2018秋八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时课时训练题新版北师大版
北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理(1)》课时训练(含答案)
1.1 探索勾股定理(1)在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？ 它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？一、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 二、填空题：4．在Rt ABC ∆中， ο90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；c ab ac b b c ba ac(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．三、解答题：6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b 2.7．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC 的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是7.” 还有一些同学也提出了不同的看法…… （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)参考答案： 一、选择题： 1.D 2.B 3.C二、填空题： 4.5; 10; 13; 25 5.169 三、解答题：6.中空正方形的面积为2)(a b -，也可表示为ab c 2142⨯-，∴2)(a b -=ab c 2142⨯-，整理得222c b a =+.7.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为7. （2）略。
北师大版初二上册数学 第1章 勾股定理 全章重点习题练习课件
8．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6， BE＝8，则阴影部分的面积是( C ) A．48 B．60 C．76 D．80
9．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝4，分别以 AC，BC 为直径作半 圆，两个半圆形的面积分别记为 S1，S2，则 S1＋S2 的值等于 ( A) A．2π B．4π C．8π D．16π
10．(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥直线 m 于点 E，BD⊥ 直线 m 于点 D.
(1)试说明：EC＝BD.
解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACE＋∠BCD＝90°.
因为 BD⊥m，AE⊥m，所以∠CDB＝90°，∠AEC＝90°.
【答案】C
9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 在网格中，顶点均为格点．求点 A 到直线 BC 的距离．
解：S△ABC＝4×5－12×2×5－12×2×2－12×3×4＝7. 因为 BC2＝32＋42＝52，所以 BC＝5.
设点 A 到直线 BC 的距离为 h. 因为 S△ABC＝12BC·h，所以12×5h＝7，解得 h＝154. 故点 A 到直线 BC 的距离是154.
11．(2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算 经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10， 则小正方形 ABCD 的面积是___4_____．
12．(2019·泰州)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4， BC＝8.
(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线(保留作图痕迹，不要求写 作法)；
【点拨】根据折叠的性质得到 AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，易证 △AEF≌△CDF，即可得到 FC＝FA.设 FA＝x，则 FC＝x， DF＝6－x.在 Rt△CDF 中，利用勾股定理得到关于 x 的方程为 x2＝42＋(6－x)2，解方程求出 x，进而可得 DF 的长．
2018年秋八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时探索勾股定理同步练习课件(新版)北师大版
9.6 ＝16，则三角形 ABC 的斜边 AB 上的高 CD 的长是________ ．
图 1－1－5
第1课时 探索勾股定理
9．教材习题 1.1 第 3 题变式如图 1－1－6 所示为一种“羊头” 形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等 腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和 ②，…，依此类推，若正方形①的面积为 64，则正方形⑤的面积为
第1课时 探索勾股定理
解：如图①，因为 CD⊥AB，所以 AD2＝AC2－CD2.因为 AC＝15，CD＝12，所以 AD2＝152－122＝81，所以 AD＝9.同理可求 BD＝5，所以 AB＝9＋5＝14，故△ABC 的周长＝14＋13＋15＝42. 如图②，因为 CD⊥AB，所以 AD2＝AC2－CD2.因为 AC＝15，CD＝12，所以 AD2 ＝152－122＝81，所以 AD＝9.同理可求 BD＝5，所以 AB＝9－5＝4，故△ABC 的周 长＝4＋13＋15＝32. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 32. ∴四边形 ABPF 是菱形.
2 2 2 2 2 2
B．a ＝c －b D．c ＝a ＋b
2 2
2
2
2 2
[解析] 由勾股定理 c2＝a2＋b2 及其恒等变形判断即可．
第1课时 探索勾股定理
2. 如图 1－1－1， 在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网 格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长为( A )
A．5 C．7
4 ________ ．
[解析] 第一个正方形的面积是 64，第二个正方形的面积 是 32，第三个正方形的面积是 16，…，第 n 个正方形的 64 面积是 n－1，故正方形⑤的面积是 4. 2
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理(1)
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理（1）专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．参考答案：。
八年级数学北师大版上册课时练第1章《探索勾股定理》 练习测试卷 含答案解析
课时练第1单元探索勾股定理一、选择题1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，则c的长是()A．5B．10C．12D．142．如图，在Rt△ABC中，下列结论中正确的是()A．AC2＝BC2＋AB2B．AB2＝BC2＋AC2C．BC2＝AB2＋AC2D．以上结论都不正确3．如果梯子的底端离建筑物5m，13m长的梯子可以达到该建筑物的高度是()A．12m B．13m C．14m D．15m4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为()A．13B．8C．5D．645．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为()A．18B．36C．65D．72二、填空题6．在△ABC中，∠C＝90°.(1)若BC＝8，AC＝15，则AB＝；(2)若BC＝3，AB＝5，则AC＝；(3)若BC∶AC＝3∶4，AB＝10，则BC＝，AC＝；(4)若AB＝2.5，AC＝2，则BC＝.7．底边长为16，底边上的高为6的等腰三角形的腰长为，这个等腰三角形的面积为.8．小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长5m，BC长4m，则A，B两点间的距离为m.9．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49cm2，则正方形A，B，C，D的面积的和是cm2.三、解答题10．如图，在Rt△ADE中，∠E＝90°，AE＝3，ED＝4，以AD为边在Rt△AED的外侧作正方形ABCD．求正方形ABCD的面积．11.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠DBC＝90°，AD＝6，AB＝8，BC＝24.(1)求DC的长；(2)求四边形ABCD的面积．13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则图中阴影部分的面积为.14．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是．15．探究：如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)．根据题意解答下列问题：(1)第5个正方形的面积S5＝；第9个正方形的面积S9＝；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S n的值．16．已知一个直角三角形的两边长为3和4，则斜边长的平方为()A．25B．7C．5或7D．25或16参考答案1——5BAABC6.（1）17（2）4（3）68（4）1.57.10488.39.4910.解：∵在Rt△ADE 中，∠E＝90°，∴AD 2＝AE 2＋DE 2＝32＋42＝25，∴AD＝5，∴正方形ABCD 的面积＝52＝25.11.解：如图所示，AB ＝10米，AC ＝6米，根据勾股定理得，BC 2＝AB 2－AC 2＝102－62＝64＝82，∴BC＝8(米)．∵8米＜9米，∴大树倒下时一定不能砸到张大爷的房子．12.（1）解：在Rt△ABD 中，AD ＝6，AB ＝8，∴BD 2＝AB 2＋AD 2＝82＋62＝100＝102，∴BD＝10.在Rt△DBC 中，BD＝10，BC＝24，∴DC 2＝BD 2＋BC 2＝102＋242＝676＝262，∴DC＝26.（2）解：四边形ABCD 的面积＝Rt△ABD 的面积＋Rt△DBC 的面积＝12AB·AD＋12BD·BC＝12×6×8＋12×10×24＝144.13.7614.2515.（1）16256（2）解：由S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，①.则2(S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n )＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝2＋22＋23＋ (2)，②②－①得：S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝2n －1.16.D。
2018秋八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第1课时课时训练题新版北师大版201809043103
第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理（1）基础导练1．如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝5，b ＝12，则c ＝ ． 3．如图，在下列横线上填上适当的值：m= n= y= x=m xy554041171586m= n= y=m y540411715m= n= m4041n=4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若34a b ， c ＝10，则a ＝ ，b ＝_______． 5．已知，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m ，乙往南走了120m ，这时甲、乙两人相距 ．6．一个长方形的一条边长为3cm ，面积为12cm 2，那么它的一条对角线长为 ． 7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为 ． 8．如图，阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．9C ．81D ．1009．直角三角形两直角边分别为5cm 和12cm ，则其斜边的高为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．8013cm D．6013cm 10．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠DBC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝12，则CD 为（ ）A ．5B ．13C ．17D ．18ABCD8题图 10题图能力提升11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C 偏离了想要到达的点B 有140m （即BC ＝140m ），其结果是他在水中实际游了500m ，求河宽为多少米？12．已知等腰△ABC ，AB ＝AC ，腰长是13cm ，底边是10cm ，求：（1）高AD 的长；（2）△ABC 的面积ABC S ．13．在△ABC 中AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长．14．已知一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．15．如图，在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．参考答案1．a 2＋b 2＝c 2；平方和等于斜边的平方 2．133．① 10 ② 8 ③ 9 ④ 9 4． 6；85．150m6．5cm7．128．C9．D10．B11．AB＝320m12．AD＝12cm；S△ABC＝30 cm213．△ABC的周长为42或32．14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理作业课件新版北师大版
解：由题意得AB＝30 m，AC＝50 m．由勾股定理得BC2＝AC2－AB2 ＝502－302＝402.于是BC＝40 m．此时小汽车的速度为40÷2＝ 20(m/s)．∵20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，∴这辆小汽车超速了
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AB＝ 5 cm，BC＝3 cm，求BD的长．
7．(2017·遵义月考)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相 距8米，一只鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行( B ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
8．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个 正方形的面积，则正方形A的面积是_2_0__，B的面积是___2_5_6___．
解：由勾股定理可以得到 AB2＝AC2＋BC2，∴AC＝4，由 S△ABC ＝12AC·BC＝12AB·CD，即12×4×3＝12×5×CD，∴CD＝152，∴ BD2＝BC2－CD2＝8215，∴BD＝95(cm)
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13， BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
60 D.13
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)当∠B＝90°时，三边关系为_____a_2＋__c_2_＝__b_2______； (2)当∠A＝90°，b＝3，c＝4时，a＝___5_； (3)当∠C＝90°，b＝4 m，c＝5 m时，a＝__3_m____．
5．如图，在△ABD中，∠D＝90°，点C是BD上一点，已知CB＝9， AB＝17，AC＝10，求AD的长．
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习
第一章勾股定理第1节探索勾股定理课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．34D．472．下列说法正确的是（）．A．若a、b、c是ABC的三边长，则222+=a b cB．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，则222+=a b cC．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90A∠=︒，则222+=a b cD．若a、b、c是Rt ABC△的三边长，90C∠=︒，则222+=a b c3．如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为()A．9B．8C．27D．454．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ） A ．25 B ．14C ．7D ．7或25 5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，正方形,AEDC BCFG 的面积分别为25和144，则AB 的长度为（ ）A ．13B ．169C ．12D ．56．在中Rt ABC △，90C ∠=︒，若4AC =，3BC =，则AB 的长为（ ）A ．5B ．5C ．6D ．77．在Rt ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ，C ∠的对边，若90A ∠=︒，则（ ） A ．222+=a b cB ．222b c a +=C ．222a c b +=D ．b a c +=8．△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．a b c +=B ．a b c +>C ．a b c +<D ．222+=a b c9．在Rt △ABC 中，若斜边AB ＝3，则AC 2+BC 2等于( )A ．6B ．9C ．12D ．1810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225 C ．365 D ．334 评卷人得分二、填空题 11．在直角三角形ABC 中，△C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．12．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．13．在由小方格组成的网格中，我们发现对直角三角形的三边，有“直角三角形两直角边的平方和等于______”结论成立，并通过拼图证明是正确的，我们把它叫做______定理．14．等腰三角形ABC的面积为212cm，底上的高3cmAD，则它的周长为______ cm．15．（1）如图所示，已知两个正方形的面积分别是144和36，则正方形A的面积为________；（2）如图所示，已知两个正方形的面积分别是225和81，则正方形B的面积为________.16．如图所示，图1中x的值为_______，图2中的y的值为_______.17．如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．18．若直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，则面积为______．19．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．评卷人得分三、解答题20．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，求()2a b+的值．21．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯．问：红地毯至少需要多少米？22．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？23．如图所示，3AC =，2BC =，5AD =，求正方形BEFD 的面积.24．规范表达（严格按格式）：如图，已知△A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积.25．已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.参考答案：1．D【解析】【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和.【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，△正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．故选D．【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键.2．D【解析】【分析】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.【详解】解：由勾股定理，A、没有确定直角和斜边，故A 错误；B、没有确定斜边，故B错误；C、斜边为a，则222a b c=+，故C错误；D、90C∠=︒，则a与b为直角边，c为斜边，则222+=a b c，故D正确；故选择：D.【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.3．A【解析】【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可．【详解】△正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，△根据图形得：2+4=x−3．解得：x=9．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键．4．D【解析】【分析】根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为22437-=，+=或者223425故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．5．A【解析】【分析】由正方形的面积公式可知AC2=25，BC2=144，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求AB2．即可得出AB的长．【详解】解：△在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，又△AC2=144，BC2=25，△AB2=25+144=169，△AB=169=13．故选A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．6．B【解析】【分析】Rt△ABC，△C＝90°，则根据勾股定理AB2＝AC2＋BC2即可求AB的长度．【详解】在直角△ABC中，△C＝90°，由勾股定理可得222224325AB AC BC=+=+=，所以5AB=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理在直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，△△A=90°，△b2+c2=a2．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．本题易忽视90A ∠=︒，受思维定式的影响，想当然地认为C ∠为直角，从而错选A.解答此类简单题时，一定不能掉以轻心，8．B【解析】【详解】对于任意一个三角形，三角形的三边关系满足：两边之和大于第三边.故选B.点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，特别要注意，不要把三角形看成是一个直角三角形，误认为三角形的三边满足勾股定理，很容易错选为D.9．B【解析】【分析】利用勾股定理将AC 2+BC 2转化为AB 2，再求值． 【详解】△Rt △ABC 中，AB 为斜边，△AC 2+BC 2＝AB 2，△AB 2+AC 2＝AB 2＝32＝9．故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出AC 2+BC 2＝AB 2是解决问题的关键．10．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB 的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C 到AB 的距离．【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：2215AB AC BC=+=，过C作CD△AB，交AB于点D，又S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，△91236155AC BCCDAB⋅⨯===，则点C到AB的距离是365．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．11．15【解析】【详解】2291215AB=+=12．5【解析】【详解】试题解析：如图，在Rt△OAB中，90AOB∠=，△OA=4千米，OB=3千米，△225AB AO BO=+=千米.所以甲、乙两人相距5千米.故答案为5.13．斜边的平方勾股【解析】【分析】根据勾股定理的内容，即可得到答案.【详解】解：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，我们把这个定理叫做勾股定理.故答案为斜边的平方，勾股.【点睛】本题考查了勾股定理的内容和证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理.14．18【解析】【分析】首先根据面积即可求得三角形的底边．根据等腰三角形的三线合一，即可求得底边的一半．再运用勾股定理求得等腰三角形的腰长，从而求得等腰三角形的周长．【详解】设底为a,则12a⋅3=12，a=8，△BD=2a=4,根据勾股定理得,AB=22AD BD+=2234+=5cm，△腰为5，△周长为5+5+8=18cm.【点睛】本题考查勾股定理和等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握勾股定理和等腰三角形的三线合一.15．（1）180（2）144【解析】【分析】（1）根据正方形面积可以求得两条直角边的平方，斜边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案；（2）根据正方形面积可以得斜边的平方和一条直角边的平方，则另一条直角边的平方根据勾股定理就可以计算出来，进而可得答案．【详解】（1）如图，根据题意，CD2=144，DF2=36，且△CDF=90°，△CF2= CD2+ DF2=144+36=180故A的面积为180.（2）如图，根据题意MN2=81，ML2=225，且△MNL=90°，△NL2=ML2-MN2=225-81=144故B的面积为144.【点睛】本题考查勾股定理，在本题中每一条边所对正方形的面积正好等于该边的平方，而三边的平方符合勾股定理.16．413【解析】【分析】（1）先根据勾股定理计算出x的平方，再计算x；（2）先根据勾股定理计算出y的平方再计算y.【详解】（1）因为图1为直角三角形，所以根据勾股定理x2+32=52，即x2=52-32=16，所以x=4；（2）因为图2为直角三角形，所以根据勾股定理y2=52+122=169,所以y=13.【点睛】本题考查勾股定理，在直角三角形中已知两直角边可根据勾股定理求出斜边（或斜边的平方）.17．12【解析】【详解】△直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，△另一直角边长=2215912-=，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12．18．260cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后利用直角三角形面积公式算出即可.【详解】∵直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为15cm，∴另一直角边长为：2217158-=cm，∴直角三角形面积为：11582⨯⨯=60 2cm，故答案为260cm.【点睛】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形的两条边长求出另一条直角边长度是解题的关键.19．17【详解】试题解析：根据勾股定理可知，△S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，△S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．△正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.20．25【解析】【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：a2+b2=13，ab×4=13-1=12，即：2ab=12，四个直角三角形的面积是：12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．21．需要爬行的最短路径是17cm.【解析】【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【详解】根据勾股定理,楼梯水平长度为2213512（米），则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为17m.【点睛】本题考查生活中的平移现象和勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和勾股定理. 22．（1）5；（2）24.【详解】试题分析：根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．试题解析：解：（1）根据勾股定理得：x 2＝32＋42＝9＋16＝25，解得：x ＝5或x ＝－5（舍去），则x ＝5；（2）根据勾股定理得：252＝72＋x 2，即x 2＝576，解得：x ＝24或x ＝－24（舍去），则x ＝24．23．12BEFD S =正方形.【解析】【分析】在Rt ABC ∆中根据勾股定理计算出AB 2的长度，在Rt ABD ∆中根据勾股定理计算出BD 2，从而得出正方形BEFD 的面积.【详解】在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得22222329413AB AC BC =+=+=+=.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得222251312BD AD AB =-=-=.所以212BEFD S BD ==正方形. 【点睛】本题考查用勾股定理计算线段的长度，在本题中利用勾股定理计算线段的长度时，可只求线段的平方.24．39【解析】【详解】试题解析：在RtΔABC 中，利用勾股定理BC 的长，再求出长方形BCDE 的面积即可.试题解析：在RtΔABC中，△A=90°，AB=12，AC=5，△BC=2222AC AB+=+=51213△长方形BCDE的面积=13×3=39.25．48cm2【解析】【详解】试题分析：先根据题意画出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可求解其面积．如图：等边△ABC 中BC="12" cm，AB="AC=10" cm作AD△BC，垂足为D，则D为BC中点，BD="CD=6" cm在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64△AD="8" cm△S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2)考点：本题考查的是勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。
八年级数学北师大版上册课时练第1章《探索勾股定理》 练习测试卷 含答案解析(1)
课时练第1单元探索勾股定理一、单选题1．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5B．12C．13D．153．如图，字母B所代表的正方形的面积是()A．12B．144C．13D．1944．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=5，BD=4，DC=2，则AC等于（）A．13B13C5D．55．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是()A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（）A B．2C D．3 28．若直角三角形的三边a、b、c满足a2，则第三边c的长度是()AB C D．5或139．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．2．5B．3C．4D．510．如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13B．26C．47D．94二、填空题11．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是_______．12．在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ．①若AC =61，CD=11，则AD=_____；②若CB=113，CD=15，则BD=_____；13．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，BC=2，则斜边AB 上的高CD=___________．14．如图已知长方形ABCD 中AB=8cm ，BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，则CE 的长为___________.15．如图所示的图形是由直角三角形和正方形组成的，其中正方形A 的面积为40，四个正方形中的8，x ，10，y 分别表示该正方形的面积，则x y +________.三、解答题16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：222AD AC BD =+.17．如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 上的一点，且25DAE °Ð=，65CBE °Ð=，4AE =，6BE =，求AB 的长．18．在ABC D 中，90BAC Ð=°，分别以Rt ABC D 的三边为直径作半圆.（1）若这三个半圆在BC 的两侧（如图所示），半圆的面积分别为1S ，2S ，3S ，则1S ，2S 之间有什么数量关系请说明理由.（2）若这三个半圆在BC 的同一侧（如图所示），Rt ABC D 的面积等于3S ，两个“月牙”的面积分别为1S ，2S ，则1S ，2S ，3S 之间有什么数量关系请说明理由.参考答案1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．A8．C9．C10．C11．13．12．601121314．3cm15．2216．证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD217．AB=18．（1）123S S S +=.理由如下：由题意得，22111228AB S AB p p æö==ç÷èø，22211228AC S AC p p æö==ç÷èø，22311228BC S BC p p æö==ç÷èø.在Rt ABC D 中，由勾股定理.得222AB AC BC +=，所以222111888AB AC BC p p p +=，所以123S S S +=（2）123S S S +=.理由如下：如图，由题意得，2214411228AB S S AB S p p æö=-=-ç÷èø，2225511228AC S S AC S p p æö=-=-ç÷èø，223454511228BC S S S BC S S p p æö=--=--ç÷èø在Rt ABC D 中，由勾股定理，得222AB AC BC +=，所以2224545111888AB S AC S BC S S p p p -+-=--，所以123S S S +=。
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第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理（1）
基础导练
1．如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______．
2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝5，b ＝12，则c ＝ ． 3．如图，在下列横线上填上适当的值：
m= n= y= x=
m x
y
55
404117158
6
m= n= y= m y
54041
1715
m= n= m
4041
n=
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若
3
4
a b ， c ＝10，则a ＝ ，b ＝_______． 5．已知，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m ，乙往南走了120m ，这时甲、乙两人相距 ．
6．一个长方形的一条边长为3cm ，面积为12cm 2，那么它的一条对角线长为 ． 7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为 ． 8．如图，阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．9
C ．81
D ．100
9．直角三角形两直角边分别为5cm 和12cm ，则其斜边的高为（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．
8013
cm D ．
6013
cm
10．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠DBC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝12，则CD 为（ ）
A ．5
B ．13
C ．17
D ．
18
A
B
C
D
8题图 10题图
能力提升
11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C 偏离了想要到达的点B 有140m （即BC ＝140m ），其结果是他在水中实际游了500m ，求河宽为多少米？
A
12．已知等腰△ABC ，AB ＝AC ，腰长是13cm ，底边是10cm ，求：
（1）高AD 的长；（2）△ABC 的面积ABC S ．
13．在△ABC中AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长．
14．已知一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．
15．如图，在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．
参考答案
1．a2＋b2＝c2；平方和等于斜边的平方
2．13
3．①10 ②8 ③9 ④9
4．6；8
5．150m
6．5cm
7．12
8．C
9．D
10．B
11．AB＝320m
12．AD＝12cm；S△ABC＝30 cm2 13．△ABC的周长为42或32．
14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．。