2016内蒙古北方职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
2016呼和浩特职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网一、选择题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)解析：选B.∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，∴m＝－4.∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，m)＝(－4,4＋3m)＝(－4，－8)．2．下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1解析：选C.对于选项A，单位向量方向任意，大小相等，故选项A错误；对于选项B，若b为零向量，则a，c不一定共线，故选项B错误；对于选项C，根据向量的几何意义，对角线相等的四边形是矩形，所以a·b＝0，故选项C正确；对于选项D，单位向量可能有夹角，所以不一定是a·b＝1，故选项D错误．故选C.3.如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a、b表示AD→，则AD→等于()考单招——上高职单招网A ．a ＋34bB.14a ＋34b C.14a ＋14bD.34a ＋14b 解析：选B.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b ，故选B.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)解析：选D.设c ＝(a ，b )，则c ＋a ＝(1＋a,2＋b )，b ＝(2，－3)． 又∵(c ＋a )∥b ，∴(1＋a )(－3)－2(2＋b )＝0.① 又∵a ＋b ＝(3，－1)，c ＝(a ，b )且c ⊥(a ＋b )， ∴3a －b ＝0.②解①②得⎩⎨⎧a ＝－79b ＝－73，∴c ＝(－79，－73)．5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由题意知m ·n ＝0， ∴3cos A －sin A ＝0，考单招——上高职单招网∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3，又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， 即sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，sin(A ＋B )＝sin 2C ，sin(π－C )＝sin 2C ，sin C ＝sin 2C ， ∴sin C ＝1，∵0<C <π，∴C ＝π2，∴B ＝π6. 二、填空题6．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析：∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1. 答案：－17．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.解析：由题意画出图形如图所示，取一组基底{}AB →，AC →，结合图形可得 AD →＝12(AB →＋AC →)， BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC→－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14.答案：－14考单招——上高职单招网8．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________.解析：∵|a |＝|b |且a 、b 不共线，∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →＝(2,4)，∴λ＝2. 答案：0 2 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． 解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)．求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210， 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2， 易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.10．已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值．考单招——上高职单招网解：(1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． ∵|AC →|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2， 化简得2sin θ＝cos θ.∵cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)， ∴tan θ＝12.(2)∵OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)． ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴sin θ＋cos θ＝12. ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴sin2θ＝－34.11．已知点C (0,1)，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于原点O 的相异的两动点，且OA →·OB →＝0.(1)求证：AC →∥AB →；(2)若AM →＝λMB →(λ∈R )，且OM →·AB →＝0，试求点M 的轨迹方程．解：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，x 1≠0，x 2≠0，x 1≠x 2.∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋x 21x 22＝0.又x 1≠0，x 2≠0，∴x 1x 2＝－1.(1)证明：AC →＝(－x 1,1－x 21)，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 21)．∵(－x 1)(x 22－x 21)－(x 2－x 1)(1－x 21)考单招——上高职单招网＝(x 2－x 1)[－x 1(x 2＋x 1)]－(x 2－x 1)(1－x 21)＝(x 2－x 1)(－x 1x 2－x 21－1＋x 21)＝(x 2－x 1)·0＝0， ∴AC →∥AB →.(2)由题意知，A ，M ，B 三点共线，OM ⊥AB ，由(1)知A ，B ，C 三点共线． 又OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB .故M 点是直角三角形AOB 的顶点O 在AB (斜边)上的射影，∠OMC ＝90°. ∴点M 在以OC 为直径的圆上，其轨迹方程为 x 2＋(y －12)2＝14(y ≠0)．。
2016内蒙古化工职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．指出下列各角是第几象限角： (1)330°是第________象限角； (2)－200°是第________象限角； (3)945°是第________象限角； (4)－650°是第________象限角．2．下列命题中正确的有________．(填序号) ①第一象限角一定不是负角； ②小于90°的角一定是锐角； ③钝角一定是第二象限角； ④第一象限角一定是锐角．3．若角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P (－4,3)为其终边上一点，则cos α的值为________________________________________________________________________．4．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．能力提升5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________________．考单招——上高职单招网6．设θ是第二象限角，则点P (sin θ，cos θ)在第________象限． 7．若α是第四象限的角，则π－α在第________象限．8．设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是________． 9．确定下列三角函数值的符号(填“>”或“<”)： (1)cos 712π________0； (2)sin(－465°)________0； (3)tan 113π________0.10．经过一刻钟，长为10 cm 的分针所扫过的面积是________ cm 2. 11．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．12．若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是______________________．13．(8分)设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度数表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．考单招——上高职单招网14．(8分)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．15．(12分)已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2 cm2，求扇形周长和弦AB的长．16．(12分)利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案 【基础热身】1．(1)四 (2)二 (3)三 (4)一2．③ [解析] 第一象限角可能是负角，①错，④错；小于90°的角可能是负角，②错．3．－45 [解析] cos α＝x r ＝－45.4.7π4 [解析] 根据三角函数定义可知sin θ＝cos 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－3π4＝sin 7π4，∵θ∈[0,2π]，∴θ＝7π4.【能力提升】5．{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z } [解析] 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z .6．四 [解析] θ是第二象限角，则sin θ>0，cos θ<0.7．三 [解析] π－α＝－α＋π，若α是第四象限的角，则－α是第一象限的角，再逆时针旋转180°，得π－α是第三象限角．8．2 [解析] S ＝12(8－2r )r ＝4，r 2－4r ＋4＝0，r ＝2，l ＝4， α＝lr ＝2.9．(1)< (2)< (3)< [解析] (1)712π是第二象限角，所以cos 712π<0.(2)因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以sin(－465°)<0. (3)因为113π＝2π＋53π，即113π是第四象限角，所以 tan 113π<0.10．25π [解析] 经过一刻钟，分针转过π2rad ，考单招——上高职单招网故所覆盖的面积是S ＝12lR ＝12|α|R 2.＝12×π2×102＝25π(cm 2)． 11.11π6 [解析] 该点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，角α是第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32，所以角α的最小正值为11π6.12.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z [解析] 由对称性知，角β的终边与－π6的终边相同，故角β的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z .13．[思路] 涉及角度与弧度的互化及终边相同的角的概念． [解答] (1)α1＝－570°＝－570180π＝－196π＝－2×2π＋5π6. 同理有α2＝750°＝256π＝2×2π＋π6. 故α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝35π＝35×180°＝108°.设θ＝k ·360°＋β1(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°， 所以－720°≤k ·360°＋108°<0°， 所以k ＝－2或k ＝－1，则在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－73×180°＝－420°，且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°. [点评] 角度制和弧度制的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可像本例一样化为解不等式去求对应的k 值．14．[解答] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则考单招——上高职单招网x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45， tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t .sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.15．[解答] 设AMB 长为l ，OA ＝r ，扇形OAB 的面积为S 扇形．∵S 扇形＝12lr ，∴12lr ＝2.①设扇形的圆心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr＝4，②由①②解得r ＝1，l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2r ＝4＋2×1＝6 (cm)． 如图所示，作OH ⊥AB 于H ， 则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42 ＝2r sin(π－2)＝2sin2 (cm)．考单招——上高职单招网16．[解答] 证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线(余弦线)变成一个点；而余弦线(正弦线)的长等于r(r＝1)．所以|sinα|＋|cosα|＝1.当角α的终边落在四个象限时，取r＝1，即选取角α终边与单位圆的交点为P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M.利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|>1，综上有|sinα|＋|cosα|≥1.[点评] 本题除了用三角函数线证明外，还有其他证明方法，如分析法证明，也可以用左边平方的方法等等．。
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学测试题(含答案)
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学测试题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.设x∈R，则“x＞1”是“x3＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设函数f(x) = x2+1，则f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数3.A.ac＜bcB.ac2＜bc2C.a-c＜b-cD.a2＜b24.设f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(-1)=()A.-3B.-1C.1D.35.如图所示的程序框图，当输人x的值为3时，则其输出的结果是（）A.-1/2B.1C.4/3D.3/46.从1，2，3，4，5这5个数中，任取四个上数组成没有重复数字的四个数，其中5的倍数的概率是（）A.B.C.D.7.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=()A.-4/3B.-3/4C.D.28.已知点A（1，-3）B（-1，3），则直线AB的斜率是（）A.B.-3C.D.39.若输入-5,按图中所示程序框图运行后，输出的结果是（）A.-5B.0C.-1D.110.垂直于同一个平面的两个平面()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.前三种情况都有可能11.设集合U={1，2,3,4,5,6}，M={1，3,5}，则C∪M=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U12.A.B.C.13.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是A.B.C.D.y=3x14.直线x-y=0,被圆x2+y2=1截得的弦长为（）A.B.1C.4D.215.已知全集U={1，2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，={1，3,5}，则A∩B=()A.{5}B.{2}C.{1,2,4,5}D.{3,4,5}16.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)17.若是两条不重合的直线表示平面，给出下列正确的个数（）（1）（2）（3）（4）A.lB.2C.3D.418.已知A是锐角，则2A是A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.D小于180°的正角19.已知函数f(x)=x2-x+1，则f(1)的值等于（）A.-3B.-1C.1D.220.设a＞b,c＞d则（）A.ac＞bdB.a+c＞b+cC.a+d＞b+cD.ad＞be二、填空题(20题)21.在等比数列{a n}中,a5 =4，a7 =6，则a9 = 。
2016鄂尔多斯职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋3，且a 3＝8，则S 10等于( ) A ．155 B ．160 C ．172 D ．2402． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( ) A ．65 B ．70 C ．130 D ．2603．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．244．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 能力提升5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．36．{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，令b n ＝a 3n ，则数列{b n }的一个通项公式是( )A ．b n ＝3n ＋2B ．b n ＝4n ＋1C ．b n ＝6n －1D ．b n ＝8n －3考单招——上高职单招网7．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．248．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 10．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.11．已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t )，则f (t )＝________.12．(13分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .考单招——上高职单招网难点突破13．(12分)已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2a m＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；(2)设b n＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列；(3)设c n＝(a n＋1－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n项和S n.考单招——上高职单招网参考答案 【基础热身】1．A [解析] 由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差d ＝3的等差数列，由a 3＝8，得a 1＋2d ＝8，a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A.2．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 9＋a 11＝30，得 a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30，即a 1＋6d ＝10， ∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130，故选C.3．B [解析] 由已知，有a 1＋(k －1)d ＝7a 1＋7×62d ，把a 1＝0代入，得k ＝22，故选B.4．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.【能力提升】5．C [解析] 由S 33－S 22＝1，得13(3a 1＋3d )－12(2a 1＋d )＝1，解得d ＝2，故选C. 6．C [解析] 由已知，得{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列{b n }的前4项为5,11,17,23，即数列{b n }是首项b 1＝5，公差为6的等差数列，它的一个通项公式为b n ＝6n －1，故选C.7．B [解析] 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.8．C [解析] 方法1：S 3＝S 11得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列性质可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法2：由S 3＝S 11可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时S n 最大．考单招——上高职单招网方法3：根据a 1＝13，S 3＝S 11，这个数列的公差不等于零，说明这个数列的和先是单调递增的，然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当S 3＝S 11时，只有n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．9．42 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 3＝13，得2a 1＋3d ＝13，解得d ＝3，∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.10．20 [解析] 由调和数列的定义，得x n ＋1－x n ＝d ，即数列{x n }是等差数列， 则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 1＋x 20)＝200， 故x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.11.⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数)[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝－2，则数列{a n }是公差为－2的等差数列，数列{a n }的前n 项和为S n ＝nt ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋(t ＋1)n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －t ＋122＋(t ＋1)24.若t 为奇数，t ＋12是整数，则当n ＝t ＋12时，S n 有最大值(t ＋1)24；若t 为偶数，则t ＋12不是整数，则当n ＝t 2或n ＝t2＋1时，S n 有最大值t 2＋2t 4.考单招——上高职单招网故f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t 4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数).12．[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).【难点突破】13．[解答] (1)由题意，令m ＝2，n ＝1，可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得 a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得 a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.考单招——上高职单招网所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列，则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2. 另由已知(令m ＝1)可得， a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2.那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1 ＝8n －22－2n ＋1 ＝2n .于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n ＝2·1－q n 1－q －2nq n＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2考单招——上高职单招网综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)(q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).。
2016包头钢铁职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．已知A (2,0)，B (0,1)，O 是坐标原点，动点M 满足OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，并且OM →·AB →>2，则实数λ的取值范围是( )A ．λ>2B ．λ>65 C.65<λ<2 D ．1<λ<24．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( ) A.655 B.65 C.135 D.13能力提升5．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关7．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．5 3 N B．5 NC．10 N D．5 2 N的是8．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确．．．()A．(a＋b)⊥(a－b)B．a与b的夹角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|>2D．a与b在a＋b方向上的投影相等→＋PB→＋PC→＝AB→，QA→＋QB→＋QC→9．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA＝BC→，RA→＋RB→＋RC→＝CA→，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为() A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶510．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．11．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP→·OA→≤0，BP→·OB→≥0，则OP→·AB→的最小值为________．12．[已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．13．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b夹角为45°，则使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围是________________________________________________________________________．14．(10分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求：a ·b 及|a ＋b |的值；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．15．(13分)在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．难点突破16．(12分) 已知a＝(cos x＋sin x，sin x)，b＝(cos x－sin x,2cos x)．(1)求证：向量a与向量b不可能平行；(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．参考答案【基础热身】1．C [解析] A 项，∵|a |＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22， ∴|a|≠|b |，A 错；B 项，∵a·b ＝1×12＋0×12＝12，B 错； C 项，∵a －b ＝(1,0)－⎝⎛⎭⎫12，12＝⎝⎛⎭⎫12，－12， ∴(a －b )·b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12·⎝⎛⎭⎫12，12＝14－14＝0，C 对； D 项，∵1×12－0×12≠0，∴a 不平行于b .故选C.2．D [解析] ∵a·c ＝a·⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.3．B [解析] 根据向量减法的几何意义得AB →＝OB →－OA →，所以OM →·AB →>2，即[λOB →＋(1－λ)OA →]·(OB →－OA →)>2，即λOB →2－(1－λ)OA →2＋(1－2λ)OA →·OB →>2，即λ－(1－λ)×4>2，解得λ>65.4．A [解析] ∵cos θ＝a·b |a ||b |＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55， ∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 【能力提升】5．C [解析] ∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |， ∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a·b |a||b |2 ＝|a |2|b |2－(a·b )2|a||b |， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin 〈OA →，OB →〉 ＝12|a||b |sin 〈a ，b 〉 ＝12|a |2|b |2－(a·b )2，故选C.6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．B [解析] |F 1|＝|F |·cos60°＝5 N.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等． 9．B [解析] 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →，即PA →＋PC →＝AB →＋BP →，PA →＋PC →＝AP →，∴PC →＝2AP →，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.10.7 [解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7.11．3 [解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.12.⎝⎛⎦⎥⎤0，233 [解析] 如图，数形结合知β＝AB →，α＝AC →，|AB →|＝1，C 点在圆弧上运动，∠ACB ＝60°，设∠ABC ＝θ，由正弦定理知|AB |sin60°＝|α|sin θ，∴|α|＝233sin θ≤233，当θ＝90°时取最大值．∴|α|∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233. 13.－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1 [解析] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0，∴λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴此时存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＝1，λ＝k ，∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 14．[解答] (1)a·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x 2＝cos2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2cos 2x .∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ≥0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾．②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12. ③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．15．[解答] (1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP → ＝12AB →＋3(AP →－12AB →)＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴BP →⊥AC →，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0，即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0.∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点．【难点突破】16．[解答] (1)证明：假设a ∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )， 即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x,1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，亦即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322<－1，矛盾． 故假设不成立，向量a 与向量b 不平行．(2)a·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， a·b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－7π4，π4， ∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π或－3π4或0.。
2016年职高数学高考试题
A BC P2016内蒙古自治区高等职业院校 对口招收中等职业毕业生单独考试一、 选择题1．已知全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={3,4,5}，则)(B C A U =（ ） A. {3,5} B. {1} C. {1,3,4,5} D. {1,2,3,5,6} 2.不等式0)4(>-x x 的解集是（ ）A. ),4[]0,-+∞∞ （B. ]4,0[C. ）（）（+∞∞,40,- D. )4,0( 3.已知55cos =α，且α为第四象限角，则=αsin （ ） A.51- B. 51 C. 552- D.5524.已知向量2),2,0(b 1,|a |=∙==b a 且，则向量与的夹角的大小为（ ）A.6πB. 4πC. 3πD.2π5.在等比数列}{a n 中，12,8a 128==a ，则=4a （ ） A.316 B. 4 C. 23D. 18 6.两条直线02=++a y x 和01y 2x =-+的位置关系（ ）A. 垂直B. 相交，但不垂直C. 平行D. 重合 7.当a>1时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x a y =的图像可能是（ ）A. B. C. D.8.151022=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则整数k 的值有（ ） A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 9.若3)1()(2+++=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间]1,6[--上是（ ） A. 减函数 B. 增函数 C. 先增后减 D.先减后增 10.设m 、n 是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若n m n m //,//,//则αα B.若βαβα//,//,//则m mC.若αα⊥⊥n m n m 则,,//D.若ββαα⊥⊥m m 则,,//11.抛掷三枚硬币，出现两正一反的概率是（ ）A. 83B. 85C. 81D.5312.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点P 的横坐标为3-，点P 到焦点的距离为5，则抛物线的方程为（ ）A. y x 42-=B. y x 42=C. x y 82-=D. x y 82= 二、填空题13. 函数xx x f 211)(0-+=）（的定义域是 .14. 若一个圆的圆心为)2,a (,半径为22，且圆心在直线01635=-+y x 上，则该圆的标准方程为 .15. 在ABC ∆中，已知=∠=∠==C A c a 则,30,2,1 . 16. 如图，在三棱锥ABC P -中，底面ABC 为∆Rt ， 90=∠ACB ，且2==BC AC ，2=⊥PC ABC PC ，平面，则点P 到AB 的距离为 .17. 5212(xx -的展开式中，含x 的项的系数为 .（用数字作答）18. 若双曲线)0(14222>=-b b y x 的渐近线方程为x y 21±=，则b= .三、解答题19.（本小题满分8分）已知C B A ∠∠∠,,是ABC ∆的三个内角，且53cos ,1715cos ==B A ，求C sin 的值.20.（本小题满分8分）已知向量),2(),3,1(m b a -==，当实数m 为何值时， （1）)2(b a a -⊥； （2）)2//(b a b + .21.（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列}{a n 中，首项21=a ，且1131,,a a a 成等比数列. (1) 求3a 和11a 的值； (2) 求等差数列}{a n 的前n 项和n S .22.（本小题满分10分）已知二次函数)3(f )1(f ,3bx x 41)x (f 2=-+-=满足，（1）求常数b 的值； （2）设函数)1x (log )x (g b -=，当0)x (g >时，求x 的取值范围.23.（本小题满分12分）已知圆C ：096222=+--+y x y x ，直线02543=-+y x l ：. （1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若圆C 与直线l 相交，求出两交点之间的距离；若圆C 与直线l 相离，求出圆C 上的点到直线l 的最大距离和最小距离.24.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，且 60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，E 为PC 的中点，对角线BD AC 、交于点O ，连接OE ，BE . （1）求证：BD OE ⊥；（2）求异面直线BE 与AD 所成角的余弦值.A BC DEPO。
2016内蒙古建筑职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的()A．一条确定的直线 B．任意一条直线C．所有的直线 D．无穷多条平行直线2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内3．下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线l在平面α外，则l∥αC．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂平面α，那么a平行于平面α内的无数条直线4．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交能力提升5．如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置关系是()A．两两相交于三条交线考单招——上高职单招网B ．两个平面互相平行，另一平面与它们相交C ．两两相交于同一条直线D ．B 中情况或C 中情况都可能发生6．已知直线l 、m ，平面α，且m ⊂α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件7．设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．209．如图K39－1，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台K39－1考单招——上高职单招网K39－210．如图K39－2，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．11．给出下列命题：①一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内的任何直线不相交；②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行；④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行；⑤a和b是异面直线，则经过b存在唯一的平面与a平行．则其中正确命题的序号为________．12．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．13．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；考单招——上高职单招网④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．14．(10分)如图K39－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，其棱长为1.(1)求证：平面AB1C∥平面A1C1D；(2)求平面AB1C与平面A1C1D间的距离．图K39－315．(13分)如图K39－4所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：PA∥平面EFG；(2)求三棱锥P－EFG的体积．考单招——上高职单招网图K39－4难点突破16．(12分)一个多面体的直观图和三视图如图K39－5(其中M，N分别是AF，BC 中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．考单招——上高职单招网图K39－5考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 过a 作平面β与α相交，则a 与交线平行，这样的β可以作无数个，则交线就有无数条，且所有的交线与a 平行，所以正确选项为D.2．D [解析] 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.3．D [解析] A 中l 可以在平面α内，B 中l 可以与α相交，C 中a 可以在平面α内，正确选项为D.4．D [解析] 任意性使得b 与α无公共点，由定义得正确选项为D. 【能力提升】5．D [解析] 在B 、C 两种情况下作图计数，知正确选项为D.6．D [解析] 由l ∥m 可知，l ∥α或l ⊂α；l ∥α且m ⊂α，则l ∥m 或l 与m 异面，故选D.7．D [解析] A 选项不正确，n 还有可能在平面α内，B 选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C 选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项D 正确．8．B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况，由面面平行的性质定理，得AB ∥CD ，则PA AC ＝PB BD ，可求出BD 的长分别为245或24.9．D [解析] 因为EH ∥A 1D 1，A 1D 1∥B 1C 1，所以EH ∥B 1C 1.又EH ⊄平面BCC 1B 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1，又EH ⊂平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BCC 1B 1＝FG ，所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥B 1C 1，所以选项A 、C 正确；因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，EH ∥A 1D 1，所以EH ⊥平面ABB 1A 1，又EF ⊂平面ABB 1A 1，故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D.考单招——上高职单招网10．平行四边形 [解析] 由α∥β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ，可得BG ∥CF ，同理有HE ∥CF ，所以BG ∥HE .同理BH ∥GE ，所以四边形BGEH 为平行四边形．11．①⑤ [解析] ①显然正确，如果直线与平面内的一条直线相交，则直线与平面相交，与直线与平面平行矛盾；②不正确，过平面外一点有一个平面与平面平行，而在这个平面内有无数条直线与平面平行；③不正确，过直线外一点有一条直线与已知直线平行，而过直线外一点与直线平行的平面却有无数个；④不正确，这条直线可能在该平面内；⑤正确，过b 上一点作一直线与a 平行，此时该直线与b 相交可确定一平面，且与a 平行，且唯一．12．6 [解析] 过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13．② [解析] ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可以异面，故为假命题．14．[解答] (1)证法一：⎭⎪⎬⎪⎫AA 1∥BB 1AA 1＝BB 1BB 1∥CC 1BB 1＝CC 1⇒AA 1綊CC 1⇒AA 1C 1C 为平行四边形 ⎭⎪⎬⎪⎫⇒AC ∥A 1C 1⇒AC ∥平面A 1C 1D 同理AB 1∥平面A 1C 1DAC ∩AB 1＝A⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D . 证法二：易知AA 1和CC 1确定一个平面AC 1，于是，⎭⎪⎬⎪⎫平面AC 1∩平面A 1C 1＝A 1C 1，平面AC 1∩平面AC ＝AC ，平面A 1C 1∥平面AC⇒A 1C 1∥AC考单招——上高职单招网同理⎭⎪⎬⎪⎫⇒A 1C 1∥平面AB 1C ，A 1D ∥平面AB 1C ，A 1C 1∩A 1D ＝A 1⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D . 证法三：连接BD 1，BD ，⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥BD ，D 1D ⊥平面AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD 1⊥AC ，同理BD 1⊥AB 1，AC ∩AB 1＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BD 1⊥平面AB 1C ，同理BD 1⊥平面A 1C 1D ⇒平面AB 1C ∥平面A 1C 1D .(2)设BD 1∩平面AB 1C ＝E ，BD 1∩平面A 1C 1D ＝F ，BD ∩AC ＝O . 由(1)证法三可知，线段EF 的长就是这两个平行平面的距离． 连接EO ，DF ，∴OE ∥DF ，E 是BF 的中点，得BE ＝EF ， 同理，D 1F ＝FE ，∴EF ＝13BD 1， ∵BD 1＝3，∴EF ＝33，即平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为33. 15．[解答] (1)证明：如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH ， ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD ， ∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD ， ∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面， ∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH ， ∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，∴PA ∥平面EFG .考单招——上高职单招网(2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥CG .又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ， ∴GC ⊥平面PCD ，∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.又GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13×12×1＝16. 【难点突破】16．[解答] (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF ，又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱， ∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝2，∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.考单招——上高职单招网。
2016包头铁道职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( ) A ．a n＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n(n ∈N ＋) D ．a n＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643．设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( ) A ．S 3 B ．S 4或S 5 C ．S 5 D ．S 64．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，则a 16＝________.能力提升5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )图K27－1考单招——上高职单招网A．27 B．28C．29 D．306．已知S n是非零数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－1，则S2 011等于() A．1－22 010 B．22 011－1C．22 010－1 D．1－22 0117．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，则a100的值是() A．9 900 B．9 902C．9 904 D．11 0008．已知数列{a n}中，a1＝1，1a n＋1＝1a n＋3(n∈N*)，则a10＝()A．28 B．33C.133 D.1289．已知数列{a n}的通项a n＝nanb＋c(a，b，c∈(0，＋∞))，则a n与a n＋1的大小关系是()A．a n>a n＋1 B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1 D．不能确定10．已知数列{a n}满足a1＝2，且a n＋1a n＋a n＋1－2a n＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式a n＝________.11．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.12．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{a n}的通项公式为________________________________________________________________________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．考单招——上高职单招网13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10.f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f2013(4)＝________.14．(10分)在2 011年10月1日的国庆阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的步兵方阵．(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为{a n}，求该数列的通项公式a n＝f(n)；(4)已知a n＝9900，问a n是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？(5)画出a n＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？考单招——上高职单招网15．(13分)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的单调性；(3)当n ≥2时，T 2n ＋1－T n <15－712log a (a －1)恒成立，求a 的取值范围．难点突破16．(1)(6分若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.(2)(6分)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.2．A [解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a 8＝2×8－1＝15，故选A.3．B [解析] 由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大，选B.4.12 [解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a 16＝a 1＝12.【能力提升】5．B [解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.6．B [解析] 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得S 1＝a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入S n ＝2a n －1，得 S n ＝2S n －1＋1，即S n ＋1＝2(S n －1＋1)，∴S n ＋1＝(S 1＋1)·2n －1＝2n ，∴S 2011＝22011－1，故选B. 7．B [解析] a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2·99·(99＋1)2＋2＝9902，故选B. 8．D [解析] 对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.考单招——上高职单招网9．B [解析] 把数列{a n }的通项化为a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn，∵c >0，∴y ＝c n 是单调递减函数，又∵a >0，b >0，∴a n ＝ab ＋c n 为递增数列，因此a n <a n ＋1，故选B.10.43 2n 2n －1 [解析] 当n ＝1时，由递推公式，有a 2a 1＋a 2－2a 1＝0，得a 2＝2a 1a 1＋1＝43； 同理a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615，由此可归纳得出数列{a n }的通项公式为a n ＝2n2n －1. 11．350 [解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2－1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n －1)－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，又a 1＝2不适合上式，则数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝(a 1＋1)＋a 3＋a 5＋…＋a 25－1＝(3＋51)2×13－1＝350.12．a n ＝2n －11 3 [解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；n ＝1时，a 1＝S 1＝－9符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. ∴na n ＝2n 2－11n ，∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．考单招——上高职单招网13．5 [解析] 因为42＋1＝17，f (4)＝1＋7＝8，则f 1(4)＝f (4)＝8，f 2(4)＝f (f 1(4))＝f (8)＝11，f 3(4)＝f (f 2(4))＝f (11)＝5，f 4(4)＝f (f 3(4))＝f (5)＝8，…，而2013＝3×671， 故f 2013(4)＝5.14．[解答] (1)该数列为6,12,20,30,42，…； (2)a 5＝42，a 6＝56； (3)a n ＝(n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)；(4)由9900＝(n ＋1)(n ＋2)，解得n ＝98，a n 是第98项，此时步兵方阵有99行，100列；(5)f (n )＝n 2＋3n ＋2，如图，图象是分布在函数f (x )＝x 2＋3x ＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28.15．[解答] (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ， ∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，考单招——上高职单招网∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴数列{c n }是递减数列．(3)由(2)知，当n ≥2时c 2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712log a (a －1)恒成立， ∴1<a <5＋12. 【难点突破】16．(1)4 (2)2 n 2 [解析] (1)设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2≥10，k 2－2k －9≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4.(2)本题以数列为背景，通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力，属于难题．因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2.因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3， 所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16， 猜想((a n )*)*＝n 2.考单招——上高职单招网。
2016内蒙古电子信息职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)
考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为________________________________________________________________________．2．如果函数y＝f(x)的图象如图K14－1，那么其导函数y＝f′(x)的图象可能是图K14－2中的________________________________________________________________________．(填序号)图K14－1图K14－23．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是________．4．若函数y＝ln x－ax的增区间为(0,1)，则a的值是________．能力提升5．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝________.7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图K14－3，则该函数有________个极大值；________个极小值．图K14－3考单招——上高职单招网9．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．10．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．11．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．12．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有________．(填序号)(1)f (x )g (b )>f (b )g (x )；(2)f (x )g (a )>f (a )·g (x )；(3)f (x )g (x )>f (b )g (b )；(4)f (x )g (x )>f (b )g (a )．13．(8分)已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]，求f (x )的单调区间．14．(8分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．考单招——上高职单招网15．(12分)已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．(12分)已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 由f ′(x )＝3x 2－1>0得，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. 2．(1) [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，所以只有(1)正确．3．7 [解析] 由f ′(x )＝3x 2－6x 易得，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，故极大值为f (0)＝7.4．1 [解析] 由条件可知，y ′＝1x －a >0的解集为(0,1)，代入端点值1，可知a ＝1.【能力提升】5．(2，＋∞) [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，解得x ＞2.6．5 [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f (x )在x ＝－3时取得极值，∴f ′(－3)＝30－6a ＝0，则a ＝5.7．－32 －6 [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，所以－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得b＝－32，c ＝－6.8．1 1 [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．9．3 [解析] f ′(x )＝3x 2－a ，在[1，＋∞)上，f ′(x )≥0恒成立，则3x 2－a ≥0，a ≤3x 2.又g (x )＝3x 2在[1，＋∞)上递增，故a ≤3，a 的最大值为3.10．9 [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，考单招——上高职单招网∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9.11．[－2，－1] [解析] 因为f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3m －2n ＝－3，f (－1)＝－m ＋n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f ′(x )＝3x 2＋6x ，又f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，所以f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0在区间[t ，t ＋1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(t )＝3t 2＋6t ≤0，f ′(t ＋1)＝3(t ＋1)2＋6(t ＋1)≤0，解之得t ∈[－2，－1]．12．(3) [解析] ∵f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′<0，∴f (x )g (x )为减函数，又∵a <x <b ，∴f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )．13．[解答] 对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝72.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2时，f (x )是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫2，1时，f (x )是增函数．14．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得x ＝1和x ＝－23为f ′(x )＝0的解， ∴－23a ＝1－23，b3＝1×⎝⎛⎭⎫－23，考单招——上高职单招网∴a ＝－12，b ＝－2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1， ∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，f ′(x )＝3x 2－x －2.f ′(x )的变化情况如下： ∴f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1.当x ＝－23时，f (x )有极大值，f ⎝⎛⎭⎫－23＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12.15．[解答] (1)f ′(x )＝3x 2－a ，故3x 2－a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≤0.(2)f (x )在(－1,1)上单调递减，则3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3.16．[解答] (1)a ＝1，则f (x )＝|x －2|＋b ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋bx ， 由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立． ∴b ≥2.考单招——上高职单招网②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx ，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.∵f (x )的图象在(0，＋∞)上单调递增，不间断． 综合①，②得，b 的取值范围是b ≥2. (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x ⎝⎛⎭⎫0<x <2a ，ax －2＋ln x －1x ⎝⎛⎭⎫x ≥2a .当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ， g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2， ∵0<x <2a ，∴1x >a 2，则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0，即g ′(x )>0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递增． 当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ， g ′(x )＝a ＋1x ＋1x 2>0，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞上是单调增函数．∵g (x )的图象在(0，＋∞)上不间断， ∴g (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．考单招——上高职单招网∵g⎝⎛⎭⎫2a＝ln2a －a2，而a≥2，∴ln2a≤0，则g⎝⎛⎭⎫2a<0，g(1)＝|a－2|－1＝a－3，①当a≥3时，∵g(1)≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上有惟一解，即方程f(x)＝1x解的个数为1个；②当2≤a<3时，∵g(1)<0，∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝1x解的个数为0个．。
2022年内蒙古北方职业技术学院单招 考试模拟试题库
2022年内蒙古北方职业技术学院单招考试模拟试题库1、24. 下列加双引号词语使用正确的一项是（）。
[单选题] *A．老王最近真是流年不利，倒楣的事儿“纷至沓来”，让他不知所措。
(正确答案)B．在奥运会上，我们中国梦之队的个个队员“行将就木”，为祖国赢得了一块又一块的金牌。
C．罗丹做什么事情多是“漫不经心”的，光是修改雕塑的细节部位都十分仔细，达到了忘我的境界。
D．虽然它精心设计了这个圈套，但还是能够“自圆其说”的。
2、关于《故都的秋》理解错误的一项是（）[单选题] *文章标题“故都的秋”，暗含着自然景观与人文景观相融合的一种境界“北国的秋，却特别的来得清，来得静，来得悲凉”，点明了故都之秋的特点，也是贯穿全文的线索本文在描绘故都的自然景物是，流露出忧郁、孤独的心境，表现了悲秋的主题(正确答案)课文多出采用对比的手法，烘托出故都的秋与众不同的特色，也表现出作者对北国之秋的向往和赞美3、1交警对正要闯红灯过马路的行人说：“请您遵守交通规则，等绿灯亮起时再走，多谢您的合作。
”交警的表述是得体的。
[判断题] *对(正确答案)错4、《荷塘月色》文章的文眼是（）[单选题] *什么都可以想便觉是个自由人这几天心里颇不宁静(正确答案)我到底惦着江南了5、下列选项中加着重号字注音正确的一项是（）[单选题] *A、冠冕miǎn脑髓suǐ吝啬lìB、自诩xǔ蹩进bié鱼鳍qí(正确答案)C、国粹cù譬如pì磕头kēD、孱头càn 摩登mó给予gěi6、22. 下列句子中加双引号成语使用错误的一项是（）[单选题] *A．让绿色生活成为时代文明的标签，需要激发出每个人的环保热情，建设美丽中国，每一个人都不能“袖手旁观”。
B．为了改变交通拥堵的现象，我校组织部分老师担任交通疏导员，交通拥堵的现象“戛然而止”。
(正确答案)C．峰会期间，青岛市主城区道路两侧“张灯结彩”，五颜六色的花卉和绿植景观营造出浓浓的盛会氛围。
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学自考预测试题(含答案)
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学自考预测试题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知A是锐角，则2A是A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.D小于180°的正角2.从1，2，3，4，5这5个数中，任取四个上数组成没有重复数字的四个数，其中5的倍数的概率是（）A.B.C.D.3.函数的定义域是()A.(-1，1)B.[0,1]C.[-1，1)D.(-1，1]4.设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b5.函数y=-(x-2)|x|的递增区间是（）A.[0,1]B.(-∞,l)C.(l,+∞)D.[0，1)和（2，+∞)6.A.3个B.2个C.1个D.0个7.在△ABC，A=60°，B=75°，a=10，则c=()A.B.C.D.8.A.（1,2）B.（3,4）C.(0,1)D.(5,6)9.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l1丄l2，l2丄l3,l1//l3B.l1丄l2，l2//l3,l1丄l3C.l1//l2//l3,l1,l2，l3共面D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面10.A.B.C.D.11.等比数列{a n}中，若a2 =10, a3=20,则S5等于( )A.165B.160C.155D.15012.已知互为反函数，则k和b的值分别是（）A.2，B.2，C.-2，D.-2，13.已知向量a=（1，3）与b=（x，9）共线，则实数x=（）A.2B.-2C.-3D.314.A.B.C.D.15.下列四组函数中表示同一函数的是( )A.y=x与y=B.y=2lnx与y=lnx2C.y=sinx与y=cos()D.y=cos(2π - x)与y=sin(π - x)16.若不等式x2+x+c＜0的解集是{x|-4＜x＜3}，则c的值等于（）A.12B.-12C.11D.-1117.若函数y=log2（x+a）的反函数的图像经过点P（-1，0），则a的值为（）A.-2B.2C.D.18.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=()A.-4B.-2C.4D.219.点A（a，5）到直线如4x-3y=3的距离不小于6时，则a的取值为（）A.（-3，2）B.（-3，12）C.（-，-3][12，+）D.（-，-3）（12，+）20.已知函数f(x)=x2-x+1，则f(1)的值等于（）A.-3B.-1C.1D.2二、填空题(20题)21.函数的最小正周期T=_____.22.设lgx=a，则lg(1000x)= 。
2016满洲里俄语职业学院数学单招试题测试版(附答案解析)
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．函数y ＝cosx －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈ZD ．R2．下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，544．函数y ＝12sin2x 的最小正周期T ＝________.能力提升5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上( )A ．单调递增且有最大值B ．单调递增但无最大值C ．单调递减且有最大值D ．单调递减但无最大值6．若x 为三角形中的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x 的值域是( )A ．(1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，32C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，227．函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π39．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④10．函数f (x )＝(sin x －cos x )2的最小正周期为________． 11．函数y ＝lg(sin x )＋cosx －12的定义域为________．12．设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A 1，A 2，…，A n ，….则A 50的坐标是________．13．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期分别为π，π2；③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f (x )是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0.其中正确命题的序号是________．14．(10分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．15．(13分)已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及值域； (2)求f (x )的单调递增区间．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．参考答案 【基础热身】1．C [解析] 由题意得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，故选C.2．B [解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数，排除C ，故选B.3．C [解析] y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫sinx ＋122－54，∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，故选C.4．π [解析] 由周期公式得T ＝2π|ω|＝2π2＝π.【能力提升】5．A [解析] 由－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上是增函数，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，且有最大值22，故选A.6．A [解析] 因x 为三角形中的最小内角，故x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，由此可得y ＝sin x ＋cos x >1，排除错误选项B ，C ，D ，故选A.7．C [解析] 如图所示，画出函数y ＝sin πx 和y ＝14x 的图象，在[0，＋∞)上，两个函数图象有4个交点，∴在(－∞，＋∞)上，方程sin πx ＝14x 的解有7个，即函数f (x )＝sin πx －14x 的零点的个数是7，故选C.8．A [解析] 画出函数y ＝sin x 的简图，要使函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋13π6，k ∈Z 或其子集，又定义域为[a ，b ]，则a ，b 在同一个k 所对应的区间内，且[a ，b ]必须含2k π＋3π2，还有2k π＋5π6、2k π＋13π6之一，知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，故选A.9．C [解析] 函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin0＝0，因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．所以②③正确．10．π [解析] f (x )＝(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1－sin2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.11.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z[解析] 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sinx>0，cosx －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sinx>0，cosx ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 12．(99,0) [解析] 由12πx ＝π2＋k π，k ≥0且k ∈Z ，得图象的对称中心横坐标为x ＝2k ＋1，k ≥0且k ∈N ，令k ＝49即可得A 50的坐标是(99,0)．13．④ [解析] ①正切函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )；②y ＝|sin x |，y ＝|tan x |的最小正周期都是π；③正弦函数在定义域R 上不是单调函数；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－T 2＝0. 14．[解答] (1)因为f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ， 所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2，得－π3≤2x ≤π，所以－32≤sin2x ≤1，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.15．[解答] (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期是π， 函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．【难点突破】16．[解答] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )， 即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ，其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数．综上得ω＝23或ω＝2.。
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学自考真题(含答案)
2022年内蒙古自治区呼和浩特市普通高校高职单招数学自考真题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知A（1，1），B（-1，5）且，则C的坐标为（）A.（0，3）B.（2，-4）C.（1，-2）D.（0，6）2.贿圆x2/7+y2/3=1的焦距为（）A.4B.2C.2D.23.设函数f(x) = x2+1，则f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.设a=1/2,b=5-1/2则（)A.a＞bB.a=bC.a＜bD.不能确定5.若f(x)=1/log1/2(2x+1),则f(x)的定义域为（）A.(-1/2,0)B.(-1/2，+∞)C.(-1/2，0)∪(0，+∞）D.(-1/2,2)6.某高职院校为提高办学质量，建设同时具备理论教学和实践教学能力的“双师型”教师队伍，现决定从3名男教师和3名女教师中任选2人一同到某企业实训，则选中的2人都是男教师的概率为（）A.B.C.D.7.A.N为空集B.C.D.8.9.设a ，b 为实数，则a 2=b 2的充要条件是（）A.a=bB.a=-bC.a 2=b 2D.|a|=|b|10.已知A={x|x+1＞0}，B{-2,-1，0，1}，则(C R A)∩B=( )A.{-2，-1}B.{-2}C.{-1,0,1}D.{0,1}11.已知{<a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7,则a5=()</aA.20 B.25 C.10 D.1512.A.-1B.-4C.4D.213.用列举法表示小于2的自然数正确的是A.{1,0}B.{1,2}C.{1}D.{-1，1,0}14.若sinα=-3cosα，则tanα=()A.-3B.3C.-1D.115.若a 0.6<a <a0.4，则a 的取值范围为（ ）</aA.a＞1B.0＜a＜1C.a＞0D.无法确定16.点A（a，5）到直线如4x-3y=3的距离不小于6时，则a的取值为（）A.（-3，2）B.（-3，12）C.（-，-3][12，+）D.（-，-3）（12，+）17.下列函数中是奇函数的是A.y=x+3B.y=x2＋1C.y=x3D.y=x3＋118.设集合{x|-3＜2x-1＜3}，集合B为函数y=lg(x-1)的定义域，则A∩B=( )A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]19.A.B.C.20.A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20二、填空题(20题)21.等比数列中，a2=3，a6=6，则a4=_____.22.若事件A与事件互为对立事件，则_____.23.函数的定义域是_____.24.25.若△ABC 中，∠C=90°,,则= 。
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考单招——上高职单招网[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．下面列举的图形一定是平面图形的是()A．有一个角是直角的四边形B．有两个角是直角的四边形C．有三个角是直角的四边形D．有四个角是直角的四边形2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为() A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定() A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行能力提升考单招——上高职单招网5．有一正方体木块ABCD－A1B1C1D1，为了需要，工人师傅将此木块锯成两块，截痕经过AB、AD、B1C1的中点P、Q、R，则截面图形是()A．三角形 B．四边形C．五边形 D．六边形6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余弦值为()A.156 B.155 C.153 D.15107．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面8．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图K38－1，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考单招——上高职单招网10．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．11．如图K38－2，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．12．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．13．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．考单招——上高职单招网14．如图K38－3所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A 的中点，、F四点共面；求证：(1)E、C、D1(2)CE、D1F、DA三线共点．图K38－3考单招——上高职单招网15．(13分)已知：如图K38－4，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH 与AC 的位置关系．图K38－4难点突破16．(12分)已知：在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，求证：ABCD 是矩形．考单招——上高职单招网考单招——上高职单招网参考答案【基础热身】1．D [解析] 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．2．C [解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．3．B [解析] 在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．4．C [解析] 若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据基本性质4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．【能力提升】5．D [解析] 如图，取C 1D 1中点E ，连接RE ，RE 綊PQ ， ∴P 、Q 、R 、E 共面．再取BB 1、DD 1中点F 、G .∵PF ∥AB 1∥QR 且GE ∥C 1D ∥QR .∴E 、G 、F 、P 、Q 、R 共面． ∴图形为六边形．考单招——上高职单招网6．B [解析] 如图，取CD 的中点N ，连接BN ，D 1N ，则BN ∥DM ，∠D 1BN 就是直线DM 与D 1B 所成角，设正方体棱长为1，在△D 1BN 中，BD 1＝3，BN ＝D 1N ＝52，由余弦定理得cos ∠D 1BN ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×3×52＝155.7．B [解析] 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B.8．D [解析] (1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，AB ，BC )，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的棱AA 1，BC ，D 1C 1)，故结论④不正确．正确选项D.9．D [解析] 满足与线段AB ，AD ，AA 1成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线AC 1所在的直线．如图所示，将AD ，AB ，AA 1所在的线段反向延长，则可得到三个正方体，在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与直线AB ，AD ，AA 1所成角相等，故选D.10．27 [解析] 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分．考单招——上高职单招网11.23 [解析] 折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23.12．① [解析] 可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．13．①② [解析] 在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．14．[解答] 证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C . ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.考单招——上高职单招网∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交， 设D 1F ∩CE ＝P .∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．15．[解答] ∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD .∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD ，①当λ＝μ时，HG ∥AC ，EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH .由公理4知，EF ∥GH ∥AC .②当λ≠μ时，EH ∥FG 但EH ≠FG ，考单招——上高职单招网∴四边形EFGH是梯形且EH、FG为上、下两底边，∴EF、GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC，∴三条直线EF、GH、AC交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF、GH、AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF、GH、AC交于一点．【难点突破】16．[解答] 证明：由已知，若证得四边形ABCD是平面图形，则四边形ABCD是矩形，下面用反证法证明：A、B、C、D四点共面．假设A、B、C、D四点不共面，又设B、C、D确定的平面为α，则A∉α.作AA1⊥α，垂足为A1，连接A1B、A1D，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA1＝∠CDA1＝90°，从而∠DA1B＝90°.又A1B＜AB，A1D＜AD，A1B2＋A1D2＝BD2，可得：BD2＜AB2＋AD2⇒∠DAB≠90°，这与∠DAB＝90°矛盾．所以，A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD是矩形．。