【学习课件】第8章经典matlab数值积分与微分
(完整版)(数值积分与微分的MATLAB命令)
0.9008 n=
77
例题2求定积分
1 ex2 dx
1
>>quad(inline(‘exp(-x.^2)’),-1,1,0.5e-4) 或者 quad(@(x)exp(-x.^2),-1,1,0.5e-4)
7.triplequad 用于计算长方体区域上的三重积分
例 计算
dy
1 4xzex2 yz2 dzdydx
0
00
>>fun=@(x,y,z)4*x.*z.*exp(-x.^2-y.*z.^2)
>>S=triplequad(fun,0,pi,0,pi,0,1)
8.int 符号函数积分
例6 x=-1:0.1:1; y=exp(-x.^2); trapz(x,y)
4.自适应Lobatto方法 quadl命令适用于光滑函数， quadl调用被积函
数的次数明显少于quad命令，而且精度比quad函 数更高，其调用格式与quad一样 [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法(自适应simpson积分法) 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数
来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取
2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了
第8讲 MATLAB数值积分与微分
8.2.2 数值微分的实现
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有 中 没有直接提供求数值导数的函数， 计算向前差分的函数diff，其调用格式为： 计算向前差分的函数 ，其调用格式为： DX=diff(X) 计算向量X的向前差分 的向前差分， 计算向量 的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 ， 。 DX=diff(X,n) 计算X的 阶向前差分 例如， 阶向前差分。 计算 的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。 。 DX=diff(A,n,dim) 计算矩阵A的 阶差分 阶差分， 缺省状态)， 计算矩阵 的n阶差分，dim=1时(缺省状态 ，按列计算差 时 缺省状态 分；dim=2，按行计算差分。 ，按行计算差分。
∆f ( x) = f ( x + h) − f ( x) ∇f ( x ) = f ( x ) − f ( x − h ) δf ( x) = f ( x + h / 2) − f ( x − h / 2)
分别为函数在x点处以 称∆f ( x)、∇f ( x)和δf ( x) 分别为函数在 点处以 h(h>0)为步长的向前差分、向后差分和中心 为步长的向前差分 为步长的向前差分、向后差分和 差分。 差分。 称 ∆f ( x) / h、∇f ( x) / h和δf ( x) / h 分别为函数在 x点处以 点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差 为步长的向前差商 点处以 为步长的向前差商、 中心差商。 商和中心差商。 当步长h(h>0)充分小时，函数 在点 的微分接 充分小时， 在点x的 当步长 充分小时 函数f在点 近于函数在该点的任意种差分。 在点 函数在该点的任意种差分 在点x的 近于函数在该点的任意种差分。 f在点 的 导数接近于函数在该点的任意种差商。 导数接近于函数在该点的任意种差商。 函数在该点的任意种差商
经典matlab数值积分与微分PPT培训课件
辛普森法
将积分区间划分为若干个等宽 的小区间，每个小区间上取抛 物线面积近似代替函数面积。
牛顿-莱布尼茨法
利用定积分的几何意义，通过 求和式来近似计算定积分的值 。
Matlab中的数值积分函数
quad
trapz
simpson
quadl
使用矩形法进行数值积 分。
使用梯形法进行数值积 分。
使用辛普森法进行数值 积分。
案例二
计算函数$f(x) = sin(x)$在区间 [0, π]的积分。
描述
使用Matlab的数值积分函数计 算函数$f(x) = sin(x)$在区间[0, π]的积分，并分析结果的准确性。
数值微分案例分析
案例一
计算函数$f(x) = x^3$在点x=2的导 数值。
描述
使用Matlab的数值微分函数（如diff 或gradient）计算函数$f(x) = x^3$ 在点x=2的导数值。
书籍推荐
《Matlab从入门到精通》、 《Matlab数值分析》等，适 合有一定基础的读者深入学 习。
Matlab的未来发展展望
云端化 随着云计算技术的发展，Matlab 可能会推出云端版本，让用户无 需安装软件即可使用Matlab的功 能。
可视化增强 Matlab在数据可视化方面具有优 势，未来可能会进一步增强其可 视化功能，提供更多样化的图表 和可视化效果。
截断误差
由于差分代替导数，会产生截断误差，这种误差的大小取决于差 分的阶数和步长。
舍入误差
由于计算机的浮点运算精度限制，会导致舍入误差，这种误差的 大小取决于计算机的浮点精度。
04
经典案例分析
数值积分案例分析
案例一
计算函数$f(x) = x^2$在区间 [0, 2]的积分。
数值分析课件第八章-数值积分.ppt
g(u)
n (u n j)
n/2
(u j)
j0
2
jn / 2
是奇函数，故R[f]=0。证毕。
8.3 复合求积公式
1、复合梯形公式
将[a,b]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk, xk+1] (k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得
I
b
n1
f (x)dx
n
Ln (x) lk (x) f (xk )
k 0
(lk (x)
n j0
(x xj) ) (xk x j )
jk
则
b
b
n
b
a f (x)dx a Ln (x)dx f (xk ) a lk (x)dx
k 0
若记
Ak
b
a lk (x)dx
b n (x x j ) dx a j0 (xk x j )
0
32 90
C2( 4 )
1 4 2!2!
4
t(t 1)(t 3)(t 4)dt
0
12 90
C3( 4 )
1 4 3!
4
t(t 1)(t 2)(t 4)dt
0
32 90
C4( 4 )
1 4 4!
4
t(t 1)(t 2)(t 3)dt
0
7 90
求积公式为
4
I4 ( f ) (b a)
定义1. 若求积公式
b
f (x)dx
a
n
i f (xi )
i0
对所有次数不超过 m次的代数多项式 Pk (x)(k m)都准确成立 ,即
b
n
a Pk (x)dx i Pk (xi )
第八章matlab数值积分与微分
28.02.2019
10
例8-5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.57449318974494 ki = 1050
28.02.2019 6
例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl('fx',0,pi) I= 2.4674
28.02.2019 7
例8-3 分别用quad函数和quadl函数求定积分的 近似值，并在相同的积分精度下，比较函数 的调用次数。
28.02.2019 11
8.2 数值微分
8.2.1 数值微分的实现
在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格 式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2， 按行计算差分。
28.02.2019
8
3. 被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数 关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中 向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。
第8章 MATLAB数值积分与微分PPT课件
8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数
来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下
限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0 则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取 trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的 调用次数。
调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I=
0.28579444254766 n=
65
调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I=
例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I=
2.4674
例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用 次数。
i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，
diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状
态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
Matlab-8数值积分与数值微分
M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.一重数值积分的实现方法变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长辛普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调用函数的次数.--------------------------------------------------------------------- 例如：求∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的值.先建立函数文件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调用quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365--------------------------------------------------------------------- 例如：分别用quad函数和quadl函数求积分∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的近似值，比较函数调用的次数.先建立函数文件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并且比quad函数求得的数值解更精确.1.2高斯-克朗罗德法Matlab提供了自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调用格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平面上求积分.--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx π的数值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调用quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx +∞−∞的值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调用quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于一些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的一组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题用梯形积分法，其函数是trapz函数，调用格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1<x2<…<x n),Y=(y1,y2,…,y n)，积分区间是[x1,x n]--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所示的两组样本点.现已知变量x和变量y满足一定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫f(x)dx1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21];I=trapz(X,Y) I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：用梯形积分法求积分：∫e −x dx 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I= 0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数一般是二元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫f (x,y )dxdy ba dc∫∫∫f(x,y,z)dxdydz b a d cf eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调用格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调用的次数，如果需要知道函数调用的次数，则在定义被积函数的m 文件中增加一个计数变量，统计出被积函数被调用的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算二重积分I =∫∫√x 2+y 2dxdy π2−π2π2−π2的值.先编写函数文件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调用函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫4xze −z2y−x 2dxdydz ππ1的值.编写函数文件fxyz1.mfunction f=fxyz1(x,y,z) global j; j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);调用triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义f′(x)=limn→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=limn→0f(x)−f(x−h)hf′(x)=limn→0f(x+h2)−f(x−h2)h上述公式中假设h>0，引进记号：?f(x)=f(x+h)−f(x)?f(x)= f(x)−f(x−h)δf(x)= f(x+h2)−f(x−h2)称上述?f(x)、?f(x)、δf(x)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中心差分，当步长h足够小时，有：f′(x)≈?f(x) hf′(x)≈?f(x) hf′(x)≈δf(x) h?f(x) h 、?f(x)h、δf(x)h也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中心差商.当h足够小时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意一种差商，微分接近于在该点的任意一种差分.2.函数导数的求法2.1用多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进行逼近(插值或拟合)，然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2用f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现方法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按行计算差分. --------------------------------------------------------------------- 例如：生成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按行、按列计算二阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025--------------------------------------------------------------------- 例如：设f(x)=√x3+2x2−x+12+√(x+5)56+5x+2求函数f(x)的数值导数，并在同一坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：f′(x)=3x2+4x−12√x3+2x2−x+12+16√(x+5)56+5编辑函数文件fun7.m和fun8.mfunctionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);用5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进行求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A.用高斯-克朗罗德法求积分∫dx1+x2 +∞−∞的值并讨论计算方法的精确度.（该积分值为π）function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数f(x)=sin xx+cos2x用不同的办法求该函数的数值导数，并在同一坐标系中作出f′(x)的图像.已知f′(x)=x cos x+cos x cos2x−sin x+2sin x sin2x(x+cos2x)2function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2*x)).^2;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]11 / 11。
Matlab数值积分和微分(一重、多重都有),简单实用
第8章MA TLAB数值积分与微分8.1 数值积分8.2 数值微分8.1 数值积分8.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n 个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
8.1.2 数值积分的实现方法1．变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MA TLAB给出了quad函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。
a和b分别是定积分的下限和上限。
tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。
trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例8-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S = 0.9008n = 772．牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MA TLAB给出了quad8函数来求定积分。
该函数的调用格式为：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。
•该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
例8-2 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2) 调用函数quad8求定积分。