[电子教案]电磁场与电磁兼容 (9)

2.2 静电场的基本方程
一. 立体角的概念
S
• 球面上的面积对球心所张立体角的定义：
P
Ω S1 S2 R12 R22
Sr（球面度）
R1
O
S1
S2
• 任意面元dS对定点O所张的立体角：
R2
dΩ
dS • aR R2
由O指向dS的单位矢量 O到dS的距离
• 任意曲面S对定点O所张的立体角：
Ω
aR • dS S R2
（3）一个闭合曲面对曲面外的点所张的立体角为零；
对曲面包围的点所张的立体角为4。
z
R
O
y O dS
x
dS dS
O
二. 静电场的通量和散度
1. 静电场的通量：
q
对点电荷 E 4π 0R2 aR 任取一闭合面积分：
E • dS q aR • dS q dΩ
S
4π 0 S R2
4π 0 S
q
4π
q
0
4π 0
q，
0
0，
4π 0
q在S内 q在S外
若S内有N个点电荷q1、q2、…qN，则
N
qi
E •dS S
S E1 • dS
S E2 • dS
S EN • dS
i1
0
——真空中的高斯定律
将点电荷的高斯定律推广到分布电荷、S、l，可得
E • dS 1
S
0
l ldl
4Ar)0Fra bibliotekra ra
习题 2.4 ，2.7
注意：方程右边的被积 函数及积分区域均是左
1
E • dS
S
0
S S dS
E • dS 1 d
S
0
边的闭合面所包围的。
当闭合面内充满体电荷
时， 的外包面即是 S
E • dS 1 d
S
0
2. 静电场的散度：
对上式可应用散度定理：
E • dS • Ed 1 d
S
0
2ExS
SS 0
Ex
S 2 0
-x O x
x
结论：无限大均匀带电平面在两侧产生反向匀强电场
例 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
Er
r3 Ar2 (a5 Aa4 ) /
r2
ra ra
求电荷密度 (r) 。
解： • E
0
0 •
E
0
1 r2
r
(r 2Er )
0
(5r
2
注意：立体角有正负之分
常用的几个立体角：
（1）一个半锥角为 的圆锥面内区域的空间范围
的立体角
z
利用前面的结果
S aR • dS 2πR2 (1 cos )
R
O
y
x
Ω
aR • dS S R2
2π(1 cos )
（2） 曲面对表面上侧的点所张的立体角为-2， 曲面对表面下侧的点所张的立体角为2。
E • dl q ( 1 ) • dl q d( 1 ) 0
c
4π 0 c R
4π 0 c R
利用斯托克斯定理
cE • dl S E • dS 0
E 0
物理意义：静电场是无旋场，在静电场中没有涡旋 现象，也就是说，电力线永远不会闭合。
总结：真空中静电场的基本方程
积分形式
S
E
当τ =τ΄ 时
•E
0
说明：高斯定律适用于静止电荷及运动电荷的每一瞬间
举例1（运动的正电荷） 举例2（运动的负电荷）
高斯定律的物理意义：
• 0E 真空中的电通密度
• S 0E • dS q
在真空中，由一个闭合面内穿出的电通量等于 闭合面所包围的全部体积内的净电荷量。
+q +q
注意：E的通量仅与闭合面 S 所包围的净电荷有关。 而S面上的E是由系统中 全部电荷产生的。
•
dS
q
0
cE • dl 0
微分形式
•
E
0
E 0
例 无限大平面均匀带电，电荷面密度为s，求电场强度。
解：（1）电荷分布具有平面对称性 选取直角坐标
（2）电场垂直于带电平面
（3）以带电平面为对称面，作一平行六 面体，设其侧面面积为S。
s0
S
E • dS 1
S
0
S S dS
ExS
Ex (S)
试问：能否选取正方形的高斯面求解球对称场
• 轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
图2. 轴对称场的高斯面
• 无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
三. 静电场的环量和旋度
点电荷电场
q
q1
E
4π 0R2
aR
4π 0
( ) R
适于解决：平面对称、轴对称、球对称的电场问题。
•
•E
0
• (0 E)
静电场的散度源是电荷，电荷密度不为零的点
能发出或汇聚电力线。
+q
-q
适于解决：由电场分布求解体积中的体电荷密度。 注意：E 应在体积中连续
• 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
(a)
(b)
(c)
图1. 球对称场的高斯面