2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十三章 第4讲 离散型随机变量及其概率分布 Word版含解析]
《聚焦典型题》(苏教版)2014届高考一轮数学(理)《离散型随机变量及其概率分布》(一轮复习限时提分训练
离散型随机变量及其概率分布分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分) 1．若随机变量X 的概率分布列为且p 1＝12p 2，则p 1等于________．解析 由p 1＋p 2＝1且p 2＝2p 1可解得p 1＝13.答案 132．设随机变量X 的概率分布P (X ＝k )＝ck ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.解析 由P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1得：c 1＋c 2＋c 3＋c4＝1，∴c ＝1225.答案12253．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于________．解析 ∵12a ＋22a ＋32a ＝1，∴a ＝3，P (X ＝2)＝22×3＝13.答案 134．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 解析 设X 的概率分布为：即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13.答案 135．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于________． 解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582.答案 C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫5826．随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k，k ＝1,2，3，…，则a 的值为________．解析 由∑k ＝1∞P (X ＝k )＝1，即a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＝1. ∴a231－23＝1，解得a ＝12. 答案 12二、解答题(每小题15分，共30分)7．鲁川在鱼缸中养了3条白色、2条红色和n 条黑色金鱼，现从中任取2条金鱼进行观察，每取得1条白色金鱼得1分，每取得1条红色金鱼得2分，每取得1条黑色金鱼得0分，用X 表示所得的分数，已知得0分的概率为16，(1)求鱼缸中黑色金鱼的条数n ；(2)求X 的概率分布．解 (1)因为P (X ＝0)＝C 2n C 2n ＋5＝16，所以n 2－3n －4＝0，解得n ＝4(n ＝－1舍去)．即鱼缸中有4条黑色金鱼．(2)由题意，得X 的可能取值为0,1,2,3,4.因为P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝C 14C 13C 29＝13，P (X ＝2)＝C 23＋C 14·C 12C 29＝1136，P (X ＝3)＝C 13·C 12C 29＝16，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136，所以X 的概率分布为8．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23. (1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列． 解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋2(3∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718，P (η＝12)＝P (X＝2)＝718，P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴得分η的分布列为分层训练B 级 创新能力提升1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________．解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.答案 452．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案272203. 如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10， ∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P ＝310＋25＋110＝45. 法二 P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.答案 454．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．答案 －1,0,1,2,35．(2013·深圳调研)第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)：若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16.∴选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.∴至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.∴ξ的分布列如下：6.4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．解 X 的取值分别为1,2,3,4.X ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的概率分布为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.s。
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十四章 第2讲 基本算法语句 Word版含解析]
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第2讲基本算法语句分层训练B级创新能力提升1．(2012·盐城调研)如图所示的伪代码运行的结果为________．解析a＝1＋1＝2，b＝2＋1＝3，c＝2＋3＝5；a＝2＋3＝5，b＝5＋3＝8，c＝5＋8＝13；a＝5＋8＝13，b＝13＋8＝21，c＝13＋21＝34.答案34(第1题图) (第2题图)2．(2013·高邮模拟)根据如图所示伪代码，可知输出结果S＝________，I＝________.解析S＝2×7＋3＝17，I＝7＋2＝9.答案1793．(2012·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．a ←1b ←2I ←2While I ≤6 a ←a ＋b b ←a ＋b I ←I ＋2End While Print b解析 流程图的执行如下：当I ＝答案 344．(2012·南京调研)写出下列伪代码的运行结果．(1)图1的运行结果为________； (2)图2的运行结果为________．解析 (1)图1的伪代码是先执行S ←S ＋i ，后执行i ←i ＋1∴S ＝0＋1＋2＋…＋(i －1)＝(i －1)i2>20，∴i 的最小值为7.(2)图2的伪代码是先执行i ←i ＋1，后执行S ←S ＋i ， ∴S ＝0＋1＋2＋…＋i ＝i (i ＋1)2>20.∴i 的最小值为6.答案 (1)7 (2)65．(2013·常州调研)根据下列伪代码画出相应的流程图，并写出相应的算法．S ←1n ←1While S <1 000 S ←S ×n n ←n ＋1End While Print n解 流程图如图：算法如下： S1 S ←1； S2 n ←1；S3 如果S <1 000，那么S ←S ×n ，n ←n ＋1，重复S3； S4 输出n .6．(2012·苏北四市调研)设计算法，求1－3＋5－7＋…－99＋101的值，用伪代码表示．解 用“For”语句表示， S ←1a ←1For I From 3 To 101 Step 2 a ←a ×(－1) S ←S ＋a ×I End For Print S用“While”语句表示， S ←1I ←3a ←1While I ≤101 a ←a ×(－1) S ←S ＋a ×I I ←I ＋2End While Print S。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案72
学案72矩阵与变换（二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量导学目标：1.理解逆矩阵的意义,理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并会求逆矩阵.2。
理解二阶矩阵特征与特征向量的意义,会求特征值及特征向量．自主梳理1．矩阵的逆矩阵（1）一般地，设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I,则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．(2）设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA＝AB ＝E，则称矩阵A________，或称矩阵A是____________，并且称B 是A的__________．（3)（性质1）设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的,则A的逆矩阵是________．A的逆矩阵记为________．(4)（性质2）设A，B是二阶矩阵,如果A，B都可逆，则AB也可逆,且(AB）－1＝__________。
（5)已知A，B,C为二阶矩阵，且AB＝AC,若矩阵A____________,则B＝C.（6）对于二阶可逆矩阵A＝错误!（ad－bc≠0），它的逆矩阵为A －1＝错误!.2．二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组错误!我们把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个________（或多项式)，记为det（A）＝错误!＝ad－bc。
若将方程组中行列式错误!记为D，错误!记为D x，错误!记为D y,则当D≠0时，方程组的解为错误!3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ,存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个________，α称为A的一个属于特征值λ的一个__________．（2）特征多项式设λ是二阶矩阵A＝错误!的一个特征值，它的一个特征向量为α＝错误!，则A错误!＝________________,即错误!也即错误!（*)定义：设A＝错误!是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝错误!＝__________________________称为A的特征多项式．(3）矩阵的特征值与特征向量的求法如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f（λ）＝0，此时,将λ代入二元一次方程组（＊）,就可得到一组非零解错误!，于是非零向量错误!即为A的属于λ的一个______________．自我检测1．矩阵错误!的逆矩阵是________．2．点P（2，3)经矩阵A＝错误!对应的变换作用下得到点P′,点P′再经过矩阵A－1对应的变换作用下得到点P″，则点P″的坐标是________．3．矩阵错误!的特征值是________．4．若A＝错误!，B＝错误!，则(AB)－1＝________.5．（2010·厦门模拟)利用逆矩阵知识解方程组错误!探究点一求矩阵的逆矩阵例1已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，求（AB）－1。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案71
学案71矩阵与变换(一)二阶矩阵与变换导学目标: 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。
2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点)。
3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy中，由错误!(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表错误!称为________，其中a,b，c，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A,B,C，…或（a ij）表示(其中i,j分别为元素a ij所在的行和列）．2．矩阵的乘法行矩阵［a11a12]与列矩阵错误!的乘法规则为［a11a12］错误!＝［a11b11＋a12b21］，二阶矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则为错误!错误!＝错误!.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换（1）恒等变换矩阵M＝错误!；（2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝_____________________________________________；（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝错误!；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝____________；（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝错误!,表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍,k1，k2均为(5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________,若沿y 轴平移｜kx |个单位，则对应矩阵M ＝错误!。
（其中k 为非零常数）．4．线性变换的基本性质设向量α＝错误!，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________;设向量α＝错误!，β＝错误!，规定向量α与β的和α＋β＝__________。
【创新设计】2014届高考数学(理)江苏专用一轮复习课件第十三章第6讲离散型随机变量的均值与方差
方差 D(X)＝0－752×1900＋1－752×2510＋2－752×14090＝2510. [方法总结] (1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确 定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的概率分布， 正确运用均值、方差公式进行计算． (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布 的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
考点自测
1．(2010·山东卷改编)样本中共有五个个体，其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为________． 解析 由题意知 a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s2＝－1－12＋0－12＋15－12＋2－12＋3－12＝2 答案 2
2．已知 X 的概率分布
考向三 均值与方差的实际应用
【例3】 (2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场
购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖
不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关
于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下
Y
55
65
75
85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝ 76.4(元)． 由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫 瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一 天应购进17枝玫瑰花．
[方法总结] (1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机 变量取每一个值时所表示的具体事件． (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方 差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局 上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的 理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决 定．
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第十三章第4讲离散型随机变量及其概率分布
即可．
【训练2】 (2012· 无锡模拟)在一个盒子中，放有标号分别为
1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两
张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．
解 (1)∵x，y可能的取值为1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3. 因此，随机变量ξ的最大值为3.
1 7 1 2 3 (3)因为 ＜X＜ ，只有 X＝ ， ， 时满足，故 10 10 5 5 5
1 7 1 2 3 1 2 3 2 P ＜X＜ ＝PX＝ ＋PX＝ ＋PX＝ ＝ ＋ ＋ ＝ . 10 5 5 5 15 15 15 5 10
故ξ的分布列为 ξ P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 －2 0.02
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋ (－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，
则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－ 0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x. 由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率 最多为3%.
解析
由概率分布的性质知：所有概率之和为 1，
1 所以 p＝ . 3 1 答案 3
2．如果X是一个离散型随机变量，给出下列四个命题： ①X取每个可能值的概率是非负实数；
②X取所有可能值的概率之和为1；
③X取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率 之和； ④X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值 的概率之和．
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十四章 第5讲 数学归纳法 Word版含解析]
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第5讲 数学归纳法分层训练B 级 创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)4．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析 当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×(1＋1)2 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×(2＋1)2 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×(3＋1)2当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×(4＋1)2 ∴猜想S n ＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n (n ＋1)2 5．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n－2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a nα(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)． 所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求． 所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2013·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n 的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n .因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1.故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n (n ≥2)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1， 故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n .。
高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十三章 第3讲 几何概型
第3讲几何概型分层训练B级创新能力提升1．(2012·淮阴中学检测)ABCD为长方形，AB＝2,BC＝1,O为AB 的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝错误!＝1－错误!.答案1－错误!2．（2012·扬州模拟）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4,所以所求概率为P＝错误!＝错误!。
答案错误!3．(2013·南京模拟）已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<错误!V S－ABC的概率是________．解析设三棱锥P－ABC的高为h，∵V P－ABC〈错误!V S－ABC，∴错误!S△ABC×h〈错误!×错误!S△ABC×3,∴h<错误!，即点P位于中截面以下，故所求概率为P＝1－错误!＝错误!。
答案错误!4．(2012·苏北四市调研三)若m∈（0，3)，则直线(m＋2)x＋（3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于错误!的概率为________．解析令x＝0得y＝33－m,令y＝0得x＝错误!，由于m∈(0，3),∴S ＝错误!·错误!·错误!＝错误!，由题意,得错误!<错误!，解得－1〈m<2，由于m∈(0，3），∴m∈(0，2),故所求的概率为P＝2 3。
答案错误!5．（2013·南京检测）已知集合A＝｛－2，0,2}，B＝｛－1,1}，设M＝{（x,y)|x∈A，y∈B｝，在集合M内随机取出一个元素（x，y)．(1）求以（x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；（2)求以（x，y）为坐标的点位于区域D：错误!内(含边界)的概率．解(1）记“以(x，y）为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6。
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十四章 第6讲 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析]
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第6讲 数系的扩充与复数的引入分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·盐城二模)若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z |的最大值为________．解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z |的最大值为2. 答案 22．(2011·南京模拟)在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为________．解析 |－3＋i －1＋i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20＝2 5. 答案 2 53．(2013·启东模拟)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x 的最大值________． 解析 由|z －2|＝3可得，|z －2|2＝(x －2)2＋y 2＝3.设yx ＝k ，即得直线方程为kx－y ＝0，∴圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝2|k |k 2＋1≤3，解得k ∈[－3，3]，即得yx 的最大值为 3. 答案34．(2010·苏中六校联考)给出下列四个命题： ①若z ∈C ，|z |2＝z 2，则z ∈R ； ②若z ∈C ，z ＝－z ，则z 是纯虚数； ③若z ∈C ，|z |2＝z i ，则z ＝0或z ＝i ； ④若z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0. 其中真命题的个数为________个．解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若|z |2＝a 2＋b 2＝z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝a 2－b 2，2ab ＝0.所以b ＝0，所以z ∈R ，①正确；若z ＝0，则z 不是纯虚数，②错；若a 2＋b 2＝－b ＋a i ，则a ＝0，b ＝0或b ＝－1， 所以z ＝0或z ＝－i ，③错；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )．则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝(a －c )2＋(b －d )2， 整理得：ac ＋bd ＝0，所以z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac －bd ＋(ad ＋bc )i ，不一定为零，④错． 答案 15．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i.解 (1)由z ∈R ，得⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.(2)由z 是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0， 解得m ≠1且m ≠－3.(3)由z 是纯虚数，得⎩⎨⎧m (m ＋2)＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(4)由z ＝12＋4i ，得m (m ＋2)m －1－(m 2＋2m －3)i ＝12＋4i ，所以⎩⎨⎧m (m ＋2)m －1＝12，－(m 2＋2m －3)＝4，即⎩⎨⎧2m 2＋3m ＋1＝0，m ≠1，m 2＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1.6．设z 是虚数，已知ω＝z ＋1z 是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．(1)解 因为ω∈R ，所以ω＝ω，所以z ＋1z＝z ＋1z ，即(z －z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1z z ＝0，因为z 为虚数，所以z ≠z . 所以z z ＝1，从而|z |2＝1，即|z |＝1. 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∵|z |＝1，∴a 2＋b 2＝1，∴ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝2a .∵－1＜ω＜2，∴－1＜2a ＜2，∴－12＜a ＜1. 即z 的实部取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)证明 (1)因为z z ＝1，所以z ＝1z .所以u ＋u ＝1－z 1＋z ＋1－z 1＋z ＝1－z 1＋z＋1－1z1＋1z ＝1－z 1＋z ＋z －1z ＋1＝0，且u ≠0，所以u为纯虚数．(3)解 由(2)可设u ＝t i(t ∈R 且t ≠0)， 则由1－z 1＋z ＝t i ，得z ＝1－t i 1＋t i，所以ω＝z ＋1z ＝1－t i 1＋t i ＋1＋t i 1－t i ＝2(1－t 2)1＋t2，u 2＝－t 2， 所以ω－u 2＝2(1－t 2)1＋t 2＋t 2＝1＋t 2＋41＋t 2－3≥2(1＋t 2)·41＋t2－3＝1，当且仅当t 2＋1＝2，t ＝±1时等号成立， 故ω－u 2的最小值为1.。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案73
学案73坐标系与参数方程导学目标: 1。
了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2。
会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。
3。
理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化,并能进行简单应用．自主梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O，叫做极点;自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________,记为ρ;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ。
有序数对（ρ，θ）叫做点M的__________，记作(ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y），极坐标为（ρ，θ）,则它们之间的关系为x＝__________，y＝__________。
另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.3．简单曲线的极坐标方程（1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ（ρ，θ）＝0,并且坐标适合方程φ（ρ，θ)＝0的点都在曲线上,那么方程φ(ρ，θ）＝0叫做曲线的__________________________________________________________ ______________．(2)常见曲线的极坐标方程①圆的极坐标方程____________表示圆心在(r,0)半径为|r｜的圆；____________表示圆心在（r，错误!）半径为|r｜的圆；________表示圆心在极点，半径为｜r|的圆．②直线的极坐标方程________________表示过极点且与极轴成α角的直线；__________表示过(a，0)且垂直于极轴的直线；__________表示过(b，错误!)且平行于极轴的直线；ρsin(θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程．4．常见曲线的参数方程(1）直线的参数方程若直线过(x0，y0），α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为错误!这是直线的参数方程，其中参数l有明显的几何意义．（2)圆的参数方程若圆心在点M（a，b)，半径为R，则圆的参数方程为错误!0≤α〈2π。
高三苏教数学理一轮复习创新能力提升 第十三章 第讲 离散型随机变量及其概率分布 含解析
第4讲 离散型随机变量及其概率分布 分层训练B 级 创新能力提升 1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________．解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45. 答案 452．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220. 答案 272203. 如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110， ∴X 的概率分布为X 7 8 9 10P 15 310 25 110∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＝310＋25＋110＝45.法二 P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45. 答案 454．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．解析 X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，X ＝2时，甲抢到2题均答对．X ＝3时，甲抢到3题均答对．答案 －1,0,1,2,35．(2013·深圳调研)第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)：若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16.∴选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.∴至少有一人是“高个子”的概率是7 10.(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C38C312＝1455，P(ξ＝1)＝C14C28C312＝2855，P(ξ＝2)＝C24C18C312＝1255，P(ξ＝3)＝C34C312＝155.∴ξ的分布列如下：6.4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．解X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的概率分布为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。
高三苏教数学理一轮复习创新能力提升 第十三章 第讲 随机事件的概率 含解析
第十三章概率、随机变量及其分布 第1讲 随机事件的概率分层训练B 级 创新能力提升1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.(2)由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415. 答案 815 14152．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.答案0.953．(2013·南通调研二)把一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________．解析由于“至少有一面涂有红漆”的对立事件是“每个面都没有红漆”，只有中心一块如此，故所求概率为P＝1－127＝26 27.答案26 274.(2013·泰州期末)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．解析“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝3 5.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案3513155．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.6．(2012·镇江调研)分期付款购买某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的概率分布为2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )；(2)求η的概率分布及数学期望E (η)．解 (1)设购买该商品的3位顾客中采用1期付款的人数为X ，则P (X ＝1)＋P (X＝2)＋P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)＝1－C 33×0.63＝0.784.(2)η的概率分布为∴E (η)＝200×0.4＋250。
高三苏教数学理一轮复习创新能力提升 第十三章 第讲 古典概型 含解析
第2讲 古典概型分层训练B 级 创新能力提升1．(2013·苏北四市调研一)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，直线l 1：x －2y －1＝0，l 2：ax ＋by －1＝0，则直线l 1⊥l 2的概率为________．解析 由l 1⊥l 2，从而a ＝2b ，有(2,1)，(4,2)，(6,3)共3种，其概率大小为P ＝36×6＝112. 答案 1122．(2011·湖北卷)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为________．解析 用间接法，得所求概率为P ＝1－12×27×2612×30×29＝1－117145＝28145.答案 281453．(2013·阜宁第一次调研)连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－1,1)，△ABC 中AB→与a 同向，CB →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是512. 答案 5124．(2012·重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 6节课共有A 66种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 33·A 13·2A 33种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 44种排法．则满足条件的概率为2A 33A 23＋A 33A 13·2A 33＋A 33A 44A 66＝35. 答案 355．(2011·广东卷)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90，这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种， 恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.6．(2010·福建卷)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝1 6，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝1 6.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案76
学案76不等式选讲(三）算术-几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标：1.理解二元柯西不等式的几种不同形式。
2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3。
会用两个或三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式（1)如果a,b>0，那么____________,当且仅当a＝b时，等号成立．（2)如果a,b，c>0，那么________________,当且仅当a＝b＝c 时，等号成立．(3)对于n个正数a1,a2，…，a n，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即错误!≥错误!，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式（1）二维形式：若a,b，c,d都是实数,则（a2＋b2）(c2＋d2）≥____________,当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x1,y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么错误!＋错误!≥错误!。
自我检测1．若x,y∈（0,＋∞），且x＋y＝s，xy＝p,则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x＝y时,s有最小值2错误!；②当且仅当x＝y时,p有最大值错误!；③当且仅当p为定值时,s有最小值2错误!;④若s为定值,则当且仅当x＝y时，p有最大值错误!。
2．若x,y∈R，且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋错误!）(错误!＋4y2)的最小值为________．4．函数y＝3＋3x＋1x（x〈0)的最大值为________．5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1已知x,y，a，b∈R＋，且错误!＋错误!＝1,求x＋y的最小值．变式迁移1 若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图(2）)．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图），设容器高为h米，盖子边长为a米．(1）求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1）已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证:错误! cos2θ＋b sin2θ〈错误!。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第4章 学案19
学案19函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标: 1。
了解函数y＝A sin(ωx＋φ）的物理意义；能画出y ＝A sin（ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。
2。
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx＋φ）一个周期内的简图时,要找五个特征点．如下表所示．xωx＋φy＝A sin（ωx＋φ）0A0－A2y AωxφAω>0）的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1)相位变换：y＝sin x→y＝sin（x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0）或向____(φ〈0)平行移动____个单位．（2）周期变换：y＝sin（x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把y＝sin（x＋φ)图象上各点的横坐标______(0<ω〈1）或______（ω〉1）到原来的________倍（纵坐标不变)．(3)振幅变换：y＝sin（ωx＋φ)→y＝A sin（ωx＋φ），把y＝sin（ωx ＋φ）图象上各点的纵坐标______（A〉1)或______（0〈A〈1)到原来的____倍(横坐标不变）．3．当函数y＝A sin(ωx＋φ) （A>0,ω>0),x∈(－∞,＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T＝________叫做周期,f＝________叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y＝A cos(ωx＋φ）的最小正周期为__________．y＝A tan(ωx ＋φ）的最小正周期为__________．自我检测1．要得到函数y＝sin错误!的图象，可以把函数y＝sin 2x的图象向________平移________个单位．2．已知函数f（x）＝sin错误!(x∈R，ω>0)的最小正周期为π。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第13章 学案74
学案74不等式选讲（一)不等式的基本性质及含有绝对值的不等式导学目标：1。
理解不等式的基本性质。
2.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式的性质：|a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜.3。
求解以下类型的不等式:|ax＋b|≤c；|ax＋b｜≥c；|x－a｜＋｜x－b|≥c(c〉0）．自主梳理1．不等式的基本性质（1）对称性：如果a>b，那么b<a;如果b<a,那么a〉b.即a〉b ⇔________.(2）传递性：如果a〉b，b>c，那么________．即a〉b,b〉c⇒________。
（3）可加性：如果________，那么a＋c〉b＋c，如果a〉b,c>d,那么a＋c〉b＋d.(4)可乘性：如果a>b,c〉0，那么________；如果a〉b，c〈0，那么________；如果a〉b〉0，c〉d〉0，那么ac>bd。
（5）乘方：如果a>b>0，那么a n____b n(n∈N,n〉1）．（6)开方：如果a〉b>0，那么错误!〉错误!(n∈N,n>1)．2．形如|ax＋b|〉c(c>0)的不等式的解法(1）换元法：令t＝ax＋b,则｜t｜>c，故t>c或t〈－c，即ax＋b〉c或ax＋b〈－c，然后求x，得原不等式的解集；（2）分段讨论法:｜ax＋b｜>c（c>0)⇔错误!或错误!。
(3）两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x－a|＋｜x－b｜≥c的绝对值不等式的解法(2）零点分区间讨论法．（3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．绝对值不等式的性质｜a｜－｜b｜≤|a±b|≤｜a|＋|b｜.自我检测1．若x〉y，a>b，则在①a－x〉b－y，②a＋x>b＋y，③ax〉by，④x－b〉y－a，⑤错误!>错误!这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________．2．(2011·天津）已知集合A＝{x∈R｜｜x＋3｜＋｜x－4｜≤9｝,B＝{x∈R｜x＝4t＋错误!－6，t∈（0，＋∞)},则集合A∩B＝________。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第4章 学案20
学案20两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1。
会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2。
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3。
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1）两角和与差的余弦cos（α＋β)＝____________________________________，cos(α－β）＝____________________________________.(2)两角和与差的正弦sin(α＋β）＝_____________________________________，sin（α－β)＝_____________________________________。
(3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________，tan(α－β）＝_____________________________________。
(α，β，α＋β,α－β均不等于kπ＋错误!，k∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β）（1－tan αtan β），tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ），其中错误!角φ称为辅助角．自我检测1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值为________．2．已知tan(α＋β)＝3,tan(α－β）＝5，则tan 2α＝________.3．cos错误!＋错误!sin错误!＝________。
4．（1＋tan 17°）（1＋tan 18°)（1＋tan 27°）（1＋tan 28°）的值是________．5．已知cos错误!＋sin α＝错误!，则sin错误!的值是________．探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值：（1)［2sin 50°＋sin 10°(1＋错误!tan 10°）]错误!；(2)sin(θ＋75°）＋cos（θ＋45°)－错误!·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值:（1)错误!；(2）tan（π6－θ）＋tan（错误!＋θ）＋错误!tan（错误!－θ)tan（错误!＋θ）．探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值）例2 已知0〈β〈错误!<α<错误!，cos错误!＝错误!,sin错误!＝错误!,求sin （α＋β）的值．变式迁移2 (2010·广州高三二模)已知tan错误!＝2，tan β＝错误!。
高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十三章 第6讲 离散型随机变量的均值与方差
第6讲离散型随机变量的均值与方差分层训练B级创新能力提升1．（2010·新课标全国卷改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为________．解析种子发芽率为0。
9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立,故设没有发芽的种子数为Y,则Y～B（1 000，0。
1)，∴E （Y）＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E（X）＝2·E(Y)＝200。
答案2002．（2012·扬州调研)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．解析由题意可知,X可以取3，4,5，6，P(X＝3）＝错误!＝错误!，P（X＝4)＝错误!＝错误!，P(X＝5）＝错误!＝错误!，P（X＝6）＝错误!＝错误!.由数学期望的定义可求得E(X）＝5.25。
答案5。
253．（2013·镇江检测）有一批产品,其中有12件正品和4件次品，从中任取3件,若X表示取到次品的个数，则E（X)＝________. 解析X的取值为0，1,2，3,则P(X＝0）＝错误!＝错误!；P(X＝1）＝错误!＝错误!；P（X＝2)＝错误!＝错误!;P(X＝3)＝错误!＝错误!.∴E(X）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!。
答案错误!4．(2011·浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为错误!，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0）＝错误!，则随机变量X的数学期望E（X）＝________。
解析由已知条件P（X＝0)＝错误!即（1－p)2×错误!＝错误!，解得p＝错误!，随机变量X的取值分别为0，1,2，3。
2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第4章 学案16
第4章三角函数与三角恒等变换学案16 任意角、弧度及任意角的三角函数导学目标：1。
了解任意角的概念.2。
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。
3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________,按____时针方向旋转所形成的角叫做正角,按____时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个____角．（1）象限角使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就说这个角是________________角．(2）象限界角（即终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角表示为__________________；终边在y轴上的角表示为________________________;终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．（3）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或_____________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4）弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________,它的单位符号是________，读作________,通常略去不写．（5)度与弧度的换算关系360°＝______ rad；180°＝______ rad;1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57。
30°.（6）弧长公式与扇形面积公式l＝__________,即弧长等于____________________．S扇＝________＝________.2．三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x,y),|OP|＝r，我们规定：①比值错误!叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝错误!；②比值错误!叫做α的余弦，记作cos α,即cos α＝错误!；③比值________（x≠0)叫做α的正切，记作tan α,即tan α＝错误!.（1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌:一全正,二正弦，三正切，四余弦．(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示____________,__________和__________．自我检测1．“α＝错误!”是“cos 2α＝错误!"的________条件．2．与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．3．(2010·山东青岛高三教学质量检测）已知sin α〈0且tan α>0，则角α是第________象限角．4．若α＝n·360°＋θ,β＝m·360°－θ（m，n∈Z)，则α，β终边关于直线________对称．5．已知角α的终边上一点的坐标为错误!,则角α的最小正值为________．探究点一角的概念例1 (1）如果角α是第三象限角，那么－α，π－α,π＋α角的终边落在第几象限;(2）写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；（3)若θ＝168°＋k·360°(k∈Z）,求在[0°，360°）内终边与错误!角的终边相同的角．变式迁移1 若α是第二象限的角，试分别确定2α，错误!的终边所在位置．探究点二弧长与扇形面积例2 已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R。
高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十四章 第3讲 合情推理与演绎推理
第3讲合情推理与演绎推理分层训练B级创新能力提升1．已知m＞0,不等式x＋错误!≥2，x＋错误!≥3，x＋错误!≥4,可推广为x ＋错误!≥n＋1，则m的值为________．解析x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!，x＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!,易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!,也满足各项乘积为定值1，于是m＝n n。
答案n n2．（2010·福建）观察下列等式：①cos 2α＝2cos2α－1；②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1;⑤cos 10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测m－n＋p＝________。
解析m＝29＝512，p＝5×10＝50.又m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，∴n＝－400.答案9623．（2013·苏北调研)如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中的第13行,第10个数为________．错误!解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21，22，23，…的等差数列，所以第13行的公差为212。
又每行第一个数分别为1，3＝2＋1×20,8＝22＋2×2，20＝23＋3×22,48＝24＋4×23,256＝25＋5×24，…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212，第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216。
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第4讲 离散型随机变量及其概率分布
分层训练B 级 创新能力提升
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________．
解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 22C 36
＝4
5.
答案 45
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．当X ＝4时，
说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 2
3
C 312
＝27220.
答案 27
220
3. 如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内
能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.
解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10，
∵P (X ＝7)＝C 22C 1
2C 35＝1
5，P (X ＝8)＝C 22C 1
1＋C 2
2C 1
2C 35＝310，
P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 1
1
C 35
＝110，
∴X 的概率分布为
∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)
＝3
10＋
2
5＋
1
10＝
4
5.
法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C22C12
C35＝
4
5.
答案4 5
4．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案－1,0,1,2,3
5．(2013·深圳调研)第26届世界大学生夏季运动会
将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为
了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名
男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者
的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)：
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这
5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼
仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
解(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是5
30＝
1
6.
∴选中的“高个子”有12×1
6＝2(人)，
“非高个子”有18×1
6＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名‘高个子’被选中”，
则P(A)＝1－C23
C25＝1－
3
10＝
7
10.
∴至少有一人是“高个子”的概率是7 10.
(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C38
C312＝
14
55，P(ξ＝1)＝
C14C28
C312＝
28
55，
P(ξ＝2)＝C24C18
C312＝
12
55，P(ξ＝3)＝
C34
C312＝
1
55.
∴ξ的分布列如下：
6.4次参
加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X 的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的概率分布为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。