梯形中位线
梯形的中位线
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ
Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分
∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜
想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥
• 求底AB与DC的长
D
C
A
EB
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
Aபைடு நூலகம்
D
E
F
C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A E
B
D F
C
• 例1已知：在梯形ABCD中，DC//AB，腰AD=BC,CE⊥AB,BE=1cm,中位线长为2.5cm
Ｂ B 600 C 300
Ｃ，
，
，ＡＤ＝
２ｃｍ，ＢＣ＝
１０ｃｍ，则Ａ
Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ
Ｄ＝＿ｃｍ．
已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对 角线相交于点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是 ＯＡ、ＯＤ的中点．
22.6(2)梯形的中位线
不是中位线
不是中位线
是中位线
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A M D N C E
B
已知：在梯形 动手量一量 ABCD中，AD∥BC，
1 求证：MN∥BC， MN= （ 2 BC+AD）
AM=MB，DN=NC,
梯形中位线定理：
22.6（2）梯形的中位线
三角形中位线定义
联结三角形两边中点的线段 叫三角形的定理
B
C
三角形的中位线平行于第三边，且等于第 三边的一半。
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
A 梯形的中位线 有什么性质呢？ E D F C
B
已知：如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，点E、F分别是
A M
1
D o N C B M
1
A o
D N C
B
E
小结：
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
用 途
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
CE⊥AB，BE=1cm，中位线长为2.5cm，
求底AB和DC的长
D C
A
F
E
B
例2：如图，梯形ABCD中,AD∥BC, E为AB 中点，AD+BC=DC.求证：DE⊥EC，DE 平分∠ADC，CE平分∠BCD.
D
F
21
A
5
6
E B
C
3 4
例3、如图，梯形ABCD的周长为20，AB∥CD， AM、BN分别是∠DAB 、 ∠ABC的外角平分线， DM⊥AM于M， CN ⊥ BN于N，求线段MN的长。 D M E
梯形中位线求法
梯形中位线求法一、概述梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行的边，称为底边和顶边，以及两条不平行的边，称为腰边。
梯形中位线是连接梯形两个非平行边中点的线段。
本文将详细介绍梯形中位线的求法，并讨论其性质和应用。
二、梯形中位线的求法求解梯形中位线的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
2.1 方法一：利用梯形的性质根据梯形的性质，梯形中位线的长度等于梯形两个底边长度之和的一半。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，则梯形中位线的长度为(a+b)/2。
2.2 方法二：利用梯形的顶角平分线性质梯形的顶角平分线是连接梯形两个顶角的线段，它同时也是梯形中位线的一部分。
根据梯形的顶角平分线性质，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
因此，我们可以利用等腰三角形的性质来求解梯形中位线的长度。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，腰边长度分别为c和d。
根据等腰三角形的性质，梯形中位线与底边的夹角等于顶边与腰边的夹角，因此可以利用正弦定理求解梯形中位线的长度。
设梯形中位线的长度为x，则有：x/sin(顶边与腰边的夹角) = b/sin(梯形中位线与底边的夹角)根据正弦定理，我们可以求解出梯形中位线的长度。
三、梯形中位线的性质梯形中位线具有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
3.1 梯形中位线与底边平行根据梯形的定义，梯形的两个底边是平行的。
而梯形中位线连接了两个底边的中点，因此梯形中位线与底边平行。
3.2 梯形中位线长度等于底边长度之和的一半根据梯形中位线的求法，我们可以得知梯形中位线的长度等于底边长度之和的一半。
3.3 梯形中位线与顶角平分线重合根据方法二的求法，梯形中位线与顶角平分线重合。
这是因为梯形中位线同时也是梯形的顶角平分线。
3.4 梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形根据方法二的求法，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
这是因为梯形中位线连接了梯形两个非平行边的中点，从而将梯形分成两个底边长度相等的三角形。
四、梯形中位线的应用梯形中位线在几何学中有一些重要的应用，下面将介绍两个常见的应用。
梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线的三种证明方法对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：第一种证明方法：重心法这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
梯形的中位线
已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对 角线相交于点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是 ＯＡ、ＯＤ的中点． 求证：四边形ＣＢＥＦ是等腰梯 形．
• 已知：如图，梯形ＡＢＣＤ中，Ａ Ｄ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＥＦ、Ｍ、 Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＡＣ 的中点． 求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分 ∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
Hale Waihona Puke 若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，为鳞虫之长。斩龙常用来象征祥瑞，是中华民族等东亚民族最具代表性的传统文化之一，斩 龙的传说等龙文化非常丰富。 ； /xs/1/1055/ 斩龙 kgh75neg 龙的形象最基本的特点是“九似”，具体是哪九种动物尚有争议。斩龙传说多为其能显能隐，能细能巨，能短能长。春分登天，秋分潜渊，呼 风唤雨，而这些已经是晚期发展而来的龙的形象，相比最初的龙而言更加复杂。 [1] 《张果星经》云：“又有辅翼，则为斩龙”，认为有翼方是真龙。 [2] 如西周有大量身负羽翼龙纹器皿，乃至青龙在先秦纹饰中也有羽翼， 一说青龙为祖龙。 [3] 封建时代，龙是皇权的象征，皇宫使用器物也以龙为装饰。
便抛头露面，只能有劳姐姐替凝儿提前接受训戒了。只是苦了姐姐，凭白要为凝儿受苦。”“凝儿，这算什么受苦！为了凝儿，姐姐什么都不 怕。况且，新年的时候随娘亲拜访，感觉那福晋也还是壹个懂礼数的人，应该不会对姐姐怎么样，你放心吧。只是担心你，这还没有出嫁呢， 就这个样子，以后真要是嫁了过去，真不知道怎么办啊？”“没关系，姐姐别担心了。不管担心什么，都是皇上圣旨已定的事情，将来如何， 就看妹妹自己的造化了。”“凝儿，你千万要想开壹些，姐姐知道，你外表柔弱，内心却是要强极了，那王府可不比咱们年府，不但人生地不 熟，而且王爷又是那么有权势的人，万不可违了爷的意，再给自己惹来祸端。”“姐姐，放心吧，凝儿会好好的。”两人正说着话，翠珠过来 禀告，二爷回来了，玉盈着急跟二哥说四福晋邀她去王府的事情，就匆匆先去了前院。第壹卷 第四十四章 初见年二爷壹听玉盈说王府来信 邀请，也是壹脸的诧异，待听完冰凝的猜测和玉盈的担心，表情渐渐凝重起来，低头不语，半响，他才对玉盈说：“现在也只能是这么凭空猜 测，不好说是因为什么，也许，是四福晋要跟咱们年府商量王爷和凝儿大婚的细节……”“那直接写给‘年府’收信不就行了？为什么要直接 写了‘年玉盈’三个字？”“也许是怕咱们派了年峰过去吧，毕竟你的名气和能耐，这整个京城都是大名鼎鼎，把大婚的事情托付了你，可能 王府那边更放心吧。”“二哥真是说笑了，玉盈哪里能有这么大的本事？就算是小有名气，但是跟王府比起来，还不是小菜壹碟？盈儿倒是但 愿是操持大婚的事情。”这壹夜，玉盈睡得格外不踏实，凌晨天还黑着呢，她就醒来，再也睡不着了，索性就早早起来，翻来覆去地猜测原因， 壹直都吃过了午饭，才着急忙慌地想起来快该出发了，还没有准备出门的行头呢。于是赶快唤来翠珠，两人好壹阵紧张忙碌。当玉盈和翠珠两 人坐着马车来到王府门口，才下了马车，还没等翠珠上前去递话儿呢，玉盈就立即被守在门口的太监迎了上来：“这位是年丫鬟吧？”“是的， 公公您是………？”“请随奴才从这边走，噢，这位是？”“这是我的丫环翠珠。”“噢，那就请翠珠姑娘先留步，奴才这就给年丫鬟带路。” 不待回答，玉盈就被小太监壹路引领进了王府。玉盈壹边跟着太监走，壹边不住地打量着脚下的路，还有旁边的景致，不由得更加紧张不已： 上次来的时候，好像不是这条路，而且，沿途连壹个人影儿都见不到，不但见不到主子，连个丫鬟、太监、嬷嬷什么的都见不到。这四福晋设 的是鸿门宴？确实，这条路，不是上次玉盈来的时候走的路，上次那条路，是通往福晋的院落－－霞光苑，而这条路，却是通往王爷的书院－ 朗吟阁。秦顺
梯形的中位线
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ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ． 求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分 ∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ、Ｆ 是ＡＢ的三等分点，ＥＧ∥ＦＨ∥Ａ Ｄ．若ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ， 则ＥＧ＝＿＿ｃｍ，ＦＨ＝＿＿＿ｃｍ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
A D
E
F C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
A
E
B
梯形的中位线1华师大版
02
梯形的中位线定义与性质
定义
01
梯形的中位线定义为连接梯形两 腰中点的线段。
02
梯形的中位线长度等于上底与下 底之和的一半。
性质
梯形的中位线与上底 平行且等于上底的一 半。
梯形的中位线长度是 上底与下底之和的一 半。
梯形的中位线与下底 平行且等于下底的一 半。
判定方法
若线段平行于上底和下底，且长度为 上底与下底之和的一半，则该线段为 梯形的中位线。
变式二：直角梯形中的中位线性质
总结词
直角梯形中的中位线性质是梯形中位线性质的另一种特殊情况，具有其独特的特点和性质。
详细描述
在直角梯形中，中位线长度等于上下底之和的一半，且中位线与两腰平行。此外，直角梯形中的中位 线还具有垂直平分另一条直角边（非直角所在边）的特点。这些性质在解决几何问题时具有重要应用 。
若线段连接梯形两腰中点，则该线段 为梯形的中位线。
03
梯形中位线的性质证明
证明方法一
总结词
通过构造辅助线证明
详细描述
通过作梯形两腰的平行线，构造一个新的平行四边形，利用平行四边形的性质 和平行线的性质，推导出梯形中位线的性质。
证明方法二
总结词
利用相似三角形证明
详细描述
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出梯形中位线的性质。
实际问题求解
通过建立梯形中位线的数学模型，可以求解一些实际问题， 如计算流量、排水量等。
05
梯形中位线的变式与拓展
变式一：等腰梯形的中位线性质
总结词
等腰梯形中位线性质是梯形中位线性质 的一种特殊情况，具有其独特的特点和 性质。
VS
详细描述
在等腰梯形中，中位线长度等于上下底之 和的一半，且中位线与两腰平行。此外， 等腰梯形的中位线还具有垂直平分一对底 角的特点。这些性质在解决几何问题时具 有重要应用。
梯形的中位线定理
梯形的中位线定理在我们的数学世界中，梯形是一种常见的几何图形。
而梯形的中位线定理，则是解决与梯形相关问题的重要工具。
首先，咱们来明确一下啥是梯形的中位线。
梯形的中位线，就是连接梯形两腰中点的线段。
想象一下，一个梯形稳稳地摆在那儿，上底和下底平行着，然后我们找到两腰的中点，把这两个中点连起来，这就是中位线啦。
那么梯形的中位线定理到底说的是啥呢？简单来说，梯形的中位线平行于两底，并且长度等于两底和的一半。
这就像是给梯形穿上了一件量身定制的“规则外套”，只要知道了梯形的上底和下底的长度，就能轻松算出中位线的长度；反之，如果知道了中位线的长度，也能推测出上底和下底长度的关系。
为了更深入地理解这个定理，咱们来做几道实际的题目感受感受。
比如说，有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，那中位线的长度是多少呢？根据定理，中位线长度等于（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5 厘米。
是不是挺简单的？再来看一个稍微复杂点的例子。
已知一个梯形的中位线长 8 厘米，其中上底比下底短 2 厘米，那上底和下底分别是多长呢？咱们设上底为 x 厘米，下底就是 x ＋ 2 厘米。
根据定理，8 ＝（x ＋ x ＋ 2）÷ 2，解这个方程，就能算出 x ＝ 7，所以上底是 7 厘米，下底就是 9 厘米。
梯形的中位线定理在实际生活中也有不少用处呢。
比如，工人师傅要搭建一个梯形的架子，如果知道了中位线的长度和上底或者下底的长度，就能很方便地算出另外一边的长度，从而准确地进行施工。
那咱们来探究一下，为什么梯形的中位线会有这样的性质呢？这就需要用到一些几何知识来证明啦。
我们可以通过作辅助线的方法来证明。
比如说，我们可以把梯形的一腰延长，然后和另一腰构成一个三角形。
通过三角形中位线定理，就能巧妙地证明出梯形中位线的性质。
在学习梯形中位线定理的过程中，大家可千万不能死记硬背，要多做几道练习题，真正理解其中的原理。
只有这样，当遇到各种与梯形有关的问题时，咱们才能灵活运用这个定理，轻松解决难题。
梯形的中位线
有祖母懂得那些落叶，也只有那些落叶懂得祖母，她们惺惺相惜，彼此嘘寒问暖。 怀念祖母，是从一片叶子开始的，
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 求底AB与DC的长
D
C
A
EB
；代办资质 代办资质 ；
一转身，我已找不到他，只看见攒动的人头，闪动的各色衣服…… ④还记得那年春天，我一人在秦岭深处行走，山路两旁开满野花：灯芯花、野草莓花、苜蓿花、蒲公英花……路下面的小河，清澈如镜，温柔如绸，淙淙的水声像母亲轻唤谁的乳名。四周的群山，一律被松树、柏树、桦树和茂密
中年乞丐。我急忙赶回家，拿上我去年穿过的那件防寒服给他。可是来到南大街，已看不见他，于是我在东大街找他，又在北大街找他，都没有找到。最后我来到丁字路口，还是没有找到他，却遇到了一个老年乞丐。一转身，苦难转换了方向，交换了背影，但苦难的身份没有改变，都是苦难。
于是我把防寒的衣服披在了这位贫苦的老人身上，希望他下降的体温能稍稍回升，希望降温的人性能稍稍回升。我由此想到，亚洲的穷人，非洲的穷人，全世界的穷人，想到徘徊在文明大街上的那些孤苦身影，一转身，他们到那里去了？而文明，你能否追上去，轻轻拉起那褴褛的衣襟，或者握
。我想在记忆里逼真地收藏一个像野花一样纯真的秦岭女孩。这也许是她一生里最生动的瞬间，我记起了泰戈尔的诗句：“你不知道你是多么美丽，你像花一样盲目。”我情不自禁地转过身来，沿着小女孩走的方向走着，走到山路转弯的地方，出现了个三岔路口。我已经无法知道小女孩走进了
梯形中位线
相关比较
与三角形中位线作对比
定理证明
梯形ABCD，E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF， 梯形中位线证明图求证：EF平行两底且等于两底和的一半。证明：连结AF，并延长AF于BC延长线交于点O 在△ADF和△FCO中 ∵ AD//BC ∴ ∠D=∠1 又∵ ∠2=∠3 DF=CF ∴ △ADF≌△FCO ∵点E,F分别是AB，AO中点 ∴ EF为三角形ABO中位线 ∴ EF∥OB即EF∥BC ∵ AD//BC
梯形中位线
数学概念
01 性质
03 相关比较 05 相关应用
目录
02 相关公式 04 定理证明
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 。
相关公式
面积公式：梯形中位线×高=（上底+下底）×高÷2=梯形面积 梯形中位线到上下底的距离相等 中位线长度=（上底+下底）÷2
相关应用
如果我们指定(定义)：四边形一组对边为腰,另一组对边为底,两腰中点连线称为四边形的中位线。于是有命 题:“如果四边形的中位线等于两底和的一半,那么这个四边形是梯形”成立。这一命题被称为梯ห้องสมุดไป่ตู้的判定定理 。
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【初中数学】初中数学知识点：梯形,梯形的中位线
【初中数学】初中数学知识点：梯形，梯形的中位线梯形的定义：一组相对边平行的四边形和另一组相对边不平行的四边形称为梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
梯形中线：连结梯形两腰的中点的线段。
梯形特性：①梯形的上下两底平行；② 梯形的中线（连接两腰部中点的线称为中线）平行于两个底部，等于上下底部之和的一半。
③等腰梯形对角线相等。
梯形判断：一.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.一组平行且不相等的四边形为梯形。
梯形中位线定理：梯形中线平行于两个基底，等于两个基底之和的一半。
梯形中位线×高=（上底+下底）×高度=梯形面积梯形中位线到上下底的距离相等中线长度=（上底+下底）梯形的周长和面积：梯形的周长公式为：上底+下底+腰+腰，用字母a+B+C+D表示。
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h 变形1：h=2s÷（a+b）；变形2:a=2S÷H-B；变形3：b=2s÷h-a。
计算梯形面积的另一个公式：中线×高度，用字母表示：l？H对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
梯形分类：等腰梯形：腰围相等的梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形。
等腰梯形的特性：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形。
等腰梯形的测定：（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一基底上有两个相等角度的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
梯形的中位线
• 求底AB与DC的长
D
C
A
EB
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ
求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ
Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分
∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥
求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
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不要告诉他老人家呢？“啊？不用吧？”陆羽听师兄这么问,愕然,“老师日理万机咱们别打扰他,有卓律师在,他们占不了便宜,足够了.”常在欣听罢瞟她一眼,“既然这样,你干嘛还叫我来？”“你不是说顺路吗？”陆羽讶然.常在欣：“...”跟情商
直角梯形中位线
梯形中位线公式：中位线=(上底+下底)/2。
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
梯形是只有一组对边平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底边：较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形的中位线
5.如图，某斜拉桥的一组钢索a,b ,c,d,e共五 条，它们互相平行，钢索与桥面的固定点P1， P2，P3，P4，P5以及A1, A2 ,A3, A4, A5中每 相邻两点等距离，问至少需要知道几根钢索的 长，才能计算出其余钢索的长？
A5 A4
A3 A2 A1
e
d
c
b
a
p5 p4 p3 p2 p1
E
B
F
C
E，F为AD， BC中点；
B
F
CLeabharlann E，F为AD， D BC中点。
二
A
梯形中位线性质的探索
D
M
N
B
C
在梯形ABCD中，AD//BC,M、 N分别为AB，CD的中点。 讨论：中位线MN与上、下底 AD、BC之间怎样的位置关系 和数量关系？
结论：梯形的中位线
MN//BC//AD， 平行于底，并且等于 MN=½(AD+BC) 两底和的一半 .
若成立，请说明理由。
如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD的 中点. （1）度量顶点A、B到点O的距离，你 有什么发现？ （2）你的结论正确吗？说明理由. A E· B D O · C
探究发现： 如图，△ABC中，边BC=a， 若 D1、E1分别是 1 a ； AB、AC的中点，则D1E1= 2 若D2、E2分别是D1B、E1C的中点， A 则D 2E 2= 1 ( 1 a a ) 3 a ； 2 2 4 若D3、E3分别是D2B、E2C的中点， D1 1 3 7 则D 3E 3= ( a a) a； D2 2 4 8 D3 B 若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点， 则D nE n= . E1 E2 E C3
B
梯形的中位线
• 求底AB与DC的长
D
C
EB
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ．
3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ
求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ
Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分
∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜
想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥
Ｂ B 600 C 300
Ｃ，
，
，ＡＤ＝
２ｃｍ，ＢＣ＝
１０ｃｍ，则Ａ
Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ
Ｄ＝＿ｃｍ．
已知：如图，矩形ＡＢＣＤ的对 角线相交于点Ｏ，Ｅ、Ｆ分别是 ＯＡ、ＯＤ的中点．
求证：四边形ＣＢＥＦ是等腰梯 形．
• 已知：如图，梯形ＡＢＣＤ中，Ａ Ｄ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＥＦ、Ｍ、 Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＡＣ 的中点．
梯形的中位线
• 求底AB与DC的长
D C
A
E
B
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ 于点Ｍ、Ｎ．若ＡＤ＝４ｃｍ，Ｅ Ｆ＝６ｃｍ，则ＥＭ＝＿＿＿ｃｍ， ＦＮ＝＿＿＿ｃｍ，ＭＮ＝＿＿ｃ ｍ，ＢＣ＝＿＿ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
• 已知：如图，梯形ＡＢＣＤ中，Ａ Ｄ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ，ＥＦ、Ｍ、 Ｎ分别是ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＡＣ 的中点． 求证：ＥＦ与ＭＮ互相垂直平分．
ＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在ＡＤ、 ＢＣ上，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＦ、 ＢＥ相交于点Ｍ，ＣＥ、ＤＦ相 交于点Ｎ． 求证：ＭＮ∥ＢＣ，
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
A
D
E
F C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线 • 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
A
E B
C
• 例1已知：在梯形ABCD中，DC//AB，腰AD=BC,CE⊥AB,BE=1cm,中位线长为2.5cm
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试一试: 如图所示的三角架,各横木之间互相平 行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则 AD= 20 cm. P 想一想：你会求BC的长吗？ A D E B F C
梯形的中位线定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形 的中位线。 D A
E B
F C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
A E· B D
C
探究发现： 如图，△ABC中，边BC=a， 若 D1、E1分别是 1 AB、AC的中点，则D1E1= 2 a ； 若D2、E2分别是D1B、E1C的中点， A 则D 2E 2= 1 ( 1 a a ) 3 a ；
2 2 4
D1 若D3、E3分别是D2B、E2C的中点， 则 D 3 E 3 = 1 ( 3 a a ) 7 a ； D2 D 3 2 4 8 B 若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点， 则D nE n= .
E1 E2 E C3
课堂小结
梯形的中位线定义，定理及证明
课后作业
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它了”。我一瞬间觉得天旋地转，这都是什么跟什么，我先是在来的路上遇到了啥不知名的东西，问我像不像，然后住进了诡 异的房子，遇到了白虎，还有山神，我不是在做梦吧，我觉得我应该是做梦吧，我希望闭上眼睛睁开后还是在原来的家里，可 我睁开眼睛看到的确实一位穿着古代衣服的绝色美男，我最近是怎么了，遇到山神，想想就不可能，我是疯了吗，精神分裂了， 然后出现了幻觉，那男的拍了拍我的肩膀说：“你不是吓傻了吧”我呆呆的望着眼前这是陌生的男子，顿时有种想哭的感觉， 仰天长叹：“天哪，你是跟我开玩笑吗，难道以前的生活就回不去了吗”。刚说完，一道闪电划过天际，雷声响起，看来天要 灭我啊，我摇摇头，还是无法接受这个事实。我突然想到他是山神那应该就知道那栋房子的事情吧，我问：“你知道那栋房子， 就是我住那栋以前是谁的吗？”这时我们已经走到房子的大门口了，这还是我来到这里第一次仔细地看看这栋古老的建筑，这 是一栋很大的古宅，在外面一眼就可以认出来，大门上雕刻着精美的花鸟虽因古老而被腐蚀，但却有种沧桑的美感，进去后是 石子铺成的小路，两旁是些破败的杂草和不知名的花再往前就是房屋了是中国传统的建筑。山神看着这栋房子若有所思地说： “这是我的一个老朋友的”我说：“你认识我的母亲？”“你母亲”他疑惑地看着我说。我从背包里拿出了我母亲的照片给他 看，他摇摇头说：“我不认识”。“那为什么我母亲死后告诉我这栋房子是她的”“这个我不知道”他露出无奈的表情。我心 想怎么会这样，我问：“那你的老朋友是谁”他说：“是一个男的，告诉你，你也不认识啊”，我很不爽的白了他一眼还想再 问他这房子怎么回事，他就不耐烦地摆摆手说：“行了，今天就到这，你就先回去吧，还有你应该不可以离开这里，应为这栋 房子不让你离开，否自你也不会遇上白虎了，我也不知道他们为什么一定要让你在这里”我惊奇到：“什么叫这栋房子不让我 离开，它会不会杀了我啊，你可是山神啊，你救救我吧，让我离开这里，我感觉这里妖气冲天啊”“我怎么没看出来这里有妖 气啊，我觉得他们不会杀你的，不然早就动手了，这也不是我管的事情，虽然我是这里的山神，可唯独这栋房子不归我管，我 也不知道为什么，我们就是这样规定的，你好好保重吧，我会来看你的”山神一脸贱贱的表情说完就不见了。独留我一人还在 神游，什么叫这栋房子不让我离开，哼我偏要走，我转身刚走，耳边就响起山神的声音说：“你还是省省吧，再出去，说不定 遇到的就是狰这种凶神了，而且还有可能是一群啊，别白费心急了”我想想也是，我手无缚鸡之力的，还是别找死了。我回到 客厅里看看还是来时的样子，回到卧室里想想这些天发生的事情
A E理
梯形的中位线平行于两 底，并且等于两底和的 一半。
如图，在梯形ABCD中，AD//BC， 如果AE=EB,DF=FC ，那么
A E B
D F C
(1)EF//AD//BC
(2)EF= 1 (AD+BC)
2
例1. 如图所示的梯形梯子，AA′∥EE′， AB=BC=CD=DE，A′B′= B′C′= C′D′= D′E′， AA′=40cm， EE′ ＝80cm. 求 : BB′、 CC ′、 DD′. A A′ B B′ C C′ D′ D E E′
例2.如图，在直角梯形ABCD中，点O为CD 的中点. （1）度量顶点A、B到点O的距离，你有什么 发现？ （2）你的结论正确吗？说明理由. D A E·
B
O ·
C
练一练: ( 二) 如图,梯形ABCD中,AD∥BC, E是腰AB的中 点,且DE⊥CE. 你能说明 DC=AD+CB吗？ 试试看.
试一试: 如图所示的三角架,各横木之间互相平 行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则 AD= 20 cm. P 想一想：你会求BC的长吗？ A D E B F C
练一练： （一） 1.（1）梯形的上底长4cm，下底长6cm，则 中位线长 cm. (2)梯形上底长6cm，中位线长8cm，则下 底长 cm. (3)等腰梯形的中位线长6cm，腰长5cm, 则梯形的周长是 cm. （4）若梯形的中位线长6cm，高为5cm, 你会求梯形的面积吗？ （5）一个等腰梯形的周长为80cm，如果 中位线长与腰长相等，高为12cm，求梯形 的面积.