初中数学最新-平行线分线段成比例导学案 精品
新人教版初中数学导学案： 平行线分线段成比例定理
课题：27.2.1 平行线分线段成比例定理主编：审核：课型：新授课验收负责人：学习目标：1. 经历平行线分线段成比例定理的探索过程；掌握平行线分线段成比例定理.2. 掌握平行线分线段成比例定理的推论.学习重点：平行线分线段成比例定理及其推论.学习难点：平行线分线段成比例定理的探索过程以及定理的灵活应用.一、预习导学简记如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x，y及未知角的度数和相似比.二、学习研讨1.相似三角形定义在△ABC和△A’B’C’中，如果；即，我们就说△ABC 与△A ’B ’C ’相似，记作： ， 把 叫做相似比；若△ABC ∽△A ’B ’C ’，则△ABC 与△A ’B ’C ’的相似比为 , △A ’B ’C ’与△ABC 的相似比为 . 2. 平行线分线段成比例定理 探究：如图，任意画两条直线12,l l ，再画三条与12,l l 相交的平行线345,,l l l . 分别测量345,,l l l 在1l 上截得的两条线段得AB= ,BC= ， 在2l 上截得的两条线段得DE= ，EF= ， 计算得AB BC = ,DE EF = ,发现：AB BC DEEF任意平移5l ，再度量AB,BC,DE,EF 的长度，上述结论还成立吗? 简记 事实上，当3l ∥4l ∥5l 时，都可以得到AB BC DEEF，还可以得到平行线分线段成比例定理 符号语言：.(如图)符号语言：L 54L 545L 35L 3例 在△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE//BC ，DE 交AC 于点E. 求证：△ADE ∽△ABC （换课本练习1）三、巩固提高已知，如图，DE//BC ，AE=4cm,(1)若 ，求 EC (2)若 ，求 AC四、教（学）后反思A B C D E BCD E ABCD E 23AD AB =25AD BD =。
初中数学 导学案：平行线分线段成比例
平行线分线段成比例学习目标1．理解平行线分线段成比例定理．2．灵活运用定理解答题目．学习重点：平行线等分线段成比例定理及其应用．学习难点：平行线等分线段成比例的推导．学习过程：一、问题引入1．比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？2．什么叫成比例线段？二、问题探究探究一：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1，互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1，由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等吗？交流展示：探究点拨：设直线a∥b∥c,直线l1,l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB，BC和A1B1,B1C1，且AB=BC．过点Ｂ作直线l3∥l2,分别交直线a,c于点A2，C2，由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线之间的平行线段相等”可知A2B=A1B1，BC2=B1C1，再证明△BAA2≌△BCC2，从而得到A1B1=B1C1.归纳总结：平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相还等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．探究二：任意画两条直线l1,l2，再画三条与l1,l2相交的平行直线a,b,c，分别度量l1,l2被直线a,b,c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度，相等吗？任意平移直线 c ,再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与还相等吗？交流展示：探究点拨：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例．探究三：如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？交流展示：探究点拨：过点A作直线MN，使MN∥DE，利用平行线截线段成比例可得出结论．结论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例．三、实践交流例1．如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=,求B1C1的长．学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：由平行线分线段成比例可知：=，再将已知线段的值代入就可求出B1C1的长．例2．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：过C点作CE∥AD，交BA的延长线于点E，易得，再证明AE=AC．四、课堂小结1．本节课你有什么收获？2．平行线等分线段定理的内容是什么？3．平行线分线段成比例定理的内容是什么？4．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段有什么关系？五、达标检测必做题1．在ABCD中，AE交BC的延长线于点E，交DC于点F，若BC：CE=3：2，则CF：FD= ．2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，下列比例式正确的是（）3．如图，EF∥BC，AB∥DC，AE=9，BE=12，FD=10，则BF= ．4．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA=3：2，BF=6cm,则EF= ，EC= ．5．在ABCD中，E是AB延长线上一点，且13BEAE，若BC=6，求BF的长度．选做题如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD=2DE，求证：AP=3AB.。
平行线分线段成比例定理数学教案
平行线分线段成比例定理数学教案
标题：平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
1. 学生能理解并掌握平行线分线段成比例定理。
2. 学生能运用该定理解决实际问题。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：
平行线分线段成比例定理：如果一条直线截两条平行线，所得的对应线段成比例。
三、教学步骤：
1. 导入新课
通过复习以前学过的关于平行线的知识，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解新课
(1) 介绍平行线分线段成比例定理，并解释其含义。
(2) 利用教具或多媒体进行演示，帮助学生理解这个定理。
(3) 引导学生自己画图，尝试证明这个定理。
3. 巩固练习
设计一些习题让学生做，以此来检验他们是否真正理解了这个定理。
4. 拓展应用
引导学生将这个定理应用到实际生活中，或者解决其他数学问题。
四、教学反思：
在教学过程中，教师应关注学生的学习状态，适时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。
同时，教师也应鼓励学生积极思考，培养他们的创新精神和实践能力。
五、作业布置：
设计一些与本节课内容相关的习题作为家庭作业，以便学生巩固所学知识。
六、教学评估：
通过课堂观察、作业批改以及测试等方式，对学生的学习情况进行评估，及时反馈学习效果，为下一步的教学提供参考。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。
本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。
但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。
三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。
四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。
2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。
同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。
例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。
2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。
引导学生发现并总结定理的内容。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
《平行线分线段成比例》教案
《平行线分线段成比例》教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解平行线分线段成比例的概念。
2. 学会使用平行线分线段成比例的性质和判定方法。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生直观判断和逻辑推理能力。
2. 学会运用平行线分线段成比例解决实际问题。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 平行线分线段成比例的概念。
2. 平行线分线段成比例的性质和判定方法。
难点：1. 平行线分线段成比例的证明。
2. 运用平行线分线段成比例解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 教学素材（如图片、实例等）。
3. 练习题。
学生准备：1. 笔记本。
2. 尺子、圆规等作图工具。
四、教学过程：1. 导入：利用实例或图片，引导学生观察并思考：平行线如何分线段成比例？激发学生兴趣，引出本节课主题。
2. 新课讲解：（1）介绍平行线分线段成比例的概念。
（2）讲解平行线分线段成比例的性质和判定方法。
（3）通过实例演示，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的应用。
3. 课堂练习：布置一些有关平行线分线段成比例的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 拓展与应用：引导学生运用平行线分线段成比例解决实际问题，培养学生的应用能力。
五、课后作业：1. 巩固所学知识，完成课后练习题。
2. 搜集生活中的平行线分线段成比例的实例，下节课分享。
3. 预习下一节课内容。
六、教学评估：1. 课堂练习的完成情况，观察学生对平行线分线段成比例的理解和应用能力。
2. 课后作业的完成质量，检验学生对课堂所学知识的巩固程度。
3. 生活实例的分享，了解学生对平行线分线段成比例在实际生活中的应用。
七、教学反思：根据教学过程中的观察和评估，反思教学方法的适用性，是否存在需要改进的地方。
针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
八、教学拓展：1. 深入研究平行线分线段成比例在几何图形中的应用，如三角形、四边形等。
4_2平行线分线段成比例导学案
4.2平行线分线段成比例导学案学习目标1、在具体情境中探究平行线分线段成比例定理及其推论，并能初步应用它实行简单的计算。
2、培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的水平。
教法与学方合作学习的环境，提供探索问题的方法。
己发现问题进而解决问题的水平。
学习重难点重点：平行线分线段成比例定理及其推论的理解及应用。
.难点：平行线分线段成比例定理及其推论的探究。
学习过程模块一复习回顾1.成比例线段的定义：2.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2：3？模块二合作探究1.阅读教材P82例题,然后回答提出的问题：(1) 解：1223AA A A =＿＿＿＿＿，CE AE =＿＿＿＿＿； 1213A A A A =＿＿＿＿＿，1213B B B B =＿＿＿＿＿；2313A A AA =＿＿＿＿，2313B B B B =＿＿＿＿。
发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(2)猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
理由：(3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 类比得出：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
归纳总结： 平行线分线段成比例定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
a b cA 1A 2A 3B 1B 2B 3l 1l 2符号语言表示：两条直线l1,l2被直线a,b,c 所截(如上图),且a ∥b ∥c,则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
思考：(1) 如何理解“对应线段”(2)“对应线段”成比例都有哪些表达形式？(参照上图)答：(1) 对应线段是指所得的对应位置的线段成比例。
(2)形式有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
巧记方法：左上左下=右上右下，左上右上=左下右下，左上左全=右上右全，左下左全=右下右全。
2.阅读教材P82 做一做 ,然后回答提出的问题：成比例线段有：(1)A1A2,A2A3,A1C2,C2C3;(2)A1A2,A1A3,A1C2,A1C3;(3)A2A3,A1A3,C2C3,A1C3;(4)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(6)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(7)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(8)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(9)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；3.观察下面三组线段,你认为这些比例线段有什么联系?(参照上图)(1)A1A2,A2A3,A1C2,C2C3;(2)A1A2,A1A3,A1C2,A1C3;(3)A2A3,A1A3,C2C3,A1C3;认为：它们都是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
平行线分线段成比例导学案
平行线分线段成比例导学案
导学目标：
1、了解平行线分线段的成比例并掌握解决几何问题的证明方法；
2、通过动手量一量独立计算归纳总结扩展自主探索性质；
3、通过自主探索得出结论从而培养学生的探索和创新精神。
重点：1、掌握并理解平行线分线段成比例；
2、掌握归纳总结猜想证明这一学习方法。
难点：1、对平行线分线段成比例的理解；
2、理解归纳总结猜想证明的学习方法。
探索过程
一、 复习旧知
1、 已知线段a=4 ； b=3 ; c=6 ; d=2 ;这四条线段是比例线段吗？
二、 探索新知
1、 如图所示，已知直线a ∥b ∥c ，且直线a 与b 的距离和直线b 与c 的距离
相等，直线21,l l 被直线a, b, c 截得的线段分别为AB,BC 和11B A , 11C B , 量出线段AB, BC,11B A , 11C B 的长度，请问你发现了什么呢？你能证明你发现的结论吗?
文字叙述你的结论：
2、 将第1题中的直线c 向下平移得到下图，再量出线段AB, BC, 11B A ,1
1C B 的长度，求1
111C B B A BC AB 与的比值，你又发现了什么；这两个比能不能组成比例？你能证明你发现结论吗？
3、猜想一下，是不是所有的两条相交直线被在同一平面内的三条平行线所
截，都有第2题的结论呢？如果有你能证明吗？
C
E
B
F
D
A
通过做第2、3题你得到的结论：
小结：第1题的条件与第2、3题的条件有何区别？
想一想：要用第1题的结论需要满足什么条件？要用第2、3的结论需要满足什么条件？。
《27.2.1 平行线分线段成比例》教案、导学案、同步练习
27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例【教学目标】1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)【教学过程】一、情境导入如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：(1)△OAC和△OBD的相似比；(2)BD的长．解析：(1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长．解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，∴线段OA与线段OB是对应边，则△OAC与△OBD的相似比为OAOB＝42＝21；(2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．探究点二：平行线分线段成比例定理 【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CBAB的值； (2)求AB 的长．解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB .解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE∥BC得到ADAB＝AEAC，然后根据比例的性质可计算出AE的长．解：∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，即22＋5＝AE5，∴AE＝107.方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．探究点三：相似三角形的引理【类型一】利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，∴△DFC∽△EDA，∵AB＝3BE，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【类型二】利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O.(1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；(2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF＝6，则AD＝AF＋FD＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FOEO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念； 2．平行线分线段成比例定理及推论； 3．相似三角形的引理． 【教学反思】本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如 ∽ ;知道当与的相似比为时，与的相似比为．理解掌握ABC ∆'''A B C ∆ABC ∆'''A B C ∆k '''A B C ∆ABC ∆1k平行线分线段成比例定理.学习过程： 一.依标独学1.相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在与中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且． 我们就说与相似，记作∽，就是它们的相似比．反之如果∽，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且． 问题：如果，这两个三角形有怎样的关系？ 明确 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
最新沪科版九年级数学上册《平行线分线段成比例》教学设计(精品教案)
平行线分线段成比例教学目标：1.认知目标：掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”这一定理，理解线段比与面积比间的转换。
2.能力目标：a.能应用定理简单的证明和计算。
b.渗透操作——猜想——论证的科学研究方法，引导学生用运动的观点来看问题。
3.情感目标：a.激发学生学习数学、探索问题的兴趣，培养学生进行一定的问题研究能力。
b.通过讨论、实践等活动，培养学生的团结协作的精神，缩小师生间的距离，使学生和教师都成为问题的探索者和研究者。
教学重点：定理的证明及应用难点：定理的归纳和证明教学手段：利用PowerPoint、几何画板制作课件。
教学过程：一、引入：1、如图，△ABC中，若D是BC的中点，则S△ABD：S△= ，ACDS △ABD ：S △ABC = ，若D 是BC 上的点，S △ABD ：S △ACD = 。
2、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，找出面积相等的三角形。
B D CACn oA BD二、操作：（1）、画L1∥L2，直线AC 交L1于B 交L2于C ，截取AB=BC.过点A 作AD ⊥L1于D 交L2于E,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？EDCB A（2）、画△ACE,取AC 中点B ，过点B 作BD ∥CE 交AE 于D ，测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？EC DB A（3）、画△ACE,取AC 的三等分点B 即：AB=2BC.过点B 作BD ∥CE 交AE 于 D,测量出AD 和DE 的长度，你有何发现？（把实际问题转化为数学问题）（由特殊到一般有利于学生猜想、归纳）ED CB A2．猜想：（1）当41BCAB=时?DE AD = 当m n BC AB =时?DEAD = （2）BD 截AC 、AE 所得线段有何关系？ 三、归纳证明： 1.归纳：在△ACE 中如果BD ∥CE ，那么DEAD BCAB =命题：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
23.1 2.平行线分线段成比例+课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
1.基本事实:平行线分线段成比例
成比例
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段____________.
对点小练
1.如图,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E,B,D,F,下列结论不正确的是( B )
A. =
C. =
B. =
【举一反三】
(2024·青岛期末)如图,△ABC中,DE∥BC,AD∶BD=1∶3,则OE∶OB=( B )
A.1∶3
B.1∶4
C.1∶5
D.1∶6
【技法点拨】
平行于三角形一边的直线截三角形的两种基本图形
1.“A”字型
DE∥BC⇒ =
2.“X”字型
DE∥BC⇒ =
重点典例研析
【重点1】平行线分线段成比例定理(几何直观、推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P53例3拓展)如图,已知直线l1,l2,l3分别且l1∥l2∥l3.
(1)如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长;
(2)如果DE∶EF=2∶3,AC=25,求AB的长.
2.平行线分线段成比例
课时学习目标
1.掌握基本事实:两条直线被一组平行线
所截,所得的对应线段成比例
素养目标达成
几何直观、推理能力、运算能力
2.掌握平行于三角形一边的直线截其他两
边(或两边的延长线),所得的对应线段成比 几何直观、推理能力、运算能力
例
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
【自主解答】(1)∵l1∥l2∥l3,∴ = ,
平行线分线段成比例导学案
1.2平行线分线段成比例导学案【学习目标】1.弄清楚平行线分线段成比例定理的由来.2.能运用该定理解答相关问题；3.能欣赏数学表达式的对称美，理解类比的数学思想。
【重点】平形线分线段成比例定理； 【难点】三角形一边的平行线的性质和判定。
【使用说明与学法指导】1.认真阅读课本P 51-P 52，弄清楚平行线分线段成比例定理地由来；并将书本中重要的定理用双色笔画上横线；并完成导学案，完成过程中将疑惑记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑；2.通过预习A 、B 层能够完成导学案中的大部分问题，A 层能运用定理解答相关问题，B 、C 层能够弄清楚平行线分线段成比例定理的由来并会进行简单计算。
预 习 案一、预习自学1.什么是平行线分段线成比例定理？2.根据平行线分线段成比例定理，试写出图中的比例式。
A CD FBEB CE A D BC FEA BCD二、我的疑惑 探 究 案探究一：如图：DE ‖BC,当图中的点A 与点F 重合时，形成一个三角形的特殊情形，此时，AD 、DB 、AE 、EC 这四条线段之间会有怎样的关系？并说明理由。
思考：如图：直线DE 和直线AC 相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段？ABCDE (F) EA B CD通过探究，我们可以得出结论：探究二：如图，1l ‖2l ‖3l ，AB=4,DE=3,EF=6,求BC 的长。
小结：说说求线段的方法：拓展延伸:如图：E 为 ABCD 的边CD 延长线上的一点，连结BE ，交AC 于点O,交AD 于点F 。
求证：BOEOFO BO 小结：1l 2l 3l A BCD EF知识方面：数学思想方面：。
2022年初中数学精品导学案《平行线分线段成比例2》导学案
4.2 平行线分线段成比例学习目标：1、了解两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一根本领实证明方法.2、能利用根本领实及推论决简单的实际问题.学习重点：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一根本领实和推论的简单应用. 学习难点：定理证明思路的寻求过程.☆ 预习导航 ☆一、链接1、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：S △ABC = S △BCD .2、写出平行线等线段这个根本领实的内容。
二、导读阅读课本内容并答复以下问题：1、试着证明平行线分线段成比例定理.1、 试证明两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一根本领实.☆ 合作探究 ☆1、如图，AD ∥BE ∥CF,AB:BC = 2:3，AD = 6，CF = 11，那么BE 的长为多少？2、如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，AE= 41AB ，EM 的延长线与BC 的延长线交于点D ，求证：BC = 2CD.☆ 归纳反思 ☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆ 达标检测 ☆1、如图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD=3cm ，BD=6cm ，DE=2cm.求BF 的长.2、：如图，在△ABC 中，点D 是BC 边中点，点F 是AD 中点，求BF ：FE 的值.第1课时 相似三角形中的对应线段之比一、学习目标：1、熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2、并能用来解决简单的问题。
二、学习过程：1、知识点：相似三角形的性质〔1〕 相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2） 相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 2、例题讲解：例1：钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图1，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高.〔1〕B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ 〔2〕△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. 〔3〕请你在图1中再找出一对相似三角形. 〔4〕D C CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图1解：〔1〕B A AB ''=C B BC ''=C A AC''=_________. 〔2〕△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵_______=_______=_______∴△ABC ∽△A ′B ′C ′( )，且相似比为___________. 〔3〕△BCD ∽△B ′C ′D ′.〔或△ADC ∽△A ′D ′C ′〕 ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得∠______=∠______ ∵∠________=∠________=_____°∴△BCD ∽△B ′C ′D ′( )〔同理△ADC ∽△A ′D ′C ′〕 〔4〕∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD''= ________=________. 小结1: 假设△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′是它们的__________，那么D C CD ''=C B BC''=k . 3．知识拓展：求证1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''= CA AC''=k . 图2∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠________, ∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠__________=∠__________∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴D C CD ''= CA AC''=k . 求证2：如图3中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，那么D C CD ''= C A AC''=k . 图3∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠_______=∠_______，CA AC''= B A AB ''=k .∵CD 、C ′D ′分别是_________ ∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k .∴△ACD ∽△A ′C ′D ′( ) ∴D C CD ''= C A AC''=k . 小结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.图4例2：如图4所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？ 解： 三、达标测评：1．△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，23=，，CA AC ，B ′D ′=4cm ，求BD 的长。
2022年初中数学精品导学案《平行线分线段成比例 2》导学案
4.2 平行线分线段成比例学 习 目 标1、 知道平行线分线段成比例的根本领实及其推论，并会灵活应用。
2、通过应用，培养识图能力和推理论证能力重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
． 【学习过程】一、复习设疑，引入新课（1）什么是成比例线段？〔2〕你能不通过测量快速将一根绳子分成两局部，使得这两局部的比是2:3？二、小组活动，探究定理1. 探究活动一：内容：如图〔1〕小方格的边长都是1，直线a ∥b ∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。
计算 12122323,A A B B A A B B 你有什么发现？将ｂ向下平移到如以下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。
你在问题〔１〕中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？备注〔教师复备栏及学生笔记〕备注〔教师复备栏(图2〕在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳：平行线分线段成比例定理2.探究活动二：内容：如图3，直线a ∥b∥c ，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。
过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。
〔如图4 〕，图4中有哪些成比例线段？〔图3〕(图4〕推论：三、学以致用例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC, 及学生笔记〕备注〔教师复备栏及学生笔记一、导学上节课我们学习了线段的大小比拟和线段的和、差、倍、分，本课我们继续探讨线段的有关性质.我们来看下面生活中的情景：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用有关数学知识来说明这个问题.今天，我们一起来学习有关线段的根本领实——两点之间，线段最短.2.三维目标：〔1〕知识与技能知道两点之间的距离和线段中点的含义.〔2〕过程与方法利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.〔3〕情感态度初步应用空间与图形的知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题，体会研究几何图形的意义.4.自学指导：〔1〕自学范围：教材第128页“思考〞至第129页的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本，联系生活实际理解领会相应结论.〔4〕自学参考提纲：①两点的所有连线中，线段最短，简写成：两点之间，线段最短.②用“＞〞“＜〞或“=〞填空：如图，在△ABC中，AB+AC＞BC，AB+BC＞AC,BC+AC＞AB.你能说明其中的道理吗？两点之间，线段最短.③你能举例说明“两点之间，线段最短〞的实际应用吗？与同学们交流一下.道路尽可能需要修直一点.④什么叫两点间的距离?“连接两点间的线段，叫做这两点间的距离〞这一说法是否正确？为什么？连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.不正确，漏掉了线段的“长度〞，线段不是距离.二、自学同学们可结合自学指导进行学习.三、助学1.师助生：〔1〕明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.〔2〕差异指导：根据学情进行针对性指导.2.生助生：小组同学间相互交流研讨、互助解疑难.四、强化1.两点之间，线段最短.2.两点间的距离的意义，注意“数〞与“形〞的区别.3.练习：教材第130页第8题.五、评价1.学生的自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：两点之间线段最短这一性质是度量的根底，在生产实际中经常要用到，这节课主要是让学生体验两点之间线段最短这一性质以及两点间距离的概念.经历从具体事例抽象出性质，再根据性质应用到具体事例的活动过程，体会从具体到抽象，再由抽象到具体的辩证关系.教科书分层次的安排了这些内容，本节课学生只要能根据具体事例判断能否利用两点之间线段最短这一性质，以及利用这一性质进行规划设计即可.此外，两点间距离的概念，学生一般也容易理解.本节课的目的是通过学习，进一步开展学生的空间观念，学生逐渐形成对空间图形与平面图形的认识与区别，体会现实生活中处处有图形，处处有数学.在这一课教与学的过程中，教师应积极渗透自主学习探索、合作交流、实践创新的学习理念，通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展〞的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学——在教室里学习数学——到生活中运用数学〞这一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，开展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心.一、根底稳固1.〔10分〕把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是〔C〕A.两点之间，射线最短C.两点之间，线段最短D.两点之间，直线最短2.〔10分〕以下说法正确的选项是〔D〕3.〔10分〕如图，从A出发到B时，最近的路是〔C〕→C→D→B →C→F→E→B→C→E→B →C→G→B4.〔10分〕如图，河流l两旁有两个村庄A、B,现要在河边修一个水泵站，同时向A、B两村供水，问水泵站修在什么地方才能使所铺设的管道最短？试在图中标出水泵站的位置.解：如下图，将水泵站修在C点〔C点有两个，即河流l与线段AB相交的两个点，标在图上任何一点均可〕，才能使所铺设的管道最短.二、综合应用5.〔15分〕A、B、C三点在同一直线上，如果线段AB=6 cm，BC=3 cm，A、C两点的距离为d，那么〔C〕A.d=9 cmB.d=3 cmC.d=9 cm或d=3 cm6.〔15分〕如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.解：如下图.7.〔15分〕平面上有A，B两点,且AB=7 cm.(1)假设在该平面上找一点C，使CA+CB=7 cm,那么点C在何处？〔2〕假设使CA+CB＞7 cm,那么点C在何处？〔3〕假设使CA+CB＜7 cm,那么点C在何处？解：〔1〕点C在线段AB上；〔2〕点C在线段AB外；〔3〕不存在这样的点C.三、拓展延伸8.〔15分〕如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿外表爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由.由A爬到B，沿AB连线直接爬行.如果要爬行到顶点C，有三种情况：假设蚂蚁爬行时经过面AD，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，与棱a(或b)交于D1〔或D2〕,蚂蚁沿AD1→D1C(或AD2→D2C)爬行，路线最短.类似地，蚂蚁经过面AB和AE爬行到顶点C，也分别有两条最短路线，因此，蚂蚁爬行的最短路线有6条.。
3.2 平行线分线段成比例导学案 九年级数学上
3.2 平行线分线段成比例【学习目标】1.使学生掌握基本事实：平行线分线段成比例.2. 使学生了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.【预习导学】预习教材P68—P71的内容，完成下列问题.二.探究展示（一）.引入新课由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么 . （注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．）下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．（二）.新知探究1.做一做：1）在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂直，观察l1被各条横线分成的线段是否相等.2）再画一条直线l2（与l1不平行），那么l2被各条横线分成的线段有何关系？结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.2.定理证明：已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC求证： DE=EF证明：过E作GH∥AC，分别交l1.l3于点G.H定理的符号语言∵直线l1∥l2∥l3，AB=BC∴ DE=推论: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BC，则F是AC的中点，EF是△ABC的中位线.对应练习：1.若AB∥CD∥EF，AC=CE，则 BD=DF=AC=CE.( )2.已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG= ，H是的中点，F是的中点.3.已知AD∥EF∥BC，且AE=BE，那么DF= .4.已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，那么BO= 厘米.三.知识梳理以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.平行线分线段成比例？定理 .四.当堂检测1.已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CM交AB于N，如果AB=6厘米，则PN= 厘米.2.已知△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD交BC于E，DF∥CB交AB于F，AF=4厘米，则AB= 厘米.7.已知：平行四边形ABCD中，E.F分别是AB.DC的中点，CE.AF分别交BD于M.N，求证：BM=MN=ND.（学生合作推导,总结得出）【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？。
人教九年级下册数学-平行线分线段成比例导学案
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例学习目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线分线段成比例定理.学习过程：一.依标独学1.相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比．反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果1k =，这两个三角形有怎样的关系？明确 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆∽'''A B C ∆;（3）相似比是带有顺性和对应性的：当ABC ∆与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与错误!未找到引用源。
的相似比为1k． 二、围标群学（课堂导学）实验探究：(1) 如图,任意画两条直线1l , 2l ,再画三条与1l , 2l 相交的平行线3l , 4l ，5l 分别量度3l , 4l ，5l 在1l 上截得的两条线段AB, BC 和在2l , 上截得的两条线段DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?任意平移5l , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, :AB BC 与:DE EF 相等吗?(2) 问题，()::AB AC DE =，()::BC AC DF =．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
2022年北师版数学《平行线分线段成比例》精品教案
4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的根本领实及其推论；〔重点〕2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.〔难点〕一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，假设AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DEEF ，即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如下图，直线l 1∥l 2∥l 3，以下比例式中成立的是〔 〕A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AFBE 可知B 选项不成立；由CE DF ＝BCAD可知C 选项不成立；D 选项成立.应选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全〞或“上上＝下下＝全全〞.探究点二：平行线分线段成比例的推论如下图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，假设AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，那么AC 等于〔 〕解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.应选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE.解析：此题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，那么BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE .∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BD CE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，那么可以直接应用平行线分线段成比例的根本领实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，那么需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的根本领实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧根本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个根本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，开展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 一、学生起点分析本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于根本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习. 二、教学任务分析本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中的等量关系.在实际生活中经常会遇到类似本节情境的问题，最关键的是抓住变化中的不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程.教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系.特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有根底分组独立完成，然后请各小组汇报:四个小问题的解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材的处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.三、教学目标1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.环节一：创设情境，引入新课活动内容：情境1：成语“朝三暮四〞的故事〔附内容：从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每一天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子快乐他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下一个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个方法，并且把这个方法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很是生气，呲牙咧嘴的.没方法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听快乐得直打筋斗.〕问题1：猴子为什么快乐了？这其中有什么数学奥秘吗？情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水〔容量一样，A短而宽，B长而窄〕.问题2：请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？教师拿出两个相同的量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对的同学，不好意思的笑了.教师：不要紧张，现在还有一个时机证明自己.情境3：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长〞的圆柱体，然后再让这个“瘦长〞的圆柱“变矮〞，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考以下几个问题：●在你操作的过程中，圆柱由“高〞变“低〞，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？●在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？活动目的：让学生在愉快地玩的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.活动的实际效果：学生能够感受到：两瓶形状不一样的矿泉水体积是一样的，手里的橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.环节二：运用情景，解决问题活动内容：张师傅将一个底面直径为20厘米、高为9厘米的“矮胖〞形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长〞形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？〔在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.〕活动目的：将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节的解方程方法解决实际问题.活动的实际效果：学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面的表格来帮助分析.由实验操作环节知“锻压前的体积＝锻压后的体积〞，从而得出方程. 解：设锻压后的圆柱的高为xcm ，由题意的 π×2220）（×9＝π×2210）（×x,解之，得 x=36.黑板上两组学生中有一组学生将π的值取3.14，带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！（1） 此类题目中的π值由等式的根本性质就可以约去，无须带具体值；（2） 假设题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.环节三：操作实践，发现规律 活动内容：学生用预先准备好的40厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比拟小组内四个同学的计算结果，你发现了什么？ 活动目的：我们知道:学生自己亲手经历操作后的感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手、眼、脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察、分析、归纳、总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂的问题中的道理就在我们玩的过程中，就在我们的生活中. 活动的实际效果：由学生的实际操作得到的近似值已反映出来一个很好的规律.学生：由操作过程，同学们作出的长方形形状有“胖〞有“瘦〞，反映到表中数据为：当长方形的周长一定，它的长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大.当长与宽一样长时面积最大.过程感悟：不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下标准解题过程了，学生的理解远比直接先讲教材的例题效果要好的多.〔此处教师可用几何画板来完成〕环节四：练一练，体验数学模型活动内容：课本例题例1：一根长为10米的铁丝围成一个长方形.1.假设该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？2.假设该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与〔1〕中所围成长方形相比，面积有什么变化？3.假设该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?它围成的长方形的面积与〔2〕中相比，又有什么变化？4.如果把这根长为10米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题的关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？活动的实际效果：因为有了环节三的铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好.完整的解题过程留成课后作业.环节五：课堂小结1.通过对“我变高了〞的了解，我们知道“锻压前体积＝锻压后体积〞，“变形前周长等于变形后周长〞是解决此类问题的关键，其中也蕴涵了许多变与不变的辩证的思想. 2.遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.3.学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.环节六：布置作业1.2.思考：地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形.如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么所钉长方形的长，宽各是多少？面积是多少？五、教学反思1.创造性地使用教材.本节课的引入新颖自然，通过两个实验〔情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化〕，使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实验的观察，发现了在物体形状变化时的不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中的表格发给每个小组，为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论的得出起到辅助作用.本节课的设计中，通过学生屡次的动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识的根底上探求新内容，探索的过程是没有难度的任何学生都会动手操作，每个学生都有体会的过程，都有感悟的可能，这种形式让学生切身去体验问题的情景，从而进一步帮助学生理解比拟复杂的问题，再把实际问题抽象成数学问题.本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生的求知欲望，课堂气氛活泼，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己的想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改良.。
初中数学 【导学案】4.2平行线分线段成比例
a b dHc G C E F DB A 平行线分线段成比例 研学案自学提示：1. 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b ∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 。
根据勾股定理可得：A 1A 2=B 1B 2= A 2A 3= B 2B 3= A 1A 3= B 1B 3= （1）所以=3221A A A A 3221B B BB = 由此你能得到的结论是 （2）所以=3121A A A A 3121B B BB 由此你能得到的结论是 （3）所以=3132A A A A 3132B B BB = 由此你能得到的结论是 2.将直线ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。
你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？图（2） 图（3）3.如图（3）在平面上任意做几条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳：有如下事实： 必做题：1.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且 EF ∥BC,（1）如果AE = 7, EB=5， FC = 4 ，那么AF 的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC 的长是多少？A BCEF(1)BE CF D A B (2)F C E A D2.如图，已知l 1321////l l l BF AE DF CE BD AC ==BCDEEC AE DB AD ==图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB ECAB AC = D ．BCDE DB AD =5.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CDCE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．126.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．167.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 上的点，且 DE ∥BC, 第7题图 （1）如果AD = 3.2cm, DB = 1.2cm ，AE=2.4cm,那么EC 的长是多少？ （2）如果AB = 5cm, AD=3cm ，AC = 4cm ，那么EC 的长是多少？8.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB图3 图4图5 ABCD E OP N M C B A。
初中数学 导学案2：平行线分线段成比例
A C FEBD L 1 L 2L 3A C FE BD L 1 L 2 L 3平行线分线段成比例一、学习目标1.掌握平行线分线段成比例的基本事实及应用.2.平行线分线段成比例定理的正确性的说明. 二、学习重点:平行线分线段成比例的基本事实及理解. 三、学习难点:平行线分线段成比例的基本事实及应用. 四、教学过程 （一）知识回顾学法指导：独立思考，自主完成，然后同桌互相检查，有问题组内解决。
1．若线段a,b,c,d 是成比例线段，则可列比例式为 ；若a=3㎝，b=4㎝，c=6㎝，则d=___________㎝.2．已知23x y =，则x x y =+ ，y y x=- . 间的距离处处 .3.已知：如图，直线L 1请你用全等的知识说明: AB=BC,DE=EF.（二）自主探究学法指导：独立思考,自主完成,有困难组长或组员帮助解决.在上面的4题中 ，ABBC与DE EF 之间有什么关系？你还发现有其他的比例线段吗？探究一：已知：如图，直线L 1（1）怎样用线段表示直线L 1、L 2 之间的距离？怎样用线段表示直线L 2、L 3 之间的距离？（2）你能添加一条直线L 4 把L 2、L 3 之间的距离等分吗？ （3）AB BC = ，DEEF= 。
A EFDCB ACFEBD L 1 L 2L 3AFEBD L 1 L 2L 3C（4）AB BC 与DE EF之间有什么关系？ （5）你还发现有其他的比例线段吗？探究二：学法指导：首先自己独立思考，然后小组之间讨论交流，相互学习，做好总结。
已知：如图，直线L 1（1）AB BC = ，DEEF= 。
（2）AB BC 与DEEF之间有什么关系？ （3）你还发现有其他的比例线段吗？探究三：先自己独立思考，然后小组之间讨论交流，相互学习，做好总结。
已知：如图，直线L 1m ≠n ）（1）AB BC = ，DE EF = 。
（2）AB BC 与DE EF 之间有什么关系？（3）你还发现有其他的比例线段吗？ 通过以上的学习，你有什么发现吗？请把它写下来： 。
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23.1.2 平行线分线段成比例
（新授课1课时）
一、教学内容：
①平行线等分线段定理；
②平行线分线段成比例定理；
③平行线分线段成比例推论.
二、教学目标：
1、知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，
并能用其解题；
2、过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题；
3、情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过
程，培养欣赏数学表达式的对称美。
三、教学重、难点：
1、重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用；
2、难点：定理的推导证明。
四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板
五、教法：讲练结合法
六、教学过程：
活动一：复习旧课
成比例线段：
a)概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc)
b)比例的性质：
l1
l2
l3
m n
F
E
D
C
B
A 基本性质：a c ad bc b d =⇔= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d
++=-- 等比性质：1
23
1231231
23
123(0)
k k
k k k
a a a a a a a a
b b b b b
b b b b b b b ++++=
===
=++++≠++++
活动二：创设情境，引入新课
问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？
即：已知l 1∥l 2∥l 3
AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ）
推导见右图 （平移m 证全等）
（引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。
那如果所截得的线段不等呢?这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习
问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论？
l1
l2
l3m n
m'
C'
(B')
A'
F
E D
C
B A
4
321
1、板书：12AB BD = ,12EF FH = →1
2
AB EF BD FH == 2、仿上可得：
板书：13AB AD = ，13EF EH =→13
AB EF AD EH == （引导结论）：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
↓
平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的
对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）
理解：①一组：3条及以上，通常为3条 ②对应：上对上，下对下，全对全
即：===上上上上下下
，，下下全全全全
（反比性质亦成立） 例1（强化“对应”的记忆）
如图l 1∥l 2∥l 3根据图形写出成比例线段
解：AB
,DE
BC EF
BC EF
AB DE
== ,AB DE
AC DF
AC DF AB DE == ,BC EF
AC DF
AC DF
BC EF
==
例2：（根据基本定理求线段的长）-新课堂11题
如图，已知直线a ∥b ∥c,直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交与点
A ，
4
2
1
3
2
1
C ，E ，B ，
D ，F ，AC=4,CE=6,BD=3，求BF 的长。
解：∵a ∥b ∥c
∴AC BD AE BF
= ∴
BF=()(46)315
42
AE BD AC CE BD AC AC ⋅+⋅+⨯=== 活动四：扩展升华，变式思考
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例（证明）。
如图：
（
1
）
(2)
例3（推论应用）-新课堂3
如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上ED//BC,已知AE=6,3
4
AD BD =,则EC 的长是（ ）
A ．4.5 B.8 C.10.5 D.14 例4（综合应用）--新课堂7
如图，在△ABC 中,已知MN//BC ，DN//MC ，小红同学由此得出了以
c
b
a
下四个结论：
（1）AN AM CN AB = （2）AD
DN
DM
MC
=
（3）AM AN MB NC = （4）DN MN MC BC
= 其中正确的结论有（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个
例5（综合应用）
如图，在菱形ABCD 中，BE=DF ，DE 和CB 的延长线相交于点G.求
证GE GB
BF CD
= 。
A
C
活动五：知识反馈，课堂练习 完成新课堂剩余题目 活动六：课堂小结 本课学习的主要内容有：
1. 平行线等分线段定理
2. 平行线分线段成比例定理
3. 平行线分线段成比例定理推论 着重注意线段的对应关系。
思路：欲证结论，先证BF=DE ，CD=CB 证BF=DE 方法：。