云南省保山曙光学校高二数学《应用举例2--测量高度问题》教学设计
云南省保山曙光学校高二数学应用举例4--面积问题教学设计
1.2.3应用举例3—面积问题一、内容与解析(一）内容：面积问题（二）解析：本节课是在学习了相关内容后的第四节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课是对三角形的面积公式进行探讨，同时对边角关系的认识加深理解.教学的重点是面积公式的应用。
解决重点的关键是通过正余弦定理去求得要求面积的三角形两边及其夹角。
难点是边角关系的认识。
解决难点的关键是利用正余弦定理相互转化，加强计算能力。
二、教学目标及解析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算面积的实际问题。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是在解三角形的面积问题时，有时候不会直接给出公式中需要的量，需要我们求这些量，但是不知道怎样求。
产生这一问题的关键是分析问题的能力不强，思维混乱。
解决这一问题的关键是要培养学生如何去分析才能得到解题思路。
四、教学过程教学导图Ⅰ.课题导入[创设情景] 思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+从而=sin sin a C c A1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
云南省保山曙光学校高二数学《应用举例1-测量距离问题》教学设计
1.2.1 应用举例1—测量距离问题一、内容与解析(一）内容：如何求实际中的距离问题（二）解析：本节课的内容是如何求实际中的距离问题。
生活中很多距离是很难测量的，但是通过构造三角形，利用正余弦定理可以得到解决。
理解它的关键就是会根据已知条件构造数学模型。
教学重点是实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解,解决重点的关键是根据题意建立数学模型，画出示意图。
二、教学目标及解析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是如何从实际问题中抽象出一个或几个三角形，产生这一问题的原因是对题目意思理解不到位，解决这一问题的关键一是要了解相关术语，二是要排除题目的干扰因素对题目的理解，将题中的信息提炼出来反映到图形中。
四、教学支持条件分析五、教学过程问题1：课题导入。
设计意图：复习相关知识，为学习做准备，通过生活中的实例引入课题。
师生活动：教师—复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 学生—一个学生起立回答问题教师—前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
问题2：例1的讲解。
设计意图：通过此例的学习，让学生掌握可到达点与不可到达点之间的距离测量方法。
高中数学必修五教案：1.2应用举例距离和高度问题
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日图1－2－12．坡比4．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．图1－2－3如图1－2－3，在河岸边有一点【思路探究】(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？(2)能用正弦定理求出AB 的长度吗？【自主解答】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)． 即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.如图所示，设A (可到达)，B (不可到达)是地面上两点，要测量A ，B 两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C －A －C.图1－2－4如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D ，E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(A ，D ，E ，B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长．(精确到1 m)【解】 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007(m)．∴DE ＝AB －AD －BE ＝2007－120≈409(m)．图1－2－5在某次军事演习中，如图所示，不可到达的步骤是：图1－2－6图1－2－7如图1－一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点②要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．【解】如图所示，在△ABC中，BC＝200×tan 60°＝2003，【规范解答】根据题意画出示意图，＝30°，∠DBC＝135°.3由正弦定理，【解析】如图，已知AC＝5，∠∴AB＝53，BC图1－2－94．如图1－2－9在的河岸边选定一点精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高度测量课程设计
高度测量课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握高度测量的基本原理和方法，能够运用这些知识解决实际问题。
具体包括：1.掌握高度测量的基本概念和原理。
2.了解各种高度测量方法的应用和优缺点。
3.熟悉常见的高度测量工具的使用方法。
4.能够正确选择和使用高度测量工具。
5.能够运用所学知识进行实际的高度测量。
6.能够分析测量结果，解决实际问题。
情感态度价值观目标：1.培养学生的实践能力和创新精神。
2.培养学生对测量学科的兴趣和热情。
3.培养学生团结协作、严谨治学的科学态度。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括高度测量的基本原理、方法和应用。
具体安排如下：1.高度测量的基本概念和原理：介绍高度测量的定义、分类和基本原理。
2.常见的高度测量方法：详细讲解各种高度测量方法，如直接测量、三角测量、水准测量等。
3.高度测量工具的使用：介绍常见的高度测量工具，如卷尺、标杆、水准仪等，并演示其使用方法。
4.实际高度测量案例：分析实际案例，让学生学会如何运用所学知识进行高度测量。
5.测量结果的分析与处理：讲解如何分析测量数据，解决实际问题。
三、教学方法本课程采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性。
具体方法如下：1.讲授法：讲解高度测量的基本原理和知识。
2.讨论法：学生讨论实际案例，培养学生的实践能力。
3.实验法：安排实际测量实验，让学生动手操作，提高其实践能力。
4.案例分析法：分析实际测量案例，让学生学会解决实际问题。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的理论知识。
2.参考书：提供相关领域的参考书籍，拓展学生的知识视野。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，帮助学生形象直观地理解知识。
4.实验设备：准备测量实验所需的各种仪器和设备，确保学生能够进行实际操作。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业和考试等，以全面、客观地评价学生的学习成果。
高二数学应用举例2
主讲老师：
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
A
拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 C B
面的问题.
讲授新课
例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
讲授新课
例1. AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
A
B
讲解范例：
例2. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角＝54o40'，在塔底C处测得
A处的俯角 =50o1' .
B
已知铁塔BC部分
的高为27.3 m， 求出山高CD(精
C
湖南省长沙市一中卫星远程学校
课后作业
1. 阅读必修5教材P.13到P.16; 2. 《习案》作业五.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
； ；
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我？”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热豆腐...”毕竟是两位大姑娘の家,两人亲热一阵,最后各回各の房间休息.长途跋涉,他们很快便睡着了.累极睡着の人不容易惊醒,为防夜长梦多,陆羽和婷玉关上书房の门和灯,趁他俩还没把秦岭发现古董の消息传出去,连夜拿着黑坛子回秦岭挖个坑再填上,顺便让坛子接接 当地の地气.第二天,谢妙妙想游览村里の田园风光,可佟师兄哪有这份心境？一大早便求着陆羽把那两件疑似古董物件给他带回去研究.汉、唐古
高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.2解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).
答:山的高度约为 150 米. 师 有没有别的解法呢？ 生 要在△ACD 中求 CD，可先求出 AC． 师 分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC？ 生 同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得． （解题过程略） 【例 3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测 得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15°的方向上,行驶 5 km 后到达 B 处 , 测得此山顶在东偏南 25°的方向上 , 仰角为 8°,求此山的高度
备 导入新课 师 设问：现实生活中 , 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度 呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今 天我们就来共同探讨这方面的问题. 推进新课
【例 1】AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点， 设计一种测量建筑物高度 AB 的方法． [合作探究] 教 师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直 学 接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的 过 高呢？ 程 生 要求建筑物 AB 的高，我只要能把 AE 的长求出来，然后再加上测 角仪的高度 EB 的长就行了. 师 对了，求 AB 长的关键是先求 AE，那谁能说出如何求 AE？ 生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中，如能求出 C 点到建筑物顶部
AB
a sin sin h ，其中 h 为测角器的高． sin( )
【例 2】如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α =54°40′，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 β =50°1′．已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m).
高度测量课程设计
高度测量课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解高度测量的基本概念，掌握使用不同工具（如直尺、卷尺、测高仪）进行高度测量的方法。
2. 学生能准确运用数学公式进行高度的计算，解决实际问题。
3. 学生了解高度测量的单位换算，能够熟练进行米、厘米、英尺和英寸之间的转换。
技能目标：1. 学生能够正确使用测量工具，进行准确的高度测量，并记录数据。
2. 学生能够运用所学知识，解决生活中的高度测量问题，如测量课桌、建筑物的高度等。
3. 学生通过小组合作，提高沟通协作能力和实际操作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对科学探究的兴趣，增强探索精神和实践能力。
2. 学生认识到测量在生活中的重要性，培养认真严谨的学习态度。
3. 学生通过合作学习，培养团队精神，尊重他人，提高人际交往能力。
本课程针对五年级学生设计，结合学生的年龄特点和认知水平，注重实践操作和实际应用。
课程要求学生在掌握基本知识的同时，提高解决问题的能力，培养科学素养和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生活，提高综合实践能力。
本章节依据课程目标，结合教材第五章“空间与图形”的内容，组织以下教学安排：1. 引入高度测量的概念，介绍不同测量工具及其使用方法，包括直尺、卷尺、测高仪等。
- 教材章节：第五章第一节“认识测量工具”2. 学习高度测量的基本原理，掌握测量步骤和记录数据的方法。
- 教材章节：第五章第二节“长度和高度测量”3. 掌握高度计算公式，解决实际问题。
- 教材章节：第五章第三节“长度和高度的计算”4. 进行单位换算教学，使学生能够熟练进行米、厘米与英尺、英寸之间的转换。
- 教材章节：第五章第四节“长度单位换算”5. 实践活动：分组进行实际高度测量，如测量教室内的课桌、讲台和窗户高度等。
- 教材章节：第五章实践活动“高度测量实践”6. 结合测量数据，进行问题解决和讨论，提高学生分析问题和解决问题的能力。
- 教材章节：第五章复习题“高度测量问题解答”教学内容注重实践性与理论性的结合，按照由浅入深的顺序安排教学进度，使学生在掌握测量技能的同时，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
云南省保山曙光学校高二数学系统抽样教学设计
2.1.3系统抽样一、内容与解析(一）内容：本课是人教版新课标实验教科书七下第十章10.1统计调查(第2课时)，主要内容是抽样调查.（二）解析：统计教学在义务教育阶段分三个学段，尽管每个学段都提出收集、整理和描述数据的方法，但要求不同.第一本学段（1-3年级），要求学生对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题；第二学段（4-6年级），要求学生经历简单的数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；第三本学段（7-9年级），要求学生体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法.能从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据.抽样调查是数据收集的一种方法.抽样调查是根据调查的目的和任务要求，按照随机原则，从若干个体组成的事物总体中，抽取部分个体进行观察，用所得到的数据特征来推断总体数据特征，其中蕴涵了重要的统计思想—样本估计总体.抽样的必要性在于：一是由于总体包含的个体数目往往很多，甚至无限，不可能一一考察；二是有些调查实验带有破坏性，不可能进行全面调查. 在教学中要通过大量的实例让学生理解抽样的必要性.统计活动中的几个环节是：数据的收集、整理、描述、分析、运用，其中数据的收集是其他环节的基础，数据的收集活动中也充满了统计的思想.数据收集常用的方法有全面调查和抽样调查，其中抽样调查是统计中运用最广泛的调查，因此抽样调查是统计中一个最重要的概念.学生对于数据的整理、描述、分析已经经过了两个学段的学习，并且在前一节课的全面调查中又进行了全面系统的复习和应用，因此这些知识不是这节课的核心知识.学生能否真正理解抽样的必要性和样本的代表性，统计结果的不确定性，将影响其对统计思想的理解.通过上述分析，确定本节课的教学重点是：通过对实例的分析,理解抽样的必要性和样本的代表性，体会样本代表性的随机原则和适量原则，体会用样本估计总体的统计思想.二、教学目标及解析(一)教学目标:1. 了解抽样调查及相关概念；2. 理解抽样调查的必要性和样本的代表性，理解样本估计总体的思想；3. 初步体会统计思维和确定性思维的差异性；4. 通过对具体问题的解决，感受数学的应用价值，同时提高自己的环保意识.(二)解析:1.能用自己的语言描述什么是抽样调查，能通过实例解释什么是总体、个体、样本、样本容量，了解样本与总体的关系；2.能在不同的情景中选择适当的调查方式，体会样本对总体的估计的准确程度的影响；3.本节课主要体会样本估计总体的思想、随机思想以及统计结果的不确定性；4.统计学的应用非常的广泛，通过大量身边的事例学生体会统计学在工农业、环保等行业的广泛应用.三、问题诊断分析1．对统计思想的理解学生以往的学习内容中，多是以确定性为主的数学，虽然在前一阶段学习了统计图表、用全面调查收集数据，并对统计活动有了初步的认识，但抽样调查中样本估计总体的思想、随机思想以及统计结果的不确定性，这些思想和内容对七年级的学生来说已有的经验与本节课要达成的教学目标之间还存在质的差异，学生要从确定性的数学认知过度到不确定性的数学认知还有一定的困难，而且已有的知识经验对新学习的的知识造成负迁移，可能导致学生在学习中出现的困难是：对样本估计总体的思想，对统计结果的不确定性产生怀疑，对统计的科学性有质疑，对样本的随机性不理解等.2．对样本容量n的确定样本容量n的确定是抽样调查中的一个重要内容，也是实施抽样前必须解决的一个问题.样本容量过大，会使调查成本增大，难以体现抽样调查的优越性，样本容量过小，又会使样本的代表性降低, 对总体的估计可能误差过大. 因此，解决抽样设计中的样本容量问题至关重要.从统计学的角度来看，影响样本容量的因素主要包括置信和允许误差. 简言之，置信度是对抽样估计可靠性的度量，允许误差是指事先要求与一定的置信概率相对应的误差的最大范围，它是对抽样估计的精确度提出的要求.由此可知样本容量n的取值不是随意任取的，在课堂教学中学生对样本容量的确定结果可能是五花八门，分歧较大．在教学中，教师对于学生提出的样本容量可以简单的计算调查成本，估计调查实施难度，学生通过成本核算结果、实施难度进行比较后，对样本容量的确定达成共识，也可以鼓励学生思考在高新科技支持下与传统方法支持下样本容量确定过程的异同．四、教学支持条件分析1．课前需要全班同学统计一周自己家丢弃的垃圾袋的个数，为课堂提供数据支持；2．教师下载或自遍程序，程序实现如下功能：能记录存储数据，并能对数据进行处理得出相应的结果.五、教学过程问题1.某学校要了解高一学生对教师教学的意见,打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查.设计意图:师生活动(小问题):1.用抽签法和随机数表法如何抽取样本?2.这两种方法都比较麻烦.是否有更简单的方法呢?3.若我们采取下列方法去抽取:将高一这500名学生从1开始编号,从中抽取50名,也就是说从平均10名学生中抽取1名.如果我们在编号1~10中随机抽取一个数,然后再每隔10个号码抽取一个,这样我们就得到一个容量为50的样本.(例如第一次抽到的是6号,每次增加10,就得到6,16,26,…,496) 请问这种方法抽取出的样本有没有代表性?问题2.归纳系统抽样的步骤一般地,假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，我们可以根据下列步骤进行系统抽样：第一步：先将总体的N 个个体编号。
云南省保山曙光学校高二数学《解决有关测量角度的问题》教学设计
1.2.3 解决有关测量角度的问题一、内容及其解析本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．常用术语与相关概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．二、目标及其解析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．三、问题诊断分析解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.四、教学过程问题与题例问题：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．推进新课【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)学生看图思考．要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．这是方位角．这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB ，就可以知道AC 的方向和路程．问题：根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程. 解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理， ,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理, ,sin sin ABCAC CAB BC ∠=∠, 15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．【例2】某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？问题：你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）如右图．问题：从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?引入时间这个参变量,可以设x 小时后追上走私船.如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB =10x, AB =14x,AC =9,∠ACB =75°+45°=120°,则由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2×9×10x co s120°,∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23或x=-169 (舍去). 所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因为sin∠BAC =1435232115120sin =⨯=︒AB BC ,∴∠BAC =38°13′,或∠BAC =141°47′（钝角不合题意，舍去）.∴38°13′+45°=83°13′.答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 问题：上面是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？同上解得BC =15,AB =21,在△ABC 中，由余弦定理，得14112192225441812cos 222=⨯⨯-+=•-+=∠AB AC BC AB AC CAB ≈0.785 7, ∴∠CAB ≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．五、目标检测答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°.1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°，∠ACB =180°-45°=135°,∴A =15°. 由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC . ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为 AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ，则A P=4t,B Q=4t,当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7． （3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．六、课堂小结在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．七、目标检测《优化设计》-------角度问题《自我测评》与《随堂训练》 一、备用例题1.如图所示，已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？解：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD =30x海里（0≤x≤2），∠CBD =60°，由余弦定理得CD 2=(100-50x)2+(30x)2-2·(100-50x)·30x·co s60°=4 900x 2-13 000x+10 000. ∴当4916149654900213000==⨯=x （小时）时，CD 2最小，从而得CD 最小. ∴航行49161小时，两船之间距离最近． 2．我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知DC =6 000米，∠ACD =45°,∠ADC =75°,目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD =30°,∠BDC =15°．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．解：在△ACD 中，∠CAD =180°-∠ACD -ADC =60°,CD =6 000,∠ACD =45°,根据正弦定理，有CD CD AD 3260sin 45sin ︒︒=. 同理，在△BCD 中，∠CBD =180°-∠BCD -∠BDC =135°,CD =6 000,∠BCD =30°.根据正弦定理,有CD CD BD 22135sin 30sin =︒︒=. 又在△ABD 中，∠ADB =∠ADC +∠BDC =90°.根据勾股定理,有421000642213222==+=+=CD CD BD AD AB . 所以炮兵阵地到目标的距离为1 00042米.。
高度的测量第二课时教案1
高度的测量第二课时教案1
知识技能目标
通过高度测量的实践活动和汇报活动，进一步让学生牢固把握课本知识的基础上，将知识应用实践．培养学生实践能力及总结能力．
过程性目标
让学生通过经历用课本知识解决实际咨询题的过程，体验数学的应用性，让学生充分体会数学是解决实际咨询题的工具．
课前预备
让学生把实践中测量得到的数据进行运算处理，并填写实践报告〔见附录，学生也能够自行设计报告表格〕．
教学过程
我们的学生都有一个聪慧的头脑、一双灵活的手和杰出的口才，要创设一个良好的氛围，让我们的学生展现他们才华．
本课时师生共同备课，安排活动过程．由学生进行主持．以下给出一个活动案例．
1.主持人序言、导入．
2.各小组介绍各自实践活动．
学生通过活动过程介绍，一方面展现了自己的能力，培养了学生的自信心，另一方面，加深了学生之间的相互了解，便于相互学习．
3.学生小组讨论，比较哪一小组的方法更好，测量的成效更佳
让学生通小组讨论，直抒自己的看法和建议．
4.老师在对同学报告和建议进行点评的基础上，进一步引导学生利用课本知识进行实践时，要切实依照实际来设计实施可行的方案．
5.由小组对本组成员作一个评估〔就参与活动的积极性、与同学之间的合作性、活动中表现的专门性等方面〕.
课后活动
1．对本组实践不中意的小组能够重新实践．
2．进一步完善实践报告．
3．请每一位同学写出实践的体会和收成．并发表在班级的墙报或网站上．
附录。
高中测量高度问题教案
高中测量高度问题教案教案标题：高中测量高度问题教案教案目标：1. 了解测量高度的基本概念和相关术语；2. 掌握使用三角函数和三角比例解决测量高度问题的方法；3. 培养学生的观察、测量和解决问题的能力；4. 提高学生的数学思维和推理能力。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾三角函数和三角比例的相关知识，例如正弦定理、余弦定理等；2. 提出一个实际问题，例如如何测量某个高楼的高度，引发学生思考。
知识讲解：1. 介绍测量高度的基本概念和术语，如水平线、垂直线、水平距离、观察角等；2. 解释使用三角函数和三角比例解决测量高度问题的原理和方法；3. 通过示例演示如何应用三角函数和三角比例计算高度。
实践活动：1. 将学生分成小组，每个小组选择一个高楼或其他高度测量的对象；2. 让学生观察并记录测量对象的相关数据，例如观察角度、水平距离等；3. 引导学生运用所学的知识和方法，计算出测量对象的高度；4. 学生互相交流和比较结果，讨论可能存在的误差和改进方法。
总结反思：1. 引导学生总结本节课所学的测量高度的方法和技巧；2. 让学生思考在实际应用中可能遇到的问题和困难；3. 鼓励学生提出自己的解决方案和改进建议。
延伸拓展：1. 提供更复杂的测量高度问题，让学生进一步应用所学的知识和方法；2. 鼓励学生进行实地测量，例如测量学校楼、树木等的高度；3. 引导学生进行相关研究，了解测量高度在不同领域的应用，如建筑、地质等。
教学评估：1. 观察学生在实践活动中的表现，包括观察和测量的准确性、计算的正确性等；2. 收集学生的解决问题的思路和方法，评估其数学思维和推理能力；3. 针对学生的表现和问题，给予及时的反馈和指导。
教学资源：1. 教材：高中数学教材相关章节；2. 工具：测量工具（如测量尺、测角器等）、计算器、投影仪等；3. 实践材料：高楼、树木等测量对象。
教学延伸：1. 教师可以邀请专业人士或相关领域的专家来讲解测量高度的应用案例，增加教学的实用性；2. 学生可以利用计算机软件或在线工具进行测量高度的模拟实验，加深对概念和方法的理解。
07应用举例2(高度)导学案
第 1 页 （共4页） 第 2 页 （共4 页）课题 1.2应用举例—②测量高度【课前准备】 课本，学案，练习本，笔记本，双色笔【复习回顾】在∆ABC 中，cos 5cos 3A bB a ==，则∆ABC 的形状是怎样？【激情导入】上海金茂大厦是改革开放以来，上海超高层标志性建筑。
有一位测量爱好者想测量出它的高度，你能帮他吗？【学习内容】〔学习目标〕能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. 〔学习过程〕一、课前学习探究：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：（如图）选择基线HG ，使H 、G 、B 三点共线， 要求AB ，设测角仪器的高为,h 先求AE 即可， 在ACE ∆中，可测得角 ，关键求AC在ACD ∆中，可测得角 ，线段 ，又有α 故可求得AC= 从而AB=二、课堂学习例1. 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α= 60，在塔底C 处测得A 处的俯角β= 45. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD (精确到1 m )例2． 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15 的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南 25的方向上，仰角为8 ，求此山的高度CD .（提示：423.025sin = ，174.010sin = ，,259.015sin = 141.08tan = ） 问题1：欲求出CD ，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？【师生小结】【当堂练习】1. 在ABC 中，AB =3，BCAC =4，则边AC 上的高为（ ）.AB C ．32 D ．2. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ．【高考链接】如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
6示范教案122解决有关测量高度的问题
**解决有关测量高度的问题从容说课本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；教具准备直尺和投影仪三维目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.推进新课【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．[合作探究]师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来，然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了.师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长．师 那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h. 师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？生 要测量某一高度AB ，只要在地面某一条直线上取两点D 、C ，量出CD =A 的长并在C 、D 两点测出AB 的仰角α、β，则高度h a AB +-=)sin(sin sin βαβα，其中h 为测角器的高． 【例2】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).[合作探究]师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？生 需求出BD 边．师 那如何求BD 边呢？生 可首先求出AB 边，再根据∠BAD =α求得．解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB . 在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC . 将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m), CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).答:山的高度约为150米.师 有没有别的解法呢？生 要在△ACD 中求CD ，可先求出AC ．师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？生 同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得．（解题过程略）【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .[合作探究]师 欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生 在△BCD 中.师 在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生BC 边.解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A .解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα. 答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα. 评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt △EG A 中,利用co tα表示A G,而Rt △EG C 中,利用co tβ表示C G,而C G-A G=CA =BD =A ,故可以求出EG,又GF=CD =B ,故EF 高度可求.课堂小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．布置作业课本第17页练习第1、3题. 板书设计解决有关测量高度的问题例1练习 例2 课堂练习小结 例3 布置作业。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2.2应用举例2—测量高度问题
一、内容与解析
(一）内容：测量高度问题
（二）解析：本节课是解三角形应用举例的延伸。
采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。
通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。
教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。
作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.教学的重点是结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题,解决重点的关键是能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。
二、教学目标及解析
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题与前一节类似。
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
问题1：课题导入
教学设计：，通过现实问题引入课题。
师生活动：教师—现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题 问题2：例1讲解
设计意图:通过此例的学习，让学生继续体会正余弦定理在实际生活中的应用，并进一步体会建模的过程
师生活动：教师—出示例题，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
教师—分析：在题目中的图形中只画出AB 。
分析求AB 同样需要构造三角形，因为AB 垂直地面，所以构造的三角形是一个直角三角形，在这个直角三角形中角ACB 是可以测量出来的，但其他的量是无法测量的，但要求AB ，就必须求出AC ，问题转化为如何求AC ，同样，AC 可以看成是可到达点与不可到达点之间的距离问题。
让学生思考如何求AC 。
学生—在取一点D ，连接AD ，CD ，构造三角形ACD 。
教师—在三角形ACD 中哪些可以测量出来？
学生—基线CD 的长，角ADC ，角ACD ，因此在三角形ACD 中已知两角一边，可以解出三角形ACD ，从而求出AC ,再通过解直角三角形ABC ，可以求出AB 。
教师—给予肯定。
但是实际中测量仪器本身有高度，因此图形正如教材所给，同学看一下，应该能够理解。
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。
由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得 AC = )
sin(sin βαβ-a
AB = AE + h
= AC αsin + h = )
sin(sin sin βαβα-a + h
练习：（例2）如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。
已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？
问题3：例3的学习.
设计意图：通过此例的学习，进一步体会如何根据已知条件画出图形，建立模型，并利用正余弦定理解决问题。
其次就是提高学生的空间想象能力。
师生活动：教师—如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
教师—关键让学生理解为什么角CAB 是15度。
另外就是跟前面一样，带领学生分析要求什么，在哪个三角形中去求，这个三角形已知什么，还需要知道什么，不知道的又应该怎样求，逐步提高学生从结论入手，分析解题思路。
六.课堂目标检测
课本第17页练习第1、2、3题
七.课堂课时小结及作业
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背
景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
另外就是“找三角形”，分析这些三角形已知哪些，未知哪些，需要解决问题，我们还需要求哪些量，主要就是要对正余弦定理非常熟悉，三角形能解出，要么是已知两角一边，要么是两边一角。
课后作业
课本第23页练习第6、7、8题。