(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 平面向量
(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 集合
集合一、选择填空题1.（江苏2004年5分）设集合P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}，则P∩Q等于【】(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {－2，－1，0，1，2}【答案】A。
【考点】交集及其运算，绝对值不等式的解法。
【分析】先求出集合P和Q，然后再求P∩Q：∵P={1，2，3，4}，Q={x||x|≤2，x∈R}={－2≤x≤2，x∈R}={1，2}，∴P∩Q={1，2}。
故选A。
【答案】A。
【考点】集合的相等。
【分析】∵x∈M，M=[a，b]，∴对于集合N中的函数f（x）的定义域为[a，b]，对应的()f x的值域为N=M=[a，b]。
又∵()()11011()111011xxx x xf xxxx<x x⎧-=-+≥⎪⎪++=-=⎨+⎪-=-⎪--⎩，∴当x∈（－∞，＋∞）时，函数()f x是减函数。
∴N= ,11b ab a⎡⎤--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦。
∴由N=M=[a，b]得()()11111baba baba⎧=-⎪+⎪⇒++=⇒⎨⎪=-⎪+⎩ab=⎧⎨=⎩，与已知a<b不符，即使M=N成立的实数对(a，b)为0个。
故选A。
3.（江苏2005年5分）设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =【】 A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 【答案】D 。
【考点】交、并、补集的混合运算。
【分析】∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}。
又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}。
故选D 。
4.（江苏2005年4分）命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为 ▲【答案】若122,-≤≤ba b a 则【考点】命题的否定。
【分析】写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论。
(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 选修系列
选修系列一、选择填空题1.（江苏2006年5分）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 ▲【答案】18。
【考点】线性规划问题。
【分析】画出可行域，得在直线22x y -=与直线1x y -=-的交点A(3，4)处，目标函数z 最大，最大值为18。
2.（江苏2007年5分）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为【 】A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B 。
【考点】简单线性规划的应用。
【分析】令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩。
则100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩。
作出区域是等腰直角三角形，可求出面积11221=⨯⨯=s 。
故选B 。
二、解答题1.（江苏2008年附加10分）选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ． 求证：2ED EB EC =⋅．【答案】证明：如图，∵AE 是圆的切线，∴ABC CAE ∠=∠。
又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠。
∴ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠。
∵ADE ABC BAD ∠=∠+∠， DAE CAE CAD ∠=∠+∠， ∴ ADE DAE ∠=∠。
∴EA=ED。
BCEDA∵ EA 是圆的切线，∴由切割线定理知,2EA EC EB =⋅。
而EA=ED ，∴2ED EB EC =⋅。
【考点】与圆有关的比例线段。
【分析】根据已知EA 是圆的切线，AC 为过切点A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD 是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得。
2.（江苏2008年附加10分）选修4—2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分一、选择题（共2小题；共10分）1. 已知两点 M (−2,0)，N (2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点 P (x,y ) 的轨迹方程为 ( )A. y 2=8xB. y 2=−8xC. y 2=4xD. y 2=−4x2. O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈[0,+∞)，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心二、填空题（共13小题；共65分） 3. 已知向量 a 和 b ⃗ 的夹角为 120∘，∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=3，则 ∣∣5a −b ⃗ ∣∣= ．4. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为 2π3 的两个单位向量，a =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =ke 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，若 a⋅b ⃗ =0，则 k 的值为 ．5. 已知 ∣a ∣=2 ， ∣∣b ⃗ ∣∣=3 ，且 a 与 b ⃗ 的夹角为 π2， c =3a +2b ⃗ ， d =ma −b ⃗ ，若 c ⊥d ，则 m = ．6. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．7. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若 ma +nb ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R )，则 m −n 的值为 ．8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，直线 y =b2与椭圆交于 B ，C 两点，且 ∠BFC =90∘，则该椭圆的离心率是 ．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (−12,0)，B (0,6)，点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗的值是 ．11. 设 D,E 分别是 △ABC 的边 AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ （λ1,λ2 为实数），则 λ1+λ2 的值为 ．12. 在 △ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM =2，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值是 ．13. 如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E ，F 是 AD 上两个三等分点，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 ．14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =√2，BC =2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 ．15. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sinkπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为 ．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (−1,−2) 、 B (2,3) 、 C (−2,−1)．（1）求以线段 AB 、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数 t 满足 (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 t 的值．17. 已知 a =(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a −b ⃗ ∣∣=√2，求证：a ⊥b ⃗ ； （2）设 c =(0,1)，若 a +b ⃗ =c ，求 α,β 的值．18. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值；（2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值； （3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b ⃗ ．19. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：tanB =3tanA ； （2）若 cosC =√55，求 A 的值．20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x 2+y 2−12x −14y +60=0 及其上一点 A (2,4)．（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x =6 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ，C 两点，且 BC =OA ，求直线 l 的方程； （3）设点 T (t,0) 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 t 的取值范围．21. 已知常数 a >0，向量 c =(0,a ),i =(1,0)．经过原点 O 以 c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,a ) 以 i −2λc 为方向向量的直线相交于点 P ，其中 λ∈R ．试问：是否存在两个定点 E,F ，使得 ∣PE ∣+∣PF ∣ 为定值．若存在，求出 E,F 的坐标；若不存在，说明理由．答案第一部分 1. B【解析】∵ ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ 4√(x +2)2+y 2+(4,0)⋅(x −2,y )=0，即 √(x +2)2+y 2=−(x −2)，整理得 y 2=−8x ． 2. B【解析】∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣、 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，∴ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的方向与 ∠BAC 的角平分线的方向一致． ∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与 ∠BAC 的角平分线一致，故一定通过 △ABC 的内心． 第二部分 3. 7【解析】由题意得，∣∣5a −b ⃗ ∣∣2=(5a −b⃗ )2=25a 2−10a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=25×12−10×1×3×(−12)+32=49.所以 ∣∣5a −b ⃗ ∣∣=7． 4. 54 5. 32 6. 3 7. −3【解析】由 a =(2,1)，b⃗ =(1,−2)， 可得 ma +nb⃗ =(2m,m )+(n,−2n )=(2m +n,m −2n )， 由已知可得 {2m +n =9,m −2n =−8. 解得 {m =2,n =5.从而 m −n =−3． 8. √63【解析】由题意，得 F (c,0)．直线 BC 的方程与椭圆方程联立，解得 B (−√3a 2,b 2)，C (√3a 2,b2)，则 BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +√3a 2,−b 2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −√3a 2,−b 2)．由 ∠BFC =90∘，得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 c 2−34a 2+14b 2=0，再结合 b 2=a 2−c 2 可得 c 2a 2=23，则 e =ca =√63． 9. [−5√2,1]【解析】根据题意，设 P (x 0,y 0)，则有 x 02+y 02=50，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x 0,−y 0)⋅(−x 0,6−y 0)=(12+x 0)x 0−y 0(6−y 0)=12x 0−6y 0+x 02+y 02≤20,化为：12x 0−6y 0+30≤0，即 2x 0−y 0+5=0，表示直线 2x −y +5≤0 以及直线上方的区域，联立 {x 02+y 02=50,2x 0−y 0+5=0,可解得 x 0=−5 或 x 0=1，结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 0 的取值范围是 [−5√2,1]．10. 22【解析】提示：以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，进行分解即可． 11. 1212. −2 【解析】如图：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≥−2⋅(∣OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)24=−2⋅∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣24=−213. 78【解析】令 DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ，从而 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −b ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ． 由已知，得 {BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =9a 2−b⃗ 2=4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−b⃗ 2=−1,解得 a 2=58，b ⃗ 2=138， 所以 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a 2−b⃗ 2=4×58−138=78． 14. √2【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2=√2∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 ∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=1，∣∣CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√2−1， 因此AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0−√2(√2−1)+2+0=√2.15. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin2k+16π+12cos2k+16π．第三部分16. （1） 由题意知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)， 求两条对角线的长，即求 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 与 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的大小． 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√10， 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4√2． （2） OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，因为 (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2, 易求AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−11,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=5, 所以由(AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 t =−115．17. （1） 由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ． （2） 因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)， 所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.18. （1） 因为 a 与 b ⃗ −2c 垂直，所以a ⋅(b ⃗ −2c )=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin (α+β)−8cos (α+β)=0,因此tan (α+β)=2.（2） 由b ⃗ +c =(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b ⃗ +c ∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当 β=kπ−π4,k ∈Z 时，等号成立，所以 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值为 4√2．（3） 由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ, 所以a ∥b⃗ .19. （1） 因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ． （2） 因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．20. （1） 因为 N 在直线 x =6 上，设 N (6,n )，因为与 x 轴相切， 则圆 N 为 (x −6)2+(y −n )2=n 2，n >0，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M:(x −6)2+(y −7)2=25，则 ∣7−n ∣=∣n ∣+5，解得 n =1，即圆 N 的标准方程为 (x −6)2+(y −1)2=1． （2） 由题意得 OA =2√5，k OA =2，设 l:y =2x +b ， 则圆心 M 到直线 l 的距离 d =√22+1=√5，则 BC =2√52−d 2=2√25−(5+b )25，BC =2√5，即 2√25−(5+b )25=2√5，解得 b =5 或 b =−15，即 l:y =2x +5 或 y =2x −15．（3） TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣， ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(t −2)2+42， 又 ∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤10，即 √(t −2)2+42≤10，解得 t ∈[2−2√21,2+2√21]， 对于任意 t ∈[2−2√21,2+2√21]，欲使 TA⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 此时 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤10，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 √25−∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣24， 必然与圆交于 P ，Q 两点，此时 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因此对于任意 t ∈[2−2√21,2+2√21]，均满足题意， 综上 t ∈[2−2√21,2+2√21]． 21. 根据题中 i =(1,0),c =(0,a )， 可知c +λi =(λ,a ),i −2λc =(1,−2λa ).因此，直线 OP 和 AP 的坐标分别为λy =ax,y −a =−2λax,消去参数 λ，得点 P 的坐标满足方程y (y −a )=−2a 2x 2,整理得x2 1 8+(y−a2)2(a2)2=1 ⋯⋯①因为a>0，所以得：（i）当a=√22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0<a<√22时，方程①表示椭圆，焦点E(12√12−a2,a2)和F(−12√12−a2,a2)为合乎题意的两个定点；（iii）当a>√22时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,12(a+√a2−12))和F(0,12(a−√a2−12))为合乎题意的两个定点．。
(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 函数
函数一、选择填空题1.（江苏2004年5分）若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则【 】(A) a =2，b =2 (B)a = 2 ，b =2 (C)a =2，b =1 (D)a = 2 ，b = 2 【答案】A 。
【考点】对数函数的单调性与特殊点。
【分析】将两点代入即可得到答案：∵函数y=log a （x+b ）（a ＞0，a ≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1）， ∴log a （－1+b ）=0，log a （0+b ）=1。
∴a =2，b =2。
故选A 。
【分析】用导研究函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值：∵2()330, 1f x x x '=-==±，且在[－3，－1）上()0f x >'，在（－1，0]上()0f x <' ∴函数13)(3+-=x x x f 在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数。
又∵(3)17, (1)3, (0)1f f f -=--==，∴函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17。
故选C 。
3.（江苏2005年5分）函数)(321R x y x∈+=-的反函数的解析表达式为【】A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 【答案】A 。
【考点】反函数。
【分析】由函数解析式解出自变量x ，再把 x 、y 位置互换，即可得到反函数解析式：∵()()11222223321log 31log 3log 3x x y y x y x y y --=+⇒-=⇒-=-⇒=--=- ∴)(321R x y x∈+=-的反函数为：22log 3y x =-。
2004年高考试题分类汇编(三角、向量答案)
2004年全国高考数学试题汇编三角、向量及参考答案1(2004年广东高考数学第1题)已知平面向量a =（3，1），b=（x ，–3），且a b ⊥ ，则x=（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 2（2004年天津高考数学·理工第3题，文史第4题）若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是︒180，且53||=b ，则=b A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-3（2004年天津高考数学·文史第14题）已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k 等于 。
4(2004年上海高考·文史第6题)已知点A(-1,5)和向量={2,3},若=3,则点B 的坐标为 . 5(2004年上海高考·理工第6题)已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向, =213,则点B 的坐标为 .6(2004年重庆高考数学·理工第6题，文史第6题)若向量 a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127（2004年湖南高考数学·理工第13题）已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 . 8（2004年湖南高考数学·文史第8题）已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，09(2004年上海高考·理工第1题，文史第1题)若tan α=21,则tan(α+4π)= . 10(2004年重庆高考数学·理工第5题，文史第5题)sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．211(2004年上海高考·理工第14题，文史第14题)三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ）A ．{x │x =2k π+3π,k∈Z}.B ．{x │x =2k π+35π,k∈Z}. C ．{x │x =2k π±3π,k∈Z}.D ．{x │x =k π+(－1)K,k∈Z}.12（2004年天津高考数学·理工第9题，文史第10题）函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ13(2004年上海高考·理工第5题，文史第5题)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 .14（2004年天津高考数学·理工第12题，文史第12题）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 A. 21-B.21 C. 23-D.23 15(2004年广东高考数学第5题)函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数16(2004年广东高考数学第9题)当04x π<<时,函数2cos ()xf x x x x =-的最小值是（ ）A ． 4B ．12C ．2D ．1417(2004年广东高考数学第11题)若tan 4f x x π=+（）（），则（ ）A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 18（2004年天津高考数学·理工第17题，文史第17题，本小题满分12分）已知21)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值。
04-10年江苏高考数学解析几何部分
13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ .18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是 ▲ ．18．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点T （t ，m ）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M （x 1，y 2），N （x 2，y 2），其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2－PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设1212,3x x ==，求点T 的坐标； （3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．1.如图，已知椭圆12:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，下顶点为A ，点P 是椭圆上任一点，圆M 是以2PF 为直径的圆．⑴当圆M 的面积为8π，求PA 所在的直线方程；⑵当圆M 与直线1AF 相切时，求圆M 的方程； ⑶求证：圆M 总与某个定圆相切．2.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.1、已知曲线22:1y C x a+=，直线:0l kx y k --=，O 为坐标原点．（1）若该曲线的离心率为2,求该的曲线C 的方程； （2）当1a =-时，直线l 与曲线C 相交于两点,M N ，试问在曲线C 上是否存在点Q 使得OM ON OQ λ+=？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由；2、已知双曲线c ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且(1)求双曲线的方程.(2)若有两个半径相同的圆12,c c ，它们的圆心都在x 轴上方且分别在双曲线c 的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为1-的直线l 与圆12,c c 都相切，求两圆12,c c 圆心连线斜率的范围.3、已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，N 为弦AB 的中点。
【十年高考】江苏04-13年高考数学真题分类汇编-排列组合、
排列组合、二项式定理、算法初步一、选择填空题 1.（江苏2003年4分）92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ▲ 【答案】212-。
【考点】二项式定理的应用。
【分析】根据题意，对于92)21(x x -，有T r+1=()29r 9r r r 9r 183r 9911C C 22x x x ----⋅⋅-=-⋅⋅（）（）， 令183r 9-=，得r=3， 当r=3时，有T 4=36999121C 22x x -⋅⋅=-（）。
∴9221(x x -的展开式中9x 系数是212-。
2.（江苏2003年4分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ▲ 种（以数字作答） 【答案】120。
【考点】分步乘法计数原理。
【分析】从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求：（1）若②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，∴共有N1=4×3×2×2×1=48种； （2）若③与⑤同色，则②④或⑥④同色，∴共有N2=4×3×2×2×1=48种； （3）若②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种。
∴共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种。
3.（江苏2004年5分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生 又有女生，则不同的选法共有【 】(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种 【答案】D 。
【考点】排列、组合及简单计数问题。
【分析】从7个人中选4人共47C 种选法，去掉不合题意的只有男生的选法44C 就可得有既有男生，又有女生的选法：47C －44C =34。
故选D 。
4.（江苏2004年5分）4)2(x x +的展开式中x 3的系数是【 】(A)6 (B)12 (C)24 (D)48 【答案】C 。
江苏省南京市溧水高级中学平面向量及其应用综合练习题 百度文库
一、多选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-6．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+7．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．9．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++D ．AB AC BD CD -+- 10．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-13．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 15．已知ABC ∆的面积为32,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°二、平面向量及其应用选择题16．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin lg 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形18．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定19．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D ．4414120．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．233B ．33C ．332D ．43321．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2322．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)23．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33)22B ．3(3)2 C ．3(3]2D ．3(3)224．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12- B ．12C ．-2D ．226．题目文件丢失！27．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 28．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．429．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆=，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．2393B ．2633C ．833D ．2330．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 31．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD -C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 32．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．12B ．1C ．22+ D ．233．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ABD 【分析】对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【 解析：ABD 【分析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确；对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．2．BCD 【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得73R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+- 1314(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.6．AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心解析：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的； 因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.7．ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图解析：ABD【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】 解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确； 对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个． 故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．8．AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得.故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得833a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.9．BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；对于选项D ：()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 10．ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解a a表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a表示与向量a 同方向的单位向量.11．ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】 第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得 解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.12．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 13．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】 对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确；对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<， 对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 14．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出sin A =即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A ==,所以13222A ⨯=,所以sin 2A =,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 17．C【分析】化简条件可得sin a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】lg lg lg sin a c B -==-，sin 2a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4Bπ∴=. 由正弦定理，得sin sin 2a A c C ==，3sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 化简得cos 0C =.()0,C π∈，2C π∴=， 则4A B C ππ=--=， ∴ABC 是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.18．B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sinb c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin bc B C=， 所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】AB =3 ==，222cos2AB BC ACBAB BC+-∴===⋅又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，sin BAD∠=，cos7BAD∴∠==，sin cos7DAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()17DC DC⨯=，解得：DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.21．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF=+-=+-+，求得()2113mAP AB m AD+=+-，再利用向量相等求解即可.【详解】连接AF，因为B，P，F三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF=+-=+-+，因为2CF DF=，所以1133DF DC AB==，所以()2113mAP AB m AD+=+-.因为E是BC的中点，所以1122AE AB BC AB AD=+=+.因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 22．B 【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 23．A 【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=，再化简cos sin A C+)3A π+，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即222a cb +-=，所以222cos 22a cb B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-553cos sin cos cos sin cos sin )66223A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以3)262A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3()22．故选A ．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<，不是02A π<<.24．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
2004高考平面向量
2004高考平面向量1．(2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （）A．B．C．D．42．（2004.湖北理）已知a、b、c为非零的平面向量. 甲：ab=ac,乙：b=c,则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．（2004. 福建理）已知a、b是非零向量且满足(a-2b) ⊥a，(b-2a) ⊥b，则a与b的夹角是（）A． B. C．D．4．（2004. 重庆理）若向量a与b的夹角为，|b|=4，（a+2b）(a-3b)=-72,则向量a的模为（）A．2 B．4 C．6 D．125、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l上的射影分别为和>，则λe，其中λ=（）A B C 2 D -2 6．（04. 上海春季高考）在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（）（A）①②（B）①④（C）②③（D）②③④7.(2004. 天津卷)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是，且|b|=,则b= ( )(A) (B) (C) (D)8.平面向量a,b中，已知a= (4，-3)，|b|=1，且ab=5，则向量b=______.9．（2004.湖南理）已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是10.（2004.上海理）已知A(1,-2)，若向量与a={2,3}同向,=2,则>点B的坐标为 ..11．（2004.湖北理）（本小题满分12分）在Rt△ABC中，，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.12. （04. 上海春季高考）（本题满分12分）在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.2005高考平面向量1．（全国卷Ⅱ）已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中等于（）A．2 B． C．－3 D．2．（全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（）A．（－2，4） B．（－30，25）C．（10，－5）D．（5，－10）3．（浙江卷）已知向量a≠e，|e| =1，对任意t∈R，恒有|a-t e|≥|a-e|，则（）(A) a⊥e (B) a⊥(a-e) (C) e⊥(a-e) (D) (a+e)⊥(a-e)4. （全国I）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点5.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6.（北京卷）若，且，则向量与的夹角为( )（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°7.（福建卷）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是（）A．5 B．－5 C． D．考试题分类解析（平面向量).files/image113.gif" >8.（江西卷）已知向量（）A．30°B．60°C．120°D．150°9.（全国卷Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =10. （全国卷III）已知向量，且A、B、C 三点共线，则k=11.（上海卷）直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是____。
江苏省溧水高级中学平面向量多选题试题含答案
江苏省溧水高级中学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.4．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEFBFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．1233BP BA BC =+C ．0PA PC ⋅>D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 6【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62. 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。
江苏省溧水高级中学平面向量多选题试题含答案
江苏省澡水高级中学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1. 已知向量方=(2,1)/ = (—3,1),则(【答案】ABD【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的汁算公式： 对于D:直接求单位向量即可.【详解】 对于 A ： a+D = (-l,2),・.・(a + b)・a = (-l)x2 + 2xl =(V ・ (a + b)丄 a ,故 A 正确: 对于 B ： •••方 + 2乙=(2,1) + 2(-3,1) = (-4,3),・・」5 + 2^1= 7(-4)2+32 = 5，故 B 正确:_ _ ah 2x(-3) + lxl V10对于C ：向量"在向量/，上的投影是777 = —^===-—,故C 错误：\b\ 7<"3)+1 2 W ♦故D 上确./故选：ABD.【点睛】 多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.2. 在△A3C 中，D 、E 分别是AC. BC 上的点，AE 与BD 交于0,且 而说=说西=西砸，AB + AC = 2AE^ CD = 2DA^ \AB\ = \9 贝ij () A.疋・BD = 0B ・ OA OE = O C. \OA + OB + OC\ = ^-【答案】BCD【分析】D.而在丽方向上的正射影的数量为冷 丄厶根据AB BC = BC CA = CA AB 以及正弦左理得到sinC• cos B = sin B• cosC ,从而求 出B = C,进一步得到B = C = A, A ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为3C A. (a + b)丄 aB. |方 + 2/；1=5C.向蠡在向邸上的投影是半D.向量方的单位向量是 (2^5 ⑹对于D:向量方的单位向量是的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】得阿•阿 cos 3 = |列.|BC | COS C ,I AB I cos 3 =1 CAI-cos C ,正弦定理，sinC ・cosB = sinB ・cosC , 0=sin （B —C ）,B = C,同理：A = C,所以B = C = A, A ABC 等边三角形.XB + AC = 2AE^ E 为BC 的中点，CD = 2DA^ D 为AC 的三等分点.。
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一、多选题1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C5．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．2π 6．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒8．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒10．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=11．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等12．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-13．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且30aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°18．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形19．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对21．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心 B ．内心C ．重心D ． 外心22．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)224．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A 2B 3C ．2D ．326．题目文件丢失！27．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ）A ．0B ．833C ．-4D ．428．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 30．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A ．393B 263C 83D ．2331．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．432．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）A 15B ．14C 3D 333．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC - C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误.故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.2．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．AD【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.6．AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；解析：AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,1a b a b a b⋅<>===⋅+又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.7．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC 【分析】由题意结合正弦定理可得sin 2C =，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】解析：AC 【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A正确；()22222a ba b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误；()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.10．ABD 【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解aa表示与向量a同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】aa表示与向量a同方向的单位向量，所以1aa=正确，//aaa正确，所以AB正确，当a不是单位向量时，aaa=不正确，cos0aa aa a a aa a a⋅==⨯=，所以D正确.故选：ABD【点睛】本题重点考查向量aa的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解aa表示与向量a同方向的单位向量.11．BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.12．AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，解析：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．CD 【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据解析：AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．15．无二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 17．D 【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以00b a a -=⎧-=,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．C 【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥， 故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 19．A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 20．B 【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 21．D 【分析】根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ∆的外心 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 22．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 23．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．D 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S SS S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题. 25．D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！26．无27．C 【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】 如图所示，AB AF2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()230,3,3,1,,33B FE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此()BFAEBF233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.28．D 【分析】 根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b bθ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ， 故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 29．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D. 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．30．A【分析】根据面积公式得到4c =，再利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理得到答案.【详解】1sin 42ABC S bc A c ∆==== 利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴=正弦定理：sin sin sin a b c A B C==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 31．B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=，所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．综上可得，正确的命题个数为2.故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案；【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 33．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.35．C【分析】 先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】 对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥， ()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC在CA方向上的投影为16 cos44BC CA BC CABC BCBC CA CAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅，故选C．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．。
江苏省溧水高级中学平面向量及其应用单元测试题(一) 百度文库
一、多选题1．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是43．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+4．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．如图，在平行四边形ABCD 中，,EF 分别为线段,AD CD 的中点，AF CEG =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =8．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-9．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥10．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形11．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33B a c b π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．1312．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( ) A 3B ．3C ．33D ．313．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量14．题目文件丢失！15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定18．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ）A ．MB ．NC ．D ．119．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-20．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=21．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形22．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2323．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=，则ABC 一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形25．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD -26．题目文件丢失！27．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．12-C ．2-D ．32-28．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆的面积为83③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径43R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个29．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1430．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8331．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B 33C ．33D 332．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.2．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠，故sin C =，因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin 2B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得24sin c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．3．ABD 【分析】A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 7．AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有∴，即C 错误同理，解析：AB【分析】 由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系8．AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项， 解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 9．BD【分析】 根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD【分析】 根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD .【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.10．AD【解析】【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故解析：AD【解析】【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，即||||CB AC AB =+，∴||||AB AC AC AB -=+，两边平方并化简得0AC AB ⋅=，∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.11．AC【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵，∴①，由余弦定理可得，②，联立①②，可得，即，解得或.故选：AC.【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①，由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=， 即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2a c =或12a c =. 故选：AC.【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.12．AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】 由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选：AD【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.14．无15．无二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =， 由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A AB B B B B B AB===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．17．B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.18．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0cc c ≥，所以2c ≥， 所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤， 所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.19．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.20．C【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】 ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G 为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．21．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 22．A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=， 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 23．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AM mAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n =，所以11AE AC EMCN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 24．C【分析】由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+， 所以()0BC AB AC ⋅+=，取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.25．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +， E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．26．无27．B【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以： ()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 故选：B.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．28．C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．【详解】4c =，3C π∠=，可得4832sin sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径43R =④正确；()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得3a =，3b =，则三角形的周长为4+；面积为123bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，可得3a =，3b =则三角形的周长为4a b c ++=+11sin sin 223333S ab C π==⋅⋅= 则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ．【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.29．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n +=解得13,44 m n==所以1344CP CA CD=+可得4AD PD=因为BPC∆与ABC∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP与AD之比所以BPC∆与ABC∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.30．C【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB⋅=，同理得出212AM AC AC⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E，连接ME，则AM AE EM=+且EM AB⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC⋅=，86cos6024AB AC⋅=⨯⨯=，由221212AM AB ABAM AC AC⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC ABAB AC ACλμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 31．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．D【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围.【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】 本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.35．A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
江苏十年高考试题总汇编03第三部分 平面向量
第三部分平面向量一．填空题（共10小题）1．（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则= ．2．（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为30°，，则向量和向量的数量积= ．3．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．4．（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为．5．（2011•江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．6．（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．7．（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．8．（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．9．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．10．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= ．二．解答题（共3小题）11．（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．12．（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．13．（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（1）若++=，求||；（2）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．第三讲平面向量参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则= 7 ．【解答】解：由题意得，=，∴=7．故答案为：7．2．（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为30°，，则向量和向量的数量积= 3 ．【解答】解：由题意知：=2×=3，故答案为：3．3．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．4．（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．5．（2011•江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：6．（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．【解答】解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：7．（2013•江苏）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=AB ，BE=BC ，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：8．（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是 22 ．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．9．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：10．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= 3 ．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．二．解答题（共3小题）11．（2010•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．【解答】解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，12．（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．13．（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．。
(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004-高考数学 真题分类汇编 不等式
不等式一、选择填空题1.（江苏2004年4分）二次函数y=ax 2＋bx ＋c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是 ▲ . 【答案】),3()2,(+∞--∞ 。
【考点】一元二次不等式与二次函数。
【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集：由表可设y=a （x ＋2）（x －3），又∵x=0，y=－6，代入知a=1。
∴y=（x ＋2）（x －3） ∴由ax 2＋bx ＋c=（x ＋2）（x －3）＞0得x ＞3或x ＜－2。
∴不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为：),3()2,(+∞--∞ 。
3.（江苏2006年5分）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立．．．．的是【 】 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 【答案】C 。
【考点】不等式恒成立的条件。
【分析】运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当0a b <-时不成立。
故选C 。
4.（江苏2006年5分）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 ▲【答案】{{}331x x <x x ---+=。
【考点】数函数单调性和不等式的解法。
【分析】∵221log (6)3log 8x x ++≤=，∴1068<x x ++≤，即12160x xx x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩。
解得{{}331x x x <x x ∈---+=。
5.（江苏2008年5分）若集合2A {|(1)37,R}x x x x =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素 【答案】6。
【考点】交集及其运算，解一元二次不等式。
【分析】先化简集合A ，即解一元二次不等式2(1)37x x -<+，再求与Z 的交集：由2(1)37x x -<+得2560x x --<，解得A (1,6)=-。
(十年高考)江苏省溧水县第三高级中学2004-高考数学 真题分类汇编 数列
数列一、选择填空题1.（江苏2004年4分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是▲ .【答案】2。
【考点】数列的求和。
【分析】根据a 4=S 4－S 3列式求解即可：∵S n =2)13(1-n a ，a 4=54，且a 4=S 4－S 3， ∴4311(31)(31)5422a a ---=，解得12a =。
2.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=【】A ．33B ．72C ．84D ．189【答案】C 。
【考点】等比数列的性质。
【分析】根据等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，可求得q ，根据等比数列的通项公式，分别求得3a ，4a 和5a 代入543a a a ++，即可得到答案：∵在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，∴3+3q +3q 2=21。
∴q =2。
∴132n n a -=⨯。
∴()234345322232884a a a ++=⨯++=⨯=。
故选C 。
3.（江苏2006年5分）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 ▲ 【答案】122n +-。
【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n 项和的公式。
【分析】∵)1(x x y n -=，∴1(1)n n y nx n x -'=-+。
∴曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线的斜率为()1212n n k n n -=-+，切点为（2，2n -）。
∴所以切线方程为()()122122n n n y n n x -⎡⎤+=-+-⎣⎦。
把0x =，n y =a 代入，得()12n n a n =+。
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平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的【】A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 。
【考点】向量的线性运算性质及几何意义。
【分析】∵AB AB、AC AC分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB AC AB AC+的方向与∠BAC的角平分线一致。
再由()AB AC OP OA ABACλ=++可得到()AB AC OP OA ABACλ-=+，即()AB AC AP ABACλ=+可得答案：向量AP 的方向与∠BAC的角平分线一致。
∴一定通过△ABC 的内心。
故选B 。
2.（江苏2004年4分）平面向量b a ,中，已知a =(4，－3)，b =1，且b a ⋅=5，则向量b = ▲ .【答案】43, 53⎛⎫- ⎪⎝⎭。
【考点】平面向量数量积的运算。
【分析】∵a =(4，－3)，∴5a =。
又∵b =1，b a ⋅=5，∴5cos , 151a b a b a b⋅===⨯⋅。
∴, a b 同向。
∴()1143 4, 3, 5553b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭。
3.（江苏2005年4分）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC)⋅+的最小值是 ▲ 【答案】－2。
【考点】向量与解析几何的综合应用。
【分析】如图，由向量的运算法则，得OA (OB OC)2OA OM 2OA OM ⋅+=⋅⋅=-⋅。
设OA x =，则由AM=2得，OM 2x =-。
则()()22OA (OB OC)2224212x x x x x ⋅+=--=-=--。
∴当x =1时，OA (OB OC)⋅+有最小值－2。
4.（江苏2006年5分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为【 】（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B 。
【考点】平面向量的数量积运算，抛物线的定义。
【分析】设P （x ，y ），0,0x y >>，M （－2，0）、N （2，0），MN 4=，则MP (2,), NP (2,)x y x y =+=-，由|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则224(2)4(2)0x y x +++-=，化简整理得x y 82-=。
故选B 。
5.（江苏2007年5分）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是【 】A ．①③ B．②④ C ．①④ D．②③6.（江苏2008年5分）已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ▲ ． 【答案】7。
【考点】向量的模。
【分析】根据向量的数量积运算公式化简后把已知条件代入求值即可∵()()()2222552510a b a ba ab b-=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，∴57a b -=。
7.（江苏2009年5分）已知向量a 和向量b 的夹角为30o，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅= ▲。
【答案】3。
【考点】平面向量数量积的运算。
【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可：03cos30233a b a b ⋅=⋅⋅=⋅⋅=。
8.（江苏2011年5分）已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a若0=⋅→→b a ，则k 的值为 ▲ 【答案】54k =。
【考点】向量的概念，向量的数量运算。
【分析】∵0=⋅，∴121212(2)()2(12)0e e k e e k k e e →→→→→→-⋅+=-+-⋅=,又∵→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，∴1221cos 32e e π→→⋅==-。
∴12(12)02k k ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，解得54k =。
9. （2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．【答案】2。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由2AB AF =，得cos 2ABAF FAB ∠=，由矩形的性质，得cos =AF FAB DF ∠。
∵2AB =，∴22DF =，∴1DF =。
∴21CF =-。
记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。
又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。
∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AEBF AEBF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯--=。
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10、（2013江苏卷10）10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
答案：10． 12二、解答题1.（江苏2008年附加10分）如图，设动点P 在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．【答案】解：由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则有(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D 。
由1(1,1,1)D B =-，得11(,,)D P D B λλλλ==-。
∴11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---。
显然APC ∠不是平角，∴APC ∠为钝角等价于 cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC∠=<>=<，则等价于PA PC <即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<。
∴λ的取值范围是1(,1)3。
【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离。
2.（江苏2010年14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
一、求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； 二、设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
【答案】解：（1）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4)AB AC AB AC +=-=，∴||210,||42AB AC AB AC +=-= 。
∴所求的两条对角线的长分别为42、210。
（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。
由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =- ∴115t =-。
【考点】平面向量的几何意义、线性运算、数量积。
【分析】（1）应用平面向量的加法运算法则可直接得到结果。
（2）应用平面向量的减法运算法则，求得(32,5)AB tOC t t -=++：应用两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和可直接得到结果。
3.（江苏2011年附加10分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA 2=，AB 1=，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．设二面角1A DN M --的大小为θ．（1）当90θ=时，求AM 的长；（2）当6cos 6θ=时，求CM 的长．【答案】解：建立以D 为坐标原点，DA ，DC,1DD 所在直线分别为z y x ,,轴的空间直角坐标系D xyz -。
设CM (02)t t =≤≤，则各点的坐标为()11A 1,0,0,A (1,0,2),N(,1,0)2,M(0,1,)t ，∴11DN (,1,0),DM (0,1,),DA (1,0,2)2t ===。
设平面DMN 的法向量为),,(1111z y x n =， 则1DN 0n ⋅=,1DM 0n ⋅=，即0,021111=+=+tz y y x ，令11=z ，则t y t x -==11,2，∴)1,,2(1t t n -=是平面DMN 的一个法向量。
设平面1A DN 的法向量为),,(2222z y x n =，AB CD 1A 1B 1C 1D N M则21DA 0n ⋅=，2DN 0n ⋅=，即02,022222=+=+y x z x ，令12=z ，则1,222=-=y x 。
∴)1,1,2(2-=n 是平面1A DN 的一个法向量，从而1521+-=⋅t n n 。
（1）∵90θ=，∴01521=+-=⋅t n n ，解得51=t ，从而1M(0,1,)5，∴2151AM 11()55=++=。
（2）∵6,15221=+=n t n ，∴12251cos ,6(51)t n n t -+=+。
∵θ=21,n n ，或θπ-=21,n n ，∴2516||66(51)t t -+=+，解得,0=t 或12t =。
∴根据图形和（1）的结论可知,21=t 从而CM 的长为21。
【考点】向量在几何中的应用。
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设CM=t （0≤t ≤2），通过1DN 0n ⋅=,1DM 0n ⋅=，求出平面DMN 的法向量为)1,,2(1t t n -=，由21DA 0n ⋅=，2DN 0n ⋅=求出平面A 1DN 的法向量为)1,1,2(2-=n ，推出1521+-=⋅t n n 。
（1）由90θ=求出M 的坐标，然后求出AM 的长。