【精选4份合集】浙江省宁波市2020-2021学年高一数学下学期期末质量检测试题
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
(立体几何基础题)(原卷版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
浙江省2020-2021学年高一下学期期末数学试卷
2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一（下）期末数学试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．如果复数m 2+i 1+mi是纯虚数，那么实数m 等于（ ）A ．﹣1B ．0C ．0或1D ．0或﹣12．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如表所示：编号 身高 编号 身高 编号 身高 1 173 6 169 11 168 2 179 7 177 12 175 3 175 8 175 13 172 4 173 9 174 14 169 51701018215176那么这组数据的第80百分位数是（ ） A ．175B ．176C ．176.5D ．1703．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 和C 1D 所成角的大小是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB →=(2−k ，2)，AC →=(2，3)，则k 的值是（ ） A ．5B ．﹣5C ．32D ．−325．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④至少有1个黄球与都是白球． 其中互斥而不对立的事件共有（ ） A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组6．已知向量a →，b →不共线，c →=3a →+b →，d →=ma →+(m +2)b →，若c →∥d →，则m ＝（ ）A ．﹣12B ．﹣9C ．﹣6D ．﹣37．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应边的边长，若a =1，b =√3，A =30°是B =60°的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在三棱锥P ﹣ABC 中，已知P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝5，PA =√10，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．24πB ．36πC ．72πD ．144π二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9． 第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18． 则这两组数据的（ ） A ．平均数相等B ．中位数相等C ．极差相等D ．方差相等10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2911．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点．则（ ）A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点A 1和点D 到平面AEF 的距离相等12．在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC ＝6，AD ＝2，则（ ） A ．△ABC 面积最大值是12 B ．cosB ≥√53C ．|AD →+BE →|不可能是5D ．BE →⋅AC →∈(112，352)三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．14．若直线m 与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β ．15．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC ＝60°，则山的高度BC ＝ m ．16．已知单位向量a →，b →，c →满足a →⋅b →=0，记d →=a →−√3b →，则对任意λ∈R ，|2a →+c →|+|(1−λ)d →|+2|a →−c →−λd →|的最小值是 ． 四．解答题（共6小题）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2． （Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．18．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙两队进行排球比赛：，（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为12求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为2，乙5，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x（x≤4）个球发球时甲赢1分的概率为35后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P（x）．19．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图[每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）元]．（1）求月收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的应抽取多少？20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（√3b ﹣c sin A ）sin C ＝c （1﹣cos A cos C ）． （Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）在①S △ABC =9√34，②A =π4，③a ＝2c 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b ＝3，_______，求△ABC 的周长．21．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），x →=a →+（t +1）b →，y →=−1k a →+1t b →． （1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明a →，b →能否成为一组基底； （2）若对于任意非0实数t ，x →与y →均不共线，求实数k 的取值范围．22．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1所有的棱长为2，A 1B =A 1C =√2，M 是棱BC 的中点． （Ⅰ）求证：A 1M ⊥平面ABC ；（Ⅱ）在线段B 1C 是否存在一点P ，使直线BP 与平面A 1BC 所成角的正弦值为3√3020？若存在，求出CP 的值；若不存在，请说明理由．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学1班学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市北仑中学1班学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.(2x+1)7的展开式中x2的系数是()A. 21B. 42C. 84D. 1682.下列求导数运算正确的是()A. (1x)′=x−2 B. (2x)′=2x ln2C. (ln2x)′=12x D. (sinπ6)′=cosπ63.根据如下样本数据：得到经验回归方程为ŷ=b̂x+â，则()A. â<0，b̂<0B. â>0，b̂>0C. â<0，b̂>0D. â>0，b̂<04.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排，甲乙不相邻的排列方法有()A. 12种B. 48种C. 72种D. 120种5.目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是()A. 37B. 12C. 34D. 676.济南市为实现“节能减排，绿色出行”，自2018年起大力推广新能源出租车、网约车．截止目前，全市出租车已有38%换装为新能源汽车，网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车．某人从泉城广场通过手机软件打车功能，同时呼叫出租车与网约车，该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息(假设平台呼叫范围内新能源车比例与全市区域相同，每位司机接单机会相同)，该乘客被新能源汽车接单的概率约为()A. 42.3%B. 44.5%C. 46.7%D. 50%7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家数p ，使得p +2是素数．素数对(p,p +2)称为孪生素数对．从8个数对(3,5)，(5,7)，(7,9)，(9,11)，(11,13)，(13,15)，(15,17)，(17,19)中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X ，则E(X)=( )A. 38B. 12C. 32D. 38. 已知函数f(x)的定义域为R ，f′(x)>1，f(1)=−1，则f(x)>x −2的解集为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)9. m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC. 若m//α，n ⊥m ，则n ⊥αD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为( )A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直11. 如图所示，△ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 与BE 相交于点M ，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的值为( )A. 1114B. 87C. 57D. 131412. 已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1上的两个动点，|AB|=√3，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为线段AB 的中点，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 14B. 12C. 34D. 3213. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( )A. x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1 14. 设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A. 3√34B. 9√38C. 6332D. 9415.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，CA=CB=CC1=2，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2216.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为()A. 1+√22B. 3√22C. √62D. 5√26二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）−x)6的展开式中，下列说法正确的是()17.在(1xA. 常数项是20B. 第4项的二项式系数最大C. 第3项是15x2D. 所有项的系数的和为018.目前有望战胜新冠病毒的有效策略之一就是疫苗的接种预防．装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数(简称：膨胀系数).某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X1服从正态分布N(4.4,0.09)，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数X2服从正态分布N(4.7,0.01)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827．A. 甲生产线硼硅玻璃膨胀系数范围在(4.1,4.7)的概率约为0.6827B. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中C. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃膨胀系数不能超过5.则乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大D. 乙生产线所产的砌硅玻璃膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等19.已知由样本数据(x i,y i)，i=1，2，3，4，5，6求得的经验回归方程为ŷ=2x+1，且x−=3.现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线l的纵截距依然是1，则下列说法正确的是()A. 去除前变量x每增加1个单位，变量y一定增加2个单位B. 去除后剩余样本数据中x的平均数为2C. 去除后的经验回归方程为ŷ=2.5x+1D. 去除后相关系数r变大20.已知函数f(x)=lnx−ax，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2，则下列说法正确的是()A. x1lnx2=x2lnx1B. 2e<x1+x2<e2C. x1x2>e2D. 1lnx1+1lnx2>221.下列命题正确的是()A. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交．B. 若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行．C. 过空间任意一点，可作一个平面与异面直线a，b都平行．D. 若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则α//β．22.a，b，c分别为△ABC中三个内角A，B，C的对边，下列结论中正确的是()A. 若cosA=cosB，则△ABC为等腰三角形B. 若A>B，则sinA>sinBC. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有且仅有两个D. 若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC为钝角三角形23.如图，ABCD是棱长为a的正四面体，过△ACD的中心P作一个与直线AB，CD都平行的截面，则关于这个截面的说法中正确的是()A. 截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB. 截面是一个三角形C. 截面是一个矩形D. 截面的面积为2a224. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )≤0，则|a ⃗ +b ⃗ −c ⃗ |的值可能为( )A. √2−1B. 1C. √2D. 2三、单空题（本大题共7小题，共35.0分）25. 已知随机变量X 的分布如表，则D(X)=______．X 01Pa2a26. 为调查某企业年利润Y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x,y)，如表所示： x 1 2 3 4 5 Y50607080100由上表中数据求得Y 关于x 的经验回归方程为y =12x +a ，据此计算出样本点(4,80)处的残差(残差=观测值−预测值)为______．27. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校举行文艺汇演．该校音乐组9名教师中3人只会器乐表演，5人只会声乐表演，1人既会器乐表演又会声乐表演，现从这9人中选出3人参加器乐表演，4人参加声乐表演，每人只能参加一种表演，共有______种不同的选法．(用数字作答) 28. 已知函数f(x)=e 2x ，g(x)=lnx+1x，若f(x)图象向下平移k(k >0)个单位后与g(x)的图象有交点，则k 的最小值为______．29. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2且(2+b)(sinA −sinB)=(c −b)sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ． 30. 如图，在△ABC 中，点P 是AB 上的点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t =______．31. 已知a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是平面中的三个单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则|2c⃗ −a ⃗ |+|12c ⃗ −b ⃗ |的最小值是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 32. 过点M(1,1)作斜率为−1的直线与椭圆C ：x 2+y 2=1(a >b >0)相交于A ，B ，则五、解答题（本大题共12小题，共140.0分）33.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+1在x=1处有极值，其图象经过点(2,3)，且f′(0)=−1．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在x=−1处的切线方程．34.为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：(1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．(如需计算Χ2，结果精确到0.001)附：Χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d))(a+c)(b+d)Χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值35.某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．(1)求每一位抽奖者中奖的概率；(2)现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用X表示中奖的人数，求X的分布列及均值．36.已知函数f(x)=e x[ax2−(3a+1)x+3a+2]．(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<1时，讨论函数f(x)的单调性．37.2021年新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略A：为避免有选错的得0分，在四个选项中只选出一个自已最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做．这种策略每个题耗时约3分钟．策略B：争取将该问题得5分，选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6分钟．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了其各种策略下11题和12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.8，采用策略B，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4；第12题：如果采用策略A，选对一个选项的概率为0.7，采用策略B，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10分钟，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定11题采用策略B、12题采用策略A，设此次考试他11题和12题总得分为X，求X的分布列；(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：11题采用策略B，12题采用策略A；方案2：11题和12题均采用策略B．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，根据小明的实际情况，你赞成他的第几种方案，并说明理由．38. 已知函数f(x)=lnx −ax +1．(1)若f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：当n ∈N +时，1+12+13+⋅⋅⋅+1n +e >ln(n +1)+(1+1n )n 成立．39. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．40. 如图：在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，A(4,0),C(1,√3)，点M 是OA 的中点，点P 在线段BC 上运动(包括端点) (1)求u =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． (2)是否存在实数λ，使(λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．41.如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π，OA⊥底面ABCD，OA=2，4M为OA的中点，N为BC的中点．(Ⅰ)证明：直线MN//平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．42.四面体ABCD中，AC=8，BD=6，直线AC和BD所成的角为60°，平面α与四面体的棱AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，且四边形EFGH恰为平行四边形；(1)求证：直线AC//平面α；(2)当平面α变化时，求平行四边形EFGH的面积S的最大值．43. 如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点(O 为圆心)，且∠AOB =θ(θ为锐角).点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M ．(1)求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (结果用θ表示)； (2)若θ=60°①求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； ②设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<t <1)，记S△COM S△BMA=f(t)，求函数f(t)的值域．44. 已知椭圆T ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =35，过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线被椭圆T 截得的线段长为325． (1)求椭圆T 的方程；(2)设A 为椭圆T 的左顶点，B ，C 是椭圆T 上的不同两点(与A 不重合)，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1⋅k 2=−425，证明直线BC 过一个定点，并求出这个定点的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(2x+1)7二项展开式的通项公式为T r+1=C7r⋅(2x)7−r⋅1r=C7r⋅27−r⋅x7−r，令7−r=2，解得r=5，所以x2的系数是C75⋅25=84．故选：C．利用二项展开式的通项公式求解即可．本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：(1x )′=(x−1)′=−1x2，(ln2x)′=12x×2=1x，(sinπ6)′=0，故A、C、D错误．故选：B．利用基本初等函数的导数公式判断．本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由表格可知，Y随着x的值增加而减小，故b̂<0，又当x=0时，Y应该大于6.5，故â>0．故选：D．通过表格中数据，分析Y随着x的值是增加还是减小，从而可判断b̂的情况，由x=0，即可判断â的情况．本题考查了线性回归方程的理解，解题的关键是正确理解b̂与â的含义，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①先将丙、丁、戊三人排好，有A33=6种排法，②排好后，有4个空位，将甲乙安排在空位中，有A24=12种排法，则甲乙不相邻的排列方法6×12=72种；故选：C．根据题意，利用插空法，先排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位即可．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，基本事件有：(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共7个，其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，共6个，∴已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是P=6．7故选：D．利用列举法能求出结果．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A≈0.423=42.3%．【解析】解：新能源汽车接单的概率约为0.38×42+0.51×2142+21故选：A．估计42辆出租车和21辆网约车中新能源汽车的数量，再计算概率．本题考查用样本估计总体，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可知，这8个数对中只有(3,5)，(5,7)，(11,13)，(17,19)是孪生素数对，则X 的可能取值为0，1，2，3， 故P(X =0)=C 43C 40C 83=114，P(X =1)=C 42C 41C 83=37， P(X =2)=C 41C 42C 83=37，P(X =3)=C 40C 43C 83=114，所以E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=32． 故选：C ．先求出随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：不等式f(x)>x −2等价于f(x)−x +2>0，构造函数F(x)=f(x)−x +2， 又F(1)=f(1)−1+2=0，不等式等价于F(x)>F(1)．因为F′(x)=f′(x)−1>0，所以F(x)在R 上单调递增，所以不等式的解为x >1． 故选：B ．构造函数F(x)=f(x)−x +2，将不等式转化为F(x)>F(1)，利用单调性解不等式． 本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解抽象不等式，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知： 对于A ，若m//α，n//α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若m ⊥α，n ⊂α，则由线面垂直的性质得m ⊥n ，故B 正确； 对于C ，若m//α，n ⊥m ，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n ⊂α，故D 错误． 故选：B ．对于A ，m 与n 相交、平行或异面；对于B ，由线面垂直的性质得m ⊥n ；对于C ，n 与α相交、平行或n ⊂α；对于D ，n//α或n ⊂α．本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】C【解析】解：如图，直线AB ，CD 异面． 因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角， 因为△CDE 为等边三角形， 故∠DCE =60° 故选：C ．以CD 所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE//AB ，所以∠DCE 即为直线AB ，CD 所成的角，在△CDE 中求解即可．本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．11.【答案】C【解析】解：∵A ，M ，D 三点共线，可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =12t ，y =1−t ，化为：2x +y =1．设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =35k ，y =25k ，可得：2y =3x ， 联立2x +y =1，2y =3x ， 解得x =27，y =37． ∴x +y =57． 故选：C ．A ，M ，D 三点共线，利用向量共线定理可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得x =12t ，y =1−t ，消去t 化为：2x +y =1.设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入可得：BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35k BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得：2y =3x ，解出x ，y ，即可得出．本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、转化方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意得|OA|=1，|OB|=1，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 由余弦定理得cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12+12−(√3)22⋅1⋅1=−12，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1⋅1⋅cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=−12， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=14． 故选：A ．根据向量的运算几何意义用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用向量数量积性质求解． 本题考查了向量运算的几何意义及运算规律，属于中档题．13.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，且△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴c a=√33，解得c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， ∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故答案选：A ．14.【答案】D【解析】 【分析】本题考查抛物线中的面积问题，属于中档题．由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案． 【解答】解：由y 2=2px ，得2p =3，p =32，则F(34,0)， ∴过A ，B 的直线方程为y =√33(x −34)，即x =√3y +34， 联立{y 2=3xx =√3y +34, 得4y 2−12√3y −9=0，Δ>0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=3√3，y 1y 2=−94，∴S △OAB =S △OAF +S △OFB =12×34|y 1−y 2| =38√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =38×√(3√3)2+9=94． 故选：D ．15.【答案】C【解析】解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得A(2,0，0)，B(0,2，0)，M(1,1，2)，N(1,0，2)．∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1+4√5×√6=√3010， 故选：C ．如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．连接BC 1，得出点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，问题转化为在平面内直线BD 1上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E 关于直线BD 1对称的点的坐标即可． 【解答】解：连接BC 1，则BC 1∩B 1C =E ，点P 、E 、F 在平面BC 1D 1中，且BC 1⊥C 1D 1，C 1D 1=1，BC 1=√2，如图1所示；在Rt △BC 1D 1中，以C 1D 1为x 轴，C 1B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D 1(1,0)，B(0,√2)，E(0,√22)；设点E 关于直线BD 1的对称点为E′， ∵BD 1的方程为x +√2=1①， ∴k EE′=−√2=√22， ∴直线EE′的方程为y =√22x +√22②，由①②组成方程组，解得{x =13y =2√23， 直线EE′与BD 1的交点M(13,2√23)； 所以对称点E′(23,5√26)， ∴PE +PF =PE′+PF ≥E′F =5√26． 故选：D ．17.【答案】BD【解析】解：(1x −x)6的二项展开式的通项公式为T r+!=C6r⋅(1x)6−r⋅(−x)r=C6r⋅x2r−6⋅(−1)r，对于A，当2r−6=0，即r=3时，常数项为T4=C63⋅(−1)3=−20，故选项A错误；对于B，第4项的二项式系数为C63是最大的，故选项B正确；对于C，第3项是T3=C62⋅x−2⋅(−1)2=15x−2，故选项C错误；对于D，令x=1，则(1x−x)6=(1−1)6=0，故所有项的系数的和为0，故选项D正确．故选：BD．利用二项式展开式的通项公式，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了二项式定理的应用，主要考查了所有项系数之和，二项展开式的二项式系数，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．18.【答案】AC【解析】解：对于A，由题意可知，μ1=4.4，σ1=0.3，μ2=4.7，σ2=0.1，所以P(4.3<x1<4.7)=P(μ1−σ1<x1<μ1+σ1)≈0.6827<7，故选项A正确；对于B，由于σ1>σ2，则甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更不集中，故选项B错误；对于C，P(x1≤5)=P(x1≤μ1+2σ1)=12+P(μ1<x1≤μ1+σ1)+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)=0.84135+P(μ1+σ1<x1≤μ1+2σ1)，P(x2≤5)=P(x2≤μ2+2σ2)=12+P(μ2<x2≤μ2+σ2)+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)=0.84135+P(μ2+σ2<x2≤μ2+3σ2)，所以乙生产线生产的硼硅玻璃符合标准的概率更大，故选项C正确；对于D，P(x2<4.5)=P(x2<μ2−2σ2)，P(x2>4.8)=P(x2>μ2+2σ2)，则P(x2<4.5)≠P(x2>4.8)，故选项D错误．故选：AC ．利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N (μ，σ 2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ 2而不是σ，属于中档题．19.【答案】BCD【解析】解：当x −=3时，y −=2×3+1=7，因为∑66i=1x −=18,∑66i=1y −=42，所以去掉样本数据(8,12)的新数据中， x −′=∑x i 6i=1−85=2,y −′=∑y i 6i=1−125=6，设去除该数据后重新求得的回归直线l 为y =ax +1， 又2a +1=6，解得a =2.5，故y ̂=2.5x +1，对于A ，去除前变量x 每增加1个单位，变量y 大于增加2个单位，故选项A 错误； 对于B ，去除后剩余样本数据中x 的平均数为2，故选项B 正确； 对于C ，去除后的经验回归方程为y ̂=2.5x +1，故选项C 正确； 对于D ，去除了误差较大的样本数据，相关系数r 变大，故选项D 正确． 故选：BCD ．先求出去掉样本数据(8,12)的新数据的样本中心，从而求出新数据的回归方程，然后对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)有两个零点x 1，x 2，不妨设x 1<x 2， 所以lnx −ax =0在(0,+∞)上有两个根， 即a =lnx x在(0,+∞)上有两个根，令y =a ，g(x)=lnx x(x >0)，则y =a 与g(x)=lnx x(x >0)有两个交点， g′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，当x >e 时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当0<x <e 时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)≤g(e)=1e ， 所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ， 对于A ：根据题意可得lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，所以lnx 1lnx 2=ax1ax 2，即x 1lnx 2=x 2lnx 1，故A 正确； 对于B ：当a →0+时，x 2→+∞，此时x 1+x 2>e 2，所以B 错误， 对于C ，lnx 1=ax 1，lnx 2=ax 2，令t =x2x 1>1，则x 2=tx 1，所以lnx 1lnx 2=x1x 2⇒lnx 1lnx1+lnt=1t ⇒lnx 1=lntt−1， 所以lnx 2=ln(tx 1)=lnt +lnx 1=lnt +lntt−1=tlnt t−1，则lnx 1+lnx 2=(t+1)lnt t−1，下面证明lnx 1+lnx 2>2，即证(t+1)lnt t−1>2，即证lnt >2(t−1)t+1，即证lnt −2(t−1)t+1>0，令ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1,ℎ′(x)=(x−1)2x(x+1)2⩾0，所以函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，当x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0， 所以lnt −2(t−1)t+1>0，所以lnx 1+lnx 2>2⇒x 1x 2>e 2，故C 正确．对于D ：不妨设x 1<x 2，则lnx 1−ax 1=0，lnx 2−ax 2=0， 所以lnx 2−lnx 1=a(x 2−x 1)， 要证1lnx 1+1lnx 2>2，只需证1x 1+1x 2>2a ，只需证x 1+x 22x1x 2>a ， 只需证：x 1+x 22x1x 2>lnx 2−lnx 1x 2−x 1，只需证：x 22−x 122x1x 2>ln x2x1，只需证：ln x 2x 1<12(x 2x 1−x1x 2)，令t =x2x 1>1，即证lnt <12(t −1t )，设φ(t)=lnt −12(t −1t )， 则φ′(t)=2t−t 2−12t 2<0，所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减， 则φ(t)<φ(1)=0，即1lnx 1+1lnx 2>2，故D 正确；故选：ACD ．函数f(x)有两个零点x 1，x 2，所以0<a <1e ，0<x 1<e ，x 2>e ，再依次判断各个选项即可．本题考查极值点偏移，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数证明不等式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于难题．21.【答案】AD【解析】解：对于A ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交，故A 正确； 对于B ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行， 则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B 错误；对于C ，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a ，b 都平行，故C 错误；对于D，若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面α，β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：AD．对于A，由平行线的性质和直线与平面相交的定义得另一直线也与这个平面相交；对于B，另一直线也与这个平面平行或在这个平面内；对于C，当点在两条异面直线的一条上时，没有平面与异面直线a，b都平行；对于D，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间思维能力等数学核心素养，是中档题．22.【答案】ABD【解析】解：对于A，∵cosA=cosB，又∵A，B∈(0,π)，y=cosx在(0,π)单调递减，∴A=B，即这个三角形是等腰三角形，故正确；对于B，三角形ABC中，若A>B，则a>b，则2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，故正确；对于C，由于a=8，c=10，B=60°，=84，利用余弦定理：b2=a2+c2−2accosB=64+100−2×8×10×12解得b=2√21，故△ABC有一解，故错误；对于D，若sin2A+sin2B<sin2C，根据正弦定理整理得：a2+b2<c2，<0，则△ABC是钝角三角形，故正确．所以cosC=a2+b2−c22ab故选：ABD．对于A，由已知利用余弦函数的单调性即可得解A=B，从而得解；对于B，由正弦定理即可检验得解；对于C，由余弦定理即可求解；对于D，利用正弦定理，余弦定理即可求解．本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理，余弦定理及三角函数的性质，属于三角与向量的综合，属于中档题．23.【答案】ACD【解析】解：过P作HE//CD，过H，作HG//AB，交BC于G，过E，作EF//AB，交BD于F，连接GF，则平面EFGH就是所作的平面，此时，EFGH是矩形，所以C 正确；B不正确；截面与平面ABC的交线为GH，GH//EF，GH//侧面ABD，所以A正确；HE=23a，HG=13a，所以截面的面积为29a2，所以D正确；故选：ACD．画出截面图形，利用已知条件判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．24.【答案】AB【解析】解：因为a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0,(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，所以a⃗⋅b⃗ −c⃗⋅(a⃗+b⃗ )+c⃗2≤0，所以c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，而|a⃗+b⃗ −c⃗|=√(a⃗+b⃗ −c⃗ )2=√a⃗2+b⃗ 2+c⃗2+2a⃗⋅b⃗ −2a⃗⋅c⃗−2b⃗ ⋅c⃗=√3−2c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≤√3−2=1，所以选项C，D不正确．故选：AB．由a⃗，b⃗ ，c⃗均为单位向量，且a⃗⋅b⃗ =0，(a⃗−c⃗ )⋅(b⃗ −c⃗ )≤0，求得c⃗⋅(a⃗+b⃗ )≥1，再求|a⃗+b⃗ −c⃗|的最大值，即可得出结果．本题考查了平面向量的数量积与模长公式应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．25.【答案】29【解析】解：由随机变量X的分布列得：{0≤a≤10≤2a≤1a+2a=1，解得a=13，∴E(X)=0×13+1×23=23．D(X)=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：29．利用随机变量的分布表列方程求出a ，再求出数学期望，由此能求出方差．本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26.【答案】−4【解析】解：由表格中的数据可知，x −=1+2+3+4+55=3，y −=50+60+70+80+1005=72，所以12×3+a =72，解得a =36， 所以y =12x +36，当x =4时，y =4×12+36=84， 所以残差=观测值−预测值=80−84=−4． 故答案为：−4．先由表格中的数据，求出样本中心，代入回归方程，求出a 的值，然后求出x =4时，y 的值，由残差的计算公式求解即可．本题考查了线性回归方程的理解与应用，解题的关键是掌握线性回归方程必过样本中心，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．27.【答案】30【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①只会器乐表演的3人全部被选中，参加器乐表演，需要从剩下6人中选出4人参加声乐表演，有C 64=15种选法，②从只会器乐表演的3人选出2人，和既会器乐表演又会声乐表演的1人共同参加器乐表演，有C 32C 54=15种选法，则有15+15=30种选法， 故答案为：30．。
期中综合检测卷03-2020-2021学年高一化学下学期期中专项复习(人教版2019)
20202021学年高一化学下学期期中专项复习综合检测卷03一．选择题（每小题3分，共48分，每题只有一个正确选项）1．下列关于无机非金属材料的说法中，不正确的是A．高纯硅可用于制造半导体材料B．氧化铝陶瓷属于新型无机非金属材料，它是生物陶瓷C．氮化硅陶瓷属于新型无机非金属材料，可用于制造陶瓷发动机的受热面D．二氧化硅制成的光导纤维，由于导电能力强而被用于制造光缆【答案】D【详解】A．高纯硅可用于制造半导体材料，制造芯片，故A正确；B．氧化铝陶瓷属于新型无机非金属材料，它是生物陶瓷具有特定的生物或生理功能，可直接用于人体，故B正确；C．氮化硅陶瓷属于新型无机非金属材料，是高温结构材料，可用于制造陶瓷发动机的受热面，故C正确；D．二氧化硅不具有导电能，故D错误；故选D。
2．化学在生产和日常生活中有着重要的应用。
下列说法正确是A．普通玻璃的主要成分是二氧化硅B．向煤中加入适量石灰石，使煤燃烧产生的SO2最终生成CaSO3，可减少对大气的污染C．汽车的排气管上装有“催化转化器”，使有毒的CO和NO反应生成N2和CO2D．大量燃烧化石燃料排放的废气中含CO2、SO2，从而使雨水的pH=5.6形成酸雨【答案】C【详解】A．普通玻璃的主要成分是硅酸盐复盐，故A错误；B．石灰石高温煅烧产生的氧化钙可以和有毒气体二氧化硫之间反应，生成亚硫酸钙不稳定，易被氧气氧化为稳定的硫酸钙，实现煤的脱硫，故B错误；C．汽车的排气管上装有“催化转化器“，使有毒的CO和NO反应生成N2和CO2，故C正确；D．正常雨水的pH约为5.6，酸雨pH＜5.6，故D错误；故选C。
3．下列对浓硫酸的叙述正确的是A．浓硫酸和铜片加热既表现出酸性，又表现出氧化性B．浓硫酸具有强氧化性，SO2、H2、具有还原性，故浓硫酸不能干燥SO2、H2C ．常温下，浓硫酸与铁、铝不反应，所以铁质、铝质容器能盛放浓硫酸D ．浓硫酸与亚硫酸钠反应制取SO 2时，浓硫酸表现出强氧化性 【答案】A 【详解】A ．浓硫酸和铜片发生反应：24422ΔCu+2H SO ()CuSO +SO +2H O ↑浓，反应中硫酸部分转变成二氧化硫表现氧化性，部分转变成硫酸铜表现酸性，故A 正确；B ．浓硫酸和二氧化硫为同种元素的相邻价态的化合物，没有中间价态不能发生氧化还原反应，因此浓硫酸能干燥SO 2，故B 错误；C ．常温下，浓硫酸与铁、铝发生钝化，钝化是化学变化，故C 错误；D ．浓硫酸与亚硫酸钠反应制取SO 2，该反应为复分解反应，表现浓硫酸的酸性，故D 错误； 故选：A 。
专题10(统计、概率基础题)(解析版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（统计、概率基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是（）A．29 mm B．29.5 mmC．30 mm D．30.5 mm【答案】A【分析】先求得棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，从而可得80百分位数一定位于[25，30)内，进而可求出答案【详解】棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25 mm以下的比例为85%－25%＝60%，因此，80百分位数一定位于[25，30)内，由0.800.60 255290.850.60-+⨯=-，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80百分位数是29 mm.故选：A2．（2021·江苏高一课时练习）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【分析】先计算抽样比，从而求出样本容量.【详解】抽样比是，所以样本容量是.故选：D.3．（2021·江苏高一课时练习）某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生人数为（）A．670B．680C．690D．700【答案】C【分析】先计算男生抽取人数，进一步求出该校男生人数.【详解】⨯=人每层的抽样比为，女生抽了85人，所以男生抽取115人，因此共有男生1156690故选：C.4．（2021·江苏高一课时练习）某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为（）A．92,2.8B．92,2C．93,2D．93,2.8【答案】A【分析】根据5个样本，分别计算平均数和方差.【详解】该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选：A5．（2021·江苏高一课时练习）某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（）A．s＝s1B．s<s1C．s>s1D．不能确定【答案】C 【分析】首先由统计总数没变，可知两次统计的平均数没有变，再分别列出标准差公式，判断大小关系. 【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为，则s =1s =若比较与的大小，只需比较()()221523x x -+-与()()222018x x -+-的大小即可，而()()2221523754762x x x x -+-=-+，()()2222018724762x x x x -+-=-+，所以()()221523x x -+->()()222018x x -+-，从而.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查样本平均数和标准差，关键是判断平均数没有变，才能利用标准差公式判断大小. 6．（2021·江苏高一课时练习）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 29148 66252 36936 87203 76621 13990 68514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学，编号为01～60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，用简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ） A ．08，01，51，27 B ．27，45，31，23 C ．15，27，18，74 D ．14，22，54，27【答案】C 【分析】根据选项C 中编号74大于甲班同学的总人数60，即可得到答案. 【详解】因为C中编号74大于甲班同学的总人数60，则抽出的4位同学的编号不可能是C选项．故选：C7．（2021·江苏高一课时练习）某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50百分位数为b，则有（）A．a＝13.7，b＝15.5B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5D．a＝14.7，b＝15【答案】D【分析】可直接求出平均数，然后对这一列数排列，从而可求出50百分位数【详解】把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的50百分位数为b＝＝15.故选：D8．（2021·江苏高一课时练习）年月日，欧盟特别峰会在布鲁塞尔举行，主要讨论年至年长期预算，有个国家代表参加，最终因各方分歧太大，未达成共识．会后某记者从每个国家与会人员中采访了两名成员，调查得到各成员国在预算总量、主要政策领域分配额、欧盟收入来源以及激励机制等多方面都存在分歧．在这个问题中样本容量是（）A．B．C．D．不确定【答案】C【分析】根据样本容量的定义可得结果.【详解】⨯=名参会人员，参会国家共有个，记者采访了每个国家的两名成员，共采访了27254得到名参会人员的意见，在这个问题中，样本容量为.故选：C.9．（2021·江苏高一课时练习）下列调查方式中合适的是（）A．某单位将新购买的准备开业庆典的箱礼炮全部进行质检B．某班有名同学，指定家庭最富有的人参加“学代会”C．某服装厂的一批件出口服装，随机抽件进行抽样调查D．为了调查最近上映影片的一周内的票房情况，特选周六、周日两天进行调查【答案】C【分析】分析题意，要选择合适的调查方法，需要对全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来.结合抽样调查和普查的特点逐项判断即可得出合适的选项.【详解】对于A选项，对礼炮的质检带有破坏性，虽然总量不大，但不宜采用普查的方式；对于B选项，“家庭最富有”不具备代表性，样本选择错误；对于C选项，件服装容量较大，随机抽件进行抽样调查较为合适；对于D选项，因调查一周的票房，时间不长，周六、周日是双休日，这两天的票房较高，所以，周六、周日这两天的选取也不具备代表性.故选：C.10．（2021·苏州市第三中学校高一月考）袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．恰有一个白球；一个白球一个黑球C．至少有一个白球；都是白球D．至少有一个白球；红、黑球各1个【答案】D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立．在D中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D成立.故选：D.11．（2021·江苏高一课时练习）某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数表法在该中学抽取容量为n 的样本，则n 等于（ ） A ．80 B ．160 C ．200 D ．280【答案】C 【分析】每个个体被抽的可能性等于样本容量除以总体数，由此列出关于的方程并求解出结果. 【详解】 由题意可知：0.2400320280n=++，解得，故选：C.12．（2021·江苏高一课时练习）下列调查方案中，抽样方法合适､样本具有代表性的是（ ） A ．用一本书第1页的字数估计全书的字数B ．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生C ．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D ．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查 【答案】B 【分析】根据抽取的样本具有代表性，即抽取的样本是随机的，逐个分析判断 【详解】A 中，样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B 中，抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；C 中，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D 中，总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征. 故选：B13．（2021·江苏高一课时练习）“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(FivehundredmetersApertureSphericalTelescope ，简称FAST )，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（ ）A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据【答案】C【分析】根据“中国天眼”的特点求解.【详解】“中国天眼”主要是通过观察获取数据.故选：C【点睛】本题主要考查抽样获取数据的方法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．（2020·江苏苏州市·高一期末）围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先计算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒颜色不同的对立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，利用对立事件的概率公式求得答案.【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，取出的2粒颜色不同的概率为.故选：D.【点睛】本题考查了互斥事件的概率加法公式，和对立事件的概率计算公式，属于基础题.15．（2020·江苏常州市·高一期末）抛掷一枚硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正面向上或正面向下可能性相同可求出所求概率.【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则概率为，故选:D．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.16．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∴B）＝P(A)+P(B)，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是________.【答案】96【分析】由于每个班抽12份，所以8个班共抽96份，所以样本容量为96本题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，从8个班中每班抽取的12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量.故答案为：9618．（2021·江苏高一课时练习）为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是________.【答案】总体的一个样本【分析】由样本的定义进行判断即可【详解】100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.故答案为：总体的一个样本19．（2020·江苏常州市·高一期末）如图，把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的小正方体，若从中任取一块，则这一块至多有一面涂有蓝漆的概率为_______．【答案】【分析】求出至多有一面涂有蓝漆的小木块个数，即可求出概率大小.【详解】解：有两面涂有蓝漆的小木块有24个，有三面涂有蓝漆的小木块有8个，则至多有一面涂有蓝漆的小木块有32个，故．故答案为: .【点睛】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题.本题的关键是准确找到至多有一面涂有蓝漆的小木块个数. 20．（2021·江苏高一课时练习）一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：则样本在[10，50)内的频率为__________【答案】0.7用[10，50)的频数除以20求得[10，50)的频率. 【详解】数据落在区间[10，50)的频率为. 故答案为：0.721．（2021·江苏高一课时练习）1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的分位数为______，分位数为________，分位数为________． 【答案】 【分析】直接利用分位数的定义求解. 【详解】因为数据个数为，且已经按照从小到大的顺序排列，又1025% 2.5⨯=，10757.5%⨯=，1090%9⨯=，所以该组数据的分位数为，分位数为，分位数为9109109.522++==x x ； 故答案为：；；.22．（2021·江苏高一课时练习）从一群做游戏的小孩中随机抽出人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏．过了一会儿，再从中任取人，发现其中有个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为________． 【答案】 【分析】根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，列出方程，即可求解. 【详解】设参加游戏的小孩有人，根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，可得，解得， 即参加游戏的小孩的人数为. 故答案为：.23．（2021·江苏高一课时练习）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为____________.【答案】65，65【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点横坐标即为众数，利用平分矩形面积可得中位数．【详解】由题图可知众数为65，又∴第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60+x，则0.3+x×0.04=0.5，得x=5，∴中位数为60+5=65.故答案为：65，6524．（2021·江苏高一课时练习）用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，若个体a在第一次被抽到的可能性为，那么n＝________，在整个抽样中，每个个体被抽到的可能性为________．【答案】8【分析】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量是3，可以看成是抽3次，从而可求得概率.【详解】简单随机抽样时第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体，则每个个体被抽到的可能性是，因此n＝8；整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是.故答案为：8，.25．（2021·江苏高一课时练习）将全班同学按学号编号，制作相应的卡片号签，放入同一个箱子里搅拌均匀，从中抽取15个号签，就相应的15名学生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱)进行调查，使用的是________．【答案】抽签法【分析】根据调查过程的特点直接判断所使用的抽样方法.【详解】抽签法分为编号、制签、取样三步，这里用了学生的学号作为编号，后面的抽取过程符合抽签法的实施步骤，所以采用的是抽签法，故答案为：抽签法.26．（2021·江苏高一课时练习）在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：（1）从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；（2）将总体中的所有个体编号；（3）制作号签；（4）将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本；（5）将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是______________．【答案】（2）（3）（5）（1）（4）【分析】按照抽签法的步骤判断，即编号，做号签，放入容器，进行抽取，构成样本.【详解】利用抽签法第一步要进行编号，然后做号签，放入容器，接下来按照逐个不放回地抽取号签，最后将与编号一致的个体取出构成样本，故这些步骤的先后顺序为（2）（3）（5）（1）（4）.故答案为：（2）（3）（5）（1）（4）.27．（2021·江苏高一课时练习）已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．【答案】8.6【分析】由题意设第19个数据为x，则＝8.2，从而可求得结果【详解】由于60×＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.故答案为：8.628．（2021·江苏高一课时练习）已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________.【答案】【分析】根据题意得出前3个数的和与后7个数的和，从而得出这10个数的和，得到平均数前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，则这10个数据的和为则样本平均数为10个数据的和除以10，即.故答案为：29．（2021·江苏高一课时练习）某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其百分位数为________．【答案】【分析】由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得百分位数即为这组数据的中位数，所以找第个数据.【详解】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.故答案为：30．（2021·江苏高一课时练习）下列调查中：①考察一片经济林中树木的平均直径；②疫情开学前，某市对全体高三教师和学生进行血清抗体检测；③省教育机构调查参加高考模拟考试的60万名考生的英语答题情况；④某市委书记用一上午时间随机到全市高中学校检查高三开学情况.适合用抽样调查方法获取数据的是________.(填序号)【答案】①③④【分析】根据抽样调查的特点逐个判断即可【详解】①该问题用普查的方法很难实现，适合用抽样调查的方法获取数据；②检测必须要知道每一位老师和学生是否正常，不能用抽样调查的方法获取数据；③60万名考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；④一上午时间，市委书记无法检查到全市每一所高中学校，该问题只能用抽样调查的方法获取数据.故答案为：①③④31．（2021·江苏高一课时练习）若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______．【答案】16DX=，数据的方差为，则对应的标准差为因为样本数据的标准差为，，即64=，故答案为.1632．（2021·江苏高一课时练习）用随机数表法从名学生（男生人）中抽取人进行评教，某男生被抽取的机率是__________【答案】【详解】试题分析：每个个体被抽到的概率是相等的，均为．考点：等可能性事件的概率计算．。
宁波市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣22．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝13．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣114．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为（体积单位：立方米）．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．参考答案一、选择题（共8小题，每题4分，共32分）.1．下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．x+y+2＝0 B．C．x﹣y+2＝0 D．y＝x﹣2解：对于A：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，对于B：令x＝0，解得：y＝4，不合题意，对于C：令x＝0，解得：y＝2，符合题意，对于D：令x＝0，解得：y＝﹣2，不合题意，故选：C．2．与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．（x﹣3）2+y2＝1C．（x+1）2+y2＝1D．（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1解：如图所示，由图形知，与直线x＝2相切于点（2，0）且半径为1的圆的圆心为（1，0）或（3，0），所以圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1或（x﹣3）2+y2＝1．故选：D．3．已知A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），则下列选项中是AB⊥PQ 的充分不必要条件的是（）A．m＝﹣12 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或m＝﹣11解：∵A（m，﹣6），B（﹣2，m），P（0，﹣2），Q（﹣5，m），∴＝（﹣2﹣m，m+6），＝（﹣5，m+2），∵AB⊥PQ，∴﹣5（﹣2﹣m）+（m+6）（m+2）＝0，∴m＝﹣2或m＝﹣11，∵{﹣2}⊆{﹣2，﹣11}，∴m＝﹣2符合题意．故选：C．4．已知空间三点A（﹣2，0，8），P（m，m，m），B（4，﹣4，6），若向量与的夹角为60°，则实数m＝（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2解：∵＝（﹣2﹣m，﹣m，8﹣m），＝（4﹣m，﹣4﹣m，6﹣m），∴•＝（﹣2﹣m）（4﹣m）+（﹣m）（﹣4﹣m）+（8﹣m）（6﹣m）＝3m2﹣12m+40，||＝＝，||＝＝，由•＝||||cos60°得：3m2﹣12m+40＝（3m2﹣12m+68）×，整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2．故选：B．5．等腰直角△ABC，直角边为2，沿斜边AC边上高BD翻折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（）A．B．4πC．D．6π解：如图，由等腰直角△ABC的直角边为2，可得DA＝DC＝DB＝，把三棱锥A﹣BCD放置在正方体中，则三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，外接球的半径R＝，∴三棱锥A﹣BCD外接球的体积为×＝．故选：A．6．镇海植物园有两块地，从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，则A，B种植在同一块地的概率为（）A．B．C．D．解：从A，B，C，D四种树木中任选2种树木种植在一块地中，余下2种树木种植在另一块地中，基本事件总数n＝＝6，A，B种植在同一块地包含的基本事件个数m＝＝2，则A，B种植在同一块地的概率P＝＝＝．故选：B．7．以下四个命题正确的为（）A．在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有4个B．正方体12条棱中有48对异面直线C．平行同一个平面的两条直线平行D．如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面解：对于A：在空间中，与不共面的四点A，B，C，D距离相等的平面有7个，故A错误；对于B：正方体12条棱中有48÷2＝24对异面直线，故B错误；对于C：平行同一个平面的两条直线平行或相交或异面，故C错误；对于D：如果两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们的交线垂直第三个平面，故D 正确．故选：D．8．已知正四面体ABCD，E为AC中点，F为AB中点，P在线段BD上一个动点（包含端点），则直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为（）A．B．C．D．解：连接BE，CF，交于点Q，作PM⊥BE，交BE于点M，由AC⊥平面DEB，得：PM⊥面ABC，则PE在底面ABC的射影为EM，∴cos＜＞＝cos∠PEM•cos∠EQC＝cos＝，当点P与D重合时，cos＝，则cos＜＞＝，当点P与点B重合时，cos∠PEM＝1，则cos＜＞＝．∴直线CF与直线EP所成角余弦值的取值范围为[]．故选：A．二、选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列结论正确的为（）A．正四棱柱是长方体的一类B．四面体最多有四个钝角三角形C．若复数z1，z2满足z12＝z22，则|z1|＝|z2|D．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则解：正四棱柱的底面是正方形的直棱柱，所以正四棱柱中是长方体的一类，故选项A正确；如图所示的四面体中的四个面均是钝角三角形，故选项B正确；设z1＝a+bi，z2＝x+yi，因为z12＝z22，即a2﹣b2+2abi＝x2﹣y2+2xyi，所以，故（a2+b2）2＝a4+2a2b2+b4＝（a2﹣b2）2+（2ab）2＝（x2﹣y2）2+（2xy）2＝x4+2x2y2+y4＝（x2+y2）2，因为a2+b2≥9，x2+y2≥0，所以a2+b2＝x2+y2，则|z1|＝|z2|，故选项C正确；若z1＝i，z2＝i，则z1z2＝1∈R，但是，故选项D错误．故选：ABC．10．已知直线l：2x+y﹣2a＝0（a＞0），M（s，t）是直线l上的任意一点，直线l与圆x2+y2＝1相切．下列结论正确的为（）A．的最小值为1B．当s＞0，t＞0时，的最小值为C．的最小值等于的最小值D．的最小值不等于的最小值解：A中，当点M是直线与圆的切点时，|OM|最小，且为圆的半径1，所以A正确；B中，因为直线与圆相切，所以d＝＝1，因为a＞0，所以2a＝，所以直线l的方程为：2x+y﹣＝0，因为M在直线上，所以2s+t＝，当s＞0，t＞0，则直线l的方程为：2s+t＝，所以+＝（+）•（2s+t）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时取等号，所以B正确；因为+s＝+s＝+s＝+s，因为s∈R，所以+s的最小值为+|s|，所以C正确，D不正确，故选：ABC．三、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分．11．已知复数z＝12﹣5i（i为虚数单位），则＝．解：因为z＝12﹣5i，则＝＝．故答案为：．12．倾斜角为90°且与点（1，1）距离为2的直线方程为x＝3或x＝﹣1 ．解：∵所求直线的倾斜角是90°，∴所求直线和直线x＝1平行，与直线x＝1距离为2的直线方程为：x＝3或x＝﹣1，故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为283 ．解：数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8、9个数据为279，287，则其第50百分位数为＝283，故答案为：283．14．已知E（1，﹣2），F（﹣3，4），M为平面上一个动点满足，则M的轨迹方程为．解：设M（x，y），由条件得，两边平方，化简整理得．故答案为：．15．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体WZ﹣EFGH，下建筑是长方体ABCD﹣EFGH．假设屋脊没有歪斜，即WZ的中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O，WZ∥AB，AB＝30，AD＝20，AE＝10，WZ＝20，OR＝13（长度单位：米）．则大成殿的体积为6800 （体积单位：立方米）．解：大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，其中长方体的体积V1＝30×20×10＝6000，三棱柱的体积：，四棱锥的体积：，故大成殿的体积：V＝6000+600+2×100＝6800．故答案为：6800．16．已知点M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，则实数t的取值范围为（﹣，﹣1）∪（1，）．解：因为M（1，t）在圆x2+y2﹣2ty+1＝0外，即在圆x2+（y﹣t）2＝t2﹣1外，所以可得：t2﹣1＞0，且1+t2﹣2t2+1＞0，即1＜t2＜2，解得：（﹣，﹣1）∪（1，），故答案为：（﹣，﹣1）∪（1，）．17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，线段EF是球O的一条动直径（E，F 是直径的两端点），点G是正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上一个动点，则的最大值为2 ．解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O半径为1，可得正方体的棱长为2，体对角线长为2，由题意，E，F是直径的两端点，可得+＝，•＝﹣1，则＝（+）•（+）＝+•（+）+•＝+0﹣1＝﹣1，当点G在正方体顶点时，最大，且最大值为2，则﹣1的最大值为2，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．直线l：y＝x与圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝16相交于A、B两点．（1）求平行于l且与圆C相切的直线方程；（2）求△ABC面积．解：（1）设切线方程为y＝x+b，，∴．∴切线方程为或．（2）作CD⊥AB，，∴．∴．19．如图，三棱锥P﹣ABC，△ABC为边长为2的正三角形，△PBC为等腰三角形，其中∠BPC ＝90°，PA＝1．（1）证明：PA⊥BC；（2）求直线PA与平面ABC所成角的大小．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，所以AO⊥BC，PO⊥BC，且AO∩PO＝O，即BC⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，所以PA⊥BC．（2）由（1）得：BC⊥平面PAO，又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PAO且交线为AO．再作PM⊥AO，PM⊂平面PAO，所以：PM⊥平面ABC，即∠PAO即为直线PA与平面ABC所成角的平面角，易得：，所以∠PAO＝30°．另解：（1）以AC中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，设P（a，b，c），因为，所以⇒，故点，，所以，即PA⊥BC．（2）由题易得平面ABC的法向量为：，设直线PA与平面ABC所成角的大小为α，所以．20．（1）已知某水果店进了三种产地不同的苹果（新疆、甘肃、山东），甲、乙两人到该店购买一种苹果，若甲、乙买新疆苹果的概率分别为0.2，0.3，买甘肃苹果的概率分别为0.5，0.4．求两人买不相同产地苹果的概率．（2）某校高一有两个实验班，某次数学考试成绩如下：一班48人平均分135分，方差为8，二班52人平均分130分，方差为10，求全体实验班学生的平均分和方差．解：（1）根据相互独立事件的概率计算公式，计算所求的概率为：P＝1﹣0.2×0.3﹣0.5×0.4﹣0.3×0.3＝0.65；（2）全体实验班的平均分为，方差为．21．已知△ABC，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E，F在边AC，BC上，且．将△CEF 沿EF翻折为△C'EF，得到四棱锥C'﹣AEFB，其中C'A＝5（如图所示）．（1）若H为线段C'A上一点，且C'H＝2HA．求证：EH∥平面BC'F；（2）求二面角A﹣BC'﹣E的余弦值．解：（1）证明：取BC′上一三等份点M使得C′M＝2MB，由∥且EF＝，C′H＝2 HA，即HM∥且HM＝，所以FF∥HM且FF∥HM，所以EFMH为平行四边形，所以EH∥FM，又EH⊄平面BC′F，FM⊂平面BC′F，所以EH∥平面BC′F．（2）设AC的中为点O，以O为原点，OC所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，以过O点且垂直平面ABC的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以⇒，故点．设面ABC′的法向量，面BC′E的法向量，由，则⇒，取，解得．⇒，取，解得．即可得，所以．故二面角A﹣BC'﹣E的余弦值为．22．已知A（1，1），B（3，3），动点C在直线l：y＝x﹣4上．（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．解：（1）因为动点C在直线l：y＝x﹣4上，设点C（x，x﹣4），又A（1，1），B（3，3），则|AB|＝，点C到直线AB：y＝x的距离为d＝，则△ABC的面积为，所以，要求r的最大值，即求AC+BC的最小值，点A（1，1）关于直线y＝x﹣4对应的点A'（5，﹣3），所以AC+BC＝A'C+BC，当且仅当A'，B，C三点共线时，A'C+BC最小，所以AC+BC＝A'C+BC，则r的最大值为；（2）由题意可知，AB中垂线方程为y＝﹣x+4，AC中垂线方程为，则两条中垂线方程的交点即为圆心的坐标，所以圆心坐标为，设t＝（m2﹣8m+19）∈[3，+∞），所以，所以，此时m＝4，圆心坐标为，所以外接圆方程为．。
《试卷3份集锦》浙江省宁波市2020高一数学下学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7162．下列结论正确的是（ ）A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b a a b >C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥D ．a b a b <⇒<3．150-︒的弧度数是（ ）A ．3π-B ．56π-C ．23π-D ．6π- 4．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A ．14B ．12C ．18D ．165．函数y=2的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－16．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = ) A ．3116 B ．158 C ．7 D ．317．已知{}n a 为等差数列，1353a a a ++=，则3a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．18．在ABC ∆中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC ∆外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（ ）A ．1B ．54C ．43D ．29．下列条件：①a b >；②b a >；③0a b >>；其中一定能推出22a b >成立的有（ ） A ．0个 B ．3个 C ．2个 D ．1个10．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅=A ．333+B ．92C ．3D ．911．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2或-1D ．-2或112．石臼是人类以各种石材制造的，用以砸、捣、研磨药材、食品等的生产工具，是由长方体挖去半球所得几何体，若某石臼的三视图如图所示（单位：dm ），则其表面积（单位：dm 2）为（ ）A ．132+8πB ．168+4πC ．132+12πD ．168+16π二、填空题：本题共4小题13．四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 是菱形，14AA =，6AB =，3BAD π∠=，E 是BC 的中点，则点C 到平面1C DE 的距离等于________.14．直线310x +=的倾斜角的大小是_________.15．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3a =2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=________16．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试卷及答案
解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故选： ．
7．B
首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．
解：
解：因为四棱锥 为阳马， 平面 ， ， ，所以
设外接球的半径为 ，
所以 ，故 ，
时， ，
．
故答案为：0.3；0.65．
17．（1） ；（2） ．
（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，设事件 表示“乙组研发新产品 研发成功”，进而根据对立事件的概率求解即可；
（2）由题知 的可能取值为0，100，120，220，进而根据独立事件的概率公式求解即可.
解：
解：（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元，该企业获得利润超过 万元的概率为多少．
18．某校对 名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成 ， ， ， ， 五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中 的值；
解：
解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A正确，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B错误，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C正确，
故选:B
2．C
由平面向量共线坐标运算公式计算可得．
解：
解： ， ， ，
，解得： ，
故选： ．
2020-2021宁波市高一数学下期末模拟试题(带答案)
2020-2021宁波市高一数学下期末模拟试题(带答案)一、选择题1．已知向量()cos ,sin a θθ=v，(b =v ，若a v 与b v 的夹角为6π，则a b +=v v （ ）A ．2BCD ．12．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）3．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．154．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．266．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-7．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或1110．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．411．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b ca c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 14．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．15．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 16．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）17．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu v方向上的投影为________．18．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 19．函数()12x f x =-的定义域是__________． 20．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若n=19,求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点. 22．如图，在四棱锥P ABCD（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；23．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 24．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 26．已知以点C 2(,)t t（t ∈R ，t ≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先计算a r 与b r的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+r rr r即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=r，(b =r ，所以||1a =r，||b =r又222222()2||2||||cos ||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+r r r r r r r r r r r r137=++=，所以a b +=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 3．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.4．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．7．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．10．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.11．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】在ABC ∆中，5a =Q ，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <Q ，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．12．A【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.14．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=15．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情解析：92【解析】 分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.16．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点解析：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果 【详解】由()()13log 2exf x x -=+-，令()0f x =所以1x =，又已知函数()()13log 2e xf x x -=+-与()1422xx g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解即1224x xa +-=在02x <<有解， 令()1224x xh x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112t =时max 12y =当11t=时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.17．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuur 方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，(C ，则：()2,0AB =uu u r ，(BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r且2AB =u u u r ，10BC =u u u v，据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-u u u v u u u vu u uv .【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣解析：6 【解析】 【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52， 由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝2251-=6，且AC ⊥BD ， 四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×6=6． 故答案为6． 【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．19．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.20．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为 .考点：旋转体的组合体.三、解答题21．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定. 试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->.（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题. 22．（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证. (2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC , 所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A ⋂= 所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE . 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)；x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈) 【解析】 【分析】（1）先由函数()y f x =的最大值求出A 的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T ，于此得出2T πω=，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式结合φ的范围得出φ的值，于此可得出函数()y f x =的解析式；（2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间，由()2262x k k Z πππ+=-+∈可求出函数()y f x =取最小值时x 的取值集合．【详解】（1）由图象可知，2A =. 因为51264T ππ-=，所以T π=.所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+=， 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2πϕ<，所以=6ϕπ，所以()2sin(2)6f x x π=+.（2）222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)，()f x 的最小值为-2，取得最小值时x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈). 【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>≠的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，max min2y y b +=； （2）求ω：2Tπω=； （3）求ϕ：将顶点或对称中心点代入函数解析式求ϕ，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．24．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】 【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅. 【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果. 25．（1）21n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+，则()11111222nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =．所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n nS n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.26．（1）证明见解析（2）圆C 的方程为（x －2）2＋（y －1）2＝5 【解析】 【分析】（1）先求出圆C 的方程（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB 的面积为定值；（2）根据212t =t 得到t ＝2或t ＝－2，再对t 分类讨论得到圆C 的方程． 【详解】（1）证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋24t . 设圆C 的方程是（x －t ）2＋22)y t-（＝t 2＋24t ， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ， 所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．（2）因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN .因为k MN＝－2，所以k OC＝1 2 .所以212t=t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），OC此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离dC与直线y＝－2x＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC C到直线y＝－2x＋4的距离d>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，所以t＝－2不符合题意，舍去．所以圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末化学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末化学试卷1.硫化亚铁的化学式是()A. FeSB. FeS2C. CuSD. Cu2S2.按物质的组成进行分类，Na[Al(OH)4]属于()A. 酸B. 氧化物C. 碱D. 盐3.仪器名称为“坩埚”的是()A. B. C. D.4.下列物质能使湿润的石蕊试纸先变红后褪色的是()A. SO2B. NH3C. Cl2D. HCl5.下列物质属于电解质且溶于水后能导电的是()A. NaB. AlCl3C. SO3D. CO26.下列说法不正确的是()A. 非处方药的包装上印有“OTC”标识B. 轻微烫伤或烧伤时，若有水泡，尽量不要弄破C. 氢氧化铁悬浊液与氢氧化铁胶体的本质区别是分散质的粒径不同D. 我国酸雨的形成主要是由于森林遭到乱砍滥伐，生态被破坏7.下列反应中，属于氧化还原反应且H2O既不做氧化剂又不做还原剂的是()A. Cl2+H2O⇌HCl+HClOB. 2Na+2H2O=2NaOH+H2↑C. 2F2+2H2O=4HF+O2D. SO2+H2O=H2SO38.下列表示不正确的是()A. 乙醇的结构式：B. 乙烯的分子结构模型：C. 硫离子的结构示意图：D. 双氧水的电子式：9.下列说法正确的是()A. 1H2和 3H2互为同位素B. SO2和SO3互为同素异形体C. C2H6和C5H12互为同系物D. CH3COOCH2CH3和C2H5OOCCH3互为同分异构体10.下列说法不正确的是()A. SO2、NaNO2均可以做食品添加剂，但其在食品中的残留量要严格控制B. 水晶镜片、石英钟、光导纤维制造时都使用了二氧化硅C. 硝酸铵也是农业上常用的化肥，可以直接在田里进行施用D. 氯气会与水中的有机物反应，产物对人体有害，要控制饮用水中的余氯含量11.W、X、Y、Z是短周期元素，其部分性质如表。
下列说法正确的是()W单质是淡黄色固体X在地壳中的含量居第二位Y原子最外层电子数是电子总数的23Z第三周期原子半径最小的金属A. 气态氢化物的热稳定性：X>WB. 最高价氧化物对应水化物的酸性：Y>XC. 离子半径：W>YD. 工业上采用电解Z的氯化物来制备金属Z12.下列方程式书写不正确的是()A. CH3CH(OH)CH3在铜催化下氧化：B. 氯气通入冷的石灰乳制备漂白粉：Cl2+Ca(OH)2=Ca2++ClO−+Cl−+H2OC. 向NH4Al(SO4)2溶液中加入Ba(OH)2溶液至Al3+刚好沉淀完全：2Al3++3SO42++3Ba2++6OH−=2Al(OH)3↓+3BaSO4↓D. 次氯酸钙溶液与少量SO2反应：Ca2++2ClO−+SO2+H2O=CaSO4+2HClO13.下列有关实验操作和现象的说法，正确的是()A. 把充满SO2、塞有橡胶塞的试管倒立在水中，打开塞子，试管内液面会缓慢上升B. 检验溶液中的Na+：取一根洁净的玻璃棒，放在酒精灯火焰上灼烧至无色，然后蘸取少量试液，置于火焰上灼烧，若火焰呈黄色，则含有Na+C. 镁条放入冷水中发生缓慢的化学反应，但放入热水中则剧烈反应，产生大量气泡D. 配制95mL 0.1mol⋅L−1氢氧化钠溶液：称取4g氢氧化钠固体，放入100mL容量瓶，加水定容至刻度线14.下列说法不正确的是()A. 煤的气化、液化和干馏都是化学变化B. 有些特种橡胶耐热和耐酸、碱腐蚀，在尖端技术领域发挥重要作用C. 工业上利用乙烯与水的取代反应来制取乙醇D. 环己烷是一种饱和烃，在高温下也会发生分解15.下列说法不正确的是()A. 乙醇可以被氧化为乙醛或乙酸，也可以被氧化为二氧化碳B. 蔗糖、淀粉和纤维素等在催化剂作用下可发生水解反应，最终都转化为葡萄糖C. 植物脂肪通常呈液态，工业上常将其与氢气反应，生成固态的氢化植物油D. 很多蛋白质与浓硝酸作用呈黄色，可用于检验蛋白质16.最新报道：科学家首次用X射线激光技术观察到CO与O在催化剂表面形成化学键的过程。
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2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上递增，那么一定有（ ）A ．23()(1)4f f a a ->-+B ．23()(1)4f f a a --+C ．23()(1)4f f a a -<-+D ．23()(1)4f f a a --+2．已知数列{}n a 的前n 项为和n S ，且24n n S a =-，则63S S =（ ） A ．5 B ．132C ．172D ．93．若直线和直线互相垂直，则( )A ．或B ．3或1C ．或1D ．或34．已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,cos )b α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b ⊥，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．223-5．已知点P(12，32)为角α的终边上一点，则cos α=（ ） A ．12B ．-32C 3D ．06．设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）. A ．22B ．83C ．92D ．327．已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ） A ．<1aB ．1a ≥C ．1b ≤D ．1b ≥8．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =-B ．3y x =-C ．1y x=-D ．||y x x =9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．1110．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ）A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=11．以下给出了4个命题：（1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同；（3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =； （4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜． 其中正确命题的个数共有（ ） A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0个12．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．04a ≤≤B ．04a <≤C ．04a <<D ．04a ≤<二、填空题：本题共4小题13．已知角α的终边上一点P 的坐标为(3,4)(>0)t t t -，则2sin cos αα+=____. 14．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ .15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a =,060A =,3b =，则B =______．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等比数列，且()1cos cos 2A CB -=+，则cos B =________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数当时，求函数的定义域；若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -（侧面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，AC ⊥平面11BCC B ，1BC CC =，设1AB 的中点为D ，11B CBC E =.（1）求证：DE 平面11AAC C ； （2）求证：11BC AB ⊥.19．（6分）在直角坐标系xOy 中，(1,4)A -，(4,1)B -，点C 在直线1x =上. （1）若,,A B C 三点共线，求点C 的坐标； （2）若90BAC ∠=，求点C 的坐标.20．（6分）某校准备从高一年级的两个男生,A B 和三个女生,,a b c 中选择2个人去参加一项比赛. （1）若从这5个学生中任选2个人，求这2个人都是女生的概率；（2）若从男生和女生中各选1个人，求这2个人包括A ，但不包括a 的概率.21．（6分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：126a a +=，且212log log 1n n a a +-=，2log n n b a =． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．（8分）已知1:210l x y -+=和2:20l x y +-=的交点为P ． （1）求经过点P 且与直线3:3450x l y -+=垂直的直线的方程（2）直线l '经过点P 与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且P 为线段AB 的中点，求OAB ∆的面积．参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 【解析】 【分析】根据题意,结合221331()244a a a -+=-+≥,可知23()(1)4f f a a ≤-+,再利用偶函数的性质即可得出结论. 【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数,33()()44f f ∴-=,221331(),()244a a a f x -+=-+≥在[0,)+∞上递增,23()(1)4f f a a ∴≤-+,即23()(1)4f f a a --+,故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的简单应用,判断出2314a a -+≥是解题关键. 2．D 【解析】 【分析】先根据已知求出数列的通项，再求解. 【详解】当1n =时，11124S a a ==-，可得14a =；当2n ≥且*n N ∈时，()()111242224n n n n n n n a S S a a a a ---=-=--=--，得12n n a a -=，故数列{}n a 为等比数列，首项为4，公比为2.所以12n n a +=⋅所以866533242492424S a S a --===--. 故选D 【点睛】本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】 因为直线和直线互相垂直，所以，解方程可得或，故选C.【点睛】本题主要考查直线与直线垂直的充要条件，属于基础题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 4．C 【解析】 【分析】由a b ⊥可得0a b ⋅=,代入求解可得1sin 3α=,则22cos 3α=-,进而利用诱导公式求解即可 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=,即11tan cos sin 033ααα-+=-+=, 所以1sin 3α=, 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以22cos 3α=-, 则22sin cos 23παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 故选:C 【点睛】本题考查垂直向量的应用,考查里利用诱导公式求三角函数值 5．A 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，可直接得出结果. 【详解】因为点P(12，32)为角α的终边上一点，则22112cos 21322α==⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选A本题主要考查三角函数的定义，熟记概念即可，属于基础题型. 6．C 【解析】 【分析】由3是a 3与b 3的等比中项，可得2a b +=，再利用不等式知识可得14a b+的最小值. 【详解】 解：3是a 3与b 3的等比中项，2333a b ∴⋅=，∴2a b +=，14a b +=111419()5+2=24222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5， 故选C. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力. 7．A 【解析】 【分析】先根据()arctan f x x =的图象性质，推得函数()|arctan(1)|f x x =-的单调区间，再依据条件分析求解． 【详解】 解：()arctan f x x =是把()arctan f x x =的图象中x 轴下方的部分对称到x 轴上方，∴函数在(,0)-∞上递减；在(0,)+∞上递增．函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由()arctan f x x =的图象向右平移1个单位而得，∴在(-∞，1]上递减，在[1，)+∞上递增，若存在1x ，2[x a ∈，]b ，12x x <，使12()()f x f x 成立，1a ∴< 故选：A ． 【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．()f x a +图象可由()f x 的图象向左(0)a >、向右(0)a <平移||a 个单位得到，属于基础题. 8．D 【解析】根据奇函数和增函数的定义逐项判断. 【详解】选项A ：1y x =-不是奇函数，不正确； 选项B:：3y x =-在R 是减函数，不正确； 选项C ：1y x=-定义域上没有单调性，不正确； 选项D ：设()||,()||()f x x x f x x x f x =-=-=-，()f x 是奇函数，22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，()f x 在(,0),(0)-∞+∞都是单调递增，且在0x =处是连续的，()f x 在R 上单调递增，所以正确. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的性质，对于常用函数的性质要熟练掌握，属于基础题. 9．A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 10．A 【解析】 【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为2,3则直线l 的斜率为3,2-所以直线l 的方程为32(1).3210.2y x x y -=-++-=即故选A11．D 【解析】 【分析】利用向量的概念性质和向量的数量积对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】（1）两个长度相等的向量不一定相等，因为它们可能方向不同，所以该命题是错误的；（2）相等的向量起点不一定相同，只要它们方向相同长度相等就是相等向量，所以该命题是错误的； （3）若a b a c ⋅=⋅，且0a ≠，则b c =是错误的，举一个反例，如,a b a c ⊥⊥，,b c 不一定相等，所以该命题是错误的；（4）若向量a 的模小于b 的模，则a b ＜，是错误的，因为向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故该命题不正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的概念和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．D 【解析】 【分析】对a 分0,0a a =≠两种情况讨论分析得解. 【详解】当0a =时，不等式为10≤，所以满足题意；当0a ≠时，2,0440a a a a >⎧∴<<⎨∆=-<⎩， 综合得04a ≤<. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题 13．1- 【解析】 【分析】由已知先求=r=5t OP ，再由三角函数的定义可得sin ,αcos α即可得解． 【详解】解：由题意可得点P 到原点的距离5r t ==0t >，5r t ∴=，由三角函数的定义可得，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==， 此时2sin cos 1αα+=-； 故答案为1-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 14．()(),14,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min()34y x m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y +=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >. 考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题. 15．30° 【解析】 【分析】直接利用正弦定理得到30B ∠=︒或150B ∠=︒，再利用大角对大边排除一个答案. 【详解】sin sin a b A B= 即113sin ,sin 60sin 2B B =∴=︒30B ∠=︒或150B ∠=︒13b a =<=，故A B ∠>∠ ，故30B ∠=︒ 故答案为30 【点睛】本题考查了正弦定理，没有利用大角对大边排除一个答案是容易发生的错误. 16．12【解析】 【分析】A,B,C 是三角形内角，那么()B A C π=-+，代入等式()1cos cos 2A CB -=+中，进行化简可得角A,C 的关系，再由a ，b ，c 成等比数列，根据正弦定理，将边的关系转化为角的关系，两式相减可得关于cos B 的方程，解方程即得cos B ．【详解】因为()1cos cos 2A C B -=+，所以()()1cos cos 2A C A C -=-++，所以1cos cos 4A C =.因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，所以2sin sin sinB AC =，则21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-，整理得23cos cos 04B B +-=，解得1cos 2B =.【点睛】本题考查正弦定理和等比数列运用，有一定的综合性． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。