．例如， 是一个完全平方数．
材料二：对一个四位数，我们可以记为 ，即 ，若一个四位数的千位数字与百位数字相同，十位与个位数字相同，记为 ，我们称之为和谐四位数．
4．（1）3；（2）证明见解析；（3）7744
【解析】
【分析】
（1）对12进行分解，即可得到n为3时，12n成为完全平方数的最小正整数；
（2）将 用整式表示出来，再对整式进行因式分解即可；
（3）由题意易知100x+y要被11整除，且 ，可得x+y=11，再对x、y逐一进行检验即可．
【详解】
解：（1）∵n是使12n成为完全平方数的最小正整数，
2．（1）0；25,（2）证明见详解;（3）满足条件s的最大值 ．
【解析】
【分析】
（1）根据定义即可求出；
（2）对任意一个四位数n= ，m= 根据定义求 ,由 均为整数， 也为整数,可得对任意一个四位数n， 均为整数；
（3）由定义可得 = ,由 是一个完全平方数,满足条件s的最大值只要 最大即可,可求 最大=9,可得9b-11为平方数，9b-11=25，解方程即可．
12=2×2×3，
∴n=3．
（2）∵ ，
∴任意一个和谐四位数都是 的倍数．
（3）∵四位数 是一个完全平方数， 是一个完全平方数，
能被 整除，
．
能被 整除，而 ，
只有 ，经检验 ，
故这个四位数为 ．
初中数学中考专题-阅读理解、判断说理型专题训练及答案
阅读理解、判断说理型专题训练B总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共21分）1．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+ 1×20= 13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________．2．（内江市）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12x ）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （）+ f （）+ f （）= .3．（扬州）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 千克．”图1 图24．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有________________种不同方法．5．（嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为时间（）18工作量（kg ）时间（）7040工作量（kg ）偶数时，结果为kn2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿．6．（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
数学阅读理解型问题(专题4)
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
中考数学阅读理解材料
1.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为DC 、BC 边上的点，∠EAF =45°，连结EF ，求证：DE +BF =EF ．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE 到△ABG （如图2），此时GF 即是DE +BF ．请回答：在图2中，∠GAF 的度数是 ．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，若∠BAE =45°，DE =4，则BE = ．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B 是x 轴上一动点，且点A （3-，2），连结AB 和AO ，并以3. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．若△BOC 的面积为1，试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使得OE=CO ，连接BE ，可证△OBE ≌△OAD ，从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知△ABC ，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG 、FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于4．课题学习问题背景??甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E 是边长为a 的正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形任务要求：（1）请你在图1中画出旋转后的图形甲、乙、丙三名同学又继续探索：在正方形ABCD 中，∠EAF=45°，点F 为BC 上一点，点E 为DC 上一点，∠EAF 的两边AE 、AF 分别与直线BD 交于点M 、N ．连接EFF E D AB C B E D A G F E D A B C C 图1图2图3C D AO B xy图4甲发现：线段BF ，EF ，DE 之间存在着关系式EF=BF+DE ；乙发现：△CEF 的周长是一个恒定不变的值；丙发现：线段BN ，MN ，DM 之间存在着关系式BN 2+DM 2=MN 2（2）现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．5. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，若EG ⊥FH ，则EG=FH ．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：方案一：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点B 作BN ∥EG 交CD 于点N ；方案二：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，过点A 作AN ∥EG 交CD 于点N ．…（1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图（2）），是探究EG 、FH 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（3）如果把条件中的“EG ⊥FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45°”，并假设正方形ABCD 的边长为1，FH 的长为25（如图（3）），试求EG 的长度．6. 如图1，已知正方形ABCD ，将一个45度角∝的顶点放在D 点并绕D 点旋转，角的两边分别交AB 边和BC 边于点E 和F ，连接EF ．求证：EF=AE+CF（1）小明是这样思考的：延长BC 到G ，使得CG=AE ，连接DG ，先证△DAE ≌△DCG ，再证△DEF ≌△DGF ，请你借助图2，按照小明的思路，写出完整的证明思路．（2）刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF 的面积都等于6，求EF 的长②将角∝绕D 点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB 边延长线、BC 边的延长线交于E 和F ，如图3所示，猜想EF 、AE 、CF 三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．7. 请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG 是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为 度时，四边形BEFG 是正方形．理由：8.阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且OA ：OB ：OC=1：2：3，求∠AOB 的度数．小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△ABO ′，连接OO ′．则△AOO ′是等边三角形，故OO ′=OA ，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形OO ′B 中．（1）请你回答：∠AOB= °．（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD 的面积．9. 问题背景（1）如图1，△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．请按图示数据填空：四边形DBFE 的面积S = ，△EFC 的面积1S = ，△ADE 的面积2S = ． 探究发现（2）在（1）中，若BF a =，FC b =，DE 与BC 间的距离为h ．请证明2124S S S =． 拓展迁移（3）如图2，□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上，若△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3，试利用．．（2．）中的结论．．．．求△ABC10. 正方形ABCD 中，点O 是对角线DB 的中点，点P 是DB BC 于E ，PF ⊥DC 于F. (1)当点P 与点O 重合时(如图①)，猜测AP 与EF (2)当点P 在线段DB 上 (不与点D 、O 、B 重合)时(如图②)过程；若不成立，请说明理由；(3)当点P 在DB 的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论. B C D G F E 图2 A 图1。
初中数学专题：阅读理解题
专题训练二：阅读理解题一、填空题(1、2每小题5分，3小题7分，4小题3分，5小题6分，6小题4分，共30分)1．(龙岩市)阅读下面材料并完成填空．你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n ＋1和(n ＋1)n 的大小(n ≥1的整数)．然后，从分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”) ①12______21； ②23______32； ③34______43； ④45＞54； ⑤56＞65； ⑥67＞76； ⑦78＞87；…(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出n n ＋1和(n ＋1)n 的大小关系是：_________． (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002______20022001(填“＞”“＜”或“＝”)．2．阅读下列课文中某一例题及解答过程的摘录：“已知方程x 2-2x -1＝0，求一个一元二次方程，使它的根是原方程的各根的立方．” 解：设方程x 2-2x -1＝0的两根是x 1、x 2，那么所求的方程的两根是x 13、x 23．x 13²x 23＝(x 1x 2)3＝(-1)3＝-1． 请你回答：(1)得到“第一步”式子的根据是______．(2)得到“第二步”式子所使用的具体公式是______．(3)得到“第三步”的中括号内的式子所使用的具体方法是______． (4)作“第三步”变形的具体目的是______． (5)原题最后求得的方程是______．3．先阅读下列(1)题然后解答(2)、(3)题： (1)用分组分解法分解多项式：mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋nx )＋(my ＋ny )，组内公因式分别为x 、y ，组间公因式为m ＋n ，最后分解结果为：(m ＋n )(x ＋y ) (2)也可以这样分解：mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(______)＋(______)，组内公因式分别为______，组间公因式为______，最后分解结果为：______．(3)上述两种分组的目的都是______，分组分解的另一个目的是分组后能运用公式法分解．请你设计一个关于字母x 、y 的二次四项式因式分解，要求要用到分组分解法和完全平方公式：_________．4．阅读下面一题的解题过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答． 已知a 为实数，化简aaa 13---． 解：a a a aa -=---13-a ²a a-1＝(a -1)²a - 答：____________5．阅读下列证明过程：已知，如图1四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．图1读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：_________． (2)作DE ∥AB 的目的是：__________．(3)有人认为第9步是多余的，你的看法呢？为什么？答：________． (4)判断四边形ABED 为平行四边形的依据是：_________． (5)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是__________．(6)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗？为什么？答______．6．(2002年鄂州市)从A 、B 、C 3人中选取2人当代表有A 和B 、A 和C 、B 和C 3种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作1223C 23⨯⨯=＝3．一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作12)2)(1()1()2)(1(C ⋅--+---=n n n n m m m m nm ．根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有______种．二、选择题(每小题5分，共10分) 7．(2002年扬州市)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1³23＋1³22＋0³21＋1³20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( ) A ．8 B ．15 C ．20 D ．308．(威海市)如果一个图形绕一个定点旋转一个角α (0°＜α ≤180°)，能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例如，正三角形绕着它的中心旋转120°(如图2)，能够与原来的正三角形重合，因而正三角形是旋转对称图形．图3是一个五叶风车的示意图，它也是旋转对称图形(α ＝72°)．图2图3显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，是旋转对称图形的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④三、解答题(每小题10分，共60分)9．请先阅读下列文字，然后解答：初中数学课本有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零．”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以．问题：甲乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不相同)，甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮用去100元．(1)假设x、y分别表示两次购粮的单价(单位：元/千克)．试用含x、y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款______元；乙两次共购买______千克的粮食．若甲两次购粮的平均单价为每千克θ 1元，乙两次购粮的平均单价为每千克θ 2元，则θ 1＝______，θ 2＝______．(2)若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．10．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图4，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a∶b)．图4设S 甲、S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66b a b a S S ==乙甲 又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，则333)(bab a V V ==乙甲 (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；②相似体表面积的比等于______；③相似体体积比等于______．(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)11．(大连市)阅读材料，解答问题． 阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y ＝x 2-2mx ＋m 2＋2m -1，① 有y ＝(x -m )2＋2m -1，②∴ 抛物线的顶点坐标为(m ，2m -1)．当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化．因而y 值也随x 值的变化而变化． 将③代入④，得y ＝2x -1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y ＝2x -1． (1)在上述过程中，由①到②所用的数学方法是______，其中运用了______公式．由③、④得到⑤所用的数学方法是______；(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y ＝x 2-2mx ＋2m 2-3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式．12．(威海市)某村实行合作医疗制度，村委会规定： (一)每位村民年初缴纳合作医疗基金a 元；设一位村民当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y 元．(1)当0≤x ≤b 时，y ＝a ；当b ＜x ≤5000时，y ＝______(用含有a 、b 、c 、x 的式子表示)． (2)下表是该村4位村民2001年治病花费的医疗费和个人实际承担的费用．根据表格中的数据，求a 、b 、c ，并且求当b ＜x ≤5000时，函数y 的解析式．(3)村民个人一年最多承担医疗费用多少元？13．(昆明市)已知矩形ABCD 的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A 的坐标为(x ，y )，其中x ＞0，y ＞0．(1)求出y 与x 之间的函数关系式，求出自变量x 的取值范围；(2)用x 、y 表示矩形ABCD 的外接圆的面积S ，并用下列方法，解答后面的问题：方法：∵ a 2＋222)(a k a a k -=＋2k (k 为常数且k ＞0，a ≠0)，(a -ak )2≥0，∴ a 2＋22a k ≥2k ． ∴ 当a -ak ＝0，即a ＝±k 时，a 2＋22a k 取得最小值2k ．问题：当点A 在何位置时，矩形ABCD 的外接圆面积S 最小？并求出S 的最小值；(3)如果直线y ＝mx ＋2(m ＜0)与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，那么是否存在这样的实数m ，使得点P 、Q 与(2)中求出的点A 构成△P AQ 的面积是矩形ABCD 面积的61？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．14． A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN ＝20 m ，那么AB ＝2³20 m ＝40 m ．图5 图6 图7(1)也可由图6所求，用相似三角形知识来解，请根据题意填空：延长AC 到D ，使CD＝21AC ，延长BC 到E ，使CE ＝______，则由相似三角形得，AB ＝______． (2)还可由三角形全等的知识来设计测量方案，求出AB 的长，请用上面类似的步骤，在图7中画出图形并叙述你的测量方案．15．(深圳市)阅读材料，解答问题．命题：如图8在锐角△DBC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ．则CcB b A a si n si n si n ==＝2R ．图8证明：连结CO 并延长交⊙O 于点D ，连结DB ，则∠D ＝∠A ． ∵ CD 为⊙O 的直径，∴ ∠DBC ＝90°． 在Rt △DBC 中，∵ sin D ＝R a DC BC 2=，∴ sin A ＝R a 2，即A asin ＝2R ． 同理B b sin ＝2R ，C csin ＝2R ．∴ R CcB b A a 2sin sin sin ===．请你阅读前面所给的命题及其证明后，完成下面的(1)、(2)两小题． (1)前面的阅读材料中略去了“B b sin ＝2R 和C c sin ＝2R ”的证明过程，请你把“Bbsin ＝2R ”的证明过程补写出来．(2)直接用前面阅读材料中命题的结论解题．已知：如图10，在锐角△ABC中，BC＝3，CA＝2，∠A＝60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C．图9 图1016．(咸宁市)已知下面各图形被一条直线将其面积平分：略解由图11可知经过圆的圆心的直线或经过平行四边形的中心的直线平分其面积，据其在图12中作连接其中心的直线即可．(图略)图11观察以上图形，用所得的结论或启示对下面每个图形作一条直线将其阴影部分的面积平分．(不写画法，不证明，保留作图痕迹)．图12专题训练二：参考答案 一、1．(1)＜ ＜ ＞ (2)n n ＋1＜(n ＋1)n (n ≤2) n n ＋1＞(n ＋1)n (n ≥3) (3)＞2．(1)一元二次方程根与系数的关系； (2)立方和公式； (3)配方法； (4)使用“第一步”所得的结果； (5)y 2-14y -1＝03．(2)mx ＋my nx ＋ny m 、n (x ＋y ) (x ＋y )(m ＋n )；(3)提取公因式；如1-x 2＋2xy -y 2＝1-(x 2-2xy ＋y 2)＝1-(x -y )2＝(1＋x -y )(1-x ＋y ) 4．∵ a ＜0， ∴a a a aa --=---13＋a ²a1²a a a a a a --=-+--=-)1(． 5．(1)没有错误； (2)为了证明AD ∥BC ； (3)并不多余； (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (5)梯形及等腰梯形的定义； (6)不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形． 6．15二、7．B 8．C 三、9．(1)100x ＋100y ；y x 100100+；θ 1＝2yx +，θ 2＝y x xy +2； (2)∵ θ 1-θ 2＝)(2)(222y x y x y x xy y x +-=+-+，∵ x ＞0，y ＞0，且x ≠y ， ∴ θ 1-θ 2＞0．∴ θ 1＞θ 2． ∴ 甲的购粮方式更合算． 10．(1)A ；(2)①相似比，②相似比的平方，③相似比的立方；(3)设他的体重为x 千克，根据题意得3)1.165.1(18=x 解得x ＝60.75(千克) 答：他的体重是60.75千克．11．(1)配方法、完全平方法、消元法(2)y ＝x 2-2mx ＋2m 2-3m ＋1＝x 2-2mx ＋m 2＋m 2-3m ＋1＝(x -m )2＋m 2-3m ＋1∴ 该抛物线顶点坐标为(m ，m 2-3m ＋1)⎩⎨⎧+-==132m m y m x 即将①代入②，得y ＝x 2-3x ＋1．∴ 所给抛物线顶点的纵坐标y 与横坐标x 的关系式为y ＝x 2-3x ＋1． 12．(1)y ＝(x -b )c %＋a(2)甲、乙两人花费的医疗费不同，但实际承担的费用相同(都是30元)，说明他们两人花费的医疗费都不超过b 元，因此，他们实际承担的费用就是缴纳的合作医疗基金，即a ＝30．丙、丁两人实际承担的医疗费用超过了30元，说明他们一年的医疗费超过了b 元，但不足5000元．所以⎩⎨⎧=+-=+-8030%)150(5030%)90(c b c b ，解这个方程组，得b ＝50，c ＝50，∴ 当b＜x ≤5000时，y ＝(x -50)²50%＋30．即y ＝21x ＋5． (3)将x ＝5000代入y 的解析式，得y ＝5000³0.5＋5＝2505． ∴ 村民个人一年最多承担医疗费2505元．13．建立平面直角坐标系，(1)根据题意可知：xy ＝9，∴ y 与x 之间的函数关系式是y＝x9，自变量x 的取值范围是x ＞0． (2)S ＝π(x 2＋y 2)，∵ x 2＋y 2＝x 2＋(x 9)2≥18，当且仅当x -x9＝0，即x ＝3时，S 最小＝18π．此时，y ＝x9＝3，所以当点A 的坐标为(3，3)时，矩形的外接圆面积S 最小，S 的最小值为18π． (3)存在，如图，设AB 与y 轴相交于点E ，由已知得：A (3，3)，Q (0，2)，P (-m2，0)，∴ S △P AQ ＝S 梯形APOE -S △AEQ -S △OPQ ＝21［(-m 2＋3)³3-1³3-2³(-m 2)］＝3-m1．∴ 3-m 1＝61³36．解得：m ＝-31．14．(1)21BC 2ED(2)延长AC 至D ，使AC ＝CD ，延长BC 至E ，使BC ＝EC ，则△ABC ≌△DCE ， ∴ AB ＝DE ，量出DE 即得AB ．(图略)15．(1)连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ，则∠E ＝∠B ．∵ AE 为⊙O 直径，∴ ∠ECA ＝90°，在Rt △ECA 中，sin E ＝RbAE AC 2=， ∴ sin B ＝R b 2，∴ Bbsin ＝2R ．(2)由命题结果得：︒=60sin 3sin A a ＝2R ．∴ R ＝1，又∵ BB b sin 2sin =＝2． ∴ sin B ＝22，∴ ∠B ＝45°， ∴ ∠C ＝180°-60°-45°＝75°． 16．本题答案不唯一，下面给出一种作法：。
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《阅读理解问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解阅读理解问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题．既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力．这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律．该类问题一般是提供一定的材料或介绍一个概念或给出一种解法等，让考生在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．类型一新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用．例1 (2017·枣庄) 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p ×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【自主解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．变式训练1．(2016·常德)平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”．现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ______________2．(2016·荆州) 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x﹣m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．乳头，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，∵顶点落在OP上，∴A′与D重合，∴A′（2，3），设P（4，c）（c＞0），由折叠有，PD=PA，∴=c，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．类型二新公式应用型新公式应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的数学公式、定理、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目中提出的数学问题．解决这类问题，一是要所运用的思想方法、数学公式、性质、运算法则或解题思路与阅读材料保持一致；二是要创造条件，准确、规范、灵活地解答．例2（2017•日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．例如：求点P解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．∴点P根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；1问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S的最大值和最小值．△ABP【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d=【自主解答】解：（1）点P1=4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1，∴=1， 解得b=或．（3）点C （2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3， ∴⊙C 上点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S △ABP 的最大值=×2×4=4，S △ABP 的最小值=×2×2=2．变式训练3．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D 中每一个点都是等可能的，用A 表示“实验结果落在D 中的某个小区域M 中”这个事件，那么事件A 发生的概率P(A)＝ .如图，现在等边△ABC 内射入一个点，则该点落在△ABC 内切圆中的概率是____ ．4．(2016·随州)如图1，PT 与⊙O 1相切于点T ，PB 与⊙O 1相交于A ，B 两点，可证明△PTA ∽△PBT ，从而有PT 2＝PA ·PB ．请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB ，PCD 分别与⊙O 2相交于A ，B ，C ，D 四点，已知PA ＝2，PB ＝7，PC＝3，则CD ＝______.类型三 新方法应用型新方法应用型是指通过对所给材料的阅读，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用这些知识和已有的知识解决题目中提出的问题．例3 (2017·毕节)D M 93 35）观察下列运算过程：计算：1+2+22+ (210)解：设S=1+2+22+…+210，①①×2得2S=2+22+23+…+211，②②﹣①得S=211﹣1．所以，1+2+22+…+210=211﹣1运用上面的计算方法计算：1+3+32+…+32017= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32017，然后在等式的两边同时乘以3，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．【自主解答】解：令s=1+3+32+33+…+32017等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+…+32018两式相减得：2s=32018﹣1，∴s=，故答案为：．变式训练5、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．设另一个因式为（x+n），得x2-4x+m=（x+3）（x+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+3n ∴n+3=-4m=3n 解得：n=-7，m=-21∴另一个因式为（x-7），m的值为-21．问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a），则a=______；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5），则b=______；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3），求另一个因式以及k的值．解：（1）∵（x-2）（x+a）=x2+（a-2）x-2a=x2-5x+6，∴a-2=-5，解得：a=-3；（2）∵（2x-1）（x+5）=2x2+9x-5=2x2+bx-5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x-k=（2x-3）（x+n）=2x2+（2n-3）x-3n，则2n-3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k 的值为12．故答案为：（1）-3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）． 6、（2015遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：11111111111111(1)()(1)()23423452345234---⨯+++-----⨯++． 令111234t ++=，则 原式=11(1)()(1)55t t t t -+--- =22114555t t t t t +---+ =15 问题：（1）计算1111111111111111111(1...)(...)(1...)(...)2342014234520152345201420152342014-----⨯+++++--------⨯++++。
中考数学真题分类汇编及解析(四十九)阅读理解问题
又如：M＝4325，因为52+22＝29，29≠43，所以4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M） ，P（M） ．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．
【解析】因为x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，所以2a+b＝3，所以b＝3﹣2a，
所以原式＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1＝14．
答案：14．
4903
（2022•重庆中考A卷）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
所以 ， ，
所以 ， ，
所以a ；
（4）设点M（m， m2），
因为 ，所以 2，
所以 2，所以m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
所以M（﹣2，1），
因为E为线段HF的黄金分割点，
所以EH 1或EH＝2﹣（ 1）＝3 ，
当EH 1时，S△HME 1，
当EH＝3 时，S△HME＝3 ，
所以△HME的面积是 1或3 ．
例如：抛物线y x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y ．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：（0， ），y ．
2022届全国中考数学专项(新定义与阅读理解创新型问题)真题汇编(附答案)
2022届全国中考数学专项（新定义与阅读理解创新型问题）真题汇编一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S △ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝ ．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0请你通过计算，补全表格：a＝ ；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2 y＝2（x﹣3）2+6（0，0） （3，m）（1，2） （4，8）（2，8） （5，14）（﹣1，2） （2，8）（﹣2，8） （1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm ），确定支点O ，并用细麻绳固定，在支点O 左侧2cm 的A 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg 的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O 右侧的B 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB 的长度随之变化．设重物的质量为xkg ，OB 的长为ycm ．写出y 关于x 的函数解析式；若0＜y ＜48，求x 的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……y/cm …… ……22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ；②min|﹣，﹣4|＝ ．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝ ；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．参考答案一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）A．5 B．2 C．1 D．0【要点分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【答案解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【要点分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运算，求出即可．【答案解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；∴当x ＝7或8时，w 取最大值，最大值为7.6，答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．。
中考数学专题复习新定义阅读理解题(四)
中考数学专题复习新定义阅读理解题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．对于自然数n ，在计算()()12n n n ++++时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：2020是纯数，因为计算202020212022++时，各数位都不产生进位．任意一个正整数m 都可以表示为：2m a b =（a 、b 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当a b -最小时，规定：()2F m ab =，例如：221211223=⨯=⨯，∵11223->-，∵()1212F =．（1）计算()32F 的值，并判断()32F 是否为纯数，说明理由；（2）若()F x 比最大的三位数纯数小310，求x ．2．阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如：{}3,2，{}2,01--，，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a ，使得23a -+也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合．例如：集合{}2,9,7-，因为2(2)37-⨯-+=，7恰好是这个集合的元素，所以{}2,9,7-是自闭集合．再如：集合{}1,3-，因为2(1)35-⨯-+=，而5不是这个集合的元素，且2333-⨯+=-，而3-也不是这个集合的元素，所以{}1,3-不是自闭集合（1）判断：集合12,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 自闭集合；（选填“是”或“不是”） （2）若集合{}3,x 和集合{}y -都是自闭集合，求x y +的值3．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2﹣n2)，b＝mn，c＝12(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．参考答案：1．（1）()3216F =；()32F 不是纯数，理由见解析；（2）11或121【解析】【分析】（1）仿照例子计算()32F ，再根据纯数的定义进行判断和说明即可；（2）由纯数的定义求出最大的三位数纯数，进而求得()F x ，再由()2F m ab =求出ab ，求得a b 、后根据2m a b =求出x 即可．【详解】（1）∵222321322842=⨯=⨯=⨯，1322842->->-，∵()3224216F =⨯⨯=，∵计算161718++时，要产生进位，∵()32F 不是纯数；（2）设最大三位数纯数为m ，∵最大的三位数为999，∵12999m m m ++++=，解得：332m =，即最大的三位数纯数为332，∵()F x 比最大的三位数纯数小310，∵()33231022F x =-=，即：222ab =，11ab =，∵a b 、均为正整数，∵111a b ==，或111a b ==，，∵2211111x a b ==⨯=或22111121x a b ==⨯=，∵x 的值为11或121．【点睛】本题考查实数运算的新定义问题，理解题意，将新定义的计算过程转换为常规运算过程是解题关键．2．（1）是；（2）当3x =-，1y =-时，4x y +=-；当0x =，1y =-时，1x y +=-；当1x =，1y =-时，0x y +=【解析】【分析】（1）直接利用自闭集合的定义分析得出答案；（2）直接利用自闭集合的定义分析得出答案．【详解】解（1）∵−2×(−12)+3＝4且4是这个集合的元素∵集合12,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，是自闭集合； 故答案为：是；（2）集合{}3,x 是自闭集合233x ∴-⨯+=，或233x -+=，或23x x -+=3x ∴=-，或0x =，或1x =集合{}y -是自闭集合2()3y y ∴--+=-解得：1y =-∴当3x =-，1y =-时，4x y +=-当0x =，1y =-时，1x y +=-当1x =，1y =-时，0x y +=【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算． 3．(1)证明见解析；(2)当n ＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【解析】【分析】（1）根据题意只需要证明a 2+b 2＝c 2，即可解答（2）根据题意将n ＝5代入得到a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12 (m 2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12 (m 2+25)，即可解答【详解】(1)∵a 2+b 2＝(2n +1)2+(2n 2+2n )2＝4n 2+4n +1+4n 4+8n 3+4n 2＝4n 4+8n 3+8n 2+4n +1，c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，∵a2+b2＝c2，∵n为正整数，∵a、b、c是一组勾股数；(2)解：∵n＝5∵a＝12(m2﹣52)，b＝5m，c＝12(m2+25)，∵直角三角形的一边长为37，∵分三种情况讨论，∵当a＝37时，12(m2﹣52)＝37，解得m＝(不合题意，舍去)∵当y＝37时，5m＝37，解得m＝375(不合题意舍去)；∵当z＝37时，37＝12(m2+n2)，解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，∵m＝7，把m＝7代入∵∵得，x＝12，y＝35．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键。
中考数学阅读理解题目集锦
阅读理解题 1 / 8阅读理解题1、 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．己知某种加密规则为：明文a 、b 对应的密文为a －2b 、2a ＋b ．例如，明文1、2对应的密文是－3、4．当接收方收到密文是1、7时，解密得到的明文是（ ）．A ．－1，1B ．1，3C ． 3，1D ．1，1 2、 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x xx +--+6=，则x =__________．3、 阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个⋅．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即．问题：（1）计算以下各对数的值： ===64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（2分） ()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．4、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A =⨯=。
初三中考初中数学阅读理解专题训练含答案
初三中考初中数学阅读理解专题训练含答
案
阅读理解是中考数学考试中常见的题型之一。
在这种题型中，
学生需要通过阅读一篇数学相关的文章，并回答相关的问题。
以下
是一些初三中考初中数学阅读理解专题训练题目及其答案，供同学
们练。
题目一：
某公司为两位员工A和B购买了一套办公设备，设备总价为元。
公司决定按照员工A的工作量和贡献度，将设备总价分成两份。
员工A参与公司工作的时间为8个月，员工B参与公司工作的时间为4个月。
设员工A和B分别支付的费用为X元和Y元，则X+Y
的值为多少？
A. 4000元
B. 6000元
C. 8000元
D. 元
答案：C. 8000元
题目二：
某学校举行篮球比赛，共有12名学生参加。
其中有7名男生
和5名女生。
学校规定，要选出一支由至少3名男生和至少2名女
生组成的比赛队。
则符合要求的不同组队方式有多少种？
A. 50种
B. 60种
C. 70种
D. 80种
答案：C. 70种
题目三：
某商店打折出售一种商品，原价120元，现在打8折出售。
同时，商店还提供会员折扣，会员购买可再打7折。
某消费者是该商
店的会员，他购买了两件该商品。
则他需要支付的总费用是多少元？
A. 82.4元
B. 86.4元
C. 89.6元
D. 93.6元
答案：B. 86.4元
通过完成以上的阅读理解训练题目，同学们可以提高自己的阅读理解能力，并更好地应对中考数学考试。
数学阅读理解试题
数学阅读理解题1 例1 将纯循环小数化成分数0.3化成分数．解：设x ＝0.3＝0.333333……，则10x ＝3.333333……， 两式相减，9x ＝3，所以x ＝13．例2 将混循环小数化成分数0.13化成分数． 解：设x ＝0.13＝0.1333333……，则10x ＝1.333333……，100x ＝13.333333……， 两式相减，100x －10x ＝12， 即90x ＝12，所以x ＝122=9015． 我们还可以总结出现下面的规律：⑴ 把纯循环小数化分数时，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后再约分；⑵ 把混循环小数化分数时，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同．2定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2013＝ ． 解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+， 321143114a a ===-- 431111143a a ===---．1357911133 若分式b a 满足11b a a =+，则称11a +是b a 的 “带分式”，记作《11a 》.（1）分式1x x+的“带分式”是_______________________.（2）计算：《111x -》221xx --4 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17，它们有下面的规律：1+3=22 ； 1+3+5=32 ； 1+3+5+7=42 ； 1+3+5+7+9=52 ；……（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形； （2）请你按照上述规律，计算第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积；（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形. 1+8=32 ； 1+8+16=52 ； 1+8+16+24=72 ；1+8+16+24+32=92 .答案：（1）1+3+5+7+9+11+13=72． 算式表示的意义如图（1）．（2）第n 条黑折线与第1n -条黑折线所围成的图形面积为21n -. （3）算式表示的意义如图（2）、（3）等.（1） （2） （3）图2图1 15795 类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． 解决问题： （1）计算：{3，1}+{1，-2}；（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC 。
数学阅读理解题
阅读理解题（专题一）例1：（03青岛）在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全．腾飞中学初三（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高．如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？为解决该问题，我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用下列模型来表示：⑴ 若把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；⑵ 根据日中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；⑶ 根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话．例2：.(05陕西省) 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点．而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标（1，3）就是方程组13x y =⎧⎨=⎩。
在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图2-4-11；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图2-4-12．回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，（1）用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解．（2）用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，所围成的区域．例3：（2007江苏连云港）如图1，点C 将线段AB 分成两．部分，如果AC BC ABAC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是ABC △的黄金分割线． 请你说明理由．（4）如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．图2-4-12图2-4-11图2-4-10yxOy=2x+1y x O 13y=2x+11P(1,3)Oxy巩固练习1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称_________，________； （2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，OA OB ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB ；（3）如图（2），将ABC △绕顶点B 按顺时针方向旋转60得到DBE △，连结AD DC ，，30DCB =∠． 求证：222DC BC AC +=，即四边形ABCD是勾股四边形．2.阅读以下材料并填空： 平面上有n 个点（n ≥2）且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线下①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成动条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……②归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数SJ 发现如下表所示：③推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线，取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －1）种取法，所以一共可连成n （n －1）条直线．但AB 与BA 是同一条直线，故应除以2，即S n =(1)2n n - 图（1）A图（2）④结论：S n =(1)2n n - 试探究以下问题：平面上有n 个点（n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？⑴ 分析：当仅有3个点时，可作_______个三角形；当有4个点时，可作_______个三角形；当有5个点时，可作_______个三角形…… ⑵ 归纳：考察点的个数n 和可作出的三角形的个数Sn 发现： ⑶ 推理： ⑷ 结论：3.如图1，在66⨯的方格纸中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换． 将图形F 沿x 轴向右平移1格得图形1F ，称为作1次P 变换； 将图形F 沿y 轴翻折得图形2F ，称为作1次Q 变换；将图形F 绕坐标原点顺时针旋转90 得图形3F ，称为作1次R 变换．规定：PQ 变换表示先作1次Q 变换，再作1次P 变换；QP 变换表示先作1次P 变换，再依1次Q 变换；n R 变换表示作n 次R 变换． 解答下列问题：（1）作4R 变换相当于至少作次Q 变换；（2）请在图2中画出图形F 作2007R 变换后得到的图形4F ；（3）PQ 变换与QP 变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ 变换后得到的图形5F ，在图4中画出QP 变换后得到的图形6F ．x 图1图2图3图4（第3题图）操作探究型问题（专题二）一、基础训练 1、如图：已知Rt△ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 上的一点D 重合，如果不再引辅助线，要使D 为AB 的中点，不能添加的条件是（ ）（A ）∠A=∠DBE （B ）BE 平分∠CBD （C ）∠A=30° （D ）AB=2BC 2．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一个动点（D 点与B 、C 不重合），且DE ∥AC 交AB •于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ．（1）试探究，当AD 满足什么条件时，四边形AEDF 是菱形？并说明理由．（2）在（1）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由．二、例题精讲（一）条件探究型例1．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 。
初中数学阅读理解题
FE DCB A EDCBA1、14东城一模22. 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．F E DCBAGF EDCBA图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ；（2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1，EC =2，求DE 的长．图3 图4（本小题满分5分）解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）． ………………1分 (2)∵ AB =AC ，∴ 把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB 与AC 重合. ………………2分 ∠B =∠ACG , BD=CG , AD=AG∵ △ABC 中，∠BAC =90°，∴ ∠ACB +∠ACG =∠ACB +∠B =90°． 即∠ECG =90°．∴ EC 2+CG 2=EG 2．………………3分 在△AEG 与△AED 中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED．………………4分∴DE=EG ．又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2．∴DE=．………………5分2、14西城一模22.阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按如图1所示放置，已知OB=10，BC=6．将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含图1图2 备用图请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；折叠，求点A的坐标；F落在OB边上（含端点），直接写出k的取值范围．解：（1）点A的坐标（0）；……………… 1分（2）如图；………………2分（3）EF垂直平分OA，则∠AOD=∠OFE．∴tan ∠AOD =tan ∠OFE =12． 在Rt △AOD 中，DA = OD tan ∠AOD 3=．∴点A 的坐标为()36，； ···························································································· 3分 （4）113k -≤≤-······················································································································ 5分 找到两个特殊点（OD 和DC 重合；EF 过B 点利用tan ∠OFE =k - 3、14年海淀一模22．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B 、D 两点重合在对角线BD 上的同一点处，折痕分别为EF 、GH ．当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的？ 小明发现：若∠ABC =60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O 处时，六边形AEFCHG 的周长为_________；②如图2，当重合点在对角线BD 上移动时，六边形AEFCHG 的周长_________（填“改变”或“不变”）.请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD 边长仍为2，改变∠ABC 的大小，折痕EF 的长为m ． （1）如图3，若∠ABC =120°，则六边形AEFCHG 的周长为_________；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG 的周长可表示为________．解：①6分 ②不变. ……………………………………………………………………………2分（1） ……………………………………………………………………3分（2）4+4sin α． ………………………………………………………………5分4、14年朝阳22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).CB图① 图② 图③小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等．．．．，若设新的正方形的边长为x （x ＞0），可得x 2=5，x由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a ，宽为b ，则a 的长度为 ； （2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）； （3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）解：（1……………………………………………………………………… 1分（2）如图（画出其中一种情况即可）3分（2）如图（画出其中一种情况即可） ……………………………………………… 5分 5、１４年石景山一模22．实验操作（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△ABC以点()1,1-P 为旋转中心，按顺时针方向旋转︒90得到△DEF ，请在坐标系中画出点P及△图④图⑤后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。
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初三数学阅读理解题集
1、请你阅读下列计算，再回答所提出的问题：
()()()()()()()()()()()
()2331133111
313111133126
x x x
x A x x x x x B x x x x x x C x -----=-+----=-+-+-=---=--
（1）上面计算过程中，从哪一步开始出现错误？
（2）从B 到C 是否正确；（3）请你正确解答此题。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l a π=。
A ·
B A · B A · B
计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长2l ＝ 。
（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长3l ＝ 。
（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长4l ＝ 。
（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长n l ＝ 。
结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 。
找出规律、计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。
O O O
4、阅读材料，回答问题：
为解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将2
1x -视为一个整体，然后设21x y -=，则()2
221x y -=，原方程化为 2540y y -+= （1） 解得 121,4y y ==
（1）当1y =
时，2211,2x x x -=∴=∴= （2）当4y =
时，2214,5x x x -=∴=∴=
∴原方程的解为
1234,2,5,5
x x x x =-解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程（1）的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想。
（2）解方程 4260x x --=
5、阅读下面材料：
在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后
的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值，具有这种规律的列数，除了直接相加外，我们还可以用公式()d n n na s 2
1-+=来计算它们的和，（公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值） 那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
()2211010⨯-＝120。
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林，从1995年
起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积的植树的面积统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再为水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木。
（2001年重庆市中考题）
5、①以下是一道题目及其解答过程：
已知：如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂足分别是E 、F 、G 、H
求证：四边形EFGH 是矩形
证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO
又∵DO ＝DO ∴△AOD ≌△COD (1)
∵OH 、OG 分别是Rt △AOD 和Rt △COD 斜边上的高
∴OH ＝OG (2)
同理 OH ＝OE ，OE ＝OF ，则
OH ＝OE ＝OF ＝OG (3)
∴EG 与HF 相等且互相平分……………………………………（4） ∴四边形EFGH 是矩形
以上证明过程中
A 、（1）到（2）有错误
B 、（2）到（3）有错误
C 、（3）到（4）有错误
D 、没有错误
A H D
E
G
B F C
②阅读下题和分析过程，并按照要求进行证明
已知，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC
求证：四边形ABCD 是等腰梯形
6、阅读下面的短文，并解答下列问题
我们把相似形的概念推广到空间，如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比():a b
假设：S 甲，S 乙分别表示 两个正方体的表面积 b ，则2
2266S a a S b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
甲乙 又设,V V 乙甲分别表示这两个正方体的体积，则 3
33V a a V b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
甲乙 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是……………………………………（ ）
A 、两个球体
B 、两个圆锥体
C 、两个长方体
D 、两个圆柱体
（2）请你归纳出相似体的三条主要性质：
① 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于
② 相似体表面积的比等于
③ 相似体体积的比等于 。
O
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
7、已知抛物线()222410y x m x m =-++-与x 轴交于A 、B 两点，C 是抛物线的顶点。
（1）用配方法求顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示）
（2）若AB 的长为，求抛物线的解析式解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法。
解：由（1）知，对称轴与x 轴交于点D （ ，0）
∵抛物线的对称性及AB ＝
∴AD ＝DB ＝A D x x -= ∵点A (),0A x 在抛物线()2y x h k =-+上
∴()20A x h k =-+……………………………………………………①
∵,C D h x x =-得A D x x -=
m 的方程
()20___;=+ …………………………………………………②
（3）将（2）中的条件“AB 的长为”改为“△ABC 为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式。