湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)文数试卷含答案
湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
湖南师大附中2019届高三最新模拟考试数学(文)试题(解析版)
湖南师大附中2019届高三最新模拟考试数学(文)试题（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则(B) A ．A ∩BB ．A ∪B ＝RC ．BA D ．A B【解析】由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，∴A ∪B ＝R ，故选B. 2．若复数z 满足i(z －3)＝－1＋3i(其中i 是虚数单位)，则z 的虚部为(A) A ．1 B ．6 C ．i D ．6i【解析】∵i z －3i ＝－1＋3i ，∴i z ＝－1＋6i ，∴z ＝6＋i ，故z 的虚部为1.故选A.3．函数f ()x ＝ln ()x ＋1－2x的零点所在的大致区间为(B)A.()0，1B.()1，2C.()2，3D.()3，4【解析】f ()x ＝ln ()x ＋1－2x在()0，＋∞函数单增，且f ()1＝ln 2－2<0，f ()2＝ln 3－1>0.所以函数f ()x ＝ln ()x ＋1－2x的零点所在的大致区间为()1，2.故选B.4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)A.932 B.516C.38D.716【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面积为6，则所求的概率是P＝616＝38.则选C.5．设F1和F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若点P(0，2b)、F1、F2是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)A．y＝±3x B．y＝±217x C．y＝±33x D．y＝±213x【解析】由双曲线的对称性可知，直角顶点为P，在等腰三角形PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得c2＋4b2＋c2＋4b2＝4c2，化简得8b2＝2c2，即4b2＝c2，把c2＝a2＋b2代入4b2＝c2，得3b2＝a2，即b2a2＝13，则双曲线的渐近线方程为y＝±33x，故选C.6．给出下列四个命题：①“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为真命题；②“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是a·b<0；③若命题p：x－1<0，则綈p：x－1>0；x∈R，使得x2＋x＋1<0x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．其中不正确的个数是(A)A．3 B．2 C．1 D．0【解析】“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为：“若f′(x0)＝0，则x0为y＝f(x)的极值点”，为假命题，即①不正确；“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是a·b<0，即②不正确；若命题p：x－1<0，则綈p：x－1≥0，即③不正确；特称命题的否定为全称命题，即④正确．所以不正确的个数是3个．故选A.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是(A)A．(30，42] B．(30，42)C．(42，56] D．(42，56)【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，S＝0＋2×1＝2，k＝2，满足条件，继续运行；第二次，S ＝2＋2×2＝6，k ＝3，满足条件，继续运行； 第三次，S ＝6＋2×3＝12，k ＝4，满足条件，继续运行； 第四次，S ＝12＋2×4＝20，k ＝5，满足条件，继续运行； 第五次，S ＝20＋2×5＝30，k ＝6，满足条件，继续运行；第六次，S ＝30＋2×6＝42，k ＝7，不满足条件，停止运行，输出7.故选A.8．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，不一定正确．．．．．的是(C)A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°【解析】由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；综上C 是不一定正确的，故选C.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线l ：x ＝－1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝－1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为－3，则△MAF 的面积为(C)A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．8 3【解析】设准线l 与x 轴交于点N ，所以|FN |＝2，因为直线AF 的斜率为－3，所以∠AFN ＝60°，所以|AF |＝4，由抛物线定义知，|MA |＝|MF |，且∠MAF ＝∠AFN ＝60°，所以△MAF 是以4为边长的正三角形，其面积为34×42＝43，故选C. 10．若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为(B)A.18B.16C.14D.13【解析】因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋2·1－cos 2ωx 2＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1.由函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增知，所以3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2≤T 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2ω，即3π≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2ω，结合ω>0，可得0<ω≤16.所以正数ω的最大值为16，故选B.11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A)A.236B.72C.76 D ．4【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB 1－DCC 1，挖去一个三棱锥E －FCG ，故所求几何体的体积为12×(2×2)×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝236.故选A. 12．已知函数f (x )在定义域R 上的导函数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )没有零点，且f [f (x )－2 019x ]＝2 019，当g (x )＝sin x －cos x －kx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上与f (x )在R上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是(A)A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)【解析】由函数y ＝f ′(x )没有零点，即方程f ′(x )＝0无解，则f ′(x )>0或f ′(x )<0恒成立，所以f (x )为Rx ∈R 都有f [f (x )－2 019x ]＝2 019，则f (x )－2 019x 为定值，设t ＝f (x )－2 019x ，则f (x )＝t ＋2 019x ，易知f (x )为R 上的增函数，∵g (x )＝sin x －cos x －kx ，∴g ′(x )＝cos x ＋sin x －k ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－k ，又g (x )与f (x )的单调性相同，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g ′(x )≥0恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－1，2]．此时k ≤－1，故选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝__22__017－12__． 【解析】由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 018＝12（1－22 018）1－2＝22 017－12.14．设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →()λ∈R ，则λ＝__－3__．【解析】∵D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，∴B ，C ，D 三点共线．若BC →＝λDC →()λ∈R ，∴AC →－AB →＝λAC →－λAD →，化为：AD →＝1λAB →＋λ－1λAC →，与AD→＝－13AB →＋43AC →，比较可得：1λ＝－13，解得λ＝－3. 15．记命题p 为“点M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a 2(a >0)”，记命题q 为“M (x ，y )满足⎩⎨⎧x －2y ≤4，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0，”若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__45__． 【解析】依题意可知，以原点为圆心，a 为半径的圆完全在由不等式组⎩⎨⎧2x －4y ≤8，x ＋y ≤4，4x －3y ＋4≥0所围成的区域内，由于原点到直线4x －3y ＋4＝0的距离为45，从而实数a 的最大值为45.16．已知函数f (x )＝||x 2－4＋x 2＋mx ，若函数f (x )在(0，3)上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__－143<m <－2__． 【解析】将函数f (x )在(0，3)上有两个不同的零点等价转化为关于x 的方程f (x )＝0在(0，3)上有两个不同的实数解，等价于函数y ＝m 和函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，0<x ≤2，4x －2x ，2<x <3的图象有两个交点，所以实数k 的取值范围是－143<m <－2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin(A ＋B )．(1)求B 的值；(2)若向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，a ＝4，当m ·n 取得最大值时，求b 的值．【解析】(1)因为△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ， 所以a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin(A ＋B ) 变形为a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C . 由正弦定理得：a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，又因为0<B <π，∴B ＝π4.6分 (2)因为m ·n ＝12cos A －5cos 2A＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435，所以当cos A ＝35时，m ·n 取得最大值，此时sin A ＝45，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝522.12分18．(本题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ＝AD ＝2BC ＝2，BC ∥AD ，AB⊥AD ，△PBD 为正三角形．且PA ＝2 3.(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A －CDE 的体积．【解析】(1)证明：∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2，∴BD ＝22， 又△PBD 为正三角形，所以PB ＝PD ＝BD ＝22， 又∵AB ＝2，PA ＝23，所以AB ⊥PB ， 又∵AB ⊥AD ，BC ∥AD ，∴AB ⊥BC ，PB ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面PBC ，又因为AB PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .6分(2)如图，连接AC 交BD 于点O ，因为BC ∥AD ， 且AD ＝2BC ，所以OD ＝2OB ，连接OE ，因为PB ∥平面ACE ，所以PB ∥OE ，则DE ＝2PE ， 由(1)点P 到平面ABCD 的距离为2，所以点E 到平面ABCD 的距离为h ＝23×2＝43，所以V A －CDE ＝V E －ACD ＝13S △ACD ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×43＝89，即四面体A －CDE 的体积为89.12分19．(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：万元)对年销售量y (单位：吨)和年利润z (单位：万元)的影响．对近六年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，3，4，5，6)的数据作了初步统计，得到如下数据：y ＝a ·xb (a ，b >0)．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(2)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝2y －e14x .若想在2018年达到年利润最大，请预测2018年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据()u 1，v 1，()u 2，v 2，…，()u n ，v n ，其回归直线v ＝β·u ＋α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝错误!，α＝错误!－β·错误!.【解析】(1)对y ＝a ·x b ，(a ，b >0)两边取对数得ln y ＝ln a ＋b ln x ，令u i ＝ln x i ，v i ＝ln y i得v ＝ln a ＋b ·u ，由题给数据，得：u －＝24.66＝4.1，v －＝18.36＝3.05，错误!错误!错误!＝101.4，于是b ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，ln a ＝错误!－b 错误!＝3.05－错误!×4.1＝1， 得a ＝e ，故所求回归方程为y ＝e ·x .8分(2)由(1)知，年利润z 的预报值为z ^＝2y －e 14x ＝e 2x －e 14x ＝－e 14(x －142x )＝－e14(x －72)2＋7e ，所以当x ＝72即x ＝98时，z ^有最大值．故当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.12分20．(本题满分12分)如图，已知圆F 1的方程为(x ＋1)2＋y 2＝498，圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝18，若动圆M 与圆F 1内切，与圆F 2外切．(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过直线x ＝2上的点Q 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，设切点分别是M ，N ，若直线MN 与轨迹C 交于E ，F 两点，求|EF |的最小值．【解析】(1)设动圆M 的半径为r ，∵动圆M 与圆F 1内切，与圆F 2外切， ∴||MF 1＝724－r ，且||MF 2＝24＋r .于是，||MF 1＋||MF 2＝22>||F 1F 2＝2， 所以动圆圆心M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长为22的椭圆．从而，a ＝2，c ＝1，所以b ＝1.故动圆圆心M 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)设直线x ＝2上任意一点Q 的坐标是(2，t )，切点M ，N 坐标分别是()x 3，y 3，()x 4，y 4；则经过M 点的切线斜率k ＝－x 3y 3，方程是x 3x ＋y 3y ＝2，经过N 点的切线方程是x 4x ＋y 4y ＝2，又两条切线MQ ，NQ 相交于Q (2，t )． 则有⎩⎨⎧2x 3＋ty 3＝2，2x 4＋ty 4＝2，所以经过M ，N 两点的直线l 的方程是2x ＋ty ＝2，①当t ＝0时，有M (1，1)，N (1，－1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22，则||EF ＝2；②当t ≠0时，联立⎩⎨⎧2x ＋ty ＝2，x 22＋y 2＝1，整理得(t 2＋8)x 2－16x ＋8－2t 2＝0；设E ，F 坐标分别为(x 5，y 5)，(x 6，y 6)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 5＋x 6＝16t 2＋8，x 5·x 6＝8－2t2t 2＋8，所以||EF ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 2·（x 5＋x 6）2－4x 5x 6＝22（t 2＋4）t 2＋8＝22－82t 2＋8>2，综上所述，当t ＝0时，|EF |有最小值 2.12分 21．(本题满分12分)已知函数g ()x ＝a ln x ，f ()x ＝x 3＋x 2＋bx .(1)若f ()x 在区间[]1，2上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意x ∈[]1，e ，都有g ()x ≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当b ＝0时，设F ()x ＝⎩⎨⎧f （－x ），x <1，g （x ），x ≥1，对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F ()x 上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．【解析】(1)由f ()x ＝x 3＋x 2＋bx ，得f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b ，因f ()x 在区间[]1，2上不是单调函数， 所以f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b 在[]1，2上最大值大于0，最小值小于0， f ′()x ＝3x 2＋2x ＋b ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋b －13，∴⎩⎨⎧f ′()x max ＝16＋b >0，f ′()x min ＝5＋b <0，∴－16<b <－5.4分(2)由g ()x ≥－x 2＋()a ＋2x ，得()x －ln x a ≤x 2－2x ，∵x ∈[]1，e ，∴ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取，∴ln x <x ，即x －ln x >0，∴a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min， 令t ()x ＝x 2－2x x －ln x ，()x ∈[]1，e ，求导得t ′()x ＝()x －1()x ＋2－2ln x ()x －ln x 2， 当x ∈[]1，e 时，x －1≥0，0≤ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而t ′()x ≥0， ∴t ()x 在[]1，e 上是增函数，∴t min ()x ＝t ()1＝－1，∴a ≤－1.8分(3)由条件，F ()x ＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1，假设曲线y ＝F ()x 上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设P ()t ，F ()t ()t >0，则Q ()－t ，t 3＋t 2，且t ≠1， ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴OP →·OQ→＝0，∴－t 2＋F ()t ()t 3＋t 2＝0 (*)是否存在P ，Q 等价于方程(*)在t >0且t ≠1是否有解，①当0<t <1时，方程(*)为∴－t 2＋()－t 3＋t 2()t 3＋t 2＝0，化简t 4－t 2＋1＝0，此方程无解；②当t >1时，方程(*)为－t 2＋a ln t ()t 3＋t 2＝0，即1a＝()t ＋1ln t ， 设h ()t ＝()t ＋1ln t ()t >1，则h ′()t ＝ln t ＋1t ＋1，显然，当t >1时，h ′()t >0，即h ()t 在()1，＋∞上为增函数，∴h ()t 的值域为()h ()1，＋∞，即()0，＋∞，∴当a >0时，方程()*总有解， ∴对任意给定的正实数a ，曲线y ＝F ()x 上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y 轴上.12分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)数学文科试卷含答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数 学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A ．22y ±x ＝0B ．22x ±y ＝0C ．8x ±y ＝0D ．x ±8y ＝05．下列函数的最小正周期为π的是A ．y ＝cos 2xB ．y ＝|sin x 2|C ．y ＝sin xD ．y ＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x (b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤m x 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P －ABC中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n }是递增的等差数列，其中的a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列． (Ⅰ)设b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项的和T n .(Ⅱ)是否存在自然数m ，使得m －24<T n <m5对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE .(Ⅰ)判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D 到平面ACE 的距离．20.(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，N (5，0)，点P 是圆M 上的任意一点，线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q .(Ⅰ)当点P 在圆M 上运动时，试证明|QM |＋|QN |为定值，并求出点Q 的轨迹C 的方程； (Ⅱ)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值．21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围。
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案一、单选题1．设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】 因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2．如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示NM ，则NM 等于（ ）A ．1()2a b c -++B ．1()2a b c +-C ．1()2a b c -+ D ．1()2a b c --+【答案】B【解析】利用空间向量的基本运算求解即可. 【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+11()22OA OC OB OA =-+-1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型.3．设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a b+B ．4aC ．2a 且2bD ．4b <-【答案】D【解析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型. 4．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5．在101)的展开式中，x 项的系数为（） A ．45- B ．90- C ．45D ．90【答案】C【解析】根据二项式定理公式分析求解即可. 【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k k kkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k ,故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型. 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ） A ．8080- B ．4040- C ．8080 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ）A ．14 B ．12C ．13D ．34【答案】A【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.【考点】条件概率.8．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A ．4 B ．12 C ．16 D ．24【答案】B【解析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种；第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B . 【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.二、多选题9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近【答案】ABC【解析】根据正态分布的图像意义判定即可. 【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10．设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD【解析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可. 【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c =.据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==. 因为003y b <=,则12PF F ∆项正确.由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =, 则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=；当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD . 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型.11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．(0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+> B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD【解析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=, 又1sin 1x -,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真；B项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x=在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:lnC y x = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线. 当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； B 项,1y x '=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-.令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -,即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.三、填空题13．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+，可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2，则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________【答案】12【解析】根据数学期望的求法列式求解即可. 【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为337的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【解析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=, 则2,3BF c BP c ==,所以3tan cPAB ∠=. 333c =解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16．已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________ （2）球O 的体积为_____________.【答案】3213136π【解析】(1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可. 【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=. 因为3DB DC ==,则3BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD . 因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD . 取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得1312DE ==.在Rt OED ∆中,OD ==所以34326V π⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球.故答案为：(1). 32(2). 【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--. （1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆的面积为sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】(1)根据面积公式与余弦定理求解即可. (2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =再利用面积公式与正弦定理化简求解即可. 【详解】（1）因为in 12s S ab C =,所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--,即222sin cos 2c a b C C ab --==-,所以tan 1=-C ,又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=.（2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=, 所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因为1sin 2ABC S ab C ∆=,且in sin ABC S A B ∆=,所以1sin sin sin 22ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型. 18．已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n 时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】(1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可. 【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=, 又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=, 又因为13a =,所以21n a n =+. （2）因为）11222n n n b b b na -+++=,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n 时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭,则211111137(45)(41)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减,得211111134(41)22222n nn S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11147341(41)7222n nnn n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19．如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN平面CDE；（2）求当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE.【答案】（1）证明见解析（2）2PF=【解析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN即可. (2)分别取线段,AB DE的中点,G H,再根据题意分析PG⊥平面CDE时的点P,根据三角形的全等与相似的关系求得PF的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE,AB在平面DEF外,则//AB平面DEF.因为平面PAB⋂平面DEF MN=,则//AB MN,从而//DE MN.因为MN在平面CDE外,所以//MN平面CDE.（2）解法一：分别取线段,AB DE的中点,G H,则//GH CP, 所以,,,P C G H四点共面.因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆,则PA PB=,所以PG AB⊥.因为//AB DE,则PG DE⊥.若PG CH⊥,则PG⊥平面CDE,从而平面PAB⊥平面CDE.此时,CPG HCG∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC∆是边长为2的正三角形,则2sin603CG︒==又1GH =,则23CGPC GH ==,从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点, 直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 由已知,2,1,3AB OH OC ===则点(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB =-==设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得111(3)010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则3)m =设CP t =,则点3,)P t ,从而(0,3,)OP t =设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得2223010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,3)n t =-.因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=, 得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.（2）详见解析【答案】（1）23【解析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A , 则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21．如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--.（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）82【解析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可.【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py =-⎧⎨=-⎩,得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk+=+-=--. 所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk+=++=---因为(4,12)OA OB +=--,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩ 故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离5d ===. 由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅=. 解法二：由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===设点21,(222P t t t ⎛⎫---<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =,此时点(2,2)P --.故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22．已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【解析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()xx x f x e ++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()xx x a f x e ----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f e x -'-=, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-； 当()222121e a e -<+时,(1)(1)f f -,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --,即2a 时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
2019届湖南师大附中高三高考模拟卷(二) 数学(文)(解析版)
湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A 、B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x B }，若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝(D)A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}2．已知a 、b 是实数，则“a 2b >ab 2”是“1a <1b ”的(C)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a 2b >ab 2，得ab (a －b )>0，若a －b >0，即a >b ，则ab >0，则1a <1b 成立，若a －b <0，即a <b ，则ab <0，则a <0，b >0，则1a <1b 成立，若1a <1b ，则b －a ab <0，即ab (a －b )>0，即a 2b >ab 2成立．即“a 2b >ab 2”是“1a <1b”的充要条件，故选C.3．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2·a 6·a 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 2＋b 101－a 3·a 9的值是(D)A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3 【解析】{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 2·a 6·a 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3，3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－（3）2＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.故选D.4．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷B ，编号落在[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为(B)A ．10B ．12C ．18D ．285．执行如图的程序框图，则输出的S 值为(D)A ．1 B.32 C ．－12D ．0【解析】由图知本程序的功能是执行S ＝cos 0＋cosπ3＋cos 2π3＋…＋cos 2 019π3，此处注意程序结束时n ＝2 019，由余弦函数和诱导公式易得：cos 0＋cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos4π3＋cos 5π3＝0，周期为6，2 020＝336×6＋4，S ＝cos 0＋cos π3＋cos 2π3＋…＋cos 2 019π3＝336×0＋1＋12－12－1＝0，故选D. 6．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正(主)视图和侧(左)视图如图，其中正(主)视图为等腰梯形，侧(左)视图为等腰三角形，则AM 的长为(C)A. 3B. 5C. 6 D ．2 27．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点(D)A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变8．若3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则(C)A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x【解析】∵x ＝log 32>log 33＝12，y ＝ln 2>ln e ＝12，x ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝y ，z ＝5－12<4－12＝12，∴z <x <y .故选C.9．已知平面α∩平面β＝直线l ，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，且A 、B 、C 、D l ，点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则下列说法正确的是(B)A ．当|CD |＝2|AB |时，M 、N 不可能重合B ．M 、N 可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当直线AB 、CD 相交，且AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB 、CD 异面时，MN 可能与l 平行【解析】对于A ，当|CD |＝2|AB |时，若A 、B 、C 、D 四点共面且AC ∥BD 时，则M 、N 两点能重合．故A 不对；对于B ，若M 、N 两点可能重合，则AC ∥BD ，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，故B 对；对于C ，当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 平行，故C 不对；对于D ，当AB 、CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，从而D 不对，故选B.10．若存在实数x ，y 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是(B)A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z 最大值＝F (4，2)＝0；当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z 最小值＝F (3，3)＝－3，因此，z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]，∵存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，∴－m 大于或等于z ＝x －2y 的最小值，即－3≤－m ，解之得m ≤3，故选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：x 2＋(y －b )2＝4与l 交于第一象限A 、B 两点，若∠ACB ＝π3，且||OB ＝3||OA 其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为(D)A.2133B.133C.2135D.213【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为：y ＝ba x ，圆C ：x 2＋(y －b )2＝4的圆心坐标为(0，b )，半径为2，由∠ACB ＝π3所以三角形ABC 是边长为2的等边三角形，故AB ＝2，OA ＝1，圆心到直线y ＝ba x 的距离为3，在△OBC ，△OAC 中，由余弦定理得cos∠BOC ＝b 2＋1－42b ＝32＋b 2－46b ，解得b 2＝7圆心到直线y ＝b a x 的距离为3，有ab c ＝3，∴ca ＝73＝213，故选D.12．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{}a n 满足f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1()n ∈N *，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是(A)A ．f ()a 2 016>f ()a 2 018B ．f ()a 2 017>f ()a 2 020C ．f ()a 2 018>f ()a 2 019D ．f ()a 2 016>f ()a 2 019【解析】由题意可知，不妨设f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (0)＝1，∵f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1＝f (0)，∴则a n ＋1＋11＋a n ＝0，即a n ＋1＝－11＋a n 且a 1＝1，当n ＝1时，a 2＝－12；当n ＝2时，a 3＝－2；当n ＝3时，a 4＝1，所以数列{}a n 是以3为周期的周期数列；a 2 016＝a 3＝－2，a 2 017＝a 1＝1，a 2 018＝a 2＝－12，a 2 019＝a 3＝－2，a 2 020＝a 1＝1，又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是单调递减函数，所以f ()a 2 016>f ()a 2 018.故答案选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知a ＝(3，4)，b ＝(t ，－6)，且a ，b 共线，则向量a 在b 方向上的投影为__－5__． 14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为__75°__．【解析】由3(a cos C －c cos A )＝b 及正弦定理得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，即3sin(A －C )＝32，sin (A －C )＝12，∴A －C ＝30°，又∵A ＋C ＝180°－B ＝120°，∴2A ＝150°，得A ＝75°.15．已知点A (－2，0)、B (0，2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为__1或－5__．【解析】圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a ，0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或a ＝－5. 16．已知函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是__[1，e 2－2]__．【解析】因为函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，等价于a －x 2＝－2ln x－a ＝2ln x －x 2，在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解，设f (x )＝2ln x －x 2，求导得f (x )＝2x －2x ＝2（1＋x ）（1－x ）x ，∵1e ≤x ≤e ，∴f ′(x )＝0在x ＝1有唯一的极值点，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，f (x )max＝f (1)＝－1，∵f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (e)<f ⎝⎛⎭⎫1e ，f (x )的值域为[2－e 2，－1]，故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而a 的取值范围是[1，e 2－2]，故答案为[1，e 2－2]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知数列{}a n 前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ，(n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝(4n －2)a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n .【解析】(1)⎩⎨⎧S n ＝12a n ＋1＋n ，Sn －1＝12a n＋（n －1），(n ≥2)时，a n ＝12a n ＋1－12a n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2(n ≥2)，即(a n ＋1－1)＝3(a n －1)，当a 1＝2时，a 2＝2，a 2－1a 1－1＝1≠3，故{a n －1}是以a 2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴a n －1＝1·3n －2，即a n ＝3n －2＋1，n ≥2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，3n －2＋1，n ≥2.6分(2)b n ＝(4n －2)a n ＋1＝(4n －2)·(3n －1＋1)＝(4n －2)3n －1＋(4n －2)记s n ′＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n －2)3n －1， ①3s n ′＝2·31＋6·32＋…＋(4n －6)3n －1＋(4n －2)3n ， ②由①－②得，－2s n ′＝2·30＋4·(31＋32＋…＋3n －1)－(4n －2)·3n ， ∴s n ′＝2＋(2n －2)3n ，∴T n ＝2＋(2n －2)·3n ＋（4n －2＋2）n2＝2＋(2n －2)·3n ＋2n 2.12分18．(本题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为四边形，AC ⊥BD ，BC ＝CD ，PB ＝PD ，平面P AC ⊥平面PBD ，AC ＝23，∠PCA ＝30°，PC ＝4.(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)若四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ⊥BC ，M 为PC 上一点，且PMMC ＝2，求三棱锥M －PBD 体积．【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，连接PO ， ∵BC ＝CD ，AC ⊥BD ，∴O 为BD 中点．又∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，∵平面P AC ⊥平面PBD ，平面P AC ∩平面PBD ＝PO ， ∴BD ⊥平面P AC ，P A 平面P AC ，∴P A ⊥BD ， 在△PCA 中，由余弦定理得P A 2＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 30°，P A 2＝16＋12－2×4×23×32＝4，而P A 2＋AC 2＝PC 2，⎭⎬⎫∴P A ⊥AC ，P A ⊥BD ，BD ∩AC ＝O ，P A ⊥平面ABCD .6分(2)因为PM MC ＝2，可知点M 到平面PBD 的距离是点C 到平面PBD 的距离的23，∴V M －PBD ＝23V C －PBD ＝23V P －BCD ，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ⊥BC ，则∠BAC ＝60°，AB ＝AC sin 30°＝3，BC ＝3，则S △BCD ＝34×32＝934，∴V M －PBD ＝23V P －BCD ＝23×13×934×2＝ 3.12分19．(本题满分12分)某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得如下统计表：记x 表示1(单位：元)，n 表示购机的同时购买的维修服务次数．(1)若n ＝10，求y 关于x 的函数解析式．(2)若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值． (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？【解析】(1)依题意得y ＝⎩⎨⎧200×10＋50x ，x ≤10，250×10＋500（x －10），x >10，(x ∈N )，即y ＝⎩⎨⎧50x ＋2 000，x ≤10，500x －2 500，x >10(x ∈N ).4分(2)因为“维修次数不大于10”的频率为10＋20＋30100＝0.6<0.8，“维修次数不大于11”的频率为10＋20＋30＋30100＝0.9>0.8，所以若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，则n 的最小值为11.8分 (3)此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 1＝2 400×10＋2 450×20＋2 500×30＋3 000×30＋3 500×10100＝2 730(元)．若每台都购买11次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 2＝2 600×10＋2 650×20＋2 700×30＋2 750×30＋3 250×10100＝2 750(元)．因为y 1<y 2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.12分20．(本题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍． (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设P (2，0)，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，求λ的最小值．【解析】(1)依题意，a ＝2b ，c ＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆Γ的标准方程为x 22＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P A →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2， 当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12， 此时P A →＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)， 所以P A →·PB →＝(－3)2－y 21＝172，7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，所以P A →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k2＋4＋k 2 ＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132（2k 2＋1）<172. 要使不等式P A →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，只需λ≥(P A →·PB →)max ＝172，即λ的最小值为172.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a 为实常数) (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，求不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x >0的解集；(3)若存在两个不相等的正数x 1、x 2满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2a .【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ，①当a ≤0时，恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <1a ，故f (x )在(0，1a )上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 综上①②可知：当a ≤0时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.4分 (2)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x >0且2a －x >0，而a >0，故0<x <2a .设F (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x ＝ln x －ax －ln ⎝⎛⎭⎫2a －x ＋a ⎝⎛⎭⎫2a －x ＝ln x －ln ⎝⎛⎭⎫2a －x －2ax ＋2， F ′(x )＝1x ＋12a －x －2a ＝⎝⎛⎭⎫x －1a 2x ⎝⎛⎭⎫2a －x ≥0，且当且仅当x ＝1a 时取等号，6分所以F (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递增，又因为x ＝1a 时，F (x )＝F ⎝⎛⎭⎫1a ＝0 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，F (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2a 时，F (x )>0， 故f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x >0的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2a .8分 (3)由(1)知a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2，不合题意， 故a >0，而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 若存在两个不相等的正数x 1、x 2满足f (x 1)＝f (x 2)，则x 1、x 2必有一个在⎝⎛⎭⎫0，1a 上，另一个在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上，不妨设0<x 1<1a <x 2，则2a－x 1∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.10分又由(2)知x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，F (x )<0，即f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x <0，所以f (x 1)<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1. 因为f (x 1)＝f (x 2)，所以f (x 2)<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1， 又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，所以x 2>2a －x 1，即x 1＋x 2>2a.12分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中18-19学年高二第一学期期末数学(文科)考试含答案
湖南师大附中 2018－2019 学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案
一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
DCBADBADB C A A
二、填空题
13．－3
14．π是无理数
15. 2 【解析】由(1＋i)x＝1＋yi，得 x＋xi＝1＋yi，
由复数相等得xx＝ ＝1y，，解得xy＝ ＝11.，
准线方程是 x＝－1.6 分
(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，
则 kPA＝xy11－－12(x1≠1)，kPB＝xy22－－12(x2≠1)，
∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 得 y21＝4x1，① y22＝4x2，② ∴14yy121－－21＝－14yy222－－21，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
百加教育 北清一对一
百加教育 北清一对一 20.(本小题满分 12 分) 如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2 2，E、F 分别是 AB、
PD 的中点． (1)求证：AF⊥平面 PCD； (2)求三棱锥 P－EFC 的体积．
百加教育 北清一对一
百加教育 北清一对一 21.(本小题满分 12 分) 如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1，2)、A(x1，y1)、B(x2，
步骤．)
17．(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已
知圆
C
的极坐标方程为ρ＝cos
θ＋sin
湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)化学试卷word版有答案AUPqHK
炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试化学命题人：雷光华审题人：李莉得分：__________本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量90分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H～1C～12N～14O～16Na～23S～32Cl～35.5Fe～56Cu～64Sr～88第Ⅰ卷一、选择题(本题共16个小题，每小题3分，共48分。
每个小题只有一个选项符合题意)1．我国明代《本草纲目》中记载了烧酒的酿造工艺：“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”，“以烧酒复烧二次……价值数倍也”。
这里用到的实验操作方法是A．过滤B．萃取C．分液D．蒸馏2．下列说法正确的是A．仅用酸性高锰酸钾溶液可以鉴别苯、苯乙烯、环己烷B．糖类、蛋白质、油脂都可以发生水解C．以苯甲醇为原料可以制得苯甲酸D．分子式为C4H10O的有机物一定能和钠反应产生H23．下列实验操作或装置不符合实验要求的是A．装置Ⅰ酸性高锰酸钾溶液中有气泡出现，溶液颜色变浅或褪色B．装置Ⅱ久置后，饱和硫酸铜溶液可能析出蓝色晶体C．装置Ⅲ可用于比较乙酸、碳酸、苯酚的酸性强弱D．装置Ⅳ可用于吸收易溶于水的尾气4．下列说法不正确的是A．Na与H2O的反应是熵增的放热反应，该反应能自发进行B．饱和Na2SO4溶液和浓硝酸均可使蛋白质溶液产生沉淀，但原理不同C．FeCl3和MnO2均可加快H2O2分解，同等条件下二者对H2O2分解速率的改变相同D．Mg(OH)2固体在溶液中存在平衡：Mg(OH)2(s)Mg2＋(aq)＋2OH－(aq)，该固体可溶于NH4Cl 溶液5．下列说法错误的是A．CH3的一溴代物和的一溴代物都有4种B．CH3CH===CHCH3分子中的四个碳原子在同一平面上C．按系统命名法命名，化合物CCH3CH2CH3H3CCHCH3CHCH3CH3的名称是2，3，4，4－四甲基己烷D．HOCH2CHCOOHNH2HOH2C与HOCH2CHCOOHNH2HO互为同系物6．塑化剂是一种对人体有害的物质。
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab ≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x ＝y ＝1，则|x +yi |＝|1+i |＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f （x ）＝ln x ﹣（a ＞0），若∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），则实数a 的取值范围是 （0，1）∪（2，+∞） ．【分析】∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈R ．且f （a ）不在区间[1，2]内．f ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈Rf ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）． 可得：函数f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减．x ＝a 时，函数f （x ）取得极大值即最大值，f （a ）＝lna ﹣1．∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），可得f （a ）不在区间[1，2]内．∴a ∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，直线l 的极坐标方程为ρsin （）＝．（1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆C 公共点的极坐标．【分析】（1）圆C 的极坐标方程转化为ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为ρsin θ﹣ρcos θ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l 与圆C 公共点的极坐标． 【解答】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，∴ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B （x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(文) 试题-含答案
湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(文) 试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x<1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C)A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x<1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，nα，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，nβ，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R)在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C. 6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D.7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n，∴f (a n )＝f (－2n)＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3 C.8π3＋233 D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x－a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__．【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a＝5b＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎪⎫－1，43__．【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎪⎫－1，43.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y ＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，6分 因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，8分 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。
2019年湖南师大附中高三摸底考试(高二上学期期末考试)语文试卷有答案
炎德·英才大联考湖南师大附中春季高二期末考试暨高三摸底考试语文得分：____________本试题卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分，共10页。
时量150分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(阅读题，共70分)一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
所谓六艺乃春秋时固有之学问，先孔子而存在，孔子实未制作之。
但孔子虽未曾制作六艺，却曾以六艺教弟子。
故后人以六艺为特别与孔子有密切关系，亦非毫无根据。
以六艺教人，并不必始于孔子，据《国语》，士亹教楚太子之功课表中，已有“诗”“礼”“乐”“春秋”“故志”等。
但此等教育，并不是一般人所能受。
不但当时之平民未必有机会受此等完全教育，即当时之贵族亦未必尽人皆有受此等完全教育之机会。
吴王寿梦第四子季礼到鲁方能见各国之诗与乐，可见“乐”“诗”各书，在当时乃是极名贵的典籍学问。
孔子则抱定“有教无类”之宗旨，“自行束脩以上，吾未尝无悔焉”。
如此大招学生，不问身家，凡缴学费者即收，一律教以各种功课，教读各种名贵典籍，此实一大解放也。
故以六艺教人，或不始于孔子；但以六艺教一般人，使六艺民众化，实始于孔子。
以后各家蜂起，竞聚生徒，然此风气实孔子开之。
孔子之讲学，又与其后别家不同。
别家皆注重其自家之一家言，如《庄子·天下篇》所说，墨家弟子诵《墨经》。
但孔子则是教育家，他讲学目的，在于养成“人”，养成为国家服务之人，并不在于养成某一家的学者。
所以他教学生读各种书，学各种功课。
所以颜渊说：“博我以文，约我以礼。
”《庄子·天下篇》讲及儒家，即说：“诗”以道志，“书”以道事，“礼”以道行，“乐”以道和，“易”以道阴阳，“春秋”以道名分。
此六者正是儒家教人之六种功课。
惟其如此，所以孔子弟子之成就，亦不一律。
《论语》谓：“德行：颜渊，闵子骞，冉伯牛，仲弓；言语：宰我，子贡；政事：冉有，季路；文学：子游，子夏。
”可见孔子教弟子，完全欲使之成“人”，不是教他做一家的学者。
2019-2020学年湖南师大附中高三(上)9月摸底数学试卷答案(文科)
2019-2020学年湖南师大附中高三（上）9月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若（1﹣2i）z＝5i，则|z|的值为（）A．3B．5C．D．【解答】解：由（1﹣2i）z＝5i，得，则|z|的值为．故选：D．2．（5分）集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]【解答】解：由M中不等式变形得：lgx＞0＝lg1，解得：x＞1，即M＝（1，+∞），由N中不等式x2≤4，解得：﹣2≤x≤2，∴N＝[﹣2，2]，则M∩N＝（1，2]，故选：C．3．（5分）若“＜0”是“|x﹣a|＜2”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（1，3]B．[1，3]C．（﹣1，3]D．[﹣1，3]【解答】解：由＜0得1＜x＜3，由|x﹣a|＜2得a﹣2＜x＜a+2，若“＜0”是“|x﹣a|＜2”的充分而不必要条件，则，即，得﹣1≤a≤3，故选：B．4．（5分）如图，E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF ＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A．60°B．45°C．0°D．120°【解答】解：取AC的中点G，连接EG，GF，由中位线定理可得：GE∥PC，GF∥AB且GE＝5，GF＝3∴∠EGF是异面直线PC，AB所成的角的补角，在△GBF中由余弦定理可得：cos∠EGF＝＝﹣∴∠EGF＝120°，即异面直线PC，AB所成的角为60°，故选：A．5．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n＝6，i＝2，S＝0满足条件i≤6，S＝0+＝，i＝4满足条件i≤6，S＝+，i＝6满足条件i≤6，S＝++，i＝8不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为++＝．故选：A．6．（5分）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．（5分）实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．【解答】解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故m＝2；故选：A．8．（5分）在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为（）A．16B．8C．4D．2【解答】解：∵，由于P为BD上一点，所以，λ+4μ＝1，由基本不等式可得＝，当且仅当时，即当λ＝4μ时，等号成立，因此，的最小值为16．故选：A．9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．10．（5分）若正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则2a+b+c的最小值为（）A．2B．1C．D．2【解答】解：正实数a、b、c满足ab+bc+ac＝2﹣a2，则：a2+ab+bc+ac＝（a+b）（a+c）＝2，所以：2a+b+c＝（a+b）+（a+c）＝2．故选：D．11．（5分）点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，所以e＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＜0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，f（0）＝1，且f（x）存在唯一的零点x°，且x°＜0，∴a＞0，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2）＝0时的解为x＝0，x＝；∴f（）＝a（）3﹣3（）2+1＝＞0，则a＞2．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝，故答案为：．14．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知，角α的终边上一点P的坐标为（﹣2，m），则sinα＝．【解答】解：∵已知，角α的终边上一点P的坐标为（﹣2，m），∴＝﹣，求得m＝，则sinα＝＝，故答案为：．16．（5分）已知正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a7＝a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7＝a6+2a5，得到a6q＝a6+2，解得q＝﹣1，或q＝2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q＝﹣1舍弃，所以，q＝2．因为a m a n＝16a12，∴a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝16，∴2m+n﹣2＝24，∴m+n＝6，（m＞0，n＞0），∴+＝•（+）＝+＝+++≥+2＝+1＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝，【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m＝＝80；由此填写列联表如下；（3）根据（2）中的列联表，计算K2＝＝＝10＞6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD＝BD＝DC＝AB，E为PC中点．（I）证明：平面BDE⊥平面PBC；（II）若V P﹣ABCD＝，求点A到平面PBC的距离．【解答】证明：（I）PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥DB，又BD⊥DC，PD＝DC＝DB，∴PC＝PB＝BC，∵E是PC的中点，∴PC⊥DE，PC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴PC⊥平面BDE，又PC⊂平面PBC，∴平面BDE⊥平面PBC．（Ⅱ）设PD＝CD＝BD＝＝a，∴S四边形ABCD＝＝a2，则V P﹣ABCD＝＝＝，∴a＝．∴PC＝PD＝BC＝a＝2，∴S△PBC＝＝，又S△ABC＝＝2，∴V P﹣ABC＝＝，设A到平面PBC的距离为h，则V A﹣PBC＝＝．∵V P﹣ABC＝V A﹣PBC，∴h＝，解得h＝．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求证：【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝a n+n2﹣1，∴a1+a2＝a2+22﹣1，∴a1＝3．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+n2﹣1﹣[a n﹣1+（n﹣1）2﹣1]，∴a n﹣1＝2n﹣1．∴a n＝2n+1，当n＝1时a1＝3满足上式，∴a n＝2n+1；（Ⅱ）证明：由（1）可得S n＝2n+1+n2﹣1＝n2+2n，∴，∴＝＝．所以命题得证．20．（12分）已知椭圆E：经过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝，则a2＝4b2，…（2分）将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2＝2，则a2＝8，…（4分）∴椭圆的方程为：；…（5分）（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y＝kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，•则△＝16（8k2﹣t2+2）＞0，x1+x2＝，x1x2＝，…（7分）又直线P A的方程为y﹣1＝（x﹣2），即y﹣1＝（x﹣2），…..（8分）因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），…（9分）由，则+＝0，化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t＝0，则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t＝0，…（10分）化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）＝0，•当且仅当t＝﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣1+aln（1﹣x），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．证明：＞．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1），求导：f′（x）＝2x﹣＝，x＜1，令g（x）＝﹣2x2+2x﹣a，则△＝4﹣4（﹣2）（﹣a）＝4﹣8a，当4﹣8a≤0时，即a≥，则﹣2x2+2x﹣a≤0恒成立，则f（x）在（﹣∞，1）上单调减函数，当4﹣8a＞0时，即a＜，则﹣2x2+2x﹣a＝0的两个根为x1＝，x2＝，当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（x1，1），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数f（x）为定义域上的单调函数，则实数a的取值范围[，+∞）；（Ⅱ）证明：由函数有两个极值点，则f′（x）＝0，在x＜1上有两个不等的实根，即﹣2x2+2x﹣a＝0，在x＜1有两个不等式的实根，x1，x2，由0＜a＜，则，且x1∈（0，），x2∈（，1），则＝＝＝﹣（1+x1）+2x1ln（1﹣x1），同理可得：＝﹣（1+x2）+2x2ln（1﹣x2），则﹣＝（x2﹣x1）+2x1ln（1﹣x1）﹣2x2ln（1﹣x2），＝2x2﹣1+2（1﹣x2）lnx2﹣2x2ln（1﹣x2），令g（x）＝2x﹣1+2（1﹣x）lnx﹣2xln（1﹣x），x∈（，1），求导，g′（x）＝﹣2ln[x（1﹣x）]++，x∈（，1），由x∈（，1），则+＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在x∈（，1），上单调递增，则g（x）＞g（）＝0，则﹣＞0，∴＞成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．[选修4一5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|＝，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）＝，当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x＝＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x＝∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）＝﹣+﹣1＝；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x＝＜2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max＝，∴m的取值范围为（﹣∞，]．。
湖南师大附中2019届高三上学期摸底考试(7月)数学(文)试卷解析
炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试解析版数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝(D )A .{}1B .{}1，5C .{}4，5D .{}1，4，5(2)复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数(其中i 为虚数单位)，则z ＝(A ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．－1－2i(3)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A )A .13B .14C .15D .16(4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于(A )A .π4B .3π4 C . π4或3π4D . 以上都不对 (5)为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位 (6)设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是(B ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．b<c<a【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .(7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为(D )【解析】由题意得，函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cosx －sin x ＝x cos x ，显然在⎝⎛⎭⎫0，π2上，y ′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是(B )A ．k>5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.(9)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .14B ．－14C .12D ．－12【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角， 又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°， 则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A .(其它的平移方法均可)(10)如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A )A ．2＋23＋ 6B ．4＋23＋ 6C ．4＋43＋ 6D ．2＋3＋ 6【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ，该几何体的表面积是S ＝12×1×2×2＋34×(22)2＋12×22×3＝2＋23＋ 6.(11)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(－3，t)，|MF|＝1532，则双曲线的离心率为(C )A .22B .33C .52D . 5 【解析】依题意有－p 2＝－3，p ＝6，又|MF|＝1532，∴⎝⎛⎭⎫15322＝t 2＋62，∴t ＝±32，∴b a (－3)＝－32，b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，e ＝52.故选C . (12)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2－2x －2a －32在区间⎣⎡⎦⎤－3，－32上存在次不动点，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，0) B .⎣⎡⎦⎤－14，0 C .⎣⎡⎦⎤－314，0 D .⎣⎡⎦⎤－314，－14 【解析】由题意，存在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2－x －2a －32＝0，解得a ＝x ＋32x 2－2，设h(x)＝x ＋32x 2－2，则由h′(x)＝－x 2－3x －2（x 2－2）2＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝－2，且h(x)在(－3，－2)上递减，在⎝⎛⎭⎫－2，－32上递增，又h(－3)＝－314，h(－2)＝－14，h ⎝⎛⎭⎫－32＝0，所以h(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32的值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝__－3__．(14)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝__－79__．【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79.(15)点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为__－3__．【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.(16)已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0__．【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，2分 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥24分 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，6分故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.8分(Ⅱ) S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n 2－12.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(Ⅰ)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(Ⅱ)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(Ⅲ)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．【解析】(Ⅰ)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，2分由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.4分(Ⅱ)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.7分(Ⅲ)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，b2，8分在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，10分其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710＝0.7.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝DC ＝2，AD ⊥DC ，AC ＝CB ，AB ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ADC ；(Ⅱ)求点A 到平面DMC 的距离．【解析】(Ⅰ)∵AD ＝DC ＝2且AD ⊥DC ， ∴AC ＝CB ＝22，又AB ＝4，满足AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .4分∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC .6分(Ⅱ)取AC 中点N ，连接MN ，DN ，DM ，CM在Rt △ADC 中，DN ⊥AC 且DN ＝2，又平面ABC ⊥平面ADC ， ∴DN ⊥平面ABC .在△ABC 中，MN ∥BC 且MN ＝12BC ＝2，由(Ⅰ)知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN 平面ADC ，∴MN ⊥DN ，即DM ＝DN 2＋MN 2＝2，8分在△ABC 中，AC ＝BC ＝22，AB ＝4，∴CM ＝2，∴S △DMC ＝34×4＝ 3.10分设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由V A －DMC ＝V D －AMC ， 得13×S △DMC ×h ＝13×S △AMC ×DN ， 解得h ＝263，∴点A 到平面DMC 的距离为263.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ) 由e ＝63， 得c a ＝63，即c ＝63a ， ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，8分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋110分要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为⎝⎛⎭⎫73，0.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R )．(Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1(其中e 为自然对数的底数)．【解析】 (Ⅰ)当b ＝1时，f (x )＝12ax 2－(1＋a 2)x ＋a ln xf ′(x )＝ax －(1＋a 2)＋a x ＝（ax －1）（x －a ）x 1分当a ≤0时，x －a >0，1x>0，ax －1<0f ′(x )<0此时函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间2分当a >0时，令f ′(x )＝0x ＝1a或a①当1a ＝a (a >0)，即a ＝1时， 此时f ′(x )＝（x －1）2x≥0(x >0)此时函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间3分②当0<1a<a ，即a >1时，此时在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)上函数f ′(x )>0， 在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上函数f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，a .4分③当0<a <1a，即0<a <1时，此时函数f (x )单调递增区间为(0，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，1a .6分 (Ⅱ)证明：当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1，只需证明：e x－ln x －1>0，(法一)设g (x )＝e x －ln x －1(x >0)， 问题转化为证明x >0，g (x )>0，由g ′(x )＝e x －1x ， g ″(x )＝e x ＋1x2>0，∴g ′(x )＝e x －1x为(0，＋∞)上的增函数，且g ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，g ′(1)＝e －1>0.8分 ∴存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g ′(x 0)＝0，e x 0＝1x 0， ∴g (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增.10分∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1≥2－1＝1，∴g (x )min >0，∴不等式得证.12分 (法二)先证：x －1≥ln x (x >0)，令h (x )＝x －1－ln x (x >0)，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＝0x ＝1，∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝0，∴h (x )≥h (1)x －1≥ln x ．8分 ∴1＋ln x ≤1＋x －1＝x ln(1＋x )≤x ，∴e ln(1＋x )≤e x ，10分∴e x ≥x ＋1>x ≥1＋ln x ，∴e x >1＋ln x ， 故e x －ln x －1>0.12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，1分 C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1. 5分(Ⅱ)设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22|2＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4|，当cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1－22，22.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(Ⅰ) 若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)， 即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，3分由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.5分 (Ⅱ) 原不等式等价于，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立， 即m ≥[|1－2n |＋|1＋2n |＋2]min ，8分而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2， 从而实数m ≥4.10分。
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炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－4≤x－1≤4}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．2个B．3个C．1个D．无穷多个2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设i为虚数单位，m∈R，“复数z＝(m2－1)＋(m－1)i是纯虚数”是“m＝±1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A．22y±x＝0 B．22x±y＝0C．8x±y＝0 D．x±8y＝05．下列函数的最小正周期为π的是A．y＝cos2x B．y＝|sin x 2|C．y＝sin x D．y＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 37．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为 A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214 D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤mx 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P －ABC 中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n}是递增的等差数列，其中的a3＝5，且a1、a2、a5成等比数列．(Ⅰ)设b n＝1（a n＋1）（a n＋1＋1），求数列{b n}的前n项的和T n.(Ⅱ)是否存在自然数m，使得m－24<T n<m5对一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离．已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，N(5，0)，点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆M上运动时，试证明|QM|＋|QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y＝－34的上方，求实数m 的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2x ，直线l 的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋cos θ. (Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥11x， 0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(Ⅰ)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数b 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数学(文科)参考答案一、选择题1．B 【解析】由M ＝{x |－4≤x －1≤4}＝{x |－3≤x ≤5}，则M ∩N ＝{1，3，5}，有3个元素，故选B.2．B3．A 【解析】因为复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m －1≠0，显然m ＝－1，所以，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的充分不必要条件．故答案选A.4．B 【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是3，可得ca ＝3＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，∴b a＝22，则其渐近线的方程为：22x ±y ＝0，故选B.5．A6．D 【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD ⊥底面P AB .侧面ACBD 为直角梯形，DA ⊥AB .该几何体的体积V ＝13×（1＋2）×32×2＝ 3.故答案选D.7．B8．B9．C 【解析】由程序框图可知，当输入的x 的值为5时，第一次运行，x ＝5－2＝3；第二次运行，x ＝3－2＝1；第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有C 中的函数y ＝3x 符合要求．10．D 【解析】由不等式组作出可行域如图，由a >0，b >0，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点P (4，6)时，z 取得最大值，由已知得4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝2a ＋3b 3a ＋2a ＋3b2b ＝136＋b a ＋a b ≥256，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝65时取得等号，故2a ＋3b 的最小值为256，故选D. 11．C 【解析】P A →·PB →＝(PC 2－1)2cos ∠APB ＝(PC 2－1)×(2cos 2∠APC －1)＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝PC 2＋2PC 2－3，∵PC 2＝(t ＋1)2＋(3－t )2＝2t 2－4t ＋10≥8，∴PC 2＋2PC 2－3≥8＋28－3＝214.故选C. 12．C 【解析】f ()x ＋xf ′()x >0[]xf ()x ′>0，设g ()x ＝xf ()x ＝ln x ＋()x －b 2，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f ()x ＋xf ′()x >0，则函数g ()x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在子区间使得g ′()x >0成立，g ′()x ＝1x ＋2()x －b ＝2x 2－2bx ＋1x ，设h ()x ＝2x 2－2bx ＋1，则h ()2>0或h ⎝⎛⎭⎫12>0，即8－4b ＋1>0或12－b ＋1>0，得b <94，故选C.二、填空题 13.1314．33 【解析】由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即213＝AC sin 60°，所以AC ＝6×32＝3 3.15．(3，＋∞) 【解析】函数y ＝||x 为偶函数，且左减右增．函数y ＝x 2－2mx ＋4m ()x >m 的对称轴为x ＝m ，且向右单调递增．故当x ≤m 时函数f ()x 先减后增，当时函数f ()x 单调递增，要f ()x ＝b 有三个不同的零点则必须满足m >m 2－2m 2＋4m ，解得m >3.16.1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC2 【解析】如图，连接CO ，延长交AB 于点D ，连PD ， 由已知可得，PC ⊥PD ，PO ⊥CD ，P A ⊥PB ，PD ⊥AB ， 由定理，得1h 2＝1PD 2＋1PC 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2.三、解答题17．【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .(4分)所以函数f (x )的最小正周期为π.(6分)(Ⅱ)因为y ＝f (x )＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)．(8分) 由0≤x ≤π2π4≤2x ＋π4≤5π4，从而－22≤sin(2x ＋π4)≤1.(10分) 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为2，最小值为－1.(12分) 18．【解析】(Ⅰ)在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 1a 5a 3＝5⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋4d ）a 1＋2d ＝5(2分) ∴⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1(3分) 则b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝12n ×（2n ＋2）＝14(1n －1n ＋1)(4分) 所以T n ＝14(11－12)＋14(12－13)＋…14(1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n 4（n ＋1）(6分) (Ⅱ)T n ＋1－T n ＝14（n ＋1）（n ＋2）>0，∴{T n }单调递增．(7分) ∴T n ≥T 1＝18.(8分) T n ＝14(1－1n ＋1)＝14－14（n ＋1）<14(9分) 要使得m －24<T n <m 5对一切n ∈N *恒成立，则⎩⎨⎧m －24<18m 5≥14，∴54≤m <52(11分) ∵m 是自然数，∴m ＝2.(12分)19．【解析】(Ⅰ)因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE .(2分)因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，所以BC ⊥平面ABE ，从而BC ⊥AE .(5分)于是AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE .(6分)(Ⅱ)方法一：连结BD 交AC 于点M ，则点M 是BD 的中点，所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等．因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离．(8分)因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE .又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形．因为AB ＝2，所以BE ＝2sin 45°＝ 2.(9分)在Rt △CBE 中，CE ＝BC 2＋BE 2＝ 6.(10分)所以BF ＝BC ×BE CE ＝226＝233. 故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分) 方法二：过点E 作EG ⊥AB ，垂足为G ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EG ⊥平面ABCD . 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE .又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形，从而G 为AB 的中点．又AB ＝2，所以EG ＝1.(8分)因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥EC . 又AE ＝BE ＝2sin 45°＝2，CE ＝BC 2＋BE 2＝ 6.(10分)设点D 到平面ACE 的距离为h ，因为V D －ACE ＝V E －ACD ，则13S △ACE ·h ＝13S △ACD ·EG . 所以h ＝12AD ·DC ·EG 12AE ·EC ＝2×2×12×6＝233，故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分) 20．【解析】(Ⅰ)证明：由已知条件得|QN |＝|QP |，又|QM |＋|QP |＝6，∴|QM |＋|QN |＝6为定值．(2分)根据椭圆定义得动点Q 的轨迹是以点M 、N 为焦点的椭圆．(3分) 且2a ＝6，a ＝3，c ＝5，b ＝2，(5分) ∴点Q 的轨迹C 的方程为：x 29＋y 24＝1.(6分) (Ⅱ)∵直线l 不可能与x 轴平行，∴设切线方程为x ＝ty ＋m ，由直线与圆相切，得||m 1＋t2＝2，∴m 2＝4(1＋t 2)．(7分) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m x 29＋y 24＝1，消去x 得：(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0， Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36)＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5，∴y 1＋y 2＝－8tm 4t 2＋9，y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.(8分) 又因为||AB ＝1＋t 2||y 1－y 2＝1＋t 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝144（4t 2－m 2）＋144×94t 2＋9 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3.(9分) 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2，即t 2＝14时等号成立．(10分) 此时|m |＝5，|AB |max ＝3，又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |，(11分)∴|m |＝5，|t |＝12时，△AOB 的面积最大，最大值为3.(12分) 21．【解析】(Ⅰ)证明：由题意可得1≤f (1)≤14×(1＋1)2＝1，则f (1)＝1；(3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知：f (1)＝1，即a ＋b ＋c ＝1，(4分)又f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，(5分)两式相减可得，b ＝12，a ＋c ＝12即c ＝12－a ， 所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ， 对任意实数x ，都有f (x )≥x ，即为ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝（－12）2－4a （12－a ）≤0， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >0（4a －1）2≤0，所以a ＝14，c ＝12－a ＝14， 所以f (x )＝14x 2＋12x ＋14.(9分) (Ⅲ)法1：由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋(12－m 2)x ＋14>－34在[0，＋∞)上恒成立． 即x 2＋2(1－m )x ＋4>0在[0，＋∞)上恒成立．记h (x )＝x 2＋2(1－m )x ＋4.(ⅰ)由Δ<0，即[2(1－m )]2－4×4<0，解得－1<m <3；(ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－2（1－m ）2h （0）＝4>0≤0，解得m ≤－1. 综上可知，m ∈(－∞，3)．(12分)法2：由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋(12－m 2)x ＋14>－34在[0，＋∞)上恒成立． (ⅰ)当x ＝0时，g (0)＝14>－34成立； (ⅱ)当x >0时，2(m －1)<x 2＋4x ＝x ＋4x在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 又当x >0时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4(当且仅当x ＝2时取得最小值) 所以2(m －1)<4，解得m ∈(－∞，3)．(12分)请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．【解析】(Ⅰ)C 1：3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.(4分)(Ⅱ)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|cos θ＋3sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ－42＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－42≥22＝2当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2.(10分)法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．23．【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2|(1分)|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立，(4分)实数b 的取值范围是[－1，＋∞)．(5分)(Ⅱ)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x＋x －2， 0<x <12x －2， 1≤x ≤22， x >2，(7分) 当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x－2＝0；(8分) 当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；(9分)故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0.(10分)。