一类带梯度依赖势和源的粘性Cahn-Hilliard方程解的爆破现象
一类带调和势的非线性Schrodinger方程组的爆破问题
收稿日期：２００６－０９－１９收稿日期：国家自然科学基金项目资助（１０３７１１１３）作者简介：邵长安（１９８２－），男，山东临沂人，硕士研究生，从事偏微分方程研究；邢家省（１９６４－），男，河南泌阳人，副教授，博士后．文章编号：１００４－３９１８（２００７）０１－０００１－０４一类带调和势的非线性Schrodinger 方程组的爆破问题邵长安，邢家省（北京航空航天大学理学院，北京１０００８３）摘要：研究一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题，通过在Ｓｏｂｏｌｅｖ空间中定义能量空间，运用能量方法，建立质量能量守恒律，利用能量函数，得到了只要初值满足一定的条件，该方程组的解在有限时间内爆破．关键词：调和势；非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组；爆破中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标识码：Ａ考虑下面的一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的初值问题ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ（１）ｉｖｔ＝－Δｖ＋│ｘ│２ｖ－（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖ（２）ｕ（０，ｘ）＝ｕ０，ｖ（０，ｘ）＝ｖ０，ｘ∈Ｒｎ，ｔ＞０（３#%$%&）其中，ｉ是虚数单位，ｕ＝ｕ（ｔ，ｘ），ｖ＝ｖ（ｔ，ｘ）是（ｔ，ｘ）∈Ｒ＋×Ｒｎ的复值函数，Δ是Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子，ｐ，ｑ是常数，ｐ’ｑ’１．非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ是量子力学和量子理论中的经典非线性模型，很多作者已经用不同的方法研究过它，并取得了非常深刻的结论，如其解的存在唯一性［１］，爆破解［２－３］与整体解［４－５］等．带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程ｉｕｔ＝－Δｕ＋│ｘ│２ｕ－│ｕ│ｐ－１ｕ，是用来刻划吸引的Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ凝聚模型［６］，很多作者也已经用不同的方法研究过它，并取得的非常深刻的结论［７－８，１０－１１］等．若在方程组（１）－（３）中ｕ＝ｖ，显然就是带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程，因此方程组（１）－（３）与Ｂｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎ的研究密切相关．本文用能量方法研究该方程组解的爆破性．为了书写的方便用(・ｄｘ表示Ｒｎ(・ｄｘ．１预备知识和引理设Ｈ１（Ｒｎ）表示通常的Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，定义能量空间Ｈ：＝ｕ∈Ｈ１（Ｒｎ），Ｒｎ(│ｘ│２│ｕ│２＜)*∞，并定义能量函数Ｅ（ｔ）＝(（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋(│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２(│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ定义如果（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ）），│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ，│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１│ｖ∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｌ１（Ｒｎ）×Ｌ１（Ｒｎ）），（│ｘ│ｕ，│ｘ│ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ），Ｌ２（Ｒｎ）×Ｌ２（Ｒｎ））．且在广义函数意义下满足方程组，那么（ｕ，ｖ）称为方程组的一个弱解．命题１［９］设任意的（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），ｐ＋ｑ＞１＋４ｎ，该方程组初值问题在最大时间区间［０，Ｔｍａｘ）内存在唯一解（ｕ，ｖ），且（ｕ，ｖ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ１（Ｒｎ）×Ｈ１（Ｒｎ））．引理１（守恒律）设（ｕ，ｖ）是方程组的在０+ｔ＜Ｔ上的解，则：（Ⅰ）(（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝(（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（质量守恒）第２５卷第１期２００７年２月河南科学ＨＥＮＡＮＳＣＩＥＮＣＥＶｏｌ．２５Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２００７第２５卷第１期河南科学（Ⅱ）Ｅ（ｕ，ｖ）＝!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ＋!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－２!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）（能量守恒）证明（Ⅰ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#和２ｖ$，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝!（２│Δｕ│２＋２│ｘ│２│ｕ│２－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ＋!（２│Δｖ│２＋２│ｘ│２│ｖ│２－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ＋１│ｕ│ｐ＋１）ｄｘ取虚部得!（ｕｔｕ#＋ｕ#ｔｕ＋ｖｔｖ$＋ｖ$ｔｖ）ｄｘ＝０即ｄｄｔ!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０故得!（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝!（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ（Ⅱ）在（１）和（２）两边分别乘以２ｕ#ｔ和２ｖ$ｔ后，并在Ｒｎ上积分相加，分部积分得!ｉ（２│ｕｔ│２＋２│ｖｔ│２）ｄｘ＝!（２ΔｕΔｕ#ｔ＋２│ｘ│２ｕｕ#ｔ－２（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#ｔ）ｄｘ＋!（２ΔｖΔｖ$ｔ＋２│ｘ│２ｖｖ$ｔ－２（ｑ＋１）│ｖ│ｑ－１│ｕ│ｐ＋１ｖｖ$ｔ）ｄｘ取实部，得０＝ｄｄｔ!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２＋│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）－２│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ所以Ｅ（ｕ，ｖ）＝Ｅ（ｕ０，ｖ０）．引理２设ｕ０∈Ｈ，ｖ０∈Ｈ，ｕ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）与ｖ（ｔ）∈Ｃ（［０，Ｔ）；Ｈ）是方程组初值问题的解，令Ｊ（ｔ）：＝!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ，那么有（Ⅲ）Ｊ′（ｔ）＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ（Ⅳ）Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ证明（Ⅲ）利用分部积分，直接计算，如下Ｊ′（ｔ）＝ｄｄｔ!│ｘ│２（ｕｕ#＋ｖｖ$）ｄｘ＝!│ｘ│２（ｕｔｕ#＋ｕｕ#ｔ＋ｖｔｖ$＋ｖｖ$ｔ）ｄｘ＝!│ｘ│２（２Ｒｅｕｔｕ#＋２Ｒｅｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｕｔｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（ｉｖｔｖ$）ｄｘ＝２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｕｕ#）ｄｘ＋２!│ｘ│２Ｉｍ（－"ｖｖ$）ｄｘ＝－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｕ#Δｕ）ｄｘ－２!│ｘ│２Δ（Ｉｍｖ$Δｖ）ｄｘ＝２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｕ#Δｕ）ｄｘ＋２!Δ│ｘ│２Ｉｍ（ｖ$Δｖ）ｄｘ＝４Ｉｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋４Ｉｍ!ｘｖ$Δｖｄｘ＝－４Ｉｍ!ｘｕΔｕ#ｄｘ－４Ｉｍ!ｘｖΔｖ$ｄｘ．（Ⅳ）因为Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（ｕ#ｘｋｕｔ－ｕｘｋｕ#ｔ）ｄｘ）＝Ｒｅ（ｉ!ｎｋ＝１&ｘｋ（&&ｔ（ｕ#ｘｋｕ）－&&ｘｋ（ｕｕ#ｔ））ｄｘ）＝ｄｄｔ!Ｒｅ（ｉｘｕΔｕ#）ｄｘ＋ｎＲｅ（ｉ!ｕｕ#ｔｄｘ）＝ｄｄｔＩｍ!ｘｕ#Δｕｄｘ＋ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ．而ｎＩｍ!ｕ#ｕｔｄｘ＝ｎＲｅ!（－ｉｕｔｕ#）ｄｘ＝ｎ!（"ｕｕ#－│ｘ│２ｕｕ#＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｕ#）ｄｘ＝ｎ!（－│Δｕ│２－│ｘ│２│ｕ│２＋（ｐ＋１）│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１）ｄｘ．且利用分部积分，代入直接计算可得：Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ#ｕｔ）ｄｘ＝Ｒｅ!（－２ｘΔｕ#"ｕ＋２ｘΔｕ#│ｘ│２ｕ－２ｘΔｕ#（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕ）ｄｘ２－－２００７年２月邵长安等：一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程组的爆破问题＝－Ｒｅ!２ｘΔｕ"!ｕｄｘ＋Ｒｅ!２ｘΔｕ"│ｘ│２ｕｄｘ－Ｒｅ%２ｘΔｕ"（ｐ＋１）│ｕ│ｐ－１│ｖ│ｑ＋１ｕｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔＩｍ!ｘｕ"Δｕｄｘ＝Ｒｅ!（ｉ２ｘΔｕ"ｕｔ）ｄｘ－ｎＩｍ!ｕ"ｕｔｄｘ＝－（ｎ－２）!│Δｕ│２ｄｘ－（ｎ＋２）!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ＋２ｎ!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＋ｎ!│Δｕ│２ｄｘ＋ｎ!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ＋１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝２!│Δｕ│２ｄｘ－２!│ｘ│２│ｕ│２ｄｘ－ｎ（ｐ－１）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ．同理ｄｄｔＩｍ!ｘｖ&Δｖｄｘ＝２%│Δｖ│２ｄｘ－２%│ｘ│２│ｖ│２ｄｘ－ｎ（ｑ－１）%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ所以ｄｄｔ１４Ｊ′（ｔ’(）＝２!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－２!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ因此Ｊ″（ｔ）＝８!（│Δｕ│２＋│Δｖ│２）ｄｘ－８!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４ｎ（ｐ＋ｑ－２）!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６!│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］!│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ２主要结果及证明若ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，（ｕ０，ｖ０）∈Ｈ（Ｒｎ）×Ｈ（Ｒｎ），（ｕ，ｖ）是此方程组的弱解，下列条件之一满足：（"）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＜０；（#）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＝０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ＞０；（$）Ｅ（ｕ０，ｖ０）＞０，Ｉｍ!ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ＋Ｉｍ!ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ)（２Ｅ（ｕ０，ｖ０）Ｊ（０））１／２；则存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．证明（反证法）假设时间Ｔ无限．由ｐ＋ｑ)２＋４ｎ，则ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４)０再由（Ⅳ）得Ｊ″（ｔ）＝８Ｅ（ｕ０，ｖ０）－１６%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ－４［ｎ（ｐ＋ｑ－２）－４］%│ｕ│ｐ＋１│ｖ│ｑ＋１ｄｘ/８Ｅ（ｕ０，ｖ０），０/ｔ＜∞（４）通过分析，下面等式成立Ｊ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋ｔ０%（ｔ－ｓ）Ｊ″（ｓ）ｄｓ，０/ｔ＜∞再由（４）式，可得Ｊ（ｔ）/Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，０/ｔ＜∞（５）已知Ｊ（ｔ）是非负函数，且Ｊ（０）＝%│ｘ│２（│ｕ０│２＋│ｖ０│２）ｄｘ，Ｊ′（０）＝－４Ｉｍ%ｘｕ０Δｕ"０ｄｘ－４Ｉｍ%ｘｖ０Δｖ&０ｄｘ因此，令Ｆ（ｔ）＝Ｊ（０）＋Ｊ′（０）ｔ＋４Ｅ（ｕ０，ｖ０）ｔ２，则在假设条件（&），（#），（$）之一下，很显然Ｆ（ｔ）有零点，由（５）式可推出存在时间Ｔ＊＜∞，使得ｌｉｍｔ→Ｔ＊Ｊ（ｔ）＝０．从而ｌｉｍｔ→Ｔ＊%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０．若%│ｘ│２（│ｕ│２＋│ｖ│２）ｄｘ＝０，则必有ｕ＝ｖ＝０，又有引理１（Ⅰ），得ｕ０≡ｖ０≡０，这与已知条件矛盾，故Ｔ有限，即存在有限时间Ｔ，使得ｌｉｍｔ→Ｔ,Δｕ,Ｌ２＋,Δｖ,Ｌ２-.＝∞．参考文献：［１］ＶＥＬＯＧ，ＧＩＮＩＢＲＥＪ．Ｏｎａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＪＦｕｎｃｔ，Ａｎａｌ，１９７９，３２：１－７１．［２］ＧＬＡＳＳＥＹＲＴ．Ｏｎｔｈｅｂｌｏｗｉｎｇｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｃａｕｃｈｙｐｒｂｌｅｍｆｏｒｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＭａｔｈＰｈｙｓ，１９７７，３－－第２５卷第１期河南科学１８（９）：１７９４－１７９７．［３］ＯＧＡＷＡＴ，ＴＳＵＴＳＵＭＩＹ．Ｂｌｏｗ－ｕｐｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９１，９２（２０）：４８７－４９６．［４］ＧＩＮＩＢＲＥＪ，ＶＥＬＯＧ．Ｔｈｅｇｌｏｂａｌｃａｕｃｈｙｐｒｏｂｌｅｍｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｒｅｖｉｓｉｔｅｄ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９８５，２：３０９－３２７．［５］ＫＥＮＩＧＣ，ＰＯＮＣＥＧ，ＶｅｇａＬ．Ｓｍａｌｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＡｎｎＩｎｓｔＨＰｏｉｎｃａｒｅ，ＡｎａｌＮｏｎＬｉｎｅａｉｒｅ，１９９３，１０：２５５－２８８．［６］ＣＡＲＥＳＲ．Ｒｅｍａｒｋｏｎｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．ＡｎｎＨｅｎｒｉＰｏｉｎｃａｒｅ，２００２，３：７５７－７７２．［７］ＬＩＸｉａｏ－ｇｕａｎｇ．Ｌ２－ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｏｆｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．数学年刊，２００５，２６Ａ：３１－３８．［８］ＺＨＡＮＧＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｔｔｒａｃｔｉｖｅｂｏｓｅ－ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅ［Ｊ］．ＳｔａｔｉｓｔＰｈｙｓ，２０００，１０１：７３１－７４６．［９］ＣＡＺＥＮＡＶＥＴ．Ａｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｎｏｎｌｉｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＲｉｏｄｅＪａｎｅｉｒｏ：ｄｅＭｅｔｏｄｏｓＭａｔｅｍａｔｉｃｏｓ，１９８９．［１０］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程解的爆破性质［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（１）：３２－３５．［１１］舒级，张健．一类带调和势的非线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００２，２５（２）：１２９－１３１．ＴｈｅＢｌｏｗ－ｕｐｔｏａＣｌａｓｓｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈＨａｒｍｏｎｉｃＰｏｔｅｎｔｉａｌＳＨＡＯＣｈａｎｇ－ａｎ，ＸＩＮＧＪｉａ－ｓｈｅｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉＨａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ＷｅｓｔｕｄｙａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ．ＢｙｄｅｆｉｎｉｎｇｅｎｅｒｇｙｓｐａｃｅｉｎＳｏｂｏｌｅｖｓｐａｃｅ，ｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｌａｗｓｏｆｔｈｅｍａｓｓａｎｄｔｈｅｅｎｅｒｇｙａｒｅｓｅｔｕｐ．Ｂｙｕｓｉｎｇｅｎｅｒｇｙｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｄａｔａｗｉｌｌｂｌｏｗ－ｕｐｉｎｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｍｏｎｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｌｏｗ－ｕｐ４－－。
基于自相似解的粘性多方可压气体Navier-Stokes方程解的爆破研究
（ ． ｅ ｎＥ ｇｎｅｎ ｓ ｔｔ， ｈｎ ｚ ｏ ０ ｏ １ Ｈ ｒ ｎｉｅห้องสมุดไป่ตู้ ｇＩ ｔｕｅ Ｚ ｅｇ ｈ ｕ ４５ ０ ７； ｅ ｒ ｉ ｎｉ
．
２ ｅａｔｅｔｆＭａｈｍ ｔｓ Ｚ ｏ ｋｕＮ ｒａ ｍｖｎｔ， ｈｕｏ ６０ １Ｃ ｉａ ．Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｍ ｔｅ ａｉ ， ｈ ｕｏ ｏ ｌ ｃ ｍ Ｕ ｅ ｉ Ｚ ｏｋｕ４６ ０ ｈｎ ） ｙ
关键词 ： 自相似解 ； 局部能量估计 ； 爆破 ； — ＮＳ方程
中 图分 类 号 ： １５ ２ ０ ７． ８ 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｏ ｎｇ ｕｐ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｔ ｈ ｓ ｏ ｌ ｔ ｏ ｉ ｓ ａ ｃ ｎ Ｂｌｗｉ ｆＳ ｌ ｔｏ ｏ ｔ ｅ Ｖｉｃ ｕｓＰｏｙ ｒ ｐ ｃ Ｃｏ ｐ ｅ ｓｂ ｅ Ｎａ ｉｒ Ｓ ｏ ｓＥｑ ｔｏ ｓ Ｂａ ｅ ｎ Ｓ ｌ－ｉ ｉａ ｏ ｕ ｉｎ ｍ ｒ ｓｉ ｌ ｖ ｅ — ｔ ｋｅ ｕａ ｉｎ ｓ ｄ ｏ ｅｆｓｍ ｌｒ Ｓ ｌ ｔｏ
文 章编 号 ：６ ３１９ ２ １ ） －０ １３ １７ —５ Ｘ（００ 叭 ０ ８ ４４
Ｎａ ｉｒＳ ｏ ｅ ． 基 于 自相 似 解 的 粘 性 多方 可 压 气 体 ｖｅ ． ｔｋ ｓ 方 程 解 的 爆 破 研 究
邓书显 陆楷 章 饶 明贵 ， ，
（ ．河 南 工 程 学 院 ，河 南 郑 州 ４ ００ ２ １ ５ ０７； ．周 日师 范 学 院数 学 系 ， 河北 周 口 ４ ６０ ） ６ ０ １
第２ ９卷 第 １ 期
Ｖｏ ． ９． ． １２ Ｎｏ １
一类带调和势的非线性Schrodinger方程解的爆破性质
则下列等式成立：
（Ｊ １ ＝Ｒ 蜘１ （ １ Ｉ ２ Ｊ Ｉ ２ 尉坏变 ） ） ｄ ． ｄ 式；
ｉ＝｛ ｔ 一 卸＋ ｐ
告 ｌ ｌ 一 Ｉ Ｊ 一 １ ， （ Ⅱ ６ ４ １ Ｉ ）
ｖ ｏ ）＝ ０ （， ， （） ２
（ ＝ （Ｉ １１ １ ２ Ｌ｛ Ｖ２ … ｌ２ ） ） ＋ ＿
号ｌｌ号 出＝ ＝（（ ｌ 一 ０糊 ）
（ （ ＝叫 Ｖ如＝ ３ ｆ ） ）
一
） ；
其 中， ≥０ ∈Ｒ ， ， ｔ ， 。 ｂ＞０ 是定参数． 方程（） １ 与 玻 色 ． 因斯 坦凝 聚 的研 究 密 切 相关 ［ ． 爱 １ 已有 许 多文章用不同方法研究过类似（ ）（ ） １、２ 的问题 ， 并 得 到了一系列结果［ ． 本文利用文［，］ ， ６７ 的方法研 究 了初值问题（） （） １ 、 的爆破性质 ． ２
（ ）用 乘 （） ， ２ １式 得
一
ｌＩ 『 ： ｌ ： 一卸ｄ： ２ ２ 』 ｈ ） Ｉｄ ｌ ｌ （
Ｊ 寺ｊ ｌ 专ｊ ｌＩ （ ２ 一 Ｖ － ＋
ａ Ｉ ｉｌ ＋ｂ ｉｌ １ ｄ ． ｘ ６ ）
因 ２Ｊ ０ （＝，｝ ｝ 为Ｒ ｅ ：． ｍ） ０ （与 无 ｄ 即 ｝ ｍ）
关 Ｊ ＝ ｌ ｌ． 所以 ｊ ｄ Ｊ ｄ ｌ
Ｊ 吉 一 ｌ Ｉ （ Ｖ Ｖ 吉ｌ 一 ２ ＋ ｌ
ａ ｊ ｉ ＋ｂ １）ｘ ： Ｉ ｉ ６ｄ ｌ
２ Ｉ ａ ｌ 一２ Ｐ ｌ． ６Ｉ ６ 上式取虚部 ， 得 １ １ ＝Ｉ（ △ ， ａ ｒ － ） 两边 乘 ｊ １， Ｒ 上 关 于 积分 ， 在 ｎ ２ 则
维普资讯
２Ｏ ０２年 １月
第２卷 ５
第１ 期
具变指数黏弹性波动方程能量解的爆破
具变指数黏弹性波动方程能量解的爆破高云柱;孟秋;郭微【摘要】考虑一类具变指数黏弹性波动方程能量解的爆破性,通过构造能量函数研究能量函数的性质,并利用所得结果和Cauchy不等式、积分估计等,得到具变指数非线性波动方程能量解在有限时刻爆破的性质.%We considered the properties of blow-up of solutions of energy for a class of viscoelastic wave equations with variable-exponents . By constructing an energy function , we studied the properties of the energy function , and used the obtained results , Cauchy inequality and integral estimates to get the properties of blow-up of solutions of energy for a nonlinear wave equations with variable-exponents in finite time .【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)003【总页数】5页(P503-507)【关键词】变指数;黏弹性波动方程;能量解;爆破性【作者】高云柱;孟秋;郭微【作者单位】北华大学数学与统计学院 ,吉林吉林132013;北华大学数学与统计学院 ,吉林吉林132013;北华大学数学与统计学院 ,吉林吉林132013【正文语种】中文【中图分类】O175.260 引言考虑下列具变指数非线性波动方程的初边值问题:(1)其中: Ω是N(N≥1)上的有界区域, 具有光滑的边界; α为非负常数; 指数函数p(x)和函数g(t)分别满足如下条件:(H1) p(x)是定义在上的可测函数, 使得∀(H2) g: +→+为C1函数, η为正常数, 满足当p为常数时, 关于问题(1)解的存在性和爆破性研究已有许多结果[1-5]. 近年来, 关于电磁流变学方面数学模型的研究受到广泛关注, 特别在变指数研究方面取得了许多结果[6-9]. 此外, 各种物理现象, 如一些波动模型、服从非线性Boltzmann模型的纵向运动控制系统出现的问题等模型, 也取得了一些研究结果[10-13].1 预备知识设p(x)满足条件(H1), 则变指数Legesgue空间Lp(·)(Ω)是指所有可测函数, 使得令则空间Lp(·)(Ω)赋予Luxemburg范数其为可分自反的Banach空间. Lp(x)(Ω)的对偶空间为Lp′(x)(Ω), 其中变指数Legesgue空间是Orlicz-Musielak空间[7]的特殊情形.对任何正整数k, 取Wk,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω): Dαu∈Lp(x)(Ω), |α|≤k},Wk,p(x)(Ω)的范数定义为易知Wk,p(x)(Ω)也是一个Banach空间, 称其为特殊的广义Orlicz-Sobolev空间. 引理1[9] 设Φ∈C2([0,T))满足条件(2)Φ(t)≥0, Φ(0)>0,并且则(3)其中:且Φ(t)满足类似文献[11], 易得如下问题(1)能量解的存在性定理.定理1 设指数p(x)满足条件(H1), 则问题(1)至少存在一个弱解u: Ω×(0,∞)→, 使得2 主要结果首先, 定义解的能量函数如下:◇◇u+‖其中(g ◇u)(t)=g(t-τ)‖u(t)-记下面给出本文的主要结果, 即能量解的爆破性定理. 定理2 设若(H1),(H2)成立, 初始能量E(0)>0, 且满足则有式(3), 其中且Φ(t)满足证明: 对Φt(t)关于t求导得utt将方程(1)第一个式子两边同乘以u, 并在Ω上积分得即u(τ)(4)将方程(1)第一个式子两边同乘ut, 并在Ω上积分有即注意到对式(5)两边在(0,t)上积分得整理得其中◇结合式(4),(6)并注意到及Ψ(τ)dτ≥0, 经计算易得又因为所以从而得(7)比较式(2)和式(7), 可知于是由引理1知, 存在使得式(3)成立, 且满足参考文献【相关文献】[1] Cavalcanti M M, Domingos Cavalcanti V N, Soriano J A. Exponential Decay for the Solution of Semilinear Viscoelastic Wave Equations with Localized Damping [J]. Electron J Diff Equ, 2002, 2002(44): 227-262.[2] Cavalcanti M M, Oquendo H P. Frictional versus Viscoelastic Damping in a Semilinear Wave Equation [J]. SIAM J Control Optim, 2003, 42(4): 1310-1324.[3] 高云柱, 高文杰. 具强阻尼黏弹性波动方程组解的指数衰退 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2010,48(3): 347-352. (GAO Yunzhu, GAO Wenjie. Exponential Decay of Solutions of a Viscoelastic Wave Equation with Strong Damping [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2010, 48(3): 347-352.)[4] Messaoudi S A. Blow-Up of Positive-Intial-Energy Solutions of a Nonlinear Viscoelastic Hyperbolic Equation [J]. J Math Anal Appl, 2006, 320(2): 902-915.[5] Messaoudi S A. General Decay of the Solution Energy in a Viscoelastic Equation with a Nonlinear Source [J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(8): 2589-2598.[6] Antontsev S, Zhikov V. Higher Integrability for Parabolic Equations of p(x,t)-Laplacian Type [J]. Adv Diff Equ, 2005, 10(9): 1053-1080.[7] GAO Yunzhu, GUO Bin, GAO Wenjie. Weak Solutions for a High-Order Pseudo-parabolic Equation with Variable Exponents [J]. Appl Anal, 2014, 93(2): 322-338.[8] CHEN Yunmei, Levine S, Rao M. Variable Exponent, Linear Growth Functionals in Image Restoration [J]. SIAM J Appl Math, 2006, 66(4): 1383-1406.[9] Korpusov M O. Non-existence of Global Solutions to Generalized Dissipative Klein-Gordon Equations with Positive Energy [J]. Electron J Diff Equ, 2012, 2012(119): 1-10. [10] GUO Bin, GAO Wenjie. Blow-Up of Solutions to Quasilinear Hyperbolic Equations with -Laplacian and Positive Initial Energy [J]. Compte s Rendus: Mécanique, 2014, 342(9): 513-519.[11] GAO Yunzhu, GAO Wenjie. Existence of Weak Solutions for Viscoelastic Hyperbolic Equations with Variable Exponents [J]. Bound Value Prob, 2013, 2013(1): 1-8.[12] Messaoudi S A, Talahmeh Ala A. A Blow-Up Result for a Nonlinear Wave Equation with Variable Exponent Nonlinearities [J]. Appl Anal, 2017, 96(9): 1509-1515.[13] GUO Bin. An Inverse Hölder Inequality and Its Application in Lower Bound Estimates for Blow-Up Time [J]. Comptes Rendus Mécanique, 2017, 345(6): 370-377.。
一类带有Neumann边界条件的反应扩散方程组解的整体存在性和爆破性
（ １ ）
Ｌ （ ， ０ ）＝ ０ （ ） （ ， ０ ）＝ ０ （ ） ， ∈
０ １ ７ ５ ． ８ 文献标识码 Ａ 文章编号 １ ０ ０ ０ － ２ ５ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ － ０ ０ １ ２ － ０ ３ 中图分类号
Ｇｌ ｏ ｂ ａ ｌ Ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｂｌ ｏ ｗ－ ｕ ｐ ｉ ｎ Ｆｉ ｎ ｉ ｔ ｅ Ｔｉ ｍｅ ｏ ｆ Ｓｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｏ Ｏｎ ｅ Ｋｉ ｎ ｄ ｏ ｆ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｓ ｕ ｐ ｅ ｒ — ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；ｓ ｕ ｂ － ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ；ｂ ｌ ｏ ｗ— ｕ ｐ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｔ ｉ ｍｅ
２ ． ｃｈ Ｓ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ ｃｉ Ｓ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓ ｒ ｉ ｔ ｙ ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ４ ５ ０ ０ ０ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
（ １ ． ｃｈ Ｓ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｓｉ ｒ ｔ ｙ ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ４ ５ ０ ０ ４ ４， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
基于 比较原理讨论一类带有 Ｎ ｅ ｕ ｍ ａ ｎ ｎ边界 条件 的反应扩散方程组解 的性质． 利用 一些参数 关系和方
程组 自身的耦合情况 ， 构造整体存在 的上解和具有爆破形式 的下解 ， 通 过不 等式 处理技巧 ， 得到 了解整体 存在和在 有限时刻爆破 的条件． 关键词 上解 ；下解 ；整体存在 ； 有 限时刻爆破
粘性Cahn-Hilliard方程在L^2空间中的全局吸引子
Ｓ （ ｔ ）满足条 件 Ｃ的 ， 是 指对 任意 ＞０及 中任何 的有界 集 Ｂ， 存在 ｔ （ Ｂ） ＞０和一 个 有 限维 的 子 空
间 日。， 使得 ｌ ｌ Ｐ Ｓ （ ｔ ） Ｂ ｌ Ｉ是有界 的 ， 并 且 Ｉ １ （ ，一Ｐ） Ｊ ｓ （ ｔ ） ｌ ｌ≤ ， Ｖｔ≥ ｔ （ Ｂ） ， ∈ Ｂ， Ｐ： 是 一个 规范 投影 。
文章编号
１ ０ ０ ０— ５ ２ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ０ ７— ０ ２
粘性 Ｃ ａ ｈ ｎ ． Ｈｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｒ ｄ方 程 在
空 间 中 的 全 局 吸 引 子
董 超 雨 ， 姜金平 ， 张晓 明
（ 延安大学 数学与计 算机科学 学院， 陕西 延安 ７ １ ６ ０ ０ ０ ）
定理 １ ． ２ ６ 设Ｓ （ ￡ ） 是Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空 间 中的 连
程， 用 来 描述 物 理 及 化 学 中二 体 相 变 问 题 。ｎ 是
Ｒ （ ｎ≤ ３ ）的有界 集 ， ， （ ）是 首 项 系数 为 正 的 奇 次 多项 式 ３ ］ ：
一
１
摘
要： 本文研 究 了带 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 界 条件 的 粘 性 Ｃ ａ ｈ ｎ — Ｈ ｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｒ ｄ方程 的全 局 吸 引子 。 首 先证 明 了
其存 在有 界吸 收 集。 然后运 用一 种新 的验 证 紧性方 法证 明方 程存在 全局 吸 引子 。 关键 词 ： 粘性 Ｃ ａ ｈ ｎ ． Ｈ ｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｒ ｄ方程 ； 有界 吸收 集 ； 全局 吸 引－ ３
粘性CahnHilliard方程解的渐近性
（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 ７１６０００）
摘要：利用一种新的方法研究粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程的一致吸引子。首先讨论过程的一致吸收集； 其次利用压缩函数证明过程的一致渐近紧性，进而得到了粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程一致吸引子的存 在性。 关键词：吸收集；粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程；压缩函数；一致吸引子 中图分类号：Ｏ１７５２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－６０２Ｘ（２０１９）０１－００２５－０４
（２．５）
定义 １．１ 如果对任意的 τ∈Ｒ和 Ｂ∈Ｂ（Ｅ），
存在 ｔ０＝ｔ０（τ，Ｂ）≥τ，使得
ｆ∈∪Ｕｆ（ｔ；τ）ＢＢ０， ｔ≥ｔ０。
（２．６）
则集合 Ｂ０∈Ｅ称为过程族｛Ｕｆ（ｔ，τ）｝，ｆ∈的
一致有界吸收集。
定义 １．２ 设 Ｘ是一个 Ｂａｎａｃｈ空间，Ｂ是 Ｘ的
一个有界吸收子集，是一个符号空间，如果对任意 的序列｛ｘｎ｝ｎ＝１ Ｂ和 ｛ｇｎ｝ ，有 子 序 列 ｛ｘｎｋ｝ｋ＝１
（２．３）
其中：Ｉｄ为恒等算子；为符号空间；是 Ｂａｎａｃｈ空间 Ｘ的过程 族。
设｛Ｔ（ｓ）｝ｓ≥０是作用在符号空间上的一族算 子，满足
Ｔ（ｓ） ＝，ｓ≥０，
（２．４）
及平移恒等式：
Ｕｆ（ｔ＋ｓ，τ＋ｓ）＝ＵＴ（ｓ）ｆ（ｔ，τ）， ｆ∈，ｔ≥τ，τ∈Ｒ，ｓ≥０。
关于粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程已有大量研究。在 文献［１２］中，安丽坤利用先验估计和其他经典方法 研究了粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程大范围下的动力学行 为。在文献［１３］，刘长春研究了具有退化迁移率的 粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程在二 维 情 形 下 的 径 向 对 称 解。在文献［１４－１６］中，董超雨证明了粘性 Ｃａｈｎ Ｈｉｌｌｉａｒｄ方程在 Ｌ２中的全局吸引子和全局吸引子的 维数估计。随后，董超雨利用 ＣｈｅｐｙｚｈｏｖａｎｄＶｉｓｈｉｋ 研究一致吸引子的方法获得了 Ｌ２ ×Ｈ１０ 空间中粘性 ＣａｈｎＨｉｌｌｉａｒｄ方程的一致吸引子［１７］。
具变迁移率Cahn-Hilliard方程的谱方法
具变迁移率Cahn-Hilliard方程的谱方法Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程.近年来,由于其具有化学、生物、化工和材料科学等多方面的实际背景,所以吸引了很多数学工作者的关注,同时也有较为丰富的理论结果出现.本文使用谱方法研究具变迁移率的Cahn-Hilliard方程.在第一章中,我们研究具确定变迁移率Cahn-Hilliard 方程初边值问题的谱方法.首先,得到初边值问题弱解的存在唯一性及周期解的存在性.其次,我们讨论初边值问题的谱半离散格式及全离散格式,得到半离散格式及全离散格式近似解的存在唯一性、有界性和收敛性.特别地,可以证明全离散格式的近似解和真解之间的误差关于时间变量是2阶精度.最后,我们通过一维情形下的数值实验验证相应的全离散格式的收敛阶估计.此外,我们还给出二维和三维情形下的数值算例.在第二章中,我们研究具浓度相关迁移率
Cahn-Hilliard方程的谱方法.首先,对空间变量用谱方法进行离散化,构造半离散格式,并且证明半离散方程近似解的存在唯一性、有界性和收敛性.其次,对时间变量进行差分,构造隐式的全离散格式,重点讨论该隐式全离散方程近似解的有界性和收敛性.最后,我们给出一维情形下的数值算例,并且验证理论分析中的误差估计.此外,我们还给出二维和三维情形下的数值算例.。
cahn hilliard方程
标题：深入解析Cahn-Hilliard方程：从界面动力学到相分离现象在材料科学和物理化学领域，Cahn-Hilliard方程是一个非常重要的数学模型，用于描述界面动力学和相分离现象。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨Cahn-Hilliard方程，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. Cahn-Hilliard方程的提出Cahn-Hilliard方程是由John W. Cahn和John E. Hilliard在1958年提出的，用于描述液体混合物的相分离现象。
它是一种潜热相分离现象的数学模型，可以描述材料中各相的界面演化过程。
2. 界面动力学的基本概念在介绍Cahn-Hilliard方程之前，我们首先要了解界面动力学的基本概念。
界面动力学是研究相分离现象的科学领域，涉及相界面的变化、传播和稳定性等问题。
通过界面动力学的研究，可以更好地理解材料的相分离行为。
3. Cahn-Hilliard方程的基本形式Cahn-Hilliard方程是一个偏微分方程，描述了相分离系统中相界面的演化。
它通常用于描述二元混合物的相分离过程，可以被写成如下形式的方程：$\frac{\partial c}{\partial t} = \nabla \cdot (M\nabla \frac{\delta f}{\delta c})$其中，c表示组分的浓度，t表示时间，M表示迁移率，f表示自由能密度。
通过对Cahn-Hilliard方程的分析，可以揭示相界面的演化规律和动力学行为。
4. Cahn-Hilliard方程的数学性质除了描述相分离现象外，Cahn-Hilliard方程还具有丰富的数学性质。
它是一个非线性偏微分方程，具有丰富的数学结构和解的性质。
通过对Cahn-Hilliard方程的数学性质和解的性质进行分析，可以更好地理解相分离系统的稳定性和动力学行为。
5. 个人观点和理解在我的看来，Cahn-Hilliard方程是一个非常有趣和重要的数学模型，它不仅可以用于描述相分离系统的界面演化，还具有丰富的数学性质。
cahn hilliard方程
Cahn-Hilliard方程Cahn-Hilliard方程是描述相分离现象的一个重要数学模型，它在材料科学、物理学和化学领域中具有广泛的应用。
本文将介绍Cahn-Hilliard方程的背景、基本原理以及一些解决该方程的方法。
1. 背景相分离是指两种或多种不相溶的物质在混合后通过自发过程形成不连续的相域。
这种现象在许多领域中都很常见，例如合金中的固溶体析出、聚合物共混体系和液滴形成等。
了解相分离现象对于材料设计和制备具有重要意义。
Cahn-Hilliard方程由John W. Cahn和John E. Hilliard于1958年提出，它是描述相分离现象中界面演化的一个重要数学模型。
该方程基于自由能最小化原理，通过考虑界面能量和体积能量之间的竞争来描述相分离过程。
2. 基本原理假设我们有一个二元混合物系统，其中两种组分分别用ϕ和c表示。
Cahn-Hilliard方程可以写为：∂ϕ/∂t = ∇·(M∇(ϕ²∇μ))其中，M是一个正定常数，μ是化学势。
Cahn-Hilliard方程的物理意义在于描述了相分离过程中界面的演化。
方程右侧第一项表示了界面的曲率对于相分离的影响，第二项表示了自由能密度梯度对于相分离的驱动力。
3. 解决方法由于Cahn-Hilliard方程是一个非线性偏微分方程，解析解很难获得。
因此，研究者们提出了各种数值方法来求解该方程。
下面介绍几种常用的方法：3.1. 有限差分法有限差分法是一种常见的数值求解偏微分方程的方法。
它将空间和时间上的导数用差分方式近似表示，并通过迭代计算来逼近精确解。
对于Cahn-Hilliard方程，可以使用显式或隐式差分格式进行求解。
3.2. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开和逆变换的数值求解方法。
它通过选择合适的基函数来近似原始方程，并将其转化为一个代数问题。
对于Cahn-Hilliard方程，可以使用傅里叶级数展开或Chebyshev多项式来逼近解。
cahn-hillard 方程 allen-cahn 方程
cahn-hillard 方程 allen-cahn 方程Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程是两个重要的偏微分方程模型，用于描述物质的相变行为和界面演化过程。
本文将分别对这两个方程进行介绍和比较。
首先，我们来介绍Cahn-Hilliard方程。
Cahn-Hilliard方程最早由Cahn 和Hilliard在1958年提出，用于描述二元混合物的相分离行为。
它是一个时间依赖的非线性偏微分方程，可以用来模拟液滴的形成、物质的分离和固溶体相分离等过程。
Cahn-Hilliard方程的形式为：∂c/∂t = ∇·(M∇μ)其中c是组分浓度，t是时间，M是迁移系数，μ是化学势。
这个方程描述了组分浓度的变化速率与化学势的梯度之间的关系。
Cahn-Hilliard方程的特点是具有二阶空间导数，因此在数值计算中需要考虑数值稳定性和收敛性问题。
接下来，我们来介绍Allen-Cahn方程。
Allen-Cahn方程是由Allen和Cahn于1979年提出，用于描述固体材料中的界面演化现象，如晶体生长、晶界运动等。
它是一个时间依赖的非线性偏微分方程，可以用来模拟相变过程中的界面扩散和界面迁移。
Allen-Cahn方程的形式为：∂φ/∂t = ε^2∇^2φ - φ^3 + φ其中φ是相场变量，t是时间，ε是一个小量，用来控制界面宽度。
这个方程描述了相场变量的时间演化过程，其中包含了扩散项和非线性项。
Allen-Cahn方程的特点是具有四阶空间导数，因此在数值计算中需要考虑更高级的数值方法。
Cahn-Hilliard方程和Allen-Cahn方程都是描述物质相变和界面演化的重要数学模型。
它们在材料科学、相变动力学、液滴形成等领域具有广泛的应用。
虽然两个方程的形式和具体应用有所不同，但它们都是非线性偏微分方程，需要通过数值方法进行求解。
在数值计算中，需要考虑方程的特点，选择合适的数值方法和参数，以获得准确和稳定的数值解。
一类带延迟项粘弹性方程的初边值问题的爆破
第38卷第1期黑龙江大学自然科学学报Vol.38No.1 2021年2月JOURNAL OF NATURAL SCIENCE OF HEILONGJIANG UNIVERSITY February,2021DOI：10.11382/j.issnl001-7011.2020.12.223投稿网址：https:〃 一类带延迟项粘弹性方程的初边值问题的爆破郑雅匀0杨啥0李莎1（2电子科技大学成都学院，成都611701；01西南交通大学数学学院，成都611706）摘要：研究了具有记忆项、时间延迟项和源项的粘弹性方程的初边值问题。
通过构造爆破因子，讨论在具有负初始能量和正初始能量情况下解在有限时刻发生爆破，并给出了解的生命跨度上界。
关键词：带延迟项粘弹性方程；爆破；正初始能量；负初始能量；生命跨度中图分类号：0075文献标志码：A文章编号:1001-7010（2000）00-0033-10Blow-up for a class of initial boundary value problems forviscoelastic equations with delay termsZHENG Yayun1,YANG Har2,LI SSr1(1.ChennZu College,University of Electronic Science anl Technologu,ChennZu611751,China；2i School of Mathematics,Southwest Jiaotona University,ChennZu611706,China)Abstroch:The initial rounndry veluc proHem fos the viscoelastte equdtion with memory term,hmc-yes-ying Ubay term h C soorce term in stuUieg.By constructinn Mow-uu factos,it in UiscessnU thai the soUu tioo Mown up at a finiie time with negative initial eneryy anl some positive initial eneryy,anl the uppec roonn of lifesnan th thn solutionn in also given.Keewords:viscoelastte enuation;Mow up;positive initiai eneryy,11)x6initiai eneryy,Ufr span0引本文研究如下带延迟项粘弹性方程的初边值问题u t t(,)+A2U((,)-I g(t—s)A2u(,)Us+u t(,),—T)=Uj0p—u,u(,)二A u(,)二0,u(%,0)二u(x),u(%,0)二U1(%), l U((,一T)二齐一T),(0)丘Q x(0,+!)(,)丘di!x[0,+!)(1) (%,)丘！x[0,)式中：！是R"中具有足够光滑边界d的有界域，△是拉普拉斯算子，gg（）—）A2u（%o）d）为记忆项,U（%,—））为时间延迟项（这里t>0为一个常数）,u\p—u为非线性源项（p>1）,“1是一个实数，且假设Id<1。
具有惯性项和阻尼项的Cahn-Hilliard方程的整体吸引子
∥u(t)∥H2(Ω) + ∥ut(t)∥L2(Ω) ≤ c1(∥(u0, u1)∥H2(Ω)×L2(Ω)), ∀t ≥ 0,
其中c1是R+ → R+上的一个非减函数. 证 步1 设(u0, u1) ∈ H1 := {(u, v) ∈ (H4(Ω)∩H01(Ω))×(H2(Ω)∩H01(Ω)) : ∆u = 0},
中图分类号： O175.29
AMS(2000)主题分类： 35Q79
文献标识码： A
文章编号： 1001-9847(2020)03-0539-11
1. 引言
考虑下面具有惯性项和阻尼项的Cahn-Hilliard方程 utt + ut + ∆2u − ∆u − ∆f (u) − ∆(βut) = h(x), (t, x) ∈ (0, ∞) × Ω, u = ∆u = 0, (t, x) ∈ (0, ∞) × ∂Ω,
定义2.1 函数u ∈ C([0, T ); H2(Ω) ∩ H01(Ω)) ∩ C1([0, T ); L2(Ω))且u(0) = u0, ut(0) = u1, 若对每一个φ ∈ (H2(Ω) ∩ H01(Ω))((., .)表示L2(Ω)上的内积), 下列式子在[0, T ) × Ω上成立,
d dt (ut, φ) + (ut, φ) + (∆u, ∆φ) − (∆u, φ) − (∆f (u), φ) − (∆(βut), φ) = (h, φ), 则u是方程(1.1)-(1.3)在[0, T )×Ω上的弱解. 若函数u ∈ C([0, T ); H4(Ω)∩H01(Ω))∩C1([0, T ); H2 (Ω) ∩ H01(Ω)) ∩ C2([0, T ); L2(Ω))且上述条件成立, 则u为方程(1.1)-(1.3)的强解. 注2.1[1] 对任意的f ∈ C3(R), 且具有增长条件
带有时滞项的粘弹性Kirchhoff型方程解的爆破
Kim[10]研究了一类带有可变时滞项的粘弹性Kochhofo方程
u” - M( || Vu || 2 ) Au + | g() - s)div[a(2) Vu(s)] Os + u | Yu +“]u(2贝)+ +z2ut (22 - t(j ) / = 0, J0
Y >0°运用Galerko方法及扰动能量方法证明了解的整体存在性和衰减估计，没有探讨带有非线性阻尼项 与时滞项时解的性质,对解的爆破也还需进一步研究°
第42卷第2期
王志芳，等：带有时滞项的粘弹性Kochhoff型方程解的爆破
141
",M 2。当阻尼项指数"和源项指数p相互竞争时,借助势阱理论，得到指数"< P时解在有限时刻爆破,
未对解的整体存在性及衰减性质作出研究°文献[59]给出Kuchhofo型方程关于解的整体存在性和爆破的
研究成果,Bonmaza和Gheraibia[]研究了一类带有非线性源项的粘弹性Kirchhoff型方程
/(”)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,8)上单调递减，因此d>0且d= inf /(”)。
7( ”)= 0, ”M 0
引理2假设(4)(6)成立，对于V)e [0,8)有d — d — pup/(A”)，其中d =勺丁 (彳)z，场满足
SoUolav 嵌入不等式 || u || ” —
I "” I 2。
H”(O)且 2 —)— p。
2解的爆破
下面给出局部解的存在性定理[22]。
定理1假设(4) — (7)成立，(”0,”1) e H0(O) xL2(O),则问题(2 )存在唯一的局部弱解”满足
” e L8 (0,丁；民(0) n H”(O) ) 2 ,” e C(0,r；L2(O) ) n L(0,T；O) ,T > 0。 下面引理说明能量的非增性。
黏性Cahn-Hilliard方程的二阶BDF数值格式
第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022453黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式郭 媛,王旦霞,张建文(太原理工大学数学学院,太原030024)摘要:采用有限元方法对黏性C a h n -H i l l i a r d 方程进行数值求解.首先,引入辅助变量L a g r a n g e 乘子r ,得到黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的等价形式;其次,在空间上采用混合有限元逼近,时间上采用隐式向后差分公式(B D F )进行离散,给出黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶线性有限元数值格式,并分析所给格式的无条件能量稳定性和误差估计;最后,通过一系列数值算例验证所给格式的精确性和有效性.结果表明,该数值格式是理想的,并具有同时满足线性㊁无条件能量稳定和二阶精度的特点.关键词:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程;L a g r a n g e 乘子;向后差分公式(B D F );无条件能量稳定中图分类号:O 221.6 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1063-10S e c o n dO r d e rB D FN u m e r i c a l S c h e m e f o rV i s c o u sC a h n -H i l l i a r dE qu a t i o n G U O Y u a n ,WA N G D a n x i a ,Z H A N GJ i a n w e n(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s ,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,T a i yu a n 030024,C h i n a )A b s t r a c t :W eu s e df i n i t ee l e m e n t m e t h o dt on u m e r i c a l l y s o l v et h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n .F i r s t l y ,t h ee q u i v a l e n t f o r m o f t h ev i s c o u sC a h n -H i l l i a r de q u a t i o n w a so b t a i n e db y i n t r o d u c i n g t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r r o ft h ea u x i l i a r y v a r i a b l e .S e c o n d l y,t h es e c o n do r d e rl i n e a rf i n i t ee l e m e n t n u m e r i c a l s c h e m e f o r t h e v i s c o u sC a h n -H i l l i a r d e q u a t i o nw a s g i v e nb y u s i n g t h em i x e d f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n i n s p a c ea n d t h e i m p l i c i tb a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o n f o r m u l a (B D F )f o rd i s c r e t i z a t i o n i n t i m e ,a n d t h e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i n e n e r g y a n d e r r o r e s t i m a t i o n o f t h e g i v e n s c h e m ew e r e a n a l yz e d i nd e t a i l .F i n a l l y ,a s e r i e s o f n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e u s e d t o v e r i f y t h e a c c u r a c y a n d e f f e c t i v e n e s s o f t h e g i v e n s c h e m e .T h er e s u l t ss h o w t h a tt h e p r o po s e d n u m e r i c a ls c h e m ei si d e a la n d h a st h e c h a r a c t e r i s t i c s o f s i m u l t a n e o u s l y s a t i s f y i n g l i n e a r ,u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y a n ds e c o n do r d e r a c c u r a c y.K e y w o r d s :v i s c o u s C a h n -H i l l i a r de q u a t i o n ;L a g r a n g e m u l t i p l i e r ;b a c k w a r dd i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l a (B D F );u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y i ne n e r g y收稿日期:2022-11-18.第一作者简介:郭 媛(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :1536163088@q q .c o m.通信作者简介:王旦霞(1979 ),女,汉族,博士,教授,从事偏微分方程数值解的研究,E -m a i l :2621259544@q q .c o m.基金项目:国际合作基地与平台项目(批准号:202104041101019)㊁山西省回国留学人员科研项目(批准号:2021-029)和山西省自然科学基金面上项目(批准号:202203021211129).0 引 言经典C a h n -H i l l i a r d 方程用于描述非均匀体系中的相分离和粗化现象[1-3].黏性C a h n -H i l l i a r d 方Copyright ©博看网. All Rights Reserved.程[4]是对经典C a h n -H i l l i a r d 方程的推广.目前,关于黏性C a h n -H i l l i a r d 方程数值解法的研究已得到广泛关注.文献[5]基于标量辅助变量方法构造了黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的一阶和二阶数值格式;文献[6]给出了时间双层网格的有限元数值方法;文献[7]对带有非恒定梯度能量系数的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程建立了有限元数值格式;文献[8]使用凸分裂方法提出了有限差分格式,并证明了所提格式是无条件能量稳定的.求解黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的关键是如何在保持能量稳定性的条件下,对非线性项进行线性离散.本文采用文献[9]的L a g r a n g e 乘子方法,在黏性C a h n -H i l l i a r d 方程中构造线性数值格式.引入L a g r a n g e 乘子黏性C a h n -H i l l i a r d 方程如下:ut =Δw ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],w =-ε2Δu +r u +βu t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ],12r t =u u t ,(x ,t )ɪΩˑ(0,T ìîíïïïï],(1)其边界条件和初值条件分别为∂n u =∂n w =0,(x ,t )ɪ∂Ωˑ(0,T ],u (x ,㊃)=u 0(x ),x ɪΩ{,其中Ω⊂ℝ2,u t =∂u ∂t,r =u 2-1,ε是测量界面厚度的正参数,n 是单位外法向量,β>0是黏性参数,u 是混合物中某种物质的浓度,w 为化学势.模型(1)的能量函数定义[10]为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x ,满足能量耗散定律d E d t=- ∇w 2-β u t 2ɤ0,并且是质量守恒的,即(u (㊃,t ),1)=(u 0,1).本文首先给出模型(1)的半离散格式和全离散格式;其次给出能量稳定性分析及所提格式的二阶收敛估计;最后给出一些数值算例证明所提格式的精确性和有效性.1 离散格式设L 2(Ω)是平方可积的函数空间,其内积和范数分别定义为(u ,v )=ʏΩu (x )v (x )d x 和 u =(u ,u ),H 1(Ω)是通常的S o b o l e v 空间,其范数定义为 u H 1=ʏΩu 2d x +ʏΩD u2d ()x1/2.1.1 半离散格式模型(1)的混合弱形式为(u t ,v )+(∇w ,∇v )=0, ∀v ɪH 1(Ω),(2)(w ,ψ)-ε2(∇u ,∇ψ)-(r u ,ψ)-β(u t ,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),(3)12(r t ,p )-(u u t ,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω).(4)把时间区间[0,T ]做一致划分0=t 0<t 1< <t N 1=T ,其中N 1是一个正整数,时间节点满足t i =i τ,τʒ=t i +1-t i ,i =0,1, ,N 1,τ是时间步长.考虑模型(1)的半离散格式,即给定u n -1,un ,求u n +1满足(D τu n +1,v )+(∇w n +1,∇v )=0,∀v ɪH 1(Ω),(w n +1,ψ)-ε2(∇u n +1,∇ψ)-( u n +1r n +1,ψ)-β(D τu n +1,ψ)=0, ∀ψɪH 1(Ω),12(D τr n +1,p )-( u n +1D τu n +1,p )=0, ∀p ɪH 1(Ω),4601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中D τu n +1ʒ=3u n +1-4u n +u n -12τ,n ȡ1,u 1-u 0τ,n =0ìîíïïïï, D τr n +1ʒ=3r n +1-4r n +r n -12τ,n ȡ1,r 1-r 0τ,n =0ìîíïïïï, un +1ʒ=2u n -u n -1,n ȡ1,u 0,n =0{.1.2 全离散格式设T h =K 是区域Ω上的拟一致剖分,h i 表示网格大小,h =m a x 0ɤi ɤN 2h i ,N 2是一个正整数,S h 是分片连续的有限元空间,定义为S h ={v h ɪC (Ω)v hKɪP k (x ,y ),K ɪT }⊂H 1(Ω),这里P k (x ,y )是x ,y 的次数不超过k ɪℤ+的多项式集合.定义L 20ʒ={u ɪL 2(Ω)(u ,1)=0},̇S h ʒ=S h ɘL 20(Ω).构造模型(1)的全离散格式,即给定u n -1h和u n h ,求u n +1h满足(D τu n +1h ,v h )+(∇w n +1h ,∇v h )=0, ∀v h ɪS h ,(5)(w n +1h ,ψh )-ε2(∇u n +1h ,∇ψh )-( u n +1h r n +1h ,ψh )-β(D τu n +1h ,ψh )=0, ∀ψh ɪS h ,(6)12(D τr n +1h ,p h )-( u n +1h D τu n +1h ,p h )=0, ∀p h ɪS h .(7)2 稳定性分析定理1 令(u n +1h ,w n +1h ,r n +1h)是方程组(5)-(7)的解,定义Ξ(u n +1h ,u n h )=ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2),则对任意的τ,h ,ε>0,当n ȡ1时,Ξ(u n +1h ,u n h )ɤΞ(u n h ,u n -1h)成立.证明:在方程组(5)-(7)中,分别令v h =2τw n +1h ,ψh =-2τD τu n +1h ,p h =2τr n +1h ,得(D τu n +1h ,2τw n +1h )+(∇w n +1h ,2τ∇w n +1h )=0,(8)-(w n +1h ,2τD τu n +1h )+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+( u n +1h r n +1h ,2τD τu n +1h )+β(D τu n +1h ,2τD τu n +1h )=0,(9)12(D τr n +1h ,2τr n +1h )-( u n +1h D τu n +1h ,2τr n +1h )=0.(10)对方程组(8)-(10)求和得2τ ∇w n +1h 2+ε2(∇u n +1h ,2τ∇D τu n +1h )+β2τ 3u n +1h -4u n h +u n -1h 2+12(D τr n +1h ,2τr n +1h)=0.根据2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2,得ε22( ∇u n +1h 2+ 2∇u n +1h -∇u n h 2)+14( r n +1h 2+ 2r n +1h -r n h 2)-ε22( ∇u n h 2+ 2∇u n h -∇u n -1h 2)+14( r n h 2+ 2r n h -r n -1h 2éëêùûú)=-2τ ∇w n +1h 2-β2τ3u n +1h -4u n h +u n -1h 2-ε22 ∇u n +1h -2∇u n h +∇u n -1h 2-14r n +1h -2r n h +r n -1h 2.(11)再结合Ξ(u n +1h ,u nh )定义得Ξ(u n +1h ,u n h )-Ξ(u n h ,u n -1h )ɤ0.证毕.定理2 令(u 1h ,w 1h ,r 1h )是方程组(5)-(7)的解,定义5601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.Ξ(u 1h )=ε22 ∇u 1h 2+14 r 1h 2, Ξ(u 0h )=ε22 ∇u 0h 2+14r 0h2,则对任意的τ,h ,ε>0,当n =0时,Ξ(u 1h )ɤΞ(u 0h )成立.证明:当n =0时,在方程组(5)-(7)中,分别令v h =τw 1h ,ψh =-(u 1h -u 0h ),p h =τr 1h 并求和,再根据2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2,得τ ∇w 1h2+ε22( ∇u 1h 2- ∇u 0h 2+ ∇u 1h -∇u 0h 2)+βτu 1h -u 0h 2+14( r 1h 2- r 0h 2+ r 1h -r 0h 2)=0.结合Ξ(u 1h )和Ξ(u 0h )的定义,得Ξ(u 1h )-Ξ(u 0h )ɤ0.证毕.推论1 设Ξ(u 1h ,u 0h )ɤC 0,则存在常数C >0,使得对任意的τ,h >0,有以下估计:ðni =1τ ∇w i +1h 2ɤC , ∇u n +1h 2ɤC , ∇ u n +1h 2= 2∇u n +1h -∇u n h 2ɤC , ∇u 0h 2ɤC ìîíïïïï.(12) 证明:将式(11)从1~n 求和即可得式(12).3 误差分析为简单,引入下列符号:ξn +1u ʒ=u n +1-R h u n +1,^ξn +1u ʒ=R h u n +1-u n +1h , ξn +1r ʒ=r n +1-R h r n +1,^ξn +1r ʒ=R h r n +1-r n +1h ,σ(u n +1)ʒ=u n +1t -D τu n +1,σ(r n +1)ʒ=r n +1t-D τr n +1,e wʒ=wn +1-wn +1h,Rn +1ʒ=u n +1-2u n +u n -1,n ȡ1,u 1-u 0,n =0{.对于(u ,r ),做如下正则性假设:u ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)), r ɪw 3,ɕ(0,T ;L 2(Ω))ɘw 1,ɕ(0,T ;H q +1(Ω)).定义1[11]R i t z 算子R h :H 1(Ω)ңS h 满足(∇(u -R h u ),∇u )=0, ∀v ɪS h , (R h u -u ,1)=0,并且R i t z 投影算子满足以下估计:u -R h u +h u -R h u H 1(Ω)ɤC h q+1 u H q +1(Ω).引理1[12]假设u 是方程(1)的解,则有如下估计: σ(u n +1) 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï; R n +1 2ɤ32τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t ,n ȡ1,C τ2,n =0ìîíïïï;D τ ξn +1u 2ɤC h 2q +22τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q +1d t ,n ȡ1,C h 2q +2τʏt10∂t u 2H q +1d t ,n =0ìîíïïïï. 定理3 设初始问题(2)-(4)和全离散格式(5)-(7)的解分别是u 和u n +1h,则存在常数C ,τ,h ,使得6601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.^ξn +1u2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22 ^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q )成立,其中C T ,ε表示常数C 与T 和ε有关.证明:当t =n +1时,方程组(2)-(4)减去方程组(5)-(7),得(σ(u n +1),v h )+(D τ ξn +1u ,v h )+(D τ^ξn +1u ,v h )+(∇e w ,∇v h )=0,(13)(e w ,ψh )-ε2(∇^ξn +1u ,∇ψh )-(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,ψh )- β(σ(u n +1),ψh )-β(D τ^ξn +1u ,ψh )-β(D τ ξn +1u ,ψh )=0,(14)12(σ(r n +1),p h )+12(D τ ξn +1r ,p h )+12(D τ^ξn +1r ,p h )-(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,p h )=0.(15)在方程组(13)-(15)中,令v h =^ξn +1u ,ψh =Δ^ξn +1u ,p h =τ2^ξn +1r ,并将三式相加.当n ȡ1时,由2a ㊃(3a -4b +c )=a 2-b 2+(2a -b )2-(2b -c )2+(a -2b +c)2得,14τ( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+ε2 Δ^ξn +1u 2+β4τ[ ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2]+τ8( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)=ð8i =1M i ;(16)当n =0时,由2a ㊃(a -b )=a 2-b 2+(a -b )2得,12τ( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+β2τ( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+ε2Δ^ξ1u 2+τ4( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)=ð8i =1M i .其中M 1=-(σ(u n +1),^ξn +1u ),M 2=-(D τ ξn +1u ,^ξn +1u ),M 3=(r n +1u n +1- u n +1h r n +1h ,Δ^ξn +1u ),M 4=β(σ(u n +1),Δ^ξn +1u ),M 5=β(D τ ξn +1u ,Δ^ξn +1u ),M 6=-12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r ),M 7=-12(D τ ξn +1r ,τ2^ξn +1r ),M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r ). 下面依次估计M i .根据Y o u n g 不等式[13]㊁C a u c h y -S c h w a r z 不等式和引理1,得M 1ɤ(σ(u n +1),^ξn +1u )ɤ σ(u n +1) ^ξn +1u ɤ64τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+18τ ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(17)M 2ɤ(D τ췍ξn +1u ,^ξn +1u )ɤ D τ ξn +1u ^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t u 2H q +1d t +18 ^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t u 2H q +1d t +14 ^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï.(18)对于M 3,把r n +1h =(u n +1h)2-1代入M 3得M 3=(((u n +1)2-1)u n +1- u n +1h ((u n +1h )2-1),Δ^ξn +1u )ɤ((un +1)3- un +1h(un +1h)2,Δ^ξn +1u )+(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u )=ð3i =1J i ,7601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中J 1=((u n +1)2(u n +1- u n +1h ),Δ^ξn +1u ), J 2=( u n +1h ((u n +1)2-(u n +1h )2),Δ^ξn +1u ),J 3=(u n +1- u n +1h ,Δ^ξn +1u ).当n ȡ1时,根据H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L 6L 2㊁推论1及 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h) 和 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) 有界,得J 1+J 3ɤ u n +1 2L ɕ u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u + u n +1- u n +1h Δ^ξn +1u ɤC u n +1- u n +1h 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+ε24Δ^ξn +1u 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q+C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+ε24Δ^ξn +1u 2,(19)J 2ɤ u n +1h L 3 (u n +1)2-(u n +1h )2 L 6 Δ^ξn +1u ɤC 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h )∇(u n +1-u n +1h )+(u n +1-u n +1h )∇(u n +1+u n +1h ) Δ^ξn +1u ɤC 2 ∇(u n +1-u n +1h ) Δ^ξn +1u +C 3 u n +1-u n +1h Δ^ξn +1u ɤC h 2q+C 2α ∇^ξn +1u 2+C 3α ^ξn +1u 2+α2Δ^ξn +1u 2;(20)当n =0时,有M 3ɤ u 1 2L ɕ u 1-u 0h Δ^ξ1u + u 1h L 3 (u 1)2-(u 1h )2 L 6 Δ^ξ1u + u 1-u 0h Δ^ξ1u ɤC Δ(u 1-u 0) ^ξ1u +C u 0-u 0h Δ^ξ1u +C 1 ∇ u 1h (u 1+u 1h )∇(u 1-u 1h )+(u 1-u 1h )∇(u 1+u 1h ) Δ^ξ1u ɤC τ3+18τ ^ξ1u +C h 2q +C ^ξ0u 2+ε24Δ^ξ1u 2+C 2α ∇^ξ1u 2+C 3α ^ξ1u 2+α2Δ^ξ1u 2,(21)其中C 2=C 1 ∇ u n +1h (u n +1+u n +1h ) ,C 3=C 1 ∇ u n +1h ∇(u n +1+u n +1h) .根据C a u c h y -S c h w a r z 不等式㊁引理1及Y o u n g 不等式,得M 4ɤβ(∇σ(u n +1),∇^ξn +1u )ɤβ ∇σ(u n +1) ∇^ξn +1u ɤ64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t t u 2d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C τ3+β4τ ∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(22)M 5ɤβ(∇D τ췍ξn +1u ,∇^ξn +1u )ɤβ ∇D τ ξn +1u ∇^ξn +1u ɤC h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂t u 2H q +1d t +β8 ∇^ξn +1u 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∇∂tu2H q+1d t +β4∇^ξ1u 2,n =0ìîíïïïï;(23)M 6ɤ12(σ(r n +1),τ2^ξn +1r )ɤ σ(r n +1) τ2^ξn +1r ɤ96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t r 2d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C τ3+τ38 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï;(24)M 7ɤ12(D τ췍ξn +1r ,τ2^ξn +1r )ɤ D τ ξn +1r τ2^ξn +1r ɤ8601 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C h 2q +2τʏt n +1t n -1 ∂t r 2H q +1d t +τ412 ^ξn +1r 2,n ȡ1,C h 2q +2τʏt 10∂t r 2H q +1d t +τ44 ^ξ1r 2,n =0ìîíïïïï.(25) 对于M 8,当n ȡ1时,利用H öl d e r 不等式㊁嵌入定理L3L 2,L6L 2和推论1,得M 8=(u n +1u n +1t - u n +1h D τu n +1h ,τ2^ξn +1r )=(u n +1σ(u n +1)+D τu n +1(u n +1- u n +1h )+ u n +1h (D τu n +1-D τu n +1h ),τ2^ξn +1r )ɤ u n +1 L ɕ σ(u n +1) τ2^ξn +1r +123u n +1-4u n +u n -1 L ɕ u n +1- u n +1h τ^ξn +1r + u n +1h L 3 D τu n +1-D τu n +1h L 6 τ2^ξn +1r ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t t u 2d t +τ412 ^ξn +1r 2+C (u n +1-2u n +u n -1)+2(u n -u n h )-(u n -1-u n -1h ) 2+τ28 ^ξn +1r 2+2C 1 ∇ u n +1h 2∇3u n +1-4u n +u n -1-(3u n +1h -4u n h +u n -1h )22+τ28^ξn +1r 2ɤC τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t u 2d t +C h 2q +C ^ξn u 2+C ^ξn -1u 2+C 4 ∇^ξn +1u 2+C ∇^ξn u 2+C ∇^ξn -1u 2+τ412 ^ξn +1r 2+τ24^ξn +1r 2,(26)当n =0时,对M 8估计如下:M 8=(u 1σ(u 1)+D τu 1(u 1-u 0h )+u 0h (D τu 1-D τu 1h ),τ2^ξ1r )ɤ u 1 L ɕ σ(u 1) τ2^ξ1r + u 1-u 0 L ɕ u 1-u 0h τ^ξ1r + u 0h L 3D τu 1-D τu 1h L 6 τ2^ξ1r ɤC τ3+τ38 ^ξ1r 2+C τ u 1-u 0+u 0-u 0h 2+τ8 ^ξ1r 2+C 1 ∇u 0h 2 ∇(u 1-u 0-(u 1h -u 0h )) 2+τ28 ^ξ1r 2ɤC τ3+C h 2q+C τ ^ξ0u 2+C 4 ∇^ξ1u 2+C ∇^ξ0u 2+τ3+τ2+τ8^ξ1r 2,(27)其中C 4=92C 1 ∇ u n +1h.把式(17)~(27)代入式(16),并将两边同乘4τ:当n ȡ1时,有( ^ξn +1u 2- ^ξn u 2+ 2^ξn +1u -^ξn u 2- 2^ξn u -^ξn -1u 2+ ^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u 2)+4τε2 Δ^ξn +1u 2+β( ∇^ξn +1u 2- ∇^ξn u 2+ ∇(2^ξn +1u -^ξn u ) 2- ∇(2^ξn u -^ξn -1u ) 2+ ∇(^ξn +1u -2^ξn u +^ξn -1u ) 2)+τ22( ^ξn +1r 2- ^ξn r 2+ 2^ξn +1r -^ξn r 2- 2^ξn r -^ξn -1r 2+ ^ξn +1r -2^ξn r +^ξn -1r 2)ɤτ+4τC 3æèçöø÷α ^ξn +1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξn +1u 2+4τC 2α+τβ+4τC æèçöø÷4 ∇^ξn +1u 2+C τ ∇^ξn u 2+(τ3+τ5) ^ξn +1r 2+C τ ^ξn u 2+C τ ^ξn -1u 2+C τ ∇^ξn -1u 2+4τR ,(28)其中R =C h 2q+C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tu 2H q+1d t +C τ3ʏt n +1t n -1 ∂t tu 2d t +64βτ3ʏt n +1t n -1 ∇∂t t tu 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∇∂tu 2Hq+1d t +96τ3ʏt n +1t n -1 ∂t t tr 2d t +C h2q +2τʏt n +1t n -1 ∂tr2Hq+1d t;当n =0时,有2( ^ξ1u 2- ^ξ0u 2+ ^ξ1u -^ξ0u 2)+2β( ∇^ξ1u 2- ∇^ξ0u 2+ ∇^ξ1u -∇^ξ0u 2)+9601 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4τε2 Δ^ξ1u 2+τ2( ^ξ1r 2- ^ξ0r 2+ ^ξ1r -^ξ0r 2)ɤC τ4+C h 2q +τ+1+4τC 3æèçöø÷α ^ξ1u 2+(τε2+2τα) Δ^ξ1u 2+C τ ^ξ0u 2+C τ2 ^ξ0u 2+4τC 2α+τβ+β+4τC æèçöø÷4 ∇^ξ1u 2+τ2+τ32+τ4+τæèçöø÷5 ^ξ1r 2+C τ2 ∇^ξ0u 2+C h2q+2ʏt 10∇∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tu 2H q +1d t +C h 2q+2ʏt 10∂tr 2H q +1d t .(29)将式(28)从1~n 求和,并考虑式(29),选择合适的α(α<2ε2),则当0<τ<m i n αβ4C 2,α4C 3,β4C {}4时,根据离散的G r o n w a l l 不等式,得^ξn +1u 2+4τε2ðnk =0Δ^ξk +1u 2+β ∇^ξn +1u 2+τ22∇^ξn +1r 2ɤC T ,ε(τ4+h 2q ).证毕.4 数值分析下面通过数值算例[14-15]对理论误差估计和能量稳定性进行验证,其中u ,w ,r 取P 2元[16]有限元空间.4.1 空间收敛阶表1列出了当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为u 0=0.5+0.17c o s (πx )c o s (2πy )+0.2c o s (3πx )c o s (πy ).(30)参数选择如下:τ=0.02,T =0.1,ε=0.1,变化的网格步长h =18,116,132,β=0.1,0.5,1.由表1可见,虽然β有变化,但 ^ξu H 1的空间收敛阶始终接近2.表1 当ε=0.1时 ^ξu H 1的空间收敛阶T a b l e 1 S p a t i a l c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n ε=0.1h β=0.1 ^ξu H 1收敛阶β=0.5 ^ξu H 1收敛阶β=1^ξu H 1收敛阶1/80.0382980.0546650.0577731/160.0099951.93790.0142221.94250.0150071.94471/320.0025151.99020.0035771.99120.0037741.99154.2 时间收敛阶表2列出了当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶.计算区域为{(x ,y )ɪℝ2:x 2+y 2<1},初始条件为式(30).选择的参数β=0.04,T =0.1,h =132,变化的时间步长τ=116,132,164.由表2可见,虽然ε有变化,但相对误差 ^ξu H 1的时间收敛阶始终接近2.表2 当β=0.04时 ^ξu H 1的时间收敛阶T a b l e 2 T i m e c o n v e r g e n c e o r d e r o f ^ξu H 1w h e n β=0.04τε=0.101^ξu H 1收敛阶ε=0.103^ξu H 1收敛阶ε=0.107^ξu H 1收敛阶1/160.6464180.6598850.6851131/320.1509932.09790.1513342.12440.1509752.18201/640.0380471.98860.0371732.02530.0352132.10014.3 能量耗散选择初始条件为式(30),固定的参数T =1,ε=0.3,τ=0.02,能量表达式为E =ʏΩε22∇u 2+14r æèçöø÷2d x .图1为能量随时间的演化曲线.由图1可见,通过改变参数值β,能量随时间的推移逐渐减少,直至达到一个稳态,满足能量耗散定律,从而验证了本文给出的数值格式是无701 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.图1 能量随时间的演化曲线F i g .1 E v o l u t i o n c u r v e s o f e n e r g y wi t h t i m e 条件能量稳定的.4.4 相分离选择初始条件u 0=2r a n d ()-1,其中r a n d ()ɪ[0,1],计算区域为(-1,1)ˑ(-1,1).图2和图3分别为当β=0.03和β=0.1时模拟的黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的相分离过程,其他参数为τ=0.01,ε=0.03,h =150.由图2和图3可见,随着时间的延长,可观察到一个显著的粗化过程.由图2可见,当T =0.001~0.5s 时变化明显,当T >0.5s 时达到相对稳定的状态.由图3可见,当T =0.001~1.5s 时变化明显,当T >1.5s 时达到相对稳定的状态.(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图2 当β=0.03时的相分离过程F i g .2 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.03(A )T =0.001s ;(B )T =0.1s ;(C )T =0.5s ;(D )T =1.5s ;(E )T =3s ;(F )T =5s .图3 当β=0.1时的相分离过程F i g .3 P h a s e s e pa r a t i o n p r o c e s sw h e n β=0.11701 第5期郭 媛,等:黏性C a h n -H i l l i a r d 方程的二阶B D F 数值格式 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2701吉林大学学报(理学版)第61卷参考文献[1] C A HNJW,H I L L I A R DJE.F r e eE n e r g y o f aN o n u n i f o r mS y s t e m.Ⅰ.I n t e r f a c i a l F r e eE n e r g y[J].T h e J o u r n a lo fC h e m i c a l P h y s i c s,1958,28(2):258-267.[2] C A HNJ W.F r e eE n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅱ.T h e r m o d y n a m i cB a s i s[J].T h eJ o u r n a lo fC h e m i c a lP h y s i c s,1959,30(5):1121-1124.[3] C A HNJ W,H I L L I A R D J E.F r e e E n e r g y o fa N o n u n i f o r m S y s t e m.Ⅲ.N u c l e a t i o ni n a T w o-C o m p o n e n tI n c o m p r e s s i b l eF l u i d[J].T h e J o u r n a l o fC h e m i c a l P h y s i c s,1959,31(3):688-699.[4] N O V I C K-C OH E N A.T h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n:M a t h e m a t i c a l a n d M o d e l i n g P e r s p e c t i v e s[J].A d v a n c e s i nM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s a n dA p p l i c a t i o n s,1998,8(2):965-985.[5] C H E N H T.E r r o rE s t i m a t e sf o rt h eS c a l a rA u x i l i a r y V a r i a b l e(S A V)S c h e m e st ot h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o nw i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n[J].J o u r n a lo f M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,2021,499(1):125002-1-125002-21.[6] WA N GDX,L IY Q,WA N G XX,e t a l.F a s tA l g o r i t h mf o rV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].F r o n t i e r so fM a t h e m a t i c s i nC h i n a,2022,17(4):689-713.[7] C HO OS M,K I M Y H.F i n i t eE l e m e n tS c h e m ef o rt h e V i s c o u sC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t ha N o n c o n s t a n tG r a d i e n tE n e r g y C o e f f i c i e n t[J].J o u r n a l o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2005,19(1/2):385-395.[8] S H I NJ,C HO IY,K I MJ.A nU n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eN u m r i c a lM e t h o d f o r t h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].D i s c r e t e&C o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s(S e r i e sB),2014,19(6):1737-1747.[9] B A D I A S,G U I L LÉN-G O N ZÁL E Z F,G U T IÉR R E Z-S A N T A C R E U J V.F i n i t e E l e m e n t A p p r o x i m a t i o n o fN e m a t i cL i q u i d C r y s t a lF l o w s U s i n g aS a d d l e-P o i n tS t r u c t u r e[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,2011, 230(4):1686-1706.[10] Y A N G X F,Z HA O J,H E X M.L i n e a r,S e c o n d O r d e ra n d U n c o n d i t i o n a l l y E n e r g y S t a b l eS c h e m e sf o rt h eV i s c o u sC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n w i t h H y p e r b o l i cR e l a x a t i o n U s i n g t h eI n v a r i a n tE n e r g y Q u a d r a t i z a t i o n M e t h o d [J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2018,343:80-97.[11] WA N GDX,WA N G X X,J I A H E.A S e c o n d O r d e rL i n e a rE n e r g y S t a b l eN u m e r i c a lM e t h o df o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].J o u r n a l o fC o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e d M a t h e m a t i c s,2022,403(15):113788-1-113788-24.[12] Y A N Y,C H E N W B,WA N G C,e t a l.A S e c o n d-O r d e rE n e r g y S t a b l eB D F N u m e r i c a lS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r dE q u a t i o n[J].C o mm u n i c a t i o n s i nC o m p u t a t i o n a l P h y s i c s,2018,23(2):572-602.[13]张爱华,胡卫敏.非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性[J].东北师大学报(自然科学版),2015,47(4):36-41.(Z HA N G A H,HU W M.E x i s t e n c ea n d U n i q u e n e s so fS o l u t i o n sf o rB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m o f N o n l i n e a rF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n[J].J o u r n a lo f N o r t h e a s t N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n),2015,47(4):36-41.)[14] C H E R F I L SL,P E T C U M,P I E R R E M.A N u m e r i c a lA n a l y s i so ft h eC a h n-H i l l i a r d E q u a t i o n w i t h D y n a m i cB o u n d a r yC o n d i t i o n s[J].D i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m s,2010,27(4):1511-1533.[15] WA N GDX,WA N G X X,Z HA N G R,e t a l.A n U n c o n d i t i o n a l l y S t a b l eS e c o n d-O r d e rL i n e a rS c h e m e f o r t h eC a h n-H i l l i a r d-H e l e-S h a wS y s t e m[J].A p p l i e dN u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,2022,171:58-75.[16] F O N T R,P E R I A F.T h eF i n i t eE l e m e n t M e t h o d w i t hF r e e F e m++f o rB e g i n n e r s[J].E l e c t r o n i cJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c s&T e c h n o l o g y,2013,7(4):289-307.(责任编辑:赵立芹)Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破
加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破非局部扩散方程是一种描述空间中物质扩散的数学模型，它在理论物理、化学、生物学等领域得到了广泛应用。
加权梯度反应非局部扩散方程是一种常见的扩散方程形式，它考虑了物质扩散的非均匀性，并与物质内部的化学反应耦合。
本研究基于这一方程，研究了其解的爆破现象。
爆破是指系统在某些条件下出现急剧变化的现象。
在扩散方程中，爆破可以指物质浓度和反应速率的急剧升高。
本研究中，我们将加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破分为三个部分来研究：一、解的形成过程；二、解的爆破发生的条件；三、解的爆破时的行为特征。
在第一部分的研究中，我们考虑了加权梯度反应非局部扩散方程解的形成过程。
我们使用了数值模拟方法来模拟解的形成，并通过分析模拟结果，发现解的形成过程与扩散系数和反应速率之间的相对大小有关。
当扩散系数小，反应速率大时，解的形成过程相对较快，反之则较慢。
在第二部分的研究中，我们研究了解的爆破发生的条件。
我们发现，当扩散系数很小，反应速率很大的情况下，解的爆破很容易发生。
此时，解的浓度在某个时刻内突然升高，达到一个峰值后迅速下降。
我们还发现，解的稳定性和扩散定律密切相关。
不同的扩散定律会影响解的稳定性，从而影响解的爆破发生的条件。
在第三部分的研究中，我们研究了解的爆破时的行为特征。
我们发现，当解的爆破发生时，解的分布形态会出现急剧变化。
解的峰值位置和峰值大小也会随着时间的推移而发生变化。
此外，解的爆破也可能引起局部的非线性波动。
总之，本研究通过数值模拟研究了加权梯度反应非局部扩散方程解的爆破现象。
我们研究了解的形成过程、爆破发生的条件和爆破时的行为特征。
这些结果对理解扩散方程的行为特征有重要意义，并可应用于材料科学、化学反应动力学等领域。
粘性Cahn-Hilliard方程的径向解
粘性Cahn-Hilliard方程的径向解
刘长春
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2004(021)002
【摘要】研究了具退化迁移率的粘性Cahn-Hilliard方程在二维情形下的径向对称解,我们的方法是抛物正则化的办法.基于逼近解的某些必要的一致估计,证明了物理解的存在性.
【总页数】5页(P233-237)
【作者】刘长春
【作者单位】南京师范大学数学与计算机科学学院,南京,210097;吉林大学数学学院,长春,130012
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.粘性Cahn-Hilliard方程解的渐近性 [J], 曹伯芳;姜金平;曹兰兰
2.一类带梯度依赖势和源的粘性Cahn-Hilliard方程解的爆破现象 [J], 龙群飞;陈建清
3.带粘性含不活泼项Cahn-Hilliard方程解的存在性 [J], 徐红梅;王一平
4.带粘性含不活泼项的Cahn-Hilliard方程解的逐点估计 [J], 王一平; 徐红梅
5.Cahn-Hilliard和粘性Cahn-Hilliard方程解的最大值估计 [J], 薛春香;蒲志林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
粘性系数依赖于密度的可压缩Navier-Stokes方程解的爆破准则
粘性系数依赖于密度的可压缩Navier-Stokes方程解的爆破准则时秀娟【摘要】研究了粘性系数依赖于密度的三维可压缩Navier-Stokes方程强解的爆破准则.结果表明,如果形变张量D(u)满足‖D(u)‖L^2(0,T;L∞)<∞,则强解在[0,T]上整体存在.【期刊名称】《喀什大学学报》【年(卷),期】2018(039)006【总页数】4页(P3-6)【关键词】强解;爆破准则;粘性系数依赖于密度【作者】时秀娟【作者单位】[1]仰恩大学数学系,福建泉州362014;【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言可压缩粘性流体的运动可以用下面的Nav ier-Stokes方程来描述：其中，ρ≥0，u＝（u1，u2，u3）和 P 分别表示流体的密度、速度和压力；形变张量状态方程满足Navier-Stokes方程中粘性系数μ＝μ（ρ）＞0 和λ＝λ（ρ）是关于密度的函数，满足：本文考虑如下初边值问题：其中，Ω为R3中的有界区域.当粘性系数μ和λ是常数时，对于可压缩Navier-Stokes方程强解（或光滑解）的爆破准则，很多文献已经做了一系列的研究.特别地，文献[1]在二维空间上证明了强解的爆破准则，即当7μ＞9λ 时，其中，T*＜∞是强解的最大存在时间，且常数q0＞3.文献[2]在三维空间上建立了方程强解的爆破准则，即当时，有文献[3]在去掉关键条件（4）的情况下证文献[4]和文献[5]在保留（4）的条件下，得到1 主要结果首先给出强解的定义.定义 1 当 3＜q＜6时，若且（ρ，u）在Ω×（0，T）上几乎处处满足方程（1），则称（ρ，u）为问题（1）～（3）的强解.根据文献[6]，有如下强解的局部存在定理.定理 1 当q∈（3，6］时，若（ρ0，u0）满足和相容性条件其中g∈L2，则存在∈（0，∞），使问题（1）～（3）在Ω×（0，）上有惟一的强解.本文的主要结果如下：定理 2 设q∈（3，6］，（ρ0，u0）满足（6）和（7），且（ρ，u）为问题（1）～（3）的一个强解.如果0＜T*＜∞ 是强解的最大存在时间，则2 主要结果证明设（ρ，u）是定理1中边值问题（1）～（3）的一个强解.首先，易得能量不等式本文将用反证法来完成定理2的证明.因此，我们假设通过文献[3]中的引理2.1，我们可以直接得到下面的引理.引理1 在（9）的假设条件下，有.引理2 在 (9)的假设条件下，对于任意0≤T≤T*有证明一方面，用乘以（1）中的动量方程，并且在Ω上积分，可得下面，逐项地估计（13）式.根据（1）中的质量方程，并利用Cauchy-Schwarz 不等式以及，有及标准椭圆估计有这里要求ε足够小.将上述估计代入（13）式，可得另一方面，将∂i作用于质量方程，并且将所得方程乘以2∂iρ，得在Ω上对上式积分，在ε足够小的情况下，我们得到联立（14）式，得根据Gronwall不等式和Young不等式可知（11）式成立.由椭圆系统的L2-理论和（11）式，可得进一步，由（11）和（16）式可得最后，通过（11）和（17）式可推得（12）式.引理2证毕.接下来，我们继续提高ρ和u的正则性.引理3 在（9）成立的条件下，对于任意0≤T＜T*有证明将（1）中的动量方程对t求微分，并将所得方程乘以ut，然后在Ω上积分，可得下面，利用Sobolev不等式和Hölder不等式逐项估计 Ji（i=1，2，3，4）.首先，由（11）式，可得接下来，逐项估计J2右端的各项，有进一步，联立 Ji（i=1，2，3，4）的估计以及（20）式，在ε足够小的情况下，通过Korn不等式以及（17）式，可得最后，由 Gronwall不等式和（9）式、（12）式以及相容性条件，可推得（18）式，并进一步由（17）和（18）式可推得（19）式.引理3证毕.下面的引理给出了密度ρ的估计.引理 4 在（9）的条件下，对于任意0≤T≤T*有证明由质量方程可得利用椭圆系统的Lp估计，可得进一步，通过（18）式、（22）式、（23）式以及Gronwall不等式，可以推得（21）式.引理4证毕.下面给出定理2的证明。
加权Landau-Lifshitz-Gilbert方程解的爆破的开题报告
加权Landau-Lifshitz-Gilbert方程解的爆破的开题报告题目：加权Landau-Lifshitz-Gilbert方程解的爆破一、选题的意义自从20世纪50年代提出LLG方程以来，经过学者们的不断探索和发展，该方程已经成为了研究磁性材料动力学行为的基本模型之一。
而在LLG方程解的研究中，爆破的现象一直是一个重要的研究课题。
因此，本文拟以加权LLG方程为基础，研究加权LLG方程解的爆破现象，对于深入理解LLG方程解的演化行为，提高磁性材料的应用价值具有重要意义。
二、研究内容1. 加权LLG方程介绍介绍加权LLG方程的起源及其基本形式，为后续研究打下基础。
2. 加权LLG方程解的数值模拟采用有限差分法对加权LLG方程解进行数值模拟，通过对和无权LLG方程解的对比，分析加权LLG方程解的演化行为。
3. 加权LLG方程解的爆破现象研究基于数值模拟结果，分析加权LLG方程解中可能出现的爆破现象。
通过改变加权系数等参数，探讨、确认爆破现象是否会发生，并分析其成因。
4. 爆破现象的应用价值从磁记录等应用领域角度出发，分析爆破现象的应用价值，并探讨如何利用爆破现象来提高磁性材料的性能。
三、研究方法1. 理论分析通过对加权LLG方程的理论分析，确定加权系数对LLG方程解的影响。
2. 数值模拟采用有限差分法对加权LLG方程解进行数值模拟，模拟LLG方程不同解的演化过程。
3. 分析研究结合数值模拟结果，分析LLG方程的解在不同加权系数下可能出现的爆破现象，并从磁记录等应用领域的角度出发，探讨其应用价值。
四、预期成果通过研究加权LLG方程解的爆破现象，可以进一步深入理解LLG方程解的演化行为，为磁性材料等领域的应用提供新的理论基础和技术支撑。
同时，本文还可以为类似动力学系统的研究提供参考和帮助。
一类具p-Laplace算子和变指数源双曲方程解的爆破
一类具p-Laplace算子和变指数源双曲方程解的爆破吴秀兰;刘立洁;孙鹏【摘要】考虑具p-Laplace算子及变指数源双曲方程初边值问题解的爆破性质.利用构造能量泛函方法及凸方法,并结合SoboleV嵌入不等式,证明当1＜q-＜q+≤np-n+p/n-p(p＞2),初始能量为正数且初值适当大时,其解在有限时刻爆破.%We considered the blow-up properties of solutions of initial boundary value problems to a class of hyperbolic equations with p-Laplace operator and variable exponential source and proved the solutions blow-up in finite time when 1＜q-＜q+ ＜np-n+p/n-p(p82),the initial energy was positive and initial value was suitably large with the help of energy functional method,convex method and Sobolev embedding inequalities.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)005【总页数】4页(P1177-1180)【关键词】p-Laplace算子;双曲方程;正初始能量;爆破【作者】吴秀兰;刘立洁;孙鹏【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;长春教育学院数学系,长春130061;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下初边值问题:其中: u0(x),u1(x)≥0且不恒为0; Ω⊂n(n≥3)为有界区域, 且边界∂Ω光滑. 自然界中, 源于物理、化学、经济和生物等领域中的许多实际问题都可以用双曲方程模型刻画. 当p=2, q(x)=q(常数)时, 问题(1)解的爆破问题研究已有很多结果[1-6]. 特别地, Ball[5]证明了当1<q≤, 初始能量为非正且初值满足(x)dx>0时, 问题(1)解在有限时刻爆破; 当p=2, q(x)为正数时, 王华等[7]证明了当1<q-<q+≤, 初始能量为正数时, 问题(1)的解在有限时刻爆破. 本文推广文献[7]的结果, 证明当1<q-<q+≤(p>2), 初始能量为正数且初值适当大时, 问题(1)的解在有限时刻爆破.本文总假设q(x)满足对数连续条件：∀z,ξ∈Ω, |z-ξ|<1, 有其中ω满足∞. 令由文献[8]中定理3.2.7可知是Lq(·)(Ω)上的范数, 且Lq(·)(Ω)关于此范数是一个Banach空间. 由定义有由Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)Lq++1(Ω)Lq(·)+1(Ω)以及Poincare不等式, 有其中B是嵌入常数, 且满足令定义能量函数在式(8)两端关于时间t求导, 并结合方程(1)有从而E(t)=E(0).引理1[7] 设函数h: [0,+∞)→, 且h(α)定义如下：则h(α)具有如下性质:1) 函数h(α)在区间(0,α1]上递增, h(α)在[α1,+∞)上递减;2) 当α→+∞时, h(α)→-∞;3) h(α1)=E1.其中B1,α1和E1分别在式(6),(7)中定义.引理2 假设函数u(x,t)是问题(1)的弱解, 如果E(0)<E1且‖‖则存在一个正的常数α2>α1,使得}.证明: 由于令α(t)=‖u(·,t)‖则结合不等式(5),(6), 有根据引理1, 函数h(α)在α≥α1上递减；h(α)→-∞(α→+∞)以及h(α1)=E1. 由于E(0)<E1, 因此存在α2>α1, 使得h(α2)=E(0). 由式(12)可得h(α(0))≤ E(0)=h(α2). 又由α(0)=‖‖, h在α≥α1上递减, 可知α(0)≥α2, 即式(9)成立. 下面证明式(10)成立.反证法. 假设存在t0>0, 使得‖‖由‖的连续性, 取t1使得α1<‖‖于是这与E(t)=E(0)矛盾. 由E(t)的定义式(8)有引理3[9] 假设函数θ(t)是正的二次连续可导函数, 且满足不等式其中β>0为常数. 若函数θ(0)>0且θ′(0)>0, 则存在使得θ(t)→+∞(t→T1).本文主要结果如下：定理1 假设E(0)<E1, ‖‖(x)dx>0, 且函数p(x)满足条件(2),(3), 则问题(1)的解在有限时刻爆破.证明: 反证法. 假设问题(1)的解在t∈[0,+∞)上存在. 定义函数则对所有的t∈[0,+∞), 函数G(t)<+∞, 且有对式(14)应用Cauchy-Schwarz不等式有因此由式(15)知进一步有结合式(15)～(17), 有其中根据Sobolev嵌入不等式Lq(·)+1(Ω)L2(Ω), 有进一步有由已知条件(x)dx>0知G(0)>0, G′(0)>0, 由引理3有使得G(t)→+∞(t→T1), 这与假设矛盾, 故函数G(t)在有限时刻爆破.【相关文献】[1] Ferreira R, Pablo A, de, Pérez-Llanos M, et al. Critical Exponents for a Semilinear Parabolic Equation with Variable Reaction [J]. Proc Roy Soc Edinburgh (Sect A), 2012,142(5): 1027-1042.[2] Glassey R T. Finite-Time Blow-Up for Solutions of Nonlinear Wave Equations [J]. Math Z, 1981, 177(3): 323-340.[3] John F. Blow-Up for Solutions of Nonlinear Wave Equations in Three Space Dimensions [J]. Manuscripta Math, 1979, 28(1): 235-268.[4] Levine H A. Instability and Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations of the Form Putt=Au+F(u) [J]. Trans Amer Math Soc, 1974, 192: 1-21.[5] Ball J M. Remarks on Blow-Up and Nonexistence Theorems for Nonlinear Evolution Equations [J]. Quart J Math Oxford Ser (2), 1977, 28(1/2): 473-486.[6] 孙爱慧, 曹春玲. 具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2014, 52(6): 1227-1229. (SUN Aihui, CAO Chunling. Lower Bound Estimation for the Blow-Up Time of Solutions to a Class of Nonlinear Damped Hyperbolic Equations with Sources [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2014, 52(6): 1227-1229.)[7] 王华, 贺艺军. 一类具变指数和正能量的半线性双曲方程解的爆破 [J]. 数学物理学报, 2015,35A(2): 288-293. (WANG Hua, HE Yijun. Blow-Up of Solutions for a Semilinear Hyperbolic Equation with Variable Exponent and Positive Energy [J]. Acta Mathematica Scientia, 2015, 35A(2): 288-293.)[8] Diening L, Harjulehto P, Hästö P, et al. Le besgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents: Lecture Notes in Mathematics: Vol.2017 [M]. Heidelberg: Springer, 2011. [9] Levine H A. Some Nonexistence and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of the Form Put=-Au+F(u) [J]. Arch Rational Mech Anal, 1973, 51: 371-386.。