线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题

1.设α1=(1 2

−1 0)，α2=(

1

3

1

2

)，α3=(

2

4

−2

)，α4=(

1

1

3

5

)，α5=(

2

2

3

)，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的

一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。

2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0.

3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条

件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0.

4. 设α1=(1003)，α2=(11−12)，α3=(1

2−2a )，β=(01b −1

)问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出

（2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式

5. 设A=(λ+312

λλ−113λ+3λλ+3

)，讨论AX=0的解的情况。

6. 设A=(1

11a b c a 2

b 2

c 2

)，讨论AX=0的解的情况。

7. 设A=(1 10 1 1 1

2 20−132a −3−21a )，β=(01b −1

)，讨论方程组AX=β的解的情况。

8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1

λλ2

)，讨论方程组AX=b 的解的情况。

9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(1

232463

6k

)(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。

10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2−x 3=0x 1+2x 2+x 3−x 4=0

，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2

−1a +21

)，α2=(−124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。 (2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。

11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a −5

1−1−1)，α2=(−6a +3−12

)求（I ）与（II ）的所有非零公共解。

12.已知非齐次线性方程组（I ）{−2x 1+x 2+ax 3−5x 4=1x 1+2x 2−x 3+6x 4=43x 1+2x 2+x 3+2x 4=c

与(II) {x 1+x 4=1

x 2−2x 4=2x 3+x 4=1为通解方程组

求a,b,c 的值。

13．设α1，α2，α3为AX=0的一个基础解系，β1=α1+α2+α3，β2=α1+2α2+3α3，β3=α1+6α2−α3，证明β1，β2，β3也是AX=0的一个基础解系。

14. 设α1，α2，…，αs为AX=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，(t1，t2为实数)问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也是AX=0的一个基础解系。

15.设α可以由α1，α2，…，αm线性表出，但不能由α1，α2，…，αm−1线性表出，证明αm可由α1，α2，…，αm−1线性表出。

16. 设α1，α2，α3，α4线性相关，其中任意三个线性无关，证明存在全不为0的数k1，k2，k3，k4使k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0。

17. 已知α1，α2，α3线性相关, α2，α3，α4线性无关，问：（1）α1可否由 α2，α3，α4线性表出，（2）α4可否由α1， α2，α3线性表出，并说明理由。

18.设n维向量组α1，α2，…，αn−1线性无关且其中每一个向量与β1，β2分别都正交，证明β1，β2线性无关。

19.证明α1，α2，…，αm 线性无关的充要条件是行列式D=|α1α1α1α2α2α1α2α2⋯α1αm ⋯α2αm ⋮⋮αm α1

αm α2⋱⋮⋯αm αm |≠0。

20.设αi =（a i1，a i2，…，a im ）T (i=1,2,3…r,r

已知β=(a 1，a 2，…，a im )T 是齐次线性方程组(i){ a 11x 1+a 12x 2+⋯+a 1n x n =0a 21x 1+a 22x 2+⋯+a 2n x n =0::a r1x 1

+a r2x 2+⋯+a rn x n =0的一个非零解，证明β，a 1，a 2，…，a r 线性无关。

21.设n 阶矩阵A,B 满足R(A)+R(B)

22.设X1，X2，…,Xn-r为AX=0的一个基础解系X0，为AX=b（b≠0）的一个特解，证明：

（1）X0, X1，X2，…,Xn-r线性无关

（2）X0, X0+ X1，X0+ X2，…, X0+ Xn-r线性无关

23.设A为（n-1）x n矩阵，|Aj|表示A中划去第j列所构成的行列式，证明：

（1）ξ=（|A1|-|A2|），… ，(−1)n−1|An|T为AX=0的解

（2）当R(A)=n-1时(1)中的解ξ为AX=0的一个基础解系。

24.设A为n阶矩阵，证明AX=b对对任意b有解的充分条件为|A|≠0。

25.已知向量组α1，α2，…，αr中每一个向量均可由向量组β1，β2，…，βr线性表出，且向量组α1，α2，…，αr线性无关,证明:

(1)r≤s

(2)存在βk（1≤k≤s）使βk，α1，α2，…，αr线性无关

26 设β1=α2+α3+⋯+αn，β2=α1+α3+⋯+αn，…，β1=α1+α2+⋯+αn−1，（n≥2），证明α1，α2，…，αn与向量组β1，β2，…，βn等价。