积分变换1.
积分变换第1讲傅里叶(Fourier)级数展开
-
fT (t )e
j nw t
dt
因此可以合写成一个式子 cn
T
1
T 2 T 2
-
fT (t )e
- jwn t
dt ( n 0, 1, 2,)
fT (t )
ce
n n -
jwn t
2 jwnt - jwn d e -T fT ( )e T n - 2 1
前面计算出
cn 1 2 Sa (wn ) ( n 0, 1, 2,) 2p T np 2 , 可将cn以竖线标在频率图上
wn nw n
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构 造一周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
f (t 8n),
n -
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
且令c0 cn c- n a0 2 , n 1,2,3, , n 1,2,3, ,
an - jbn 2 an jbn 2
f T (t ) c0 cn e
n 1
jw n t
c- n e
- jw n t
积分变换
第1讲
拉普拉斯变换 (1)
傅里叶变换的概念
1．傅里叶级数 定理8.1 设 fT (t ) 是以 T 为周期的实函数,且在
T T 2 , 2 T T 2 , 2
上满足狄氏条件，即在一个周期
上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点.
则在连续点处有
a0 f T (t ) (an cos nw0 t bn sin nw0 t ) 2 n1
3.微分性质
(1)导函数的像函数
设 L( f (t )) F ( s), 则有 L( f (t )) sF ( s) f (0)
'
对于高阶导数有
L( f (t )) s F ( s) s
( n) n
n1
f (0) s
n 2
f (0)
( n1)
'
f
(0)
此性质可用来求解微分方程组的初值问题
2 2
4.积分性质 (1)积分的像函数
设L( f (t )) F ( s)，则有
L(
t 0
1 f ( t )dt) F ( s ) s
一般地, 有
L( dt dt
0 0 t t t 0
1 f ( t )dt) n F ( s ) s
(2)像函数的积分
设L( f (t )) F ( s)，则有
sint st 0 t e dt arc cot s sint 如果令 s 0，则有 0 dt t 2
例题启示：
在拉 普拉斯 变换 及其一 些性 质中取 为某 些 特定 值，可以 用来求 些函 一 数的广 义积 分.
0
积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
积分变换与场论
积分变换与场论
积分变换与场论是物理学和工程学中使用的数学工具，它们在描述和分析物理现象和工程问题时发挥着重要作用。
积分变换是一种将一个函数或分布转换为另一个函数或分布的数学操作。
在物理学和工程学中，积分变换被广泛应用于求解各种偏微分方程和积分方程。
常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换等。
这些变换可以用于求解具有复杂边界条件或初始条件的偏微分方程，以及解决涉及时间或空间分布的问题。
场论是研究场的性质和行为的物理学分支。
在物理学中，场是一种物理量在空间中的分布，可以是标量场、矢量场或张量场。
场论用于描述场的产生、传播和相互作用。
在量子力学和相对论中，场论扮演着重要的角色。
量子场论是量子力学与场论的结合，它提供了描述微观粒子相互作用的理论框架。
相对论场论是描述相对论效应的场论，它为研究相对论现象提供了重要的数学工具。
积分变换与场论在许多物理学和工程学领域中都有应用。
例如，在电磁学中，积分变换被用于分析电磁场的分布和传播。
在流体力学中，场论被用于描述流体速度场、压力场和温度场的分布和变化。
在固体物理学中，积分变换和场论被用于描述电子和声子的行为以及材料的电磁和热性质。
总之，积分变换与场论是物理学和工程学中重要的数学工具，它们为解决各种问题提供了有效的数学手段。
积分变换公式
拉普拉斯变换
逆变换 反演积分公式
f(t)
=
ℒ−1[F(s)]
=
1 2πj
β+j∞
∫ F(s)estds
β−j∞
(t > 0)
周期函数的拉普拉斯变换：f(t)在[0, +∞)内是以 T 为周期的函数
F(s)
=
1
1 − e−sT
T
∫ f(t)e−stdt
0
拉普拉斯变换性质
1.线性性质 ℒ[αf(t) + βg(t)] = αF(s) + βG(s);
位移性质
ℱ[f(t − t0)] = e−jωt0f̂(ω) ℱ−1[f̂(ω − a)] = ejatf(t)
相似性质
ℱ[f(at)]
=
1 |a|
f̂
ω (a)
微分性质
ℱ[f’(t)] = jωf̂(ω) ℱ[f (n)(t)] = (jω)nf̂(ω)
ℱ[−jtf(t)]
=
d dω
f̂(ω)
(−j)n
H(t)
↔
1 jω
+
πδ(ω)
ℱ[ejat] = 2πδ(ω − a) ℱ[cosat] = π[δ(ω + a) + δ(ω − a)] ℱ[sinat] = πj[δ(ω + a) − δ(ω − a)]
sgnt
=
{−11, ,
t>0 t<0
2/6
sgnt = 2H(t) − 1
ℱ[sgnt]
n
∑
k=1
Res[F(s)est,
sk]
5/6
常见拉氏变换：
ℒ[H(t)]
第六章积分变换法1nx
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
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复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
页 退出
复变函数与积分变换
所以 类似可得
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数理方法-第一章-积分变换
2.1. 傅立叶级数
39
我们再来看这组三角函数族
cos kπx kπx , sin , k = 0, 1, 2, · · · , ∞, l l (2.8)
它们其实构成了周期为2l的函数所构成的函数空间上的一组正交完备的基底。它们的正交性 前面已经看到。对于其完备性，数学上有严格的证明，我们这里限于篇幅将不对此进行严格 的论述， 但我们不妨进行一个形象的讨论。 首先是函数的2l周期性： 为了将任一个2l周期函数 的周期性完全地反映出来，我们必须要求这个函数基底成员的周期长度包含所有的可能性， 即对于任意个整数k， 都能在这个函数基底中找到一个成员， 它的周期为2l/k；另一方面是函 数的奇偶性：任何一个函数都可分解为奇函数部分和偶函数部分，因此这个函数基底也必须 完整地体现出这个奇偶性。从这两点来看， （2.8）式中的三角函数族完整地体现了这两点， 它 包含了完整的2l周期性及函数的奇偶性， 因此， 从这个角度， 我们大致可以一种不太严格的方 式理解和明了这个三角函数基底的完备性。
−l
k=1
其中的展开系数分别为
1 a0 = 2l 1 ak = l 1 l ˆl f (x) sin
−l
1 f (x)dx 2l
ˆl Adx =
0
A , 2 kπx dx = 0, l
ˆl
−l
kπx 1 f (x) cos dx = l l kπx 1 dx = l l
∞
ˆl A cos
0
ˆl A sin
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
(2.10)
ck e
i kπx l
,
1 ck = 2l
ˆl
f (x) e−i
kπx l
工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)
再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解： 解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
复变函数与积分变换第1章函数与复变函数
04
幂级数与泰勒级数
幂级数展开
幂级数展开
将一个函数表示为幂级数的形式， 即$f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + cdots$，其中$z$是复数。
幂级数展开的收敛
域
幂级数展开的收敛域是指在这个 区域内，级数收敛并可以表示该 函数。收敛域的大小取决于函数 的性质和幂级数的系数。
03
复变函数的积分
复变函数的积分定义
实数范围内函数的积分
实数范围内函数的积分是数学分析中的基础概念，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来计算。
复数范围内函数的积分
复数范围内函数的积分是实数范围内函数的积分的扩展，需要考虑到复数范围内函数的解析性、奇偶性、周期性 等特点。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中一个重要 的公式，它给出了在单连通区域内解 析的函数f(z)的积分与边界上的值之间 的关系。
柯西积分公式的应用：柯西积分公式 可以用于求解一些复杂的积分问题， 例如计算某些函数的原函数、求解某 些微分方程等。
积分定理与路径无关性
积分定理
复变函数中的积分定理包括线积分定理和面积分定理，它们分别描述了函数在曲线和曲 面上的积分与边界上的值之间的关系。
路径无关性
在复变函数中，如果一个函数的积分与路径无关，则称该函数是某个变量的全纯函数或 解析函数。路径无关性是全纯函数的一个重要性质，它可以用于求解一些复杂的积分问
图像处理
在图像处理中，复变函数主要用于图像的频 域处理。通过快速傅里叶变换（FFT），可以 将图像从空间域转换到频域，实现图像滤波、
边缘检测、频域增强等操作。
在物理和工程中的应用
物理
在物理学中，复变函数被广泛应用于量子力学、电磁 学等领域。例如，在量子力学中，波函数通常被描述 为复数形式的函数。
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
复变函数与积分变换：1节
一般地,若 f (t为) 周期函数 f (t T ) f (t) (T 0)
则
L[
f
(t )]
1
1 esT
T f (t ) estdt
0
3、关于拉氏变换的积分下限问题
对于满足拉氏变换存在定理条件的函数 f (t) ,在 t 0附近有界时, f (0)取什么值与讨论 f (t)的拉氏变换 毫无关系。因为 f (t) 在一点上的值不会影响积分值。 此时下限取为 0或 0都可以。但是如果 f (t)在t 0包含 了脉冲函数，则必须区分积分区间是否包括 t 0 ，如 果包括，则记下限为 0 ，不包括时，下限记为 0。于 是得出不同的拉氏变换，记为
为此考虑积分 um eudu AB
A, B分别对应的复数为 re j , Re j 取如图所示路径C，则
umeudu 0 C
即 0 ED DB BA AE
L
B
A
u re j
E
u Re j
D
从而
AB
EA ED DB
umeudu r m e jm ere j rje j d
一个邻域，这样拉氏变换的定义变为
L-[ f (t)]
f (t ) es tdt
0
为书写方便仍写成
L[ f (t )] f (t ) es tdt 0
例6：求单位脉冲函数拉氏变换 L[ (t)]
解： L[ (t )] (t ) es tdt 0
= L-[ f (t)]
(t ) es tdt
f (t ) e( j )tdt f (t ) estdt
0
0
f (t) (t) u(t)
则有 F (s)
s j f (t ) estdt
复变函数与积分变换试题及答案1.
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++L L 的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 。
二、 判断正确与错误（画对错号，每题3分）1．因为|sin |1z ≤，所以在复平面上sin z 有界。
（ ） 2、若函数()z f 在0z 处解析，则)()(z f n 也在0z 解析。
（ ） 3．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。
（ ） 4．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成罗朗级数。
（ ）5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ）三、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰Ñ，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z ⎰Ñ，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(z z z z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
复变函数与积分变换第1章
（1）乘积与商的几何意义
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明
设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有|z|<R，则D是
有界区域；否则无界。
r2
(1) 圆环域: r1zz0r2;
r1z0
(2) 上半平面: Im z0;
y
(3) 角形域: arzg;
(4) 带形域: a Im z b .
o
x
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有的
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctayn
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
2
x2
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
由向量表示法知
y
(z)
z2z1 —点z1与z2之间的距离
由 此 得:
z1
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r 2 m gm z 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
复变函数和积分变换1
22
§1.2.5 复数的乘方与开方
zrco issin
乘方
z n r c o i ss i n n r n cn o i ss n i n
r=1 co is sin n cn o is sn in
德摩弗（De )公式
§1.2.5 复数的乘方与开方
z1 z2
z1 z2
,Argzz1 2Ar1gA z r2gz
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
§1.2.4 用复数的三角表示作乘除法
例1.5 用三角表示计算 1 3 i3 i
解： 1 3i2cosisin
3 3
3i2 co s6 5 isi n6 5
1 3 i3 i 4 c o 2 s is i n 2 4 i
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
复数 zxiy
实部
虚数单位 i2=-1
虚部
Rze x,Im zy z 2i Rez 2,Imz1
§1.1 复数
§1.1.1 复数的基本概念
纯虚数 iy
复数相等
共轭复数
zxiy z x iy
z z
§1.1 复数
§1.1.2 复数的四则运算
z1x1iy1 z2x2iy2
写成复数形式为：
z z 1 z 2 x 1 t 0 t 1
§1.3.3 平面曲线
§1.3.3 平面曲线
若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们都以
该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个 是无界区域，称为外部。
设D是一区域，如果对D内的任一简单闭曲线，曲线的内部总属于D， 则称D是单连通区域，不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域。
积分变换第一章1-2节
0
e
- t - jw t
e
dt
1 - jw 2 2 jw w
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
0
e
- ( jw ) t
dt
根据(1.9)式, 有
-1
1 jw t f (t ) =ℱ F (w) F ( w ) e dw 2p - 1 - jw jw t e dw 2 2 2p - w
1 f (t ) 2p
-
f ( )e- jw d e jw t d w (1.7) -
设 F (w ) 则
-
f ( t )e
-
- jw t
dt
jw t
(1.8) (1.9)
1 f (t ) 2p
F (w )e d w
(1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.9)式为F(w)的 Fourier逆变换式, f(t)与F(w)可相互转换,可记为 F(w)= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F(w)]
a0 an - jbn jnwt an jbn - jnwt ( e e ) 2 n1 2 2 T a0 1 2 c0 T fT (t )dt 2 T -2
T 2 T 2 T 2 T 2
an - jbn 1 cn [ fT (t ) cos nwtdt - j fT (t ) sin nwtdt] 2 T T 1 T 1 2T fT (t )[cosnwtdt - j sin nwt ]dt 2T fT (t )e - jnwt dt T -2 T -2
数理方程：第9讲积分变换法
L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
积分变换小结
积分变换小结积分变换是微积分中的一个重要概念，它具有广泛的应用和深远的影响。
积分变换可以理解为对函数进行一种变换，使得原函数转化为另一种函数形式，从而使问题的求解变得更加简单和方便。
首先，我们来看积分变换的定义。
积分变换，又称作拉普拉斯变换，是一种对函数进行积分操作的变换。
具体而言，对于一个定义在实数域上的函数f(t)，其拉普拉斯变换F(s)可表示为：F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中，s是变量，称为变换域；t是积分变换的自变量，称为原函数的自变量；e^(-st)是指数函数，起到权重的作用。
积分变换的主要特点是可以将时间域上的乘法运算转化为频率域上的加法运算，利用积分变换可以把微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
积分变换的求解过程可以通过拉普拉斯变换表来进行，表中记录了常见函数的积分变换和逆变换的结果。
利用表中的结果，我们可以很方便地对函数进行积分变换和逆变换。
积分变换的一些常见性质也是应用广泛的，例如线性性质、时移性质、频移性质、微分性质等。
这些性质可以用来简化函数的积分变换过程，使得求解问题更加高效。
积分变换在工程中有很多重要的应用。
例如，在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域上的连续信号转化为频域上的复数函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在控制系统中，拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而方便对系统的稳定性和响应性能进行分析。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以简化电路的求解过程，方便对电路的输入输出关系进行研究。
综上所述，积分变换是微积分中的一个重要工具，它可以将函数表示方式进行变换，从而方便对问题进行分析和求解。
积分变换具有广泛的应用领域，例如信号处理、控制系统、电路分析等。
熟练掌握积分变换的理论和应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
因此，学习和掌握积分变换是每个工科学生和工程师必备的基本技能。
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章节名称：第一章 Fourier 变换 学时安排：8学时教学要求：使学生了解Fourier 变换及其相关概念，会求函数的Fourier 变换、逆变换及其推导一些积分结果。
教学内容：Fourier 积分；Fourier 变换； Fourier 变换的性质；卷积与相关函数 教学重点：Fourier 变换及其性质 教学难点：Fourier 变换的计算与证明 教学手段：课堂讲授 教学过程： 引言1，积分变换： 所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变化。
一般是含有参变量α的积分⎰=ba dt t K t f F ),()()(αα其中),(b a 为积分域，),(αt K 为积分变换的核，上述变换的实质是把函数类A 中的函数)(t f 变成另一类函数B 中的)(αF 。
（1）当),(),(+∞-∞=b a ，dt et K tj ωω-=),(时，⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(为Fourier 变换；（2）),0(),(+∞=b a stes t K -=),(⎰+∞-=0)()(dt e t f s F st 为Laplace 变换。
)(t f 为象原函数；)(αF 为)(t f 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。
2，傅立叶其人：法国数学家、物理学家（1768-1830），主要贡献：傅立叶级数（三角级数）创始人。
1，1807年《热的传播》一文中推导出热传导方程，在解方程时发现解函数可以有由三角函数构成的级数表示，于是提出任一函数可以展开成三角级数的无穷级数；2，1822年，《热的分析》一文研究了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一。
傅立叶级数、傅立叶分析等理论也由此创始。
3，傅立叶变换对现代科学技术具有很重要的意义，它在通讯理论、自动控制、电子技术、射电天文、衍射物理等多种学科中有着广泛的应用。
在一定意义上可以说，傅立叶变换起着沟通不同学科领域的作用。
例如，把傅立叶变换引入光学，促进了通信理论与光学的结合，形成了作为近代光学重要分支的傅立叶光学与光学信息处理技术。
从而傅立叶变换成为近代科学技术的基本数学工具之一。
第一章 Fourier 变换§1、Fourier 积分1，Fourier 级数定理：一个以T 为周期的函数)(t f T ，如果在]2,2[TT -上满足Dirichlet 条件（即函数在]2,2[TT -上满足：（1）连续或者只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点），那么)(t f T 在]2,2[TT -上就可以展开成Fourier 级数。
注意：在)(t f T 的连续点处，级数的三角形式为∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω其中：⎰-==220)(2,2T T T dt t f T a T πω，⎰-=22cos )(2T T T n tdt n t f T a ω，⎰-=22sin )(2TT T n tdt n t f T b ω（n=1,2,3,…）2，转换：把Fourier 级数的三角形式转换为复指数形式。
(为了应用上的方便) 说明：电工学中通常用“j ”表示虚数单位根据Euler 公式，2cos ϕϕϕj j e e -+=，22sin ϕϕϕϕϕj j j j e e j j e e ----=-=， 于是∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω可以改写为 ∑∞=---+++=10)22(2)(n tjn t jn n t jn t jn n T je e b e e a a tf ωωωω∑∞=-++-+=10)22(2n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω 令⎰-==2200)(12TT T dt t f T a c ，]sin )(cos )([122222⎰⎰---=-=TT T TT T n n n tdt n t f j tdt n t f T jb a c ωω，⎰--=22]sin )[cos (1TT T dt t n j t n t f T ωω ⎰--=22)(1TT t jn T dt e t f T ω （n=1,2,3,…）2n n njb a c +=-⎰-=22)(1TT t jn T dt e t f T ω （n=1,2,3,…）上述两个式子可以合写为⎰--=22)(1TT t jn T n dt e t f T c ω （n=0，±1，±2，±3，…） 令ωωn n = （n=0，±1，±2，±3，…）则∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ωω可以改写为 ∑∞=-++-+=10)22(2)(n tjn n n t jn n n T e jb a e jb a a t f ωω∑∞-∞=+=n tj nn e c c ω这就是Fourier 级数的指数形式。
或者写为=)(t f T ∑⎰∞-∞=--n t j TT t jn T n e dt e t f T ωω])([1223，非周期函数的展开问题。
（1）任何一个非周期函数)(t f 都可以看成是由某个周期函数)(t f T 当+∞→T 时转化而来的：下面作周期为T 的函数)(t f T ，使其在)2,2[T T -之内等于)(t f ，而在)2,2[TT -之外按周期T 延拓到整个数轴上，很明显，T 越大，则)(t f T 与)(t f 相等的范围也越大，这表明当+∞→T 时，周期函数)(t f T 便可以转化为)(t f ，即：)(lim t f T T +∞→=)(t f（2）)(t f 的展开式：由（1）可知，在=)(t f T ∑⎰∞-∞=--n t j TT t jn T n e dt e t f T ωω])([122中令+∞→T 时，结果就可以看成是)(t f 的展开式，即)(t f =+∞→T lim ∑⎰∞-∞=--n t j TT t jn T n e dt e t f T ωω])([122（3）进一步分析：当n 取一切整数时，n ω所对应的点便均匀地分布在整个数轴上，若两个相邻点的距离以n ω∆表示，即nn n n T T ωππωωω∆==-=∆-2,21或 则当+∞→T 时，有0→∆n ω，所以)(t f =+∞→T lim ∑⎰∞-∞=--n t j TT t jn T n e dt e t f T ωω])([122又可以写为：)(t f =0lim→∆n ωn n t j T T t jn T n e dt e t f ωπωω∆∑⎰∞-∞=--])([2122在上面的式子中，当t 固定时，t j TT t jn T n e dt e t f ωωπ])([2122⎰--是参数n ω的函数，记为t j TT t jn T n T n e dt e t f ωωπω])([21)(22⎰--=Φ利用)(n T ωΦ可得)(t f =0lim→∆n ωn n n Tωω∆Φ∑∞-∞= )(很显然，当0→∆n ω时，即+∞→T 时，)()(n n T ωωΦ→Φ，这里=Φ)(n ωt j j n n e d e f ωτωττπ])([21⎰+∞∞-- 从而)(t f 可以看作是)(n ωΦ在),(∞-∞上的积分)(t f =n n d ωω)(Φ⎰+∞∞-即 )(t f =ωωd )(Φ⎰+∞∞-)(t f =ωττπωωτd e d e f t j j ])([21⎰⎰+∞∞--+∞∞-上述公式为函数)(t f 的Fourier 积分公式（复数形式）。
（比较“柯西积分公式”） 4，Fourier 积分定理：上面的Fourier 积分公式只是由)(t f =0lim→∆n ωnn t j T T t jn T n e dt e t f ωπωω∆∑⎰∞-∞=--])([2122的右端从形式上推出来的，是不严格的，非周期函数)(t f 在什么条件下，可以用 Fourier 积分公式来表示，有下面的收敛定理：（1）Fourier 积分定理：若)(t f 在),(∞-∞上满足下列条件：（1）)(t f 在任一有限区间上满足Dirichlet 条件；（2）)(t f 在无限区间),(∞-∞上绝对可积（即积分dt t f ⎰+∞∞-)(收敛），则有)(t f =ωττπωωτd e d e f t j j ])([21⎰⎰+∞∞--+∞∞-成立，而左端的)(t f 在它的间断点t 处，应以2)0()0(-++t f t f 来代替。
（证明略）（2）利用欧拉公式将复数形式转化为三角形式)(t f =ωττπωωτd e d e f t j j ])([21⎰⎰+∞∞--+∞∞- =ωττπτωd d e f t j ])([21)(⎰⎰+∞∞--+∞∞- =ωττωτττωτπd d t f j d t f ])(sin )()(cos )([21⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--+- 考虑积分ττωτd t f ⎰+∞∞--)(sin )(是ω的奇函数，就有0])(sin )([=-⎰⎰+∞∞-+∞∞-ωττωτd d t f从而)(t f =ωττωτπd d t f ])(cos )([21⎰⎰+∞∞-+∞∞--又考虑到积分ττωτd t f ⎰+∞∞--)(cos )(是ω的偶函数，就有)(t f =ωττωτπd d t f ])(cos )([1⎰⎰+∞∞-+∞-上式为)(t f 的Fourier 积分公式的三角形式。
（3）讨论：)(t f =ωττωτπd d t f ])(cos )([1⎰⎰+∞∞-+∞-即)(t f =ωτωτωωτωτπd d t t f ])sin sin cos )(cos ([1⎰⎰+∞∞-+∞+当)(t f 为奇函数；ωττcos )(f ，ωττsin )(f 分别为关于τ的奇函数和偶函数，)(t f =ωωτωττπtd d f sin ]sin )([2⎰⎰+∞+∞当)(t f 为偶函数；ωττcos )(f ，ωττsin )(f 分别为关于τ的偶函数和奇函数，)(t f =ωωτωττπtd d f cos ]cos )([2⎰⎰+∞+∞上述两式分别为Fourier 正弦积分公式和Fourier 余弦积分公式。
5，应用举例：例1求函数⎩⎨⎧≤=其它,01,1)(t t f 的Fourier 积分表达式。