考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题9 数学思想第37练 Word版含解析

合集下载

2020年【通用版】高考数学(三轮复习)冲刺专题《数学思想方法》(含答案)

专题数学思想方法专项【训练目标】1、领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；2、掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法；【温馨小提示】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e x xx x D.1221e <e x xx x 【答案】C 【解析】设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y 1＝e x与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝exx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g xex>1的解集为________.【答案】(－∞，0)3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －2＋x －22>0，3x －2＋x －22>0，解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23【答案】D 【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14，解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】由已知得，等差数列{a n }的公差d >0，设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称，故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】－9 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103，∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增.又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9.三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p22＝r 2，③联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠PAQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233 B.72 C.396D.3 【答案】B所以点A 到直线y ＝b ax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋－12＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2a 2＋b2，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. 【答案】 23或38【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. 【答案】22或－22依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2－22－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝22－k2k 2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ，即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③ 把x 1＋x 2＝22－k2k2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22，经检验k ＝±22适合②式. 综上所述，k ＝±22.2、数形结合思想一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x－1x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 【答案】 B2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 【解析】x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为________.【答案】－7 【解析】因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D 【解析】方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________.【答案】 [2－1，＋∞)【解析】集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a的取值范围为________. 【答案】 [0，＋∞)三、数形结合思想在解析几何中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D【解析】如图所示，设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ，连接OQ ，则OQ ⊥PF 2.又PF 1⊥PF 2，O 为F 1F 2的中点，所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝4a .在Rt △F 1PF 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，得4a 2＋16a 2＝20a 2＝4c 2，即e ＝c a＝ 5.11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l 时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝22，所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.【配套练习】1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( )A.a <bB.a >bC.a ＝bD.无法确定【答案】A2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b ax 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB→＝2FA →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)【答案】C由对勾函数的性质知，当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2， ∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.[－3－22，－3＋22]B.[－3＋22，0]C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) 【答案】C8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)【答案】A 【解析】由题意知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x3x ＋12＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立，即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.【答案】2 3【解析】如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h.则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.10.若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0，2)【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x－2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得00)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. 【答案】(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3305，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 方法二联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54×(10－r 2)<0，解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ2＝9－r 2>0，φ－2＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________.【答案】{2e} 【解析】关于x 的不等式e x －x 22－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x －x 22－1x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

高考预测数九大核心考点与知识点归纳总结（超详细）（精华版）

高考数学思想方法，九大考点与学问点总结高考数学九大核心考点回忆不管是什么考试，无非都是对各学问点的一个练习，总结，只要我们能够对各个学问点深刻明白，考试中拿高分并不难，明白一下；九大核心的学问点：函数，三角函数，平面对量，你知道高考数学常考的学问点有哪些吗？我们不妨一起来不等式，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，导数；这些内容特别重要；当然每章当中仍有侧重，比如说拿函数来讲，函数概念必需清晰，函数图象变换是特别重要的一个核心内容；此外就是函数的一种性质问题，单调性，周期性，包括后面我们仍谈到连续性问题，像这些性质问题是特别重要的；连同最值也是在函数当中重点考察的一些学问点，我想这些内容特殊值得我们在后面要关注的；再比如说像解析几何这个内容，不治理科仍是文科，像直线和圆确定是特别重要的一个内容；理科和文科有一点差别了，比如说圆锥曲线方面，椭圆和抛物线理科必需达到的水平，双曲线理科只是明白状态就可以了；而文科呢.椭圆是要求达到懂得水平，抛物线和双曲线只是一般的明白状态就可以了；这里需要有侧重点；拿具体学问来讲，比如说直线当中，两条直线的位置关系，平行，垂直的关系怎么判定应当清晰；直线和圆的位置关系应当清晰，椭圆，双曲线和抛物线的标准方程，参数之间的关系，再比如直线和椭圆的位置关系，从我的一个角度来说；这是值得我们特殊关注的一个重要的学问内容；这是我们后面有六个大题，一般是侧重于六个重要的板块，由于现阶段不行能一个章节从头至尾，你没有时间了，必需把最重要的学问板块拿出来，比如说数列与函数以及不等式，这确定是重要板块；向量确定又是一个；再比如说三角函数和平面对量应当是一个，再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形，解析几何和平面几何和平面这确定是重要板块；再后面是概率统计，在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起，是导数，函数，方程和不等式，四部分内容综合在一起；应当说我们后面六个大题基本上是环围着这样六个板块来进行；最终仍有一个板块这六个板块确定是我们的核心内容之一；再比如说现在我们高考当中要表达对数学思想方法的考察，数学思想方法以前考察四个方面，函数和方程思想，数形结合思想，分类争论，等价转换，现在又增加了三个，原先这四个方面当中有两类做了改造；函数和方程思想，数形结合思想，分类争论改成了分类争论与整合，等价转换转为划归与转化；有限和无限思想，特殊和一般的思想；前言美国闻名数学训练家波利亚说过，把握数学就意味着要善于解题；而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟识的题型去“套”，这只是满意于解出来，只有对数学思想，数学方法懂得透彻及融会贯穿时，才能提出新看法，巧解法；高考试题特别重视对于数学思想方法的考查，特殊是突出考查才能的试题，其解答过程都包蕴着重要的数学思想方法；我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，头脑和眼光；形成才能，提高数学素养，使自己具有数学高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：①②③常用数学方法：配方法，换元法，待定系数法，数学归纳法，参数法，消去法等；数学规律方法：分析法，综合法，反证法，归纳法，演绎法等；数学思维方法：观看与分析，概括与抽象，分析与综合，特殊与一般，类比，归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，分类争论思想，转化（化归）思想等；④数学思想方法与数学基础学问相比较，它有较高的位置和层次；数学学问是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能遗忘；而数学思想方法就是一种数学意识，只能够领悟和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的熟识，处理和解决，把握数学思想方法，数学思想方法也仍是对你起作用；不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学学问遗忘了，数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的表达，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特点，可以选用作为解题的具体手段；常在学习，把握数学学问的同时获得；数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常可以说，“学问”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素养的核心就是提高同学对数学思想方法的熟识和运用，数学素养的综合表达就是“才能”；为了帮忙同学把握解题的金钥匙，把握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法，换元法，待定系数法，数学归纳法，参数法，消去法，反证法，分析与综合法，特殊与一般法，类比与归纳法，观看与试验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想，数形结合思想，分类争论思想，转化（化归）思想；最终谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分供应了近几年的高考试卷；在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的表达，再以三种题组的形式显现；再现性题组是一组简洁的挑选填空题进行方法的再现，示范性题组进行具体的解答和分析，对方法和问题进行示范；巩固性题组旨在检查学习的成效，起到巩固的作用；每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数，三角，几何几个部分重要章节的数学学问；高中数学必修 1 学问点第一章集合与函数概念【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性，互异性和无序性（ 2）常用数集及其记法.Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集 .N NN 表示正整数集，表示自然数集，或（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合（ 4）集合的表示法a M a M M 的关系是，或者，两者必居其一 .①自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法： { x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素 . .④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合（ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 .. ②含有无限个元素的集合叫做无限集 . ③不含有任何元素的集合叫做空集 ().【】集合间的基本关系（ 6）子集，真子集，集合相等名称记号A（或意义性质示意图B(1)AAAB 且 B 且 A 中的任一元素都属 (2)(3)如 (4)如 A(B)子集BA于 BA AB BC A A C B，就 BA)或A ，就 A （ A 为非空子集）（1）ABA B ，且 B 中至少真子集BA有一元素不属于 AB 且B C ，就 A C A（或 BA ）(2)如 A 中的任一元素都属于 B ，B 中的任一元素都属于 A集合相等(1)A (2)BB AA(B)A B2n 2n 2n1个真子集，它A 有 n(n 1) 个元素，就它有 1 个非空子集，（ 7）已知集合个子集，它有 2n2非空真子它有【】集合的基本运算（ 8）交集，并集，补集名称记号意义性质示意图AI AI AIAI A A（1）（2）（3） { x | x A, 且AI B交集ABB B AB A A ABx B} AU A AU AU B AU B （1）（2）（3） { x | x A, 或AU B并集BAx B}1 AI (e U A)痧U ( AI B) 痧U ( A U B) 2 A U (e U A ) U A) U (.U B) U{ x | x U , 且xA}( e U A补集( A) I (.U B)U 【补充学问】含确定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含确定值的不等式的解法不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a} x | xa 或 x a}| x | a( a 0)axb | x | a 把看成一个整体，化成，| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a( a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式0 0 0b24ac二次函数2y axbx c(a 0)O的图象2b 2a一元二次方程b4acx 1,2b 2a2x x axbx c 0( a 0)无实根1 2x 1x 2 )（其中的根2b2aaxbx c 0( a 0){ x | x x 1 或 xx 2} { x | x}R的解集2axbx c 0( a 0){ x | x 1x x 2}的解集〖〗函数及其表示【】函数的概念（ 1）函数的概念，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 ①设 A ， B 是两个非空的数集， f B假如依据某种对应法就f ( x) A ，B 以及 A 到 B 的对应法就 f 中都有唯独确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合） A 到 B f : AB ．叫做集合的一个函数，记作 ②函数的三要素 : 定义域，值域和对应法就．③只有定义域相同，且对应法就也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法a b ，满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 ①设 a, b 是两个实数，且[ a,b] ；满意a xb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a,b) ；满意 a x b ，或 a x b 的实数 x 的b 的实数 x 的集 [ a, b) ， (a,b] ；满意 x a, x a, x b, x 集合叫做半开半闭区间，分别记做合分别记做 [a, ),( a, ),(, b],(, b) ．{ x | ax b} (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必需留意：对于集合与区间 a b ．（ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原就：f ( x) ① 是整式时，定义域是全体实数．f ( x) ② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1．ytanx 中， (k Z ) ．x k⑤ 2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦如 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时，就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．一般步骤是：如已知(x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f f [ g( x)]⑧对于求复合函数定义域问题，的定义域应由不等式 a g ( x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题具体情形需对字母参数进行分类争论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，仍要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观看法：对于比较简洁的函数，我们可以通过观看直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值．xy f ( x) y③判别式法：如函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程2a( y) x b( y) x c( y) 0，就在a( y) 0 时，由于x, y 为实数，故必需有b2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简，化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法，列表法，图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念B f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都①设A ，是两个集合，假如依据某种对应法就A ，B 以及A 到B 的对应法就 f A有唯独的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合）叫做集合到B 的映射，记作 f : A B ．A 到集合B 的映射，且a A, b B ．假如元素a 和元素b 对应，那么我们把元素②给定一个集合b 叫做元素a 的象，元素 a 叫做元素b 的原象．〖〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法假如对于属于定义域I 内某（ 1）利用定义个区间上的任意两个自变量的值 x 1 ，x 2 , 当 x ．1．<．x ．2．时，都有 f ．(x ．．1．)．<．f (．x ．．2．)．，那么就说 y （ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图y=f(X)f(x 2 )f(x 1 )f(x) 在这个区间上是增．函．数．．o象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数xx 1 x 2函数的单调性假如对于属于定义域I 内某yy=f(X)个区间上的任意两个自变量的值 x 1， x 2 ，当 x ．1．<．x ．2．时，都 f(x 1)f(x )2有 f (x )>f(x 2 ) ，那么就说．．．．．．．．． 1．． of(x) 在这个区间上是减．函．数．．xxx12②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． yf [ g( x)] ug (x) y f (u) u g ( x) ③ 对于复合函数，令，如为增，为增，就y f [ g(x)] 为增；如 yf (u) u g( x) 为减，就 y f [g (x)] 为增；如 yf (u) 为减，为u g( x) yf [ g( x )] yf (u) ug (x) 增，为减，就为减；如为减，为增，就yy f [ g(x)] 为减．a(a x (x )0) 的图象与性质（ 2）打“√”函数f x f (x) ( ,a ] ， [ a ,) 上为增函数，分别在分别在 ox[a ,0) ， (0, a] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义y f (x) I M ①一般地，设函数的定义域为，假如存在实数满意：（1） x I f ( x) M 对于任意的，都有；（ 2 ）存在 x 0 I f (x 0 ) Mf (x)M，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作f max ( x) M ．m 满意：（1）对于任意的 x I yf ( x) I ②一般地，设函数的定义域为，假如存在实数，都有 f ( x) m ；（2）存在 m 是函数 f (x) 的最小值，记作x 0 I f ( x 0 ) m ．那么，我们称，使得 f max ( x) m ．【】奇偶性（ 4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法假如对于函数 f(x) 定义域内 f ．(．－．x ．．)=．－．叫做（ 1）利用定义（要先判确定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）任意一个 x ，都有 f ．(．x)．．,那么函数数．． f(x) 函数的奇偶性假如对于函数 f(x) 定义域内（ 1）利用定义（要先判确定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）任意一个 x ，都有．f (．－．x ．．)=．f ．(x ．)．．, 那么函数 f(x) 叫做偶．函．数．．x 0 处有定义，就 f ( x) f (0) 0 ． ②如函数为奇函数，且在 y y ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充学问〗函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：，两个偶函数（或①确定函数的定义域；③争论函数的性质（奇偶性，单调性）利用基本函数图象的变换作图：②化解函数解析式； ④画出函数的图象．；要精确记忆一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,左移h 个单位 0,右移| h|个单位 h h y f ( x) y f (x h) 0,上移k 个单位 0,下移| k|个单位 k k yf ( x)yf (x) k②伸缩变换1,伸 1,缩y f ( x)y f ( x)0 A 1,缩 y f ( x)y Af ( x)1,伸A ③对称变换x轴 y轴f (x ) f ( x ) y y y f ( x ) y f (x) 直线 y 原点x1y f ( x ) yf ( x)yf ( x)yf ( x)去掉 y 轴左边图象保留 y 轴右边图象，并作其关于 yf ( x )y f (| x |)y 轴对称图象保留 x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上yf ( x)y | f ( x) | （ 2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右，上下分别范畴，变化趋势，对称性等方面争论函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系．（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为争论数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．其次章基本初等函数 (Ⅰ )〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念xna , a R , x R , n 1 ，且 ①假如n N，那么叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，x nna 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方a 的 n 次方根用符号n根用符号a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当②式子n 为偶数时， a 0 ．nnaa ) n( n a ；当 ③ 根式的性质：n a n 为奇数时，；当为偶数时，a (a (a 0)0)nna| a |．a （ 2）分数指数幂的概念manna m(a 0, m , n , ①正数的正分数指数幂的意义是： N 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．mnmn 1 ( ) a1 ma( ) (a a0, m, n N , 且 n 1) ． 0 ②正数的负分数指数幂的意义是：n的负分数指数幂没有意义．（ 3）分数指数幂的运算性质留意口诀：底数取倒数，指数取相反数．① arasar s(a ② (ar ) sa rs( a 0, r , s R )0, r , s R)③ (ab )ra rb r(a 0, b 0, rR )【】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数xa (a 0 定义a 1) 叫做指数函数y函数且 a 1 0 a 1yxxyyaya图象y 1y 1(0,1)(0,1)OOxx定义域 R (0,)值域x0 时， (0,1) y 1 ．过定点图象过定点，即当奇偶性非奇非偶单调性R 上是增函数在 R 上是减函数在 ax a x 1 ( x 0) 1 (x 0) 函数值的变化情形xxa 1 ( x 0) a 1 (x 0) x xa1 ( x 0)a1 (x 0)a 变化对a 越大图象越高；在其次象限内，a 越大图象越低．图象的影响在第一象限内，〖〗对数函数【】对数与对数运算（ 1）对数的定义xaN ( a 0,且1) ，就 x 叫做以 a 为底 N a 叫做底数，①如 x log N 的对数，记作，其中 a N 叫做真数．②负数和零没有对数． xlog ( 0, 1, 0) x NaN a a N ③对数式与指数式的互化：．a （ 2）几个重要的对数恒等式b1 ， log a ab ．log a 1 0 ， log a a （ 3）常用对数与自然对数lg N log 10 N ；自然对数：ln N ，即 log e N （其中 e常用对数：，即）．a0, a 1,M 0, N 0 ，那么（ 4）对数的运算性质假如 M Nlogalog a log a (MN )①加法： MN logaMlog a N log a②减法： n (n④ alog a Nn log log R )MM N③数乘： a a log b Nlog b a nbn⑤ log balog a M (b 0, n R ) (b 0, 且bMlog a N1)⑥换底公式：【】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数log a x (a 0 且定义函数 ya 1) 叫做对数函数a 10 a 1x 1x 1yyy log xy log xa a 图象(1,0)OO (1,0)xx(0, )定义域值域 R(1,0) x1 时， y 0 ．过定点图象过定点，即当奇偶性非奇非偶在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数单调性log a x log a x log a x 0 0 0 (x (x (0 1)1) x log a log a log a x x x 0 0 0 (x ( x (0 1) 1) x 函数值的变化情形1)1)a 变化对在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．图象的影响 (6) 反函数的概念A ，值域为 C ，从式子 x ，得式子 yf ( x) 的定义域为 yf (x) 中解出 x ( y) 设函数．如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子x x( y) ，在 A 中都有唯独确定的值和它对应，那么式 1f ( y) 表示 x 是的函数，函数 x ( y) y x( y) 叫做函数 yf ( x) 子的反函数，记作x，1f ( x) 习惯上改写成y．（7）反函数的求法1f ( y) y f (x) ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出 x；1f ( y) 1( x) ③将 x y f 改写成，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质1f ( x) y f (x) ①原函数与反函数 yy x 对称．的图象关于直线 1f ( x) yf ( x) ②函数的定义域，值域分别是其反函数y的值域，定义域．'P (b,a) 1P(a,b) yf (x) 的图象上，就 ③如在原函数 yf (x) 在反函数的图象上．yf ( x) 要有反函数就它必需为单调函数．④一般地，函数〖〗幂函数（ 1）幂函数的定义y x一般地，函数叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数．（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一，二，三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第y 一，二象限 (图象关于轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一，三象限(图象关于原点对称 ) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．(0, ) (1,1)．②过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 0 ，就幂函数的图象过原点，并且在0 ，就幂函数[0,) ③单调性：假如上为增函数．假如x 的图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与 y 轴．qp（其中 p, q 互④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qxpq xp质， p 和 qZ ），如 p 为奇数 q 为奇数时，就 qy 是奇函数，如 p 为奇数 q 为偶数时，就 y xp p 为偶数 q 为奇数时，就是偶函数，如y是非奇非偶函数．y x , x (0,) 1 时，如 0 x 1，其图象在直线 ⑤图象特点：幂函数y x ，当下方，如x 1 ，其图象在直线 1时，0 x 1，其图象在直线 x 1 ，y x y x 上方，如上方，当y x 下方．其图象在直线〖补充学问〗二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式 2f ( x) ax2h)①一般式：bx c( a 0) ②顶点式： f ( x) a(x k(a 0) ③两根式：f ( x) a( x x 1 )( x x 2 )( a 0) （ 2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③如已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f ( x) 更便利．（ 3）二次函数图象的性质 b2af ( x) ax 2bx c( a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为①二次函数x, 顶点坐标是b 2b 4ac ,( ) ． 2 a 4ab 2a b2ab 2 aa0 时，抛物线开口向上， (,] 上递减，在 [ ②当函数在 ,) 上递增，当 x 时，24ac 4a b b 2a b2 a；当 a 0 时，抛物线开口向下，函数在 f min ( x)(,] 上递增，在 [ , ) 上2b 2 a4 a c 4 ab f (x) 递减，当 x 时，．max 22b4ac 0 时，图象与 ③二次函数f ( x) axbx c( a 0) 当 x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0),|M 1M 2 | |x 1 x 2 |．| a|2（ 4）一元二次方程axbx c 0( a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分学问在中学代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 2axbx c 0(a 0) x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ．令设一元二次方程的两实根为 b 2a2a ②对称轴位置： f (x) axbx c x，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ③判别式： ①k ＜ x 1 ≤x 2④端点函数值符号．yyb 2axa 0f ( k) .OO kx 2x 1x 1x 2 xxk.f ( k) 0b 2axa 0②x 1 ≤ x 2＜kyyb 2af ( k) .xa 0O Ox 2 kx 2x 1x 1 xxk .f ( k ) 0b 2aa 0x③x 1 ＜ k ＜x 2af( k) ＜0yya 0f ( k) 0.kO x 2x 1x 1 x 2Oxxkf ( k). a 0④k 1 ＜x 1≤ x 2＜k 2ya 0b 2a yxf (k 1 ) 0 . f ( k 2 ) .x 2k 20 k 1k 2x 1x 2x 1O k 1Oxx.f ( k 1 ) 0.f (k 2 ) 0b 2axa 0⑤有且仅有一个根 x 1（或 x 2）满意 k 1 ＜x 1（或 x 2）＜k 2f ( k 1) f ( k 2 ) 0，并同时考虑 f ( k 1)=0或 f ( k 2 )=0 这两种情形是否也符合yya 0f ( k 1 ) 0 f (k 1 ) .. k 2x 1k 2x 1x 2x 2O k 1xOk 1x.f ( k 2 ) .f ( k 2 ) 0a 0⑥k 1 ＜x 1＜ k 2≤ p 1 ＜ x 2＜p 2 此结论可直接由⑤推出．f ( x) ax2bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] （ 5）二次函数上的最值12 f ( x) [ p, q] M m ，令设在区间上的最大值为，最小值为x 0( p q) ． a 0 时（开口向上）（Ⅰ）当 b 2af (q)b 2ab2 a b 2a①如p ，就 mf ( p)pq ，就 mf () q ②如 ③如，就m f f f f (q)(p)(p)(q)b 2ab 2a，就 Mf (q)Mf ( p)①如x 0 x 0 ，就 ②f( Ⅱ ) 当 a 0 时( 开口向下) f(p)x 0b 2a b b 2a b2 aMx (0q) f ( p) g q ，就 ①如p ，就 OpMf () q ，就 ②如 ③如 x g2aO xb2a Mf (q)ff f () ((p)b 2a (q)f )b)2a b2ab2af f( f ()f () (q)f f (p)(p)OxOOxxf f f (p)(q)(q)b 2ab 2a①如x m f (q)x m f ( p) ，就 ②，就．b2ab2af ()f () ff (q)(p)x 0 gx 0 gOxOxf f(q)函数的应(p )第三章一，方程的根与函数的零点 1，函数零点的概念：对于函数yf ( x)( x D) ，把使 f ( x) 0 成立的实数 x 叫做函数yf (x)( x D ) 的零点；2，函数零点的意义：函数 y图象与 x 轴交点的横坐标；即： f ( x) 的零点就是方程 f ( x) 0 实数根，亦即函数 y f (x) 的方程 f ( x) 0 有实数根函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 y f (x) 有零点．3，函数零点的求法：求函数 yf ( x) 的零点：f ( x) 0 的实数根；○1 ○2 （代数法）求方程 yf (x) （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4，二次函数的零点： 2y axc (a bx 0) 0 二次函数bx ．2ax 2ax x 轴有两个交点，二次１）△＞０，方程函数有两个零点．２）△＝０，方程c 有两不等实根，二次函数的图象与0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x bx c 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 2ax0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点．３）△＜０，方程bx c 高中数学第一章必修 2 学问点空间几何体柱，锥，台，球的结构特点空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后 2 画三视图的原就：长对齐，高对齐，宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：侧视图：从左往右俯视图：从上往下（ 1） .平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于（ 3） .画法要写好；x ， z 轴的线长度不变；5 用斜二测画法画出长方体的步骤： 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1 棱柱，棱锥的表面积：各个面面积之和2S rl r 22 圆柱的表面积S 2 rl 2 r3 圆锥的表面积2R2R2SrlrRlS44 圆台的表面积5 球的表面积（二）空间几何体的体积 1 3 V S hVS h 1 柱体的体积2 锥体的体积14 33（ S VS 上 SS )h4 球体的体积VR3 台体的体积3其次章空间点，直线，平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示直线与平面的位置关系D Cα AB（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成成邻边的 2 倍长（如图）45 ，且横边画（2）平面通常用希腊字母α，β，γ等表示，如平面α，平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC ，平面 ABCD等；3 三个公理：（1）公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈L A·B ∈L A ∈α B ∈α=> Lαα L公理 1 作用：判定直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；符号表示为： A ， B ，C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使 A ∈α， B ∈α， C ∈α；公理 2 作用：确定一个平面的依据；A· B·α C ·（3）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号表示为： P ∈α∩β => α∩β =L ，且 P ∈L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；β P· αL共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点；异面直线：2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设 a ， b ，c 是三条直线a ∥bc ∥ b强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面，空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 留意点：=>a ∥c① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a ， b 的相互位置来确定，与线中的一条上；O 的挑选无关，为简便，点 O 一般取在两直② ③ ④ ⑤ 两条异面直线所成的角θ∈ (0 ， ) ；2当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线相互垂直，记作两条直线相互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；运算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；a ⊥b ；2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面，平面与平面之间的位置关系1，直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线在平面平行 —— 有许多个公共点 —— 有且只有一个公共点 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外，可用a α来表示。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题9数学思想第3

第36练函数与方程思想[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想 ,是用运动和变化的观点 ,分析和研究数学中的数量关系 ,是对函数概念的本质认识 ,建立函数关系或构造函数 ,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ,从而使问题获得解决的思想方法．(2)方程的思想 ,就是分析数学问题中变量间的等量关系 ,建立方程或方程组 ,或者构造方程 ,通过解方程或方程组 ,或者运用方程的性质去分析、转化问题 ,使问题获得解决的思想方法． 2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化 ,对函数y ＝f (x ) ,当y >0时 ,就化为不等式f (x )>0 ,借助于函数的图象和性质可解决有关问题 ,而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数 ,用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题 ,需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算 ,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 ,建立空间直角坐标系后 ,立体几何与函数的关系更加密切．体验 (高|考 )1．(2021·湖南)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3x ≤a x 2x ＞a假设存在实数b ,使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点 ,那么a 的取值范围是________．答案 (－∞ ,0)∪(1 ,＋∞)解析函数g (x )有两个零点 ,即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根 ,那么函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①假设a<0 ,那么当x≤a时,f(x)＝x3,函数单调递增；当x>a时,f(x)＝x2,函数先单调递减后单调递增,f(x)的图象如图(1)实线局部所示,其与直线y＝b可能有两个公共点．②假设0≤a≤1 ,那么a3≤a2,函数f(x)在R上单调递增,f(x)的图象如图(2)实线局部所示,其与直线y＝b至||多有一个公共点．③假设a>1 ,那么a3>a2 ,函数f(x)在R上不单调,f(x)的图象如图(3)实线局部所示,其与直线y ＝b可能有两个公共点．综上,a<0或a>1.2．(2021·安徽)设x3＋ax＋b＝0 ,其中a ,b均为实数,以下条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．①a＝－3 ,b＝－3；②a＝－3 ,b＝2；③a＝－3 ,b>2；④a＝0 ,b＝2；⑤a＝1 ,b＝2.答案①③④⑤解析令f(x)＝x3＋ax＋b ,f′(x)＝3x2＋a ,当a≥0时,f′(x)≥0 ,f(x)单调递增,必有一个实根,④⑤正确；当a<0时,由于选项当中a＝－3 ,∴只考虑a＝－3这一种情况,f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) ,∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2 ,f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2 ,要有一根,f(x)极大<0或f(x)极小>0 ,∴b<－2或b>2 ,①③正确,②错误．所有正确条件为①③④⑤.3．(2021·课标全国甲)函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x ) ,假设函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,… ,(x m ,y m ) ,那么∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析方法一特殊函数法 ,根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1 ,由y ＝x ＋1x,解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－1y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝2此时m ＝2 ,所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝m ,应选B. 方法二由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1 ,点(x ,f (x ))与点(－x ,f (－x ))关于点(0,1)对称 ,那么y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x,x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．那么交点(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,… ,(x m ,y m )成对 ,且关于点(0,1)对称．那么∑i ＝1m(x i ,y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ,应选B.(高|考 )必会题型题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例1 (2021·天津)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3ax <0log a(x ＋1)＋1 x ≥0(a >0 ,且a ≠1)在R 上单调递减 ,且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解 ,那么a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0 23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1323∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1323∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0 ,＋∞)上递减 ,得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减 ,那么⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝13－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如下列图 ,在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知 ,在[0 ,＋∞)上 ,|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解．故在(－∞ ,0)上 ,|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2 ,即a >23时 ,由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0) ,得x 2＋(4a －2)x＋3a －2＝0(其中x <0) ,那么Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0 ,解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2 ,即13≤a ≤23时 ,由图象可知 ,符合条件．综上所述 ,a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1323∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.应选C.点评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化 ,解题的宗旨就是函数与方程的思想．方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点 ,反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题．变式训练1 定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ∈[0 1)2－x 2x ∈[－1 0)且f (x ＋2)＝f (x ) ,g (x )＝2x ＋5x ＋2,那么方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8答案 C解析 g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2 ,由题意知函数f (x )的周期为2 ,那么函数f (x ) ,g (x )在区间[－5,1]上的图象如下列图：由图象知f (x )、g (x )有三个交点 ,故方程f (x )＝g (x ) 在x ∈[－5,1]上有三个根x A 、x B 、x C ,x B ＝－3 , x A ＋x C2＝－2 ,x A ＋x C ＝－4 , ∴x A ＋x B ＋x C ＝－7.题型二函数与方程思想在不等式中的应用例2 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x ) ,满足f (x )>f ′(x ) ,且f (0)＝1 ,那么不等式f (x )e x<1的解集为( ) A ．(－∞ ,0) B ．(0 ,＋∞) C ．(－∞ ,2) D ．(2 ,＋∞)答案 B解析构造函数g (x )＝f (x )e x ,那么g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立 ,所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1 ,所以f (x )e x <1 ,即g (x )<1 ,所以x >0 ,所以不等式的解集为(0 ,＋∞)．应选B. 点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时 ,一种最||重要的思想方法就是构造适当的函数 ,利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中 ,需要确定适宜的变量和参数 ,从而揭示函数关系 ,使问题更明朗化．一般地 ,存在范围的量为变量 ,而待求范围的量为参数．变式训练2 f (x )＝log 2x ,x ∈[2,16] ,对于函数f (x )值域内的任意实数m ,那么使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A ．(－∞ ,－2] B ．[2 ,＋∞)C ．(－∞ ,－2]∪[2 ,＋∞)D ．(－∞ ,－2)∪(2 ,＋∞) 答案 D解析 ∵x ∈[2,16] ,∴f (x )＝log 2x ∈[1,4] , 即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立 , 即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立 , 设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2 , 那么此函数在[1,4]上恒大于0 ,所以⎩⎨⎧g (1)>0 g (4)>0 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2>04(x －2)＋(x －2)2>0解得x <－2或x >2.题型三函数与方程思想在数列中的应用例3 数列{a n }是首||项为2 ,各项均为正数的等差数列 ,a 2 ,a 3 ,a 4＋1成等比数列 ,设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n (其中S n 是数列{a n }的前n 项和) ,假设对任意n ∈N * ,不等式b n ≤k 恒成立 ,求实数k 的最||小值．解因为a 1＝2 ,a 23＝a 2·(a 4＋1) , 又因为{a n }是正项等差数列 ,故d ≥0 , 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d ) , 得d ＝2或d ＝－1(舍去) , 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 因为S n ＝n (n ＋1) ,b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1 ＝12n ＋1n＋3. 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1) ,那么f ′(x )＝2－1x 2 ,当x ≥1时 ,f ′(x )>0恒成立 ,所以f (x )在[1 ,＋∞)上是增函数 , 故当x ＝1时 ,f (x )min ＝f (1)＝3 , 即当n ＝1时 ,(b n )max ＝16,要使对任意的正整数n ,不等式b n ≤k 恒成立 , 那么须使k ≥(b n )max ＝16 ,所以实数k 的最||小值为16.点评数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似 ,但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数 ,涉及的函数具有离散性特点 ,其一般解题步骤为：第|一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造 "特征〞函数(方程) ,转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要 ,研究函数(方程)的相关性质 ,主要涉及函数单调性与最||值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究 ,回归问题．变式训练3 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和 ,(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．假设a 8a 7＜－1 ,那么( )A ．S n 的最||大值是S 8B ．S n 的最||小值是S 8C ．S n 的最||大值是S 7D ．S n 的最||小值是S 7答案 D解析由条件得S n n ＜S n ＋1n ＋1 ,即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1) ,所以a n ＜a n ＋1 ,所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1 ,所以a 8＞0 ,a 7＜0 ,即数列{a n }前7项均小于0 ,第8项大于零 ,所以S n 的最||小值为S 7 ,应选D.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中|心为坐标原点O ,焦点在y 轴上 ,短轴长为 2 ,离心率为22,直线l 与y 轴交于点P (0 ,m ) ,与椭圆C 交于相异两点A ,B ,且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) ,设c >0 ,c 2＝a 2－b 2 ,由题意 ,知2b ＝ 2 ,c a ＝22 ,所以a ＝1 ,b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1 ,即y 2＋2x 2＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时 ,也满足AP →＝3PB →,此时m ＝±12.②当直线l 的斜率存在时 ,设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0) ,l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1 得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0 ,Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0 ,(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2 ,x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →,所以－x 1＝3x 2 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2 x 1x 2＝－3x 22.那么3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0 ,即3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0 ,整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 , 即k 2(4m 2－1)＋2m 2－2＝0 , 当m 2＝14时 ,上式不成立；当m 2≠14时 ,k 2＝2－2m 24m 2－1 ,由(*)式 ,得k 2>2m 2－2 ,又k ≠0 , 所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0 ,解得－1<m <－12或12<m <1 ,综上 ,所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1 －12∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12 1. 点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第|一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质 ,得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系 ,将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中 ,即可求出目标参数的取值范围．第五步：回忆反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时 ,无论题目中有没有涉及求参数的取值范围 ,都不能无视了判别式对某些量的制约 ,这是求解这类问题的关键环节．变式训练4 点F 1(－c,0) ,F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点 ,点P 为椭圆上一点 ,且PF 1→·PF 2→＝c 2 ,那么此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 22解析设P (x ,y ) ,那么PF 1→·PF 2→＝(－c －x ,－y )·(c －x ,－y ) ＝x 2－c 2＋y 2＝c 2 ,①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得 x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2 ,又x 2∈[0 ,a 2] ,∴2c 2≤a 2≤3c 2 , ∴e ＝ca ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 22.(高|考 )题型精练1．关于x 的方程3x ＝a 2＋2a ,在(－∞ ,1]上有解 ,那么实数a 的取值范围是( ) A ．[－2 ,－1)∪(0,1] B ．[－3 ,－2)∪[0,1] C ．[－3 ,－2)∪(0,1] D ．[－2 ,－1)∪[0,1] 答案 C解析当x ∈(－∞ ,1]时 ,3x ∈(0,3] ,要使3x ＝a 2＋2a 有解 ,a 2＋2a 的值域必须为(0,3] , 即0<a 2＋2a ≤3 ,解不等式可得－3≤a ＜－2或0＜a ≤1 , 应选C.2．设函数f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ,假设不等式f (x )≤0有解 ,那么实数a 的最||小值为( ) A.2e－1 B ．2－2eC ．1＋2e 2D ．1－1e答案 D解析因为f (x )≤0有解 ,所以f (x )＝e x (x 3－3x ＋3)－a e x －x ≤0 ,a ≥x 3－3x ＋3－x e x ＝F (x ) , F ′(x )＝3x 2－3＋x －1e x ＝(x －1)(3x ＋3＋e －x ) , 令G (x )＝3x ＋3＋e －x ,G ′(x )＝3－e －x,3－e －x ＝0 ,x ＝－ln 3 ,G (x )最||小值G (－ln 3)＝6－3ln 3>0 ,F (x )在(－∞ ,1)上递减 ,在(1 ,＋∞)上递增 ,F (x )的最||小值为F (1)＝1－1e ,所以a ≥1－1e, 应选D.3．f (x )＝x 2－4x ＋4 ,f 1(x )＝f (x ) ,f 2(x )＝f (f 1(x )) ,… ,f n (x )＝f (f n －1(x )) ,函数y ＝f n (x )的零点个数记为a n ,那么a n 等于( )A ．2nB ．2n －1 C ．2n ＋1D ．2n 或2n －1 答案 B解析 f 1(x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2 ,有1个零点2 ,由f 2(x )＝0可得f 1(x )＝2 ,那么x ＝2＋2或x ＝2－ 2 ,即y ＝f 2(x )有2个零点 ,由f 3(x )＝0可得f 2(x )＝2－2或2＋ 2 ,那么(x －2)2＝2－2或(x －2)2＝2＋ 2 ,即y ＝f 3(x )有4个零点 ,以此类推可知 ,y ＝f n (x )的零点个数a n ＝2n －1.应选B.4．对任意的θ∈(0 ,π2) ,不等式1sin 2θ＋4cos 2θ≥|2x －1|恒成立 ,那么实数x 的取值范围是( ) A ．[－3,4]B ．[0,2]C ．[－32 ,52] D ．[－4,5] 答案 D解析 ∵对任意的θ∈(0 ,π2) ,sin 2θ＋cos 2θ＝1 , ∴1sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(1sin 2θ＋4cos 2θ) ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥5＋2×2＝9 ,当且仅当tan θ＝22时取等号． ∵不等式1sin 2θ＋4cos 2θ≥|2x －1|恒成立 , ∴9≥|2x －1| ,∴－9≤2x －1≤9 ,解得－4≤x ≤5 ,那么实数x 的取值范围是[－4,5]．5．函数f (x )＝ln x －14x ＋34x－1 ,g (x )＝－x 2＋2bx －4 ,假设对任意x 1∈(0,2) ,x 2∈[1,2] ,不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立 ,那么实数b 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞ 142 解析问题等价于f (x )min ≥g (x )max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1 , 所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2, 令f ′(x )>0得x 2－4x ＋3<0 ,解得1<x <3 ,故函数f (x )的单调递增区间是(1,3) ,单调递减区间是(0,1)和(3 ,＋∞) ,故在区间(0,2)上 ,x ＝1是函数的极小值点 ,这个极小值点是唯一的 ,故也是最||小值点 ,所以f (x )min ＝f (1)＝－12. 由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4 ,x ∈[1,2]．当b <1时 ,g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时；g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时 ,g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1 －12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2 －12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2 －12≥4b －8. 解第|一个不等式组得b <1 ,解第二个不等式组得1≤b ≤142 ,第三个不等式组无解．综上所述 ,b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞ 142. 6．满足条件AB ＝2 ,AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最||大值是________．答案 2 2解析可设BC ＝x ,那么AC ＝2x ,根据面积公式得S △ABC ＝x 1－cos 2B ,由余弦定理计算得cos B ＝4－x 24x, 代入上式得S △ABC ＝x1－(4－x 24x )2 ＝128－(x 2－12)216. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2x ＋2>2x 得22－2<x <22＋2. 故当x ＝23时 ,S △ABC 有最||大值2 2.7．设函数f (x )＝ln x ＋a x －1(a 为常数)． (1)假设曲线y ＝f (x )在点(2 ,f (2))处的切线与x 轴平行 ,求实数a 的值；(2)假设函数f (x )在(e ,＋∞)内有极值 ,求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1 ,＋∞) , 由f (x )＝ln x ＋a x －1得f ′(x )＝1x －a (x －1)2 , 由于曲线y ＝f (x )在点(2 ,f (2))处的切线与x 轴平行 ,所以f ′(2)＝0 ,即12－a (2－1)2＝0 , 所以a ＝12. (2)因为f ′(x )＝1x －a (x －1)2＝x 2－(2＋a )x ＋1x (x －1)2, 假设函数f (x )在(e ,＋∞)内有极值 ,那么函数y＝f′(x)在(e ,＋∞)内有异号零点,令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1.设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β) ,可知αβ＝1 ,不妨设β>α ,那么α∈(0,1) ,β∈(1 ,＋∞) ,假设函数y＝f′(x)在(e ,＋∞)内有异号零点,即y＝φ(x)在(e ,＋∞)内有异号零点,所以β>e ,又φ(0)＝1>0 ,所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0 ,－2 ,解得a>e＋1e－2 ,＋∞)．所以实数a的取值范围是(e＋1e8．f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)假设f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围．解(1)∵f(x)＝e x－ax－1(x∈R) ,∴f′(x)＝e x－a.令f′(x)≥0 ,得e x≥a ,当a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时,有x≥ln a.综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(－∞ ,＋∞)；当a>0时,f(x)的单调增区间为(ln a ,＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝e x－a.∵f(x)在R上单调递增,∴f′(x)＝e x－a≥0恒成立,即a≤e x在R上恒成立．∵当x∈R时,e x>0 ,∴a≤0 ,即a的取值范围是(－∞ ,0]．9．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0) ,离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ,N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时 ,求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2 c a ＝22 a 2＝b 2＋c 2 解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎨⎧ y ＝k (x －1) x 24＋y 22＝1 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ,N 的坐标分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ,x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2, 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103 ,解得k ＝±1. 所以k 的值为1或－1.10．等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2 ,且a 3＋2是a 2 ,a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)假设b n ＝a n ＋log 21a n,S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ,求使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最||小值．解 (1)设等比数列{a n }的首||项为a 1 ,公比为q ,依题意 ,有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋a 3＝3a 2a 2＋a 4＝2(a 3＋2) 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ①a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4. ② 由①得q 2－3q ＋2＝0 ,解得q ＝1或q ＝2.当q ＝1时 ,不合题意．舍去；当q ＝2时 ,代入②得a 1＝2 ,所以a n ＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n . 所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2(1－2n )1－2－n (1＋n )2 ＝2n ＋1－2－12n －12n 2. 因为S n －2n ＋1＋47<0 ,所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0 , 即n 2＋n －90>0 ,解得n >9或n <－10. 因为n ∈N * ,故使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最||小值为10.。

2017版考前三个月(浙江专版,文理通用)高考知识·方法篇专题3 函数与导数第11练

√
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0，＋∞)
解析
1
2
3
4
5
2.(2016· 课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲 y＝2x 线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________. 解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
1
2
3
4
5
5.(2016· 课标全国甲)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1). (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；解 f(x)的定义域为(0，＋∞).
1 当 a＝4 时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋x－3，f′(1)＝－2， f(1)＝0，
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1 3 1 2 5.若曲线 f(x)＝3ax ＋2bx ＋cx＋d(a，b，c>0)上不存在斜率为 0 的切线， f′1 则 b －1 的取值范围是( ) B.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
√
A.(1，＋∞) C.(2，＋∞)
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
a ∴ －4b＝－3，且 aln 2－4b＝－6＋2ln 2＋2. 2
解得a＝2，b＝1.
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1 (2)若方程 f(x)＋m＝0 在区间[ ，e]内有两个不等实根，求 m 的取值范围. e

高考数学二轮复习专题9思想方法专题第三讲分类讨论思想理

高考数学二轮复习专题 9 思想方法专题第三讲分类议论思想理第三讲分类议论思想分类议论思想是将一个较复杂的数学识题分解( 或切割 ) 成若干个基础性问题，经过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题推行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题( 或综合性问题) 分解为小问题 ( 或基础性问题) ，优化解题思路，降低问题难度．1．由数学观点惹起的分类议论：有的观点自己是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不一样的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单一性等．3．由数学运算要求惹起的分类议论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确立性惹起的分类议论：有的图形种类、地点需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的地点关系等．5．由参数的变化惹起的分类议论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，因为参数的取值不一样会致使所得结果不一样，或对于不一样的参数值要运用不一样的求解或证明方法．6．由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中，特别是在解决摆列、组合中的计数问题经常用．判断下边结论能否正确 ( 请在括号中打“√”或“×” ) ．(1) 24ac － b 2二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋c ， x ∈ [a ， b] 的最值必定是.( ×)4a(2) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c ， x ∈ R ，不行能是偶函数． ( × )(3) 幂函数的图象都经过点(1 ，1)和点 (0 ，0) ．( ×)(4) 当 n>0 时，幂函数 y ＝x n 是定义域上的增函数．( × )222(5) 若函数 f(x) ＝ (k － 1)x ＋ 2x － 3 在 ( －∞， 2) 上单一递加，则 k ＝± 2 .( × )(6)2＝f(0) ＝ 5，f(x)＝ f(3) ＝2.( ×)已知 f(x) ＝x －4x ＋ 5，x ∈ [0 ， 3) ，则 f(x)minmax1．过双曲线 2x 2－y 2＝ 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A ， B 两点，若 |AB| ＝ 4，则这样的直线有 ( B)A ．4 条B ．3 条C ．2条D ．1 条2分析：由 2x 2－ y 2＝ 2，得 x 2－y2 ＝ 1.2b 2 当 l 无斜率时， |AB| ＝＝ 4，切合要求。

专题9高考解题中的数学思想ppt课件共84页PPT资料

由函数T1(x),T(x)的单调性知,当 1 0 x0 =0 5 30时75 x,φ(x)取最小值,
解得x= 4 0 0 .由于36< 4 0 <0 37,
11
11
而φ(36)=T1(36)= 2 95 0 > 21 51,0
φ(37)=T(37)= 3 7 5 > 2 5 .0 此时完成订单任务的最短时间大于 2 5. 0
对点集训
热点四:方程在解析几何中的应用
在解析几何中,我们经常将直线与圆、圆锥曲线的位置关系,转化为对应的方程,从方程的角度来研究、分析问题.
(2019年·广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
x2 a2
+ by 22 =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
对点集训
此时 ≥150 0 = . 1500
375
200 (1 k)x 200 (1 3)x 5 0 x
记T(x)= 5 30 7,5φx (x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,
则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max{ 1 0 x0,0 5 30}7.5 x
13 11
11
对点集训
③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,
此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{ 2 0x0,0 1 0}70.5
0
x
由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当 2 0x0=0 1 0时705 0f(xx)取最小值,
解得x= 81010 ,类似①讨论,此时完成订单任务的最短时间为 2 95 ,0大于 21 51.0

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题9数学思想第38练

第38练分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 ,其根本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成假设干个根底性问题 ,通过对根底性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝||对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零 ,偶次方根为非负数 ,对数运算中真数与底数的要求 ,指数运算中底数的要求 ,不等式中两边同乘以一个正数、负数 ,三角函数的定义域 ,等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、根本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题 ,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同 ,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原那么是：分类的对象是确定的 ,标准是统一的 ,不遗漏、不重复 ,科学地划分 ,分清主次 ,不越级||讨论．其中最||重要的一条是 "不重不漏〞．3．解答分类讨论问题时的根本方法和步骤是：首||先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准 ,正确进行合理分类 ,即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论 ,分级||进行 ,获取阶段性结果；最||后进行归纳小结 ,综合得出结论．体验 (高|考 )1．(2021·山东)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －1 x ＜12x x ≥1 那么满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫23 ＋∞ D ．[1, ＋∞)答案 C解析由f (f (a ))＝2f (a )得 ,f (a )≥1.当a <1时 ,有3a －1≥1 ,∴a ≥23 ,∴23≤a <1. 当a ≥1时 ,有2a ≥1 ,∴a ≥0 ,∴a ≥1.综上 ,a ≥23,应选C. 2．(2021·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度 ,得到离心率为e 2的双曲线C 2 ,那么( )A ．对任意的a ,b ,e 1>e 2B ．当a >b 时 ,e 1>e 2；当a b 时 ,e 1<e 2；当a e 2答案 D解析由题意e 1＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ,虚半轴长为b ＋m ,离心率e 2＝ (a ＋m )2＋(b ＋m )2(a ＋m )2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m ),且a >0 ,b >0 ,m >0 ,a ≠b , 所以当a >b 时 ,m (a －b )a (a ＋m )>0 ,即b ＋m a ＋m >b a. 又b ＋m a ＋m>0 ,b a >0 , 所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2 , 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 , 所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ,即e 2>e 1；同理 ,当a b 时 ,e 1<e 2；当a e 2.3．(2021·天津)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0) ,离心率为33,点M 在椭圆上且位于第|一象限 ,直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ,|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上 ,假设直线FP 的斜率大于 2 ,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由有c 2a 2＝13, 又由a 2＝b 2＋c 2 ,可得a 2＝3c 2 ,b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0) ,F (－c,0) ,那么直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由 ,有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22 , 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1 , 直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c ) , 两个方程联立 ,消去y ,整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0 ,解得x ＝－53c ,或x ＝c . 因为点M 在第|一象限 ,可得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 233c . 由|FM |＝ (c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1 ,所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ,y ) ,直线FP 的斜率为t ,得t ＝y x ＋1,即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)．与椭圆方程联立 ,⎩⎨⎧ y ＝t (x ＋1)x 23＋y 22＝1消去y ,整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6 ,又由 ,得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2＞ 2 , 解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ,得m ＝y x ,即y ＝mx (x ≠0) ,与椭圆方程联立 ,整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32 －1时 ,有y ＝t (x ＋1)＜0 ,因此m ＞0 ,于是m ＝2x 2－23 ,得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23 233. ②当x ∈(－1,0)时 ,有y ＝t (x ＋1)＞0 ,因此m ＜0 ,于是m ＝－2x 2－23, 得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞ －233. 综上 ,直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23 233. (高|考 )必会题型题型一由概念、公式、法那么、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0} ,B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 ,a ∈R } ,假设B ⊆A ,求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{0 ,－4} ,B ⊆A ,于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时 ,B ＝{0 ,－4} ,∴由根与系数的关系 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(a ＋1)＝－4a 2－1＝0 解得a ＝1.(2)当B A 时 ,又可分为两种情况．①当B ≠∅时 ,即B ＝{0}或B ＝{－4} ,当x ＝0时 ,有a ＝±1；当x ＝－4时 ,有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0 ,解得a ＝－1 ,此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时 ,Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0 ,解得a <－1.综合(1)(2)知 ,所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.点评对概念、公式、法那么的内含及应用条件的准确把握是解题关键 ,在此题中 ,B ⊆A ,包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论 ,在关于指数、对数的运算中 ,底数的取值范围是进行讨论时首||先要考虑的因素．变式训练1 数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数) ,那么数列{a n }是( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1 ,∴a 1＝p －1 ,a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2) ,当p ≠1且p ≠0时 ,{a n }是等比数列；当p ＝1时 ,{a n }是等差数列；当p ＝0时 ,a 1＝－1 ,a n ＝0(n ≥2) ,此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．题型二分类讨论在含参函数中的应用例2 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最||大值2 ,求a 的值．解函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1 ,对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时 ,f (x )max ＝f (0)＝1－a ,∴1－a ＝2 ,∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时 ,f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1 ,∴a 2－a ＋1＝2 ,∴a 2－a －1＝0 ,∴a ＝1±52(舍)． (3)当a >1时 ,f (x )max ＝f (1)＝a ,∴a ＝2.综上可知 ,a ＝－1或a ＝2.点评此题中函数的定义域是确定的 ,二次函数的对称轴是不确定的 ,二次函数的最||值问题与对称轴息息相关 ,因此需要对对称轴进行讨论 ,分对称轴在区间内和对称轴在区间外 ,从而确定函数在给定区间上的单调性 ,即可表示函数的最||大值 ,从而求出a 的值．变式训练2 函数f (x )＝2e x －ax －2(x ∈R ,a ∈R )．(1)当a ＝1时 ,求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时 ,假设不等式f (x )≥0恒成立 ,求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时 ,f (x )＝2e x －x －2 ,f ′(x )＝2e x －1 ,f ′(1)＝2e －1 ,即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1 ,又f (1)＝2e －3 ,所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2.(2)易知f ′(x )＝2e x －a .假设a ≤0 ,那么f ′(x )>0恒成立 ,f (x )在R 上单调递增；假设a >0 ,那么当x ∈(－∞ ,ln a 2)时 , f ′(x )<0 ,f (x )单调递减 , 当x ∈(ln a 2,＋∞)时 ,f ′(x )>0 ,f (x )单调递增．又f (0)＝0 ,所以假设a ≤0 ,那么当x ∈[0 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (0)＝0 ,符合题意．假设a >0 ,那么当ln a 2≤0 , 即0<a ≤2时 ,那么当x ∈[0 ,＋∞)时 ,f (x )≥f (0)＝0 ,符合题意．当ln a 2>0 ,即a >2 , 那么当x ∈(0 ,ln a 2)时 ,f (x )单调递减 , f (x )<f (0)＝0 ,不符合题意．综上 ,实数a 的取值范围是(－∞ ,2]．题型三根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0 y ≥0y ＋x ≤s y ＋2x ≤4下 ,当3≤s ≤5时 ,z ＝3x ＋2y 的最||大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]答案 D 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝sy ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s y ＝2s －4 取点A (2,0) ,B (4－s,2s －4) ,C (0 ,s ) ,C ′(0,4)．①当3≤s <4时 ,可行域是四边形OABC (含边界) ,如图(1)所示 ,此时 ,7≤z max <8.②当4≤s ≤5时 ,此时可行域是△OAC ′ ,如图(2)所示 ,z max ＝8.综上 ,z ＝3x ＋2y 最||大值的变化范围是[7,8]．点评几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1 ,F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点 ,点P 为椭圆上一点 ,点P ,F 1 ,F 2是一个直角三角形的三个顶点 ,且||PF 1＞||PF 2 ,求||PF 1||PF 2的值．解假设∠PF 2F 1＝90° ,那么||PF 12＝|PF 2|2＋||F 1F 22 ,又∵||PF 1＋||PF 2＝6 ,||F 1F 2＝2 5 ,解得||PF 1＝143 ,||PF 2＝43 ,∴||PF 1||PF 2＝72. 假设∠F 1PF 2＝90° ,那么||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22 ,∴||PF 12＋(6－||PF 1)2＝20 ,又|PF 1|>|PF 2| ,∴||PF 1＝4 ,||PF 2＝2 ,∴||PF 1||PF 2＝2. 综上知 ,||PF 1||PF 2＝72或2. (高|考 )题型精练 1．假设关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根 ,那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1 ,＋∞)B ．(0,1)C ．(1 ,＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12 答案 D解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时 ,如图(1) ,∴0<2a <1 ,即0<a <12.②当a >1时 ,如图(2) ,而y ＝2a >1不符合要求．综上 ,0<a <12. 2．x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0.假设z ＝y －ax 取得最||大值的最||优解不唯一 ,那么实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－1答案 D 解析如图 ,由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距 ,故当a >0时 ,要使z ＝y －ax 取得最||大值的最||优解不唯一 ,那么a ＝2；当a <0时 ,要使z ＝y －ax 取得最||大值的最||优解不唯一 ,那么a ＝－1.3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ,P 为其上的一点 ,O 为坐标原点 ,假设△OPF 为等腰三角形 ,那么这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析当|PO |＝|PF |时 ,点P 在线段OF 的中垂线上 ,此时 ,点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时 ,点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形 ,点P 不存在．事实上 ,F (p,0) ,假设设P (x ,y ) ,那么|FO |＝p ,|FP |＝(x －p )2＋y 2 ,假设(x －p )2＋y 2＝p ,那么有x 2－2px ＋y 2＝0 ,又∵y 2＝4px ,∴x 2＋2px ＝0 ,解得x ＝0或x ＝－2p ,当x ＝0时 ,不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时 ,与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12log 1，≥，x x 2x x <1的值域为________．答案 (－∞ ,2)解析当x ≥1时 ,()12log ＝f x x 是单调递减的 ,此时 ,函数的值域为(－∞ ,0]；当x <1时 ,f (x )＝2x 是单调递增的 ,此时 ,函数的值域为(0,2)．综上 ,f (x )的值域是(－∞ ,2)．5．集合A ＝{x |1≤x <5} ,C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．假设C ∩A ＝C ,那么a 的取值范围是________．答案 (－∞ ,－1]解析因为C ∩A ＝C ,所以C ⊆A .①当C ＝∅时 ,满足C ⊆A ,此时－a ≥a ＋3 ,得a ≤－32； ②当C ≠∅时 ,要使C ⊆A ,那么⎩⎨⎧－a <a ＋3 －a ≥1a ＋3<5解得－32<a ≤－1. 综上 ,a 的取值范围是(－∞ ,－1]． 6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,假设x ∈[－2,2]时 ,f (x )≥0恒成立 ,求a 的取值范围．解要使f (x )≥0恒成立 ,那么函数在区间[－2,2]上的最||小值不小于0 ,设f (x )的最||小值为g (a )．(1)当－a 2<－2 ,即a >4时 ,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0 , 得a ≤73,故此时a 不存在． (2)当－a 2∈[－2,2] ,即－4≤a ≤4时 ,g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0 ,得－6≤a ≤2 ,又－4≤a ≤4 ,故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2 ,即a <－4时 ,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0 , 得a ≥－7 ,又a <－4 ,故－7≤a <－4 ,综上得－7≤a ≤2.7．ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 ,求不等式的解集．解假设a ＝0 ,原不等式等价于－x ＋1<0 ,解得x >1.假设a <0 ,原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0 , 解得x <1a或x >1. 假设a >0 ,原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时 ,1a ＝1 ,(x －1a)(x －1)<0无解； ②当a >1时 ,1a <1 ,解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1； ③当0<a <1时 ,1a >1 ,解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a. 综上所述：当a <0时 ,解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时 ,解集为{x |x >1}；当0<a <1时 ,解集为{x |1<x <1a}；当a ＝1时 ,解集为∅；当a >1时 ,解集为{x |1a<x <1}． 8．首||项为32的等比数列{a n }不是递减数列 ,其前n 项和为S n (n ∈N *) ,且S 3＋a 3 ,S 5＋a 5 ,S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *) ,求数列{T n }的最||大项的值与最||小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3＋a 3 ,S 5＋a 5 ,S 4＋a 4成等差数列 ,所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5 ,即4a 5＝a 3 ,于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32 ,所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋12n n 为奇数 1－12n n 为偶数.当n 为奇数时 ,S n 随n 的增大而减小 ,所以1<S n ≤S 1＝32, 故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时 ,S n 随n 的增大而增大 ,所以34＝S 2≤S n <1 , 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上 ,对于n ∈N * ,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最||大项的值为56 ,最||小项的值为－712. 9．函数f (x )＝x 2＋ax ＋a e x,其中a 为常数 ,a ≤2. (1)当a ＝1时 ,求曲线y ＝f (x )在点(0 ,f (0))处的切线方程；(2)是否存在实数a ,使f (x )的极大值为2 ?假设存在 ,求出a 的值；假设不存在 ,说明理由．解 (1)a ＝1 ,f (x )＝x 2＋x ＋1e x,∴f (0)＝1 , ∵f ′(x )＝(2x ＋1)e x －e x (x 2＋x ＋1)e 2x＝－x 2＋x e x ＝－x (x －1)e x, ∴f ′(0)＝0 ,那么曲线在(0 ,f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝(2x ＋a )e x －e x (x 2＋ax ＋a )e 2x＝－x [x －(2－a )e x] , f ′(x )＝0的根为0,2－a ,∵a ≤2 ,∴2－a ≥0 ,当a ＝2时 ,f ′(x )＝－x 2e x ≤0 , ∴f (x )在(－∞ ,＋∞)内递减 ,无极值；当a <2时 ,2－a >0 ,f (x )在(－∞ ,0) ,(2－a ,＋∞)内递减 ,在(0,2－a )内递增；∴f (2－a )＝(4－a )e a －2为f (x )的极大值 ,令u (a )＝(4－a )e a －2(a <2) ,u ′(a )＝(3－a )e a －2>0 , ∴u (a )在a ∈(－∞ ,2)上递增 ,∴u (a )0) , 当a ≤0时 ,f ′(x )<0 ,∴f(x)的减区间为(0 ,＋∞)；当a>0时,由f′(x)>0得0<x<a ,由f′(x)<0得x>a ,∴f(x)递增区间为(0 ,a) ,递减区间为(a ,＋∞)．(2)由(1)知：当a≤0时,f(x)在(0 ,＋∞)上为减函数,而f(1)＝0 ,∴f(x)≤0在区间x∈(0 ,＋∞)上不可能恒成立；当a>0时,f(x)在(0 ,a)上递增,在(a ,＋∞)上递减,f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1 ,令g(a)＝a ln a－a＋1 ,依题意有g(a)≤0 ,而g′(a)＝ln a ,且a>0 ,∴g(a)在(0,1)上递减,在(1 ,＋∞)上递增,∴g(a)min＝g(1)＝0 ,故a＝1.。

备战2023年高考数学二轮复习专题思想篇数学思想方法的应用

A.64
B.96
C.128
D.160
)

根据条件求出 (1≤k≤5)的

值,然后得到b5的值,利用等
差数列的性质求出b3即可.
答案:C.
2
2
双曲线4x +ky =4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是(
1.
A.16
自
测
题
1
B.
16
C.-16
2

2

4
−
[解析] ∵双曲线 ∴k=-16.故选C.
5.
范围是 (-∞,-2) .
−
2x
2y
[解析]由题意可得-m=
,则-m表示点(x,e )与点(y,e )连线的斜率,其中
−
2
e
2
e
自
测 x>0,y>0,x≠y,即-m表示函数y=e2x在y轴右侧的图像上任意两点连线的斜率.由
题
y=e2x可得y'=2e2x,故函数y=e2x的图像在x=0处的切线的斜率k=y'|x=0=2e2×0=2,
4
2
42
3,∴(-1,1)=3(1-a,1-b),解得a= ,b= ,即E的坐标为( , ),∴直线AE
3
3
33
1
的方程为y= x.设F(x,y),则=(x-1,y-1),=(2-x,-y),∴·=
2
1 1
5
7 2 9
(x-1)(2-x)- x( x-1)=- (x- ) + ,又∵F为直线AE上一点,
[2020·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中,
已知P(
3
1 2
2
,0),A,B是圆C:x +(y- ) =36上的

2020高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4三角函数与平面向量第16练三角函数的化简与

2019年【2019最新】精选高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4三角函数与平面向量第16练三角函数的化简与求值文[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－ B.32C ．－ D.12 答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin 30°＝.2．(2015·重庆)若tan α＝2tan ，则等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π52019年＝＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝＝＝3.3．(2016·四川)cos2－sin2＝________. 答案22解析由题可知，cos2－sin2＝cos ＝.4．(2016·课标全国甲)若cos ＝，则sin 2α等于( ) A. B.15C ．－D ．－725 答案 D解析因为sin 2α＝cos ＝2cos2－1，又因为cos ＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.5．(2016·课标全国丙)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( ) A. B.4825 C ．1 D.1625 答案 A解析 tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝＝.高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号．例1 已知tan α＝2，求： (1)的值；(2)3sin2α＋3sin αcosα－2cos2α的值．解 (1)方法一 ∵tan α＝2， ∴cosα≠0，∴＝4sin αcos α－2cos αcos α5sin αcos α＋3cos αcos α＝＝＝.方法二由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得＝4×2cos α－2cos α5×2cos α＋3cos α ＝＝.(2)3sin2α＋3sin αcosα－2cos2α ＝3sin2α＋3sin αcos α－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tan α－2tan2α＋1＝＝.点评本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式．对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cosα”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin2α＋cos2α代换“1”，变成分式后再化简．变式训练1 已知sin(3π＋α)＝2sin ，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin 2α.解由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝＝－. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝.题型二利用诱导公式化简与求值1．六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”．2．诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2 (1)设f(α)＝，则f ＝________. (2)化简：＋sin π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.答案 (1) (2)0 解析 (1)∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝＝＝， ∴f＝1tan －23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝＝. (2)原式＝＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．变式训练2 (1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝________.(2)已知cos ＝a(|a|≤1)，则cos ＋sin ＝________. 答案 (1)－ (2)0解析 (1)将θ－转化为(θ＋)－.由题意知sin(θ＋)＝，θ是第四象限角，所以cos(θ＋)＞0，所以cos(θ＋)＝＝. tan(θ－)＝tan(θ＋－) ＝－tan[－(θ＋)]＝－＝－cos θ＋π4sin θ＋π4＝－＝－.(2)cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ＝－a. sin ＝sin ＝cos ＝a ， ∴cos＋sin ＝0.题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．例3 化简：(1)sin 50°(1＋tan 10°)； (2).解 (1)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos60°－10°cos 60°cos 10° ＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝＝＝1.(2)原式＝2cos2x cos2x －1＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝－4cos2xsin2x ＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－sin22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝＝cos 2x.点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用． (2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”．变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形．变式训练3 (1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为________． (2)的值是( ) A. B.32 C. D.2(3)若α∈，且3cos 2α＝sin ，则sin 2α的值为( )2019年A. B ．－118 C. D ．－1718答案 (1) (2)C (3)D解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝，＝，tan ＝，所以tan ＋tan ＋tan tan C2 ＝tan ＋tan tan C2 ＝＋tan tan C2 ＝. (2)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝＝.(3)cos 2α＝sin ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sincos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sincos ＝sin ， ∵α∈，sin(－α)≠0， ∴cos＝，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos2－1＝－.高考题型精练1．(2015·陕西)“sin α＝cosα”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵sin α＝cosα⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0； cos 2α＝0⇔cosα＝±sin α⇒/ sin α＝cosα，故选A. 2．(2016·课标全国丙)若tan θ＝－，则cos 2θ等于( ) A ．－ B ．－ C. D.45 答案 D解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝＝＝.3．若tan ＝，且－＜α＜0，则等于( ) A ．－ B. C ．－ D.255 答案 A解析由tan ＝＝，得tan α＝－. 又－＜α＜0，所以sin α＝－. 故＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α ＝2sin α＝－.4．已知f(x)＝sin2，若a ＝f(lg 5)，b ＝f(lg)，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1 D ．a －b ＝1 答案 C解析 a ＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋) ＝＝，b ＝f(lg)＝sin2(lg ＋)＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2lg 15＋π22＝，则可得a＋b＝1.5．已知sin＋sin α＝，则sin的值是( )A．－ B. C. D．－45答案D解析sin＋sin α＝435⇒sin cosα＋cossinα＋sin α＝435⇒sin α＋cosα＝⇒sin α＋cosα＝，故sin＝sin αcos＋cosαsin7π6＝－＝－.6．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( )A. B. C．4 D．12答案C解析由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17，∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，∴tan(α－β)＝＝4.7．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．答案3解析∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝＝＝，解得tan β＝3.8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.答案－255解析f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cosφ＝，当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sin φ＝－.9．已知α∈，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0，则＝________.答案268解析∵α∈，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0，∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cosα)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sin α＝，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝＝.10．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcosα－cos2α的值是________．答案－1解析∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2.又∵2sin αcosα－cos2α＝＝，∴原式＝＝－1.11．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解(1)tan＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝＝＝－3.2019年(2)sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin2α＋sin αcos α－2cos2α－1－1 ＝2sin αcos αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝＝＝1.12．已知函数f(x)＝cos2x ＋sin xcosx ，x∈R.(1)求f 的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f.解 (1)f ＝cos2＋sin cos π6＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x ＋sin xcosx＝＋sin 2x＝＋(sin 2x ＋cos 2x)＝＋sin ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24 ＝＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝＋.又因为sin α＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f ＝＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝.。

数学高考一轮复习数学思想方法专题练习(含解析)

数学高考一轮复习数学思想方法专题练习（含解析）数学思想是指理想世界的空间方式和数量关系反映到人们的看法之中，经过思想活动而发生的结果，以下是数学思想方法专题练习，请考生细心练习。

一、选择题1.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，那么实数m等于()A.或-B.-或3C.-3或D.-3或3解析圆的方程(x-1)2+y2=3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径=+m|=2=或m=-3.答案 C2.函数f(x)满足下面关系：①f (x+1)=f (x-1);②当x[-1，1]时，f (x)=x2，那么方程f (x)=lg x解的个数是()A.5B.7C.9D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)=lg x，那么x(0，10]，画出两函数图象，那么交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案 C3.函数f(x)的定义域为R，f (-1)=2，对恣意xR，f(x)2，那么f (x)2x+4的解集为()A.(-1，1)B.(-1，+)C.(-，-1)D.(-，+)解析 f(x)2转化为f(x)-20，结构函数F(x)=f (x)-2x，得F(x)在R上是增函数.又F(-1)=f (-1)-2(-1)=4，f (x)2x+4，即F(x)4=F(-1)，所以x-1.答案 B4.(2021陕西卷)某企业消费甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，消费1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限1吨甲、乙产品可获利润区分为3万元、4万元，那么该企业每天可取得最大利润为()甲乙原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析设甲、乙的产量区分为x吨，y吨，每天可取得利润为8万元，由可得目的函数z=3x+4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影局部所示：可得目的函数在点A处取到最大值.由得A(2，3).那么zmax=32+43=18(万元).答案 D二、填空题5.(2021福建卷)假定a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p+q的值等于________.解析由题意知，a+b=p，ab=q，∵p0，q0，a0，b0，在a，b，-2这三个数的6种排序中，成等差数列的状况有a，b2;b，a，-2;-2，a，b;-2，b，a;成等比数列的状况有a，-2，b;b，-2，a.∵或解得或p=5，q=4，故p+q=9.答案 96.假定不等式|x-2a|x+a-1对xR恒成立，那么a的取值范围是________.解析作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图，依题意知应有2a2-2a，故a.答案7.经过P(0，-1)作直线l，假定直线l与衔接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点，那么直线l的斜率k和倾斜角的取值范围区分为________，________.解析如下图，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，kPAkPB，而kPB0，kPA0，又kPA==-1，kPB==1，-11.又当01时，0当-10时，.故倾斜角的取值范围为.答案 [-1，1]8.(2021江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.假定点P到直x-y+1=0的距离大于c恒成立，那么实数c的最大值为________.解析双曲线x2-y2=1的渐近线为xy=0，直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行，故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.答案三、解答题9.数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通项an;(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解 (1)设{an}的公差为d，由条件，解出a1=3，d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.所以n=2时，Sn取到最大值4.10.(2021安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(a0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM=，从而=.进而a=b，c==2b，故e==.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得=，又=(-a，b)，从而有=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)的计算结果可知a2=5b2，所以=0，故MNAB.11.设函数f (x)=ax3-3ax，g(x)=bx2-ln x(a，bR)，它们在x=1处的切线相互平行.(1)求b的值;(2)假定函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解，务实数a解函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0，+)，(1)f(x)=3ax2-3a(1)=0，g(x)=2bx-(1)=2b-1，依题意得2b-1=0，所以b=.(2)x(0，1)时，g(x)=x-0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x(1，+)时，g(x)=x-0，即g(x1，+)上单调递增，所以当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=;当a=0时，方程F(x)=a2不能够有四个解;当a0，x(-，-1)时，f(x)0，即f(x)在(-，-1)上单调递减，x(-1，0)时，f(x)0，即f(x)在(-1，0)上单调递增，所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=2a，又f(0)=0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)=a2不可当a0，x(-，-1)时，f(x)0，即f(x)在(-，-1)上单调递增，x(-1，0)时，f(x)0，即f(x)在(-1，0)上单调递减，所以当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0，所以F(x)的图象如图(2)所求，从图(2)看出，假定方程F(x)=a2有四个解，那么所以，a的取值范围是.数学思想方法专题练习及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望对考生温习数学有协助。

2017版考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇课件专题9数学思想第37练

后期修订换题，学生用书已换；
教师用书因已印刷，没有更换
√
C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值
解析
1
2
3
3.(2015· 重庆 ) 若函数 f(x) ＝ |x ＋ 1| ＋ 2|x － a| 的最小值为 5 ，则实数 a ＝ 4或－6 ________. 解析由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当a>－1时，
的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结
合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运
算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围. 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.
7. 设 f(x) ＝ |lg(x － 1)| ，若 0<a2 ab(由于 a<b)，所以 ab>4.
)
A.(－∞，＋∞) 解析因为2x>0，
1 所以由 2 (x－a)<1 得 x－a<2x＝2－x，在直角坐标系中，作出函数 f(x) ＝ x － a ， g(x) ＝ 2 － x

考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题9数学思想第39练含解析

第39练转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．体验高考1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．(2016·课标全国丙)已知4213532425＝，＝，＝，a b c 则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析因为424355242＝，＝＝，a b 由函数y ＝2x 在R 上为增函数知b <a ；又因为4212333324255＝＝，＝＝，a c 由函数23＝y x 在(0，＋∞)上为增函数知a <c .综上得b <a <c .故选A.3．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.高考必会题型题型一正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二函数、方程、不等式之间的转化例2 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718…)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x －1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n (n ∈N *)时，则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)．点评解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练2 (2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )的零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －ax(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为e 2x 单调递增，－ax单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足00时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于0202e 0－＝，xa x 所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .题型三主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________．答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*)(*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．题型四以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，请说明理由．解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ，则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013<2(舍去)；当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，则t ＝a2时函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)；当a2<0，即a <0时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减，∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125>0(舍去)，综上所述，存在实数a ＝32，使得函数在闭区间[0，π2]上有最大值1.点评换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－8]解析设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518]B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32(x ＋1x )在[1,4]上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在[1,4]上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.2．已知函数f (x )＝12log x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝12log x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，1122log log ＝－，m n ∴∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a答案 C解析抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F (0，14a )，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q＝4a .4．已知函数f (x )＝(e 2x ＋1＋1)(ax ＋3a －1)，若存在x ∈(0，＋∞)，使得不等式f (x )<1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，e ＋23(e ＋1))B ．(0，2e ＋1)C ．(－∞，e ＋23(e ＋1))D ．(－∞，1e ＋1)答案 C解析因为x ∈(0，＋∞)，所以2x ＋1>1，则e 2x ＋1＋1>e ＋1，要使f (x )<1，则ax ＋3a －1<1e ＋1，可转化为：存在x ∈(0，＋∞)使得a <e ＋2e ＋1·1x ＋3成立．设g (x )＝e ＋2e ＋1·1x ＋3，则a <g (x )max ，因为x >0，则x ＋3>3，从而1x ＋3<13，所以g (x )<e ＋23(e ＋1)，即a <e ＋23(e ＋1)，选C.5．已知f (x )＝33x ＋3，则f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝________.答案 2 016解析 f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1， ∴f (0)＋f (1)＝1，f (－2 015)＋f (2 016)＝1，∴f (－2 015)＋f (－2 014)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝2 016.6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，求实数p 的取值范围是________．答案 (－3，32)解析如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为(－3，32)．7．对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围是________________．答案 (7－12，3＋12) 解析对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m <0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立．设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0，解得7－12<x <3＋12，即实数x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 8．已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：点P 为所在线段的中点，点Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2. 所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.9．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.即x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n>0. (1)证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f (x 2－1)＋f (3－3x )<0；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对任意x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)任取－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2(x 1－x 2)． ∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1＋(－x 2)≠0，由已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)因为f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且在[－1,1]上是增函数，不等式化为f (x 2－1)<f (3x －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1<3x －3，－1≤x 2－1≤1，－1≤3x －3≤1，解得x ∈(1，43]． (3)由(1)知，f (x )在[－1,1]上是增函数，所以f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对任意x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，只要t 2－2at ＋1≥1⇒t 2－2at ≥0，设g (a )＝t 2－2at ，对任意a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)＝t 2＋2t ≥0，g (1)＝t 2－2t ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0或t ≤－2，t ≥2或t ≤0，所以t ≥2或t ≤－2或t ＝0.11．已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝－|2x ＋m |，a ，m ∈R ，若关于x 的不等式g (x )≥－1的整数解有且仅有一解－2.(1)求整数m 的值；(2)若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围．解 (1)由g (x )≥－1，即－|2x ＋m |≥－1，|2x ＋m |≤1，得－m －12≤x ≤－m ＋12. ∵不等式的整数解为－2，∴－m －12≤－2≤－m ＋12，解得3≤m ≤5. 又∵ 不等式仅有一个整数解－2，∴m ＝4.(2)函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的上方，故f (x )－12g (x )>0对任意x ∈R 恒成立， ∴a <2|x －1|＋|x ＋2|对任意x ∈R 恒成立．设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－2，4－x ，－2<x ≤1，3x ，x >1，则h (x )在区间(－∞，1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，h (x )取得最小值3，故a <3，∴实数a 的取值范围是(－∞，3)．合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

2017版高考数学江苏(文)考前三个月配套文档专题9 数学思想第3讲含答案

第3讲分类讨论思想［思想方法解读］分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：（1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．（2）由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求,指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域,等比数列{a n}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5）由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论,分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．（2015·山东改编)设函数f（x）＝错误!则满足f（f（a))＝2f(a)的a 的取值范围是________．答案错误!解析由f(f（a)）＝2f（a）得，f(a)≥1.当a〈1时,有3a－1≥1，∴a≥错误!，∴错误!≤a<1.当a≥1时，有2a≥1,∴a≥0，∴a≥1。

综上，a≥错误!.2．（2015·天津)已知椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为错误!，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝错误!截得的线段的长为c，FM＝错误!。

高考数学考前必看系列材料之二思想方法篇试题

2021年高考数学考前必看系列材料之二思想方法篇一、中学数学重要数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或者未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些互相制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的互相制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：〔1〕根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；〔2〕根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；〔3〕方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或者〔方程组〕，通过解方程〔或者方程组〕求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着亲密联络的数学概念，它们之间互相浸透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决〔以形助数〕；或者者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决〔以数助形〕，这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的标准性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。

2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学〞。

这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。

因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精华和灵魂。

3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。

4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。

考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题10 数学方法第41练 Word版含解析

第41练整体策略与换元法[题型分析·高考展望]整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径．换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．高考必会题型题型一整体策略例1(1)计算(1－12－13－14－…－12014)×(12＋13＋14＋15＋…＋12015)－(1－12－13－14－15－…－12014－12015)×(12＋13＋14＋…＋12014)； (2)解方程(x 2＋5x ＋1)(x 2＋5x ＋7)＝7. 解(1)设12＋13＋14＋…＋12014＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋12015)－(1－t －12015)t ＝t ＋12015－t 2－12015t －t ＋t 2＋12015t＝12015. (2)设x 2＋5x ＝t ，则原方程化为(t ＋1)(t ＋7)＝7， ∴t 2＋8t ＝0，解得t ＝0或t ＝－8，当t ＝0时，x 2＋5x ＝0，x (x ＋5)＝0，x 1＝0，x 2＝－5；当t ＝－8时，x 2＋5x ＝－8，x 2＋5x ＋8＝0， Δ＝b 2－4ac ＝25－4×1×8<0，此时方程无解；即原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.点评整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．变式训练1计算：(1－12－13－14)×(12＋13＋14＋15)－(1－12－13－14－15)×(12＋13＋14)．解令12＋13＋14＝t ，则原式＝(1－t )(t ＋15)－(1－t －15)t＝t ＋15－t 2－15t －45t ＋t 2＝15. 题型二换元法例2(1)已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是________________．(2)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA →·OP →＝48，则点P 的横坐标的最大值为________．答案(1)(－∞，2＋22)(2)10解析(1)令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋22，即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)． (2)当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k >0，设OA ：y ＝kx ，k >0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x ＝159＋25k2，又OA →·OP →＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝1659＋25k 21＋k 2＝1659＋25k 2(1＋k 2)2，令9＋25k 2＝t >9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t (t ＋1625)2＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80×164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10. (3)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)．①当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；②证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；③证明(1＋124)(1＋134)…(1＋1n 4)<e(n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．①解当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2)＝0，x ＝2或x ＝12.f (x )和f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘↗f (x )极大值＝f (12)＝25－ln 54，f (x )极小值＝f (2)＝85－ln5.②证明令g (x )＝x －ln(1＋x 2)，则g ′(x )＝1－2x1＋x2≥0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .③证明由②知，ln(1＋x 2)<x ，令x 2＝1n 4得，ln(1＋1n 4)<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ，∴ln(1＋124)＋ln(1＋134)＋…＋ln(1＋1n 4)<1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1，∴(1＋124)(1＋134)…(1＋1n4)<e.点评换元法是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，使问题得到简化，变得容易处理，换元法的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是通过换元变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．主要考查运用换元法处理以函数、三角函数、不等式、数列、解析几何为背景的最值、值域或范围问题，通过换元法把不熟悉、不规范、复杂的典型问题转化为熟悉、规范、简单的典型问题，起到化隐形为显性、化繁为简、化难为易的作用，以优化解题过程．变式训练2(1)已知函数f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为________．答案2＋2 2解析f (x )＝1x －1＋2(x －1)＋2，令x －1＝t ，则f (t )＝1t ＋2t ＋2(t >0)，∴f (t )≥21t×2t ＋2＝2＋2 2. 当且仅当1t＝2t 时等号成立，故f (x )的最小值为2＋22，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝22＋1时等号成立． (2)已知在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. ①求S n 的表达式；②设b n ＝S n 2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n <12.①解∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，(*) 由题意得S n －1·S n ≠0，(*)式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. ②证明∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1<12， ∴T n <12.高考题型精练1．已知长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()A ．23B.14C ．5D ．6 答案C解析设长方体长，宽，高分别为x ，y ，z ，由已知“长方体的表面积为11，其12条棱的长度之和为24”，得⎩⎪⎨⎪⎧2(xy ＋yz ＋xz )＝11，4(x ＋y ＋z )＝24，长方体所求对角线长为 x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2(xy ＋yz ＋xz )＝62－11＝5，故选C.2．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是________．答案 3解析设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈(0°，180°)，∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α ＝3cos(α－β)，故最大值为 3.3．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为________．答案－8解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ(θ∈[0，π2])，则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)(φ∈(0，π2)，cos φ＝35，sin φ＝45)，因为θ∈[0，π2]，所以θ－φ∈[－φ，π2－φ]，所以当θ＝0时，函数取得最小值 10sin(－φ)＝10×(－45)＝－8.4．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝______，b ＝________.答案1836解析令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0，其解集为(2，b )，故⎩⎨⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a，解得a ＝18，b ＝36.5．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a 的个数为________．答案8解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．6．设f (x 2＋1)＝log a (4－x 4)(a >1)，则f (x )的值域是________．答案(－∞，log a 4] 解析设x 2＋1＝t (t ≥1)， ∴f (t )＝log a [－(t －1)2＋4]， ∴值域为(－∞，log a 4]．7．已知m ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －1)，x >1，g (x )＝x 2－2x ＋2m －1，若函数y ＝f (g (x ))－m有6个零点，则实数m 的取值范围是______________．答案(0，35)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2(x －1)，x >1的图象如图所示，令g (x )＝t ，y ＝f (t )与y ＝m 的图象最多有3个交点，当有3个交点时，0<m <3，从左到右交点的横坐标依次t 1<t 2<t 3，由于函数有6个零点，t ＝x 2－2x ＋2m －1，则每一个t 的值对应2个x 的值，则t 的值不能为最小值，函数t ＝x 2－2x ＋2m －1的对称轴为x ＝1，则最小值1－2＋2m －1＝2m －2，由图可知，2t 1＋1＝－m ，则t 1＝－m －12，由于t 1是交点横坐标中最小的，满足－m －12>2m －2，①又0<m <3，② 联立①②得0<m <35.8．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值解方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0变形为(x －2)2＋y 2＝3，表示的图形是圆． (1)设x －2＝3cos θ，则y ＝3sin θ，故x ＝2＋3cos θ， y ＝3sin θ，则y －x ＝3sin θ－3cos θ－2 ＝6sin(θ－π4)－2，∴当θ－π4＝2k π－π2(k ∈Z )时，y －x 有最小值－6－2，当θ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y －x 有最大值6－2.(2)由(1)知x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2 ＝7＋43cos θ.∴当θ＝2k π(k ∈Z )时，x 2＋y 2有最大值7＋43，当θ＝2k π＋π(k ∈Z )时， x 2＋y 2有最小值7－4 3.9．平面内动点P 与两定点A (－2,0)，B (2,0)连线的斜率之积等于－14，若点P 的轨迹为曲线E ，直线l 过点Q (－65，0)交曲线E 于M ，N 两点．(1)求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； (2)若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值．解(1)设动点P 坐标为(x ，y )，当x ≠±2时，由条件得：y x －2·y x ＋2＝－14，化简得x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)，由题意可设直线l 的方程为x ＝ky －65，联立方程组可得⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，化简得(k 2＋4)y 2－125ky －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－6425(k 2＋4)，y 1＋y 2＝12k5(k 2＋4). 又A (－2,0)，则AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，所以∠MAN ＝90°，所以∠MAN 的大小为定值． (2)S ＝12|AB |·|y 1－y 2|＝12·|2＋2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 5(k 2＋4)2＋4×6425(k 2＋4) ＝8525k 2＋64(k 2＋4)2，令k 2＋4＝t (t ≥4)， ∴k 2＝t －4，∴S ＝8525t －36t 2.设f (t )＝25t －36t 2， ∴f ′(t )＝25t 2－2t (25t －36)t 4＝－25t ＋72t 3， ∵t ≥4，∴f ′(t )<0，∴y ＝f (t )在[4，＋∞)上单调递减．∴f (t )≤f (4)＝100－3616＝4，由t ＝4，得k ＝0，此时S 有最大值165.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第37练数形结合思想[思想方法解读]数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的．体验高考1．(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}答案 C解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．2．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值答案 C解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )有最小值－1，无最大值．3．(2015·重庆)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 答案 4或－6 解析由于f (x )＝|x ＋1| ＋2|x －a |，当a >－1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1 (x <－1)，－x ＋2a ＋1(－1≤x ≤a )，3x －2a ＋1(x >a ).作出f (x )的大致图象如图所示，由函数f (x )的图象可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4. 同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.高考必会题型题型一数形结合在方程根的个数中的应用例1 方程sin πx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sin πx 和y 2＝x4的图象，如下图：观察图象可知y 1＝sin πx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sin πx ＝x4有7个解．点评利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．变式训练1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1－kx 2，x ≤0，ln x ，x >0有且只有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－4，0) B ．(－∞，0] C ．(－4，0] D ．(－∞，0)答案 B解析当x >0时，f (x )＝ln x 与x 轴有一个交点，即f (x )有一个零点．依题意，显然当x ≤0时，f (x )＝x x －1－kx 2也有一个零点，即方程xx －1－kx 2＝0只能有一个解．令h (x )＝xx －1，g (x )＝kx 2，则两函数图象在x ≤0时只能有一个交点．若k >0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时有两个交点，即点A 与原点O (如图所示)．显然k >0不符合题意．若k <0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时只有一个交点，即原点O (如图所示)．若k ＝0，显然函数h (x )＝xx －1与g (x )＝kx 2在x ≤0时只有一个交点，即原点O .综上，所求实数k 的取值范围是(－∞，0]．故选B. 题型二利用数形结合解决不等式函数问题例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则实数k的取值范围是________．答案 (0，1)解析当x ≥2时，f (x )＝2x ，此时f (x )在[2，＋∞)上单调递减，且0<f (x )≤1.当x <2时，f (x )＝(x －1)3，此时f (x )过点(1，0)，(0，－1)，且在(－∞，2)上单调递增．当x →2时，f (x )→1.如图所示作出函数y＝f(x)的图象，由图可得f(x)在(－∞，2)上单调递增且f(x)<1，f(x)在[2，＋∞)上单调递减且0<f(x)≤1，故当且仅当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，即实数k的取值范围是(0，1)．点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．变式训练2若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)答案 D解析因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<12x＝2－x，在直角坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，g(x)＝2－x在x>0时的图象，如图．当x>0时，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，则有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以选D.题型三利用数形结合求最值例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1 B．2C. 2D.2 2答案 C解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c . 由题意知CA →⊥CB →， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2. 点评利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．第二步：转化为几何问题．第三步：解决几何问题．第四步：回归代数问题．第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．变式训练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.高考题型精练1．若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．(－3，3) C ．[－33，33] D ．(－33，33) 答案 C解析设直线方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，即d ＝|2k －4k |k 2＋1≤1，得4k 2≤k 2＋1，k 2≤13.所以－33≤k ≤33.2．已知f (x )＝|x ·e x |，又g (x )＝f 2(x )＋t ·f (x )(t ∈R )，若满足g (x )＝－1的x 有四个，则t 的取值范围为( ) A ．(e 2＋1e ，＋∞)B ．(－∞，－e 2＋1e )C ．(－e 2＋1e ，－2)D ．(2，e 2＋1e )答案 B解析依题意g (x )＝f 2(x )＋t ·f (x )＝－1，即t ＝－1－f 2(x )f (x )＝－[f (x )＋1f (x )]≤－2，可排除A ，C ，D.也可以画出函数－[f (x )＋1f (x )]图象如下图所示，要有四个交点，则选B.3．已知函数f (x )满足下列关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．10 答案 C解析由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(34，2) C ．[34，2) D ．(34，2]答案 B解析作出f (x )在区间(－2，6]上的图象，可知log a (2＋2)<3，log a (6＋2)>3⇒34<a <2，选B.5．若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( ) A ．[－1，1)B ．k ＝±2C ．[－1，1]D ．k ＝2或k ∈[－1，1)答案 D解析令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 22＝1(y ≥0)．作出图象如图，在y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.6．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，则a 的取值范围是__________．答案 (0，4)解析 ∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解．令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－(x －2)2， 0≤x ≤4，(x －2)2－4， x <0或x >4. 作出g (x )的图象，如图，由图象可以看出，当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0，4)．7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a 2ab (由于a 4. 8．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0，1)∪(1，4)解析根据绝对值的意义， y ＝|x2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1). 在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．9．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB |的最大值为______．答案33解析如图，连接AF 、BF ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MM 1|＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b . 由余弦定理得，|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab . 配方得，|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，又∵ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，∴|AB |≥32(a ＋b )． ∴|MM 1||AB |≤12(a ＋b )32(a ＋b )＝33，即|MM 1||AB |的最大值为33.10．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，12＝y x，y＝(x－1)2，y＝x3中有三个是增函数；②若log m3<log n3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称；④若函数f(x)＝3x－2x－3，则方程f(x)＝0有两个实数根，其中正确的命题是______．答案②③④解析对于①，在区间(0，＋∞)上，只有12,＝y x y＝x3是增函数，所以①错误．对于②，由log m3<log n3<0，可得1log3m<1log3n<0，即log3n<log3m<0，所以0<n<m<1，所以②正确．易知③正确．对于④，方程f(x)＝0即为3x－2x－3＝0，变形得3x＝2x＋3，令y1＝3x，y2＝2x＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．。