材料力学(第八章)(06)
《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
材料力学第八章
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
材料力学：第八章-应力应变状态分析
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学-第8章应力状态与强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述
关于脆性断裂的强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
零件或构件在载荷作用下，没有明显的破坏 前兆（例如明显的塑性变形）而发生突然破坏的 现 象 ， 称 为 断 裂 失 效 （ failure by fracture or rupture）。
Mechanics of materials
材料力学
材料力学
第 8章
基础篇之八
应力状态与强度理论 及其工程应用(B)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
什么是“失效”；怎样从众多的失效现象中寻找失效 规律；假设失效的共同原因，从而利用简单拉伸实验结果， 建立一般应力状态的失效判据，以及相应的设计准则，以 保证所设计的工程构件或工程结构不发生失效，并且具有 一定的安全裕度。这些就是本章将要涉及的主要问题。
2 1 3
max 1 ( 1 0)
= b
o max b
失效判据 强度条件
1 b
1
b
nb
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂
第二强度理论又称为最大拉应变准则（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
max
o max
(1 0)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
材料力学笔记(第八章)
材料力学（土）笔记第八章 组合变形及连接部分的计算1．概 述工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理工程实际中，经常需要将构件相互连接铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算这种简化计算的方法，称为工程实用计算法2．两相互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为1y M F x = 和 2()z M F x a =-梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为'yyM z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=-式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标则由上式可得中性轴方程000yz yzM M z y I I -=由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线其与y 轴的夹角为θ，且tan tan y y z I I z M y M I I θϕ==⨯= 对于圆形、正方形等y z ，有由于梁各横截面上的合成弯矩M 所在平面的方位一般不相同所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩计算 确定中性轴位置后，作平行于中性轴的两条直线，分别与横截面周边相切于两点该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点对于工程中常用的矩形、工字型等截面梁其横截面都有都有两个互相垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴 在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力之后由于危险点处于单轴应力状态，可按正应力强度条件计算横截面上的切应力，对于一般实体截面梁，其数值较小，可不必考虑3．拉伸（压缩）与弯曲3.1 横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时，杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形对于弯曲刚度EI 较大的杆，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小因此，由轴向力在相应挠度上引起的弯矩可略去不计可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力按叠加原理求其代数和，即得在组合变形下，杆横截面上的正应力max ,max N t t b F M A Wσσσ=+=+ 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件对于弯曲刚度EI 较小的杆件，在压缩和弯曲组合变形下轴向压力引起的附加弯矩较大，且其转向与横向力引起的弯矩相同因此不能按杆的原始形状来计算，叠加原理也不再适用3.2 偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩 横截面具有两对称轴的等直杆承受矩截面形心为e （称为偏心距）的偏心拉力F 为例 先将作用在杆端截面上A 点处的拉力F 向截面形心1O 点简化得到轴向拉力F 和力偶矩Fe ，将力偶矩分解为ey M 和ez Msin ey F M Fe Fz α==cos ez F M Fe Fy α==式中，坐标轴y 、z 为截面的两个对称轴F y 、F z 为偏心拉力F 作用点（A 点）的坐标于是的得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系此力系将分别使杆发生轴向拉伸和在两相互垂直的纵对称面内的纯弯曲当杆的弯曲刚度较大时，同样可按叠加原理求解在上述力系作用下任一横截面n-n 上的任一点(,)C y z 处相应于轴力N F F =和两个弯矩的正应力，由叠加原理，的C 点处的正应力F F y zFz z Fy y F A I I σ⨯⨯=++ 利用惯性矩与惯性半径间的关系 2y yI A i =⨯，2z z I A i =⨯ 式子可改写为22(1)FF y zz z y y F A i i σ=++ 上式是一个平面方程，表明正应力在横截面上按线性规律变化应力平面与横截面相交的直线（沿该直线0σ=）就是中性轴令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标，代入即得中性轴方程002210F F y z z y z y i i ++= 在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线为定出中性轴的位置，可利用其在y 、z 两轴上的截距y a 和z a在上式中，令00z =，相应的0y 即为截距y a ，而令00y =，相应的0z 即为截距z a 由此求得2z y F i a y =-，2y z Fi a z =- A 在第一象限内，F y 、F z 都为正值，则y a 、z a 均为负值即中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切两切点即为横街面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点将危险点的坐标代入公式即可求得最大拉应力和最大压应力对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定 最大拉应力,max t σ和最大压应力,max c σ，其值为,max ,max t F F c yz Fz Fy F A W W σσ⎫⎪=±±⎬⎪⎭ 式子对箱型、工字形等具有棱角的截面都适用当外力的偏心距（F y 、F z ）较小时，中性轴可能不与横截面相交即横截面就可能不出现与轴力异号的应力由于危险点仍处于单轴应力状态，可按正应力的强度条件进行计算3.3 截面核心如前所述，当偏心轴向力F 的偏心距较小时，杆横截面上就可能不出现异号应力 因此当偏心压力F 的偏心距较小时，杆的横截面上可能不出现拉应力外力作用点离形心越近，中性轴距形心就越远当外力作用点位于截面形心附近的一个区域内时，就可以保证中性轴不与横截面相交，这个区域就称为截面核心当外力作用在截面核心的边界上时相对应的中性轴正好与截面的周边相切，利用这一关系就可确定截面核心的边界为确定任意形状截面的截面核心边界，可将与截面周边相切的任一直线视作中性轴 在y 和z 形心主惯性轴上的截距分别为1y a 和1z a可确定与该中性轴对应的外力作用点1按上述方法求得与其对应的截面核心边界上的点2、3、…的坐标连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界该边界曲线所包围的带阴影线的区域，即为截面核心圆截面对于圆心O 时极对称的，因此，截面核心的边界对于圆心也是极对称的为一圆心为O 的圆作一条与圆截面周边相切于A 点的直线，将其视为中性轴取OA 为y 轴，于是，该中性轴在y 和z 形心主惯性轴上的截距为1/2y a d =， 1z a =∞圆截面的222/16y z i i d ==，将其代入公式即得与其对应的截面核心边界上点1的坐标2211/16/28z y y i d d a d ρ=-=-=-，2110y z z i a ρ=-= 从而可知，截面核心边界是一个以O 为圆心，/8d 为半径的圆对于边长为b h ⨯的矩形截面，两对称轴y 和z 为截面的形心主惯性轴将与AB 向切的直线①视作中性轴，其在y 和z 轴上的截距分别为，矩形截面2212yb i =，2212z h i = 将上式代入，即得中性轴①对应的截面核心边界点上点1的坐标为2211/12/26z y y i h h a h ρ=-=-=-, 2110y z z i a ρ=-= 同理，分别将与矩形边界相切的直线②、③、④视作中性轴可得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标从而得到了截面核心边界上的4个点当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时 将得到一系列通过边界点B 但斜率不同的中性轴而B 点的坐标(,)B B y z 是一系列中性轴共有的 将其代入中性轴方程，经改写后得2222110F F B B B B F F y z y z z y z y z y z y i i i i ++=++= 上式中，B y 、B z 为常数 因此该式就可看作时表示外力作用点坐标(,)F F y z 间关系的直线方程即当中性轴绕B 点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界截面核心为位于截面中央的菱形对于具有棱角的截面，均可按照上述方法确定其截面核心对于周边有凹进部分的截面（例如槽型或T 字型截面等）在确定截面核心边界时，应该注意不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线显然约横截面相交4．扭转与弯曲一般的传动轴通常发生扭转与弯曲组合变形讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算直径为d 的等直圆杆AB ，A 端固定，B 端具有与AB 成直角的刚臂，并受铅垂力F 作用，将F 简化为一作用于杆端截面形心的横向力F 和一作用于杆端的力偶矩e M Fa = 杆AB 将发生弯曲与扭转组合变形分别作杆的弯矩图和扭矩图，可见杆的危险截面为固定端截面，内力分量分别为M Fl =， e T M Fa ==由弯曲和扭转的应力变化规律可知危险截面上的最大弯曲正应力σ发生在铅垂直径的上、下两端点对于许用拉应力，压应力相等的塑性材料来说，该两点的危险程度相同 研究任一点，围绕该点分别用横截面、径向纵截面和切向纵截面截取单元体 该点应力状态如图所示，可见该点处于平面应力状态，其三个主应力为132σσσ⎫=⎬⎭ 20σ= 对于塑性材料制成的杆件，选用第三或第四强度理论来建立强度条件用第三、第四强度理论，将上述各应力代入向相应的应力表达式求得相当应力后，即可根据材料的许用应力[]σ来建立强度条件，对杆进行强度计算 其中弯曲正应力/M W σ=，扭转切应力/p T W τ=，对于圆截面杆2p W W =截面周边各点处弯曲正应力的数值和正负号都将随着轴的转动而交替变化这种应力称为交变应力，交变应力下工作的构件另有相应的计算准则5．连接件的实用计算法5.1 剪切的实用计算设两块钢板用螺栓连接后承受拉力F螺栓在两侧面上分别收到大小相等、反向相反、作用线相距很近的两组分布力系的作用 螺栓在这样的作用下，将沿两侧外力之间，并与外力作用线平行的截面m-m 发生相对错动称为剪切面应用截面法，可得剪切面上的内力，即剪力s F在剪切实用计算中，假设剪切面上各点处的切应力相等 于是剪切面上的名义切应力为S sF A τ=式中s A 为剪切面面积，s F 为剪切面上的剪力 通过试验得到剪切破坏时材料的极限切应力u τ，除以安全因数，得许用应力[]τ 剪切强度表示为[]S sF A ττ=≤ 名义切应力并不反映剪切面上切应力的精确理论值只是剪切平面上的平均切应力但对于低碳钢等塑性材料材料制成的连接件，变形较大而临近破坏时剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀而且满足剪切强度条件式，不至于发生剪切破坏，从而满足工程需要对于大多数的连接件来说，剪切变形及剪切强度时主要的5.2 挤压的实用计算螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压 在接触面上的压力，称为挤压力，并记为bs F挤压力可根据被连接件所受的外力，由静力平衡条件求得当挤压力过大时，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动失效在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为bs bs bsF A σ= 式中，bs F 为接触面上的挤压力；bs A 为计算挤压面面积当接触面为圆柱面时，计算挤压面面积bs A 取为实际接触面在直径平面上的投影面积 理论表明，这类圆柱状连接件与钢板孔壁间接触面上的理论挤压应力沿圆柱的变化情况如图 计算所得的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近当连接件与被连接构件的接触面为平面时，计算挤压面面积即为实际接触面的面积 通过试验，按名义挤压应力公式得到的材料的极限挤压应力，除以安全因数确定许用挤压应力[]bs σ，则挤压强度条件可表达为[]bs bs bs bsF A σσ=≤ 注意，挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度6．铆钉连接的计算铆钉连接在建筑结构中被广泛采用铆接的方式主要有搭接、单盖板对接和双盖板对接三种搭接和单盖板对接中的铆钉具有一个剪切面（称为单剪）双盖板对接中的铆钉具有两个剪切面（称为双剪）6.1 铆钉组承受横向荷载在搭接和单盖板对接中，由铆钉的受力可见铆钉（或钢板）显然将发生弯曲在铆钉组连接中，在弹性变形阶段两端铆钉的受力与中间铆钉的受力并不完全相同 为简化计算，并考虑到连接在破坏前将发生塑性变形，在铆钉计算中假设①不论铆接的方式如如何，均不考虑弯曲的影响②若外力的作用线通过铆钉组横截面的形心，且同一组内各铆钉的材料与直径均相同，则每个铆钉的受力相等 按照上述假设，即可得每个铆钉的受力1F 为1F F n= 式中，n 为铆钉组中的铆钉数求得每个铆钉的受力1F 后，即可分别校核其剪切强度和挤压强度被连接件由于铆钉孔的削弱，其拉伸强度应以最弱截面（轴力较大，截面积较小）为依据 不考虑集中应力的影响对于销钉或螺栓连接，其分析计算方法与铆钉连接相同6.2 铆钉组承受扭转荷载承受扭转荷载的铆钉组，由于被连接件（钢板）的转动趋势每一铆钉的受力将不再相同令铆钉组横截面形心为O 点 假设钢板的变形不计，可视为刚体于是，每一铆钉的平均切应变与该铆钉截面中心至O 点的距离成正比，其方向垂直于该点与O 点的连线由合力矩定理，每一铆钉上的力对O 点力矩的代数和等于钢板所受的扭转力偶矩e M ，即 e i i M Fe Fa ==∑式中，i F 为铆钉i 所受的力；i a 为该铆钉截面中心至铆钉组截面形心的距离对于承受偏心横向荷载的铆钉组可将偏心荷载F 向铆钉组截面形心O 简化得到一个通过O 点的荷载F 和一个绕O 点旋转的扭转力偶矩e M Fe =若同一铆钉组中每一铆钉的材料和直径均相同则可分别计算由力F 引起的力'i F 和由转矩e M 引起的力''i F铆钉i 的受力为'i F 和''i F 的矢量和求得铆钉i 的受力i F 后，可分别校核受力最大的铆钉的剪切强度和挤压强度。
材料力学第08章 动载荷与交变应力
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P P a g
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
2
st
2h 为动荷因数 其中 K d 1 1
st
Fd d Kd P st
Fd K d P
第八章
动载荷与交变应力
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节
概述 构件受加速度作用时的动应力 构件受冲击时的动应力计算 疲劳破坏及其特点
第五节
第六节 第七节
材料的持久极限
影响构件持久极限的因素 构件疲劳强度计算
总结与讨论
第一节 概述
一、基本概念
1、静荷载:荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各 质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载: 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定 （包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大. 3、交变应力：构件内的应力随时间作交替变化。 4、疲劳失效：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生突 然断裂。
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
材料力学-第八章截面核心
1
几何法
通过数学方法计算复杂非圆形截面的核心位置，可以使用几何法来近似计算。
2
面积法
根据材料的面积分布，在考虑不同区域的面积权重的基础上，进行非圆形截面核心的准确定 位。
3
数值模拟
借助计算机模拟和有限元分析等数值方法，可以更精确地计算非圆形截面的核心位置。
直线和曲线截面核心的计算方法
直线截面核心
对于直线截面，可以通过几何方法或面积法计算截 面核心的位置。
曲线截面核心
对于曲线形状的截面，可以借助数学公式和数值模 拟等方法来确定截面核心的位置。
截面核心的应用和意义
准确计算和确定截面核心的位置对于结构设计、受力分析、以及结构的稳定 性和承载能力评估等方面具有重要意义。它是设计和分析工作的基础。
截面核心在结构设计中的作用
确定结构的静力特征
截面核心的位置能够帮助确 定结构的受力情况和承载能 力，为结构设计提供准确依 据。材料力Fra bibliotek-第八章截面核 心
欢迎来到材料力学第八章的世界！本章将探讨截面核心的基本概念、计算方 法、应用意义，以及在结构设计中的作用。
截面核心的基本概念
截面核心是指截面图形的几何中心点，对于各种结构的计算和分析具有重要意义。通过准确计算截面核心的位 置，可以确定结构的受力情况和性能。
非圆形截面核心的计算方法
案例二
利用截面核心的计算方法，解决 了高层建筑结构的稳定性问题， 确保了建筑的安全性。
案例三
在截面核心的指导下，优化了钢 结构的设计方案，实现了结构的 轻量化和高效化。
2 复杂几何形状的处理
对于复杂几何形状的截面，可以借助计算机辅助设计软件和有限元分析等工具来求解截 面核心的位置。
材料力学第8章-弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
1. 基于弯曲正应力的分析结果——承认纯弯 正应力公式在横向弯曲时依然成立。
Mzy
Iz
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
2. 因为薄壁截面杆的内壁和外壁都没有力作 用，应用剪应力互等定理，横截面上的剪应力作 用线必然沿着横截面周边的切线方向。
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
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第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
梁弯曲时横截面上的剪应力分析 实心截面梁的弯曲剪应力公式 薄壁截面梁的弯曲中心 结论与讨论
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
薄壁杆件弯曲时为什么会发生扭转现象？ 外力的作用线通过哪一点就不会发生扭转？ 这一点的位置怎样确定？
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
通过考察微段的局部平衡确定剪应力流的方向
TSINGHUA UNIVERSITY
横向弯曲时，梁的横截面上不仅有弯矩，而 且还有剪力。与剪力相对应的，梁的横截面上将 有剪应力。
分析弯曲剪应力的方法有别于分析弯曲正应 力的方法。
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析模型－开口薄壁截面梁
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
梁的刚度设计的方法
梁的刚度设计可以采用多种方法，包括链接刚度法、等位弯矩法和等位剪力 法。这些方法根据不同的设计要求和结构特点选择使用。
• 链接刚度法：根据梁的端部连接方式和约束条件，计算刚度。 • 等位弯矩法：根据梁结构的弯矩分布，确定刚度。 • 等位剪力法：根据梁结构的剪力分布，确定刚度。
梁的刚度设计的实例分析
材料力学第8章梁的位移 分析与刚度设计
欢迎来到材料力学第8章的学习，今天我们将讨论梁的位移分析和刚度设计。 通过深入了解这些内容，您将掌握梁的变形规律和如何设计具有所需刚度的 梁结构。
梁的位移分析的目的
梁的位移分析旨在确定在给定荷载下梁结构的变形和位移。这有助于评估结 构的稳定性和合理性。
梁的位移分析方法
梁的位移分析可以使用多种方法进行，包括三公式法、超柔度法和部分均布 荷载法。每种方法都有其适用的情况。
• 三公式法：适用于较简单的力学模型。 • 超柔度法：适用于复杂的结构和不规则荷载。 • 部分均布荷载法：适用于均布荷载作用下的梁结构。
梁的刚度设计的原理
梁的刚度设计的原理是通过合理的截面设计和荷载分配来提供所需的结构刚 度。刚度设计旨在确保结构在服役荷载下具有合适的刚度和稳定性。
梁的位移分析与刚度设计的相关工程实例
最后，我们将探讨一些实际工程案例，展示梁的位移分析和刚度设计在真实项目中的应用。通过这些实例，您 将பைடு நூலகம்好地理解梁结构设计的挑战和解决方案。
让我们通过一些实例分析来加深对梁刚度设计的理解。使用不同的方法，我 们将设计和评估具有所需刚度的梁结构，并探讨设计选项的优劣。
梁的刚度设计的注意事项
在进行梁的刚度设计时，需要注意以下几点： • 合理的截面选择：选择适当的截面形状和尺寸，以满足刚度要求。 • 约束条件的考虑：考虑梁的端部约束条件对刚度的影响。 • 侧刚度的满足：确保梁在侧向荷载作用下具有足够的刚度。 • 梁的稳定性分析：分析梁结构的稳定性，确保其在设计荷载下不会失稳。
材料力学第八章
FN F zF z F yF y A Iy Iz
式中 A为横截面面积;
C
y
Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;
（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;
（z，y）为所求应力点的坐标.
四、中性轴的位置
FN F zF z F yF y A Iy Iz
z
z
F/A
y
FzF/Wy
z FyF/Wz y
y
FN
(a)
My
(b)
Mz
(c)
（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定
最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处。无需先确定中性轴的位置，直接观察确定危险点的位置 即可
i ay yF
中性轴
2 z
2 iy az zF
（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧
z (yF , zF )
O
az ay
y
z
中性轴
O
外力作用点
z
D1(y1,z1) y
中性轴
y
D2(y2,z2)
（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点
C
Fx 0 Fy 0
FNAB F
FRAx 0.866F FRAy 0.5 F
A 1.2m F
30°
B
D 1.2m
FRAy
FNAB
30°
Fy
B
AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面.最大压应力 FRAx A 发生在该截面的上边缘 F
(06)北航材料力学第八章PPT课件
max
T WP
计算相当应力(塑性材料)：
r3 242
(M)2 4( T )2
Wz
2Wz
M2 T2 []
W
r4 232
M20.75T2 []
W
如果要考虑剪力的影响，如何处理？
对于非圆截面轴的弯扭组合问题如何处理？ERIALS
弯拉(压)扭组合(圆轴)：
y
1、弯拉扭组合；
o F
y
T1 F1 z
F2 T2
横截面的剪心
15
MECHANICS OF MATERIALS
§8-5 薄壁圆筒的强度与变形计算
受内压的薄壁圆筒:
p
p
δ D
t x
D——内直径 σx ——轴向正应力
δ——壁厚（ δD/20 ） σt——周向正应力
16
➢ 薄壁圆筒的轴向应力：
p
p
MECHANICS OF MATERIALS
max W TP
弯曲(对称弯曲)：
My
IZ
ma x W M Z
Q S z() I zb
m a2 3 x Q A (矩 ) 形 m a4 3 x Q A (圆 ) 形
4
MECHANICS OF MATERIALS
四、强度计算：将应力叠加，找出危险点，画出危险点
的应力状态，计算相当应力。
弯扭组合(圆轴)：
F1 y R1
R2 x F2
a/2
a
1、外力分析： 将各横向力向轴线简化， 根据平衡方程，求出各外载荷的大小
a
z y F1 M1
M2 x
F2y
F2z
Mx 0
F 1R 1 F 2 zR 2 F 2sin R 2
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学第08章-06
内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一
条平面曲线。
F1
F2
C
纵向对称面
§8–2 双对称轴梁非对称弯曲
z y x
lF
z y
F
§8–2 双对称轴梁非对称弯曲 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两
个正交的平面弯曲。
z y
x
x
lF
z y
Mzx x My
zy x
My
z
Fy
y
y
z
z
D
t max
y
y
y
My
Mz
c max
合应力： M y z M z y D
最大正应力在D和D´点
ma xm a xm ax
Iy Iz
max
My Wy
Mz Wz
最大正应力在D和D´点
maxm axm ax
z
max
y
δ154.153.443.42.49
查表得：
Wy692(cm3)
[例1] 已知：32a工字钢，l =2m，F=33kN， =15°，
[]=170MPa，校核梁的强度。
z
yF
l
l
zF
y
z
y Fz
Fy
A
B
l
l
zF
y
Fzl
2
+ My
y
Fy
F yl
2
A
B
MZ
+
l
l
z
y Fz
解： 危险截面在跨中
3
323.76106
材料力学(I)第八章
组合变形及连接部分的计算
21
例题 8-7
F Fbs n
而挤压应力为
s bs
Fbs F / n (140 103 N ) / 3 Abs d (10 10 3 m )(16 10 3 m )
292 106 Pa 292 MPa 其值小于许用挤压应力[sbs] 300 MPa，满足 挤压强度条件。
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
§8-5 连接件的实用计算法
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算
*§8-7 榫齿连接
材料力学(Ⅰ)电子教案组合变形及连 Nhomakorabea部分的计算
3
§8-5 连接件的实用计算法
图a所示为工程中常见的两块铁板用螺栓连接 的形式，现在我们研究问题是---有那些破坏形式。
材料力学(Ⅰ)电子教案
I. 需要保证连接处承压 面的压缩强度，并注意 到木材为正交异性材料， 其斜纹许用压应力小于 顺纹许用压应力。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
29
压缩强度条件为
FN sc [s c ] Ac
式中，FN为承压面上的压力；Ac为承压面面积； [sc] 为木材的斜纹许用压应力，下角标 为承压面 上压力[sc]与木纹之间的夹角；木结构设计规范中 对FN随 的变化有规定。
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
1
第 8 章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互 垂直平面内的弯曲
§8-2+ 平面弯曲的条件
§I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学(Ⅰ)电子教案
组合变形及连接部分的计算
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eq3 2 4 2
(8 - 7)
eq4 2 3 2
(8 - 9)
A B
T
M
M 2 T 2 eq3 ( ) 4( ) W Wt M 2 T 2 eq4 ( ) 3( ) W Wt
τ T σ M
P
A B l m
∵
Wt 2W
r3
(8 - 9)
拉扭组合
B
压扭组合
N 2 T 2 eq3 ( ) 4( ) A Wt N 2 T 2 eq 4 ( ) 3( ) A Wt
(2). 拉（压）扭组合变形强度条件 （a）第三强度理论强度条件
eq3
N 2 T 2 ( ) 4( ) A Wt
（2）. 第四强度理论强度条件
r4
M 2 0.75T 2 W
4. 强度条件的适用范围 适用范围：实心和空心圆形截面杆的弯扭 组合变形强度问题
5. 拉伸（或压缩）与扭转的组合 (1). 危险的应力状态及相当应力
A
eq3 2 4 2
(8 - 7)
eq4 2 3 2
2 2 6 1 0 . 3 10 4 1.2310
84.9MPa [ ]
安全
[例7] 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，轮子
直径D1=400mm，P1=1.2kN，P1=2P2，[]=120MPa，
试用第三强度理论校核此轴的强度。 20ºP z y
P2 D1
4F
A
Me
M e 3F D F D 2 2
FD 0.5kN m
4F
A Me a a a
Me
M 0.6 (kNm)
T 0.5 (kNm)
3 d 6.283103 mm3 W
32
T
(kN W
2 2 6
图（1）
图（2）
P 350000 2max 8.75MPa A 0.20.2
二、偏心拉（压）
P
y
P e
M=P e
e b h
e
z
P e
P
M=P e
[例] 矩形截面立柱，欲使柱内不出现拉应力，求P力的作用 区域。 P y P e
M=P e
e b h
e
z
M=P e
M P t max ≤0 Wy A
[ ]
[ 例 1]
简易吊车，AB梁为18号工字钢，W=185cm3，
A=30.6cm2，梁长l=2.6m，α=30°，[]=120MPa， P=25kN，校核梁的强度。
C
解： 取小车在中点的工况
B RB
A
A
RAy RAx
P
B
l/2
l/2
P
l
A
RAy RAx
P
RB
RBy A B
A
RAx
M 2 T 2 ( ) 4( ) W 2W M 2 T 2 ( ) 3( ) W 2W
∴
A B
r4
M 2 T 2 即： r 3 W M 2 0.75T 2 r4 W
3. 强度条件 （1）. 第三强度理论强度条件
r3
M 2 T 2 W
43.3103 42.12810
2
FN
FN RAx 43.3(kN)
32.5106 309103
l M R Ay 32.5(kNm) 2
115 .5(MPa) [ ]
∴可以选22a工字钢！
[例3]
已知：冲压机，铸铁机身， [t]=30MPa，[c]=160MPa，
Iy=5310cm4，A=150cm2，
z0=7.5cm，z1=12.5cm，
P P
l
A B
l=35cm，P=40kN，校核立柱
强度。
y z0 z1
z
y z0 z1
P
l
A
M B
z
FN
解： F
N
P 40(kN)
t
M
c
FN 40103 2.67(MPa ) N 2 A 15010
M P (l z0 ) 17(kN m)
N
FN
M z 0 17106 75 t 24(MPa) 4 Iy 5310 10 M z1 17106 125 40(MPa) c 4 Iy 5310 10
t
c
t max t N 242.67 26.7(MPa ) [ t ] c max c N 402.67
度条件。
§8–2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
一、弯拉(压)组合变形： 杆件同时受横向力和轴向 力的作用而产生的变形。
P2 z P1 L y x y Mz z F N
x
x
M
Mz
N
max
FN
max M N
M z FN Wz A
强度条件：
M z FN max Wz A
3
l
RB
P
B
RA
l/2
l/2
P
[例2] 简易吊车，梁长l=2.6m， =30°，[]=120MPa， P=50kN，试选择工字钢型号。
C
解： 取小车在中点的工况
B RB
A
α
A
RAy RAx
P
B
l/2
l/2
P
l
A
RAy RAx
P
RB
RBx
RBy B
由弯曲强度进行试算：
max
l/2
4.7 2 1.52 106 3.141003 32
50.3MPa
T My Mz
－
－
安全!
+
[例 ]
钢制圆轴，直径d=40mm，轴上皮带轮皮带张力 F=2kN，D=250mm，a=150mm，圆轴的许用应力 []=90MPa，试用第四强度理论校核轴的强度。
a d D F Me a a a 3F a a Me
d
P
l
m
P
z y
解： 危险截面在固定端
l
T m1.5(kNm)
M y Pl 2.1(kNm)
T
－
M Z P2l 4.2(kNm)
将弯矩合成：
My
Mz
－
2 2 2 M My M z2 2.1 4.2
+
4.7(kNm)
z
y
d
P l
m
P
l
M 2 T 2 r3 W
21.65103 16.3106 2 30.610 185103
7.0988.1
95.2(MPa ) [ ]
∴安全！
C
当小车在B点时：
R B 50( kN) R A 43.3( kN)
AB梁受轴向压缩：
A
B
FN R A 43.3(kN)
FN 43.310 14.1(MPa ) 2 A 30.610 A
P2 D1
Py
Pz
A
D1
x
D1 由 M x Py 2
得：Py 0.6(kN)
150
B 200
P1
C 100 D
Pz Py tan20
0.218(kN)
Mx F
y
Pz z
Mx x Py
20ºP z y
P2 D1
M x 120( N m)
FP 1P 2
1.8(kN)
0.6
M
(kN· m)
10 0.5 0.750.6 6.283103 114 .7 MPa [ ] 不安全
[例 ]
钢制圆轴，直径d=50mm，轴上装有两个轮子， P=3kN，a=200mm， D=100mm，圆轴的许用应力 []=100MPa，试用第三强度理论校核轴的强度。
RBx B
RBx
l/2
l/2
RAy
P
RBy B
由理论力学得： R B 25( kN)
l/2 16.3
l/2
R Ax 21.65( kN)
P R Ay 12.5( kN) 2
FN R Ax 21.65(kN)
M
+
l M R Ay 16.3(kNm) 2
AB梁受压弯组合，跨中 为危险截面：
37.3(MPa ) [ c ]
N
∴该立柱安全！
t max
c max
[例4] 图示钢板，厚度t=10mm，受力P=100kN，试求最大正 应力；若将缺口移至板宽的中央，则最大正应力为多少？ P y yC z 解： 坐标如图，形心位置
201020 zC 5mm 100102010 101003 I yC 10100 52 12 10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm 4
A 150
D1
x
B 200
P1
C 100 D
20ºP z 解： 外力分析：
Mx P 1 D1 D P2 1 2 2
P2 D1
y
Py
Pz
120( N m)
A 150
D1
x
B 200
P1
C 100 D
FP 1P 2
1.8(kN)
Mx F