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西城数学一模试卷初三答案

西城数学一模试卷初三答案

一、选择题（每题4分，共24分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，那么f(x)的对称轴是（）A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -1答案：A解析：这是一个标准的二次函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

对称轴的公式为x = -b/2a。

在本题中，a = 1，b = -2，所以对称轴为x = -(-2)/21 = 1。

2. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,1)，则线段AB的中点坐标是（）A. (3,2)B. (4,2)C. (3,1)D. (4,1)答案：B解析：线段的中点坐标可以通过计算两端点坐标的平均值得到。

即中点坐标为((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)。

将点A和点B的坐标代入，得到中点坐标为((2 + 5)/2, (3 + 1)/2) = (4, 2)。

3. 如果a + b = 5，ab = 6，那么a^2 + b^2的值为（）A. 19B. 25C. 36D. 35答案：A解析：这是一个关于a和b的二次方程的问题。

根据公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以得到a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab。

将a + b = 5和ab = 6代入，得到a^2 + b^2 = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 19。

4. 在△ABC中，∠A = 90°，∠B = 45°，则△ABC的周长与面积之比为（）A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:1答案：B解析：由于∠A = 90°，∠B = 45°，因此△ABC是一个等腰直角三角形。

在等腰直角三角形中，斜边长度是直角边长度的√2倍。

设直角边长度为a，则斜边长度为a√2。

周长为2a + a√2，面积为(1/2)aa = a^2/2。

周长与面积之比为(2a + a√2) / (a^2/2) = 4/(a^2/2) = 8/a^2。

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(一模)含答案

2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（一模）一、单选题1．设全集U R =，集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，则集合()U C A B ⋃=A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【正确答案】C【详解】试题分析：∵集合{}|02x x A =<≤，{}|1x x B =<，∴(,2]A B ⋃=-∞，∴()(2,)U C A B ⋃=+∞.集合的并集补集运算.2．已知i 是虚数单位，复数z 满足i 2i z z +=，则z 等于（）．A ．1i -B ．1i +C ．iD ．2i-【正确答案】B【分析】转化为复数的除法运算，即可求解.【详解】由题意可知，()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-.故选：B3．设121ln ,2,2e a b c e -===，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a c b<<D ．a b c<<【正确答案】C引入中间变量0和1，即可得到答案；【详解】 121ln 0,21,012e a b c e -=<=><=<，∴a c b <<，故选：C.4．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A ．12B ．2C D 【正确答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为r ，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为2l r =，则圆锥和圆柱的高为h ==，所以圆锥的侧面积为2112π2π2S r l r =⨯⨯=，圆柱的侧面积为222πS r h r =⨯=，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为123S S =,故选:C.5．下列函数中，与函数()122xxf x =-的奇偶性、单调性均相同的是（）．A ．e xy =B ．tan y x =C ．2y x =D ．3y x =【正确答案】D【分析】判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再判断选项AC 的奇偶性，排除AC ，判断选项B 的单调性，排除B ，判断选项D 的奇偶性和单调性确定结论.【详解】函数()122xxf x =-的定义域为R ，定义域关于原点对称，由()()112222xx x x f x f x ---=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为函数2x y =为R 上的增函数，函数12xy =为R 上的减函数，所以函数()f x 为R 上的增函数，对于A ，设()e xg x =，函数()e xg x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，因为()1e g =，()11eg -=，因为()()11g g ≠--，所以函数e x y =不是奇函数，A 错误；对于B ，设()tan h x x =，则()()0π0h h ==，故函数tan y x =不是其定义域上的增函数，B 错误；对于C ，设()2x x ϕ=，函数()2x x ϕ=的定义域为R ，定义域关于原点对称，因为()()()22x x x x ϕϕ-=-==，所以函数()2x x ϕ=为偶函数，C 错误；对于D ，设()3F x x =，则()3F x x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，又()()()33x F x x F x =--=-=-，所以函数()3F x x =为奇函数，又函数()3F x x =为R 上的增函数，D 正确；故选：D.6．ABC 中，“A 为锐角”是“sin 0A >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】由三角形的几何性质和任意角的三角函数的定义结合充分性和必要性进行辨析即可.【详解】在ABC 中，由“A 为锐角”，易得“sin 0A >”，∴“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分条件；在ABC 中，由“sin 0A >”，不能得出“A 为锐角”（如sin 10A =>，A 为直角，实际上，当()0,πA ∈时，sin 0A >恒成立），∴“A 为锐角”不是“sin 0A >”的必要条件；综上所述，“A 为锐角”是“sin 0A >”的充分不必要条件.故选：A ．7．已知{}n a 是首项为正数，公比不为1±的等比数列，{}n b 是等差数列，且1155,a b a b ==，那么（）A ．33>a bB ．33a b =C ．33a b <D ．33,a b 的大小关系不能确定【正确答案】C【分析】由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，由等号取不到可得答案.【详解】由题意可得四个正数满足11a b =，55a b =，由等差数列和等比数列的性质可得1532b b b +=，2153a a a =，由基本不等式可得315153222b b b a a a =+=+≥，又公比1q ≠，故15a a ≠，上式取不到等号，所以3322b a >，即33a b <.故选：C8．已知直线1x y +=与圆22x y a +=交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OB OC +=，则a 的值为（）．A ．1B C ．2D ．4【正确答案】C【分析】首先利用数量积公式求1cos ,2OA OB =- ，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由条件可知，OA OB OC === ，所以()22OA OBOC +=，则2222OA OB OA OB OC ++⋅= ，则2cos ,a a a OA OB a ++= ，解得1cos ,2OA OB =- ，0,180OA OB ≤≤oo uu r uu u r Q ,所以,120OA OB = ,所以圆心()0,0到直线1x y +=的距离2d ==，得2a =.故选：C9．12,F F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A B C ．2D【正确答案】B【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'1F 的坐标，写出以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【详解】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:bl y x a=因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点所以1F （-c ，0），2F （c ，0）因为1F 关于直线l 的对称点为'1F ，设'1F 为（x ，y ）则001,22y b y b x cx c a a -+-⋅=-=⋅+解得222,b a ab x y c c-==-所以'1F 为（222,b a abc c--）因为'1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()222x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得222222b a ab c bc c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得225a c =，所以e ==所以选B本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【正确答案】C【分析】根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误.【详解】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C.本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题.二、填空题11．抛物线220x y +=的准线方程为__________．【正确答案】12y =.【分析】将抛物线的方程化为标准形式，再求其直线方程.【详解】抛物线220x y +=的标准方程为22x y =-，所以其准线方程为12y =.故答案为.12y =12．在41⎛⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中，第四项为__________．【正确答案】3232x --【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.【详解】在41⎛ ⎝的二项展开式中，第四项为333244C 132T x -⎛=⋅⋅=- ⎝.故答案为.3232x --三、双空题13．在ABC 中，sinB =45C =︒，点D 在边BC 的延长线上，AD =1CD =，则sin DAC ∠=____________，AB =____________．【正确答案】102【分析】在ADC △中，利用正弦定理可求sin DAC ∠；由45ADC DAC ∠=︒-∠，结合两角差的正弦公式，求出sin ADC ∠，在ABD △中，利用正弦定理即可求解.【详解】在ADC △中，由sin sin AD DCACD DAC=∠∠，即1sin135sin DAC=︒∠，故sin 10DAC ∠=；因为045DAC ∠<<︒，所以cos DAC ∠==，又因为()sin sin 4522ADC DAC ∠=︒-∠==在ABD △中，sin sin AB ADADC B=∠∠，55=AB =故10；2.本题考查正弦定理和三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知函数1()2x f x x=-，则1(2f ____(1)f （填“>”或“<”）；()f x 在区间1(,)1n n n n -+上存在零点，则正整数n =_____.【正确答案】>2【分析】根据函数的单调性结合条件可得()112f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，然后根据零点存在定理结合条件即得.【详解】因为1()2xf x x=-在()0,∞+上单调递减，所以()()11211122f f f f ⎛⎫⎛⎫==-⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令2n =，则1202f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，而2323(232f =-，又33233272=428⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以203f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故()f x 在区间1,1n n n n -⎛⎫⎪+⎝⎭上存在零点，此时2n =.故>；2.四、填空题15．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ．下列结论中正确的是__________．①若曲线C 是一个点，则点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为4π；②若曲线C 是一个半径为2的圆，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为9π；③若曲线C 是一个长度为2的线段，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为π4+；④若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为54π+-【正确答案】①③④【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集D 构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，对于①，若曲线C 表示点(),a b ，则(),2d P C ≤，化简可得()()224x a y b -+-≤，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形是以点(),a b 为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为2π24π⨯=，①对；对于②，若曲线C 表示以点(),M a b 为圆心，半径为2的圆，设Q 为曲线C 上一点，当点P 在曲线C 内时，2PQ MQ MP MQ MP MP =-≥-=- ，当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，所以，(),21d P C MP =-≤，可得1MP ≥，此时12MP ≤<；当点P 在曲线C 外时，2PQ MQ MP MP MQ MP =-≥-=-，当且仅当Q 、P 、M 三点共线时，等号成立，所以，(),21d P C MP =-≤，可得3MP ≤，此时23MP <≤，当点P 在曲线C 上时，线段PQ 的长不存在最小值，综上所述，12MP ≤<或23MP <≤，即()()2214x a y b ≤-+-<或()()2249x a y b <-+-≤所以，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形是夹在圆()()221x a y b -+-=和圆()()229x a y b -+-=的区域（但不包括圆()()224x a y b -+-=的圆周），此时，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为()22π318π⨯-=，②错；对于③，不妨设点曲线C 为线段AB ，且2AB =，当点Q 与点A 重合时，由①可知，则点集D 表示的是以点A 为圆心，半径为1的圆，当点Q 与点B 重合时，则点集D 表示的是以点B 为圆心，半径为1的圆，故当点Q 在线段AB 上滑动时，点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形EFGD 和两个半径为1的半圆所围成的区域，此时，点集D 的面积为22π12π4⨯+=+，③对；对于④，若曲线C 是边长为9的等边三角形，设等边三角形为ABC ，因为π2BAD CAE ∠=∠=，π3BAC ∠=，则2π3DAE ∠=，由③可知，点集D 构成的区域由矩形ABRD 、ACFE 、BCWL ，以及分别由点A 、B 、C 为圆心，半径为1，圆心角为2π3的三段圆弧，和夹在等边三角形ABC 和等边三角形STU 中间的部分（包括边界），因此，且1SG =，πtan33AG SG ==293HG AB AG =-=-所以，点集D 所表示的图形的面积为(2223π1391992354π334⎡⎤⨯+⨯⨯+--=+-⎢⎥⎣⎦.故①③④.关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集D 所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.五、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)求证：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若F 为线段BC 上靠近B 的三等分点，求二面角E AF B --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)1111.【分析】（1）根据给定条件，证明PA BC ⊥，结合线面垂直的性质、判定证得⊥AE 平面PBC ，再由面面垂直的判断推理作答.（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【详解】（1）因PA AB =，E 为PB 中点，则AE PB ⊥，又PA ⊥底面ABCD ，而BC ⊂底面ABCD ，则有PA BC ⊥，又因BC AB ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，于是得BC ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAB ，因此BC AE ⊥，又BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，从而得⊥AE 平面PBC ，AE ⊂平面AEF 所以平面AEF ⊥平面PBC ．（2）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设6PA AB ==，则(0,0,0),(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)A E F P ，(3,0,3),(6,2,0),(0,0,6)AE AF AP ===，因PA ⊥底面ABCD ，则平面AFB 的法向量为(0,0,6)AP =，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则·330·620AE n x z AF n x y ⎧=+=⎨=+=⎩，令=1x -，得(1,3,1)n =-，设二面角E AF B --的平面角为θ，显然θ为锐角，则||cos |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=〈〉==，所以二面角E AF B --的余弦值为11．17．已知函数()πsin 6h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πs 6co g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得()f x 的最小正周期为π．求：(1)()f x 的单调递增区间；(2)()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围及零点．条件①：()()()f x h x x =+；条件②：()()()f x g h x x =⋅；条件③：()()()=-f x h x g x ．注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)5ππ[π,πZ 1212k k k -+∈(2)1[]2，π3【分析】（1）选②，根据二倍角的正弦公式化简得1π()sin(2)23f x x =+，利用正弦型函数图像与性质求单调区间；（2）根据自变量范围求出23x π+的范围，利用正弦函数的图像性质求值域；【详解】（1）选①：ππππ()()()sin())2sin()6663f x h x x x x x =+=+++=++π2sin(2cos 2x x =+=，不满足()f x 的最小正周期为π．选③：πππππ()()()sin()cos()666412f x h xg x x x x x =-=+-+=+-=-，不满足()f x 的最小正周期为π．选②：ππ1π()()()sin cos sin(26623f x h x g x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()f x 的最小正周期为π．令2π22π,Z π23π2πk x k k -≤+≤+∈,解得5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k -+∈（2）当π[0,]2x ∈时，ππ4π2333x ≤+≤，所以πsin(213x +≤，所以1π1()sin(2[232f x x =+∈.π2π2π,Z 3x k k +=+∈且π[0,]2x ∈,所以零点是π3.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第k 天传统艺术活动的概率为()1,2,3,4,5k P k =，当k P 取得最大值时，写出k 的值，及对应的k P 值．（直接写出答案即可）【正确答案】(1)712(2)分布列答案见解析，()74E X =(3)2k =【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）分别求出三个年级中任选一名体验的学生参加体验戏曲的概率，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）结合相互独立事件概率公式求出12345,,,,P P P P P ，即可求解.【详解】（1）解：由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A 为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为()175730012P A ==.（2）解：从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为15，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为45，抽取的高一年级体验的学生参加戏曲体验的概率为34，由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，所以，()1431011155425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()143143143291111111554554554100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--+-⋅⋅-+--⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()14314314311211155455455420P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1433355425P X ==⋅⋅=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P125291001120325因此，()129113701232510020254E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：由题可知，10.80.40.150.048P =⨯⨯=，20.450.60.50.135P =⨯⨯=，30.550.60.40.132P =⨯⨯=，40.20.80.750.12P =⨯⨯=，50.450.40.30.054P =⨯⨯=，故15432P P P P P <<<<，所以当k P 取得最大值时，2k =.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()12,0A -和(0,B 两点，点2A 为椭圆C 的右顶点，点P 为椭圆C 上位于第一象限的点，直线1PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)比较1MNA 的面积与2NA B △的面积的大小，并说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=，离心率12c e a ==；(2)相等，理由见解析【分析】（1）根据,a b求椭圆方程，以及离心率；（2）首先设点P 的坐标，再利用坐标分别表示两个三角形的面积，做差后，即可比较大小.【详解】（1）由题意可知，2,a b ==，1c ==，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；（2）设()00,P x y 直线()010:22y PA y x x =++，令0x =，得0022M yy x =+，直线:PB 0033y y x x +=-，令0y =，得0033N x x y =+，所以100003212223MNA x y S x y ⎛⎫=+⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭ ()()00000032223x y y x x y =++++()()()00000032323x y y y x y ++=++，()200003312332323NBA x x S y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭()()000233323y x y +-=+12MNA NBA S S - ()()()00000032323x y y y x y ++=++()()00233323y xy +--+()()2200004312223y x x y +-==++所以12MNA NBA S S = 20．已知函数()sin cos =-f x x x x ．(1)求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；(2)求证：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，31()3f x x <；(3)若()cos f x kx x x >-对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的最大值．【正确答案】(1)π0y -=(2)见详解(3)见详解【分析】（1）首先求函数的导数，再代入求()πf '的值；（2）首先设函数()()313g x f x x =-，求函数的导数，利用导数正负判断函数的单调性，求得函数()max 0g x <，（3）首先不等式等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，参变分离后转化为sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，利用导数求函数sin ()xh x x=的最小值，转化为求实数k 的最大值.【详解】（1）()cos (cos sin )sin f x x x x x x x'=--=()π0f '=，即切线的斜率为0，又因为()πsin ππcos ππf =-=所以切线方程为：()π0πy x -=-，即π0y -=.（2）令31()()3g x f x x =-，则()()()22sin sin g x f x x x x x x x x ''=-=-=-，当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，设()sin t x x x =-，则()cos 10t x x '=-<所以()t x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调递减，()sin (0)0t x x x t =-<=即sin x x <，所以()0g x '<所以()g x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，所以()(0)0g x g <=，所以31()3f x x <.（3）原题等价于sin x kx >对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，即sin x k x <对π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，令sin ()xh x x =，则22cos sin ()()x x x f x h x x x -'==-.易知()sin 0f x x x '=>，即()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，所以()(0)0f x f >=，所以()0h x '<，故()h x 在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，所以π22πk h ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.综上所述，k 的最大值为2π.21．已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．【正确答案】（Ⅰ）生成列为0,1,2,1,4,3--；母列为3,2,4,1,6,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）根据所给定义计算可得；（Ⅱ）设1a ，2a ，⋯，n a 的生成列是1b ，2b ，⋯，n b ；1a '，2a '，⋯，n a '的生成列是与1b '，2b '，⋯，n b '，从右往左数，设排列1a ，2a ，⋯，n a 与1a '，2a '，⋯，n a '第一个不同的项为k a 与k a '，由满意指数的定义可知i a 的满意指数，从而可证得且k k a a ≠'，于是可得排列1a ，2a ，⋯，n a 和1a '，2a '，⋯，n a '的生成列也不同．（Ⅲ）设排列1a ，2a ，⋯，n a 的生成列为1b ，2b ，⋯，n b ，且k a 为1a ，2a ，⋯，n a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，10b ⇒，20b ，⋯，10k b -，1k b -，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用i a 的满意指数1i b i -，可知整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -+++⋯+-=，从而可使结论得证．【详解】（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--；排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，L ，11k k a a ++'=，k k a a '≠．显然n nb b '=，11n n b b --'=，L ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+．因为12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠，所以l l '≠，从而k kb b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ．进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ．所以1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。

北京市西城区2023届高三一模数学试题

北京市西城区2023届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1.设集合，则（ ）A．B．C．D．2. 某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A ．150B ．90C ．48D ．363. 设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A．B．C．D．4. 高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小亮同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（ ）A ．平均数B ．方差C ．极差D ．中位数5. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线交于点Q ，记直线AC 、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（）A ．2B．C ．3D ．46. 复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A．B ．在复平面内对应的点位于第二象限C ．的实部为D ．的虚部为7. 已知无穷数列是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n 项和为，则（ ）A．数列不可能是等差数列B ．数列不可能是等差数列C．数列不可能是等差数列D ．数列不可能是等差数列8.设，其中e 是自然对数的底数，则（ ）注：A．B．C．D．9. 已知直四棱柱，底面为矩形，，，侧棱长为，设为侧面所在平面内且与不重合的任意一点，则直线与直线所成角的余弦值可能为（ ）A．B．C．D．10. 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）北京市西城区2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题A．B．点的轨迹方程为C．的最小值为6D ．的最大值为11. 已知偶函数满足：，且当0≤x ≤2时，，则下列说法正确的是（ ）A ．－2≤x ≤0时，B ．点（1，0）是f (x )图象的一个对称中心C ．f (x )在区间[－10，10]上有10个零点D ．对任意，都有12. 黄金比例被公认为是最具美感的比例，其值为．已知椭圆的离心率，设坐标原点为，椭圆的右焦点为，左顶点为A ，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点和，则（ ）A．B．C．D．13. 1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P 为费马点，则的取值范围是__________.14.已知为等腰直角三角形，，圆为的外接圆，，则___________；若P 为圆M上的动点，则的最大值为___________．15.若数列是公差为2的等差数列，，写出满足题意的一个通项公式______．16. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面相互垂直，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.17. 已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线（与轴不重合）与椭圆相交于两点，过的直线与轴交于点，与直线交于点（与不重合），记的面积分别为，若，求直线的方程.18. 某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.（Ⅰ）设消费者的年龄为，对该款智能家电的评分为.若根据统计数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且年龄的方差为，评分的方差为.求与的相关系数，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱.（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关.好评差评青年816中老年206附：线性回归直线的斜率；相关系数，独立性检验中的，其中.临界值表：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82819. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，且.（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：.20. 2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，，，各项技术攻关结果彼此独立．按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机离子注入机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分．已知团队的初始分为0分，设2年结束时，团队的总分为，求：（1）已知团队在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）已知，求总分不低于50分的概率．21. 为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：医学指标值X频率0.050.10.150.40.20.060.04（1）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；（2）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布，用（1）中的平均值近似代替，且，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数的分布列与期望．。

北京市西城区2024届高三一模数学含答案

北京市西城区2024届高三一模数学含答案

2024北京西城高三一模数 学2024.4本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U =R ，集合{|3}A x x =<，{|22}B x x =−≤≤，则U AB=（A ）(2,3) （B ）(,2)(2,3)−∞−（C ）[2,3)（D ）(,2][2,3)−∞−（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）2=+y x x （B ）cos y x = （C ）2=x y （D ）2||log =x y（3）在622()−x x的展开式中，常数项为 （A ）60 （B ）15 （C ）60−（D ）15−（4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（A ）1x =− （B ）2x =− （C ）1y =−（D ）2y =−（5）设1=−a t t ，1=+b t t，(2)=+c t t ，其中10−<<t ，则（A ）<<b a c （B ）<<c a b （C ）<<b c a（D ）<<c b a（6）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()⋅−=c a b （A ）1− （B ）1 （C ）7− （D ）7（7）已知函数2,20,(),0.⎧+−<<⎪=⎨<⎪⎩≤x x x f x x c 若()f x 存在最小值，则c 的最大值为 （A ）116 （B ）18（C ）14（D ）12（8）在等比数列{}n a 中，00>n a ．则“001+>n n a a ”是“0013++>n n a a ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）关于函数()sin cos 2f x x x =+，给出下列三个命题：① ()f x 是周期函数；② 曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③ ()f x 在区间[0,2π)上恰有3个零点． 其中真命题的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的 趋势可由函数0.2710.6=−y t 近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为 （参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈） （A ）2小时 （B ）0.8小时 （C ）0.5小时（D ）0.2小时第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2024北京西城区四中初三一模数学试题及答案

2024北京西城区四中初三一模数学试题及答案

2024北京四中初三一模数 学1．（本题3分）据中国电子商务研究中心监测数据显示，2021年第二季度中国轻纺城市场群的商品成交额达29600000000元，将29600000000用科学记数法表示为（ ） A ．102.9610⨯B ．112.9610⨯C ．1029.610⨯D ．110.29610⨯2．（本题3分）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（本题3分）已知60AOB ∠=︒，自AOB ∠的顶点O 引射线OC ，若:1:4AOC AOB ∠∠=，那么BOC ∠的度数是（ ） A ．48°B ．45°C ．48°或75°D ．45°或75°4．（本题3分）若a b <，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A ．0a b −< B ．22a b −>−C ．0a b +<D ．22a b −>−5．（本题3分）若关于x 的方程()222110x k x k +++−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≤−B ．54k <−C ．54k −≥D ．54k >−6．（本题3分）如果一个多边形的边数由4增加到n （n 为整数，且4n >），那么它的外角和的度数（ ） A ．不变 B ．增加C ．减少D ．不能确定7．（本题3分）甲、乙两名同学随机从A ，B ，C 三个主题中选择一个去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则两人抽到相同主题的概率是（ ） A ．19B ．13C ．49D ．238．（本题3分）已知函数()211y ax a x =−++，则下列说法正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则0a =②方程()2110ax a x −++=有一个整数根是1③存在实数a ，使得()2110ax a x −++≥对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共24分）9．（本题3有意义，则x 应满足的条件是 ． 10．（本题3分）把多项式269mn mn m ++分解因式的结果是 ． 11．（本题3分）方程3221x x=−的根是 ． 12．（本题3分）若(2,3)A m 与(1,5)B m −是反比例函数21k y x+=图像上的两个点，则k 的值为 ． 13．（本题3分）某中学现对小学和初中部一共800人调查视力情况，为方便调查，学校进行了抽样调查．从中随机抽出40人，发现有30人眼睛近视，那么则小学和初中部800人中眼睛近视的人数为 ． 14．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD 中，//,//EF AB FG ED ，DE ：EA=2：3，EF=4，求线段CG ＝ ．15．（本题3分）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，AE CD ⊥于F ，交BC 于E ，连接BF ，若45BFE ∠=︒，则CEBE的值为 ．16．（本题3分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟． 三、解答题（共72分）17．（本题4分）计算：212sin 602π−⎛⎫︒+−− ⎪⎝⎭18．（本题4分）解不等式组：6234211132x x x x+>−⎧⎪−−⎨−<⎪⎩ 19．（本题4分）已知2(2)|3|0a b −++=，若240ax bx +−=，求代数式2461x x −+的值． 20．（本题4分）在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F .（Ⅰ）如图①，求证：OE OF =；（Ⅱ）如图②，若EF DB ⊥，垂足为O ，求证：四边形BEDF 是菱形.21．（本题4分）如图，∠AOB ＝120°，射线OC 从OA 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD 从OB 开始，绕点O 逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC 和OD 同时旋转，设旋转的时间为t(0≤t≤15)(1)当t 为何值时，射线OC 与OD 重合； (2)当t 为何值时，射线OC ⊥OD ．22．（本题4分）如图，直线l 1：y =2x ，直线l 2：y =-x +m 与x 轴交于点A ，两直线l 1，l 2交于点B ，点B 的坐标为4,3n ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求m，n的值；(2)直线l2上是否存在点D，使得ΔAOD的面积为4，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题6分）某跳高集训队，对集训队员进行了一次跳高测试，经过统计，将集训队员的测试成绩（单位：m），绘制成尚不完整的扇形统计图（图①）与条形统计图（图②）.a________，请将条形统计图补充完整；（1）=（2）求集训队员测试成绩的众数；（3）教练发现，测试成绩不包括两名请假的队员，补测后，把这两名队员的成绩（均是0.05的整数倍）与原测试成绩并成一组新数据，求新数据的中位数.24．（本题6分）端午小长假，小王一家开车去麦积山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示．行驶一段时间到达C地时，汽车突发故障，需停车检修．为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．结合图中信息，解答下列问题：（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．（2）汽车从景区到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？（3）车修好后每小时行驶多少千米？25．（本题9分）已知二次函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．（Ⅰ）求k取值范围；（Ⅱ）当k 取最小整数时，此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）将（Ⅱ）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你求出新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．26．（本题9分）如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 延长线上一点，连接AE ，交BD 于点F ，交CD 于点G ，连接CF ．(1)求证：CF 与CEG 的外接圆相切；(2)当CE CF =时，判断CG 和EF 有怎样的数量关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，求DG 与CG 的比值．27．（本题9分）如图，点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点，PB 与圆O 相切于点B ，点D 是圆上的一点，连接AB AD BD CD ，，，，PB =(1)求证：2OP OC =；(2)若3OC =，4=AD ，求BD 的长．28．（本题9分）在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别为(3,0)A −、(0,3)B 、(,0)C t ，过点A 作AD BC ⊥交BC 于D 点，交y 轴正半轴于点E ． (1)如图，当1t =时，求E 点的坐标；(2)如图，连接OD ，求ADO ∠的度数；(3)如图，已知点(0,2)P ，若PQ PC ⊥，PQ PC =，直接写出Q 的坐标（用含t 的式子表示）．参考答案1．A【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1029600000000 2.9610⨯=， 故选A ．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2．C【详解】根据轴对称图形的概念可得：选项A 、B 、D 不是轴对称图形，选项C 是轴对称图形，故选C. 3．D【分析】:1:4AOC AOB ∠∠=可知AOC ∠的值；所引射线OC 有两种情况①在AOB ∠内，此时BOC AOB AOC ∠=∠−∠；②在AOB ∠外，此时BOC AOB AOC ∠=∠+∠． 【详解】解：:1:4AOC AOB ∠∠=，60AOB ∠=︒ 15AOC ∴∠=︒①在AOB ∠外BOC AOB AOC ∠=∠+∠ 601575BOC ∴∠=︒+︒=︒②在AOB ∠内BOC AOB AOC ∠=∠−∠ 601545BOC ∴∠=︒−︒=︒BOC ∴∠为45︒或75︒故选D ．【点睛】本题考查了角的和与差．解题的关键在于确定射线的位置． 4．C【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由a b <可得：A ．a b b b −<−，即0a b −<，故本选项一定成立，不符合题意；B ．不等号两边同时乘以2−，不等号方向改变，因此22a b −>−，故本选项一定成立，不符合题意；C ．2a b b +<，因此0a b +<不一定成立，符合题意；D ．不等号两边同时乘以1−，再加上2，不等号方向改变，22a b −>−，故本选项一定成立，不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5．D【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k 的取值范围. 【详解】解：由题意得∆=（2k+1）2-4（k 2-1）=4k+5＞0解得：k ＞-54故选D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键. 6．A【分析】此题考查多边形内角和与外角和，注意多边形外角和等于360︒．利用多边形的外角和特征即可解决问题．【详解】解：因为多边形外角和为360︒，所以外角和的度数是不变的． 故选：A ． 7．B【分析】列表展示所有9种等可能的结果数，再找出两人抽到相同主题的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：列表如下：则两人抽到相同主题的概率3193=． 故选：B ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率． 8．C【分析】①分0,0a a =≠ 两种情况分别讨论即可判断，②当0,0a a =≠时，方程分别为一元一次方程和一元二次方程，分别求解即可，③当1a =时，不等式为2210x x −+≥，即可判断． 【详解】①当0a = 时，1y x =−+ ，此时图像与x 轴交于点(1,0) ，当0a ≠ 时，令y =0，则有()2110ax a x −++= ，当240b ac ∆=−= 时，方程有两个相等的实数根，此时与x 轴只有一个交点，即22(1)4(1)0a a a +−=−= ，1a ∴= ，故0a =或者1a =时，该函数图像与x 轴都只有一个交点，故①错误，不符合题意； ②当0a = 时，可得：10x −+=，此时：1x = ，当0a ≠ 时，()2110ax a x −++=是一元二次方程，由求根公式得：x =， 解得：1211,x x a==， ∴方程()2110ax a x −++=有一个整数根是1，故②正确，符合题意．③当1a =时，不等式为2210x x −+≥ ， 即2(1)0x −≥ ，其恒成立，即存在实数a ，使得()2110ax a x −++≥对任意实数x 都成立，故③正确，符合题意； 故有2个正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了函数与方程的关系，函数与不等式的关系，对二次项系数分类讨论是解题的关键． 9．0x ≥且5x ≠/5x ≠且0x ≥【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；根式中，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意，得：50x x ≥⎧⎨−≠⎩， 解得0x ≥，且5x ≠． 故答案为：0x ≥，且5x ≠．【点睛】本题主要考查了二次根式及分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 10．()23m n +【分析】先提取公因式m ，再利用完全平方公式继续分解即可求解． 【详解】解：269mn mn m ++ ()269m n n =++()23m n =+，故答案为：()23m n +．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．2x =【分析】解分式方程即可． 【详解】解：3221x x=−， 两边同时乘()21x x −得，()3221x x =−， 去括号得，342x x =−， 移项合并得，2x −=−， 系数化为1得，2x =，经检验，2x =是原分式方程的根． 故答案为：2x =．【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算． 12．72−【分析】根据A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点，可知2k +1=2m •3=1×（m -5），故可得出m 的值，进而得出k 的值．【详解】解：∵A （2m ，3）与B （1，m -5）是反比例函数21k y x+=图象上的两个点， ∴2k +1=2m •3=1×（m -5）， 解得m =-1， ∴2k +1=-2×3=-6， ∴k =-72故答案为：-72． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键． 13．600人【分析】根据样本估计总体，用800乘以40人中眼睛近视的占比，列出算式计算即可求解． 【详解】解：3080060040⨯=（人）． 故答案是：600人．【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的百分率． 14．6【详解】试题分析：因为EF//AB ，四边形ABCD 是平行四边形ABCD ，AB ∥CD ，AB=CD ，所以EF ∥DG ，因为FG//ED ，所以四边形DEFG 是平行四边形，所以DG=EF=4，因为DE:EA=2:3，所以DE:EA=EF:AB=2：5，EF=4，所以AB=10，所以CD=10，所以CG=DC-DG=10-4=6．即线段CG=6．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．平行线分线段成比例定理．15 【分析】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，可得BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，则有BF =，根据三角形中位线定理可得DF BG ∥，2a DF =，于是有AFD AGB ∽，进而由勾股定理求出AB =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，有CD =，进而求出12CF CD DF a =−=，然后根据CEF △和BEG 相似，进而求出最后的结果． 【详解】过点B 作BG AE ⊥，交AE 的延长线于G ，∵45BFE ∠=︒，BG AE ⊥，∴BFG 是等腰直角三角形，设()0BG a a =>，∴FG BG a ==，∴BF =，∵AE CD ⊥，AG BG ⊥，D 为AB 的中点，∴DF BG ∥，122a DF BG ==， ∴AFD AGB ∽，∴AF FG a ==，∴22AG BG a ==，∴AB ==，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，∴12CD BD AD AB ====，∴12CF CD DF a =−=， ∵90CFE EGB ∠=∠=︒，CEF BEG ∠=∠，∴CEF BEG △∽△，∴2CE CF BE BGa ===． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟记这些图形的性质与判定，并学会灵活运用是解本题的关键．16． 53 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ；然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ；最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，然后可得答案．【详解】解：由题意得：9979710253++++++=（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟， 最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028++=（分钟），故答案为：53，28；17．3【分析】先分别利用特殊角的三角函数值以及二次根式、负指数幂的性质化简，再合并同类项即可得出答案．【详解】解：原式=2143−+= 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各项是解题关键．18．1127x −<< 【分析】分别求①，②两不等式的解集，再根据两不等式的解集求不等式组的解集即可． 【详解】解：6234211132x x x x +>−⎧⎪⎨−−−<⎪⎩①② 由①得6234x x +>−，36x >−，2x >−由②得2111 32x x−−−<，()() 221316x x−−−<，42336x x−−+<，711x<，117x<，故不等式组的解集为：1127x−<<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能够数量掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19．9【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx-4=0变形得2x2-3x=4，再代入4x2-6x+1=2（2x2-3x）+1求解即可．【详解】解：∵（2-a）2+|b+3|=0，∴2-a=0，b+3=0，解得a=2，b=-3，代入ax2+bx-4=0，得：2x2-3x-4=0，则2x2-3x=4，∴4x2-6x+1=2（2x2-3x）+1=2×4+1=8+1=9．【点睛】本题主要考查非负数的性质：偶次乘方、绝对值，解题的关键是掌握任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到OB=OD，AB∥CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（Ⅰ）如图：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB OD =，AB CD ∥.∴EBO FDO ∠=∠，在OBE △和ODF △中，EBO FDO OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()OBE ODF ASA △≌△.∴OE OF =.（Ⅱ）如图：∵OB OD =，OE OF =，∴四边形BEDF 是平行四边形.又∵EF DB ⊥，∴四边形BEDF 是菱形.【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．21．(1) t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2) t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【分析】（1）根据题意可得，射线OC 与OD 重合时，20t ＝5t+120，可得t 的值；（2）根据题意可得，射线OC ⊥OD 时，20t+90＝120+5t 或20t ﹣90＝120+5t ，可得t 的值．【详解】(1)由题意可得，20t ＝5t+120，解得t ＝8，即t ＝8min 时，射线OC 与OD 重合；(2)由题意得，①20t+90＝120+5t ，解得：t ＝2；②20t ﹣90＝120+5t ，解得：t ＝14；即当t ＝2min 或t ＝14min 时，射线OC ⊥OD ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用与角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22．(1)84,.3m n(2)()2,2D 或6,2.D【分析】（1）由直线l 1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求解n 的值，直线l 2：y =-x +m 过点48,,33B 可求解m 的值，从而可得答案；（2）先求解()4,0,A 设,4,D x x 再根据ΔAOD 的面积为4，列方程14,2D OA y 再解方程即可．【详解】（1）解： 直线l1：y =2x ，过点B 4,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 482.33n 即48,.33B 直线l2：y =-x +m 过点48,,33B 48,33m 124,3m∴一次函数的解析式为：2: 4.l y x（2）∵一次函数的解析式为：2: 4.l yx ∴令0,y = 则4,x = 即()4,0,A∵点D 在2l 上，设,4,D x x ΔAOD 的面积为4， 14,2D OA y 1444,2x 即42,x解得：2x =或 6.x =∴()2,2D 或6,2.D【点睛】本题考查的是正比例函数与一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，利用方程思想解决图形面积问题是解本题的关键．23．（1）25，图详见解析；（2）集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）中位数为1.60m.【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得a 的值，根据1.50的人数和所占的百分比可以求得本次参加初赛的人数，从而可以求得1.55m 的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据可以得到该组数据的众数；（3）针对请假队员分两种情况讨论．【详解】解：（1）25；补全条形统计图如解图所示：()%110%20%30%15%25%a =−+++=，故25a =；测试成绩为1.50m 的有2人，占总人数的10%，故总人数为210%20÷=（人）.则测试成绩为1.55m 的人数为2020%4⨯=（人）.（2）由条形统计图可知，集训队员测试成绩的众数为1.65m ；（3）当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m 时，中位数为1.60 1.65 1.625(m)2+=； 当两名请假队员的成绩均小于1.65m 或一个小于1.65m ，一个大于或等于1.65m 时，中位数为1.60m.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．错因分析 中等题. 失分原因是（1）没有掌握求a 值要用到各部分的百分比之和为1，结合扇形统计图和条形统计图求出集训队员的总人数；（2）不熟悉众数的概念；（3）不熟悉中位数的概念，当数据的个数是奇数时，中位数是最中间的数.当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数，所以要分类讨论两名队员的跳高成绩.24．（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程；（2）50千米；（3）75千米/小时【分析】（1）根据函数的图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案；（2）根据函数的图象可以知道汽车行驶的时间和路程，用路程除以时间即可得到速度；（3）观察图象可以得到汽车在3-4小时之间路程没有增加，说明此时在检修，检修后两小时走了150千米据此可以求得速度．【详解】解：（1）路程与时间之间的关系：自变量是时间，因变量是路程．（2）由图象可知，汽车从景区到C 地用了3小时，行驶路程为150千米，所以平均每小时行驶150350÷=（千米）．（3）检修了431−=小时，修后的速度为()()3001506475−÷−=千米/小时．【点睛】本题考查了看函数图象，解此类问题时，首先要看清横纵坐标所表示的意义．25．（Ⅰ）k ＞﹣1（Ⅱ）对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）m 的值为1或134【详解】试题分析：（Ⅰ）由抛物线与x 轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k 的取值范围；（Ⅱ）先求得k 的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式，结合函数解析式求此二次函数的对称轴和顶点坐标；（Ⅲ）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x 轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m 的值．试题解析：（Ⅰ）∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=4（k+1）2﹣4（k 2﹣2k ﹣3）=16k+16＞0，∴k ＞﹣1，∴k 的取值范围为k ＞﹣1；（Ⅱ）∵k ＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k=0，∴y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为：x=1．顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅲ）翻折后所得新图象如图所示，平移直线y=x +m 知：直线位于l 1和l 2时，它与新图象有三个不同的公共点，①当直线位于l 1时，此时l 1过点A （﹣1，0），∴0=﹣1+m ，即m=1；②∵当直线位于l 2时，此时l 2与函数y=﹣x 2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点，∴方程x +m=﹣x 2+2x+3，即x 2﹣x m=0有两个相等实根，∴△=1﹣4（m ﹣3）=0，即m=134， 综上所述，m 的值为1或134． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及到抛物线与x 轴的交点、根的判别式等，正确地分析，根据题意画出图形，结合图形进行讨论是解题的关键.26．(1)见解析(2)3EF CG =．理由见解析(3)DG CG =【分析】本题主要考查切线的判定，全等石匠判定与性质，直角三角形的性质等知识：（1）证明ADF CDF △≌△得2DAF ∠=∠，由AD BE 得2E DAF ∠=∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，证明2+4=90∠∠︒即可得出结论；（2）证明30E ∠=︒，得出2,EG CG =进一步得出结论；（3）设CG x =，可求出)1AG x =，)1,2x DG =从而可得结论．【详解】（1）证明：如图，四边形ABCD 为正方形，,AD CD ADF CDF ∴=∠=∠，又DF DF =，,ADF CDF ∴△≌△2DAF ∴∠=∠，,AD BE ∥,DAF E ∴∠=∠2E ∴∠=∠，取EG 的中点H ，连接CH ，则CH EH GH ==为CEG 外接圆的半径，1,45,E ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠，1490,∠+∠=︒2490∴∠+∠=︒，CF CH ∴⊥，所以CF 与CEG 的外接圆相切．（2）解：3EF CG =．理由如下：CE CF =，312,E ∴∠=∠=∠=52E ∠=∠，而590,E ∠+∠=︒30E ∴∠=︒，2,EG CG ∴=3EF CG ∴=．（3）解：设CG x =，则,FG x CE CF AF ====，)1AG x ∴=，由（2）知30DAF E ∠=∠=︒，)11,22x DG AG ∴==DG CG ∴= 27．(1)证明见解析；(2)BD =【分析】（1）连接OB ，由切线的性质和等腰三角形的性质得出30P ∠=︒，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）作AH BD ⊥于H ，根据圆周角定理得到 90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，由3OC =得到6AC =，根据直角三角形的性质可得到132AB AC ==，122AH AD ==，根据勾股定理求出DH BH 、，即可求出BD 的长；本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连接OB ，∵PB 与圆O 相切于点B ，∴90OBP ∠=︒ ，∴90P POB ∠+∠=︒，∵OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠，∴2POB OBC OCB OCB ∠=∠+∠=∠，∵PB BC =，∴P OCB ∠=∠，∴2390P POB P OCB P ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴30P ∠=︒，∴22OP OB OC ==；（2）解：如图，作AH BD ⊥于H ，则90AHD AHB ∠=∠=︒，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，90ABC ∠=︒，∵3OC =，∴6AC =，∵30OCB ∠=︒， ∴132AB AC ==，30ADB OCB ∠=∠=︒， ∵4=AD ， ∴122AH AD ==，∴DH ==∴BH ===，∴BD BH DH =+=28．(1)(1,0)(2)45︒(3)(2,2)Q t −−【分析】（1）根据AOE BOC △△≌得OE OC =即可求出点C 坐标． （2）如图，先过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，根据AOE BOC △△≌，得到AOE BOC S S =△△，底边AE BC =，得出OM ON =，根据角平分线的逆定理进而得到OD 平分ADC ∠，可得45ADO ABO ∠=∠=︒；（3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明PCG QPH ≌，可得2CG PH ==，PG QH t ==，又知Q 在第二象限，从而得(2,2)Q t −−．【详解】（1）解：如图，当1t =时，点(1,0)C ，AD BC ⊥，90EAO BCO ∴∠+∠=︒，90CBO BCO ∠+∠=︒，EAO CBO ∴∠=∠，在AOE △和BOC 中，90EAO CBO AO BOAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AOE BOC ASA ∴≌，1OE OC ∴==，∴点E 坐标(1,0)．（2）解：如图，过点O 作OM AD ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，且AE BC =，OM AE ⊥，ON BC ⊥，OM ON ∴=，OD ∴平分ADC ∠；45ADO ABO ∴∠=∠=︒；（3）解：如图，过P 作GH x ∥轴，过C 作CG GH ⊥于G ，过Q 作QH GH ⊥于H ，交x 轴于F ，(0,2)P ，(,0)C t ，2CG FH ∴==，PG OC t ==，90QPC ∠=︒，90CPG QPH ∴∠+∠=︒，∠+∠=︒，QPH HQP90∴∠=∠，CPG HQP=，∠=∠=︒，PQ PCQHP G90∴≌，PCG QPH==，2∴==，PG QH tCG PH∴−−．(2,2)Q t【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形．。

2023年北京市西城区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市西城区中考数学一模试卷及答案解析

2023年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下面几何体中，是圆柱的是（）A．B．C．D．2．（2分）根据地区生产总值统一核算的结果，2022年北京市全年地区生产总值41610.9亿元，按不变价格计算，比2021年增长0.7%，将4161090000000用科学记数法表示应为（）A．41.6109×1011B．4.16109×1011C．4.16109×1012D．4.16109×10133．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝50°，则∠BOD的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°4．（2分）下列图形都是轴对称图形，其中恰有4条对称轴的图形是（）A．B．C．D．5．（2分）a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2B．|a|＜|b|C．ab＞0D．a＜﹣b6．（2分）平面直角坐标系中，若点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1＞x2＞0B．x2＞x1＞0C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0 7．（2分）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m≥﹣C．m＞﹣且m≠0D．m≥﹣且m≠0 8．（2分）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（）A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：3x2﹣12＝．11．（2分）若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为．12．（2分）方程的解为．13．（2分）如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC＝2BE，＝．14．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为m．15．（2分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6．随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是．16．（2分）A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为x 1，x 2，x 3（x 1，x 2，x 3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）＝（用含x 1，x 2，x 3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W ≥13，当x 1，x 2，x 3的值依次是时，这种产品的成本最低．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知a 是方程x 2+2x ﹣1＝0的一个根，求代数式（a +1）2+a （a +2）的值．20．（5分）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠AEC ＝∠A +∠C ．方法一证明：如图，过点E 作MN ∥AB ．方法二证明：如图，延长AE ，交CD 于点F ．21．（6分）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在线段AD 上，点F 在线段AD 的延长线上，CE ∥FB ，连接BE ，CF ．（1）如图1，求证：四边形BFCE 是平行四边形．（2）若∠ABC ＝∠ACB ，①依题意补全图2；②求证：四边形BFCE 为菱形．22．（5分）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传．该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：b ．丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1c ．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：甲乙丙平均数m 4.5 4.2中位数4.54.7n根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m 的值是，n 的值是；（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是s 甲2，s 乙2，s 丙2，直接写出s 甲2，s 乙2，s 丙2之间的大小关系；（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点（﹣2，1）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，一次函数y＝ax+b的值小于函数y＝x+m的值，直接写出m的取值范围．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若OA＝5，sin∠BAC＝，求线段DE的长．25．（6分）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）.（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：（A）﹣0.04×82+8b＞2.3；（B）﹣0.04×182+18b＞2.2；（C）﹣0.04×182+18b＜2.2；（D）．其中正确的不等式是．（填上所有正确的选项）26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴为直线x＝t．（1）若点（2，4）在抛物线上，求t的值；（2）若点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，①当t＝1时，求a的取值范围；②若t≤x1＜x2，且x2﹣x1≥1，直接写出a的取值范围．27．（7分）如图，直线AB，CD交于点O，点E是∠BOC平分线的一点，点M，N分别是射线OA，OC上的点，且ME＝NE．（1）求证：∠MEN＝∠AOC；（2）点F在线段NO上，点G在线段NO延长线上，连接EF，EG，若EF＝EG，依题意补全图形，用等式表示线段NF，OG，OM之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个不同的点S，T满足ST＝2PM，其中点M为线段ST的中点，则称点P是图形W的相关点．（1）已知点A（2，0）．①在点P1（），P2（1，），P3（），P4（2，﹣1）中，线段OA的相关点是；②若直线y＝x+b上存在线段OA的相关点，求b的取值范围．（2）已知点Q（﹣3，0），线段CD的长度为d，当线段CD在直线x＝﹣2上运动时，如果总能在线段CD上找到一点K，使得在y轴上存在以QK为直径的圆的相关点，直接写出d的取值范围．2023年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】根据圆柱的特征，即可解答．【解答】解：A、是正方体，故A不符合题意；B、是圆柱，故B符合题意；C、是圆锥，故C不符合题意；D、是球体，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了认识立体图形，熟练掌握圆柱的特征是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：4161090000000＝4.16109×1012．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】由垂直的定义得到∠COD＝90°，求出∠AOD的度数，由邻补角的性质，即可求出∠BOD的度数．【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝140°．故选：C．【点评】本题考查垂线，关键是掌握垂直的定义，邻补角的性质．4．【分析】结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可．【解答】解：A、该图形的对称轴有3条，本选项不符合题意；B、该图形的对称轴有4条，本选项符合题意；C、该图形的对称轴有2条，本选项不符合题意；D、正方形的对称轴有6条，本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键在于结合选项找出对称轴的数目．5．【分析】根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项A是否正确；根据绝对值的几何意义可判断选项B是否正确；先判断a，b的正负，再根据有理数乘法法则判断选项C是否正确；根据相反数的意义确定﹣b在数轴上的位置，再根据数轴上右边的点表示的数大于左边的数可判断选项D是否正确．【解答】解：A、∵a在﹣2的左侧，∴a＜﹣2，故选项A错误，不符合题意；B、∵表示a的点离原点的距离大于表示b的点离开原点的距离，∴|a|＞|b|，故选项B错误，不符合题意；C、∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故选项C错误，不符合题意；D、∵表示﹣b的点在﹣1和﹣2之间，表示a的点在﹣2和﹣3之间，∴a＜﹣b，故选项D正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查数轴、相反数的概念，以及实数大小的比较，有理数乘法运算法则等，掌握相关概念和法则，熟练运用数形结合思想是解题的关键．6．【分析】解法一：结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再结合点A，B的坐标即可解答．解法二：将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，解得，，根据同分子分式的性质即可比较x1，x2的大小．【解答】解：解法一：∵反比例函数，∴反比例函数的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，∴A（x1，2）和B（x2，4）都在第一象限，∵4＞2＞0，∴x1＞x2＞0．故选：A．解法二：∵点A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函数图象上，∴，，∴，，∵k＞0，∴x1＞x2＞0．故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．7．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组，解答即可．【解答】解：∵关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝32﹣4m•（﹣1）＞0且m≠0，解得m＞﹣且m≠0．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系是解决问题的关系．8．【分析】n分别取1、2、5、6、10，求得相应的y值；然后根据选项进行相应的解答．【解答】解：当n＝1时，y＝1.4﹣0.5＝0.9，当n＝2时，y＝1.4×2﹣0.5＝2.3，当n＝3时，y＝1.4×3﹣0.5＝3.7，当n＝4时，y＝1.4×4﹣0.5＝5.1，当n＝5时，y＝1.4×5﹣0.5＝6.5，当n＝6时，y＝1.4×6﹣0.5＝7.9，当n＝10时，y＝1.4×10﹣0.5＝13.5，A、2.3﹣0.9﹣0.9＝0.5，第2年比第1年的检修费用比上一年增加0.5万元，不符合题意；B、3.7﹣2.3＝1.4，应该是“从第3年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元”，不符合题意；C、×6.5＝1.3，第1年至第5年平均每年的检修费用为1.3万元，不符合题意；D、×（13.5﹣6.5）＝1.4，第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，难度不大，代入求值即可．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．【解答】解：由题意可得，∴x﹣1≥0，∴x≥1，故答案为：x≥1．【点评】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．10．【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．11．【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．【解答】解：∵n边形的每一个外角都是40°，∴此n边形是正n边形，n＝360°÷40°＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的边数、每一个外角的度数、外角和三者之间的关系是解题的关键．12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：，去分母得：x﹣1＝2x，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的根．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．【分析】根据菱形性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出＝＝，证△BFE∞△DFA，得出比例式，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵EC＝2BE，∴＝＝，∵BC∥AD，∴△BFE∞△DFA，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的对边相等且平行，相似三角形的对应边的比相等，题目是一道中等题，难度适中．14．【分析】设半径为rm，根据垂径定理可以列方程求解即可．【解答】解：设圆的半径为rm，由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案为：1.3．【点评】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．15．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的结果数为14种，所以随机抽取一张，第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．16．【分析】先根据总重＝各类型数量×单位重量之和，得出W，再判断出成本最低时总量最低，得出W＝13，再试根求出答案即可．【解答】解：∵总重＝各类型数量×单位重量之和，∴W＝x1+2x2+3x3，当W≥13时，由题得：当产品成本最低时，产品原料总重也应最低，∴W＝13，即x1+2x2+3x3＝13，∵x1，x2，x3均为正整数，由配凑试根得：x1＝2，x2＝4，x3＝1．故答案为：x1+2x2+3x3；2，4，1．【点评】本题考查了不等式的应用，解题关键是利用配凑试根法求方程的解．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝﹣4×+3﹣1＝﹣2+3﹣1＝2﹣1．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x≥0，解不等式②得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：（a+1）2+a（a+2）＝a2+2a+1+a2+2a＝2a2+4a+1，∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，∴a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，则原式＝2（a2+2a）+1＝2×1+1＝3．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20．【分析】方法一：根据“两直线平行，内错角相等”推出∠A＝∠AEM，∠C＝∠CEM，根据角的和差求解即可；方法二：根据“两直线平行，内错角相等”推出∠A＝∠AFC，根据三角形外角性质求解即可．【解答】证明：方法一：如图，过点E作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠A＝∠AEM，∠C＝∠CEM，∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，∴∠AEC＝∠A+∠C．方法二：如图，延长AE，交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠A＝∠AFC，∵∠AEC＝∠C+∠AFC，∴∠AEC＝∠A+∠C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．21．【分析】（1）根据AAS证明△EDC与△FDB全等，进而利用平行四边形的判定解答即可；（2）①根据题意画出图形；②根据菱形的判定解答即可．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥FB，∴∠CED＝∠BFD，∠DBF＝∠DCE，在△EDC与△FDB中，，∴△EDC≌△FDB（AAS），∴ED＝DF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：①如图所示：②由（1）可知：四边形BFCE是平行四边形，∵∠ABC＝∠ACB，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴平行四边形BFCE是菱形．【点评】此题考查四边形综合题，关键是根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定解答．22．【分析】（1）根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，求得平均数，将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；（2）根据数据的波动范围即可求解：（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．【解答】解：（1）甲家民宿“综合满意度”评分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.9，4.5，4.2，5.0，4.5，∴m＝（3.2+4.2+5.0+4.5+5.0+4.9+4.5+4.2+5.0+4.5）＝4.5，丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，从小到大排列为：2.6.3.1.3.8.4.5.4.5.4.5.4.5.4.7.4.8.5．∴中位数n＝＝4.5，故答案为：4.5，4.5；（2）根据折线统计图可知，乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动，根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动，∴＜；（3）推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，答案不唯一，合理即可．【点评】本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．23．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（2，3）结合一次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，∴a＝，又∵一次函数y＝x+b的图象经过点（﹣2，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝x+2；（2）∵把x＝2代入y＝x+2，解得：y＝3，把点（2，3）代入y＝x+m，求得：m＝1，∵x＞2时，一次函数y＝ax+b的值小于函数y＝x+m的值，∴m的取值范围是：m≥1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°，根据切线的性质得到∠ODE＝90，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）过B作BH⊥DE于H，根据正方形的判定定理得到四边形ODHB是正方形，根据正方形的性质得到OD＝DH＝BH＝OB＝5，∠OBH＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝8，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90，∴∠ODE＝∠AOD，∴DE∥AB；（2）解：过B作BH⊥DE于H，∵OD⊥DE，∴OD∥BH，∵DE∥AB，OD＝OB，∴四边形ODHB是正方形，∴OD＝DH＝BH＝OB＝5，∠OBH＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝＝，∴BC＝6，∴AC＝＝8，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠E，∵∠BHE＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△BEH，∴，∴，∴EH＝，∴DE＝DH+EH＝5+＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；②把x＝8代入①中解析式求出y的值与2.3比较即可；（2）根据题意可知当x＝8时y＞2.3，当x＝18时y＜2.2以及对称轴直线x＜9即可判断．【解答】解：（1）①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为y＝ax2+bx，把x＝2，y＝0.88和x＝6，y＝2.16代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣0.02x2+0.48x；②当x＝8时，y＝﹣0.02×82+0.48×8＝2.56，∵2.56＞2.3，∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树；（2）∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，∴当x＝8时，y＞2.3，即﹣0.04×82+8b＞2.3，故A正确，符合题意；∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，∴当x＝18时，y＜2.2，解﹣0.04×182+18b＜2.2，故B不正确，不符合题，C正确，符合题意；抛物线对称轴为x＝﹣＝，∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，∴＜＝9，故D不正确，不符合题意．故答案为：A、C．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用．26．【分析】（1）将点（2，4）代入抛物线表达式得：4＝4a+2b+4，则b＝﹣2a，即可求解；（2）①当a＞0时，抛物线的顶点在y＝3之下，即a﹣2a+4≤3，即可求解；当a＜0时，抛物线的顶点在y＝6之上，同理可解；②将点（x1，3）、（x2，6）代入抛物线表达式得：整理得到a（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）＝3，进而求解．【解答】解：（1）将点（2，4）代入抛物线表达式得：4＝4a+2b+4，则b＝﹣2a，则t＝﹣＝1；（2）①当t＝1时，b＝﹣2a，则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+4，当a＞0时，抛物线的顶点在y＝3之下，即a﹣2a+4≤3，解得：a≥1；当a＜0时，抛物线的顶点在y＝6之上，即a﹣2a+4≥6，解得：a≤﹣2，故a≥1或a≤﹣2；②将点（x1，3）、（x2，6）代入抛物线表达式得：3＝+bx1+4，6＝+bx2+4，则（x2﹣x1）[a（x2+x1）+b]＝3，而t＝﹣，则a（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）＝3，∵x2﹣x1≥1，则x2+x1﹣2t≥2x1+1﹣2t≥1，∵t≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，则（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）≥1，则a≤3，故0＜a≤3．【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键．27．【分析】（1）作EP⊥OC于点P，EQ⊥OB于点Q，则EQ＝EP，可证明Rt△EQM≌Rt △EPN，得∠EMQ＝∠ENP，设EM交ON于点I，则∠MIN＝∠EMQ+∠AOC＝∠ENP+∠MEN，所以∠MEN＝∠AOC；（2）在OF上取一点R，使RP＝OP，可证明RF＝OG，再证明OP＝OQ，则RP＝OQ，即可由QM＝PN，推导出NF+OG＝PN﹣RP＝QM﹣OQ＝OM．【解答】（1）证明：作EP⊥OC于点P，EQ⊥OB于点Q，则∠EQM＝∠EPN＝∠OQE ＝∠OPE＝90°，∵OE平分∠BOC，∴EQ＝EP，在Rt△EQM和Rt△EPN中，，∴Rt△EQM≌Rt△EPN（HL），∴∠EMQ＝∠ENP，设EM交ON于点I，则∠MIN＝∠EMQ+∠AOC＝∠ENP+∠MEN，∴∠MEN＝∠AOC．（2）解：在线段NO和线段NO的延长线上分别取点F、点G，连接EF、EG，使EF＝EG，NF+OG＝OM，证明：在OF上取一点R，使RP＝OP，∵EF＝EG，EP⊥FG，∴PF＝PG，∴PF﹣RP＝PG﹣OP，∴RF＝OG，在Rt△OEP和Rt△OEQ中，，∴Rt△OEP≌Rt△OEQ（HL），∴OP＝OQ，∴RP＝OQ，∵Rt△EQM≌Rt△EPN，∴QM＝PN，∴NF+OG＝NF+RF＝PN﹣RP＝QM﹣OQ＝OM．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．28．【分析】（1）①如图1中，满足条件的点在以OA为直径的圆内或圆上．②如图2中，设直线与OA为直径的⊙I相切，切点为E或F，连接IE，IF，过点E的直线交x轴于点G，故点F的直线交x轴于点H．求出直线EG，直线FH的解析式，可得结论；（2）当x轴垂直平分线段CD，垂足为T，K与C重合时，设CQ的中点为I，以CQ为直径作⊙I，过点I作IH⊥y轴于点H，过点H作⊙I的切线，切点分别为M，N，连接IM，IN，当四边形IMHN是正方形时，设IH交CD于点L，则IL＝QT＝，求出此时CD的长，可得结论．【解答】解：（1）①如图1中，满足条件的点在以OA为直径的圆内或圆上．∴线段OA的相关点是P1或P3．故答案为：P1或P3；②如图2中，设直线与OA为直径的⊙I相切，切点为E或F，连接IE，IF，过点E的直线交x轴于点G，故点F的直线交x轴于点H．∵∠EGI＝∠FHI＝45°，IE＝IF＝1，∠IEG＝∠IFH＝90°，∴IG＝IH＝，∴G（1﹣，0），H（1+，0），∴直线EG的解析式为y＝x+﹣1，直线FH的解析式为y＝x﹣1﹣，观察图象可知，满足条件的b的值为：﹣1﹣≤b≤﹣1；（2）当x轴垂直平分线段CD，垂足为T，K与C重合时，切点分别为M，N，连接IM，IN，当四边形IMHN是正方形时，设IH交CD于点L，则IL＝QT＝，∵四边形OTLH是矩形，∴LH＝OT＝2，∴IH＝IL+LH＝，∴IM＝IQ＝IC＝，∴CQ＝，∴CT＝＝＝，∴CD＝2CT＝，观察图象可知，当d≥时，总能在线段CD上找到一点K，使得在y轴上存在以QK 为直径的圆的相关点．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。

西城区2023年高三一模数学试题答案

西城区2023年高三一模数学试题答案

2023.3 第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）1（13）1- 2-（14π3（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CDADC A=∠∠．………2分所以2πsin sin 2AC A ADC CD ⋅∠∠==． ………4分因为π03ADC <∠<， ………5分 所以π4ADC ∠=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=． ………7分 由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC △为等腰三角形． ………8分所以π2cos6BC AC =⨯⨯=．………10分所以BCD △的面积为11ππsin )2234BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=-=△ ………13分2023.3 第2页（共8页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=； ………2分估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．………4分（Ⅱ）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212()329⨯=；………5分 (1)P X =估计为122121214C ()332329⨯⨯⨯+⨯=；………6分 (2)P X =估计为122121115C ()3323218⨯⨯⨯+⨯=； ………7分 (3)P X =估计为2111()3218⨯=．………8分 估计X 的数学期望2451701239918186EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分 （Ⅲ）A 与B 相互独立．………13分（18）（共14分） 解：选条件①：BE AF ∥．（Ⅰ）因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．………1分因为平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB EF ∥．………2分又BE AF ∥， 所以四边形ABEF 为平行四边形． 所以AB EF ∥且AB EF =． ………3分因为AB CD ∥且12AB CD =，所以EF CD ∥且12EF CD =． 所以EF 为PCD △的中位线． (5)分所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第3页（共8页）（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x y z -，………7分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uu u r ，(,,)111BF =-uu u r ，(,,)011AF =uu u r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uu u r uu u rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ 令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………9分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ． 所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF u u u r是平面PCD 的一个法向量．………11分cos ,||||AF AF AF 〈〉==⋅uu u ruu u r uu u r m m m ．………13分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角， 所以二面角B FC P --． ………14分选条件②：BE PC ⊥．（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB =．………1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =． ………2分 因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ， 所以//AB 平面PCD ． 因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………5分所以CD EF ∥． 所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第4页（共8页）（Ⅱ）以下同条件①． （19）（共15分）解：（Ⅰ）()e sin x f x x '=+．………1分 所以(0)0f =，(0)1f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())00f 处的切线方程为y x =．………4分（Ⅱ）由题设，()(e sin )(e cos )x x g x x x x =+--(1)e sin cos x x x x x =-++．所以()(e cos )x g x x x '=+． ………6分当0x >时，因为0e cos e cos 1cos 0x x x x +>+=+≥， 所以()0g x '>．………8分 所以()x g 在(0,)+∞上单调递增．………9分 （Ⅲ）11()()3434f f >．………10分证明如下：设()(),(0,)f x h x x x=∈+∞．………11分 则22()()()()x f x f x g x h x x x'-'==．………12分由（Ⅱ）知()x g 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0x g g >=．………13分 所以()0h x '>，即()x h 在(0,)+∞上单调递增．………14分 所以11()()34h h >，即11()()3434f f >．………15分2023.3 第5页（共8页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当直线AB 与x轴垂直时，设其方程为(x t t =<．………1分 由点A ,B 关于x 轴对称，且OA OB ⊥，不妨设(,)A t t ．………2分将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，得2222t t +=，解得3t =±．………3分 所以直线AB的方程为x =．………4分 （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅰ）知||||ON OM =………5分当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=． ………6分由228(21)0k m ∆=-+>，得2212m k <+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+． ………8分因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u r u u u r．所以12121212()()0x x y y x x kx m kx m +=+++=． 整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=．………10分所以2222(1)(22)(4)(21)0k m km km m k +-+-++=．解得22322m k =+，从而223m ≥．………11分设ON OM λ=u u u r u u u r，其中0λ>．则1212222()(,)(,)222121km m ON OA OB x x y y k k λλλλ-=+=++=++uuu r uu r uu u r ．………12分将222(,)2121km m N k k λλ-++代入椭圆C 的方程，得22221m k λ=+． 所以22231m m λ=-，即2213m λ=-． ………13分 因为223m ≥，所以2332λ<≤λ<．………14分2023.3 第6页（共8页）综上，||||ON OM的取值范围是． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=．又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=． 所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T ．………4分（Ⅱ）当4n =时，集合A 中的元素个数为4．由题设{0,1,2,3,4}p ∈． ………5分假设集合A 具有性质(4,)T p ，则①当0p =时，{(0,0,0,0)}A =，矛盾．②当1p =时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =，不具有性质(4,1)T ，矛盾． ③当2p =时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆． 因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中； (1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾．④当3p =时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =，不具有性质(4,3)T ，矛盾． ⑤当4p =时，{(1,1,1,1)}A =，矛盾．综上，不存在具有性质(4,)T p 的集合A ． ………9分 （Ⅲ）记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ，则12n c c c np +++=L ．若0p =，则{(0,,0)}A =L，矛盾．若1p =，则{(10,,0)}A =L，矛盾．故2p ≥．假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥． 当1c n =时，有j c =0或j c =1(2,3,,)j n =L 成立．所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<．…11分 当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L ．因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L ． 由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{2,3,,1}q p ∀∈+L ，121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1， 即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1． 又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有 (1)(1)22p p p +++=+个1，矛盾．所以(1,2,,)j c p j n =L ≤．………14分因为12n c c c np +++=L ， 所以j c p =(1,2,,)j n =L ．2023.3 第7页（共8页）所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ． ………15分。

2023北京西城区高三一模数学试卷含答案

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2023北京西城区高三一模数学试卷含答案2023年北京西城区高三一模数学试卷含答案注意：本试卷共8道大题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的编号填写在答题卡上。

1. 设函数$f(x)$的定义域为$D=\mathbb{R}$，则$f(x)=\frac{a}{x^2+b}$的图像关于直线$x=k$对称的条件是：① $k\neq 0$ ② $k=0$ ③ $a=b$ ④ $a\neq 0$A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④2. 已知实数$a$满足方程$x^2+(2a-1)x+a-1=0$有两个不等实根，则$a$的取值范围是：A. $a\in\left(0,\frac{1}{8}\right)$B. $a\in\left(-\infty,\frac{1}{8}\right)$ C. $a\in\left(-\infty, 1\right)$ D. $a\in\left(0, 1\right)$3. 若集合$A=\{1,2,3,4,5\}$，则集合$A$的子集个数是：A. 5B. 15C. 16D. 324. 设幂级数$\sum a_nx^n$的收敛半径为$R>0$，则$\sum(n+1)a_nx^n$的收敛半径为：A. $R$B. $\frac{1}{R}$C. $R+1$D. $\frac{1}{R+1}$5. 已知向量$\vec{a}=2\vec{i}+\lambda\vec{j}+3\vec{k}$与$\vec{b}=-\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$共线，且$\left|\vec{a}\right|=2\left|\vec{b}\right|$，则实数$\lambda$的值为：A. 0B. 1C. -1D. -26. 若数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+n$，则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n^2}$的值为：A. 0B. 1C. 2D. $+\infty$7. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1+a_2=8$，$a_2+a_3=24$，则$a_1$的值为：A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{5}$D.$\frac{1}{6}$8. 设随机变量$X\sim B(6, 1/2)$，即$X$服从参数为$(6, 1/2)$的二项分布，则$P\{X\leq1\}$的值为：A. $\frac{5}{64}$B. $\frac{11}{64}$C. $\frac{35}{64}$D.$\frac{57}{64}$9. 若$f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$，则$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=$A. 1B. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$C. $\sqrt{2}$D.$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$10. 设$G$是一个含有$n$个顶点的简单连通图，若$G$中每个顶点的度数都小于等于3，则$G$中边的条数的取值范围是：A. $\frac{n}{2}\leq E\leq 3n-6$B. $\frac{n}{2}\leq E\leq 2n-3$C.$2n-3\leq E\leq 3n-6$ D. $\frac{n}{2}\leq E\leq \frac{3n}{2}-3$二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）将答案填写在相应的题号后面的横线上。

2023年北京西城区高三一模数学试卷(学生版)

2023年北京西城区高三一模数学试卷(学生版)

2023年北京西城区高三一模数学试卷一、单选题1.A.B.C.D.已知集合，，则（ ）3.A.B.C.D.设，，，则（ ）4.A.B.C.D.在的展开式中，的系数为 （ ）5.A. B.C.D.已知为所在平面内一点，，则（ ）6.A.奇函数，且最小值为B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为D.偶函数，且最大值为函数是（ ）7.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（ ）2.A.B.C.D.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）8.A.B.C.D.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）9.A.B.C.D.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）10.A.B.C.D.名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（ ）二、填空题11.复数，则 .12.已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则．13.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论： ①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直；④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是 ．三、双空题14.已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则；的最小值为．15.设，其中．当时，；当时，的一个取值为．四、解答题16.如图，在中，，，平分交于点，．(1)求的值；(2)求的面积．17.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项高三男生高三女生等级优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）18.如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题(1)求证：为的中点；(2)求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并加以证明．20.已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．(1)当直线与轴垂直时，求直线的方程；(2)求的取值范围．21.给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．。

2023_2024学年北京市西城区高三下册数学仿真模拟测试卷(一模)含解析

2023_2024学年北京市西城区高三下册数学仿真模拟测试卷(一模)含解析

2023_2024学年北京市西城区高三下册数学仿真模拟测试卷（一模）一、单选题1．函数的图象大致为（ ）()21xx f x e -=A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由题意可得函数不是偶函数，图象不关于轴对称，然后再根据特殊值进行判()f x y 断可得结果．【详解】解：，所以的图象不关于轴对称，排除选项 ()()()21x x f x f x e ----=≠()f x y B ，C ，又因为，排除A.()22212320f e e --==<故选：D.本题考查根据函数的解析式判断函数的大体图象，考查分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.2．已知集合，则元素个数为{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===A B ⋂A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数的2xy =图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，A B ⋂故选：B.本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.3．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）()231f x x x =-+[]2,1-A ．，-2B ．，-9C ．-2，-9D ．2，-22323-【正确答案】B【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.[]2,1-【详解】依题意，，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩作出函数的图象如下所示；()f x 由函数图像可知，当时，有最大值，13x =-()f x 23-当时，有最小值.2x =-()f x 9-故选：B.本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.4．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径S ABCD -SA ⊥ABCD E BC AD的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ）E 3SA ==SED ∆A ．9B ．7C ．D ．9272【正确答案】C【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量,BE EC 关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.,BE EC SED 【详解】设，，则.BE x =EC y =BC AD x y ==+因为平面，平面，所以.SA ⊥ABCD ED ⊂ABCD SA ED ⊥又，，所以平面，则.AE ED ⊥SA AE A ⋂=ED ⊥SAE ED SE ⊥易知AE =ED =在中，，Rt AED ∆222AE ED AD +=即，化简得.22233()x y x y +++=+3xy =在中，，.Rt SED ∆SE =ED ==所以.12SED S SE ED ∆=⋅=因为，22108336x x +≥=当且仅当，.x =y =92SED S ∆≥=故选：C.本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.5．的展开式中的一次项系数为（ ）()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈xA ．B ．C ．D ．3nC21n C+1n nC-3112n C +【正确答案】B【分析】根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合x n 数公式得出结论．【详解】由题意展开式中的一次项系数为．x 21(1)122n n n n C +++++== 故选：B ．本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．6．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>F C A 它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是O B 120AFB ∠=︒||2||BF AF =C （ ）.A B C D 【正确答案】C易得，，又，平方计算即可得到答案.||2AF a =||4BF a =1()2FO FB FA =+ 【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得为平行四边形，AEBF 所以，又，||||||||2BF AF BF BE a -=-=||2||BF AF =故，，，||2AF a =||4BF a =1()2FO FB FA =+所以，即，2221(41624)4c a a a a =+-⨯223c a =故离心率为e =故选：C.本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.,,a b c7．抛物线的焦点为，点是上一点，，则2:2(0)C y px p =>F ()06,A y C||2AF p =p =A ．B ．C ．D ．8421【正确答案】B【分析】根据抛物线定义得，即可解得结果.62pAF =+【详解】因为，所以.262pAF p ==+4p =故选B本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.8．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩()00,x y 不等式成立，则实数的取值范围为（ ）0010x my ++≤m A ．B ．C ．D ．5(,]2-∞-1(,]2-∞-[4,)+∞(,4]-∞-【正确答案】B依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负0010x my ++≤()1,0D -m 进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，()2,6A 10x my ++=()1,0D -当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；0m =10x +≤10x +=当时，直线的斜率，0m >10x my ++=1m -<不等式表示直线下方的区域，不满足题意；10x my ++≤10x my ++=当时，直线的斜率，0m <10x my ++=1m ->不等式表示直线上方的区域，10x my ++≤10x my ++=要使不等式组所表示的平面区域内存在点，()00,x y 使不等式成立，只需直线的斜率，解得.0010x my ++≤10x my ++=12AD k m -≤=12m ≤-综上可得实数的取值范围为，m 1(,]2-∞-故选：B.本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题9．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为AE BE ⋅A ．B ．C ．D ．21163225163【正确答案】A【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积ABD △BCD △分拆，设，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

北京市西城区市级名校2024年高三下学期3月一模考试数学试题

北京市西城区市级名校2024年高三下学期3月一模考试数学试题

北京市西城区市级名校2024年高三下学期3月一模考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A 5B ．23C ．8D ．32．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =（ ） A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤< 4．若复数12bi z i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．35．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．246．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．35± C ．12 D ．12± 7．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n n b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3-B ．13- C ．1 D ．3 8．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12- B ．12 C ．-8 D ．8 10．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=11．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．250,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ 12．函数ln ||()x x x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城区初三一模数学试卷和答案

2024北京西城初三一模数 学考生须知：1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题．满分 100分．考试时间120分钟．2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 三棱柱C. 三棱锥D. 四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps ，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit )的数据. 将10000000000用科学记数法表示应为（ ）A.110.110⨯ B. 10110⨯ C. 11110⨯ D. 91010⨯3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4. 直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A. 35︒B. 55︒C. 135︒D. 145︒5. 不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A.14B.13C. 12D.236. 已知21a -<<-， 则下列结论正确的是（ ）A. 12a a <<-< B. 12a a <<-< C. 12a a <-<<D.12a a -<<<7. 若关于x 的一元二次方程 220kx x +-=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 18k ≤- B. 18k >-且0k ≠ C. 18k ≥-且0k ≠ D. 14k ≥-且0k ≠8. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC a =，AC b = (其中a b <)．CD AB ⊥于点D ，点E 在边AB 上，.BE BC = 设CD h =，AD m =，BD n =， 给出下面三个结论∶①()²²²n h m n +<+；②2222h m n >+；③AE 的长是关于 x 的方程 2220x ax b +-=的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：21236x y xy y -+=______．11. 方程43312x x =--的解为______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,8-和()2,n ， 则n 的值为______．13. 如图， 在ABCD Y 中，点E 在边AD 上，BA ，CE 的延长线交于点F ．若1AF =，2AB =， 则AEED= ．14. 如图， 在O 的内接四边形ABCD 中， 点A 是 BD的中点，连接AC ， 若130DAB ∠=︒，则ACB =∠_______︒．15. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上， 点1O ，2O 分别为两个正六边形的中心． 则2tan O AC ∠的值为______．16. 将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为______，第37个空格所填入的数为______．3717. 计算： 112sin605-⎛⎫-+︒- ⎪⎝⎭．18. 解不等式组: ()21521.32x x x x ⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩，19. 已知 240x x --=，求代数式2(2)(1)(3)x x x -+-+的值.20.如图，点E 在ABCD Y 的对角线DB 的延长线上，AE AD =，AF BD ⊥于点F ，EG BC ∥交AF 的延长线于点G ，连接DG ．（1）求证: 四边形AEGD 是菱形；（2）若 1tan 42AF BF AEF AB =∠==，，求菱形AEGD 的面积．21. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B -， 且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时， 对于x 的每一个值， 函数3y x n =-+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg 的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g )，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ． 甲同学的山楂重量的折线图：b ． 乙同学的山楂重量：8， 8.8， 8.9， 9.4， 9.4， 9.4， 9.6， 9.6， 9.6， 9.8， 10， 10， 10， 10， 10c ． 甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m 9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ， n 的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是 (填写“甲”或“乙”)；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为 和 ；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24. 如图， AB 为O 的直径， 弦CD AB ⊥于点H ，O 的切线CE 与BA 的延长线交于点E ， AF CE ∥， AF 与O 的交点为F .（1）求证: AF CD =；（2）若O 的半径为6， 2AH OH =，求AE 的长．25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心． 线段PQ 经过点O ，交边AB 于点P ， 交边AC 于点Q ． 若 12:APQ ABC AP x AQ y S S y ===，，，下表给出了x ，1y ，2y 的一些数据 (近似值精确到0.0001)．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点()()12,,x y x y ，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出1y 与2y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当APQ △是等腰三角形时，1y 关于x 的函数图象上的对应点记为(),a b ，请在x 轴上标出横坐标为a 的点；②当2y 取最大值时，x 的值为 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．（1）若 3y =₁，求t 的值；（2）若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27. 在 ABC 中， 45ABC ACB ∠=∠=︒，AM BC ⊥于点M .D 是射线AB 上的动点 (不与点 A ， B 重合)， 点 E 在射线AC 上且满足 AE AD =，过点D 作直线BE 的垂线交直线BC 于点F ， 垂足为点 G ， 直线BE 交射线AM 于点P ．（1）如图1， 若点D 在线段AB 上， 当 AP AE =时，求 BDF ∠的大小；（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF ，MP ，AB 的数量关系， 并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为1．对于O 上的点 P 和平面内的直线:l y ax =给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为P '，若射线OP 上的点Q 满足OQ PP ='，则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”．（1）当0a =时，已知O 上两点 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，在点()112Q ，，232Q ⎫⎪⎪⎭， ()(341,1Q Q --，中，点1P 关于直线l 的“衍生点”是 ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是 ；（2）P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ． 若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；（3）当11a -≤≤时，若过原点的直线s 上存在线段 MN ，对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”． 将线段MN 长度的最大值记为()D s ，对于所有的直线s ，直接写出()D s 的最小值．参考答案第一部分 选择题一、选择题 (共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 【答案】C【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据侧面展开图为4个三角形，所以该几何体是三棱锥．【详解】解：∵侧面展开图为4个三角形，∴该几何体是三棱锥，故选C ．2. 【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法：10n a ⨯，110a ≤<，n 是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n 的值，据此解答．【详解】1010000000000110=⨯，故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：A ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；D ．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意．故选：D ．4. 【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果．【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒，∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行，∴3435∠∠==︒，∴21804145=︒-=︒∠∠，故选D ．5. 【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14．故选：A ．6. 【答案】A【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由21a -<<-，可得12a <-<，然后判断作答即可．【详解】解：∵21a -<<-，∴12a <-<， ∴12a a <<-<，故选：A ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得()2Δ1420k =-⨯-≥ 且0k ≠，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程220kx x +-=有两个实数根，∴()2Δ14200k k ⎧=-⨯-≥⎨≠⎩，∴18k ≥-且0k ≠，故选C ．8. 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系．【详解】解：∵在Rt BDC 中，222BD CD BC +=，即222n h a +=，在Rt ABC 中，222BC AC AB +=，即()222a b m n +=+，∴()222222n h a a b m n +=<+=+ ，即()²²²n h m n +<+，故①正确．∵在Rt BDC 中，222n a h =-，在Rt ADC 中，222m b h =-，∴222222n m a b h +=+-，又∵在Rt ABC 中，()222a b m n +=+，∴()22222n m m n h +=+-，即2222222n m n m mn h +=++-，即222mn h =，∴()()()222222220m nh m n mn m n m n +-=+-=->≠，∴2222m n h +>，故②错误．∵DE BE BD BC BD a n =-=-=-，∴()AE AD DE m a n m n a =-=--=+-，∵2220x ax b +-=的实数根为：()()222a m n x a m n -±+===-±+，∴AE 的长是关于 x 的方程 2220x axb +-=的一个实数根，故③正确．综上①③正确，故选：B ．第二部分 非选择题二、填空题 (共16分，每题2分)9. 【答案】3x ≥【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x 的取值范围．【详解】由二次根式的概念，可知30x -≥，解得3x ≥.故答案为：3x ≥10. 【答案】()26y x -【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可．【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x -+=-+=-．故答案为：()26y x -．11. 【答案】=1x -【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解法是解决本题的关键．先去分母，转化为一元整式方程，再求解即可．【详解】解：()()42331x x -=-，4893x x -=-，解得：=1x -，经检验：=1x -是原方程的根，所以，原方程的根为：=1x -，故答案为：=1x -．12. 【答案】4-【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据题意，()1,8-和点()2,n ，都满足解析式()0k y k x=≠，即可求解．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()1,8-和()2,n ，∴182n -⨯=，解得：n =-4故答案为：4-．13. 【答案】12【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由FAE CDE ∽，推出AE AF DE CD=．由平行四边形的性质得到AB CD ∥，2CD AB ==，推出FAE CDE ∽，得到AE AF DE CD=，而1AF =，于是得到12AE DE =．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，2CD AB ==，FAE CDE ∴∽，∴AE AF DE CD=，1AF =Q ，∴12AE DE =．故答案为：12．14. 【答案】25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵O 的内接四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，∴18500DA BCD B ∠︒∠==︒-，∵点A 是 BD的中点，∴ AD AB =，∴1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒，故答案为：25．15. 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接2O C ，过2O 点作2O E BC ⊥，垂足为E ，设正六边形的边长为a ，则112O A O B O C a ===，在2Rt O CE 中，22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒，∴21122EC O C a BE ===，22O E C ==，∴15222AE a a a =+=，∴22tan O E O AC AE ∠==．16. 【答案】 ①. 1 ②. 19【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得．【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴这37个数的和也是第37个数的倍数，又∵12337++++ ()()()137236182019=+++++++ 381819=⨯+703=3719=⨯，∴第37个空格所填入的数为19，故答案为：1，19．17. 【答案】5-【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算绝对值，负整数指数幂，代入三角函数值，化简二次根式，再合并即可．【详解】解∶112sin605-⎛⎫-+︒⎪⎝⎭52=+-=5-．18. 【答案】3x<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案．【详解】原不等式组为()2152132x xx x⎧+<+⎪⎨+-≥⎪⎩①②解不等式①，得3x<，解不等式②，得7x≤，∴原不等式组的解集为3x<．19. 【答案】9【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将²40x x--=变形为24x x-=，最后将24x x-=以整体的形式代入原式，即得答案．【详解】2(2)(1)(3)x x x-+-+22(44)(23)x x x x=-+++-2221x x=-+，²40x x--=，24x x∴-=，∴原式22()19x x=-+=．20. 【答案】（1）见详解（2）32【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF DF=，再证GEF△和ADF△全等，得出EF DF=，于是根据对角线相互平分的四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF 、EF 的长，即可得出对角线AG 、ED 的长，根据菱形的面积公式计算即可．【小问1详解】证明：AE AD = ，AF BD ⊥，EF DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EG BC ∥，AD EG ∴∥，GEF ADF ∴∠=∠，在GEF △和ADF △中，GEF ADFEF DF EFG DFA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)GEF ADF ∴△≌△，∴=GF AF ，EF DF = ，∴四边形AEGD 是平行四边形，AE AD = ，∴四边形AEGD 是菱形；【小问2详解】解：AF BD ⊥ ，AF BF =，AFB ∴ 是等腰直角三角形，4AB = ，∴由勾股定理得，4AF BF AB ====1tan 2AEF ∠= ，∴12AFEF =，12=，EF ∴=，四边形AEGD 是菱形，2AG AF ∴==2ED EF ==∴菱形AEGD 32=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21. 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩，计算求解，然后判断作答即可．【详解】解：设购买x 套围棋，y 套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，403010002x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得，10011y =，∵y 不为正整数，∴不合题意．答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍．22. 【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x -+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B -，代入函数解析式得，3520k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x -+>+，即24n x -<，又2x <，∴224n -≥，解得：10n ≥，∴n 的取值范围为10n ≥．23.【答案】（1）9.4，10（2）①甲，②9.3，9.6（3）160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【小问1详解】解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m =；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n =．【小问2详解】解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2-之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4-，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．② 要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285-+-+-+-+-⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245-+-+-+-+-⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．【小问3详解】解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）12【分析】本题考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握切线的性质是解题的关键．（1） 连接OC ，OC 与AF 交于点G ，根据切线的性质得到90OCE ∠=︒，根据垂径定理得到 2AF AG =，然后证明OAG OCH ≌即可得到结论；（2）在Rt OCH 和Rt OCE 运用解直角三角形得到OE 长，然后利用AE OE OA =-解题即可．【小问1详解】证明: 如图， 连接OC ，OC 与AF 交于点 G .∵ CE 与O 相切， 切点为C ，∴CE OC ⊥.∴90OCE ∠=︒ .∵ AF CE ∥，∴ 90OGA OCE ∠∠==︒ .∴ OC AF ⊥于点 G .∴ 2AF AG =.∵CD AB ⊥ 于点 H ，∴90OHC ∠=︒， 2CD CH =.∴OGA OHC ∠∠=.又∵ AOG COH ∠∠=，OA OC =，∴ OAG OCH ≌.∴AG CH =.∴A F CD =；【小问2详解】解: ∵ O 的半径为6， 2AH OH =，∴2OH =， 4AH =.在Rt OCH 中， 190cos .3OHOHC COH OC ∠=︒∠==，在Rt OCE 中， 190cos 63OCE COE OC ∠=︒∠==，，，18cos OCOE COE ∴==∠，∴18612AE OE OA =-=-=.25. 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）①见解析；②0.5或1【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q 在点C 处，从而得出12APQ ABC S S =△△，即可得出答案；（2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可；（3）①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，根据等边三角形的性质求出23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，根据60PAQ ∠=︒，证明PAQ △为等边三角形，解直角三角形求出23a =，23b =，在函数图象上描出该点即可；②根据函数图象，得出2y 取最大值时x 的值即可．【小问1详解】解：当0.5x =时，点P 为AB 的中点，∵点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心，∴此时点Q 在点C 处，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点P 为AB 的中点，点Q 在点C 处，∴12APQ ABC S S =△△，∴20.5APQABCS y S == ；填报如下：x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.9511y 10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.52y 0.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5【小问2详解】解：如图所示：【小问3详解】解：①连接AO 并延长交BC 于点D ，连接OB ，如图所示：∵ABC 为等边三角形，点O 为ABC 外心，∴30OBD BAD ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1122BD BC ==，OA OB =，∴12OD OB =，AD ===，∴23OA AD ==，当APQ △是等腰三角形时，AP AQ =，∵60PAQ ∠=︒，∴PAQ △为等边三角形，∴60APQ ∠=︒，∴APQ ABC ∠=∠，∴PQ BC ∥，∴90AOP ADB ∠=∠=︒，∴2cos303AOAP ===︒，∴23AQ AP ==，∴23a =，23b =，∴此时在1y 关于x 的函数图象上标出点22,33⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：②根据函数图象可知，函数2y 的最大值为0.5，此时0.5x =或1x =．26. 【答案】（1）1-（2）13t ≤≤【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把A 点的坐标代入解析式求得2b a =，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，分两种情况讨论，得到关于t 的不等式组，解不等式组从而求得t 的取值范围．【小问1详解】解： 点(2,3)A -在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，3423a b ∴=-+，2b a ∴=，12b t a∴=-=-；【小问2详解】解：0a > ，∴抛物线23(0)y ax bx a =++>开口向上，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当12t m t +<<+时，都有132y y y >>，∴点1(2,)A y -在对称轴的左侧，3(,)C m y 在对称轴的右侧，点1(2,)A y -，2(2,)B y ，3(,)C m y 在抛物线23(0)y ax bx a =++>上，∴点1(2,)A y -关于直线x t =的对称点为(22)t +，2(2,)B y 关于直线x t =的对称点为(22)t -，当2t ≥时，则222221t t t t +>+⎧⎨-≤+⎩，解得03t <≤，23t ∴≤≤；当2t <时，则22212t t t +>+⎧⎨+≥⎩，解得12t ≤<，综上所述，t 的取值范围为13t ≤≤．27. 【答案】（1）67.5︒（2）2CF MP =，证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得345∠=︒，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得267.5∠=︒，然后由余角性质得出2BDF ∠=∠，即可求解．（2）作CQ AP ∥交BE 于点 Q ，利用相似三角形的性质求得2CQ MP =，证明BDF CEQ ≌，得到BF CQ =，由勾股定理得BC ，即可由CF BF BC CQ =+=，得出结论．【小问1详解】解∶如图4．∵在ABC 中，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴AB AC =，90BAC ∠=︒，1290∠+∠=︒．∵AM BC ⊥于点 M ， 3452BAC BM CM ∠∴∠==︒=，．∵AP AE =， 180318045267.522︒-∠︒-︒∴∠===︒．∵DF BE ⊥于点 G ，∴190BDF ∠+∠=︒，∴267.5BDF ∠=∠=︒．【小问2详解】解：补全图形，如图5．2CF MP =+．证明∶ 如图5， 作CQ AP ∥交BE 于点 Q ．∵CQ AP ∥，∴BMP BCQ∽∴MP BM CQ BC=，∵BM =CM ， AM ⊥BC ， 1902MP BM BCQ AMC CQ BC ∴==∠=∠=︒ 2518045CQ MP ACB BCQ ∴=∠=︒-∠-∠=︒，．445ABC ∠=∠=︒ ，∴45∠=∠，DBG ABE DG BE ∠=∠⊥ ，于点 G ， 90BAC ∠=︒，∴D E∠=∠ AD AE AB AC == ，，AD AB AE AC ∴-=-， 即BD CE =．∴BDF CEQ≌BF CQ =∶．．CF BF BC BC =+= ，，2CF CQ MP ∴=+=+．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28. 【答案】（1）23Q Q ，（2）2m ≤≤2m -≤≤-（3）2-【分析】（1）先得出直线l 为0y =，根据轴对称得出121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，进而可得11PP '=，22P P '=，勾股定理求得点1234,,,Q Q Q Q 与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，02PP '≤≤当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，则符合题意，进而分0,0m m ><画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点P 的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【小问1详解】解：∵当0a =时，直线l 为0y =，即x 轴，∵121.2P P ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，∴11PP '=22P P '=，∵()112Q ，， 232Q ⎫⎪⎪⎝⎭， ()(341,1Q Q --，∴1OQ ==，2OQ ==3OQ ==，42OQ ==，∴点1P 关于直线l 的“衍生点”是2Q ，点2P 关于直线l 的“衍生点”是3Q ，故答案为：23Q Q ，．【小问2详解】解：依题意，02PP '≤≤，由（2）可得当点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”则2OS ≤，∵P 为O 上任意一点， 直线y x m =+ ()0m ≠与x 轴， y 轴的交点分别为点 A ，B ．∴OA OB m ==，∴当线段AB 上存在一个点到原点的距离为2时，当0m >时，如图所示，当2OS =时，即S 与B 点重合时，存在点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =则AB （除端点外）上所有的点到O 的距离都2<，∵对称轴为直线y ax =，不能为y 轴，则()0,2和()2,0-不是点P 关于直线l 的“衍生点”，则2m =符合题意，∵线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴m 2≥，当OS y x m '⊥=+，此时OS '最短，则当2OS '=时，m =，此时只有1个点到O 的距离为2，其他的点都不是点P 关于直线l 的“衍生点”，∴2m ≤≤根据对称性，当0m <时，可得2m -≤≤-；综上所述，2m ≤≤2m -≤≤-【小问3详解】∵11a -≤≤时∴随着a 的变化，点P 关于直线l 的对称点P '始终在圆上，如图所示，依题意，直线l 是经过圆心，且经过 AB 的直线，s 经过圆心，①当点P 在 AB （包括边界）上时，当,P P '重合时，当PP '为直径时，则2OQ PP '==，根据新定义可得02PP '≤≤，∴()2D s =，②当P 点在 AD 的内部的圆弧上时（不包括边界），当PP '为直径时，则2OQ PP '==，则对于线段 MN 上任意一点R ，都存在O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”．当P 在y 轴上时，两条边界线的正中间，则PP '，2PP OQ '≤=≤即()2D s =-综上所述，()2D s =．【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．。

北京市西城区高考数学一模试卷-解析版

北京市西城区高考数学一模试卷-解析版

2021年北京市西城区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{x|x≥﹣1}【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{1，2}，故选：B．【点评】本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题．2．（4分）已知复数z满足﹣z＝2i，则z的虚部是（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【分析】利用待定系数法设z＝a+bi，然后利用复数相等，求出b的值即可得到答案．【解答】解：设z＝a+bi，因为﹣z＝2i，则有a﹣bi﹣（a+bi）＝2i，即﹣2bi＝2i，所以b＝﹣1，故复数z的虚部为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．3．（4分）在的展开式中，常数项为（ ）A．15B．﹣15C．30D．﹣30【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项公式为T＝C，令6﹣3r＝0，解得r＝2，所以展开式的常数项为C＝15，故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A．12B．C．16D．【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为：S＝S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD＝22+×2×2+×2×2+×2×2+×2×2＝8+4．故选：D．【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题．5．（4分）已知函数，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）A．（0，1）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（0，2）【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得在（0，+∞）上是减函数，结合f（2）＝0分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为（0，+∞），又由y＝和函数y＝﹣log2x都是区间（0，+∞）上的减函数，则在（0，+∞）上也是减函数，又由f（2）＝1﹣1＝0，则不等式f（x）＞0的解集是（0，2），故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数单调性的性质以及应用，属于基础题．6．（4分）在△ABC中，C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是AB的中点，则＝（ ）A．B．4C．D．6【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．【解答】解：在△ABC中，C＝90°，则•＝0，因为点P是AB的中点，所以＝（+），所以＝•[（+）]＝2+•＝2＝||2＝．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．7．（4分）在△ABC中，C＝60°，a+2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝（ ）A．B．C．6D．5【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，sin A＝6sin B，利用正弦定理得：a＝6b，所以，解得，利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝，故c＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线y2＝4x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，则两条反射光线a'和b'之间的距离为（ ）A．B．C．D．【分析】由抛物线的方程得F（1，0），又∠OFA＝60°，写出直线AF的方程，并联立抛物线的方程，解得y A，同理解得y B，再计算|y A﹣y B|即可得出答案．【解答】解：由y2＝4x，得F（1，0），又∠OFA＝60°，所以直线AF的方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+，联立，得（y+）2＝，所以y1＝或y2＝﹣2（舍去），即y A＝，同理直线BF的方程为y﹣0＝（x﹣1），即y＝x﹣，联立，得（y﹣）2＝，所以y3＝2或y4＝﹣（舍去），即y B＝2，所以|y A﹣y B|＝|2﹣|＝，即两条反射光线的距离为，故选：C．【点评】本题考查抛物线的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．9．（4分）在无穷等差数列{a n}中，记T n＝a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣…+（﹣1）n+1a n（n＝1，2，…），则“存在m∈N*，使得T m＜T m+2”是“{a n}为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①若{a n}为递增数列，又T m+2＝T m+（﹣1）m+2a m+1+（﹣1）m+3a m+2，当m为奇数时，T m+2＝T m﹣a m+1+a m+2，∵{a n}递增数列，∴a m+2＞a m+1，∴T m+2＞T m，即∃m∈N+，使T m+2＞T m，②若∃m∈N+，使T m+2＞T m，由T m+2＝T m+（﹣1）m+2a m+1+（﹣1）m+3a m+2，即（﹣1）m+2a m+1+（﹣1）m+3a m+2＞0，当为m奇数时，﹣a m+1+a m+2＞0，a m+2＞a m+1，∴{a n}递增数列，当为偶数时，a m+1﹣a m+2＞0，a m+1＞a m+2，∴{a n}递减数列，综上所述，∃m∈N+，使T m+2＞T m是{a n}为递增数列必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和等差数学的性质，属于基础题．10．（4分）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记△（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（ ）A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），则b＝2B．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数a，使得△（Y）＜1C．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若△（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g （x）D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得△（X∪Y）≤3【分析】A举反例判断；B用反证法，分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数a，求出b满足条件即可．【解答】解：对于A，因为△（X）＝2，△（X）＝△（Y），所以△（Y）＝2，于是b＝2或﹣2，未必b＝2，所以A错；对于B，假设存在实数a，使△（Y）＜1，若a≥0，△（Y）＝（a+2）2﹣a2＝4（a+1）≥4，矛盾，若a+2≤0，△（Y）＝a2﹣（a+2）2＝﹣4（a+1）≥4，矛盾，若﹣1＜a＜0，△（Y）＝（a+2）2＞1，矛盾，若﹣2＜a＜﹣1，△（Y）＝a2＞1，矛盾，若a＝﹣1，△（Y）＝1﹣0＝1，矛盾，所以B错；对于C，取f（x）＝|x|，g（x）＝1，则△（X）＝2，但对任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥g（x）不成立，所以C错；对于D，对任意的实数a，只须b满足[a，a+2]⊂[b，b+3]，就有X∪Y＝Y，从而△（X∪Y）＝△（Y）＝3≤3，所以D对．故选：D．【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了集合的基本概念，考查了不等式性质，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区月坛中学2024届中考一模数学试题含解析

北京市西城区月坛中学2024届中考一模数学试题含解析

北京市西城区月坛中学2024届中考一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，直线AB ∥CD ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠1+∠3=180°D ．∠3+∠4=180°2．已知实数a ＜0，则下列事件中是必然事件的是（ ）A ．a+3＜0B ．a ﹣3＜0C ．3a ＞0D ．a 3＞03．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2332π-B ．233π-C ．32π-D ．3π-4．如图，矩形ABCD 中，12AB =，13BC =，以B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，以D 为圆心，DA 为半径画弧，交BC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．92D ．55．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数kyx=的图像上一点，过点P做PQ x⊥轴于点Q，若OPQ△的面积为2，则k的值是( )A．-2 B．2 C．-4 D．46．在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．8．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是（）A．黑（3，3），白（3，1）B．黑（3，1），白（3，3）C．黑（1，5），白（5，5）D．黑（3，2），白（3，3）10．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在ABCD中，AB=8，P、Q为对角线AC的三等分点，延长DP交AB于点M，延长MQ交CD于点N，则CN=__________．12．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．13．如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=35，则BC的长为_____．14．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△BDE：S 四边形DECA的值为_____．15．如图，AB 为⊙0的弦，AB=6，点C 是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是______________．16．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____．17．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是___．（结果保留π）三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，Rt ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：点F 是AC 的中点；（2）若∠A=30°，AF=3，求图中阴影部分的面积．19．（5分）对于平面直角坐标系xOy 中的点()(),0Q x y x ≠，将它的纵坐标y 与横坐标x 的比y x 称为点Q 的“理想值”，记作Q L ．如()1,2Q -的“理想值”221Q L ==--．（1）①若点()1,Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_______； ②如图，)3,1C ，C 的半径为1．若点Q 在C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是_______．（2）点D 在直线33y x =+上，D 的半径为1，点Q 在D 上运动时都有03Q L ≤≤求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）()()2,0M m m >，Q 是以r 为半径的M 上任意一点，当022Q L ≤≤写出相应的半径r 的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）20．（8分）先化简：2222421121x x x x x x x ---÷+--+，然后在不等式2x ≤的非负整数解中选择一个适当的数代入求值. 21．（10分）某工厂计划生产A 、B 两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A 产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B 产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B 产品要超过38件，问有哪几种符合条件的生产方案？（3）在（2）的条件下，若生产一件A 产品需加工费40元，若生产一件B 产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案．22．（10分）已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值.23．（12分）（1）计算：20(2)(3)12sin 60π︒-++-； （2）化简：2121()a a a a a--÷-． 24．（14分）如图，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，点B 是⊙O 上的一点，且∠BAC ＝30°，∠APB ＝60°． （1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】分析：依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．详解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选D．点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．2、B【解题分析】A、a+3＜0是随机事件，故A错误；B、a﹣3＜0是必然事件，故B正确；C、3a＞0是不可能事件，故C错误；D、a3＞0是随机事件，故D错误；故选B．点睛：本题考查了随机事件.解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件指一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.3、B【解题分析】根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG ≌△DBH ，得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可．【题目详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD 3∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，2{34A AB BD ∠=∠=∠=∠，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =26021233602π⨯-⨯ =233π故选B ．4、B【解题分析】连接DF ，在Rt DCF △中，利用勾股定理求出CF 的长度，则EF 的长度可求．【题目详解】连接DF ，∵四边形ABCD 是矩形∴12,13AB CD BE AD BC DF ======在Rt DCF △中，90C ∠=︒222213125CF DF CD ∴=--=13121EC BC BE =-=-=514EF CF EC ∴=-=-=故选：B ．【题目点拨】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．5、C【解题分析】根据反比例函数k 的几何意义，求出k 的值即可解决问题【题目详解】解：∵过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，△OPQ 的面积为2，∴|2k |=2， ∵k ＜0，∴k=-1．故选：C ．【题目点拨】本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6、C【解题分析】：∵点的横纵坐标均为负数，∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，故选C7、B【解题分析】由题意可知，当03x ≤≤时，11222y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时， ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-1922x =-+； 当57x <≤时，()1127722y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数解析式， 可知选项B 正确.【题目点拨】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．8、C【解题分析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，进行判断即可．试题解析：连接AC ，如图：根据勾股定理可以得到：510．51+51=10）1．∴AC 1+BC 1=AB 1．∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故选C ．考点：勾股定理．9、A【解题分析】首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出即可．【题目详解】解：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、当摆放黑（3，1），白（3，3）时，此时是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【题目点拨】此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确定各点位置是解题关键．10、D【解题分析】分析：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．详解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5=18°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣18°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=1．∵已经有3个五边形，∴1﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选D．点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解题分析】根据平行四边形定义得：DC∥AB，由两角对应相等可得：△NQC∽△MQA，△DPC∽△MPA，列比例式可得CN的长．【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠CNQ=∠AMQ ，∠NCQ=∠MAQ ，∴△NQC ∽△MQA ，同理得：△DPC ∽△MPA ，∵P 、Q 为对角线AC 的三等分点， ∴12CN CQ AM AQ ＝＝，21CP CD AP AM ＝＝， 设CN=x ，AM=1x ， ∴8221x ＝， 解得，x=1，∴CN=1，故答案为1．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握两角对应相等，两三角形相似的判定方法是关键．12、214【解题分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m 2+n 2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．【题目详解】由根与系数的关系得：m+n=52，mn=12， ∴m 2+n 2=（m+n ）2-2mn=(52)2-2×12=214， 故答案为：214． 【题目点拨】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如1211 x x 、x 12+x 22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化． 13、4【解题分析】试题解析：∵3 cos5BDC∠=，可∴设DC=3x，BD=5x，又∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB=5x，又∵AC=8cm，∴3x+5x=8，解得，x=1，在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，4.BC===故答案为:4cm.14、1：1【解题分析】根据题意得到BE：EC=1：3，证明△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质计算即可．【题目详解】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴S△BDE：S△BCA=（BEBC）2=1：16，∴S△BDE：S四边形DECA=1：1，故答案为1：1．【题目点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．15、【解题分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【题目详解】解：因为点M、N分别是AB、BC的中点，由三角形的中位线可知：MN=12 AC，所以当AC最大为直径时，MN最大．这时∠B=90°又因为∠ACB=45°，AB=6 解得AC=62MN长的最大值是32．故答案为：32．【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16、1【解题分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.【题目详解】解：将抛物线y=（x+m）1向右平移1个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-1）1．其对称轴为：x=1-m=0，解得m=1．故答案是：1.【题目点拨】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式. 17、8π【解题分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2公式即可求出．【题目详解】∵圆锥体的底面半径为2，∴底面周长为2πr=4π，∴圆锥的侧面积=4π×4÷2=8π．故答案为：8π．【题目点拨】灵活运用圆的周长公式和扇形面积公式．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）见解析；（2）31 26π-【解题分析】（1）连接OD、CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC=90°，再判定AC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到FD=FC，然后证明∠3=∠A得到FD=FA，从而有FC=FA；（2）在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=33AC=2，再证明△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，接着根据切线的性质得到OD⊥EF，从而可计算出DE的长，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ODE-S扇形BOD进行计算即可．【题目详解】（1）证明：连接OD、CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC为⊙O的切线，∵EF为⊙O的切线，∴FD=FC，∴∠1=∠2，∵∠1+∠A=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠A，∴FD=FA，∴FC=FA，∴点F是AC中点；（2）解：在Rt△ACB中，3，而∠A=30°，∴∠CBA=60°，， ∵OB=OD ， ∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD=60°，∵EF 为切线，∴OD ⊥EF ，在Rt △ODE 中，∴S 阴影部分=S △ODE ﹣S 扇形BOD =12×2601360π⋅⋅=2﹣16π． 【题目点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．19、（1）①﹣3；②0Q L ≤≤（2D x ≤≤（3 【解题分析】（1）①把Q （1，a ）代入y=x-4,可求出a 值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与x 轴夹角越大，可得直线OQ 与D 相切时理想值最大，C 与x 中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论D 与x 轴及直线y =相切时，L Q 取最小值和最大值，求出D 点横坐标即可；（3）根据题意将点M 转化为直线2x =，Q 点理想值最大时点Q 在y =上，分析图形即可．【题目详解】（1）①∵点()1,Q a 在直线4y x =-上，∴143a =-=-，∴点Q 的“理想值”31Q L -==-3， 故答案为：﹣3.②当点Q 在D 与x 轴切点时，点Q 的“理想值”最小为0.当点Q 纵坐标与横坐标比值最大时，Q 的“理想值”最大，此时直线OQ 与D 切于点Q ， 设点Q （x ，y ），C 与x 轴切于A ，与OQ 切于Q ，∵C （3，1），∴tan ∠COA=CA OA =33， ∴∠COA=30°，∵OQ 、OA 是C 的切线，∴∠QOA=2∠COA=60°，∴y x=tan ∠QOA=tan60°=3， ∴点Q 的“理想值”为3，故答案为：03Q L ≤≤（2）设直线与x 轴、y 轴的交点分别为点A ，点B ，当x=0时，y=3，当y=0时，33-x+3=0，解得：x=33 ∴()33,0A ，()0,3B ．∴3OA =3OB =， ∴tan ∠OAB=3OB OA =， ∴30OAB ∠=．∵03Q L ≤≤∴①如图，作直线3y x =．当D 与x 轴相切时，L Q =0，相应的圆心1D 满足题意，其横坐标取到最大值．作11D E x ⊥轴于点1E ，∴11D E OB ， ∴111D E AE BO AO =． ∵D 的半径为1，∴111D E =． ∴13AE =，∴1123OE OA AE =-=． ∴123D x =．②如图当D 与直线3y x =相切时，L Q 3，相应的圆心2D 满足题意，其横坐标取到最小值．作22D E x ⊥轴于点2E ，则22D E OA ⊥． 设直线3y x =与直线33y x =+的交点为F ． ∵直线3y x =中，3，∴60AOF ∠=，∴OF AB ⊥，点F 与Q 重合，则39cos 332AF OA OAF =⋅∠==． ∵D 的半径为1，∴21D F =．∴2272AD AF D F =-=． ∴227373cos 224AE AD OAF =⋅∠=⨯=， ∴22534OE OA AE =-=． ∴2534D x =． 由①②可得，D x 533D x ≤≤ （3）∵M （2，m ），∴M 点在直线x=2上，∵022Q L ≤≤∴L Q 取最大值时，y x=22 ∴作直线y=22，与x=2交于点N ，当M 与ON 和x 轴同时相切时，半径r 最大，根据题意作图如下：M 与ON 相切于Q ，与x 轴相切于E ， 把x=2代入y=22得：2∴2，OE=2，22NE OE +，∴∠MQN=∠NEO=90°，又∵∠ONE=∠MNQ ，∴NQM NEO ∆∆，∴MQ MN NE MEOE ON ON-==，即4226r r-=，解得：r=2.∴最大半径为2.【题目点拨】本题是一次函数和圆的综合题，主要考查了一次函数和圆的切线的性质，解答时要注意做好数形结合，根据图形进行分类讨论．20、21x+；2.【解题分析】先将后面的两个式子进行因式分解并约分，然后计算减法，根据题意选择x=0代入化简后的式子即可得出答案. 【题目详解】解：原式=()()()()2221 21112x xxx x x x---⋅++--=()21 211xxx x--++=21 x+2x≤的非负整数解有：2,1,0,其中当x取2或1时分母等于0，不符合条件，故x只能取0∴将x=0代入得：原式=2【题目点拨】本题考查的是分式的化简求值，注意选择数时一定要考虑化简前的式子是否有意义.21、（1）甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．（2）共有四种方案；（3）生产A 产品21件，B 产品39件成本最低．【解题分析】试题分析：(1)、首先设甲种材料每千克x 元， 乙种材料每千克y 元，根据题意列出二元一次方程组得出答案；(2)、设生产B 产品a 件，则A 产品(60－a)件，根据题意列出不等式组，然后求出a 的取值范围，得出方案；得出生产成本w 与a 的函数关系式，根据函数的增减性得出答案.试题解析：（1）设甲种材料每千克x 元， 乙种材料每千克y 元， 依题意得：解得：答：甲种材料每千克25元， 乙种材料每千克35元.（2）生产B 产品a 件，生产A 产品（60-a ）件. 依题意得： 解得：∵a 的值为非负整数 ∴a=39、40、41、42∴共有如下四种方案：A 种21件，B 种39件；A 种20件，B 种40件；A 种19件，B 种41件；A 种18件，B 种42件(3)、答：生产A 产品21件，B 产品39件成本最低.设生产成本为W 元，则W 与a 的关系式为：w=(25×4+35×1+40)(60－a)+(35×+25×3+50)a=55a+10500 ∵k=55>0 ∴W 随a 增大而增大∴当a=39时，总成本最低.考点：二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用.22、（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解题分析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【题目详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=， 由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-， 即AC 2m 1=-. 解方程()2x m m 3+=，得m x 2=， 即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时， 则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=. 综上可得，4m 7=或1. 【题目点拨】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C 点的位置，避免漏解是解题关键.23、（1）（2）11a a +-. 【解题分析】（1）根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题；（3）根据分式的减法和除法可以解答本题．【题目详解】（1）())022π12sin60︒-++-=4+1+|1﹣2×2|=4+1+|1﹣1（2）2a 12a 1a a a --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭=()()2a 1a 1a 2a 1a a+--+÷=()()()2 a1a1a·a a1 +--=a1 a1 +-．【题目点拨】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24、（1）见解析；（2）2【解题分析】试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果．（1）连接OB．∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°．∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．∴OB⊥PB．又∵点B是⊙O上的一点，∴PB是⊙O的切线．（2）连接OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=1．∴PA=OP2-OA2=2∵PA=PB，∠APB=60°，∴PA=PB=AB=2．考点：此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。

2023北京西城初三一模数学(教师版)

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2023北京海淀初三一模数 学2023.04学校 姓名 准考证号一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列几何体中，主视图为右图的是（A ） （B ） （C ） （D ）2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83 000余份，总量位居世界第二位.将83 000用科学记数法表示应为 （A ）38310⨯（B ）48.310⨯ （C ）58.310⨯ （D ）50.8310⨯3. 在一条沿直线MN 铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN 上选取一点P ，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（A ） （B ） （C ）（D）4.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是 （A ）23（B ）34（C ）25（D ）355. 实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（A ）m n <（B ）0m n +> （C ）0m n −< （D ）0mn >6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a −+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是 （A ）1−（B ）0（C ）1（D ）27. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O 处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为 （A ）63°（B ）36°（C ）27°（D ）18°8. 图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是图1 图2（A ） （B ） （C ） （D ）第二部分 非选择题二、填空题（共16题，每题2分） 9. x 的取值范围是．10. 分解因式：244a b ab b ++= ． 11. 方程123x x =+的解为 ．12.13. 若AC ＝4，BD ＝8，则OM 的长为______.14. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=的图象与正比例函数y mx =的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（1，a ），则点B 的坐标为______.15. 如图，点M 在正六边形的边EF 上运动. 若ABM x ∠=，写出一个符合条件的x 的值 ．16. 某陶艺工坊有A 和B 两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品. 两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示.烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品.某批次共生产了10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品. （1）烧制这批陶艺品，A 款电热窑至少使用_______次；（2）若A 款电热窑每次烧制成本为55元，B 款电热窑烧每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为________元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()112023π2cos 452−⎛⎫−++ ⎪⎝⎭.18. 解不等式组：22135.2x x x x +<−⎧⎪⎨−<⎪⎩，19. 已知2210x x +−=，求代数式()()22123x x +−−的值.MDCBAO20. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.21．如图，在四边形ABCD =∠C =90°，过点B 作BE ∥AD 交CD于点E ，点F 为AD 边上一点，AF =BE ，连接EF . （1）求证：四边形ABEF 为矩形； （2）若AB =6，BC =3，CE =4，求ED 的长.22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象过点（1，3），（2，2）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，一次函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．FEDCBA23. 如图，AB 为☉O 的直径，C 为☉O 上一点，D 为BĈ的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E .（1）求证：直线DE 为☉O 的切线；（2）延长AB ，ED 交于点F . 若BF =2，sin ∠AFE =13，求AC 的长.24. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息.a . 西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b . 西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：（1）m= ，n = ；（2）在西红柿与黄瓜中， 的价格相对更稳定；（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在月的产量相对更高.25. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”.在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. （1）建立如图所示的平面直角坐标系.B A通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行的测量，得到以下数据：① 野兔本次跳跃的最远水平距离为 m ，最大竖直高度为 m ； ② 求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m ，最大竖直高度为1m.若在野兔起跳点前方2m 处有高为0.8m 的篱笆，则野兔此次跳跃______（填“能”或“不能”） 跃过篱笆.26．在平面直角坐标系xOy 中，点0()A x m ,，0(4)B x n +,在抛物线221y x bx =−+上.（1）当5b =，03x =时，比较m 与n 的大小，并说明理由；（2）若对于034x ≤≤，都有m <n <1，求b 的取值范围.27. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE=CF ，AE ，BF 交于点G . （1）求∠AGF 的度数；（2）在线段AG 上截取MG=BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N .① 依题意补全图形；② 用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明.备用图28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （m ，n ），我们称直线y ＝mx ＋n 为点P 的关联直线. 例如，点P（2，4）的关联直线为y ＝2x ＋4. （1）已知点A （1，2）① 点A 的关联直线为____________；② 若⊙O 与点A 的关联直线相切，则⊙O 的半径为_________； （2）已知点C （0，2），点D （d ，0）. 点M 为直线CD 上的动点.① 当d =2时，求点O 到点M 的关联直线的距离的最大值；② 以T （﹣1，1）为圆心，3为半径的⊙T . 在点M 运动过程中，当点M 的关联直线与⊙T 交于E ，F 两点时， EF 的最小值为4，请直接写出d 的值.FD CBA G FEDCBA参考答案第一部分 选择题一、选择题 （共16分，每题2分）二、填空题（共16分，每题2分） 9．5x ≥10．()22b a+11．3x =12．16.41314．(12−−，) 15．35（答案不唯一） 16．2，135三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本题满分5分）解：原式12=++………………………………………………………………4分3=+． ………………………………………………………………………5分18．（本题满分5分）解：原不等式组为221 35. 2x x x x +<−⎧⎪⎨−<⎪⎩，①② 解不等式①，得3x >． …………………………………………………………2分 解不等式②，得5x <． …………………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为35x <． ……………………………………………5分19．（本题满分5分）解：原式=244126x x x ++−+ ……………………………………………………2分 =2427x x ++． ………………………………………………………………3分∵ 2210x x +−=，∴ 221x x +=． …………………………………………………………………4分 ∴ 原式 =22(2)7x x ++=9． ……………………………………………………………………5分20．（本题满分5分）方法一证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∴ AC ⊥BD ． ∵ CD ＝BC ，∴ AB =AD ．……………………………………2分 ∵ ∠BAC ＝30°，∴ ∠B ＝90°−∠BAC ＝60°．………………3分 ∴ △ABD 是等边三角形．…………………4分 ∴ AB ＝BD ．D CBA∴ 1122BC BD AB ==．…………………………………………………………5分方法二证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴ ∠B ＝90°−∠BAC ＝60°. …………………1分 ∵ BD ＝BC ，∴ △BCD 是等边三角形. ……………………2分 ∴ ∠BDC ＝60°，BD ＝CD.∴ ∠DCA ＝∠BDC −∠A ＝30°＝∠A.∴ CD ＝AD. ………………………………………………………………………4分 ∴ AD ＝BD ＝BC.∴ 12BC AB =. …………………………………………………………………5分 21. （本题满分6分）（1）证明：∵ BE ∥AD 且AF =BE ，∴ 四边形ABEF 为平行四边形. …………………………………………2分 ∵ ∠A =90°，∴ 四边形ABEF 为矩形. …………………………………………………3分（2）解：∵ 四边形ABEF 为矩形，AB =6，∴ ∠AFE =90°，EF =AB =6.在△BCE 中，∠C =90°，BC =3，CE =4，∴ BE…………………………………………………4分 ∴ sin ∠BEC =BC BE =35. ∵ BE ∥AD ， ∴ ∠BEC =∠D . ∴ sin D =sin ∠BEC =35. 在△EFD 中，∠EFD =180°−∠AFE =90°， ∴ DE =sin EFD=10. ………………………………………………………6分 22．（本题满分5分）（1）解：∵ 一次函数y kx b =+的图象过点（1，3），（2，2），∴ 32 2.k b k b +=⎧⎨+=⎩，………………………………………………………………2分解得14.k b =−⎧⎨=⎩，∴ 这个一次函数的解析式为4y x =−+． …………………………………3分（2）1m ≥． ……………………………………………………………………………5分 23．（本题满分6分）（1）证明：连接OD ，AD.∵ 点D 是BC 的中点， ∴ BD CD =.DCBAFDC BAA∴ ∠BAD ＝∠CAD. ………………………………………………………1分 ∵ OA ＝OD ， ∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∴ ∠CAD ＝∠ODA.∴ OD ∥AC. ………………………………………………………………2分 ∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠E ＝90°，∴ ∠ODE ＝180°−∠E ＝90°. ∵ 点D 为⊙O 上一点，∴ 直线DE 是⊙O 的切线. ………………………………………………3分（2）解：连接BC.设OA ＝OB ＝OD ＝r. ∵ BF ＝2，∴ OF ＝OB ＋BF ＝r ＋2. 在△ODF 中，∠ODF ＝90°， ∴ sin 13AFE OD OF ==∠. 即123r r =+，解得r ＝1. …………………………………………………4分∴ AB ＝2r ＝2. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°＝∠E. ∴ BC ∥EF . ∴ ∠ABC ＝∠AFE.∴ sin sin 13ABC ∠∠＝＝.∴ sin 23AC AB ABC ⋅∠＝＝. ………………………………………………6分24．（本题满分6分）（1）6.5，6； ……………………………………………………………………………2分 （2）西红柿； ……………………………………………………………………………4分 （3）6． ……………………………………………………………………………………6分 25．（本题满分5分）（1）① 2.8，0.98； ………………………………………………………………………2分② 由题意可知，抛物线的顶点为（1.4，0.98）.∴ 设抛物线解析式为2( 1.4)0.98y a x =−+. ………………………………3分 ∵ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 20(0 1.4)0.98a =−+，解得 0.5a =−.∴ 抛物线的解析式为20.5( 1.4)0.98y x =−−+. ……………………………4分（2）能. ……………………………………………………………………………………5分 26.（本题满分6分）（1）m =n . …………………………………………………………………………………1分理由如下：FA∵ b =5，∴ 抛物线解析式为y =x 2−10x +1， ∴ 对称轴为x =5. ∵ x 0=3，∴ A （3，m ），B （7，n ）关于直线x =5对称.∴ m =n . ………………………………………………………………………………2分 （2）当03x =时，∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上， ∴ 106m b =−，5014n b =−. ∵ 1m n <<， ∴ 10650141b b −<−<.∴752b <<. 当04x =时，∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上， ∴ 178m b =−，6516n b =−. ∵ 1m n <<，∴ 17865161b b −<−<. ∴ 46b <<.∵ 对于034x ≤≤，都有1m n <<， ∴ 45b <<. 当45b <<时，设点()04x n +，关于抛物线的对称轴x b =的对称点为()1x n ，， ∵ 点()04x n +， ∴ 点()1x n ，在抛物线上.由014x b b x +−=−，得1024x b x =−−. ∵ 034x ≤≤，45b <<， ∴ 103x <<.∵ 抛物线221y x bx =−+， ∴ 抛物线与y 轴交于（0，1）. 当x b <时，y 随x 的增大而减小.∵ 点（0，1），()1x n ，，()0x m ，在抛物线上，且100x x b <<<， ∴ 1m n <<.综上所述，45b <<. ………………………………………………………………6分27.（本题满分7分）（1）∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AB =BC ，∠ABE =∠BCF =90°. 又∵ BE =CF ，∴ △ABE ≌△BCF （SAS ）. ………………………………………………………1分∴ ∠BAE =∠FBC .∵ ∠FBC +∠ABG =90°，∴ ∠BAE +∠ABG =90°.∴ ∠AGF =90°. …………………………………………………………………2分 （2）① 依题意补全图形.…………………………………………………………………………………3分② 线段MN 与ND 的数量关系为MN =ND . …………………………………4分 证明：过点A 作AH ⊥AE 交GN 延长线于点H ，连接DH .∵ ∠AGF =90°，GN 平分∠AGF ，∴ ∠AGN =12∠AGF =45°. ∵ AH ⊥AE ， ∴ ∠GAH =90°. ∴ ∠AHG =∠AGH =45°. ∴ AG =AH . ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠BAD =90°，AB =AD .∵ ∠GAH =90°，∴ ∠BAG =∠DAH .∴ △BAG ≌△DAH （SAS ）.∴ BG =DH ，∠AHD =∠AGB =90°.∵ BG =GM ，∠AHG =45°，∴ GM =DH ，∠DHN =∠NGM =45°.∵ ∠HND =∠GNM ，∴ △HND ≌△GNM （AAS ）. ∴ MN =ND . ……………………………………………………………7分28.（本题满分7分）（1）① y =x +2；……………………………………………………………………………1分② √2； ……………………………………………………………………………2分（2）① 当d =2时，直线CD 过点（0，2），（2，0），∴ 直线CD 解析式为y =−x +2.MNGF E D C B AH MNGF E D CB A∵ 点M 在直线CD 上，∴ 设M 点坐标为（m ，−m +2）.∴ 点M 的关联直线为l ：y =mx −m +2.∴ 直线l 过定点H （1，2），则OH =∵ 点O 到直线l 的距离h OH ≤，∴ h ≤OH ⊥l ，即12m =−时，h =∴ 点O 到点M …………………………5分 ② d =2或d =23−. …………………………………………………………………7分。

北京市西城区2022届高三数学统一测试(一模)试题(解析版)

北京市西城区2022届高三数学统一测试(一模)试题(解析版)

北京市西城区2022届高三数学统一测试（一模）试题一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. ，则A B=（）D. {} 2,0,2 -【1题答案】【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义可求得结果.故选：A.2.【2题答案】【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法得到复数z，再求共轭复数.故选：B3. ，30.3c=，则（）A. a c b<< B. b c a<<【3题答案】【答案】D 【解析】【分析】直接由对数函数的单调性判断0b a <<，再由指数的运算得到0c >，即可判断.【详解】由333log 0.3log 0.4log 10<<=以及30.30>故选：D.4. 在61(2)x x-的展开式中，常数项为（ ）B. 120 D. 160【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.260,3k k -==故选：C ．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)(2)5. 若双曲线22221x y a b -=【5题答案】【答案】A 【解析】.，解得：224,5a b ==，故选：A6. 0a b ⋅=.A. 5 C. 10 D. 10【6题答案】【答案】B 【解析】.5=且0a b ⋅= 故选：B.7. 为圆22:()(1)2C x m y m -+--=m 值为（）【7题答案】【答案】C 【解析】min BC =，结合线段AB 长度的最小值r -，即可求解.【详解】由圆22:()(1)2C x m y m -+--=，可得圆心r =故选：C.8. a 个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a个单位所得函数图象关于y ，0a >，则ϕ=（）C. 8π【8题答案】【答案】D 【解析】【分析】.的图象向右平移a 个单位，可得的图象向左平移a 个单位，可得的图象关于y故选：D.9. 在无穷等差数列{}n a 中，公差为d ，则“存在*m ∈N ，使得123ma a a a ++=”是“1a kd=（*k ∈N ）”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【9题答案】【答案】B 【解析】【分析】用定义法进行判断.【详解】充分性：此时1231333a a a a d d ++=+=，而4133a a d d=+=，满足.故充分性不成立；必要性：若1a kd=，则()()()123241233k a a a kd k d k d k d a +++=++++=+=，此时24m k =+.故必要性满足.故选：B10. 如图，曲线C 为函数的图象，甲粒子沿曲线C.到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.A. ()f m 是增函数D. ()f m 的图象关于点5(,0)6π中心对称【10题答案】【答案】B 【解析】.，则221y t t =+-221y t t =+-在所以()f mA 错误；56m π=，故B 正确；，所以()f mC 错误；所以()f mD 错误；故选：B二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若抛物线22y px=上任意一点到点【11题答案】【解析】【分析】直接由抛物线的定义求解即可.故答案为：2.12.*2,n n N≥∈），n ，则5S=___________.【12题答案】【答案】124【解析】公式，即可求解.164a=，故答案为：124.13. 如图，在棱长为2的中点，点F给出下列三个论断：以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.【13题答案】【答案】2ADF ABF S S =△△【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具即可解决.【详解】如图,建立空间直角坐标系D xyz-设(,,0),[0,2],[0,2]F x y x y ∈∈,则1(2,,2)A F x y =--所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:则2ADF ABFS S =答案任填其中一个即可故答案为:若2ADF ABFS S = ,14. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低则分（x 为正整数）.月底积分/分进行自动兑换.①家庭某，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益，则x的最大值为___________.【14题答案】【答案】 ①【解析】【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额种情况讨论，计表x 的最大值.【详解】①若某家庭某，则该家庭月底的积故该家庭该月积分卡能；②设每个家庭每月产生的垃圾为kg t ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额.成立；()0.10.10.340.4f t t x t =+≤⨯故x 的最大值为36.故答案为：15.①有一个零点；②存在实，k，使得函数③实数k，使得函数④对任意实总存在实数k使得函数.其中所有正确结论的序号是___________.【15题答案】【答案】①②④【解析】.【详解】①()0f x =示：3y kx =+0，3）知函数()f x 至少有一个零点，故正确；②当4,0=-=a k③示：由图象知：函数()f x有三个零点，故错误；④，，当0a >时，由图象知：对任意实总存在实数k使得函数.故答案为：①②④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.cos 2a Bbc +=.（1大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在且唯边上高线的长.条件①②③【16~17题答案】【答案】（1（2）条件选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cos A 范围值；（2）选条件①，计上高线的长；选条件②，由余弦唯一；选条件③，由余弦腰上高线的长.【小问1详解】弦因为A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+.在△ABC6A π=.【小问2详解】解：选条件①选条件②：由余弦整唯一；选条件③：由余弦所以ABC为等腰17. 如图，四边是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，1AB DE==，在棱PA上.（1）求证（2）求二面角C PE A--的余弦值；（3）若点F到平面AF的长.【17~19题答案】【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）证明质可证（2别轴建立空间直角坐标系A xyz-，利用空间向量法可求得二面角C PE A --的余弦值；（3）设AF t =，则()0,0,F t ，范围的值.【小问1详解】证明：在矩中，//AB CD.平面ABCD ，平面ABCD，所以因为PA ⊄平面DE ⊂因为BF ⊂平面PAB【小问2详解】平面ABCD，平面ABCD，，PA AB⊥，又因为ABCD是矩形，AD AB⊥，所以AD 、AB 、AP 两两垂为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y，所以()1,0,1 CE=-，由图可知二面角C PE A--为锐角，所以二面角C PE A--的余弦【小问3详解】，所以()1,2,CF t=--，因为点F到平面18. 2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园///5642724积水潭12///20137860牛街57///38124草桥1399///1638新发地410162///335新宫25543///19合计363656262125200（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X ，求随机变量X 的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况表示上车，“10ξ=”表示下车.相应3ξ分别表示在牛街，草桥站上､下车情况2D ξ，3D ξ大小关系.【18~20题答案】【答案】（1（2）分布列答案见解析，数学期望：1（3【解析】【分析】（1）用频率估计概率即可；（2）服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望（3）根据两点分布方差公式可得答案.【小问1详解】设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事由已知，在积水潭站上车的乘客，其中在牛街站下车的乘客有20人，【小问2详解】随机布列为【小问3详解】（两点分布19. 已知椭2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周（1）求椭圆C的方程；（2椭垂交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点.如果2MOP MNP∠=∠成立，求k的值.【19~20题答案】【答案】（121y +=（2【解析】【分析】（1、b 、这三个量的值，可得出椭（2）分析可知k ≠，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点M垂距离公式可求得k的值.【小问1详解】，，，所以椭【小问2详解】垂乎设()11,A x y、()22,B x y，则122841kmx xk+=-+，()121222241my y k x x mk+=++=+，横纵令0x=，则点N的纵230,41mNk⎛⎫-⎪+⎝⎭，，所以点N、点P在原点两侧.因为2MOP MNP∠=∠=OM ON.，解得21619k+=【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1、()22,x y；（2）联立直线与圆锥元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +（5）代入韦达定理求解.20. 已知函数()1e x axf x a=-+（1①求曲线()y f x =在x =处的切线方程；②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）若()f x 没有零点，求a的取值范围.【20~21题答案】【答案】（1）②证明见解析（2）{}()210,e -⋃【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②导唯表法证明(0,)+∞上有唯一极大值点；（2对a 分类讨论：①0a <，得到当零点，符合题意.【小问1详解】()1e 1x x f x =-+，()f x ='①所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②，()e xg x x '=-，.又(1)1g =>唯列表得：【小问2详解】①若a <，则()0h x '>R上是增函数.x .所以当1a =-唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意.②域为R.当ln x a <时，()0h x '<(,ln )a -∞上是减函数；当ln x a>时，()0h x '>(ln ,+)a ∞上是增函数.()f x 无零点，符合题意.综范围【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.21. 如果无穷数列{}n a 是等差数列，且满足：，*k ∃∈N，使得，则称数列{}n a 是“.（1）下列无穷等差数列中，是“H 数列”的为___________；（直接写出结论）、{}:0n b 、2 {}:0n c 、0、0、、0（2）证明H 数列”，则1a ∈Z 且公差（3H 数列”且其公差*d ∈N 为常数，求{}n a 的所有通项公式.【21~23题答案】【答案】（1（2）证明见解析 （3）1n a n =-或()11n a n d =+-【解析】【分析】（1（2）验证0d =成立，利用①②推导出Z d ∈，假{}n a 是递减数列，结合①得出101a ≤≤，结合1a ∈Z 可得出1，1d ≤-，再结合不等式的基本性质推出矛盾，从而说证得结论成立；（3）由（2推导1a ∈N种情况讨论，验证1n a n =-①②，即可得出结果.【小问1详解】解：由“H H 数列”.【小问2详解】证明：若0d =，则由①可知211a a =，所以10a =∈Z或11a =∈Z，且公差0d =∈N ，由①由①，m∃，23ma a a=，{}na中的项，因此，211a a≤，由1a∈Z1d≤-，()4131312a a d=+≤+⨯-=-，由①，24a为{}na中的项，且()224124a a≥-=>，这与等差数列{}na递减矛盾.综【小问3详解】解：因为公差*d∈N.，因为1a∈Z，所以*113,2a a--∈N，由①113aa a-为{}na中的项，这矛盾.2）1a∈Z，故1a∈N.由1a∈N，*d∈N知，*,0nn a∀∈N≥整数，取最小的正整数项k a.则由②，使得i j ka a a=且，1j ka a≥≥.1ka≤，又*ka∈N，故1ka=.（i ，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-.令2k ij i j =--+，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N 21i j k k k a a a a a a ==⨯=②.（ii 11k a a ==，()11n a n d =+-.因为*,i j ∀∈N令()()()2111k i j i j d =+-+--+，且i j ka a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N 11i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.综上，1n a n =-【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“H数列”，在第二问的证明中，可采取反证法立，结合数列的单调性可证出结论；在第三问的求解，要注否为零进行分类讨论，结合①②进行验证即可.。

北京市西城区2022届高三一模数学试题 (2)

北京市西城区2022届高三一模数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( )A．B ．2C．D ．52.已知向量，，若在方向上的投影向量为，则实数m 的值为（ ）A．B ．1C．D ．23. 若向量，，且，的夹角为，则的值为（ ）A ．2B ．－2C ．或－2D ．或－34.的值为A．B．C．D．5.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）A ．3B ．5C ．6D ．106. 过双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，且，则双曲线的离心率是（ ）．A．B．C．D．7. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．8. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）A ．这五个社团的总人数为100B ．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C ．这五个社团总人数占该校学生人数的8%D ．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%9. 已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，．若在区间上单调递增，则（ ）A．B．C．D．10.已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）北京市西城区2022届高三一模数学试题 (2)北京市西城区2022届高三一模数学试题 (2)三、填空题四、解答题A．B．C．D．11.定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小B．函数在处的曲率半径为1C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2D ．若曲线在处的弯曲程度相同，则12. 如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A 以的角速度按顺时针方向运动，质点B 同时以的角速度按逆时针方向运动，则（）A ．经过1后，扇形AOB的面积为B ．经过2后，劣弧的长为C ．经过6后，质点B的坐标为D ．经过后，质点A ，B 在单位圆上第一次相遇13.设数列的前项和为，且，则数列的前项和为______．14. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q点．若，则该双曲线的离心率为_________．15.的展开式中的系数为______．16. 如图，曲线G 的方程为，.以原点为圆心，以t （t >0）为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C.（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a ＋2，求证：直线CD 的斜率为定值.17. 某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （百万元）23456所获利润y （百万元）0.20.20.40.80.9(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出回归方程，并用样本相关系数加以说明y 与x 相关性的强弱（一般地，样本相关系数，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；(2)该公司计划用7百万元对A，B两个项目进行投资，若公司利用（1）中线性回归模型对项目A投资所获得的利润进行预测，对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大.参考公式：，.样本相关系数.参考数据：统计数据表中，，.18. 在锐角中，内角的对边分别是，且．(1)求证：；(2)求的取值范围．19. 已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，不等式恒成立，求整数的最大值．20. 数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800(2)根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：，其中．0.0500.0100.001K 3.841 6.63510.82821.如图1，在平面六边形ADCFBE中，四边形ABCD是边长为的正方形，和均为正三角形，分别以AC，BC，AB为折痕把折起，使点D，F，E重合于点P，得到如图2所示的三棱锥．(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若点M是棱PA上的一点，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值．。

北京市西城区2023届高三一模数学试题(高频考点版)

北京市西城区2023届高三一模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（）A．B．C．D ．12. 下列函数中，在上单调递减的是（ ）A．B．C．D．3. 已知集合A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2≤x ≤4}B ．{x |2＜x ≤4}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ＜2}4. 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是A．B．C．D．5. 如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．46. 从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A．B．C．D．7. 已知向量，满足，，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知事件A 与B 独立，当时，若，则（ ）A ．0.34B ．0.68C ．0.32D ．19. 已知函数，则（ ）A．B．C．D．10. 针对时下的“抖音热”，校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生北京市西城区2023届高三一模数学试题(高频考点版)北京市西城区2023届高三一模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有90%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人附表：0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.841 6.6357.87910.828附：A ．20B ．30C ．35D ．4011. 函数在上有定义，若对任意的，，有则称在上具有性质，则下列说法正确的是（ ）A ．在上具有性质；B．在其定义域上具有性质；C ．在上单调递增；D．对任意，，，，有12. 设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A ，B 两点，若，且的周长为8，则（ ）A．B ．的离心率为C ．可以为D ．可以为直角13. 设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．14.已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为________.15. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.16. 计算：的值．17. 已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2） 时，若，求的定义域，并分析其单调性．18.已知函数.(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，，，，，）19.已知函数.(1)当时，证明：；(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.20. 五一假期，大学生李明与张红两位同学在某景区的游乐场射箭比赛，两人约定：先射中者获胜，比赛结束；或每人都已射击3次时比赛结束经过抽签确定李明先射，根据以往经验，李明每次射箭射中的概率为，张红每次射箭射中的概率为，且各次射箭互不影响.（1）求李明获胜的概率；（2）求射箭比赛结束时李明的射击次数的分布列和数学期望.21. 已知在区间，上是增函数．（1）若函数在区间，上是增函数，求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．。

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北京市西城区2016年初三一模试卷数 学 2016.4一、选择题（本题共3-分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1．2016年春节假期期间，我市接待旅游总人数达到9 186 000人次，比去年同期增长1.9%．将9 186 000用科学计数法表示应为（ ）A ．9186×103B ．9.186×105C ．9.186×106D ．9.186×1072．如图，实数3-，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N ，P ，Q ，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q PQMNxy-333．如图，直线AB CD P ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，FP EF ⊥，且与BEF ∠的平分线交于P ，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°AB CDEFP124．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）ABCD5．关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >6．老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将纸条混合一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入小水罐中浸湿，即现出白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块糖的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块糖的纸条的概率是（ ）A ．110 B ．310C ．15D ．127．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步骤（单位：万步），将记录结果绘制成了如图所示的统计图．在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A ．1.2，1.3B ．1.4，1.3C ．1.4，1.35D ．1.3，1.38．在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，90AOB ∠=︒，将点O 放在圆周上，分别确定OA ，OB 与圆的交点C ，D ，读得数据8OC =，9OD =，则此圆的直径约为（ ）A ．17B ．14C ．12D ．109．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（ ）A ．300米B ．1502米C ．900米D ．(3003300+)米10．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =．动点P 从点A 出发，沿三角形边界按顺指针方向匀速运动一周，点Q 在线段AB 上，且满足2AQ AP +=．设点P 运动的时间为x ，AQ 的长为y ，则y 与x 的函数图像大致是（ ）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：34ab ab -=_______________．12．在平面直角坐标系xOy 中，将点()2,3-绕原点O 旋转180o，所得到的对应点的坐标为__________．13．已知函数满足下列两个条件：①当0x >时，y 随x 的增大而增大；②它的图象经过点()1,2，请写出一个符合上述条件的函数的表达式_______________． 14．已知O e ，如图所示．（1）求作O e 的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若O e 的半径为4，则它的内接正方形的边长为_______________．15．阅读下面材料：如图，C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且CO AB ⊥，在OC 两侧分别作矩形OGHI 和正方形ODEF ，且点I ，F 在OC 上，点H ， E 在半圆上，求证：IG FD =．小云发现连接已知点得到两条线段，便可证明IG FD =．请回答：小云所作的两条线段分别是__________和___________，证明I G F D =的依据是___________________________．DI GEC OA BH F16．有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是 ，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()212sin 452320163π-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭o18．已知230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．19．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且12BE BC =．求证：AB 平分EAD ∠．20．解不等式组()+21243512x x x x -≥-⎧⎪⎨+>-⎪⎩21．如图，在ABCD Y 中，过点A 作AE DC ⊥交DC 的延长线于点E ，过点D 作DF EA P 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：四边形AEDF 是矩形；（2）连接BD ，若2AB AE ==，25tan FAD ∠=，求BD 的长． EFDACB22．在平面直角坐标系xOy 中，直线314y x =+与x 轴交于点A ，且与双曲线k y x =的一个交点为8,3B m ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求点A 的坐标和双曲线ky x=的表达式； （2）若BC y P 轴，且点C 到直线314y x =+的距离为2，求点C 的纵坐标．23．上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：1．如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用一天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； 2．一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； 3．无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元. 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？24．如图，在ABC V 中，AB 是O e 的直径，AC 与O e 交于点D ．点E 在»BD上，连接DE ，AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠． （1）求证：CF AB ⊥；（2）若4CD =，45CB =，4cos 5ACF ∠=，求EF 的长． FEDO ABC25．阅读下列材料：据报导，2014年北京市环境空气中PM 2.5年平均浓度为85.9微克/立方米，PM 2.5一级优天数达到93天，较2013年大辅度增加了22天．PM 2.5导致的重污染天数也明显减少，从2013年的58天下降为45天，但严重污染天数增加2天．2015年北京市环境空气中PM 2.5年平均浓度为80.6微克/立方米，约为国家标准限值的2.3倍，成为本市大气污染治理的突出问题．市环保局数据显示，2015年本市空气质量达标天数为186天，较2014年增加14天，其中PM 2.5一级优的天数增加了13天．2015年本市PM 2.5重污染天数占全年总天数的11.5%，其中在11—12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天． 根据以上材料解答下列问题:（1）2014年本市空气质量达标天数为____________天；PM 2.5年平均浓度的国家标准限值是______________微克/立方米；（结果保留整数） （2）选择统计表或统计图，将2013—2015年PM 2.5一级优天数的情况表示出来；（3）小明从报道中发现“2015年11—12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天”，他由此推断“2015年全年的PM 2.5重污染天数比2014年要多”，你同意他的结论吗？并说明你的理由．26．有这样一个问题：如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究． 下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等. 关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等. 请将下面证明此猜想的过程补充完整；已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD = 求证：___________________________． 证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：____________________________________________．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21C y x bx c ++：＝经过点()2,3A -，且与x 轴的一个交点为()30B ，．（1）求抛物线1C 的表达式；（2）D 是抛物线1C 与x 轴的另一个交点，点E 的坐标为()0m ，，其中0m >，ADE V 的面积为214． ①求m 的值；②将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，若当0x m ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．（1）如图1，当点P 与点B 重合时，QPM V 的形状是_____________________； （2）当点P 在线段CB 的延长线上时，如图2． ①依题意补全图2；②判断QPM V 的形状，并加以证明；（3）点P '与点P 关于直线AB 对称，且点P '在线段BC 上，连接AP '，若点Q 恰好在直线AP '上，正方形ABCD 的边长为2，请写出求此时BP 长的思路．（可以不写出计算结果）QMNBDA CB DACPB DA C图1 图2 图329．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是 ； ②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为 ；（2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最小值．。

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