河海大学材料力学第十二章 压杆稳定

Fcr = cr A
杆件分类：
1. 细长杆： P
（ cr


）
p
cr

2E 2
2. 中长杆：λ u ＜ λ＜λP
σcr = a – bλ
（
p

cr


）
u
3. 短粗杆： λ≤λ u
（ cr


）
u
其中：
p
2E p
u

a
u
b
稳定失效 强度失效
λ分支 = λ整体
二、减少相当长度（l）
三、合理选择材料
讨论：图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的
刚性块固结在一起。柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等 间距，并作用在两柱子所在的平面内。试分析立柱失稳时 的几种可能形态。
μ=1
Fcr


2 EI y l2
xy面内失稳：
μ=0.5
Fcr （02.5ElI）z2
Fcr （2lE）I2 — — Euler公式
§11-3 E和u非ler弹公性式失的稳适的用压范杆围
一、细长压杆的临界应力
cr

Fcr A
（2l）E2IA
（2lE）2
I A
i 2 I A
Fcr=F l
w0
M(x)
x
Fcr
O
y
w = Asinkx +Bcoskx 0
Fcr


2 EI l2
Euler公式
F
边界条件：
B′
A
B
（1）x = 0，w =B0´′
Fcr
（2）x = l， w=0
O
w0
二、不同杆端约束下细长压杆的临界荷载（类比法）
Fcr l
Fcr
Fcr
Fcr
l/4
0.7l
l
l/2
F
F
F＜Fcr F＝Fcr
F>Fcr
干扰力
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
稳定平衡 失稳（屈曲）
§11-2 细长压杆的临界荷载
x
一、两端铰支细长压杆的临界荷载
Fcr
弹性范围内： E I w″= -M（x）
M（x）=Fcrw
得 E I w″= - Fcrw 令 k2=Fcr / EI
得 w″+ k2 w= 0
四、失效应力总图
u
cr a b
u P
cr

2E 2
O
u
P
λ
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
结论：对同种材料的压杆，柔度越大，越易失稳。
例： 图中四根圆截面压杆，材料及直径均相同。试判断 哪一根杆最容易失稳，哪一根杆最不容易失稳。
9l
5l
7l
2l
l
i
例： 一松木压杆，两端为球铰。已知 p 9 MPa，


F A
cr
nst

st
st — 稳定容许应力
二、压杆的稳定计算 稳定校核； 截面设计； 求容许荷载。
F Fcr
nst

F st

cr
nst

st
1、安全因数法
利 用F Fcr , nst
n
Fcr F
nst
2、折减因数法
st
2E
l 2

2E 2
i
λ= μl / i ——柔度（细长比）
二、Euler公式的适用范围
适用条件：
σcr =π2E / λ2≤σP σP ——材料的比例极限

2E P
P
——细长杆 （大柔度杆）
三、非弹性失稳的压杆
当λ＜λP 时，其失稳时的临界应力σcr＞ σ P 。压杆
失稳———非弹性失稳。
2
A F 42.87cm2
[ ]
查型钢表选22b工字钢，
176.2
查表9 1，得： 0.234
例：厂房钢柱长7m,由两根16b号Q235槽钢组成.端部截面
上有四个直径为30mm的螺栓孔.μ=1.3,F=195KN，nst=2.4， [σ]=170MPa， σp=200MPa, E＝206GPa。 （1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。
采用经验公式： σ cr = a – bλ， F cr = σ cr A
适用范围： σP＜σ cr ＜σ u
或 λ u ＜ λ＜λP
－中长杆（中柔度杆）
令σ cr = σ u得：
u

a

b
u
当λ≤λ u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破 坏是强度破坏。
显然， λ u是中柔度杆与短粗杆的分界值。
查型钢表选18号工字钢， A A30.650c.m892，cmim2in 2.0cm
查型钢表选28a工字钢，
1l60.3200
i
查得8 ： 1表， 得 0.27 6，0.186， 与405..51仍M相 Pa差较 大[。]
46.92 MPa
2° 第二次试算： 设 0.186 0.5 0.343
b 13MPa，E＝104MPa。压杆截面为如下两种：
（1） h=120mm, b=90mm的矩形；
（2） h=b=104mm的正方形。
试比较二者的临界荷载。
z
3m
y
解：
（1）

l
i
115.4
z
p
2E 104.7
p
p 该杆为细长杆。
y
（2） 100
=1
y

l
iy
48.3
xy面内失稳：
μ= 0.5
z

l
iz
65.8
压杆将在xy面内失稳。
p 100 , u 60
该杆为中长杆。 Fcr = (a – bλ)A
=329.3kN
§11-4 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定条件
F Fcr
nst

F st
其中：nst — 稳定安全因数。Fst — 稳定容许压力。
第十一章
压杆的稳定性
§11-1 压杆稳定性的概念
构件在外力作用下保持原有平衡形式的能力
稳定性 丧失原有平衡形式的现象称为失稳
失稳也是一种失效形式
常见的受压工程构件：
压杆
桁架中的压杆
问题一： 是否任何受压杆件都存在稳定性问题？
F F1
F
问临题界压二力：Fcr（临界荷载） 是－－否压无杆论保受持多稳大定平压衡力所杆能件承都受存的极在限稳压定力性问题？
u

a
b
b

85.8
该杆为中长杆。
Fcr （2lE）I2 79.9kN
Fcr = (a – bλ)A
=111.5 kN
例： 一长2m，截面为10号工字钢的压杆，材料为Q235钢，
s＝235MPa，E=206MPa，p＝200MPa。压杆两端为柱
形铰，试求压杆的临界荷载。
解： xz面内失稳：
2l
l/4
0.3l
μ=1
μ=2
μ=0.5
μ=0.7
Fcr 统一形式： Fcr （2lE）I2 — — Euler公式
μ——长度因数， μቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ——相当长度
思考题：
Fcr （2lE）I2 — — Euler公式
两端球铰约束细长杆，横截面为不 同形状时，压杆将在哪个平面内失稳？
柱形铰
x
z
y
xz面内失稳：
h = 8.23cm
例：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截面 上有四个直径为30mm的螺栓孔。μ=1.3，F=195KN， nst=2.4，[σ]=170MPa， σp=200MPa, E＝206GPa。 （1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：（2）
d
z0
l 149.2
F
A
n 称为工作安全因数
— 稳定因数或折减因数
例：桁架上弦杆AB为Q235工字钢，截面类型为b类，
[σ]=170MPa，受轴向压力F=250kN。试选择工字钢的
型号。
A 4m B
解：1°设 = 0.5
3°A第 三F次试 算29：.41cm 2
设 0.289
i
p
2E 100 P
z
p 故为细长杆。
h

Fcr （2lE）I2 458.9kN
y
y0
σ= F / A' = 70.5 Mpa＜ [σ]
n Fcr 2.35
F
故满足强度条件.
因没超过5％，仍认
为满足稳定性要求。
习题： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为16号 工字钢，BC杆为d＝60mm的圆杆。已知E=200GPa，
解：（1）求 h
d
z0
∵钢柱各方向的约束均相同。
∴合理的设计应使 Iy = Iz。
z h
查单根16b号槽钢，得：

y
y0
A = 25.15cm2， Iz = 934.5cm4。Iy0 = 83.4cm4
z0=1.75cm，δ = 10mm
由平行移轴公式 Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Iz
p=200MPa， s=235MPa，n=2，nst=3，求[F].