广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(理科)含答案解析

广东省茂名市2017年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．（0，2] B．（0，2）C．[0，2]D．[2，+∞）2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f （x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A．6 斤B．9 斤C．9.5斤D．12 斤6．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log2x）＞2的解集为（）A．（2，+∞）B．C．D．7．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．68．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．3π9．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．6种 B．24种C．30种D．36种10．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（）A．B．C．R D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上．13．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为14．已知，则二项式展开式中的常数项是．15．若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函f （x ）=sin （2x﹣）﹣cos2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期、最大值及取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）设△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，b=1，，且a ＞b ，求角B 和角C ．18．（12分）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x +y +z 的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z 相同的概率；（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A ，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B ，记随机变量X=A ﹣B ，求X 的分布列及其数学期望．19．（12分）如图1，在边长为的正方形ABCD 中，E 、O 分别为 AD 、BC 的中点，沿 EO 将矩形ABOE 折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC 上，BG=2GC ，M 、N 分别为AB 、EG 中点．（Ⅰ）求证：MN ∥平面OBC ；（Ⅱ）求二面角 G ﹣ME ﹣B 的余弦值．20．（12分）设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m 交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，则M∩N=（）A．（0，2] B．（0，2）C．[0，2]D．[2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法、指数函数的值域求出集合M、N，由交集的运算求出答案．【解答】解：依题意得，M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]，且N={y|y=2x}={y|y＞0}=（0，+∞），∴M∩N=（0，2]，故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，一元二次不等式的解法，以及指数函数的值域，属于基础题．2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|（，＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．4．设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f （x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p为假B．￢q为真C．p∨q为真D．p∧q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：函数f（x）不是偶函数，仍然可∃x，使f（﹣x）=f（x），故p为假；f（x）=x|x|=在R上都是增函数，q为假；故p∨q为假，故选：C．【点评】本题考查了复合命题的真假，判断函数的单调性．是一道基础题．5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A．6 斤B．9 斤C．9.5斤D．12 斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由此利用等差数列性质能求出结果．【解答】解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1=4，则a5=2，由等差数列性质得a2+a4=a1+a5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选：A．【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（1）=2，则不等式f（log2x）＞2的解集为（）A．（2，+∞）B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是通过对函数奇偶性、单调性的分析，得到关于x的方程．7．执行如图的程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据输出的S值，确定跳出循环的n值，从而得判断框内的条件．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S==1﹣=．∴n=5，∴跳出循环的n值为5，∴判断框的条件为n＜5．即a=5．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．8．一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6π+π，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．πD．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r．再利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球．表面积为6π+π=+2πr×2r+2πr2，解得r=1．∴该几何体的体积V=r2×r+πr2×2r+=3π．故选：D．【点评】本题考查了圆柱、圆球、三棱锥的三视图、体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．6种 B．24种C．30种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为﹣=36﹣6=30．故选：C．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．10．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则弦AB的长度为（）A．B．C．R D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由题意画出图形，可知A﹣BCD是正四面体，设AB=a，结合球心为正四面体的中心通过求解直角三角形得答案．【解答】解：由条件可知A﹣BCD是正四面体，如图：A、B、C、D为球上四点，则球心O在正四面体中心，设AB=a，则过点B、C、D的截面圆半径，正四面体A﹣BCD的高，则截面BCD与球心的距离，∴，解得．故选：A．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长F2M交抛物线y2=﹣4cx于点P，其中O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】说明M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．画出图形，连接PF1，OM，说明OM为△PF2F1的中位线．通过PF2⊥PF1，可得|PF2|=，设P（x，y），推出c﹣x=2a，利用双曲线定义结合勾股定理得y2+4a2=4b2，然后求解离心率即可．【解答】解：如图9，∵，∴M是F2P的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．连接PF1，OM．∵O、M分别是F1F2和PF2的中点，∴OM为△PF2F1的中位线．∵OM=a，∴|PF1|=2 a．∵OM⊥PF2，∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|=，设P（x，y），则c﹣x=2a，于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c（c﹣2 a），过点F2作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2=4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2=4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2=ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1=0，所以e=，负值已经舍去．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12．已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x 图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在时（如图11），满足g（x）=﹣1的x有4个，由，解得．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上．13．如图为某工厂工人生产能力频率分布直方图，则估计此工厂工人生产能力的平均值为133.8【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出x=0.024，由此能估计工人生产能力的平均数．【解答】解：由频率分布直方图得（0.008+0.02+0.048+x）×10=1，解得x=0.024．估计工人生产能力的平均数为：=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8．故答案为：133.8．【点评】本题考查平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．14．已知，则二项式展开式中的常数项是240．【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为，令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．15．若圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】由已知列式求得m值，代入约束条件，作出可行域，结合的几何意义，即区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率求解．【解答】解：∵圆x2+y2﹣x+my﹣4=0关于直线x﹣y=0对称，∴圆心在直在线x﹣y=0上，则，约束条件表示的平面区域如图：表示区域OAB内点P（a，b）与点Q（1，2）连线的斜率．∵，，∴的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．16．已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且（n∈N*）．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】数列与函数的综合．【分析】利用已知条件，结合等差数列的性质，，得到a n=2n﹣1，n∈N*，然后①当n为奇数时，利用函数的单调性以及最值求解λ≥﹣3，②当n为偶数时，分离变量，通过函数的单调性以及最值求解λ≤0，然后推出实数λ的取值范围．【解答】解：，⇒a n=2n﹣1，n∈N*⇒①当n为奇数时，，是关于n（n∈N*）的增函数．所以n=1时f（n）最小值为f（1）=2﹣2+3=3，这时﹣λ≤3，λ≥﹣3，②当n为偶数时，恒成立，n为偶数时，是增函数，当n=2时，g（n）最小值为g（2）=4+1﹣5=0，这时λ≤0综上①、②实数λ的取值范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列的函数的特征，考查函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•茂名一模）已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）根据两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出最大值及取得最大值时x的集合；（II）由（Ⅰ）化简，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由条件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C，并结合条件验证边角关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sin2xcos﹣cos2xsin﹣cos2x…（1分）=…（2分）∴函数f（x）的最小正周期为…（3分）当，即时，f（x）取最大值为，…（4分）这时x的集合为…（Ⅱ）由（I）知，，∴，…（6分）∵0＜B＜π，∴…（7分）∴，…（8分），∴由正弦定理得，则，…（9分）∵C为三角形的内角，∴…（10分）；…（11分），由a＞b得A＞B，则舍去，∴…（12分）【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，注意内角的范围和边角关系．18．（12分）（2017•茂名一模）调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如表中结果：（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z 相同的概率；（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A ，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B ，记随机变量X=A ﹣B ，求X 的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A 2，A4，A 5，A 7，A 9，A 10，空气湿度指标为2的有A 1，A 3，A 6，A 8，求出这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n ，这两块地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量X=A ﹣B 的所有可能取值为1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，A 10…（1分）空气湿度指标为2的有A 1，A 3，A 6，A 8，…（2分） 在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=…（3分）这两块地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数…∴这两地的空气温度的指标z 相同的概率…（6分）（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：其中长势等级是一级（ω≥4）有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，A 9，共7个， 长势等级不是一级（ω＜4）的有A 4，A 7，A 10，共3个，…（7分） 随机变量X=A ﹣B 的所有可能取值为1，2，3，4，5，…（8分）w=4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w=3的有A7，A10共2块地，这时有X=4﹣3=1所以，…（9分）同理，，…（10分）∴X的分布列为：…（11分）…（12分）【点评】本题考查离散性随机变量的分布列的求法，概率的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•茂名一模）如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G 在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC；（Ⅱ）求二面角G﹣ME﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：取OG中点F，连结BF、FN，证明MN∥BF，然后证明MN∥平面OBC．法二：延长EM、OB交于点Q，连结GQ，证明M为EQ中点，推出MN∥QG，然后证明MN∥平面OBC．（Ⅱ）法一：证明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，证明OE⊥OG，然后推出OG ⊥QE，说明∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可．法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出面BOE的一个法向量，平面MGE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，则中位线FN∥OE且FN=OE，又BM∥OE且BM=OE …（1分）所以FN∥BM且FN=BM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，…（2分）又MN⊄平面OBC，BF⊂平面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ，因为BM∥OE且BM=OE，所以，M为EQ中点，…（1分）所以中位线MN∥QG …（2分）又MN⊄平面OBC，QG⊂面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）（Ⅱ）解：法一如图14，因为OB=OC=，∠BOC=120°，所以，…又BG=2GC．所以，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，QE⊂面OBE OG⊥QE，…（8分）又M为EQ中点，所以OQ=OE=，所以OM⊥QE，OM∩OG=O，所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角．…（9分）所以Rt△MOG中，，，…（11分），∴二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）法二：如图15，∵OB=OC=，∠BOC=120°，∴，…又BG=2GC，∴，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，OE⊂面OBE，∴OG⊥OE…（8分）建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则M（，G（0，1，0），E（，，…（9分）而是平面BOE的一个法向量，…（11分）设平面MGE的法向量为，则，令z=1，则，面MGE的一个法向量为，…（10分）所以所以，二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•茂名一模）设x，y∈R，向量分别为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量，，且．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线y=kx+m交椭圆E于A、B两点，试证：△OAB的面积为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；圆锥曲线的轨迹问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过，得到，说明点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4，推出点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，然后求解即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，利用判别式以及韦达定理求解三角形的面积，转化求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵，，且，∴∴点M（x，y）到两个定点F1（，0），F2（，0）的距离之和为4…（2分）∴点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的椭圆，设所求椭圆的标准方程为，a=2∴b2=a2﹣c2=1…（3分）其方程为…（4分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0显然直线与椭圆C的切点在椭圆E内，∴△＞0，由韦达定理可得：，．…所以…（6分）因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），所以△OAB的面积…（7分）=…（8分）设将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（10分）由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…（11分）又因为，故为定值．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的处理方法，设而不求的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）（2017•茂名一模）已知函数f（x）=x3﹣x+2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．（Ⅲ）转化已知条件为∀t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出=，构造函数，利用导数以及单调性求解即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．…（1分）…（2分）∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．…（3分）（Ⅱ）解：定义域为（0，1）∪（1，+∞）∴…（4分）设h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，则h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x2＞e，又因为x1•x2=1，∴，又h（0）=1，∴联立①②可得：…（6分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（x2+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即∀t∈（1，+∞），都有g（t）≥g （x2）…（7分）又当x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x1，1），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对∀s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）…（8分）又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0，），x2∈（e，+∞），∴==…（10分），∴，∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•茂名一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C2整理可得：，利用参数的几何运用求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）即C1的普通方程为．…（3分）∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C2可化为x2+y2+4x﹣2y+4=0，…（3分）即（x+2）2+（y﹣1）2=1．…（4分）（Ⅱ）曲线C1左焦点为（﹣4，0），…直线l的倾斜角为，．…（6分）所以直线l的参数方程为：（t为参数），…（7分）将其代入曲线C2整理可得：，…（8分）所以△=．设A，B对应的参数分别为t1，t2，则．…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•茂名一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，分别求出f（x），g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）＜6，即|2x﹣1|+|2x+3|＜6，即或或，∴或或，∴﹣2＜x＜1，所以不等式f（x）＜6的解集为{x|﹣2＜x＜1}．（Ⅱ）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则有{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|。