2019-2020学年高中数学 1.4.3正切函数图像与性质导学案(答案不全)新人教A版必修4.doc
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象教案(含解析)新人教A版必修4
1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？ [提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z [因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x ；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域；②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ）， 所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法) ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .](3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5；②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5.②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间， 令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )，故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法． (1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π. ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
【人教A版】2019年必修四导学案设计(含答案)第一章 1.4.3
人教版高中数学必修精品教学资料1.4.3 正切函数的性质与图象[学习目标] 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一 正切函数的图象 1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π,k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考 我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y ＝tan x ,x ∈[－π2,π2]的简图吗？怎样画．答案 能．找三个关键点：(π4,1),(0,0),(－π4,－1),两条平行线：x ＝π2,x ＝－π2.知识点二 正切函数图象的性质1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2,k ∈Z )的图象与性质见下表：π2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.思考 正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性,请指出其对称特征． 答案 具有对称性,为中心对称,对称中心为(k π2,0),k ∈Z .题型一 正切函数的定义域例1 (1)函数y ＝tan(sin x )的定义域为,值域为． 答案 R [tan(－1),tan 1] 解析 因为－1≤sin x ≤1, 所以tan(－1)≤tan(sin x )≤tan 1, 所以y ＝tan(sin x )的定义域为R , 值域为[tan(－1),tan 1]．(2)求函数y ＝tan(2x －π4)的定义域．解 由2x －π4≠π2＋k π,k ∈Z 得,x ≠38π＋12k π,所以y ＝tan(2x －π4)的定义域为{x |x ≠3π8＋12k π,k ∈Z }．反思与感悟 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π,所以所求x 的范围是[k π－π4,k π＋π4)(k ∈Z )即函数定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 题型二 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4, 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 (k ∈Z ),得2k π－π2<x <2k π＋32π,k ∈Z ,∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π,k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体,解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π,k ∈Z 即可．当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间． 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数,∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π,k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2,k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z )．题型三 正切函数图象性质的应用例3 (1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D.π6答案 C解析 最小正周期为T ＝π|ω|＝π2.(2)画出函数y ＝|tan x |的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得,y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )其图象如图：由图象可知,函数y ＝|tan x |是偶函数． 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π,函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π,k π＋π2)(k ∈Z ),单调递减区间为(k π－π2,k π)(k ∈Z )．反思与感悟 1.可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点(－π4,－1),(0,0),(π4,1),“两线”是指直线x ＝－π2,x ＝π2.为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形化简,在变形、化简过程中一定要注意等价变形． 2．一般地,函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.跟踪训练3 (1)下列函数中,既是以π为周期的奇函数,又是(0,π2)上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |答案 A解析 由于y ＝tan x 与y ＝tan x2是奇函数,但是只有y ＝tan x 的周期为π,y ＝cos x 与y ＝|sin x |是偶函数．(2)画出f (x )＝tan|x |的图象,并根据其图象判断其单调区间,周期性,奇偶性． 解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象,作出f (x )＝tan|x |的图象,如图所示,由图象知,f (x )不是周期函数,是偶函数,单调增区间为[0,π2),(k π＋π2,k π＋32π)(k ∈N )；单调减区间为(－π2,0],(k π－32π,k π－π2)(k ＝0,－1,－2,…)．与三角函数相关的函数零点问题例4 当x ∈(－32π,32π)时,确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．分析 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根,也就是y ＝tan x 与y ＝sin x 交点的横坐标,所以可根据图形进行分析．解 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在(－3π2,3π2)上的图象,如图,由图象可知它们有三个交点,∴方程有三个根．点评 数形结合思想,是高中数学的一类重要的数学思想方法,其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．1．下列说法正确的是( )A ．正切函数在整个定义域内是增函数B ．正切函数在整个定义域内是减函数C ．函数y ＝3 tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角,则y ＝tan x 是增函数 答案 C解析 由正切函数性质可知A 、B 、D 均不正确,又y ＝3tan x 2＝3tan|x |为偶函数, 故其图象关于y 轴对称,故选C.2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2,k π＋π2),k ∈ZB ．(k π,(k ＋1)π),k ∈ZC ．(k π－3π4,k π＋π4),k ∈ZD ．(k π－π4,k π＋3π4),k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z ),∴x ＝k π2(k ∈Z ),又x ∈[0,2π),∴x ＝0,π2,π,3π2.故选B.5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z ),得x ＝k π2－π3 (k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线,渐近线方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增．作正切曲线简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2,x ＝π2,然后描出三个点(0,0),(π4,1),(－π4,－1),用光滑的曲线连接得到一条曲线,再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ,值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π,函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在每个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增,不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．(4)正切函数在每个单独的区间(－π2＋k π,π2＋k π)(k ∈Z )内都是增函数,但在整个定义域内不是,例如,180°>30°,但tan 180°＝0<tan 30°＝33.一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5,x ∈R 且x ≠310π＋k π,k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π,0)答案 C2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为( ) A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 ∵1＋tan 2x >|tan x |≥－tan x ,∴其定义域为{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z }关于原点对称,又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0, ∴f (x )为奇函数,故选A.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )答案 A4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4答案 A解析 由题意,得T ＝πω＝π4,∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ,f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A ．(k π－π2,k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2,k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4,k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4,k π＋π4)(k ∈Z )答案 C解析 由题意得1＋tan x >0,即tan x >－1, 由正切函数的图象得k π－π4<x <k π＋π2(k ∈Z )．6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π时,tan x <sin x ,y ＝2tan x <0；当x ＝π时,y ＝0；当π<x <3π2时,tan x >sin x ,y ＝2sin x ．故选D. 二、填空题7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是． 答案 (2k π－π2,2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π,2k π＋3π2)(k ∈Z )解析 由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知,同时为单调递增的区间为(2k π－π2,2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π,2k π＋3π2)(k ∈Z )．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2,则ω＝.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2,∴ω＝±2.9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1,x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为． 答案 [－4,4] 解析 ∵－π4≤x ≤π4,∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ,则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1,即x ＝－π4时,y min ＝－4,当t ＝1,即x ＝π4时,y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2,π2)是减函数,则ω的取值范围是．答案 [－1,0)解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2,π2)内是减函数,∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1,即－1≤ω＜0. 三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．解 由tan x ＋1tan x －1>0得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为(k π－π2,k π－π4)∪(k π＋π4,k π＋π2)(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x ),∴f (x )是奇函数．12．求函数y ＝tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2,k ∈Z ,得x ≠2k π＋53π,k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π,k ∈Z }．②T ＝π12＝2π.∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2,k ∈Z ,解得2k π－π3<x <2k π＋53π,k ∈Z .∴函数的单调增区间为(2k π－π3,2k π＋53π),k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2,k ∈Z ,得x ＝k π＋23π,k ∈Z .∴函数的对称中心是(k π＋23π,0),k ∈Z .13．(1)求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间；(2)比较tan 1,tan 2,tan 3的大小．解 (1)y ＝3tan(π4－2x ) ＝－3tan(2x －π4), 由－π2＋k π<2x －π4<k π＋π2,k ∈Z , 得－π8＋k π2<x <k π2＋3π8,k ∈Z . ∴y ＝3tan(π4－2x )的单调减区间为(－π8＋k π2,3π8＋k π2)(k ∈Z )． (2)tan 2＝－tan(π－2)＝tan(2－π)tan 3＝－tan(π－3)＝tan(3－π)∵－π2<2－π<3－π<1<π2, ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1∴tan 2<tan 3<tan 1.。
2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案(含解析)新人教A版必修4
1.4.3 正切函数的性质与图象考试标准知识导图学法指导1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象．2．从正切函数的几何画法体验直线x ＝±π2为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(－∞，＋∞).函数y ＝tan x 的图象与性质状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期公式为T ＝πω.( )(2)正切函数在R 上是单调递增函数．( )(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D4．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2. 解法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B类型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2}，k ∈Z .(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠k π＋π2，k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2k ∈Z ，所以函数的定义域为{x |x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x |x ≠k π2，k ∈Z}.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是[－π4，π4).又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． (1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x≠k π＋π2，k∈Z类型二 正切函数的单调性及其应用 例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调区间． 【解析】 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调递减区间为(－π12＋k π3，π4＋k π3)(k ∈Z )．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k∈Z)解出x 即可． 方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .类型三 正切函数图象与性质的综合应用例3 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【解析】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是 {x |x ≠5π3＋2k π}，k ∈Z .因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )． 由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是{x |π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π}，k ∈Z .由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点．方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且1＋tan α≥0，则角α的取值范围是________．解析：1＋tan α≥0，所以tan α≥－1，作出正切函数y ＝tan α，y ＝－1的图象，由图象可得，当α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，满足不等式的角α的范围是3π4≤α<π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 对于不等式tan α≥a，作出正切函数的图象，作出y ＝a 的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角α的范围.1.4.3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4. 方法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4.答案：A 2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1，＋∞)解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >c D ．b <a <c解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．答案：C4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z ) D.()k π，0(k ∈Z )解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B.答案：B5．下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称解析：令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋6x 的定义域为________． 解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z7．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]8．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“>”或“<”)解析：因为90°<135°<138°<270°，又函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是增函数，所以tan 135°<tan 138°.答案：<三、解答题(每小题10分，共20分)9．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性． 解析：由函数y ＝|tan x |得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2k ∈Z－tan x ，k π－π2<x <k πk ∈Z ，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .10．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5. [能力提升](20分钟，40分)11．如果函数y ＝tan(x ＋φ)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，那么φ可能是( ) A ．－π3 B ．－π6C.π6D.π3解析：∵y ＝tan(x ＋φ)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0，即π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π3，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 解析：函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1， ∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)13．(1)求y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的单调区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π的大小． 解析：(1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z .所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π.14．已知函数f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4.(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f (π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2的大小．解析：(1)因为f (x )＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，所以T ＝πω＝π14＝4π.由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3(k ∈Z )．因为y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增，所以f (x )＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减．故原函数的最小正周期为4π，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． (2)f (π)＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－π4＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－3tan π12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－3π8＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π24＝－3tan 5π24， 因为0<π12<5π24<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 所以tan π12<tan 5π24，所以f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2.。
(新课程)高中数学《1.4.3正切函数的图象与性质》导学案 新人教a版必修4
§1.4.3 正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题.3740，找出疑惑之处）在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？二、新课导学※ 探索新知问题1. 在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心 及对称轴.※ 典型例题例1:求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合(1)3cosx y = (2)x y 2sin 2-=变式训练：（1）若)3cos(x y -=呢？变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？例2:判断下列函数奇偶性（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx变式训练：3、判断下列函数的奇偶性：⑴x x x f cos |sin |)(⋅=： ；⑵x x x f +=3tan )(：⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)32sin(π+=x y 的单调增区间变式训练：（1）求)32cos(π+=x y 的单调增区间（2）求)32sin(π+-=x y 的单调增区间（3）求)62cos()32sin(ππ-++=x x y 的单调增区间例4.求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-=（2）x x y sin |sin |+=（3）2sin 2cos 2-+=x x y （4）xx x y sin 1cos sin 22+= （5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=6,6),32sin(2πππx x y变式训练：已知b x a x f +-=)32sin(2)(π的定义域为[0，2π]，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b 的值.※ 动手试试1、函数x y sin =,21≥y 时自变量x 的集合 是___________.2、将54sin π=a ,45cos π-=b ,532sin π=c , 125cosπ=d ,从小到大排列起来为：__________. 3、函数x 2sin 2y =的奇偶数性为（ ）.A. 奇函数B. 偶函数C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数4、函数[]π2,0x cosx,32y ∈-=，其单调性是（ ）. A. 在[] π,0上是增函数，在[],2ππ上是减函数B. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππ上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0 上分别是减函数 C. 在[]ππ2，上是增函数，在[]π,0上是减函数D. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππ上是减函数三、小结反思⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.⑵结合图象解题是数学中常用的方法.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、设z k ∈，则三角函数x y 2sin =的定义域是（ ）A 、πππ+≤≤k x k 22B 、2πππ+≤≤k x k C 、222πππ+≤≤k x k D 、πππ+≤≤k x k2、在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是（ ）A 、2sinx y = B 、x y 21cos = C 、4sin x y -= D 、x y 2sin =3、已知函数3sin x y -=，其定义域是 . 4、已知函数x y cos 1-=，则其单调增区间是 ；单调减区间是 。
1.4.3正切函数的性质与图象导学案(解析版)
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质.2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用.自学导引1．正切函数tan y x =的定义域是 ；2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是 ；3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；4．正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数；典例精析例1求函数)ln(tan )(x x f =的定义域；变式 求函数)3(tan tan 1-=x x y 的定义域；例2若]4,3[ππ-∈x ，求函数1tan 2cos 12++=x xy 的最值及相应的x 的值；变式 函数]4,4[,tan sin ππ-∈+=x x x y 的值域为例3作出函数)321tan(π-=x y 在一个周期内的图象；变式 作出函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间)23,2(ππ内的大致图象；例4（1）求函数)46tan(3)(x x f -=π的周期和单调递减区间；（2）试比较)(πf 与)23(πf 的大小；变式 是否存在实数a ，且Z a ∈，使得函数)4cot(ax y +=π在)85,8(ππ∈x 上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在说明理由；例5（1）求函数x x y tan sin +=的定义域；（2）画出函数|tan |x y =的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；自主反馈1、与函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=2、函数1tan y x =-的定义域是 ．3、函数2tan 2tan 22++=x x y 的最大值是 ． 4、已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是____________； 5、函数|)4tan(|π+=x y 的单调递增区间是__________________；1.4.3正切函数的性质与图象自学导引1．},2|{Z k k x x ∈+≠ππ2．π3．奇4．Z k k k ∈++-),2,2(ππππ 典例精析例1Z k k k ∈+),2,(πππ 变式 Z k k k k k k k ∈++++-),2,3()3,(),2(ππππππππππ例2当4π-=x 时，1min =y ；当4π=x 时，5min =y变式 ]122,122[+--例3图略 变式 图略例4（1）π4=T 减区间：Z k k k ∈+-],384,344[ππππ （2）)(πf >)23(πf 变式 存在，2-=a例5（1）},2|{},222|{Z k k x x Z k k x k x ∈+≠∈+<≤πππππ（2）图略 π=T 增区间：Z k k k ∈+),2,[πππ 减区间：Z k k k ∈-],,2(πππ 变式 Z k k k ∈++),2,6[ππππ 自主反馈1、D2、Z k k k ∈+-],4,2(ππππ3、24、01<≤-ω5、Z k k k ∈+-),4,4[ππππ。
吉林省舒兰市第一中学高中数学1.4.3正切函数图像与性质导学案(答案不全)新人教A版必修4
第一章 §1.4.3正切函数的图象与性质 编号031【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质.【学习重点】正切函数图像与性质【基础知识】正切函数图像：1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：2.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”正切函数性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2ππ+−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T . 结论：)tan(ϕω+=x y 的周期为||ωπ=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数. 5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 【例题讲解】例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小; （2）比较⎪⎭⎫⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期.例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.【达标检测】1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0,2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是( ) (A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域【问题与收获】参考答案例1.解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730 (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-，又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即 例2 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域： R ; 它是非奇非偶函数;在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数; 令f(x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan [(x+π)+4π]=f(x+4π) 因此，函数f(x)的周期是π. 例3 解：1,3tan .24u x y u π=+=令那么 124u x π=+是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+； 13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--,tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2).22k k k Z ππππ-+∈例4 解：()3tan(2)4f x x π=+3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++(),2f x π=+2T π∴=周期.变式训练2： 解：1()3tan()24f x x π=+13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2),f x π=+2.T π∴=周期（||T πω=周期） 例5解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u ≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，， y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈， ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)，∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f (x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π. 拓展训练： 1.C 2.D 3.C 4. tan2<tan3<t an1 5.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案
高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42----44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性：x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；最值：当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=______ _时，y=s inx取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____，当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx( )的最小正周期为_____.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________.（3）奇偶性：正切函数是__ ____函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________.2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,x R且的图象，称“正切曲线”.探究：1. 正切函数图象是被平行直线y= 所隔开的无穷多支曲线组成。
能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？2.正切曲线的对称中心是什么？对点练习：函数的周期是（）A. B. C. D.2.函数的定义域为 ( )A.BD下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2 为周期,(3)是奇函数的是( )A. BD求函数y＝的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域.变式1.求函数的定义域.题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x- )的周期及单调区间.（2）比较tan 与tan 的大小.变式2.(1)求函数y=tan( -x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan 与tan (－ ).【课堂小结】【当堂达标】1.下列各式正确的是（）A．B．C．D．大小关系不确定2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．3.函数y＝tan 的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个上为增函数D．在每一个上为增函数2、若 ,则（）.A．B．C．D．与函数的图象不相交的一条直线是（）4. 已知函数的图象过点，则可以是．tan1,tan2,tan3的大小关系是_________________________________.6.下列四个命题：①函数y＝tan x在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．7.求函数y=3tan(2x+ ),( )的值域、单调区间。
2019-2020年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象备课资料 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象备课资料新人教A版必修4一、函数f(x)±g(x)最小正周期的求法若f(x)和g(x)是三角函数,求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现介绍几种方法:(一)定义法例1 求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.解:∵y=|sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cos(x+)|+|sin(x+)|=|sin(x+)|+|cos(x+)|,对定义域内的每一个x,当x增加到x+时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T=,正、余切函数T=.例2 求函数y=-tanx的最小正周期.解:y=-tanx==2,∴T=.(三)最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T1、T2分别是它们的周期,且T1≠T2,则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数,分数的最小公倍数=例3 求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解:设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则T1=,T2=,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T==2π.例4 求y=sin3x+tanx的最小正周期.解:∵sin3x与tanx的最小正周期是与,其最小公倍数是=10π,∴y=sin3x+tanx的最小正周期是10π.(四)图象法例5 求y=|cosx|的最小正周期.解:由y=|cosx|的图象，可知y=|cosx|的周期T=π.(设计者:张云全)2019-2020年高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象教案新人教A版必修4教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.(1)周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)k∈Z.(3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tanα=,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于且无限接近时,正切线AT 向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在(,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.讨论结果:①略.②略.应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan()与tan().活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函数,∴tan<tan.∴-tan>-tan,即tan()>tan().点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-≥0,得tanx≥,利用图4知,所求定义域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1,∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将x+作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.解:函数的自变量x应满足x+≠kπ+,k∈Z,即x≠2k+,k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k+,k∈Z}.由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),因此,函数的周期为2.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得+2k<x<+2k,k∈Z.因此,函数的单调递增区间是(+2k,+2k),k∈Z.点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.变式训练求函数y=tan(x+)的定义域,值域,单调区间,周期性.解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.值域为R.由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<ta n3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递增函数,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.知能训练课本本节练习1—5.解答:1.在x轴上任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分成左右两个半圆,过右半圆与x轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于,,,0,,,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分成8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|+kπ<x<kπ,k∈Z}.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x≠+,k∈Z.点评:可用换元法.4.(1) ;(2)2π.点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.(2)不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数y=tanx,x∈A是增函数;如果A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性.课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？作业课本习题1.4 A组6、8、9.设计感想1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.。
人教版高中数学全套教案导学案1.4.3正切函数的图像与性质(教、学案)
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
高中数学人教版必修4导学案设计：1.4.3正切函数的图像和性质(无答案)
正切函数的图象与性质撰稿：游斌 修订：高一备课组 学生姓名：__________第___小组一、学习目标，心中有数：1、了解用单位圆中的正切线作正切函数图象的方法；2、掌握正切函数的有关性质；3、能用正切函数图象和性质解决有关问题。
二．自主学习，体验成功：（一）、知识梳理 形成体系问题1、正切函数x y tan =的定义域是什么？是不是周期函数？若是，探索它的最小正周期是多少？问题2、如何利用正弦线画正弦曲线的？请用这种方法画出正切函数在)2,2(ππ-的图像。
1、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 x y tan =， )(,2Z k k x ∉+≠ππ的图象，称“正切曲线”。
由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线)(,2Z k k x ∈+=ππ所隔开的无穷多支曲线组成的。
2、观察正切函数的图像，可以得到x y tan =有以下性质：（1）定义域： ；（2）值域：观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 函数；（5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。
问题4、正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？π-32π-（二）、课前热身 自我检测1、比较大小（1）0138tan 0143tan （2）)43tan(π- )52tan π 2、观察正切曲线，满足0tan >x 的x 的取值的集合是 。
三、合作探究，共同进步例1、求函数)4tan(π+=x y 的定义域、值域、单调区间及对称中心。
例2、求x y 3tan =的周期小结：函数)tan(ϕω+=x y 的最小正周期ωπ=T 。
例3、解不等式3tan ≥x 。
四、过手训练，步步为营1、函数)0)(6tan(≠+=a ax y π的周期为（ ） A 、a π2 B 、a π2 C 、aπ D 、a π 2、若0tan ≤x ，则x 的取值范围是（ ）A 、πππk x k 222<<-，Z k ∈ B 、πππ)12(22+<≤+k x k ，Z k ∈ C 、πππk x k ≤<-2 ，Z k ∈ D 、πππk x k <≤-2，Z k ∈3、若)4tan()(π+=x x f ，则（ ）A 、)1()1()0(f f f >->B 、)1()1()0(->>f f fC 、)1()0()1(->>f f fD 、)1()0()1(f f f >>-4、函数)4tan(ππ+=x y 的最小正周期是 。
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修4
1．4.3 正切函数的性质与图象[教材研读]预习课本P42～45，思考以下问题1．正切函数有哪些性质？2．正切函数在定义域内是不是单调函数？[要点梳理]正切函数y＝tan x的图象与性质判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．正切函数的定义域和值域都是R .( ) 2．正切函数在整个定义域上是增函数．( ) 3．正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) [答案] 1.× 2.× 3.√题型一 正切函数的定义域 思考：正切函数的定义域是什么？提示：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z求下列函数的定义域：(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[思路导引] 将x ＋π4看成一个整体．由正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z. (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[跟踪训练]函数f (x )＝1tan x －1的定义域是________．[解析] 若使函数f (x )有意义， 需使tan x －1>0，即tan x >1.结合正切曲线，可得k π＋π4<x <k π＋π2(k ∈Z )． 所以函数f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 题型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题思考1：诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z )与tan x 的关系怎样？提示：周期性．tan(k π＋x )＝tan x .思考2：诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？ 提示：奇偶性．(1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期；(2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．[思路导引] 解(1)利用T ＝π|ω|，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f (－x )与f (x )及－f (x )的关系来判断奇偶性．[解] (1)由正切函数的最小正周期，可得T ＝π2.∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[跟踪训练]下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[解析] 由于y ＝tan x 与y ＝tan x2是奇函数，但是只有y ＝tan x 的周期为π，y ＝cos x与y ＝|sin x |是偶函数．[答案] A题型三 正切函数的单调性及应用思考：从正切线上观察正切函数值，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增大的吗？提示：是的．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间；(2)比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．[思路导引] 将12x －π4看成一个整体，比较大小时应将角化到同一个单调区间内．[解] (1)由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )得，2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． (2)由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4 ＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5＝－tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.[变式] 在(1)中y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－12x 的单调减区间是______________________．[解析] ∵y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4∴k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z .故函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z(1)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．【温馨提示】 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[跟踪训练](1)函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域是________________．(2)比较大小：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4________tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5. [解析] (1)函数y ＝sin x ，y ＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4内均是单调递增函数，∴y ＝sin x＋tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是单调递增函数，∴函数y ＝sin x ＋tan x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－1，22＋1.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π5＝tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增，∴tan π5<tan π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π5. [答案] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－1，22＋1 (2)>课堂归纳小结1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．要掌握与正切函数性质有关的三个问题 (1)正切函数的定义域，见典例1；(2)与正切函数有关的周期性、奇偶性问题，见典例2； (3)正切函数的单调性及应用，见典例3. 3．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，如典例1的第(1)题问．(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴.1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是( )A ．4B ．4π C．2π D．2[解析] 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期T ＝ππ2＝2，故选D. [答案] D2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [解析] ∵k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z .故选C.[答案] C3．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 因为在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上tan x >sin x (由三角函数线可得)，∴在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，y ＝tan x与y ＝sin x 只有一个交点(0,0)，结合y ＝tan x 与y ＝sin x 的周期性，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)，故选C.[答案] C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．[解析] ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，∴最小值tan0＝0，最大值tan π4＝1.[答案] [0,1]5．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x ，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. [解析] ∵f (α)＝tan α＋1tan α＝5 ∴f (－α)＝tan(－α)＋1tan (－α)＝－tan α－1tan α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α ＝－5. [答案] －5。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质和图象导学案(无答案)新人教A版必修4(20
山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质和图象导学案（无答案）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4.3 正切函数的性质和图象导学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1。
4。
3正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx 的图象。
2。
理解正切函数在），（22-ππ上的性质。
（预习课本第页42-——-44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性:）Z k ∈y=sinx 在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数; y=cosx 在每一个区间__________上是增函数,在每一个区间___________上是减函数；4。
最值：当且仅当x=_______时，y=sinx 取最大值___,当且仅当x=_______时,y=sinx 取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____,当且仅当x=_______时，y=cosx 取最小值______。
新知梳理：1。
正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx （ϕω+x ）的最小正周期为_____。
（2)定义域、值域：正切函数的定义域为_________，值域为_________。
（3）奇偶性：正切函数是______函数。
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2019-2020学年高中数学 1.4.3正切函数图像与性质导学案（答案不全）新人
教A 版必修4
【学习目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.
2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.
3.掌握正切函数的基本性质.
【学习重点】正切函数图像与性质
【基础知识】正切函数图像：1.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：
2.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正
切曲线”
正切函数性质：
1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+
∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+
2ππ， 2ππ+−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z π
π+∈，2
x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T . 结论：)tan(
ϕω+=x y 的周期为||ωπ=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.
5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 【例题讲解】例1.（1）比较tan1670与tan1730的大小;
（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭
⎫ ⎝⎛-517tan π的大小. 例2 讨论函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=4tan πx y 的性质.
例3 求下列函数的单调区间：13tan().24
y x π=+
变式训练1：求函数3tan()24
x y π=-+的单调区间.
例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π
=+
变式训练2：求解13tan(
)24y x π=+的周期.
例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫-
⎪⎝⎭
的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.
【达标检测】1. 函数)43tan(2π+
=x y 的周期是 ( ) (A) 32π (B) 2π (C)3π (D)6
π 2.函数)4tan(
x y -=π的定义域为 ( ) (A)},4|{R x x x ∈≠π (B)},4|{R x x x ∈-≠π
(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠π
π (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+
≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2
π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是( ) (A)x y tan = (B)x y cos = (C)x
y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.
5.给出下列命题:
(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2;
(3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数;
(5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)
其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)
6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域
【问题与收获】
参考答案
例1.解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数，
∴tan1670<tan1730 (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，
又：20,tan 0,4522y x π
πππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭
在内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4tan 即 例2 略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域： R ; 它是非奇非偶函数;在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-4,43ππππk k 上是增函数; 令f(x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan [(x+π)+4π]=f(x+4
π) 因此，函数f(x)的周期是π. 例3 解：1,3tan .24u x y u π=
+=令那么 124
u x π=+是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈
1:24u x π∴=+由得12242
k x k πππππ-<+<+； 13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222
k k k Z ππππ-+∈（，）. 变式训练1：解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ
=-- ,tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22
u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的 单调递减区间为3(2,2).22k k k Z π
πππ-+
∈
例4 解：()3tan(2)4f x x π=+3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++(),2f x π=+ 2T π
∴=周期.
变式训练2： 解：1()3tan()24f x x π=+13tan()24
x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2),f x π=+ 2.T π∴=周期 （||
T πω=周期） 例5解：令u=3x-
3π,则y=tanu ，由u ≠2k k Z ππ+∈可得： 5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
，且，， y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫-
⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3
π], 所以，y=tan 33x π⎛
⎫-
⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k π
π
ππ-<<+可以得到5()318318
k k x k Z ππππ-<<+∈， ∴y=tan 33x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛
⎫
- ⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+
3π)，∴函数f (x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π. 拓展训练：
1.C
2.D
3.C
4. tan2<tan3<t an1
5.(1)(4)(5)
6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-
+<<+∈⎨⎬⎩⎭。