线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
线性代数第3章_线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证 （１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ,B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）A ．若(I ）线性无关，则(Ⅱ）线性无关B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关D ．若(Ⅱ）线性无关,则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4。
设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1,α2，α3线性无关,则（ )A 。
α1,α3线性无关B 。
α1，α2，α3，α4线性无关C 。
α1，α2，α3,α4线性相关D 。
α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6。
设α1，α2，α3,α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）。
如果｜A |=2，则|-2A ｜=（ ）A 。
—32B 。
—4C.4D.327.设α1，α2,α3,α4 是三维实向量,则（ ）A 。
α1，α2,α3，α4一定线性无关B 。
α1一定可由α2，α3，α4线性表出C 。
α1,α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=(1，0,0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1)的秩为( ）A.1 B 。
2014考研提高班线性代数例题-3向量
C2: (00 二) 已知向量组
0 a b
β1
=
−11,
β2
=
12,
β3
=
10
及向量组
1 3 9
α1
=
−23,
α2
=
10,
α3
=
−67Leabharlann 有相同的秩，且β3 可由α1,α2,α3 线性表示,求 a,b 的值.
(1) 记 P =(x, Ax, A2x) ， 求 3 阶 方 阵 B 使
A = PBP −1;
(2)计算行列式 A + E . [放在 chap.5 E″11]
16
三、关于向量组的秩与极大无关组
C12:设
1 0 3 1 2
α1
=
−1 2
,
α2
=
（C）α1,α3,α4； （D）α2,α3,α4。
14
C″′10: (06 一~四)设α1,α2,…,αs 均为 n 维列向 量，A 为 m×n 矩阵，下列选项正确的是[ ].
(A)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性相关；
(B)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性无关；
α3
到基
α1+α2, α2+α3, α3+α1
的过
渡矩阵为[ ].
1 0 1
(A)
2 0
2 3
0 3
;
1 2 0
(B)
0 1
2 0
3 3
，
20
线性代数第3章习题解答(rr)
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T Tααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T Tαα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0Tααααααα=--++-+=并且求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].Tα=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。
(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。
（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。
例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
线性代数_第三章
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
习题解答 第三章 线性方程组与n维向量空间
解（1）设有一组数
使
由增广矩阵 =
因此不能线性表示.
( 2 )设有一组数
使
所以方程无解，
由增广矩阵 =
所以 R(A)= R( )=3<4,原方程有无穷多解
因为
,令
,则
,
所以可以线性表示。
8. 设
1
2
0
3
a1 =
4 0
,a2 =
7 1
,a3 =
1 -1
,b
=
10 b
2
3
a
4
(1) a,b取何值时, b不能由a1 ,a2 ,a3线性表示; (2) a,b取何值时, b能由a1,a2,a3唯一线性表示,写出该表达式; (3) a,b取何值时, b能由a1,a2 ,a3线性表示且表达式不唯一,写出表达式全体表达式.
（2）
a1 = (1,1, 0,1) ，a2 = (2,1, 3,1) ，a3 = (1,1, 0, 0) ，a4 = (0,1, -1, -1)
(3) β = (−1, 1, 3,1);
α1 = (1,2,1,1), α2 =(1, 1, 1, 2), α3 = (−3,−2,1,−3) 解
（1）设有一组数
2 ，a2 = 3
1
3 ，a3 = 1
2
1
-1
0
0
0
0
1
-1
0
0
（3） a1 = 0 ，a2 = 0 ，a3 = 1 ，a4 = -1 ，a5 = 0
0
0
0
1
-1
-1
0
0
0
1
（4） α 1= (2, −1, 7, 3), α2 = (1, 4, 11, −2), α3 = (3, −6, 3, 8)；
线性代数习题册(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)
(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X） （X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0
1≤i< j≤n
1
xn
x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；
1
1 0
0
0
a11 a21
a12 a22
a13 a23
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
第3章 线性方程组 习题答案
即： 1
k 11 2 k 21 k s s1
k 12 k 22 ks2
k1 m 1 k2m 2 k sm m
1 , 2 , , n
记B的行向量，
a i 2 2 a in n
由题2-12的证明可知：
AB的第 i 个行向量= a i 1 1
AB的第 j 个列向量= b1 j A1
b 2 j A 2 b nj A n
则当 A1 , A 2 , , A n 线性无关时，由 AB=0 可知
i (1, t i , t i , , t i
2 n1
) ( i 1, 2 , , r , r n )
线性无关。
证明：将该向量组的向量当成行向量，写成 r n 矩阵形式：
1 1 A 1 t1 t2 tr t1
2 2
t2
11 21 m1 12 22 m2 k2 km 0 , 不含第 i1 , i 2 , , i s 个分量 即 k1 1n 2n mn
(2)
(3)
( 1 i k 1 ) 1 ( 2 i k 2 ) 2 ( i 1 i k i 1 ) i 1
( i 1 i k i 1 ) i 1 ( m i k m ) m
r
n1 t2 n1 tr t2
n1
将A左边 r r 的子块记作 A’，求其行列式：
线性代数第3章 n维向量与线性方程组
29
例3.3.3判定向量组α1=（1，0，3，2），α2=（0， 1，4，3）的线性相关性. 定理3.3.6 如果向量组α1，α2，…，αs线性无 关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可 由α1，α2，…，αs线性表示，且表示式是惟一 的.
30
31
32
3.4 在实际问题中，一个向量组有时含有很多个 向量.对于一个线性相关的向量组，只要所含的向 量不全是零向量，就一定存在一部分向量，它们 是线性无关的.本节主要介绍向量组的最大线性无 关组和向量组的秩.
2
由n维向量加法与数乘运算的定义，不难证明， n维向量的线性运算满足下列运算规律：
3
例3.1.1 设
解
4
例3.1.2 将线性方程组
写成向量方程的形式.
5
解
令
6
即
7
3.2 3.2.1 向量的线性组合 定义3.2.1 例3.2.1 设有向量0=（0，0，0），α1=（1，-1， 2），α2=（3，5，6），α3=（-2，4，3），问： 向量0能否表为向量α1，α2，α3的线性组合？
8
例3.2.2 求证：任何一个n维向量 α=（a1,a2,…,an）都可由向量组
线性表示.
9
证明 因为
10
例3.2.3设β=（1，1，1），α1=（0，1，-1），α2= （1，1，0），α3=（1，0，2），问β能否由α1， α2，α3线性表示？若能，写出线性表示式. 解 设
11
12
3.2.2 向量组的线性相关性 定义3.2.2 例3.2.4 已知α1=（1，1，1），α2=（0，2，5）， α3=（2，4，7），试判定向量组α1，α2，α3的 线性相关性.
33
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得
线性代数课后习题详细解答 (袁晖坪版)第三章 线性方程组
1 r3 ×( − ) 6 r2 + 3 r3 r1 − r3
r1 − r2
r2 − 2 r1 r3 − 2 r1
4 ⎧ x1 = − x4 , 4 ⎧ ⎪ 3 ⎪ x1 + 3 x4 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ x = − x4 , 得 ⎨ x2 + x4 = 0, ，所以 ⎨ 2 ( x4为自由未知量) ，令 x4 =k ，得原方程组 2 ⎪ ⎪ x = −2 − x4 2 ⎪ x3 + x4 = −2; ⎪ 3 3 3 ⎩ ⎪x = x ⎩ 4 4 4 ⎧ ⎪ x1 = − 3 k , ⎪ ⎪ x = −k , 得通解为： ⎨ 2 (k ∈ R) 2 ⎪ x = −2 − k ⎪ 3 3 ⎪x = k ⎩ 4
11 1 ⎧ ⎪ x1 = 5 + k1 + 5 k 2 , ⎪ ⎪ x2 = k1 , 得原方程组得通解为： ⎨ (k1 , k2 ∈ R) ⎪x = 2 + 2 k ⎪ 3 5 5 2 ⎪x = k ⎩ 4 2 (5) 由方程组的增广矩阵： 1 1 1 1 0⎞ 2 −5 r 1 ⎛1 ⎛1 1 1 1 1 0⎞ r ⎜ ⎟ r3 − r2 ⎜ ⎟ A = ( A, β ) = ⎜ 3 2 1 1 −3 0 ⎟ → ⎜ 0 −1 −2 −2 −6 0 ⎟ ⎜ 5 4 −3 3 −1 0 ⎟ ⎜ 0 0 −6 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 3 1⎞ 1 1 −4 1 ⎟ ⎟ 得 r ( A) ≠ r ( A) ，因此原方程组 0 −6 −3 10 ⎟ ⎟ 0 0 0 3⎠
无解。 ⎛ 1 −2 3 −4 4 ⎞ ⎜ 0 1 −1 1 −3 ⎟ ⎟ (3) 由方程组的增广矩阵 A = ( A, β ) = ⎜ ⎜1 3 0 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 −7 3 1 −3 ⎠
线性代数习题答案第三章
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k为任意常数)
(3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有
B~ 于是 即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以 为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性 有A~B
11 设 问k为何值 可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有
A~ 于是 故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为
所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为
所以 从而
5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r
线性代数————第3章：线性方程组
线性代数————第3章：线性方程组一、例题解析：1．单项选择题（1）向量组[][][][]αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。
A. αα12,B. αα24,C. ααα134,,D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。
正确答案：D（2）设线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000103006211041231，则此线性方程组的一般解中自由元的个数为（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 4解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。
正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。
A. n A r =)(B. n A r >)(C. n A r <)(D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C（4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。
A. 21X X +B. 21X X -C. 212X X -D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212，所以122X X -是线性方程组B AX =的解。
正确答案：D2． 填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。
解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。
线性代数--线性方程组题库
α1,
α
2
,
,
α
s
可互相线性表示。
18、（ ）不是 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件。
（A） r( A) = n ；
（B） A 的列秩为 n ；
（C） A 的每个行向量都是非零向量； （D）当 x ≠ o 时， Ax ≠ o ，其中 x = (x1, x2 , xn )T 。
19、设向量组
α1
,
题库
第三部分 线性方程组
《线性方程组》 题库
（打*的题目是选做的）
一、填空题
1、设 A 为 m × n 矩阵，齐次线性方程组 Ax = o 仅有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 r( A) =
。
2、设 v1 = (1,1, 0)T ， v2 = (0,1,1)T ， v3 = (3, 4, 0)T ，则 v1 − v2 = ， 3v1 + 2v2 − v3 = 。
α1
,
α
2
,
,
α
s
的秩不为零的充分必要条件是（
）。
（A）α1,α2 ,,αs 中有一个线性无关的部分组；
（B）α1,α2 ,,αs 中没有非零向量；
（C）
α1
,
α
2
,
,
α
s
线性无关；
（D）α1,α2 ,,αs 中没有线性相关的部分组。
16、下列说法正确的是（ ）。
（A）设 A 为 n 阶矩阵， r( A) = r < n ，则矩阵 A 的任意 r 个列向量线性无关；
15、设齐次线性方程组为 x1 + x2 + + xn = ο ，则它的基础解系中所含解向量的个数为
线性代数题
（A） （B） （C） （D）
3．设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．已知 ，其中 ，则
2．设 ，则X =
3．设A，B均是n阶矩阵， ， ，则 =
4．设矩阵A满足 ，则
三、计算与证明题：
1． 设方阵A满足 ，证明 及 都可逆，并求 和
答案：
2． 设 ，求A 的逆矩阵
答案：
（A） （B）
（C） （D）
3．如果 ，则方程组 的解是 [ B ]
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
二、填空题：
1． 行列式 中元素3的代数余子式是 -6
（A）2 （B） （C）3 （D）
2．线性方程组 ，则方程组的解 = [ C ]
（A）（13，5） （B）（ ，5） （C）（13， ） （D）（ ）
4．设 ，则方程 的根的个数为 [ ]
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
二、选择题：
1．若 为五阶行列式带正号的一项，则 i = j =
4． 行列式
线性代数练习题 第一章 行 列 式
系 专业 班 姓名 学号
第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义
一．选择题
1．若行列式 = 0，则 [ C ]
3．方程 根的个数是 [ C ]
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]
三、方程组 仅有零解，求 ， 应满足的条件。
四、用克拉默法则解方程组
线性代数第三章向量试题及答案
第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。
分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。
请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。
习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。
一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。
两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。
n 维向量组的线性组合也是n 维向量。
定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。
判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。
反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。
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1.设α1=(1 2
−1 0)，α2=(
1
3
1
2
)，α3=(
2
4
−2
)，α4=(
1
1
3
5
)，α5=(
2
2
3
)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的
一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。
2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.
3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条
件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.
4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(1
2−2a )，β=(01b −1
)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出
（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式
5. 设A=(λ+312
λλ−113λ+3λλ+3
)，讨论AX=0的解的情况。
6. 设A=(1
11a b c a 2
b 2
c 2
)，讨论AX=0的解的情况。
7. 设A=(1 10 1 1 1
2 20−132a −3−21a )，β=(01b −1
)，讨论方程组AX=β的解的情况。
8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1
λλ2
)，讨论方程组AX=b 的解的情况。
9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(1
232463
6k
)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。
10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0
，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2
−1a +21
)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。
(2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。
11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −5
1−1−1)，α2=(−6a +3−12
)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。
12.已知非齐次线性方程组（I ）{−2x 1+x 2+ax 3−5x 4=1x 1+2x 2−x 3+6x 4=43x 1+2x 2+x 3+2x 4=c
与(II) {x 1+x 4=1
x 2−2x 4=2x 3+x 4=1为通解方程组
求a,b,c 的值。
13．设α1，α2，α3为AX=0的一个基础解系，β1=α1+α2+α3，β2=α1+2α2+3α3，β3=α1+6α2−α3，证明β1，β2，β3也是AX=0的一个基础解系。
14. 设α1，α2，…，αs为AX=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，(t1，t2为实数)问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也是AX=0的一个基础解系。
15.设α可以由α1，α2，…，αm线性表出，但不能由α1，α2，…，αm−1线性表出，证明αm可由α1，α2，…，αm−1线性表出。
16. 设α1，α2，α3，α4线性相关，其中任意三个线性无关，证明存在全不为0的数k1，k2，k3，k4使k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0。
17. 已知α1，α2，α3线性相关, α2，α3，α4线性无关，问：（1）α1可否由 α2，α3，α4线性表出，（2）α4可否由α1， α2，α3线性表出，并说明理由。
18.设n维向量组α1，α2，…，αn−1线性无关且其中每一个向量与β1，β2分别都正交，证明β1，β2线性无关。
19.证明α1，α2，…，αm 线性无关的充要条件是行列式D=|α1α1α1α2α2α1α2α2⋯α1αm ⋯α2αm ⋮⋮αm α1
αm α2⋱⋮⋯αm αm |≠0。
20.设αi =（a i1，a i2，…，a im ）T (i=1,2,3…r,r<n)是n 维实向量，且α1，α2，…，αr 线性无关，
已知β=(a 1，a 2，…，a im )T 是齐次线性方程组(i){ a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =0a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =0::a r1x 1
+a r2x 2+⋯+a rn x n =0的一个非零解，证明β，a 1，a 2，…，a r 线性无关。
21.设n 阶矩阵A,B 满足R(A)+R(B)<n ，证明齐次线性方程组AX=0与BX=0存在非零公共解。
22.设X1，X2，…,Xn-r为AX=0的一个基础解系X0，为AX=b（b≠0）的一个特解，证明：
（1）X0, X1，X2，…,Xn-r线性无关
（2）X0, X0+ X1，X0+ X2，…, X0+ Xn-r线性无关
23.设A为（n-1）x n矩阵，|Aj|表示A中划去第j列所构成的行列式，证明：
（1）ξ=（|A1|-|A2|），… ，(−1)n−1|An|T为AX=0的解
（2）当R(A)=n-1时(1)中的解ξ为AX=0的一个基础解系。
24.设A为n阶矩阵，证明AX=b对对任意b有解的充分条件为|A|≠0。
25.已知向量组α1，α2，…，αr中每一个向量均可由向量组β1，β2，…，βr线性表出，且向量组α1，α2，…，αr线性无关,证明:
(1)r≤s
(2)存在βk（1≤k≤s）使βk，α1，α2，…，αr线性无关
26 设β1=α2+α3+⋯+αn，β2=α1+α3+⋯+αn，…，β1=α1+α2+⋯+αn−1，（n≥2），证明α1，α2，…，αn与向量组β1，β2，…，βn等价。