2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：名师寄语 第3点 注重知识交汇强化综合运用
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型
利用古典概型求事件概率的关键及注意点 1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数． 2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
[ 变式训练 1]
(2016· 广州二模)从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个，组成一个没有 )
判断几何概型中的几何度量形式的方法 1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关． 2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量 在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几 何度量是面积(体积)． 提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、 直观．
A．100 C．400
B． 200 图 61 D．450
(1) B
(2)C
[(1)如图，若该行人在时间段 AB 的某一时
刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯．AB 长 度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的 40－15 5 概率为 40 ＝8，故选 B.
1 所以当 b＝1 时，有 a≥3，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数； 4 当 b＝2 时，有 a≥3，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数；
当 b＝3 时，有 a≥3，故 a 可取 3,4，共 2 个数； 16 当 b＝4 时，有 a≥ 3 ，故 a 无可取值． 综上，事件 A 包含的基本事件有 4＋3＋2＝9(种)． 又 a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有 4×4＝16(种)． 9 故所求事件 A 的概率为 P(A)＝16.故选 A.]
4．(2014· 全国卷Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一 行，则 2 本数学书相邻的概率为________． 2 3 [两本不同的数学书用 a1，a2 表示，语文书用 b 表示，则 Ω＝{(a1，a2，
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和
12 分
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2) 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 提醒：在利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证 n＝1 时的情形．
n－1
2 1 [当 n＝1 时，S1＝3a1＋3，∴a1＝1.
1 2 2 1 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋3－3an－1＋3＝3(an－an－1)， an ∴an＝－2an－1，即 ＝－2， an－1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2， ∴an＝1×(－2)n 1，即 an＝(－2)n 1.]
[ 变式训练 1]
(1)(2016· 合肥三模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an
－2n ，则 Sn＝__________. (2)已知数列{an}的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Sn＋2＝3an(n∈N*)， 则 an＝__________.
(1)n· 2n(n∈N*) (2)2×3n－1(n∈N*) [(1)由 Sn＝2an－2n 得当 n＝1 时，S1＝a1
n＋1
an {bn}其中bn＝qn，得
1 p bn＋1＝q· bn＋q，接下来用待定系数法求解．
m (6)取对数法： 形如 an＋1＝pan (p>0， an>0)， 先在原递推公式两边同时取对数，
再利用待定系数法求解.
数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相 减法是常用的两种方法．
2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分 专题6 突破点18 导数的应用酌情自选
(1)可导函数__________________，但导数为 0 的点_________________，如
函数极值的判别注意点 函数 f(x)＝x3，当 x＝0 时就不是极值点，但 f′(0)＝0.
(2)极值点______一个___， 而是一个______， 当 x＝x0 时， 函数取得极值． 在
(2016·山东高考)设 f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f′(x)＝ln x－2ax＋2a，1 分 可得 g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 所以 g′(x)＝1x－2a＝1－x2ax.2 分 当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增；3 分 当 a>0，x∈0，21a时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增， x∈21a，＋∞时，函数 g(x)单调递减.5 分 所以当 a≤0 时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，g(x)的单调增区间为0，21a，单调减区间为21a，＋∞.6 分
故 f(x)为增函数； 当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 故 f(x)为减函数． 由 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知 x2＝6－a＋6 a2＋36≤3，解得 a≥－92， 故 a 的取值范围为－92，＋∞.12 分
热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以 解答题的形式考查，难度较大.
不符合题意，排除 A、C.
(1)
当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈－∞，－32时， f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f－32 ＝－54，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 突破点21 算法初步、复数、推理与证明
满足则停止 _______________ ．两种循环只是实现循环的方式不同，它们是可以相互转化的.
复数
(1)四则运算法则：
(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R) ． (a＋bi)± (c＋di)＝______________________________ (ac－bd)＋(bc＋ad)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)(c＋di)＝________________________________ ac＋bd bc－ad b， c， d∈R， c＋di≠0) 2 2＋ 2 2 i(a， c ＋ d c ＋ d (a＋bi)÷ (c＋di)＝________________________________________．
归纳推理的三个特点
几个已知的特殊对象 (1) 归 纳 推 理 的 前 提 是 ______________________ ，归纳所得到的结论是 尚属未知的一般现象 超越了前提所包含的范围 ． _______________________ ，该结论________________________
(2)常用结论：
2i ；② ①(1± i) ＝± ____
2
1＋i 1－i i －i ；④－b＋ai＝________ i(a＋bi) ；⑤ ＝____；③ ＝_____ 1－i 1＋i
1 ，i4n＋1＝____ i ，i4n＋2＝_____ －1 ，i4n＋3＝_____ －i ，____________. 其中n∈N* i4n＝____
具有猜测的性质 ，结论___________ 是否正确 ，还需要 (2)由归纳推理得到的结论__________________
逻辑推理 和___________ 实践检验 ，因此它不能作为数学证明的______ 工具 ． 经过___________ 创造性 的推理，通过归纳推理得到的______ 猜想 ，可 (3)归纳推理是一种具有________ 起点 ，帮助_____________________ 发现问题和提出问题 ．、复数、推理与证明
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 突破点19 集合与常用
专题限时集训(十九) 集合与常用逻辑用语[A 组 高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 D [∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3，∴A ＝{x |1＜x ＜3}．∵2x －3＞0，∴x ＞32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ＜3.故选D.] 2．(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}C [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z}＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山东高考)设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [由已知得A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝{x |x >－1}．故选C.] 4．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B [∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q ＝{x ∈R|x 2<4}＝{x |－2<x <2}． ∵P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，∴P ∪(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全国卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅B [∵A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，∴BA .]6．(2016·威海二模)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝( )A ．(－1,2)B ．[2,3)C ．(2,3)D ．(－1,2]B [A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜2}， 由题意知A －B ＝{x |2≤x ＜3}，故选B.] 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 7．(2016·泰安一模)以下说法错误的是( )【导学号：67722074】A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有 x 2－x ＋1≥0D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D [“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，A 项正确；由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或2，因此“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 项正确；命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1≥0，C 项正确；由p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，因此D 项不正确．故选D.]8．(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C [当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立； 若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y . 所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．]9．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.] 11．(2016·黄冈二模)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )A．－1＜x≤1B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D [由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．]三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词12．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2nC [因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]13．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈qB [当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解， ∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.∴綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题，选B.] 14．(2016·潍坊二模)下列命题中假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0D [对于A ，比如x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1，是真命题；对于B ，令f (x )＝e x－x －1，f ′(x )＝e x－1＜0，f (x )递减，所以f (x )＞f (0)＝0，是真命题；对于C ，函数y ＝a x当a ＞1时是增函数，是真命题，对于D ，令g (x )＝x －sin x ，g ′(x )＝1－cos x ≥0，g (x )递增，所以g (x )＞g (0)＝0，是假命题．故选D.]15．(2016·青岛一模)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2B [由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，可得－2＜m ＜2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2＜m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m ＞－1.]16．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距结合题意知p 1，p 2正确．][B 组 “10＋5”模拟题提速练]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －8≤0}，集合N ＝{x |lg x ≥0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－2≤x ≤4}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}C [M ＝{x |－2≤x ≤4}，N ＝{x |x ≥1}，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．]2．(2016·菏泽一模)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z||x |≤1}，则A ∩(∁Z B )＝( ) A ．∅ B ．4 C ．{3,4}D ．{2,3,4}D [因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z||x |≤1}＝{－1,0,1}，所以A ∩(∁Z B )＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N}，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N}，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z}＝{1,2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为2.]4．(2016·武汉一模)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，集合B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A ⊆B ，则c 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)C [由题意将两个集合化简得：A ＝(0,1)，B ＝(0，c )，因为A ⊆B ，所以c ≥1.] 5．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是( ) ①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0B ．1C ．2D ．3C [对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sinA <2R sinB (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题．选C.]6．(2016·郑州一模)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )【导学号：67722075】A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF 和GH 不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件．]7．(2016·临沂一模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．B ∩(∁R A )＝∅D [A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，则∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，从而B ∩(∁R A )＝∅.] 8．(2016·青岛一模)已知a ∈R ，则“a ＜1”是“|x －2|＋|x |＞a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，所以a ＜1时，|x －2|＋|x |＞a 恒成立，反之若|x －2|＋|x |＞a 恒成立，则a ＜1不一定成立，故选A.]9．(2016·威海二模)命题p ：若2x≥2y，则lg x ≥lg y ；命题q ：若随机变量N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.72，则P (ξ≤0)＝0.28.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x ＜0，y ＜0时，lg x ，lg y 没有意义，故命题p 是假命题，对于命题q ：由P (ξ≤3)＝12，P (0＜ξ≤3)＝P (3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P (ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命题q 是真命题．综上知綈p ∧q 为真命题，故选B.]10．(2016·商丘二模)命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈qB [令t ＝x 2－2x ，则函数y ＝log 2(x 2－2x )化为y ＝log 2t ， 由x 2－2x ＞0，得x ＜0或x ＞2，所以函数y ＝log 2(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 函数t ＝x 2－2x 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝1， 所以函数t ＝x 2－2x 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 又因为函数y ＝log 2t 是增函数，所以复合函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)． 所以命题p 为假命题；由3x ＞0，得3x＋1＞1，所以0＜13x ＋1＜1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题， 故选B.]二、填空题11．(2016·厦门二模)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．4 [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R}＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．] 12．(2016·泉州二模)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为________.【导学号：67722076】至少有一个实数的平方不是正数 [因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．]13．(2016·郴州二模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]14．(2016·菏泽一模)已知命题p ：∀x ∈R ，|1－x |－|x －5|＜a ，若綈p 为假命题，则a 的取值范围是________．(4，＋∞) [由题意知，命题p 为真命题，由|1－x |－|x －5|≤|(1－x )＋(x －5)|＝4，得a ＞4.]15．(2016·哈尔滨一模)设p ：(x －a )2＞9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12.因为綈p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析
突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |， 令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象． 如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点． 当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ； 当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0， 所以f (x )＝f (－x )， 所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点， 所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0， 所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 技法篇：4大思想提前看渗透整本提时效
π π 而此图象关于 y 轴对称，则 4m－3＝kπ＋2(k∈Z)， 1 5π 5π 解得 m＝4kπ＋24(k∈Z)．又 m＞0，所以 m 的最小值为24.]
思想 2
数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 .其应用 包括以下两个方面： 1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思 维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质. 2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.
1 解得 k＞2.
又 M 为线段 AB 的中点，所以 x0＝x1＋x2＝ －8k 2， 2 3＋4k y1＋y2 6 y0 ＝ 2 ＝ 2. 3 ＋ 4 k 由 P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线， 6 ＋2 3＋4k2 0－－2 所以 ＝ ， －8k a－0 3＋4k2
(2)(2015· 吉林模拟)若不等式 4x －logax<0 对任意 的取值范围为(
1 A.256，1 1 C.0，256
2
1 x∈0，4恒成立， 则实数
a
)
1 B.256，1 1 D.0，256
(1)C
|PF1| 7 ∴|PF |＝2. 2 若∠F2PF1＝90° ， 则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， |PF1| ∴|PF |＝2. 2 |PF1| 7 综上所述，|PF |＝2 或2.] 2
分类讨论思想在解题中的应用 1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是 分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数 的单调性等．
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 突破点3 平面向量
数量积常见的三种应用
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2 2 a· a x ＋ y 1 1 (2)求向量的长度：|a|＝_______＝________.
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y |a||b| 1 1 2 2 (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝_______＝_______________.
平面向量解题中应熟知的常用结论
→ → → (1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且
λ＋μ＝1 _________.
→ 1 → → OC＝2(OA＋OB) (2)C 是线段 AB 中点的充要条件是_________________ ． → → → GA＋GB＋GC＝0 ，若△ABC 的三个 (3)G 是△ABC 的重心的充要条件为__________________
[ 变式训练 2]
π x∈0，2.
(2016· 德州模拟)设向量 a＝(sin x， 3sin x)， b＝(sin x， cos x)，
(1)若|a|＝|b|，求 x 的值； π (2)设函数 f(x)＝a· b，将 f(x)的图象向左平移6个单位得到函数 g(x)的图象， 求 g(x)的最大值及此时相应的 x 的值．
核 心 知 识 · 聚 焦
专题一
热 点 题 型 · 探 究
三角函数与平面向量 平面向量
突破点 3
专 题 限 时 集 训
平面向量共线、垂直的两个充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
x1x2＋y1y2＝0 . (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔______________
2017高考数学理山东专用二轮课件：1-3 函数与方程思想
-4考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
函数与方程思想在解三角形中的应用 例1在四边形PABQ中,A,B为定点,且 AB= 3 ,P,Q为动点,满足 AP=PQ=QB=1. (1)写出cos A与cos Q的关系式; (2)设△PAB和△PQB的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.
-11考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
-9-
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 函数与方程思想在不等式中的应用 1+4-3 此时有 a ≤ f ( x ) = 2 . 4x+3≥0恒成立,则实数a的取值 min 例2当x∈[-2,1]时 ,不等式ax3=-x2 + -1 [ 6, 2] 范围是 . . 当 x=0 时,不等式恒成立
2 2
2 2
关闭
2 -4������-3 ������ 考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三 当 -2 ≤ x<0 时,不等式转化为 a≤ , ������3 ������2-4������-3 -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 令 f(x)= (-2≤x<0),则 f'(x)= = , 4 4 3 ������ ������ ������
������2-4������-3 ������2-4������-3 当 0<x≤1 时,a≥ ,令 g(x)= (0<x≤1), 3 3 ������ ������ -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 则 g'(x)= = , 4 4 ������ ������ 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥f(x)max= 1 =-6.
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系
B [ 若 m⊂α，n∥α，则 m，n 可能平行或异面，①错误；若 α∥β，β∥γ， 则 α∥γ，又 m⊥α，则 m⊥γ，②正确；若 α∩β＝n，m∥n，则 m∥α 或 m∥β 或 m⊂α 或 m⊂β，③错误；若 α⊥γ，β⊥γ，则 α，β 可能平行或相交，④错误， 则真命题个数为 1，故选 B.]
热点题型 1 空间位置关系的判断与证明 题型分析：空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式， 此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空 间想象能力及转化与化归的思想.
(1)(2016· 兰州三模)α，β 是两平面，AB，CD 是两条线段，已知 α∩β ＝EF，AB⊥α 于点 B，CD⊥α 于点 D，若增加一个条件，就能得出 BD⊥EF.现 有下列条件： ①AC⊥β；②AC 与 α，β 所成的角相等；③AC 与 CD 在 β 内的射影在同一 条直线上；④AC∥EF. 其中能成为增加条件的序号是________． 【导学号：67722040】
[ 变式训练 1]
(1)(2016· 石家庄二模)设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ
是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n；②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ；③若 α∩β ＝n，m∥n，则 m∥α，m∥β；④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β. 其中真命题的个数为( A．0 C．2 ) B．1 D．3
图 113
5 (2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝4，OD′＝2 2，求五棱锥 D′ABCFE 的体积．
[ 解]
(1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD.1 分
AE CF 又由 AE＝CF 得AD＝CD，故 AC∥EF.2 分 由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′.3 分 OH AE 1 (2)由 EF∥AC 得DO＝AD＝4.4 分 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4. 所以 OH＝1，D′H＝DH＝3.5 分 于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2， 故 OD′⊥OH.6 分
【课堂新坐标】2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分专题2突破点4等差数列等比数列
2017版高三二轮复习与策略
(2)(2015· 东北三校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S15>0， S1 S2 S3 S15 S16<0，则a ，a ，a ，…，a 中最大的项为( 1 2 3 15 S6 A.a 6 S8 C.a 8 S7 B.a 7 S9 D.a 9 )
2017版高三二轮复习与策略
回访 2 等比数列基本量的运算 3．(2015· 全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋ a5＋a7＝( A．21 C．63 ) B．42 D．84
B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选 B.]
2017版高三二轮复习与策略
数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数 f(n)＝an，利用求解函 数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正 整数的限制． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式 an＋1≥an(或 an＋1≤an)求解出 n 的取 值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值． (3)转化为关于 n 的不等式组求解， 若求数列{an}的最大项， 则可解不等式组
n 1＋2＋…＋(n－1) 3n 1 a1a2…an＝a1q ＝2 ·
2
2017版高三二轮复习与策略
＝
.
n2 7n 1 2 记 t＝－ 2 ＋ 2 ＝－2(n －7n)， 结合 n∈N*可知 n＝3 或 4 时，t 有最大值 6. 又 y＝2t 为增函数，从而 a1a2…an 的最大值为 26＝64.]
2017高考数学理山东专用二轮课件：2-3 函数与方程 精
函数与方程
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命 题 规 律 题 型 高考对函数与方程及 函数的应用的考查主 要是函数的零点,常以 分式、绝对值不等式、 对数式、 三角函数为载 体;考查确定零点的个 选择题 数、 存在区间及应用零 填空题 点存在情况求参数值 或取值范围;函数的实 际应用常以实际生活 为背景,与最值、不等 式、导数、解析几何等 知识交汇命题
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5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法: (1)利用零点存在性定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等 式求解. (4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.
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1 ������ -cos 2
∴f(x)在[0,2π]上有3个零点.
2
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3.函数f(x)=x2-2x在x∈R上的零点的个数是( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 解析:(方法一)因为f(-1)×f(0)= ×(-1)<0 ,所以函数f(x)在(-1,0)上必有 2 零点,又f(2)=f(4)=0,因此函数f(x)的零点个数是3,选D. (方法二)在同一坐标系内作出函数f(x)=x2及函数f(x)=2x的图象(图 略),可知两函数图象有三个交点,因此函数f(x)的零点个数是3,选D. 4.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则 ( A ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解析:由f(a)=ea+a=0,得a=-ea<0;b是函数y=ln x和y=-x图象交点的 横坐标,画图(图略)可知0<b<1;由h(c)=ln c-1=0知c=e,所以a<b<c.
2017年高考数学(理科,山东专版)二轮专题复习与策略：2017年高考仿真冲刺卷 (2)
2017年高考仿真冲刺卷(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知R是实数集，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＜1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩∁R M ＝( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]B[∵M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＜1＝{x |x ＜0或x ＞2}，N ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}，故有N ∩∁R M ＝{y |y ≥0}∩{x |0≤x ≤2}＝[0，＋∞)∩[0,2]＝[0,2]，故选 B ．] 2．已知a ＋2ii ＝b －i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3D [因为a ＋2ii ＝2－a i ＝b －i(a ，b ∈R)， 所以a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选D.] 3．已知a ＞1，f (x )＝a x2＋2x，则f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )【导学号：67722091】A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜0C ．－2＜x ＜0D ．－2＜x ＜1B [f (x )＜1成立的充要条件是a x2＋2x＜1.∵a ＞1，∴x 2＋2x ＜0，∴－2＜x ＜0，∴f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0，故选B.]4．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形B [设BC 的中点为D ，∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，∴CB →·(2OD →－2OA →)＝0，∴CB →·2AD →＝0，∴CB →⊥AD →，故△ABC 的BC 边上的中线也是高线.故△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，故选 B ．]5．一个四棱锥的三视图如图1所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( )图1A.12 B ．1 C.32D ．2A [由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是1＋1＝2， 四棱锥的高是1×22＝22，所以四棱锥的体积是13×(1＋2)×22×22＝12，故选A.] 6．已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )A [令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，由g ′(x )＞0，得x ＞1，即函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即函数g (x )在(0,1)上单调递减， 所以当x ＝1时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (1)＝0.于是对任意的x ∈(0,1)∪(1，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B 、D ，因函数g (x )在(0,1)上单调递减，则函数f (x )在(0,1)上递增，故排除C ，故选A.]7．已知函数y ＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω＞0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )＝( )A ．3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8B ．3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B [∵函数y ＝3sin ωx (ω＞0)的周期是2πω＝π，∴ω＝2. 将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω＞0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位， 得到函数y ＝f (x )＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，故选B.]8．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋4n 的最小值是( )【导学号：67722092】A.32 B ．2 C.73D.256A [在等比数列中，∵a 6＝a 5＋2a 4，∴a 4q 2＝a 4q ＋2a 4， 即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． ∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·2m ＋n －2＝4a 1， 即2m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n －2＝4，即m ＋n ＝6，∴m 6＋n6＝1， ∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＋n 6＝16＋46＋4m 6n ＋n 6m ≥56＋24m 6n ·n 6m ＝56＋2×26＝96＝32，当且仅当4m 6n ＝n6m ，即n ＝2m 时取等号，故选A.]9．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l 观察可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，即有a ＜1，故选C.] 10．设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件，则称f (x )为闭函数．①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．如果f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，那么k 的取值范围是( )A ．－1＜k ≤－12 B.12≤k ＜1 C ．k ＞－1D ．k ＜1A [法一：∵f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，∴⎩⎨⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上有两个不等实根． ∴问题可化为y ＝2x ＋1和y ＝x －k 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上有两个不同交点．对于临界直线m ，应有－k ≥12，即k ≤－12. 对于临界直线n ，y ′＝(2x ＋1)′＝12x ＋1. 令12x ＋1＝1，得切点P 的横坐标为0， ∴P (0，－k )．∴n ：y ＝x ＋1，令x ＝0，得y ＝1，∴－k ＜1，即k ＞－1. 综上，－1＜k ≤－12.法二：∵f (x )＝2x ＋1＋k 为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上的增函数，又f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，∴⎩⎨⎧f (a )＝a ，f (b )＝b ，即f (x )＝x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上有两个不等实根，即2x ＋1＝x －k在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上有两个不等实根． 化简方程2x ＋1＝x －k ，得x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1＝0.令g (x )＝x 2－(2k ＋2)x ＋k 2－1，则由根的分布可得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥0，k ＋1＞－12，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122≥0，k ＞－32，k ＞－1，解得k ＞－1.又2x ＋1＝x －k ，∴x ≥k ， ∴k ≤－12.综上，－1＜k ≤－12，故选A.]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程y ＝7x ＋a ，若广告费用为10万元，则预计销售额为________万元．73．5 [x ＝14(3＋4＋5＋6)＝4.5，y ＝14(25＋30＋40＋45)＝35. 由35＝7×4.5＋a ^，得a ^＝3.5.所以y ^＝7x ＋3.5，当x ＝10时，y ^＝73.5]12．若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1b2的取值范围是________．【导学号：67722093】[4，＋∞)∪(－∞，0][在等差数列中，a1＋a2＝x＋y.在等比数列中，xy＝b1b2.∴(a1＋a2)2b1b2＝(x＋y)2xy＝x2＋2xy＋y2xy＝xy＋yx＋2.当xy＞0时，xy＋yx≥2，故(a1＋a2)2b1b2≥4；当xy＜0时，xy＋yx≤－2，故(a1＋a2)2b1b2≤0.]13．观察下列等式：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19,53＝21＋23＋25＋27＋29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．10[由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和．设第n行的最后一个数为a n，则有a2－a1＝11－5＝6＝2×(1＋2)＝1×2＋4，a3－a2＝19－11＝8＝2×(2＋2)＝2×2＋4，a4－a3＝29－19＝10＝2×(3＋2)＝3×2＋4，…a n－a n－1＝2(n－1＋2)＝(n－1)×2＋4，以上(n－1)个式子相加可得a n－a1＝n2＋3n－4，故a n＝n2＋3n＋1，即n2＋3n＋1＝109，解得n＝9.∴m＝n＋1＝9＋1＝10.]14．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝82m＋1(m＞0)，直线l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a和b.当m变化时，ba的最小值为________．【导学号：67722094】82[设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则－log2x A＝m，log2x B＝m，－log2x C＝82m＋1，log2x D＝82m＋1，∴x A ＝2－m ，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，∴a ＝|x A －x C |，b ＝|x B －x D |，又m ＞0，∴m ＋82m ＋1＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212×8－12＝72，当且仅当12(2m ＋1)＝82m ＋1，即m ＝32时取“＝”号，∴ba ≥2＝8 2.] 15．如图2放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④ ⎠⎛02f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________. (填序号)图2①②④ [当－2≤x ≤－1，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， 当－1≤x ≤1时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆， 当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆， 当3≤x ≤4时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆， ∴函数的周期是4. 因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y ＝f (x )是偶函数，∴①正确． ②由图象分析可知函数的周期是4，∴②正确． ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递增，∴③错误．④根据积分的几何意义可知⎠⎛02f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14π×12＝π2＋12，∴④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)如图3，△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0.sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C .图3[解] (1)∵AD →·AC →＝0，∴AD ⊥AC ， ∴sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD .2分∵sin ∠BAC ＝223，∴cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ，4分 即AD 2－8AD ＋15＝0， 解得AD ＝5或AD ＝3 .6分 由于AB ＞AD ，∴AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB .又由cos ∠BAD ＝223，可知sin ∠BAD ＝13，8分 ∴sin ∠ADB ＝AB sin ∠BAD BD ＝63.10分∵∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ，∠DAC ＝π2， ∴cos C ＝63.12分17．(本小题满分12分)为丰富中学生的课余生活，增进中学生之间的交往与学习，某市甲乙两所中学举办一次中学生围棋擂台赛．比赛规则如下，双方各出3名队员并预先排定好出场顺序，双方的第一号选手首先对垒，双方的胜者留下进行下一局比赛，负者被淘汰出局，由第二号选手挑战上一局获胜的选手，依此类推，直到一方的队员全部被淘汰，另一方算获胜．假若双方队员的实力旗鼓相当(即取胜对手的概率彼此相等)．(1)在已知乙队先胜一局的情况下，求甲队获胜的概率；(2)记双方结束比赛的局数为ξ，求ξ的分布列并求其数学期望E (ξ)． [解] (1)在已知乙队先胜一局的情况下，相当于乙校还有3名选手，而甲校还剩2名选手，甲校要想取胜，需要连胜3场，或者比赛4场要胜3场，且最后一场获胜，所以甲校获胜的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝516.4分 (2)记双方结束比赛的局数为ξ，则ξ＝3,4,5. P (ξ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14， P (ξ＝4)＝C 12C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38， P (ξ＝5)＝C 12C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝38.8分所以ξ的分布列为10分数学期望E (ξ)＝3×14＋4×38＋5×38＝338.12分18．(本小题满分12分)已知在等比数列{a n }中，a n ＋1＞a n 对n ∈N *恒成立，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a 1b 1＋3a 2b 2＋…＋(2n －1)a n bn＝n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)由题意得⎩⎨⎧a 3＞a 2，a 1a 4＝a 2a 3＝8，a 2＋a 3＝6⇔⎩⎨⎧ a 2＝2，a 3＝4⇔⎩⎨⎧ a 1q ＝2，a 1q 2＝4⇔⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.5分(2)∵a 1b 1＋3a 2b 2＋…＋(2n －3)a n －1b n －1＋(2n －1)a n b n ＝n ，∴a 1b 1＋3a 2b 2＋…＋(2n －3)a n －1b n －1＝n －1(n ≥2)，∴(2n －1)a nb n＝1， b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)2n －1(n ≥2)． 又∵a 1b 1＝1，∴b 1＝a 1＝1＝(2×1－1)21－1，∴b n ＝(2n －1)2n －1.8分 又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，∴S n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)2n －1，①2S n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ， ②10分 由①－②得－S n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)2n ＝1＋2×2(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)2n ＝1＋[2－(2n －1)]2n －4 ＝(3－2n )2n －3， ∴S n ＝(2n －3)2n ＋3.12分19．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .图4(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值； (3)求二面角B -B 1D -C 的余弦值. 【导学号：67722095】 [解] (1)证明：取AB 中点为O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB . 又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1， 所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD . 由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ， 所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ， 所以OD ⊥平面ABB 1A 1.又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1. 4分(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3).6分 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)． 设平面ACC 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AC →＝0，n ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0， 可取n ＝(3，－3，1)，设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ， 故sin θ＝217.8分 (3)由题设知B (1,0,0)，可取平面BB 1D 的法向量n 1＝(3，3，1)， 平面B 1DC 的法向量n 2＝(－3，3，1)，10分 故cos 〈n 1，n 2〉＝17，所以二面角B -B 1D -C 的余弦值为17.12分20.(本小题满分13分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且2F 1F 2→＋F 2Q →＝0.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，过右焦点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，点P (4,0)，求△PMN 面积的最大值．[解] (1)设Q (x 0,0)．∵F 2(c,0)，A (0，b )，∴F 2A →＝(－c ，b )，AQ →＝(x 0，－b )． ∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，故x 0＝－b 2c .2分又∵2F 1F 2→＋F 2Q →＝0，∴F 1为F 2Q 的中点，故－2c ＝－b 2c ＋c ，即b 2＝3c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝12.4分(2)∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b ＝3c ，则F 2(c,0)，Q (－3c,0)，A (0, 3c )， ∴△AQF 2的外接圆圆心(－c,0)，半径r ＝12|F 2Q |＝a ＝2c ，6分∴|－c －3|2＝2c ，解得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8分(3)设直线MN ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝433m 2＋33m 2＋4，∴S △PMN ＝12|PF 2|·|y 1－y 2|＝633m 2＋33m 2＋4，10分令3m 2＋3＝λ≥3，∴S △PMN ＝63λλ2＋1＝63λ＋1λ ≤633＋13＝92， ∴△PMN 面积的最大值为92，此时m ＝0.13分21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋a －1x －2a ＋1(a ＞0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：∑ n k ＝2ln k －1k ＋1＞2－n －n 22n (n ＋1).[解] (1)f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝a －a －1x 2＝ax 2＋1－ax 2(a ＞0)，当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0恒成立，此时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a ≥1时，令f ′(x )＝0，得x 1＝－a －1a ，x 2＝a －1a ，2分列表如下：此时，f (x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ，＋∞；递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－a －1a ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －1a .4分 (2)g (x )＝ax ＋a －1x －2a ＋1－ln x ，x ∈[1，＋∞)，则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2，6分(i)当0＜a ＜12时，1－a a＞1，若1＜x ＜1－aa ，则g ′(x )＜0，g (x )是减函数， ∴g (x )＜g (1)＝0，即f (x )＞ln x . 故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立； (ii)当a ≥12时，1－a a ≤1，若x ＞1，则g ′(x )＞0，g (x )是增函数， ∴g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞ln x . 故当x ≥1时，f (x )≥ln x .综上所述，所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9分(3)证明：在(2)中，令a ＝12，可得不等式：ln x ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (x ≥1)(当且仅当x＝1时等号成立)，进而可得当ln x 2＜x －1x (x ＞1)(*)，∑ n k ＝2ln k －1k ＋1＞2－n －n 22n (n ＋1)⇔ln 2n (n ＋1) ＞2－n －n 22n (n ＋1)，12分令x ＝n (n ＋1)2＞1(n ＞2)，代入不等式(*)得：ln n (n ＋1)2＜n (n ＋1)2－2n (n ＋1)＝n (n ＋1)2n (n ＋1)－22n (n ＋1)＝n 2＋n －22n (n ＋1)，则所证不等式成立.14分。
2017年高考数学(理科,山东专版)二轮专题复习与策略：2017年高考仿真冲刺卷 (3)
2017年高考仿真冲刺卷(三) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝() A．(2, 3]B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)D[因为∁U A＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．]2．已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A．0B．－2 5iC．－25 D.25D[因为a＋b i＝i2＋i －i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25.]3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q的必要不充分条件．] 4．如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()图1① ② ③ ④A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②A [由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①④符合题意．]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(2,4]C ．[2,4)D ．(2，＋∞) A [椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即ba ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2，整理得c ＜2a ，∴a ＞2.又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)．]6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( ) 【导学号：67722096】A.25B.2－1C.2425D ．1D[满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示．∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示(－1,0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1.]7．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6C [若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0,0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．]8．程序框图如图2所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )图2A．2 B．－1 2C．－3 D.1 3A[由程序框图知：S＝2，i＝1；S＝1＋21－2＝－3，i＝2；S＝1－31＋3＝－12，i＝3；S＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－121－⎝⎛⎭⎪⎫－12＝13，i＝4；S＝1＋131－13＝2，i＝5；……，可知S值周期性出现，周期为4，当i＝2 017＝4×504＋1时，结束循环输出S，即输出的S＝2.]9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当球的三种颜色全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为()A.585 B.1481C.2281 D.2581B[分两种情况3,1,1及2,2,1，这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3,1,1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C13C34C12，所以这种结果发生的概率是C13C34C1235＝881，同理求得第二种结果的概率是681，根据互斥事件的概率公式得到P＝881＋681＝1481.]10．如图3，在三棱锥P-ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝3，PB＝2，PC＝2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别表示三棱锥M-P AB，M-PBC，M-P AC的体积，若f(M)＝(1，x,4y)，且1x＋ay≥8恒成立，则正实数a的最小值是() 【导学号：67722097】图3A ．2－ 2 B.22－12C.9－424D ．6－4 2C [∵P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝2， ∴V P -ABC＝13×12×3×2×2＝2＝1＋x ＋4y ，即x ＋4y ＝1.∵1x ＋a y ≥8恒成立，∴1x ＋a y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y (x ＋4y )＝1＋ax y ＋4yx ＋4a ≥1＋4a ＋4a≥8，解得a ≥9－424，∴正实数a 的最小值为9－424.]第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上)11．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．(1，e) [由题意知⎩⎨⎧x －1≥0，1－ln x ＞0，x ＞0，1－ln x ≠1，解得1＜x ＜e.]12.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )6的展开式中x 的系数是________． 31 [(1－x )6的展开式中的第r 项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 6·x r 2，若求x 的系数，只需要找到(1－x )6展开式中的x 2的系数和常数项分别去乘2x ＋x中2x 的系数和x 的系数即可．令 r ＝4得x 2的系数是15，令r ＝0得常数项为1，所以x 的系数为2×15＋1＝31.]13．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.13 [因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1.又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13.]14．如图4，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________．图412[以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD 的边长为1， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C (1,1)，D (0,1)，A (0,0)，∴AC →＝(1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设P (cos θ，sin θ)，由向量 AC →＝λDE →＋μAP →，得(1,1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 ＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，∴λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ.令f (θ)＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ，则f ′(θ)＝6＋6sin θ－3cos θ(2cos θ＋sin θ)2＞0，∴y ＝f (θ)为增函数，由0≤θ≤π2，得当θ＝0时，λ＋μ取最小值为12.] 15．(2016·衡阳二模)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－15x 35的展开式中的常数项为T ，f (x )是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－15x 35的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r令10－5r ＝0，得r ＝2，则常数项为C 25×15＝2， f (x )是以2为周期的偶函数． 因为区间[－1,3]是两个周期，所以在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有4个零点， 可转化为f (x )与r (x )＝kx ＋2k 有四个交点，当k ＝0时，两函数图象只有两个交点，不合题意； 当k ≠0时，因为函数r (x )的图象恒过点(－2,0)， 则若使两函数图象有四个交点， 必有0＜r (3)≤1，解得0＜k ≤15.]三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知sin C 2＝104.(1)求cos C 的值；(2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求a ，b 及c 的值.【导学号：67722098】[解] (1) 因为sin C 2＝104，所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－14.4分 (2) 因为sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，由正弦定理得 a 2＋b 2＝1316c 2.①6分由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2，②8分由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝154，得ab ＝6. ③10分由①②③得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝4.经检验，满足题意．所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝4.12分17.(本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(2)进一步调查：①从赞同“男女延迟退休”的16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；②从反对“男女延迟退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).[解] (1)K 2＝25×(5×3－6×11)216×9×11×14≈2.932＞2.706.2分由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关.4分(2)①记题设事件为A ，则所求概率为P (A )＝C 15C 211＋C 25C 111C 316＝1116.6分 ②根据题意，X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.8分X 的分布列为：10分X 的数学期望为E (X )＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184 ＝1.12分 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：2S n ＋a n ＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1(1＋a n )(1＋a n ＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜14.【导学号：67722099】[解] (1)因为2S n ＋a n ＝1，所以2S n ＋1＋a n ＋1＝1，两式相减可得2a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，即3a n ＋1＝a n ，即a n ＋1a n ＝13.3分又2S 1＋a 1＝1，所以a 1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列．故a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .6分(2)证明：因为b n ＝2a n ＋1(1＋a n )(1＋a n ＋1)，所以b n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝23n ＋13n ＋13n ·3n ＋1＋13n ＋1＝2·3n (3n ＋1)·(3n ＋1＋1)＝13n＋1－13n ＋1＋1.10分故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋1－132＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋1＋1＝14－13n ＋1＋1＜14. 所以T n ＜14.12分19．(本小题满分12分)在如图5所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．图5(1)求证：BD ⊥EG ；(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．[解] (1)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又 AE ⊥BE ， ∴BE ，EF ，AE 两两垂直，2分以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2,2,0).4分∴EG →＝(2,2,0)，BD →＝(－2,2,2)，∴BD →·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG .6分(2)由已知得EB →＝(2,0,0)是平面DEF 的法向量．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，∴⎩⎨⎧ EG →·n ＝0，ED →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0， 令x ＝1，得n ＝(1，－1,1).8分设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪cos 〈n ，EB →〉＝⎪⎪⎪⎪n ·EB →|n |·|EB →|＝223＝33，10分 ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33.12分20．(本小题满分13分) (2016·河南八校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点．图6(1)求椭圆C 的方程；(2)点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则由题意可知b ＝2 3.2分 由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.4分(2)①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，5分代入x 216＋y 212＝1，得x 2＋tx ＋t 2－12＝0.6分由Δ＞0，解得－4＜t ＜4.由韦达定理得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝348－3t 2，∴当t ＝0，S max ＝12 3.8分②由∠APQ ＝∠BPQ ，可知P A ，PB 的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －3＝k (x －2)，x 216＋y 212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0. ∴x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2.9分 同理，PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2. ∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k 3＋4k 2.10分 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12. 所以AB 的斜率为定值12.13分21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln ax －x －a x (a ≠0)．(1)求此函数的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数)．【导学号：67722100】[解] (1)由题意f ′(x )＝x －a x 2.2分当a ＞0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数， f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值.4分当a ＜0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数， f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值. 6分(2)证明：取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln e x ，10分取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！ .14分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点8 回归分析、独立性检验
C 中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d ＝36，n＝52，
2 52 × 8 × 24 － 12 × 8 13 2 K＝ ＝10. 20×32×16×36
∑ yi－ y 2＝0.55，
i＝1
7
∑ (ti－ t )(yi－ y )＝ ∑ tiyi－ t ∑ yi＝40.17－4×9.32＝2.89，2 分
i＝1
2.89 ∴r≈ ≈0.99. 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从 而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.5 分
∑ ti－ t yi－ y ^ i＝1 ^ － ^ 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝ ，a＝ y －b t . n ∑ t i－ t 2
i ＝1
n
[ 解]
(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
7
t ＝4， ∑ i＝1 (ti－ t )2＝28，
i＝1 7 i ＝1 7 i＝1 7
2．(2016· 全国丙卷)如图 82 是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理 量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码 1～7 分别对应年份 2008～2014. 图 82
(1)由折线图看出， 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系， 请用相关系数加以 说明； (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾 无害化处理量． 附注：
7 i＝1 7 i ＝1
参考数据： ∑ yi＝9.32， ∑ tiyi＝40.17，
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 概率与统计 突破点7 用样本
专题限时集训(七) 用样本估计总体[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·山西考前模拟)某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图77所示)，据此估计此次考试成绩的众数是( )图77A．100 B．110C．115 D．120C [分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]2．(2016·济南模拟)某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )A．20 B．16C．15 D．14D [样本中高三年级的人数为280400＋320＋280×50＝14.]3．(2016·青岛模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x50,500(单位：kg)，其中x1，x2，x3，…，x50是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x, 中位数为y，则x1，x2，x3，…，x50,500这51个数据的平均数、中位数分别与x，y比较，下列说法正确的是( ) 【导学号：67722030】A．平均数一定变大，中位数一定变大B．平均数一定变大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小B [显然500大于这50个学生的平均体重，则这51个数据的平均数一定增大，中位数可能增大也可能不变，故选B.]4．(2016·沈阳模拟)从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图78)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为( )图78A ．2B ．3C ．4D ．5B [依题意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a ＋0.035)＝1，解得a ＝0.030，故身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为3.]5．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图79所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )图79A.815B.49C.35D.19 C [依题意，平均数x ＝20＋60＋30＋＋9＋1＋6＝22，故优秀工人只有2人，从中任取2人共有C 26＝15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有C 26－C 24＝9种，故至少有1名优秀工人的概率P ＝915＝35，故选C.] 二、填空题6．某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图710所示的频率分布直方图，则直方图中x 的值为________；试估计该校体重在[55,70)的女生有________人．图7100．024 1 000 [由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x ＋0.016＋0.01)＝1，得x ＝0.024.在样本中，体重在[55,70)的女生的频率为5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以该校体重在[55,70)的女生估计有2 000×0.5＝1 000人．]7.某校开展“ 爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图711所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．图7111 [当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1.]8．(2016·淄博模拟)从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图712.根据茎叶图，树苗的平均高度较高的是__________种树苗，树苗长得整齐的是__________种树苗．【导学号：67722031】图712乙 甲 [根据茎叶图可知，甲种树苗中的高度比较集中，则甲种树苗比乙种树苗长得整齐；而通过计算可得，x 甲＝27，x 乙＝30，即乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．]三、解答题9．(2016·泰安二模)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成如下六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图713所示的频率分布直方图．图713(1)若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(2)在抽取的40名学生中，若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．[解](1)由10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，得a＝0.03.2分根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.4分估计期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544(人).6分(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在[90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.8分如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共7种取法，所以所求概率为P＝715.12分10．(2016·郑州一模)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将先取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少．[解] (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，2分 则P (A )＝40200＝15.4分所以当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.6分(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1，A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1，B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，8分则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有24种.10分设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)．∴P (N )＝424＝16.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图714所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn＝( )图714A ．1 B.13 C.38D.29C [由茎叶图可知乙的中位数是32＋342＝33，根据甲、乙两组数据的中位数相同，可得m ＝3，所以甲的平均数为27＋33＋393＝33，又由甲、乙两组数据的平均数相同，可得20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38，故选C.]2．(2016·烟台模拟)如图715茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩(单位：环)，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为( )图715A ．4B ．3C ．2D ．1C [根据茎叶图中的数据，得： 甲、乙二人的平均成绩相同，即15×(87＋89＋90＋91＋93)＝15(88＋89＋90＋91＋90＋x )， 解得x ＝2，所以平均数为x ＝90.根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定(方差较小)， 且乙成绩的方差为s 2＝15[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.]3．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图716)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶ 2∶ 3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是( )图716A ．240B ．280C ．320D ．480D [由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg 的频率为(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg 的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480, 故选D.]4．3个老师对某学校高三三个班级各85人的数学成绩进行分析，已知甲班平均分为116.3分，乙班平均分为114.8分，丙班平均分为115.5分，成绩分布直方图如图717，据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是( )图717A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法判断C [由于平均分相差不大，由直方图知丙班中，学生成绩主要集中在110～120区间上且平均分较高，其次是乙，分数相对甲来说比较集中，相对丙而言相对分散．数据最分散的是甲班，虽然平均分较高，但学生两极分化，彼此差距较大，根据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的学生发挥差异较小．故选C.]二、填空题5．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图718所示，则该样本的方差为________．图718(1)2,10,18,26,34 (2)62 [(1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如图719是某个样本的频率分布直方图，分组为[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，已知a ，b ，c 成等差数列，且区间[130,140)与[140,150)上的数据个数相差10，则区间[110,120)上的数据个数为__________．图71920 [由频率分布直方图得[130,140)上的频率为0.025×10＝0.25， [140,150)上的频率为0.015×10＝0.15.设样本容量为x ，则由题意知0.25x －0.15x ＝0.1x ＝10，解得x ＝100. 因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c .又10a ＋10b ＋10c ＝1－0.25－0.15＝0.6⇒a ＋b ＋c ＝0.06⇒3b ＝0.06， 解得b ＝0.02.故区间[110,120)上的数据个数为10×0.020×100＝20.] 三、解答题7．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图720所示)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列各题．图720(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高？[解] (1)依题意可算出第三组的频率为42＋3＋4＋6＋4＋1＝15，设共有n 件作品参加评比，则12n ＝15，所以n ＝60.5分(2)由频率分布直方图，可看出第四组上交作品数量最多， 共有60×620＝18(件).8分(3)第四组获奖率为1018＝59，第六组获奖率为260×120＝23＝69.所以第六组获奖率较高.12分8．有同一型号的汽车100辆．为了解这种汽车每耗油1 L 所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油 1 L 所行路程试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7,12.7,14.4,13.8,13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4.其分组如下：(1)(2)根据频率分布表，在给定坐标系(如图721)中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95)中的概率．图721[解] (1)频率分布表：6分(2)频率分布直方图如图：估计总体数据落在[12.95,13.95)中的概率为(0.6＋0.8)×0.5＝0.7.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点9 随机变量及其分布
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
[ 解] (1)设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”， 则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.2 分 (2)设 B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.4 分 又 P(AB)＝P(B)，
3 2 3 2 P(A)P(B)P( C )P(D) ＋ P(A)P(B)P(C)P( D ) ＝ 4 × 3 × 4 × 3 ＋
1 2 3 2 3 1 3 2 2 2×4×3×4×3＋4×3×4×3＝3，
2 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为3.5 分
(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 1 1 1 1 1 P(X＝0)＝4×3×4×3＝144，
1p1＋x2p2＋„＋xipi＋„＋xnpn 为 X 的均值或数学期望(简称期望)． (3)E(X)＝x __________________________
2 2 2 ( x － E ( X )) · p ＋ ( x － E ( X )) · p ＋„＋ ( x － E ( X )) · pi＋„＋(xn 1 1 2 2 i D(X)＝__________________________________________________________ 2 － E ( X )) · pn 叫做随机变量 X 的方差． _____________
2017高考数学二轮复习与策略课件 名师寄语
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第四页，编辑于星期六：二十一点 三十分。
2017版高三二轮复习与策略
[解] (1)证明：由题意知
sin 2cos
AA＋csoins
BB＝cossiAncAos
B＋cossiAncBos
B，
化简得 2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即 2sin(A＋B)＝sin A＋sin B． 3 分
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[解] (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).1 分 ①设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点. 2 分 ②设 a＞0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又 f(1)＝－e，f(2)＝a，取 b 满足 b＜0 且 b＜ln a2，则 f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2 ＝ab2－32b＞0，故 f(x)存在两个零点. 4 分
|f(x)|＝2－x 同样有且仅有一个解．当 3a>2，即 a>23时，由 x2＋(4a－3)x＋3a＝2－
x(其中 x<0)，得 x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中 x<0)，则 Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，
解得 a＝34或 a＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ舍去)；
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第十八页，编辑于星期六：二十一点 三十分。
2017版高三二轮复习与策略
当 1≤3a≤2，即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件． 综上所述，a∈13，23∪34.故选 C.] 【名师点评】 借助函数图象分析函数的性质，是求解此类问题的通法，解 题时，往往需要从函数的图象变化趋势中寻求解题的切入点，其中分段函数的单 调性是本题的易错点．
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(2016· 全国乙卷)已知函数 f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2 有两个零点． (1)求 a 的取值范围； (2)设 x1，x2 是 f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
[ 解题指导]
结合a的取值 图象的变化趋势 求 f′(x) ――――→ 讨论函数 f(x)的单调性 ――――――→ 求
(2)证明：不妨设 x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－ ∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减， 所以 x1＋x2＜2 等价于 f(x1)＞f(2－x2)， 即 f(2－x2)＜0.9 分 由于 f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2， 而 f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
2
2 3 ＝ab －2b＞0，故
f(x)存在两个零点.4 分
③设 a＜0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ln(－2a)． e 若 a≥－2，则 ln(－2a)≤1，故当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此 f(x)在(1， ＋∞)内单调递增． 又当 x≤1 时，f(x)＜0，所以 f(x)不存在两个零点． e 若 a＜－2，则 ln(－2a)＞1，故当 x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0； 当 x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0. 因此 f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.6 分 又当 x≤1 时，f(x)＜0，所以 f(x)不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).8 分
第3点
注重知识交汇，强化综合运用
在知识交汇处命制试题是一个永恒不变的规律．分析高考试题，我们不难 发现，几乎所有的试题都是在“联系”上做“文章”，如果我们对数学知识的 掌握是孤立的，那么在解题时，条件与条件之间、条件与结论之间的“联系” 就很难做到沟通，也就很难找到解决问题的有效策略．因此，我们在经历了一 轮基础性复习之后，关注知识点间的联系，强化综合成为二轮专题复习的重要 策略．
所以 f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2. 设 g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex， 则 g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)． 所以当 x＞1 时，g′(x)＜0，而 g(1)＝0， 故当 x＞1 时，g(x)＜0.11 分 从而 g(x2)＝f(2－x2)＜0，故 x1＋x2＜2.12 分
转化思想 构造法 a 的取值范围 ―――→ x1＋x2＜2⇔f(x1)＞f(2－x2) ――→ 证明结论．
[ 解]x－1)(ex＋2a).1 分
①设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.2 分 ②设 a＞0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． a a 又 f(1)＝－e，f(2)＝a，取 b 满足 b＜0 且 b＜ln 2，则 f(b)＞2(b－2)＋a(b－ 1)
【名师点评】
本题以函数的零点为载体，融导数、不等式于其中，重点
考查了学生的分类讨论思想和等价转化及推理论证能力.复习该部分知识时，要 强化函数、方程、不等式三者间的内在联系，突现导数解题的工具性.
由本例可以看出，在二轮专题复习中，我们务必要密切关注知识之间的相 互联系，在强化综合中，加强思维灵活性训练，从而提高分析问题和解决问题 的能力，回避偏题、难题、怪题和旧题． 总体来说，在二轮专题复习中，我们要做到“三个强化，三个淡化，一个 渗透”，即强化主干知识，淡化细枝末节；强化基础能力，淡化题型套路；强 化综合应用，淡化“偏、难、怪、旧”，渗透数学思想．