第七讲数列前n项求和的技巧和方法
求解数列前n_项和问题常用的技巧
解题宝典求数列的前n 项和问题具有较强的综合性，此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式.求数列前n 项和的技巧很多，如裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和等.下面结合实例谈一谈下列三种技巧.一、裂项相消运用裂项相消法求数列的前n 项和，需先将数列中的各项拆分为两项之差的形式，如1n (n +k )=1k æèöø1n -1n +k 、14n 2+1=12æèöø12n -1-12n +1、1n +n +1=n +1-n ；然后将各项相加，即可通过正负相消，顺利求得数列的前n 项和.例1.设数列{}a n ，其前n 项和S n =-3n 2，{}b n 为单调递增的等比数列，b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3.（1）求数列{}a n ,{}b n 的通项公式；（2）若c n =b n()b n -2()b n -1，求数列{}c n 的前n 项和T n .解：（1）a n =-6n +3，b n =b 2∙2n -2=2n +1；（2）由（1）可得：c n =2n +1()2n +1-2()2n +1-1=2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，所以T n =c 1+⋯+c n =æèçöø÷121-1-122-1+æèç122-1-öø÷123-1+⋯+æèçöø÷12n-1-12n +1-1=12-1-12n +1-1=1-12n +1-1.仔细观察，可发现{}c n 的通项公式的分母()2n-1()2n +1-1为两项的乘积，其差为2n +1-1-()2n-1=2n，于是将{}c n 的通项公式裂项得2n()2n -1()2n +1-1=1()2n -1-1()2n +1-1，这样数列中大部分的项可以互相抵消.运用裂项相消法就能求得数列前n 项的和.二、错位相减错位相减法是求数列前n 项和常用的方法之一.该方法主要运用于求形如{}a n ∙b n 的数列的前n 项和，其中{}a n 为等差数列，{}b n 为等比数列.先将数列{}a n ∙b n 的每一项乘以数列{}b n 的公比；然后将其与数列{}a n ∙b n 的前n 项和错位相减，即可将问题转化为等比数列求和问题.例2.数列{}a n 的前n 项和为S n ,a 1=-94，且4S n +1=3S n -9(n ∈N *).（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）设数列{}b n 满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *)，记{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .解：（1）a n =-3×æèöø34n；（过程略）（2）由3b n +(n -4)a n =0得：b n =-n -43a n =(n -4)×æèöø34n，即b n +1=(n -3)×æèöø34n +1，设c n =(An +B )×æèöø34n，则b n +1=c n +1-c n =[A (n +1)+B ]×æèöø34n +1-(An +B )×æèöø34n=[-An 4+14(3A -B )]×æèöø34n=(n -3)×æèöø34n +1，可得ìíîïï-A 4=34，3A -B 4=-94，解得{A =-3，B =0，所以c n =-3n ×æèöø34n，则T n =-()3×1-1×34-()3×2-1×æèöø342-(3×3-1)n 41解题宝典×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n -1-3n ×æèöø34n34T n=-()3×1-1×æèöø342-()3×2-1×æèöø343-⋯-()3×n -4×æèöø34n-3n ×æèöø34n +1，将上述两式相减可得14T n =-2×34-2×æèöø342-2×æèöø343-⋯-2×æèöø34n -3n ×æèöø34n +1=-234×éëêùûú1-æèöø34n 1-34-3n ×æèöø34n +1，得T n =-4n ×æèöø34n +1.仔细观察{}c n 的通项公式，可发现该式为等差数列{}-3n 与等比数列ìíîüýþæèöø34n 的对应项的乘积，可运用错位相减法来求和.将数列的前n 项和式左右同时乘以公比34，即可得到等比数列-2×34,-2×æèöø342,-2×æèöø343,⋯,-2×æèöø34n,利用等比数列的前n 项和公式进行求解即可解题.例3.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2(n ∈N *)，数列{}b n 的首项b 1=1，点P (b n ,b n +1)满足2+b n =b n +1.（1）求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；（2）记T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n ，求T n .解：（1）a n =2n，b n =2n -1；（过程略）（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n=1×2+3×22+5×23+∙∙∙+(2n -3)2n -1+(2n -1)2n ，2T n =1×22+3×23+5×24+∙∙∙+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1，将两式相减得-T n =1×2+2(22+23+∙∙∙+2n)-(2n -1)2n +1=2+2∙22+2n ∙21-2-(2n -1)2n +1=(3-2n )∙2n +1-6.故T n =(2n -3)∙2n +1+6.由问题（1）可知数列{}a n 为等比数列，数列{}b n 为等差数列，则{}a n b n 的各项由等差、等比数列的对应项的积构成，于是采用错位相减法，首先列出T n 的表达式；然后列出2T n 的表达式；再将两式作差，通过错位相减求得-T n .三、分组求和若问题中出现形如a n =b n ±c n 的数列，其中{}b n 、{}c n 为等差、等比或常数列，便可以采用分组求和法，将数列中的各项进行拆分，再重新组合成几组，使得每一组为等差、等比或常数列，即可根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1=1,a 2=2，且a n +2=3S n -3S n +1+3,n ∈N *.（1）求证：a n +2=3a n ；（2）求S n .解：（1）过程略；（2）由（1）可知，a n ≠0，所以a n +2a n=3，则数列{}a 2n -1是首项a 1=1，公比为3的等比数列.则a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1，所以S 2n =a 1+a 2+∙∙∙+a 2n=()a 1+a 3+∙∙∙+a 2n -1+()a 2+a 4+∙∙∙+a 2n =()1+3+∙∙∙+3n -1+2()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()3n -12.所以S2n -1=S 2n -a 2n =3×()3n -12-2×3n -1=32()5×3n -2-1.综上可得，S n =ìíîïïïï32æèçöø÷5×3n -32-1,n 为奇数，32æèçöø÷3n2-1，n 为偶数.求出a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1后，可以发现在n 取奇数、偶数时，对应的S n 不同，需采用分组求和法，将数列中的项分成两组，一组由奇数项构成，一组由偶数项构成，分别根据等比数列的前n 项公式进行求和，得S 2n 、S 2n -1，最后用分段式表示S n .裂项相消、错位相减、分组求和的适用情形以及用法均不相同，同学们在解题时要重点研究数列的通项公式，对其进行合理的变形，可将其拆分、裂项、乘以公比等，以便将复杂的数列求和问题转化为简单的计算问题，这样便能化难为易、化繁为简.（作者单位：安徽省泗县第二中学）42。
第七讲 数列求和的方法与技巧
高三数学VIP 讲义第七讲 数列求和的方法与技巧主讲人：张伟高考回顾：已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
数列是高中数学的重要内容， 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.我们常用的数列求和方法有：公式法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、合并法求和、利用数列的通项求和。
下面我们就通过一些典例来学习一下这些方法：一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； mnd S S S n m n m ++=+ 2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn ；n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x ，由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 08=-nn ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积。
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
数列的前n项和方法总结
数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。
下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。
3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。
若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。
4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。
若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。
5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。
以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。
在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。
前n项求和公式方法
前n项求和公式方法前n项求和公式是数学中常见的一个概念，用于计算一系列数字的总和。
它在代数、数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将对前n 项求和公式进行详细介绍，并讨论其推导方法和一些实际应用。
前n项求和公式，也被称为等差数列求和公式，是指将一个等差数列的前n个项相加得到的总和。
等差数列是一种特殊的数列，每个项与前一项的差值都相等。
在等差数列中，首项为a，公差为d，第n项为an。
根据前n项求和公式，等差数列的总和可以表示为：Sn = (a + an) * n / 2其中，Sn表示前n项的总和。
为了更好地理解前n项求和公式的推导过程，我们来具体分析一下。
假设等差数列的前n项和为Sn，第一项为a，公差为d，最后一项为an。
根据等差数列的性质，我们可以得到第一项与最后一项的关系为：an = a + (n - 1) * d接下来，我们将等差数列按照正序和倒序各自相加，并将两个和相加，可以得到：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n - 1)d)Sn = an + (an - d) + (an - 2d) + ... + (an - (n - 1)d)2Sn = (a + an) + (a + an) + ... + (a + an)2Sn = n(a + an)根据等差数列的性质，可以进一步简化表达式：2Sn = n(a + a + (n - 1)d)2Sn = n(2a + (n - 1)d)Sn = (a + an) * n / 2通过以上推导过程，我们得到了前n项求和公式，即Sn = (a + an) * n / 2。
这个公式可以帮助我们高效地计算等差数列的前n项和。
在实际应用中，前n项求和公式有很广泛的应用。
例如，我们可以用它来计算一段时间内的总收入或总支出，将每个时间点的收入或支出视为等差数列的项数，并使用前n项求和公式求解总和。
此外，前n项求和公式还可以用于计算物理中的位移、速度和加速度等问题，以及金融中的贷款利息和存款利息计算等。
数列的前n项和的计算公式
数列的前n项和的计算公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为该数列的项，而数列的前n项和则是指数列中前n个项的和。
在数学中，有许多不同类型的数列，每种数列都有其特定的前n项和的计算公式。
在本文中，我们将介绍几种常见数列的前n项和的计算公式，并且探讨它们的应用。
等差数列的前n项和。
首先，让我们来介绍等差数列的前n项和的计算公式。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列，通常用a1，a2，a3，...，an来表示。
等差数列的前n项和的计算公式为Sn = n/2 (a1 + an)，其中n表示项数，a1表示第一项，an表示第n项。
这个公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明，通过这个公式，我们可以方便地计算任意等差数列的前n项和。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，...，我们可以使用前n项和的计算公式来求出前10项的和。
根据公式，我们可以得到S10 = 10/2 (1 + 19) = 10 10 = 100。
因此，等差数列1，3，5，7，9，...的前10项和为100。
等比数列的前n项和。
接着，让我们来介绍等比数列的前n项和的计算公式。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列，通常用a1，a2，a3，...，an来表示。
等比数列的前n项和的计算公式为Sn = a1 (1 r^n) / (1 r)，其中n表示项数，a1表示第一项，r表示公比。
这个公式的推导过程涉及到等比数列的性质和求和公式，通过这个公式，我们可以方便地计算任意等比数列的前n项和。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以使用前n项和的计算公式来求出前5项的和。
根据公式，我们可以得到S5 = 1 (1 2^5) / (1 2) = 1 (1 32) / (1 2) = 31。
因此，等比数列1，2，4，8，16，...的前5项和为31。
斐波那契数列的前n项和。
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。
关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。
几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。
头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。
求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。
一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列例2、求数列5, 55，555，5555，…，，……的前项和。
解：∵∴二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。
这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。
例3、已知是等差数列，求和。
解：∵①即②由①+②，得：∵∴由等差数列的性质，易得：故于是三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如，其中为等差数列，为等比数列，公比为q；列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。
例4、求数列的前n求和(x≠0，x≠1)。
解：设①则②由①-②，得：于是四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即，然后累加时中间的许多项可以抵消。
裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。
常用公式：，，，（a≠0），例5、求数列的前n求和。
解：例6、求数列。
解：∵∴基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。
如：至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出的n 项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。
从而五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。
因为，则。
例7、求数列解：∵，∴例8、求数列。
解：∵。
∴，六、用数学归纳法例9、求数列的前n项和。
求数列前n项和的方法
求数列前n项和的方法首先，最常见的方法是利用数学公式求解。
对于一些简单的数列，可以通过数学公式直接求出前n项和。
比如等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，那么前n项和Sn=n/2(a1+an)。
同理，对于等比数列也有相应的求和公式。
这种方法适用于数列规律简单，能够找到通项公式的情况。
其次，如果数列的规律不太明显，无法找到通项公式，可以尝试利用递推关系求解。
递推关系是指数列中每一项与前面的一项或几项之间存在某种确定的关系，通过递推关系可以逐项求和。
比如斐波那契数列就是一个典型的例子，它的递推关系为Fn=Fn-1+Fn-2，初始条件为F1=1，F2=1。
通过递推关系可以依次求得数列的每一项，再将它们相加即可得到前n项和。
这种方法适用于数列规律较为复杂，无法直接找到通项公式的情况。
另外，还可以利用数学工具来求解数列前n项和，比如利用数学软件进行计算。
在现代社会，有许多强大的数学软件可以帮助我们解决复杂的数学问题，包括求解数列前n项和。
通过输入数列的前几项，数学软件可以自动推导出数列的通项公式，并计算前n项和。
这种方法适用于数列规律十分复杂，难以手工计算的情况。
最后，还可以利用数值逼近方法来求解数列前n项和。
数值逼近是一种通过不断逼近数值来求解问题的方法，它适用于各种类型的数列。
通过不断增加项数，计算数列前n项和的近似值，直到满足精度要求为止。
这种方法适用于数列规律非常复杂，无法找到通项公式，也无法通过递推关系求解的情况。
综上所述，求解数列前n项和的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际问题中，通过灵活运用这些方法，我们可以更好地解决数列求和的问题，为实际应用提供更多可能性。
希望本文介绍的方法能对大家有所启发，也希望大家能在数学学习和实际应用中取得更好的成绩。
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
数列前n项和地求法
专题二： 数列前n 项和的求法一、倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2例2：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值二、用公式法求数列的前n 项和 对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例3：求数列的前n 项和S n ：例4：已知3log 1log 23-=x ，求n x x x x +⋅⋅⋅+++32的前n 项和.例5：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值.点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例6：求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例7： 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.四、分组法求和（并项法）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n 2(n ∈N *)例9：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…五、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。
数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)
②若x≠1,则
两式相减得：
+…+
∴
例：求数列1， ， ，……，
+……+ 的和.
解：∵
∴
（5）奇偶求和法
（6）裂项相消法
此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．
此方法主要针对
这样的求和，其中{an}是等差数列．
（3）错位相减法
（4）分组化归法
此种方法主要用于数列 的求和，其中 为等差数列， 是公比为q的等比数列，只需用 便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．
此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
例：试化简下列和式：
例：求和
解：当n = 2k (k N+)时,
当 ，
综合得：
例：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
解：
∵
∴
(7)分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{ }的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出 的表达式，然后用数学归纳法证明之.
例：已知等比数列{ }中， =64，q= ，设 =log2 ，求数列{| |}的前n项和 .
解： = =
∴ =log2 =
（1）当 ≤7时， ≥0
此时， =－ +
（2）当 ＞7时， <0
此时， = － +42（ ≥8）
求数列前N项和的七种方法含例题和答案
求数列前N 项和的七种方法点拨:1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x+1-（4n-3）x n] 3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。
第七讲：等差数列的前n项和公式(一)
第六章
等差数列前n项和公式（一）
一、 等差数列前n和公式的再现
二、 类比法知记等差数列前n和公式
三 、 等差数列前n和公式的简单运用
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一、 等差数列的前n项和公式再现
等差数列{an}中，首项为a1，第n项为an，前n项和
（a 1 a n）n 记作sn，则 s n （1） 2
解：把a1=9，a12=-35，n=12,代入等差数列求和公式（1)
s12
9 （- 35） 12 -26 6 156
2
等差数列的前n项和公式公式
（a 1 a n）n （1） sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
(2)
理解了概念，记住了公式，灵活运用
例如，在等差数列数列{an}中，已知a1=1，a10=100，
（ 1 10） 10 则很明显得出n=10，即 s 55 n 2
三、等差数列前n和公式的简单运用
例2 已知在等差数列{an}中，a1=9，a12=-35，求s12 分析：读完本题，你能很快的得出哪些信息？得 出a1=9，a12=-35，n=12，由已知，你认为选 择哪个公式比较简单？很显然，代入（1）简单.
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前n项求和公式方法
前n项求和公式方法前n项求和是数学中常见的问题，也是数学分析和离散数学中的重要内容。
在实际问题中，我们经常需要计算一系列数的和，而求和公式方法可以帮助我们快速、准确地得出结果。
本文将介绍前n项求和的常见方法，帮助读者更好地理解和运用这一数学工具。
一、等差数列求和公式。
等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
对于等差数列的前n项和Sn，我们可以利用等差数列求和公式来求解。
等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，通过这一公式，我们可以快速求解等差数列的前n项和，而不必逐项相加。
二、等比数列求和公式。
等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，其通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
对于等比数列的前n项和Sn，我们可以利用等比数列求和公式来求解。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，通过这一公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和。
三、其他常见求和公式。
除了等差数列和等比数列的求和公式外，还有一些常见的数学序列和级数的求和公式，如调和级数、幂级数等。
这些求和公式在实际问题中也有着广泛的应用，可以帮助我们快速求解各种数学问题。
四、求和公式的应用。
前n项求和公式在实际问题中有着广泛的应用，如在物理、工程、经济学等领域都能看到其身影。
通过求和公式，我们可以快速计算各种数学模型中的累加和，从而得出有用的结论和推论。
因此，掌握前n项求和公式的方法对于解决实际问题具有重要意义。
五、总结。
通过本文的介绍，我们了解了前n项求和的常见方法，包括等差数列求和公式、等比数列求和公式以及其他常见求和公式。
这些方法在数学分析、离散数学以及实际问题中都有着广泛的应用，对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
希望读者通过本文的学习，能够更好地掌握前n项求和的方法，提高数学运算能力，为今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
求数列前n项和的方法
求数列前n项和的方法数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
而数列前n项和则是指数列中前n个数的和，求解数列前n项和的方法在数学中有着重要的应用。
本文将从数列的定义入手，介绍求解数列前n项和的常用方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。
首先，我们来看一下数列的定义。
数列可以用一个函数来表示，通常用a(n)或者{a_n}来表示数列中第n个数的值。
例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个常见的数列，其中a(n) = 2n-1。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
对于有限的数列，我们可以直接将所有项相加得到前n项和；而对于无限的数列，则需要通过一定的方法来计算前n项和。
接下来，我们将介绍一些常见的数列前n项和的计算方法。
首先是等差数列的前n项和。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，通常用公式a(n) = a(1) + (n-1)d来表示，其中a(1)为首项，d为公差。
对于等差数列{a(1), a(1)+d, a(1)+2d, ...,a(1)+(n-1)d}，其前n项和可以用公式Sn = n/2 (a(1) + a(n))来表示，其中a(n)为数列的第n项。
这个公式的推导可以通过数学归纳法来完成，具体的过程可以在课本或者相关资料中找到。
其次是等比数列的前n项和。
等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，通常用公式a(n) = a(1) q^(n-1)来表示，其中a(1)为首项，q为公比。
对于等比数列{a(1), a(1)q,a(1)q^2, ..., a(1)q^(n-1)}，其前n项和可以用公式Sn = a(1) (1-q^n) / (1-q)来表示。
这个公式的推导同样可以通过数学归纳法来完成。
除了以上两种常见的数列，还有其他一些特殊的数列，比如斐波那契数列、调和数列等，它们各自有着不同的前n项和计算方法。
在实际应用中，我们常常会遇到需要求解数列前n项和的问题，因此掌握这些计算方法对于解决实际问题非常重要。
数列前n项和的求解方法
数列前n 项和的求解方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()3* ()()2221121216n n n n +++=++；()4* ()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦ 2.错位相消法：给12n n S a a a =+++各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()3* ()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；()41a b=-；()5*1k=；5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
6导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答. 7.递推法.8.奇偶分析法. 一． 基本公式法例1． =+++++13742222n练1．=++++98852二．错位相消法例).0()12(531:112≠⋅-++++=-a a n a a S n n ：求和例2．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=三．分组求和法例1．求数列1, ,6,4,2nn n n n n --- , 前n 项的和.练1. 数列 815,413,211的前n 项和为练2. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前四．裂项相消法例1. 数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +==（I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式； （II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W例1.)1()1(21)12(1,1)1(2)12(1)12()(21)(1② ①② )12()32(53① )12(53101.2)]12(1[)12(531121112132122a a a a a n S aa a a n a n a a a S a a n a n a a a aS a n a a S a a n nn n S a n n n n nn n nn n n n n n --+-⋅--=∴--+--=--++++=---+-++++=-++++=≠≠=⋅-+=-++++==----- 得时，，当时，解：当例2解．当),12(22)52(2)32()12(,21-=⋅--⋅-=⋅-≥+n n n a n n n n n n 时;14,2.4)2(2,4;2111-=-=≥⎩⎨⎧-=≥=-==∴-n S S b n a n a a a n n n n n nn 时当得而 而.)2(141,111⎩⎨⎧≥-===n n b b b n 得)14(215211272)],14(211272[443232-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+-=∴n s n W nn n 记)14(2)54(2112722143-+-++⨯+⨯=∴+n n s n n ②，①－②得)14(2)222(428143--++++=-+n s n n).54(2),54(24),45(24)14(2)12(322811112-=-+=∴-+-=---+=++++-n W n s n n n n n n n n 得三、分组求和练习2：解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即03213131=+-∴q a q a q a21101322==⇒=+-∴q q q q 或211=∴≠q q①1)21(64-⨯=n n a 故（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb nn n n n T b n n )13(2)76(,6||,71-=-+==≤∴时当 2)7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)13(n n n n n n T n四、裂项相消例1解．（I ）),2(1,2)1(2111≥-=⎩⎨⎧=+=---n a n na na S a n S n n n n n n 两式相减得;,12211122111n a n n n n n a a a a a a a a n n n n n n =∴=⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅=∴--- （II ）)]4121()311[(21)2(1531421311-+-=+++⋅+⋅+⋅=n n W n ].211123[21)]211()5131(+-+-=+-++-+n n n n。
数列前n项和的求法
数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n ＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
数列前n项和的求法
专题 【1 】二：数列前n 项和的求法一.倒序相加法求数列的前n 项和假如一个数列{a n },与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采取把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一乞降办法称为倒序相加法.例如：等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”.例1：设等差数列{a n },公役为d,求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2例2：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值二.用公式法求数列的前n 项和对等差数列.等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差.等比数列的前n 项和公式进行求解.应用公式求解的留意事项：起首要留意公式的应用规模,肯定公式实用于这个数列之后,再盘算.例3：求数列的前n 项和S n ：例4：已知3log 1log 23-=x ,求n x x x x +⋅⋅⋅+++32的前n 项和.例5：设S n ＝1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值.点拨：这道题只要经由简略整顿,就可以很显著的看出：这个数列可以分化成两个数列,一个等差数列,一个等比数列,再分离应用公式乞降,最后把两个数列的和再乞降.三.错位相减法乞降这种办法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的办法,这种办法重要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和,个中{ a n }.{ b n }分离是等差数列和等比数列.例6：乞降：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例7： 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.四.分组法乞降（并项法）有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列恰当拆开,可分为几个等差.等比或罕有的数列,然后分离乞降,再将其归并即可.例8：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + … + (-1)n-1n 2(n ∈N *)例9：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ,…五.归并法乞降针对一些特别的数列,将某些项归并在一路就具有某种特别的性质,是以,在求数列的和时,可将这些项放在一路先乞降,然后再求S n .[例] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.数列的乞降办法多种多样,它在高考中的重要性也显而易见.我们的学生在进修中必需要控制好几种最根本的办法,在解题中才干比较轻易解决数列问题.六.裂项法乞降这是分化与组合思惟在数列乞降中的具体应用. 裂项法的本质是将数列中的每项（通项）分化,然后从新组合,使之能消去一些项,最终达到乞降的目标. 通项分化（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 例10：求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例11： 在数列{a n }中,11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.七.用构造法求数列的前n 项和先依据数列的构造及特点进行剖析,找出数列的通项及其特点,然后再应用数列的通项揭示的纪律来求数列的前n 项和,是一个重要的办法.例12： 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.演习：求5+55+555+….+555…5之和。
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第四讲：数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2
)
(11-+
=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)
1()1(1
11q q q a a q q a q na S n n
n
3、 )1(2
11
+=
=
∑
=n n k S n
k n 4、)12)(1(6
11
2
++=
=
∑
=n n n k S n
k n 5。
2
1
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.
练习：1求和：)2221()221()21(1122-+++++++++=n n S
二、错位相减法求和：是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前
n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例2] 求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
[例3] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,
,2
6,
2
4
,
223
2
n
n 前n 项的和.
练习：1.求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1
2.求)0(26421
253≠+⋅⋅⋅+++=-x nx
x x x S n n 三、倒（反）序相加法求和：是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例4] 求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
[例5] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
练习：已知lg(xy)=a ，求S ，其中:n
n n n
y y x
y x
x S lg lg lg lg 22
1
++++=--
四、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等
比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n 项和：231,
,71,
41,
111
2
-+⋅⋅⋅+++-n a
a
a n ，…
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.。
练习：求数列
),2
1(,,81
3,41
2,21
1n
n +的前n 项和。
五、裂项法求和：是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，
然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1
sin -+=+
（3）111)
1(1+-
=
+=
n n
n n a n （4）)1
211
21
(
21
1)
12)(12()
2(2
+-
-+
=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1)
1(1
[21
)
2)(1(1
++-
+=
+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n n
n n
n
n n S n n n n n n n n n a 2
)1(11,2
)1(12
12
1)
1()1(22
1
)1(2
1
+-
=+-
⋅=⋅
+-+=
⋅++=
-则
[例9] 求数列
⋅⋅⋅++
⋅⋅⋅+
+
,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，1
1
21
1++
⋅⋅⋅+++
+=
n n n n a n ，又1
2+⋅=
n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
练习：求 1
3， 1
1 5， 1
3 5， 1
63之和。
六、并项求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可
将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例11] 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
练习：1.)12()1(7531--+-+-+-=n S n
n
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例12] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 练习：求5，55，555，…，的前n 项和。