整式的运算 2
整式(第2课时)课件
实例
在物理学中，牛顿第二定律的公式$F = ma$就是一个整式表达，其中$F$表示力 ，$m$表示质量，$a$表示加速度。通过这个公式可以计算出物体在一定力作用 下的加速度。
04 整式运算的练习题与答案
练Hale Waihona Puke 题计算$(x + 1)^{2}$
准确计算
在进行系数的加减运算时， 需要准确计算，避免出现 计算错误。
遵循法则
在进行整式的加减运算时， 需要遵循加减法则，确保 运算的正确性。
02 整式的混合运算
整式的乘法法则
乘法分配律
整式乘法中，乘法分配律是重要 的法则之一，即a(b+c) = ab +
ac。
单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，是将单项式 分别与多项式的每一项相乘，再把 所得的积相加。
多项式除以单项式
多项式除以单项式，是将多项式 的每一项分别除以单项式，再把
所得的商相加。
整式的混合运算步骤
01
02
03
04
确定运算顺序
在进行整式的混合运算时，应 先进行乘除运算，再进行加减
运算。
逐步化简
按照确定的运算顺序逐步进行 化简，注意每一步都要进行化
简，直到得到最简结果。
统一形式
在进行加减运算时，应将不同 形式的整式统一为相同的形式
计算
$5x^{2} - 2x + 1$
计算
$3a^{3}b - a^{2}b^{2} 5a^{3}b^{2}$
计算
$frac{x^{2}}{y} + frac{y^{2}}{x}$
整式的基本性质和运算
整式的基本性质和运算整式是数学中的重要概念，它在代数运算中起着至关重要的作用。
本文将介绍整式的基本性质和运算，帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、整式的定义和基本性质整式是由常数和变量的积及其代数和构成的代数表达式。
例如，3x² + 5xy - 2y³就是一个整式。
整式的基本性质包括：1. 整式的次数：整式中所有项次数的最大值称为整式的次数。
例如，3x² + 5xy - 2y³的次数为3。
2. 整式的系数：整式中每个项的系数即为该项前的数值。
例如，3x² + 5xy - 2y³中，3、5和-2分别为各项的系数。
3. 整式的同类项：整式中具有相同字母和次数的项称为同类项。
例如，3x²和5xy是整式3x² + 5xy - 2y³的同类项。
4. 整式的加减法性质：整式的加减法满足交换律和结合律。
即对于任意整式a、b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和a + b = b + a。
二、整式的运算1. 整式的加法：将同类项相加，并保持其他项不变。
例如，将3x² + 5xy - 2y³和2x² + 3xy + 4y³相加，得到5x² + 8xy + 2y³。
2. 整式的减法：将同类项相减，并保持其他项不变。
例如，将3x² + 5xy - 2y³减去2x² + 3xy + 4y³，得到x² + 2xy - 6y³。
3. 整式的乘法：将每个项相乘，并将同类项合并。
例如，将3x² + 5xy - 2y³乘以2x² + 3xy + 4y³，得到6x⁴ + 19x³y + 8x²y² - 6xy⁴ - 8y⁶。
整式运算公式汇总
整式运算公式汇总整式是由常数、变量及其乘积所构成的代数表达式，常见的整式运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是整式运算的一些常用公式汇总。
1.加法和减法：-任意两个整式之和或之差仍然是整式。
2.乘法：-一个整数与一个整式相乘，所得结果仍然是整式。
-两个整式相乘时，可以利用分配律进行展开。
-两个含有相同的因子的整式相乘时，可以利用公因式提取法进行合并。
3.乘方：a^n表示a的n次方，在整式运算中，可以使用以下公式进行乘方运算：-a^m*a^n=a^(m+n)（底数相同的乘方，指数相加）-(a^m)^n=a^(m*n)（乘方的乘方，指数相乘）-a^0=1（任何数的0次方等于1）4.除法：整式的除法运算可以利用乘法的逆运算，即乘法逆元素，其中，除法过程可以通过因式分解、相除法或多项式长除法等方法进行。
5.因式分解：将一个整式分解为几个不可再分解的乘积形式的过程称为因式分解。
常见的因式分解公式包括：-公因式提取法：将一个整式中的公因子提取出来。
-二次差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)- 平方差公式：a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab- 三次方差公式：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)6.基本恒等式：- 乘法结合律：a(bc) = (ab)c- 乘法交换律：ab = ba-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-加法交换律：a+b=b+a- 加法与乘法的分配律：a(b+c) = ab+ac这些是整式运算的一些常见公式，它们在代数运算中起到重要的作用。
通过熟练掌握和运用这些公式，可以更好地理解和解决整式运算问题。
整式的概念与运算
整式的概念与运算整式是代数中的重要概念，广泛应用于数学和科学领域。
本文将介绍整式的概念和运算规则，并且通过实例进行详细说明，以便读者更好地理解整式的特点和运算方法。
一、整式的概念整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和构成的代数式。
整式可以包含一个或多个变量，并且可以对变量进行加、减、乘、除等运算。
一般来说，整式是多项式的一种特殊形式。
1.1 单项式当整式中只包含一个变量的乘积时，称为单项式。
例如：2x，-3xy，4a^2b等都是单项式。
其中，x、y、a、b是变量，2、-3、4是系数。
1.2 多项式当整式中包含多个单项式时，称为多项式。
例如：3x^2 - 2xy + 5是一个多项式。
其中，3x^2、-2xy、5都是单项式。
二、整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍各种运算规则，并通过实例进行说明。
2.1 加法和减法整式的加法和减法运算规则与数的加法和减法类似。
只需将同类项(具有相同的变量和相同的指数)的系数相加或相减即可。
例如：3x^2 + 2xy - 5 和 -2x^2 - 3xy + 4 是两个整式，它们可以进行相加运算：(3x^2 + 2xy - 5) + (-2x^2 - 3xy + 4) = (3x^2 - 2x^2) + (2xy - 3xy) + (-5+ 4) = x^2 - xy - 12.2 乘法整式的乘法运算规则是将每一项的系数相乘，并将变量和指数相乘。
例如：(2x + 3)(4x - 5)是一个整式乘法运算，可以按照分配律展开运算：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 152.3 除法整式的除法运算需要借助长除法的方法进行求解。
例如：将12x^2 + 8x + 4除以4x，可以进行如下的除法运算：3x + 1--------------4x | 12x^2 + 8x + 412x^2 + 4x----------4x + 44x + 1-------3所以，商为3x + 1，余数为3。
整式的运算法则
整式的运算法则整式是由数字及其系数和字母及其指数通过加减乘除等运算符号连接而成的代数式。
在代数运算中，整式的运算法则是非常重要的，它包括了加法、减法、乘法和除法四种基本运算法则。
本文将分别介绍这四种运算法则，并通过例题进行详细说明。
一、加法法则加法法则是指将同类项相加时，保持其字母部分不变，将其系数相加即可。
例如，对于整式3x^2+5x^2，将其同类项3x^2和5x^2的系数相加，得到8x^2。
二、减法法则减法法则与加法法则相似，也是将同类项相减时，保持其字母部分不变，将其系数相减即可。
例如，对于整式7x^3-4x^3，将其同类项7x^3和4x^3的系数相减，得到3x^3。
三、乘法法则乘法法则是指将整式相乘时，按照分配律和乘法交换律进行计算。
例如，对于整式2x(3x+4)，首先将2x分别乘以3x和4，得到6x^2+8x。
四、除法法则除法法则是指将整式相除时，首先进行除数的分解，然后利用乘法的逆运算进行计算。
例如，对于整式6x^2÷2x，首先将6x^2分解为2x*3x，然后进行约分，得到3x。
以上就是整式的四种基本运算法则，下面通过例题进行详细说明。
例题1：计算整式的和已知整式3x^2+5x^2+2x-4x，求其和。
解：根据加法法则，将同类项相加，得到8x^2-2x。
例题2：计算整式的差已知整式7x^3-4x^3-2x^2+5x^2，求其差。
解：根据减法法则，将同类项相减，得到3x^3+3x^2。
例题3：计算整式的积已知整式2x(3x+4)，求其积。
解：根据乘法法则，将2x分别乘以3x和4，得到6x^2+8x。
例题4：计算整式的商已知整式6x^2÷2x，求其商。
解：根据除法法则，首先将6x^2分解为2x*3x，然后进行约分，得到3x。
通过以上例题的计算，我们可以看到整式的运算法则是非常简单的，只需要按照规则进行操作即可得到结果。
在代数运算中，整式的运算法则是非常基础的，也是后续学习更复杂代数式和方程的基础。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
数学中的整式的加减与乘除
数学中的整式的加减与乘除整式是数学中的一种基本概念，它是由常数、变量及其指数所构成的代数式。
整式的加减与乘除是数学中常见的运算方式，本文将详细介绍整式的加减与乘除运算方法。
一、整式的加法运算整式的加法是指将两个或多个整式相加的过程。
两个整式相加时，需要将相同指数的变量合并在一起，并对系数进行相加。
例如，将3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 进行相加，步骤如下：1. 将相同指数的变量合并在一起，即将x²合并，将x合并，将常数项合并。
(3x² - 2x²) + (2x - 4x) + (-5 + 3)2. 对合并后的每项进行系数相加。
x² + (-2x²) = 1x²2x + (-4x) = -2x-5 + 3 = -2因此，3x² + 2x - 5 和 -2x² - 4x + 3 的和为 x² - 2x - 2。
在整式的加法运算中，需要注意变量指数的合并和系数的相加，通过有序的步骤进行计算，可以确保运算的准确性。
二、整式的减法运算整式的减法是指将两个整式相减的过程。
减法运算可以通过加法的方法进行转化，即通过改变被减整式中各项的符号，将减法转化为加法的形式，然后进行整式的加法运算。
例如，将5x³ + 2x² - 7x + 1 和 3x³ - 4x² + x + 2 进行相减，步骤如下：1. 将被减整式的各项符号改变为相反数。
(5x³ + 2x² - 7x + 1) + (-(3x³ - 4x² + x + 2))2. 将改变符号后的整式转化为加法形式。
5x³ + 2x² - 7x + 1 - 3x³ + 4x² - x - 23. 对转化后的整式进行加法运算。
整式的加减(2)
2
3
＝ 3 x 2 y 5 xy2
2
3
例3 合并同类项：
(1)3x 2 y 2xy2 1 xy2 3 yx 2
小明的解法：
3
2
(2)3a a－b－2b2－a＋b 2b2
(2)解：原式＝(3a a a) (b b) (2b2 2b2 )
＝a 2b
(2)错在把结合同类项时弄错了符号；
张
知识结构：
整式的概念 整式的加减
整式的计算
单项式 多项式
系数
次数 项，项数，常数项， 最高次项 次数
同类项与合并同类项 去括号 化简求值
用字母来表示生活中的量
定义：由__数__字__或_字__母__的__乘__积__组成的式子。 单独的_一__个__数_或_一__个__字__母_也是单项式。
单项式： 系数： 单项式中的__数_字__因__数__。 次数： 单项式中的___所_有__字__母__的__指_数__和___.
3
1、代数式中用到乘法时，若是数字与数字乘，要用“×”
若是数字与字母乘，乘号通常写成”.”或省略不写，如
3×y应写成3·y或3y，且数字与字母相乘时，字母与
字母相乘，乘号通常写成“·”或省略不写。
2、带分数与字母相乘，要写成假分数
3、代数式中出现除法运算时，一般用分数写，即用分数
线代替除号。
4、系数一般写在字母的前面，且系数“1”往往会省略；
正确的解法： (2)解：原式＝(3a a a) (b b) (2b2 2b2 )
＝a 4b2
总之，合并同类项现要找出式子中的同类项，并把它们写在一起， 最后合并，注意同类项的系数是带符号的。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式是由数字、字母和乘法、加法运算符组成的代数表达式。
在数学中，整式的乘法运算是一项基本且常见的操作。
通过对整式的乘法运算，我们可以得到一个新的整式，从而求解复杂的代数问题。
下面将介绍整式的乘法运算及其相关概念和规则。
1. 整式的乘法定义整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式。
整式的乘法运算通常涉及到乘法分配律和乘法合并同类项的规则。
乘法分配律表示：对于任意的整式a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c。
乘法合并同类项是指将相同字母的乘积合并为一个同类项。
例如，将3x与2x 相乘得到6x²，其中6是系数，x²是字母的乘积。
2. 整式的乘法规则在进行整式的乘法运算时，需要注意以下几个规则：(1) 系数相乘：将两个整式的系数相乘得到新的系数。
(2) 字母相乘：将两个整式中相同字母的指数相加得到新的指数。
(3) 合并同类项：将相同字母的乘积合并为一个同类项。
(4) 乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b = b×a。
3. 实例演示为了更好地理解整式的乘法运算，我们来看几个实例：(1) 将3x²与2x相乘。
3x² × 2x = 6x³通过系数相乘，得到6；通过字母相乘，x²与x相乘得到x³，因此结果是6x³。
(2) 将4ab²与(-5a²b³)相乘。
4ab² × (-5a²b³) = -20a³b⁵系数相乘得到-20，字母相乘时，a与a²相乘得到a³，b²与b³相乘得到b⁵，因此结果是-20a³b⁵。
4. 注意事项在进行整式的乘法运算中，需要注意一些特殊情况和要点：(1) 乘法的顺序：乘法运算符具有优先级，在计算整式的乘法时，需要按照从左到右的顺序进行计算。
2.2整式的加减
2.2整式的加减《22 整式的加减》在数学的世界里，整式的加减就像是一场有趣的运算游戏。
它看似简单，却蕴含着深刻的规律和方法，是我们探索数学奥秘的重要一步。
让我们先来认识一下整式。
整式是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做整式。
比如 3x、5、a 等等，这些都是整式。
整式可以分为单项式和多项式。
单项式是只有一个项的整式，像 5x 就是一个单项式；而多项式则是由几个单项式相加组成的，比如3x ＋ 2y 就是一个多项式。
那整式的加减到底是怎么一回事呢？其实，整式的加减就是把几个整式合并成一个整式的过程。
这就好比我们把一堆相同类型的水果放在一起，把苹果和苹果放一起，香蕉和香蕉放一起。
在进行整式加减的时候，我们首先要做的就是“去括号”。
如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
比如说，（2x 3y)，去掉括号就变成－2x ＋ 3y。
去完括号之后，接下来就是“合并同类项”。
什么是同类项呢？同类项就是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如 3x 和 5x 就是同类项，2y²和 6y²也是同类项。
合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
比如 3x ＋ 5x ＝ 8x，2y²＋ 6y²＝ 8y²。
为了更好地掌握整式的加减，我们来做几道例题。
例 1：计算（2x² 3x ＋ 5) ＋（3x²＋ 5x 7)首先，去掉括号得到：2x² 3x ＋ 5 ＋ 3x²＋ 5x 7然后，合并同类项：（2x²＋ 3x²) ＋（－3x ＋ 5x) ＋（5 7) ＝ 5x²＋ 2x 2例 2：化简 5a （2a 3b) ＋ 4(b a)去括号：5a 2a ＋ 3b ＋ 4b 4a合并同类项：（5a 2a 4a) ＋（3b ＋ 4b) ＝ a ＋ 7b通过这两个例子，我们可以看到，只要掌握了去括号和合并同类项的方法，整式的加减其实并不难。
整式的运算》知识点总结
整式的运算》知识点总结一、整式的加减运算整式的加减运算是指对两个或多个整式进行加法或减法运算。
整式的加减运算可以分为以下几种情况：1. 同类项的加减运算同类项是指含有相同字母的变量，并且这些变量的指数相同的项。
同类项的加减运算可按如下步骤进行：a) 把括号内的加减式化简为同类项；b) 把同类项的系数相加或者相减；c) 合并同类项。
例如：(2x^2 + 3x + 5) + (4x^2 + 2x - 3)合并同类项得：(2x^2 + 4x^2) + (3x + 2x) + (5 - 3) = 6x^2 + 5x + 22. 整式的加法整式的加法是指对两个或多个整式进行加法运算。
a) 把各个整式的同类项相加；b) 将合并后的结果写在一起。
例如：(2x^2 + 3x + 5) + (4x^2 + 2x - 3)合并同类项得：(2x^2 + 4x^2) + (3x + 2x) + (5 - 3) = 6x^2 + 5x + 23. 整式的减法整式的减法是指对两个整式进行减法运算。
a) 把被减式变成它的相反数；b) 将变号后的被减式写成加法；c) 把变号后的被减式和减数进行加法运算；d) 把同类项相加。
例如：(2x^2 + 3x + 5) - (4x^2 + 2x - 3)变号得：(2x^2 - 3x - 5) + (4x^2 + 2x - 3)合并同类项得：(2x^2 + 4x^2) + (3x + 2x) + (5 - 3) = 6x^2 + 5x + 2二、整式的乘法运算整式的乘法运算是指对两个整式进行乘法运算。
整式的乘法运算是比较复杂的，需要遵循以下规则进行计算：1. 同类项的乘法同类项的乘法是指对两个同类项进行乘法运算。
乘法运算时，同类项的系数相乘，变量的指数相加。
例如：(2x^2)(3x^2) = 6x^42. 乘法分配律整式的乘法运算满足乘法分配律，即a(b + c) = ab + ac。
其中a为整式，b和c为单项式或者多项式。
整式的加减运算及简化法则
整式的加减运算及简化法则整式是由字母、数字和运算符号组成的代数表达式，其中运算符号主要包括加号和减号。
整式的加减运算是指对整式进行加法和减法运算，而简化法则是指将整式进行合并和化简的方法。
本文将重点介绍整式的加减运算和简化法则，以帮助读者更好地理解和应用整式。
一、整式的加减运算整式的加减运算满足以下两个基本法则：1. 加法的交换律和结合律加法的交换律表示两个或多个整式进行加法运算时，可以改变它们的顺序而不改变结果。
例如，对于整式a、b、c，有a+b+c=c+b+a。
加法的结合律表示三个或多个整式进行加法运算时，可以改变它们的分组方式而不改变结果。
例如，对于整式a、b、c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 减法的运算法则减法可以看作是加法的逆运算，因此减法的运算法则可以通过加法的法则进行推导。
对于整式a和b，a-b可以转化为a+(-b)，即将减号变为加号，并在b前面加上负号。
因此，减法运算可以通过加法来实现。
二、整式的简化法则整式的简化是指通过合并同类项和化简合并后的项来简化整式的过程。
下面是整式简化的几条基本法则：1. 合并同类项合并同类项是指将具有相同字母部分的项合并成一个项，其系数为相同项的系数相加。
例如，对于整式a+b+c+a-b，可以将其中的同类项a合并，并将系数相加，得到2a+b+c-b，进一步简化为2a+c。
2. 乘法的分配律乘法的分配律是指一个数与两个或多个数的和相乘时，可以分别与其中的每个数相乘，然后将乘积相加得到最终结果。
例如，对于整式a(b+c)，可以分别将a与b和a与c相乘，然后将乘积相加，得到ab+ac。
3. 减法的简化减法的简化可以通过加法的简化法则来实现。
对于整式a-b，可以将减号变为加号，然后将b前面加上负号，即a+(-b)。
4. 去括号去括号是指将整式中的括号去掉，并根据运算法则进行合并和化简。
例如，对于整式2(a+b)，可以先去掉括号，得到2a+2b，然后根据合并同类项的法则进行简化。
第一章 整式运算2
2 2
4 2 3. ( 2 x )( 2 x ) 4x y 9 a3 a3 b 2 )(____ b 2 ) a 6 b 4 4. (____
2
2 y 3
2 y 3
x+y)2 ( z )2 5. ( x y z )( x y z ) (
将x+y看作整体，则相同项为 ？ ，相反项为 ？ 。
2 1 2 ⑵ 50 3 ×49 3 = (50＋ 3 )(50－ 2)=2499 5 3 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
⑷ 5678×5680－56792 =(5679－1)(5679+1)－56792
= 56792－1－ 56792
=-1
下列各式的解法中，哪种简单？请选择： 辨析与反思
a
a b a b a b
2
2
观察与思考
1.计算下列各组算式,并观察它们的共同特点：
63 64
143 144
6399 6400
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？ 3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
a 1 a 1 a
2
整式的运算知识点
整式的运算知识点整式指的是由整数常数、变量以及它们的乘积和加减运算组成的式子。
在数学中，我们经常会进行整式的运算，包括合并同类项、展开和因式分解等操作。
下面将介绍整式运算的相关知识点。
一、合并同类项合并同类项是指将同一变量的幂相同的项相加或相减。
在合并同类项时，首先要确定变量的幂是否相同，然后将系数相加即可。
例如，对于表达式3x + 4x + 2x - 5x，我们可以合并同类项得到(3 + 4 + 2 - 5)x= 4x。
二、展开式展开式是指将括号内的整式按照乘法规则展开。
当括号里只有两项时，展开式可以直接应用“先乘后加”的规则。
例如，对于表达式2(x + 3)，我们可以将2乘以x和3分别得到2x + 6。
当括号里有多项时，我们需要用“分配律”来展开。
例如，对于表达式3(x + 2y - z)，我们需要将3分别乘以x、2y和-z，得到3x + 6y - 3z。
三、因式分解因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积。
因式分解有很多不同的方法，以下介绍两种常用的方法：1. 公因式提取法：当一个整式的每一项都有一个公因式时，我们可以将这个公因式提取出来，并将剩下的部分进行合并。
例如，对于表达式6x + 9y，我们可以提取公因式3，得到3(2x + 3y)。
2. 分组分解法：当一个整式可以进行分组分解时，我们可以将其中的项按照一定的规则分组，并利用公因式提取法进行因式分解。
例如，对于表达式2xy + 4x + 3y + 6，我们可以将其分为(2xy + 4x) + (3y + 6)，然后分别提取公因式2x和3，得到2x(y + 2) + 3(y + 2)。
以上就是整式的运算知识点的简要介绍。
通过合并同类项、展开式和因式分解等操作，我们可以简化整式、求解方程和化简复杂的数学问题。
熟练掌握这些知识点，并灵活运用于实际问题中，不仅有助于提高数学计算的准确性，也能够增强数学思维和解决问题的能力。
整式的加减(二)——去括号与添括号(提高)__整式的加减(二)—去括号与添括号(提高)知识讲解
整式的加减（二）—去括号与添括号（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．掌握去括号与添括号法则，注意变号法则的应用；2. 熟练运用整式的加减运算法则，并进行整式的化简与求值．【要点梳理】【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号388394 去括号法则】要点一、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．要点诠释：(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．要点二、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．要点诠释：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号的关系如下：如：， ()a b c a b c +-+-A A A A AA A A A A AA 添括号去括号()a b c a b c -+--A A A A AA A A A A AA 添括号去括号要点三、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．要点诠释：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【典型例题】类型一、去括号1．（2015•泰安模拟）化简m﹣n﹣（m+n ）的结果是（ ）A ．0B ．2mC ．﹣2nD ．2m﹣2n【答案】C【解析】解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C ．【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．类型二、添括号2．按要求把多项式添上括号：321a b c -+-(1)把含a 、b 的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a 、b 的项放到前面带有“-”号的括号里；(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．【答案与解析】解：(1)；321(32)(1)a b c a b c -+-=---+(2)．321(3)(21)a b c a c b -+-=+-+【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．举一反三：【变式】添括号：（1）．22()101025()10()25x y x y x y +--+=+-+（2）．()()[(_______)][(_______)]a b c d a b c d a a -+-+-+=-+【答案】(1)； (2) ．x y +,b c d b c d -+-+类型三、整式的加减【高清课堂：整式的加减（二）--去括号与添括号 388394典型例题5】3． ．3243245348x x x x x x -+--+-一个多项式加上得，求这个多项式【答案与解析】解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．43232(348)(45)x x x x x x --+---+4323243348453813.x x x x x x x x x =--+--+-=-+-答：所求多项式为．433813x x x -+-【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．举一反三：【变式】化简：(1)15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2-x 3).(2)3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z+4x 2y )]. (3)-3[(a 2+1)-(2a 2+a )+(a -5)].1613(4)ab -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]}.【答案】解： (1) 15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2-x 3)＝15+3(1-x )-(1-x+x 2)+(1-x+x 2)-x 3＝18-3x -x 3.. ……整体合并，巧去括号(2) 3x 2y -[2x 2z -(2xyz -x 2z+4x 2y )]＝3x 2y -2x 2z+(2xy -x 2z+4x 2y )……由外向里，巧去括号 ＝3x 2y -2x 2z+2xyz -x 2z+4x 2y＝7x 2y -3x 2z+2xyz .(3) 22113[(1)(2)(5)]63a a a a -+-++-2213(1)(2)(5)2a a a a =-+++--2213352a a a a =--++-+.21222a a =--+ (4)ab -{4a 2b -[3a 2b -(2ab -a 2b )+3ab ]} ＝ab -4a 2b+3a 2b -2ab+a 2b+3ab……一举多得，括号全脱 ＝2ab .类型四、化简求值4. 先化简，再求各式的值：．(){}123225,,12x y x x y x y x y --+-++==-⎡⎤⎣⎦其中【答案与解析】解：原式[2(3245)][2(3)]x y x x y x y x y x x y =--+--+=--+-+(23)(43)43444().x y x x y x y x x y x x y x y =---+=--=-+=-=-将代入，得：.1,12x y ==-134[(1)]4622--=⨯=【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当……时，原式=？举一反三：【变式】（2015春•万州区期末）先化简，再求值：﹣2x 2﹣[3y 2﹣2（x 2﹣y 2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．【答案】解：原式=﹣2x 2﹣y 2+x 2﹣y 2﹣3=﹣x 2﹣y 2﹣3，当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．5. 已知3a 2-4b 2＝5，2a 2+3b 2＝10．求：(1)-15a 2+3b 2的值；(2)2a 2-14b 2的值．【答案与解析】显然，由条件不能求出a 、b 的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．解：(1)-15a 2+3b 2＝-3(5a 2-b 2)＝-3[(3a 2+2a 2)+(-4b 2+3b 2)]＝-3[(3a 2-4b 2)+(2a 2+3b 2)]＝-3×(5+10)＝-45；(2)2a 2-14b 2＝2(a 2-7b 2)＝2[(3a 2-2a 2)+(-4b 2-3b 2)]＝2×[(3a 2-4b 2)-(2a 2+3b 2)]＝2×(5-10)＝-10．【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．举一反三：【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．2m π=31am bm ++3145_____2a b ππ++=【答案】∵ ， ∴ ，即3(2)210a b ππ++=A 338212(4)10a b a b ππππ++=++=3142a b ππ+=-．∴．31114555222a b ππ++=-+= 6. .已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：2x ax y b +-+2363bx x y -+-x 的值．22223(2)(4)a ab b a ab b ---++【答案与解析】解：.222(363)(1)(3)7(3)x ax y b bx x y b x a x y b +-+--+-=-++-++由于多项式与的差的值与字母无关，可知：2x ax y b +-+2363bx x y -+-x ，，即有.10b -=30a +=1,3b a ==- 又,2222223(2)(4)74a ab b a ab b a ab b ---++=--- 将代入可得：.1,3b a ==-22(3)7(3)1418---⨯-⨯-⨯=【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x 无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x ”的项，所以合并同类项后，让含x 的项的系数为0即可．类型五、整式加减运算的应用7. (湖南益阳)有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．A ．60n 厘米B ．50n 厘米C ．(50n+10)厘米D ．(60n -10)厘米【答案】C .【解析】观察上图，可知n 块石棉瓦重叠的部分有(n -1)处，则n 块石棉瓦覆盖的宽度为：60n -10(n -1)＝（50n+10）厘米．【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．举一反三：【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a 2(a ＞0)．那么阴影部分的面积为________．【答案】3a -a 2提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积，而长方形的长为3+a ，宽为3，从而使问题获29a --解．。
整式的运算知识点
整式的运算知识点整式是指由字母和数字之间用加减乘除的运算符连接而成的算式。
它是代数学中最基本的表达式形式，运算过程中涉及到多种知识点和规则。
本文将从整式的基本概念、加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算等几个方面介绍整式的运算知识点。
一、整式的基本概念整式由常数项和各种字母的乘积项通过加减运算符连接而成。
其中，常数项可以是正数、负数或零，字母的乘积项由字母和指数两部分构成，指数为正整数。
整式的字母部分可以包含一个或多个字母，字母间的乘积可以是相同字母的乘积项，也可以是不同字母的乘积项。
二、加法运算整式的加法运算遵循交换律和结合律。
将同类项进行合并，即将字母部分相同、指数相同的项合并为一项。
例如，将3x^2 +2x^2合并为5x^2。
同时，将常数项相加得到最终的结果。
三、减法运算整式的减法运算可以通过转化为加法运算来进行。
对于减法式子a - b，可以将其改写为a + (-b)的形式，然后按照加法运算的规则进行计算。
四、乘法运算整式的乘法运算遵循乘法分配律和乘法结合律。
将每一个乘积项中的字母部分相乘，同时将指数相加得到新的指数。
不同乘积项之间通过加法运算符连接。
五、除法运算整式的除法运算可以通过乘法的逆运算来实现，即将除法转化为乘法。
例如，将a/b转化为a * (1/b)的形式，然后按照乘法运算的规则进行计算。
需要注意的是，除法运算中，被除数和除数都必须是整式，除数不能为0。
六、展开与提取公因式展开是指将一个整式按照乘法运算的规则进行计算，化简为最简整式的过程。
提取公因式是指将多个整式中的公共部分提取出来，得到最简整式的过程。
七、综合运算整式的运算可以综合应用前面所述的加法、减法、乘法和除法运算进行。
先进行括号内的运算，然后按照加法、减法、乘法和除法的顺序进行，最后合并同类项和化简得到最终结果。
结语整式的运算是代数学中的基础知识，掌握整式的运算方法对于理解和解决代数问题具有重要意义。
通过本文的介绍，希望能够对整式的运算知识点有一个更加清晰和全面的了解，从而在学习和应用中能够更加得心应手。
整式的运算知识点
整式的运算知识点整式是指由常数、变量和它们的积或幂次构成的代数表达式。
在代数学中，我们经常需要对整式进行运算，掌握整式的运算知识是解决代数问题的关键。
以下是整式运算的主要知识点：一、加法和减法运算1. 同类项的加法：将系数相同、幂次相同的项相加，例如：3x^2 + 2x^2 = 5x^22. 同类项的减法：将系数相同、幂次相同的项相减，例如：4a^3 - 2a^3 = 2a^33. 非同类项的加减法：对于系数不同或幂次不同的项，无法直接相加减，必须先化简为同类项再进行运算，例如：2x^2 + 3x - 4x^2 + 5 = -2x^2 + 3x + 5二、乘法运算1. 两个整式相乘：将每一项都与另一个整式中的每一项相乘，再将结果相加，例如：(2x + 3)(4x + 5) = 8x^2 + 22x + 152. 多个整式相乘：按照分配律和结合律，逐步进行乘法运算，例如：(a + b)(c + d)(e + f) = ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf三、指数运算1. 幂的乘法：同一个底数的幂相乘，指数相加，例如：x^2 * x^3 = x^(2+3) = x^52. 幂的除法：同一个底数的幂相除，指数相减，例如：x^4 ÷ x^2 = x^(4-2) = x^23. 幂的乘方：一个幂的指数再次求幂，指数相乘，例如：(x^2)^3 = x^(2*3) = x^6四、分配律1. 乘法与加法的分配律：整式乘以一个因式后再加减，可先分别将整式与因式相乘，再进行加减运算，例如：2x(3x + 4y) = 6x^2 + 8xy2. 乘法与减法的分配律：整式乘以一个因式后再减去，可先分别将整式与因式相乘，再进行减法运算，例如：3a(4b - 2c) = 12ab - 6ac以上是整式的主要运算知识点，掌握了这些知识点，就能够灵活运用整式进行代数计算，并解决各类代数问题。
整式的运算(2)
整式的运算（二）知识点1：整式的乘法知识点2：平方差公式知识点3：完全平方公式知识点4：整式的除法典型题解：1.计算：单项式乘单项式232⋅-a bx ab xy(1)5(3)单项式乘多项式232-+-x x x(2)(3)(21)多项式乘多项式(3)(2)(3)++x y a b2.观察下列计算结果：222x x x x x x x x x x x x x x x x++=++--=-++-=---+=+-)6(1)(2)(3)56(（1）把发现的规律用式子表示出来，并用语言进行总结。
式子表达：（）语言归纳：（）（2）根据上面的规律计算：(1)(3)(7)(2)(6)(9)(3)(1)(3)-++-+-++a a y y x y x y3.若22++-+的积中没有含23(3)(3)x nx x x m和项，求m和n的值？x x4.计算111 +++ ()2345.（6.我如：+(2)(a b（1（2（37.8.1)1+9.你能将2000写成两个数的平方差吗？10.正整数156加上一个正整数的平方后得到一个新的正整数的平方数，那么加上的这个平方数是（）。
11.观察下列等式：22222,⨯=-⨯=-⨯3941401,4请你把发现的规律用字母表示出来：m n⋅=（）。
12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。
如：222222420,1242,2064=-=-=-，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）4（313.14.已知15.若(x16.计算：2x y z-+;(23)++，并用它的结果直接计算2a b c()17.如图为杨辉三角，它的作用在于按规律写出()n a b +的展开式的系数（n 为非负数），如1222(),()2a b a b a b a ab b +=++=++⋅⋅⋅试在下面写出7()a b +的展开式的系数并写出其展开式？18.已知19.的自然215=（1（220.21.22.已知4325x x ax bx c -+++能被2(1)x -整除，试求2()a b c ++的值？23.在有理数范围内，是否存在m,n 的值，使32619x x mx n -++能被26113x x ++整除？若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由。
整式的概念和运算
整式的概念和运算整式是代数学中的一个重要概念，它是由字母和常数按照一定的规则组合而成的代数表达式。
整式的运算是代数学中的基础知识之一，它包括了整式的加法、减法、乘法以及整式的因式分解等内容。
下面我们将分别介绍整式的概念以及它的运算规则。
一、整式的概念整式是由字母和常数按照加法、减法的规则组合而成的代数表达式。
字母表示未知数或变量，常数则表示具体的数值。
整式的组成部分可以是单个字母或常数，也可以是字母或常数的组合。
整式的例子包括：3x^2 - 5xy + 2y^2、4a + 7b、-2xyz等。
其中，3x^2 - 5xy + 2y^2是一个二次整式，4a + 7b是一个一次整式，-2xyz是一个三次整式。
整式的次数是指整式中各个项次数的最大值。
例如，3x^2 - 5xy +2y^2的次数为2，4a + 7b的次数为1，-2xyz的次数为3。
二、整式的运算1. 整式的加法和减法整式的加法和减法遵循一般代数表达式的运算规则，即按照同类项相加或相减。
同类项是指具有相同字母部分，并且各个字母的指数也相同的项。
例如，3x^2和2x^2是同类项，因为它们具有相同的字母x和指数2；但是3x^2和2xy^2就不是同类项。
在整式的加法和减法中，我们只需要按照同类项的规则，将各个项的系数相加或相减，同时保持字母和指数不变即可。
例如，对于整式3x^2 - 5xy + 2y^2 和 2x^2 + 3xy - y^2来说，我们可以将它们的同类项相加得到：(3x^2 + 2x^2) + (-5xy + 3xy) + (2y^2 - y^2) = 5x^2 - 2xy + y^2。
2. 整式的乘法整式的乘法是指将两个整式相乘的运算。
在整式的乘法中，需要注意以下几点：（1）对于整式的乘法，一般使用分配律进行计算。
即将一个整式的每一项与另一个整式中的每一项分别相乘，然后将所得的各个乘积相加得到最终结果。
例如，将整式3x^2 - 5xy + 2y^2与2x - y进行乘法运算，我们可以将这两个整式中的每一项分别相乘，并将结果相加：(3x^2)(2x) +(3x^2)(-y) + (-5xy)(2x) + (-5xy)(-y) + (2y^2)(2x) + (2y^2)(-y) = 6x^3 -3x^2y - 10x^2y + 5xy^2 + 4xy^2 - 2y^3 = 6x^3 - 13x^2y + 9xy^2 - 2y^3。
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整式的运算
1．计算正确的是（ ）
A.a 2a 3=a 6
B.(a 3)3=a 6
C.(x n －1)2=x 2n －1
D.x 5x 2=x 10
2．(2a+3b)2=(2a －3b)2＋（ ），括号内的式子是（ ）
A ．6ab
B ．24ab
C ．12ab
D ．18ab.
3．3a =5 ,9b =10, 3a+2b =( )
A.50
B.－5
C.15
D.27a+b
4. 下列语句中错误的是（ ）
A 、数字0也是单项式
B 、单项式－a 的系数与次数都是 1
C 、21
xy 是二次单项式 D 、－32ab 的系数是 －32
5．计算))((x y y x ---的结果是 （
）
A 22y x --
B 22y x +-
C 22y x -
D 22y x +
6．－2x 3y 的系数为_____，次数为______ 7．(－3x 2y 3 )2= _____________
8．a 2＋mab ＋b 2是完全平方式，m=____. 9．a 9 ( _____ )=－a 11,
10.若212y x m -与n y x 2-是同类项，则()n m -＝ ；
11．计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷23221
4xy y x ；12．1
21-⎪⎭⎫
⎝⎛-＝
13①（π－3）0 （2）（－2a ）· a －（－2a)2
14、.若2x+y=3，求4x ·2y 的值。
15、计算（1） (－31
)5×67×(21
)6 （2）计算(x +y －1)(x +y +1) .
16.．若多项式82++ax x 和多项式b x x +-32相乘的积中不含2x 、3x 项，
求)()(222b a b a ---的值；
因式分解
1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
A ．a （a －b ）＝a 2－ab ；
B ．a 2－2a ＋1＝a （a －2）＋1
C ．x 2－x ＝x （x －1）；
D ．x 2－y y ⨯1＝（x ＋y 1）（x －y
1） 2．把下列各式分解因式正确的是（ ）
A ．x y 2－x 2y ＝x （y 2－xy ）；
B ．9xyz －6 x 2y 2＝3xyz （3－2xy ）
C ．3 a 2x －6bx ＋3x ＝3x （a 2－2b ）；
D ．21x y 2＋21x 2y ＝2
1xy （x ＋y ） 3．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）
A ．（x －y ）（x －y －1）
B ．（y －x ）（x －y －1）
C ．（y －x ）（y －x －1）
D ．（y －x ）（y －x ＋1）
4、下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.-a 2+b 2
B.-x 2-y 2
C.49x 2y 2-z 2
D.16m 4-25n 2
5.下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）
①x 2-4x+4; ②6x 2+3x+1; ③ 4x 2-4x+1; ④ x 2+4xy+2y 2 ; ⑤9x 2-20xy+16y 2
A.①②
B.①③
C.②③
D.①⑤
6.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）
A.11
B.22
C.11或22
D.11的倍数.
7.分解多项式:
（1）16x 2y 2z 2
-9; （2）a ax ax 442+-; （3） 2xy 9x -.
（4）(3m+2n)2-(2m-3n)2
（5）1+x+2
4x （6） (x-y)2+10(x-y)+25
（7）25x 4-40x 2y 2+16y 4 （8）16xy - 81x 5y 5
8.试用简便方法计算：（1）1982-396202⨯+2022 （2）5752×12-4252×12。