人教课标版高中数学选修22第一章 导数及其应用导数在研究函数中的应用.ppt
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数在研究函数中的应用》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、函数的单调性与导数1.利用导数的符号判断函数的增减性一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.要点提示若在某个区间上有有限个f′(x)=0,在其余点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).那就说在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分而不必要条件.2.利用导数判断数单调性的步骤(1)确定f(x)的定义域.(2)求导数f′(x).(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.深化升华①在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,只有在定义域内,通过讨论导数的符号,才能判断函数的单调区间.②在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.③如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字分开.二、函数的极值与导数1.函数的极值已知函数f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点;如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.疑点突破极值是一个新的概念,是研究函数在某一个很小区域上的性质时给出的一个概念,在理解极值时要注意以下几点:①极值点x0是区间［a,b］内部的点,不会是端点a、b.②若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.③根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”;函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大.④函数f(x)在［a,b］上有极值的话,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值、极小值点是交替出现的.⑤可导函数的极值点必须为导数是0的点,但导数为0的点不一定是极值点;不可导的点可能是极值点,也可能不是极值点.例如:导数为0的点是极值点:y=x2,y′(0)=0,x=0是极值点;导数为0的点不是极值点:y=x3,y′(0)=0,x=0不是极值点;不可导点是极值点:y=|sinx|,x=0点处y不可导,是极小值点;不可导点不是极值点:y=31x ,x=0点处y 不可导,不是极值点.2.函数极值的判定设函数f(x)在x 0处连续,判别f(x 0)是极大(小)值的方法如下:(1)如果在x 0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x 0)是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x )>0,那么f(x 0)是极小值; (3)如果在x 0的两侧f′(x)的符号相同,则x 0不是极值点. 3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的所有实数根.(3)考察在每个根x 0附近,从左到右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x 0)是极大值;如果由负变正,则f(x 0)是极小值.误区警示 ①可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即点x 0是可导函数f(x)的极值是f′(x 0)=0的充分但不必要条件,如f(x)=x 3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.②可导函数f(x)在点x 0处取得极值的充要条件是f′(x 0)=0,且在x 0左侧和右侧,f′(x)的符号不同. 二、函数的最大(小)值与导数 1.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间［a,b ］上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在［a,b ］上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.辨析比较 ①函数的极值表示函数在某一点附近的情况,是在局部上对函数值的比较;函数的最值是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.②函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个;而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有,如常数函数无极大值,也无极小值. 2.求函数y=f(x)在［a,b ］上的最值的步骤 ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点;②计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和端点处的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.要点提示 ①求函数的最值与求函数的极值不同的是,在求可导函数的最值时,不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可.②可利用函数的单调性求f(x)在区间上的最值:若f(x)在区间［a,b ］上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在区间［a,b ］上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). 问题·探究问题1 若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数,对吗?反之如何? 思路:按照导数的符号与函数的单调性的关系便可求解.探究:当f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内为增函数是正确的;反之不一定是正确的,例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.问题2 若函数f(x)在x 0处取得极值,则f(x)在x 0处一定可导吗? 思路:按照函数的导数与函数的极值的关系分析易知.探究:不一定,例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在x=0处不可导. 问题3 函数的极值与最值是同一个概念吗?为什么?思路:函数f(x)在一个闭区间上的最大值或最小值只能各有一个,而极大值或极小值可能多于一个,也可能没有.探究:函数的最值与极值不是同一个概念:若函数在闭区间［a,b ］内有多个极值时,则最值由极值与端点处的函数值比较得到;若在闭区间内为单值函数,则极值点就是最值点. 典题·热题例1求函数f(x)=x 4-2x 2+3的单调递增区间. 思路分析:先求f′(x),若f′(x)>0,则f(x)单调递增. 解:f′(x)=4x 3-4x,令f′(x)>0,∴4x 3-4x>0.解之,得-1<x<0或x>1. ∴f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).误区警示 单调区间(-1,0)与(1,+∞)只能用和、或连接,不能使用并集符号. 例2证明f(x)=x1在(0,+∞)上是减函数. 思路分析:可采用定义法和求导法两种方法来解题,体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.证明:法一:任取两个数x 1,x 2∈(0,+∞),设x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=11x -21x =2112x x x x -,∵x 1>0,x 2>0且x 1<x 2,∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 法二:f′(x)=21x -, ∵x>0,∴f′(x)<0.∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.辨析比较 比较一下两种方法,用求导证明更简捷一些.如果是更复杂的函数,用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.例3(2005湖北高考)已知向量a =(x 2,x+1),b =(1-x,t).若函数f(x)=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数,求t 的取值范围.思路分析:本题体现了高考重视对新增内容的考查以及常在知识交汇处设计问题的思想.利用向量的数量积运算求出f(x),利用导数与函数单调性的关系,将问题转化为不等式恒成立的问题,然后用函数的思想方法求解.解:法一:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∴f′(x)≥0⇔t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立. 考虑函数g(x)=3x 2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=31,开口向上的抛物线,故t≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.而t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. ∴t 的取值范围是t≥5.法二:由题意得f(x)=x 2(1-x)+t(x+1)=-x 3+x 2+tx+t, 则f′(x)=-3x 2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设f′(x)≥0. ∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f′(1)=t+1≥0,且f′(1)=t -5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.∴t 的取值范围是t≥5.深化升华 本题主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性等知识,要学会恒成立问题的解法.例4判断函数y=|ax-b|(a>0)在其定义域内是否存在极值. 思路分析:易知y=|ax-b|≥0,在x=ab处不可导,因此可用极值的定义判断. 解:在x=a b 附近有f(x)>f(ab ), ∴由极值的定义,知f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0.误区警示 ①解答此题时常有如下错误:当x>a b 时,y′=a;当x<ab时,y′=-a,即函数f(x)在x=ab处不可导,因此无极值. ②函数在某一点处不可导,不能直接断定函数在该点处没有极值.此时应考查函数的具体特征,利用极值的定义来判断函数是否存在极值. 例5如果函数f(x)=ax 5-bx 3+c(a≠0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求a,b,c 的值. 思路分析:可通过求导确定可疑点,注意利用已知极值点x=±1所确定的相关等式,在判断y′的符号时,必须对a 进行分类讨论.解:y′=5ax 4-3bx 2,令y′=0,即5ax 4-3bx 2=0,x 2(5ax 2-3b)=0, ∵x=±1是极值点, ∴5a(±1)2-3b=0.又x 2>0,∴可疑点为x=0,±1. 若a>0,y′=5ax 2(x 2-1).当x 变化时,y′与y 的变化情况如下表:X (-∞,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 - 0 - 0 + Y ↗ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x=-1时,f(x)有极大值; 当x=1时,f(x)有极小值.∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++-,2,5,335213504c b a ab a bc b a c b a c b a 若a<0,同理可得a=-3,b=-5,c=2.方法归纳 从逆向思维出发,运用待定系数法,实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表形象直观地解决待定系数问题.例6确定函数y=31x 32)1(x -的单调区间,并求出它们的极值.思路分析:先由f′(x)=0找到极值点,极值点把定义域分成几个区间;再根据f′(x)的正负去判断各区间上函数的单调性.解:y′=31·3132313231313232)1(331])1(2)1[(31)1(132)1(1x x x x x x x x x x x --=---=-∙--(x≠0,x≠1).显然x=0或x=1时,导函数不存在,再由y′=0得x=31,故有可疑点:x=0,x=31,x=1,列表如下: x (-∞,0) 0 (0,31) 31 (31,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 不存在 + 0- 不存在 + f(x)↗↗343↘↗故函数的单调增区间为(-∞,31］与(1,+∞);单调递减区间为［31,1］. 函数在x=31处取得极大值343;在x=1处取得极小值0.方法归纳 在求极值中,为判断方程f′(x)=0的根的左右两边值的符号,可用列表的方法,用方程f′(x)=0的根,以及不可导点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.本例进一步说明:函数导数不存在的点也可能是极值点. 例7(2005北京高考)已知函数f(x)=-x 3+3x 2+9x+a. (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间［-2,2］上的最大值是20,求它在该区间上的最小值. 思路分析:本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值的方法.对于(1)先求出f′(x),解不等式f′(x)<0即可.(2)由f(x)的最大值为20,求出a,进而求出最小值. 解:(1)f′(x)=-3x 2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3. ∴函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2).∵在(-1,3)上f′(x)>0,∴f(x)在［-1,2］上单调递增. 又由于f(x)在［-2,-1］上单调递减,∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. ∴f(x)=-x 3+3x 2+9x-2. ∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为-7.深化升华 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数最值的方法,做题时注意应先比较f(-2)和f(2)的大小,然后判定哪个是最大值从而求出a.例8(2005天津高考)已知m ∈R ,设命题P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立;命题Q:函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.思路分析:P:本题主要考查集合的运算、绝对值不等式、应用导数研究函数的单调性及极值等基础知识.将方程的根与不等式联系起来,通过解绝对值不等式求出m 的范围,Q:利用导数、根的判别式,求出m 的取值范围,然后求P,Q 的交集.解:(1)由题设x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个实根,得x 1+x 2=a 且x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=84)(221221+=-+a x x x x .当a ∈［-1,1］时,a 2+8的最大值为9,即|x 1-x 2|≤3.由题意,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a ∈［-1,1］恒成立的m 的解集等于不等式|m 2-5m-3|≥3的解集,由此不等式得m 2-5m-3≤-3①或m 2-5m-3≥3②. 不等式①的解集为0≤m≤5,不等式②的解集为m≤-1或m≥6.因此,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,P 是正确的. (2)对函数f(x)=x 3+mx 2+(m+34)x+6求导,得f′(x)=3x 2+2mx+m+34. 令f′(x)=0,即3x 2+2mx+m+34=0. 此一元二次方程的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16. 若Δ=0,则f′(x)=0有两个相等的实根x 0,且f′(x)的符号如下:x (-∞,x 0) x 0 (x 0,+∞) f′(x) + 0 +因此,f(x 0)不是函数的极值.若Δ>0,则f′(x)=0有两个不相等的实根x 1和x 2(x 1<x 2),且f′(x)的符号如下:X (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 因此,函数f(x)在x=x 1处取得极大值,在x=x 2处取得极小值. 综上所述,当且仅当Δ>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值. 由Δ=4m 2-12m-16>0得m<-1或m>4, 因此,当m<-1或m>4时,Q 是正确的.综上,使P 正确且Q 正确的实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,5］∪［6,+∞).例9(2005山东高考)已知x=1是函数f(x)=mx 3-3(m+1)x 2+nx+1的一个极值点,其中m,n ∈R ,m≠0.(1)求m 与n 的关系表达式; (2)求f(x)的单调区间.思路分析:本题注重对导数的应用与数学思想的考查.(1)由f′(1)=0确定m 与n 的关系.(2)由f′(x)>0,f′(x)<0确定f(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+n,∵x=1是f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0. ∴n=3m+6.(2)由(1),知f′(x)=3mx 2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+m2)］. ①当m<0时,有1>1+m 2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1+m 2) 1+m 2 (1+m2,1)1 (1,+∞) f′(x)<0>0<0f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减由上表知,当m<0时,f(x)在(-∞,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.②当m>0时,有1<1+m2,当x 变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: x (-∞,1) 1(1,1+m2) 1+m2 (1+m2,+∞) f′(x) >0 0 <0 0 >0 f(x)单调递增 极大值单调递减极小值 单调递增由上表知,当m>0时,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,1+m 2)上单调递减,在(1+m2,+∞)单调递增. 深化升华 解决本题关键在于准确地求出m 与n 的关系式,以及借助二次函数解决恒成立问题.。
人教课标版(B版)高中数学选修2-2第一章 导数及其应用导数
感悟高考
由 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝2. 所以当 x∈(－∞， 1)时， g′(x)＜0， g(x)在(－∞， 1)上为减函数；
当 x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)在(1，2)上为增函数； 当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上为减函数； 1 所以，当 x＝1 时，g(x)取得极小值 g(1)＝ ，当 x＝2 时函数取 e 3 得极大值 g(2)＝ 2. e 函数 y＝k 与 y＝g(x)的图象的大致形状如上， 1 3 由图象可知，当 k＝ 和 k＝ 2时，关于 x 的方程 f(x)＝kex 恰有两 e e 个不同的实根．
1 1 ①当 x∈－2，0时，h′(x)>0，∴h(x)在－2，0上单调递增．
②当 x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
1 1 1－2ln 2 ∴当 x∈－2，0时，h(x)>h－2＝ . 4
g（3）<0， 即a＋4－2ln 2<0， 解得 2ln 3－5≤a<2ln 2－4. g（4）≥0， a＋5－2ln 3≥0，
综上所述，a 的取值范围是[2ln 3－5，2ln 2－4)． 2 方法二 ∵f(x)＝2ln(x－1)－(x－1) ，
∴f(x)＋x2－3x－a＝0 x＋a＋1－2ln(x－1)＝0， 即 a＝2ln(x－1)－x－1， 令 h(x)＝2ln(x－1)－x－1， 3－x 2 ∵h′(x)＝ －1＝ ，且 x>1， x－1 x－1 由 h′(x)>0，得 1<x<3；由 h′(x)<0，得 x>3. ∴h(x)在区间[2，3]上单调递增，在区间[3，4]上单调递减．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高中数学选修2-2第一章,1.1导数及其应用课件
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2．在曲线 y＝x2 上的哪一点处的切线倾斜角为π4( D )
f(x)＝ x
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导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
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1．1.3 导数的几何意义
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1．导数的几何意义
(1)割线斜率与切线斜率
设函数 y＝f(x)的图象如图所示，
AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线
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2．函数的导数 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一 个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即 f′(x) ＝y′＝
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C 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是( )
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3．若函数 y＝2x2＋4x 在 x0 处的导数是 8，求 x0 的值． 解：根据导数的定义
f′(x)＝ΔΔyx＝
fx＋Δx－fx Δx
＝
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
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题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
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[思路点拨]
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第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
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第一章 导数及其应用
【同步课堂】人教A版高中数学选修2-2第一章 导数及其应用复习课---导数的应用教学课件 (共19张PPT)
（Ⅱ）a 1 ，x 1,2 时 f (x) a 5 恒成立，求a的范围。
2
解： a
1
，x
(
1 a
,2)
时，f
(x)
是单调递减的，
，
即 x 1,2 时，f (x) 是单调递减，
所以，
f
(x)max
f
(1)
a 2
2a
1
a 2
5
即 a 2 恒成立。
（变式）a 1 ，x 1,2 时
f (x) a 5 有解，求a的范围。 2
x2
1 a
谢谢指导
3.已知函数 f (x) (a 1) ln x ax2 1 （Ⅰ）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）设 a 2 ，证明：对任意 x1, x2 (0, ) ，
| f (x1) f (x2) | 4 | x1 x2 |
当a≤－1时， f (x) ＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少；
a 1 2
0
在[1,2]上，g(x) 0 所以，原不等式成立。
四、课堂小结
1.函数问题仍是转化成对含参的一元二次不等式的 讨论讨论步骤 ①首项 ② △ ③两根大小
2.恒成立和有解问题：重点关注函数的最值
3.零点问题：主要关注极值点，端点。
4.证明不等式关注利用函数的单调性和构造函数
五、课后练习：
只需证 f (x) 2ax即证 f (x) 2ax 0
构造函数 g(x) f (x) 2ax a x2 x 2ln x
2
g(x) ax 1 2 ax2 x 2
x
x
18a 0 ax2 x 2. 0 g(x) 0
g(x)在1,2 上增函数，
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
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最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》知识讲解
数学人教B 选修2-2第一章导数及其应用知识建构专题应用专题一 用导数的定义解题对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的步骤以及用定义求导数的一些简单变形．应用若函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝________.专题二 切线问题求切线实际考查的是导数的几何意义，这类问题可以是以小题也可以是以大题形式出现，有时以求函数的导数、导数的应用以及函数的其他知识等综合题形式出现，这时多为中档题．应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再由点斜式写出直线方程．(2)求面积用S ＝12ah 即可完成．专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f (x )单调区间的步骤： ①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)； ③确认并指出函数的单调区间．(2)求可导函数f (x )在区间[a ，b ]上最大(小)值的步骤： ①求出f (x )在区间(a ，b )内的极值；②将f (x )在区间(a ，b )内的极值与f (a )、f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值．应用1设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1，且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 提示：先求导，利用导函数求解与证明．应用2设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间(0,1]上的最大值为12，求a 的值．专题四 用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用，几种典型的平面图形的面积计算如下：设由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积为S .(1)如图①所示，f (x )＞0，ba⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝ba⎰f (x )d x .(2)如图②所示，f (x )＜0，ba ⎰f (x )d x ＜0，所以S ＝()d baf x x ⎰＝－b a⎰f (x )d x .(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，ca ⎰f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，bc⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝()d caf x x ⎰＋bc⎰f (x )d x ＝－ca⎰f (x )d x＋bc⎰f (x )d x .由两条曲线f (x )和g (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成的平面图形的面积为S .如图④所示，f (x )＞g (x )，则S ＝ba⎰[f (x )－g (x )]d x .解题步骤如下：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理公式计算定积分，求出平面图形的面积．应用计算由曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积． 提示：先将图形面积借助于定积分表示出来，然后再求解． 真题放送1．(2011·福建高考卷)1⎰(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 2．(2010·山东高考卷)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )．A ．112B ．14C ．13D ．7123．(2010·江西高考卷)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．215 4．(2010·江西高考卷)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )．5．(2011·陕西高考卷)设f (x )＝2lg , 0,3d ,0,ax x x t t x >⎧⎪⎨+≤⎪⎩⎰若f (f (1))＝1，则a ＝__________.6．(2011·陕西高考卷)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.7．(2011·安徽高考卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 答案： 专题应用 专题一应用：2f ′(x 0) 原式＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim －h →0f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)． 专题二应用：解：(1)由已知得y ′＝2x ＋1，由于曲线过点(1,0)， 所以y ′|x ＝1＝3.所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52，所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为S ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋223×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 专题三应用1：(1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ，知f ′(x )＝e x －2，x R .令f故f f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增， 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x (0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)， 而g (0)＝0，从而对任意x (0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1. 应用2：解：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)，(2)当x (0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，所以f (x )在区间(0,1]上单调递增，故f (x )在区间(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.专题四 应用：解：先画出草图，如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3. 解得x 1＝0，x 2＝3，从而所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ，因为⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2′＝－x 2＋3x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 真题放送1．C ∵被积函数e x ＋2x 的原函数为e x ＋x 2，∴∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋0)＝e. 2．A 封闭图形面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4|10＝112.3．C 函数f (x )的展开式中含x 项的系数为a 1a 2…a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝212.4．A 当五角星匀速地升出水面时，五角星露出水面的面积S (t )单调递增，则S ′(t )＞0，导函数的图象要在x 轴上方，排除选项B ；当露出部分到达图中的点B 和点C 之间时，S (t )增长速度变缓，S ′(t )图象要下降，排除选项C ；当露出部分在B 点上下一瞬间时，S (t )突然变大，此时在点B 处的S ′(t )不存在，排除选项D ，而选项A 符合条件，故选A.5．1 ∵1＞0，∴f (1)＝lg 1＝0，∴f (f (1))＝f (0)．又∵0≤0.∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.6．解：(1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x ，得曲线在Q k －1(x k －1，e x k －1)点处的切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 7．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.。
人教新课标A版高中数学选修22可编辑 第一章 导数及其应用 112 导数的概念PPT课件
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
f(a＋4t)－f(a＋5t)
(2)litm→0
t
.
❖ [分析] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，
要求所给的极限值，必须将已给极限式转
化为导数的意义．
[解析] (1)∵liΔmx→0 f(a＋ΔΔxx)－f(a)＝A，
限．如果ΔΔyx不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说
无导数；
第四：f′(x0)的不同表达方式：
y′|x ＝ x0 ＝ f′(x0) ＝ li x→mx0
f(x)－f(x0) x－x0
＝
li
Δmx→0
f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
❖ [例1] 已知自由落体的运动方程为s＝gt2 ， 求：
❖ (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； ❖ (2)落体在t0时的瞬时速度； ❖ (平3)[均落分析速体]度在平；t均0＝速2度秒v 即到平t1均＝变2化.1率秒，而这瞬段时时速度间即内是的平
❖均(速4)度落v体在在Δt→t＝0 2时秒的时极限的值瞬，时为此速，度要．求瞬时速度，应
先求出平均速度，再求 v 当 Δt→0 时的极限值．
g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
❖ [点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概 念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段 时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动 方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
❖ 以初[解速析度] v∵0(vΔs0＝＞v00)(竖t0＋直Δt)上－12抛g(t的0＋物Δt)体2－，v0tt秒0－时12gt的20 高时＝(度速v0－为度gt0．s)(Δtt)－＝12gv(0Δtt－)2， gt2，求物体在t0时刻的瞬
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这个常数m叫做_函__数__f_(x_)_在__点__x_0_处__的__瞬__时__变__化__率____．函数f(x)在
(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算． (1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 1x，y＝x21，y＝ x的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数； (3)能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax＋b)]的导数．
变式探究 1．已知：f′(x0)＝2，则
lki→m0 fx0－k2k－fx0＝___－__1___.
二、导数的几何意义
函数y f (x)在x0处的导数f (x0 )的几何意义是 :
在曲线y f (x)上点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的 斜率
相应的切线方程是 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
(Ⅱ)用 min m, n 表示 m，n 中的最小值，设函数
h(x) min f (x), g(x) (x 0) ，讨论 h(x)零点的个数
知识整理
知识梳理 一、导数的概念
1Δ．x，平那均么变函化数率y：相已应知地函有数改y变＝量f(Δx)y，＝如__果__f自(x_0_变＋__量Δ_x_x)_在－__xf_0(处x_0_)有_，改比变值量
真题重现
2011全国课标卷
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) a ln x b ，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处 几何意义
x1 x
的切线方程为 x 2y 3 0 。 （Ⅰ）求 a 、b 的值； （Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，求 k 的取值范围。
k
的取值范围。
几何意义
2014全国课标1卷
几何意义
21. (本小题满分 12 分)设函数 f (x0 aex ln x bex1 ， x
曲线 y f (x) 在点（1， f (1) 处的切线为 y e(x 1) 2 .
(Ⅰ)求 a, b ； （Ⅱ）证明： f (x) 1 .
2014全国课标2卷
x 1 x
2013全国课标1卷
（21）（本小题满分共 12 分）
已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)和曲线
y＝g(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x+2
（Ⅰ）求 （Ⅱ）若
பைடு நூலகம்
a，b，c，d 的值 x≥－2 时，f(x)≤kgf(x)，求
Δy Δx
就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
2．函数在x＝x0处导数的定义： 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近 有量定为Δ义_y_＝_，_f_当(x_0_自＋__变Δ_x_量)_－_在_f_x(x_＝0_)_x_0的_，附如近果改Δ变x趋量近为于Δx0时时，，函平数均值变的化改率变
8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，
则 a= ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2015全国课标1卷
几何意义
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ x3 ax 1 , g (x) ln x
4
(Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y f ( x) 的切线；
速度函数v＝v(t)在t0处的导数v′(t0)是 __函__数__v_＝__v_(_t)_在__时_刻__t_0时__的__瞬__时__加__速__度__，即_a_＝__v_′(_t0_)_．
质点沿直线运动的路程与时间的关系是s 5 t ，
则质点在t=4时的速度为（ B ）
4．(2009年广州调研)如下图所示，函数y=f(x)的图象在点 P处的切线方程是y= - x +8，则f(5)=__3______， f′(5)=____-1______.
导数的物理意义：位移函数s＝s(t)在t0处的导数s′(t0)是 __函__数__s_＝__s(_t)_在__时__刻__t0_时__的_瞬__时__速__度_____，即_v_＝__s_′_(t_0)___．
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
3．(2010年大连模拟)如下图所示，函数f(x)的图象是折线 段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
f(f(0))＝__2_______；
Δlixm→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝__－__2_____.
一.导数的概念
• 1.平均变化率： y f (x0 x) f (x0 )
x
x
2.瞬时变化率: lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
3.函数在x=x0处导数：
记作：
f (x0 )
或 y |xx0
，即：
f (x0 ) lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
知识体系构建
导数的实际背景
导数定义
导数的几何意义
导函数
基本求 导公式
四则运算 求导法则
求简单函数的导数
复合函数 求导法则
导数的应用
判断函数 的单调性
求函数的 极大(小)值
求函数的 最大(小)值
人教课标版高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用导数在 研究函数中的应用
考纲要求
考纲要 求 1．导数概念及其几何意义．
点x0处的瞬时变化率又称为_函__数__y_＝__f(_x_)_在__x_＝__x．0处的导数 记作：_f_′(_x_0_)___或_y_′|_x_＝_x_0 __，即：____________________.
ff′′f′((xx0(0)x)＝0＝)＝ΔΔlx△lxΔi→ilm→milxxim→ →m0000ffxxf00＋x＋0＋ΔΔΔΔxxΔxxΔ－x－x－ffxxf00x＝＝0＝xx△l－ll－ixiixmmml－→xixm000xf0fxxfxx－－x－－x－－fxfx0x0xfx000x0