山西怀仁高三上学期期中考试 数学(理) 含答案
山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试题[含答案]
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2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}28120,{14}A x x xB x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}3,4{}3∅2.已知，则的大小关系为（ ）121311log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.D.b a c <<b c a<<3.函数的图象大致为（ ）()2cos e e x xx xf x -+=-A.B.C.D.4.函数的一个零点所在的区间是（ ）()()1ln 2f x x x =-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,45.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，()f x R 0x ()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->则的取值范围为（ ）m A.B.C.D.(),0∞-()0,∞+(),1∞-()1,∞+6.已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实()2:log 12p x +<()22:210q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至()01,2t ha a T T T T h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟C.10分钟D.11分钟8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是()e x f x x ax a=-+1a >0x ()00f x <a （）A. B. C. D.(21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）A. B.()e xf x x =()ln f x x x=C.D.()e x f x x =-()cos 2f x x x=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）,m n 1m n +=A.的最小值是411m n +B.的最大值是22m n +12+的最大值是1211.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()ln f x x x a=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若有两个零点，则()f x 12,x x 122x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，其中是其导函数，则__________.()()421f x x f x '=--()f x '()()2222f f ='+-'13.若，则的最小值为__________.,,0a b ab ∈>R 442a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32log ,03,(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则的取值范围是__________.()()()()1234f x f x f x f x ===()()341233x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.()()232f x x a x b=--+（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；x ()0f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）已知命题：“”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}B xm x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m17.（本小题满分15分）已知函数（为实常数）.()321x f x a =-+a （1）若函数为奇函数，求的值；()f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.[]1,6x ∈()2x uf xu 18.（本小题满分17分）已知函数.()ln 1a f x x x =+-（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 12x x >12121x x a +>19.（本小题满分17分）已知函数.()33f x x x=-（1）求函数在区间上的值域；()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围.()y f x =()(),P m f m 24y x a =-a2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学参考答案､提示及评分细则1.B 因为，所以.{}{}28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}3,4A B ⋂=故选B.2.C 因为，所以.故选C.1213311log log 2,01,ln ln20,e 122a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有()()2cos e e x x x xf x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.4.B 因为，在上是连续函数，且，即在上()()1ln 2f x x x =-()0,∞+()2110f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，，所以，所以在上存在一()()11ln210,2ln402f f =-<=->()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又0x ()f x 1x =-()f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由()f x R ()f x R ()()f x f x -=-，可得，又因为在上单调递增，所以()()3370f m f m ++->()()373f m f m +>-()f x R ，解得.故选D.373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，()2log 12x +<13x -<<:13p x -<<由，得，所以，()22210x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣12a -<<7.C 根据题意得，则，所以()11111075258025,2211hh ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以，两边取常用对数得1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.2lg102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令，显然直线恒过点，()()e ,,1x g x x h x ax a a ==->()h x ax a=-()1,0A 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，，当时，，当时，，即()h x ax a =-()()1e xg x x =+'1x <-()0g x '<1x >-()0g x '>在上递减，在上递增，()g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，，1x =-()min 1()1e g x g =-=-0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦而，()()01h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为，0x >()1,0A ()e xg x x =(),e ,0t P t t t >则切线方程为，()()e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点，即有，整理得，而，()1,0A ()()e 1e 1t tt t t -=+-210t t --=0t >解得，因，()1,2t =()()1e 01g h =>=又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点在直线下方，()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得，()()()()23222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦9.ABC 对于选项D ，因为，所以在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；()sin 2f x x =--'()0f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.10.ACD 正实数满足，当且仅,m n ()11111,224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当时等号成立，故选项A 正确；12m n ==，故的最小值是，故选项B 错误；222()122mn m n ++= 22mn +12，故选项C正确；212m n =++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.1m n += 1212m n ==11.ACD 由可得，令，其中，()0f x =ln a x x =-()lng x x x=-0x >所以直线与曲线的图象有两个交点，y a =()y g x =在上单调递减，在上单调递增，()()111,x g x y g x x x -=-=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；1a >y a =()y g x =当时，函数与的图象有一个交点，选项B 错误；1a =y a =()y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式1122ln ,ln ,x xa x x a -=⎧⎨-=⎩1212ln ln x x x x -=-12121lnln x x x x -=-，则，选项C正确；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1<121x x <，则，选项D 正确.1212x x +<122x x +>12.0 因为，显然导函数为奇函数，所以.()()3412fx x f x'=--'()()22220f f -'+='13.4 因为，所以，0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=当且仅当，即时等号成立.331,a b ab ba ab ==221a b ==14.因为.()0,1()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，，即，且，3132log log x x -=3412431,4,82x x x x x x +===-334x <<所以.()()()()()()342343434333312333339815815x x x x x x x x x x x x x x --=--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.233815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为，x ()0f x <()2,3-可得关于的一元二次方程的两根为和3，x ()0f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩当时，，符合题意，1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；a 1,b 6-（2）二次函数的对称轴为，()y f x =322a x -=可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--⎥⎝⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 210x ax -+=可得，解得，22Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合；()2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；121m m ++ 0,m B =∅ B A②当时，可得，若满足⫋，必有（等号不可能同时成立），121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪+⎨⎪>⎩解得，102m <由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-⎥⎝⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，，()f x ()3322121x x xf x a a -⋅-=-=-++，解得()()33222302121xx x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221xx xu ⋅⋅-+ 令（因为，故，[]213,65xt +=∈[]1,6x ∈()()3133291222t u t t tt -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭由于函数在上单调递增，所以.()32922t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式在上恒成立时，.()2x uf x[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）的定义域为，()f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=-=当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x af x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，，0a >()20,x af x x a x -==='当时，，当时，.0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得，两式相减可得，，1212ln 10,ln 10a ax x x x +-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-要证，即证，12121x x a +>()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证，即证，1212122ln ln x x x x x x -+>-112122121ln x x xx x x -+>令，则，即证，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，()()1ln 121t g t t t t -=->+()22213410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 21t t t ->+19.解：（1），令，可得，可得函数的增区间为()233f x x =-'()0f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,∞∞--+可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，()f x []32,1,1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1,1-由，()()()3333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线在点处的切线方程为，整理为()y f x =P ()()()32333y m m m x m --=--()22332y m x m =--联立方程消去后整理为，()232332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()22343320x m x m a --+-=可得()()223Δ331620,m m a =---=整理为，43216932189a m m m -=--+令，有，()432932189g x x x x =--+()()()3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，()0g x '>103x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭由，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。
2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5B ．3C ．2D ．22．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 23．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2154．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．406．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．627．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i - 9．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)123n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题1. 已知集合M ，N ，若，，则( )A. B.C. D.2. 已知，，则p 的否定是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在数列中，则( )A. 36B. 15C. 55D. 664. 已知数列的前n 项和为，且满足，，则( )A. 0B.C. 1D.5. 已知数列满足，，则数列( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项6.已知数列是等差数列，且若是和的等差中项，则的最小值为( )A.B. C. D.7. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，与中至少有一个不小于M ，则记作▹，那么下列命题正确的是.( )A. 若▹，则数列各项均不小于MB. 若▹，▹，则▹C. 若▹，则D.若▹，则▹8. 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项( )A.B.C. D.9. 已知数列的通项公式为，则( )A.B.C. D.10. 已知等差数列的前n 项和为，公差为d ，则( )A.B.C.D.11. 已知函数，则下列叙述正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的图象关于对称D. 不存在单调递减区间12. 对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：则( )A. B. 数列为等比数列C. 数列不单调D.13. 已知锐角满足，则__________.14. 已知数列是等差数列，，，则__________.15.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前n项和为，则__________，__________.16. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计__________年初的存栏量首次超过8900头参考数据：，17. 已知数列满足，，设证明：数列为等比数列;设数列，记数列的前n项和为，请比较与1的大小.18.记数列的前n项和为，已知，求的通项公式；若，数列的前n项和为，，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值.19.在中，设角所对的边分别为，且满足求证：；求的最小值．20. 已知函数，当时，比较与2的大小；求证：，21. 记等差数列的前n项和为，公差为d，等比数列的公比为，已知，，求，的通项公式；将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.22. 已知函数求函数的极值;若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，集合的包含关系判断，交集运算，属于基础题.根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【解答】解：，，对于A，当集合时，M不是N的子集，故A错误；对于B，当集合时，N不是M的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判断，解分式不等式，属于基础题.求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【解答】解：由，解得或，所以p的否定为：，因为不是的子集，且是的子集，所以p的否定是q的必要不充分条件.故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题.利用递推公式，代入计算即可.【解答】解：由题意得，，则故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用分组法求和，属于基础题.由求解即可.【解答】解：故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于一般题.根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断.【解答】解：因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列，又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，等差中项，利用基本不等式求最值，属于中档题.易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或舍，又因为是和的等差中项，所以，则，则，所以，且m，，且，，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义▹，属于较难题．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故可得D正确．【解答】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，数列各项均不小于M不成立，故A不正确；B中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，M可以为，而各项均为3，则▹不成立，故B不正确；C 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，此时不正确，故C错误；D 中，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故▹，故D正确．故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定，等比数列的通项公式，函数与数列的综合应用问题，属于较难题.由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式，利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到【解答】解：函数的定义域为R，且，为偶函数，图象关于y轴对称，的零点关于y轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查求数列的项，求数列的前n项和，属于中档题.由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断.【解答】解：由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系，结合等差数列的性质，进而可得即可.【解答】解：由题意得：对于选项A：当时，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：由上可知，则，即C错误；对于选项D：因为，且，所以，即D正确.故选：11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用特殊值可判断AC，利用奇函数的定义可判断B，利用导数可判断【解答】解：因为，所以，，故A错误；令，则，所以是奇函数，故B正确；又，所以，所以的图象不关于对称，故C错误；因为，所以不存在单调递减区间，故D正确.故选12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等比数列的判定与证明，属于中档题.对于A，利用列举法即可判断；对于B，由3是质数，得与互质的数有个，可得，根据等比数列的定义判断即可；对于C，举特例判断不单调即可；对于D，由7为质数，可得与不互质的数共有个，结合对数运算即可求解.【解答】解：不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，，所以数列是以3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增，又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用同角三角函数基本关系化简求值，二倍角的正弦公式，属于基础题.利用同角三角函数基本关系及倍角公式计算即可.【解答】解：因为，所以，又为锐角，，所以，即，所以，所以故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.令，可得，，根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【解答】解：令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以故答案为：15.【答案】43【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【解答】解：由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第n圈的8n个点对应的8n项的和为0，即，设在第k圈，则，当时，，由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以故答案为：16.【答案】2036【解析】【分析】本题考查等比数列在实际生活中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，构造数列求出数列通项公式，由此能求出结果．【解答】解：由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，化简得，令将代入得，，得，故，即，故数列是以700为首项，为公比的等比数列，故，令，解得，两边取对数得，即因为，故，则，故预计2036年初存栏量超过8900头，故答案为：17.【答案】证明：数列满足，，则，由于，故，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.解：由得，所以，所以，，因为，所以【解析】本题考查了等比数列的判定和通项公式，裂项相消求和，属于中档题.根据题意可得，进而得，可证明结论；根据的结论求得，再根据裂项相消法可求得，即可求得结论.18.【答案】解：当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即，又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，符合，所以的通项公式为；由得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以，令，得，又，解得，当时，可得，此时数列单调递减，故数列中的最大项为第2项，即【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，等差数列的通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，属于中档题.当时，得，当时，利用，即可得到通项公式；由得，利用错位相减法求得，代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.19.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：，即由正弦定理得到，又，故，因为，所以，因为，所以所以由得，所以，，由，得，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；由得到，，得，再由基本不等式可得最值.20.【答案】解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，证明：由知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，【解析】本题考查利用函数导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．利用函数的导数求出的单调性，结合，即可得出结论．根据的结论，当时，，令，，有，利用累加以及对数的运算，证得结论．21.【答案】解：由，得，因为，所以，结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；由可知，当时，，又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项，将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组法求和，属于较难题.根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.22.【答案】解：由题意得：，，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，为，无极大值.由已知得，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则对任意恒成立，下证：对任意恒成立，令，则在上恒成立，且仅当时取"="所以在上单调递减，，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，即a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数解不等式，属于较难题．对函数求导，得到函数的单调性，即得到函数的极值;原不等式可化为对任意恒成立，令，利用函数单调递增求a的取值范围.。
山西省怀仁市2021届高三上学期期中考试数学(理)试卷
怀仁市2020－2021学年度上学期期中.高三教学质量调研测试 理科数学(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.下列集合中，表示方程组x y 3x y l+=⎧⎨-=⎩的解集的是A.{2，1}B.{x ＝2，y ＝1}C 、{(2，1)}D.{(1，2)} 2.若α，β∈(2π，π)，且sinα＝25，sin(α－β)＝－10，则sinβ＝A.72B.2C.12D.1103.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A.y ＝2x －2B.y ＝log 2xC.y ＝12(x 2－1)D.y ＝12log x 4.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP xOA yOB zOC =++(x ，y ，z ∈R)，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.函数f(x)＝sin(2x ＋3π)向右平移φ(0≤φ≤π)个单位后得到函数g(x)，若g(x)在(－6π，6π)上单调递增，则φ的取值范围是 A.[0，4π]B.[0，23π]C.[4π，23π]D.[12π，4π]6.在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝3absinC ，则△ABC 的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 7.若函数f(x)＝e|2x －m|，且f(2x －1)＝f(1－2x)，则f(ln3)＋f(－ln3)＝A.0B.12C.18D.9e＋9 e8.已知函数f(x)在(0，1)恒有f'(x)>2()f xx，其中f(x)为函数f(x)的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则下列正确的是A.cos2βf(sinα)<sin2αf(cosB)B.sin2βf(sinα)>sin2αf(sinβ)C.cos2βf(cosα)>c os2αf(cosB)D.sin2βf(cosα)<cos2αf(sin)，其中f"(x)为函数f(x)的导数，则9.已知函数f(x)＝()22x1sinxx1+++，其中f'(x)为函数f(x)的导数，则f(2020)＋f(－2020)＋f'(2019)－f'(－2019)＝A.0B.2C.2019D.202010.关于函数f(x)＝sinx＋cos|x|有下述四个结论：①f(x)的周期为2π；②f(x)在[0，54π]上单调递增；③函数y＝f(x)－1在[－π，π]上有3个零点；④函数f(x)。
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题及解析一、选择题1．已知集合{}2120x x x A =-->，{}x x m B =≥．若{}4x x A B => ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,3-B ．[]3,4-C ．()3,4-D ．(],4-∞ 【答案】B【解析】试题分析：集合{}34x x x A =<->或， {}4x x A B => ，∴34m -≤≤，故选B ．【考点】集合的运算．2．设向量()6,a x = ，()2,2b =- ，且()a b b -⊥，则x 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】试题分析：由()a b b -⊥ 得()0a b b -⋅=，即420x -=，解得2x =，故选C ．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．3．已知在等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，115n a -=，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D【解析】试题分析：()1122515n a a n d n -=+-=-=，得10n =，故选D ． 【考点】等差数列的通项公式．4．已知()cos 3mπθ-=（0m <），且2cos 12cos 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】试题分析： ()cos 3mπθ-=（0m <），∴1co s 0θ-<<，由2c o s 12c o s 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得sincos 0θθ<，∴sin 0θ>，则θ是第二象限角，故选B ．【考点】诱导公式，倍角公式，根据角的三角函数值的符号判断角所属的象限． 5．若()3241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】试题分析：由()222111322x a dx x ax a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，3344011cos 2sin 222xdx x ππ==-⎰，所以3122a -=-，解得2a =，故选C ．【考点】定积分．6．在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则sin B 等于（ ） A．34 C．13【答案】A【解析】试题分析：若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则222122b a ac a =+=， ∴2222233cos 244a c b a ac a +-B ===，又()0,πB∈，则sin 4B =，故选A ． 【考点】正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角． 7．已知函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中()0,ϕπ∈，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到【答案】C【解析】试题分析：由已知得函数()f x 为奇函数，又由()0,ϕπ∈得6πϕ=，∴()sin 2f x x =，()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得函数()g x 的图象，故选C ．【考点】诱导公式，函数的奇偶性，函数图像的平移变换．8．已知命题:p []1,2x ∀∈-，函数()2f x x x =-的值大于0．若p q ∨是真命题，则命题q 可以是（ ） A ．()1,1x ∃∈-，使得1cos 2x <B ．“30m -<<”是“函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点”的必要不充分条件 C ．6x π=是曲线()2cos2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈，则在曲线()()2xf x ex =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e -【答案】C 【解析】试题分析：可判断命题p 是假命题，若p q ∨是真命题，则命题q 为真命题．A ，B ，D 均不正确．()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则6x π=是曲线()f x 的一条对称轴，故选C ．【考点】复合命题真值表，函数的综合问题．【方法点睛】该题考查的知识点比较多，首先根据题中所给的条件，判断出命题p 是假命题，再结合p q ∨是真命题从而断定命题q 是真命题，下边关于命题q 所涉及的知识点比较多，需要逐个去分析，A 项需要对余弦函数的性质要熟练掌握，B 项利用函数零点存在性定理即可解决，C 项将函数解析式化简，利用其性质求得，D 项利用导数的几何意义，求导函数的值域即可，所以对学生的要求标准比较高．9．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式()()26f x f x ->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()3,2- C．(- D．()2 【答案】D【解析】试题分析：易证得函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．当1x <时，得261x ->⇒x <则1x <<；当1x ≥时，得26x x ->⇒32x -<<，则12x ≤<．综上得不等式的解集为()2，故选D ． 【考点】分段函数的有关问题．10．公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ⋅⋅⋅构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则下列项中是数列{}n k a 中的项是（ ）A ．86aB ．84aC ．24aD ．20a 【答案】A【解析】试题分析：设数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 1a ，2a ，6a 成等比数列，∴()()21115a a d a d +=+，得13d a =，∴11k a a =，214k a a =，则()11141n n k n a a a k d -=⋅=+-，即1324n n k --=．当4n =时，22n k =；当5n =时，86n k =．故选A ．【考点】等差等比数列．11．若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b = ，且当12t =-时，b ta - （R t ∈）c 满足()()c b c a -⊥- ，则当()c a b ⋅+ 取最大值时，c b - 等于（ ）A．．．52【答案】A【解析】试题分析： 向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ． 2b =，12b a += ∴2a = ，a与b 夹角为120． ()()c a c b -⊥- ，∴c 的终点在如图所示的圆O 上，c =AO +OB，2a b +=AO ，∴当OB 与AO 共线时， ()c a b ⋅+取最大值，此时c b -==A ．【考点】数形结合思想的应用，向量垂直的条件，向量的模．【易错点睛】该题考查的是求向量模的大小的问题，属于高档题目，做起来较难，在解题的过程中，注意对题的条件的活用，一是两个向量垂直的条件的转换，注意其数量积等于零的应用，二是要注意什么情况下模取最值，取最小值时对应的是有关向量垂直，关于向量数量积在什么情况下取得最大值，从而得到相应的结果，注意对题中条件的等价转化．12．已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x'+>，则实数b 的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞ D．(-∞ 【答案】B【解析】试题分析：()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2ln g x xf x x x b ==+-，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得()0g x '>成立，()()212212x bx g x x b x x -+'=+-=，设()2221h x x b x=-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B ．【考点】导数的应用．【思路点睛】该题考查的是与构造新函数有关的问题，属于较难题目，在解题的过程中，需要紧紧抓住导数的应用，相当于()0f x '>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，最后将问题转化为不等式22210x bx -+>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()2221h x x bx =-+，结合二次函数的性质，可知只要()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可，将2和12分别代入，求得结果，取并集得答案． 二、填空题13．若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()22sin 2cos sin cos x x f x x x -=的最小值为 ． 【答案】1-【解析】试题分析： ()222sin 2cos tan 22tan sin cos tan tan x x x f x x x x x x--===-在5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当4x π=时，函数()f x 取最小值1-． 【考点】同角三角函数关系式，函数的单调性，函数的最值．14．在C ∆AB 中，点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，当Cx y AO =AB+A时，则x y -= ． 【答案】2-【解析】试题分析： 点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，∴1C C 2O =B ，则C C AO =A +O()1113C C C C C 2222=A +B =A +A -AB =-AB +A，∴2x y -=-．【考点】平面向量基本定理．15．若不等式32l o g 0a x x x -≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，则实数a 的最小值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：32log 0a x x x -≤，即()22l o ga x x x -≤，由题意得22log a x x ≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，即当0,2x ⎛∈ ⎝⎦时，函数2y x =的图象不在2log a y x =图象的上方，由图知01a <<且12log 2a≥，解得114a ≤<．【考点】数形结合思想的应用，恒成立问题的转化．【方法点睛】该题目考查的是有关恒成立问题，属于中档题目，在解题的过程中，首先将不等式32log 0a x x x -≤做等价变形，等价于22log a x x ≤在x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，结合函数的图像，从而将参数的大体上的范围先确定，之后再找某个对应的边界值即可，最后找到结果12log 22a≥，结合大前提，从而求得答案． 16．数列{}log k n a 是首项为4，公差为2的等差数列，其中0k >，且1k ≠．设lg n n n c a a =，若{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为 ．【答案】()1,⎛+∞ ⎝⎭【解析】试题分析：由题意得log 22k n a n =+，则22n n a k+=，∴()2122122n n n n a k k a k++++==，即数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．()22lg 22lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切n *∈N 恒成立，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立．当1k >时，lg 0k >()212n n k +<+对一切n *∈N 恒成立；当01k <<时，lg 0k <，()212n n k +>+对一切n *∈N 恒成立，只需2min12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭，11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，∴223k <，且01k <<，∴0k <<．综上，()1,k ⎛∈+∞ ⎝⎭． 【考点】数列与函数的综合问题．【思路点睛】该题是以数列为载体，考查求参数的取值范围的问题，属于较难题目，在解题的过程中，首先需要根据题意，将数列{}log k n a 的通项公式求出，结合指对式的互化，求得22n n a k +=，进一步求得数列{}n c 的通项，由题意可知数列{}n c 是递减数列即可，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立，下一步需要分1k >和01k <<两种情况，从而求得最后的结果．三、解答题17．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin C c = （1）若24sin C sin c =B ，求C ∆AB 的面积；（2）若2C 4AB⋅B +AB = ，求a 的最小值．【答案】（1（2）【解析】试题分析：该题考查的是有关解三角形的问题，属于简单的题目，在解题的过程中，首先根据已知条件，利用正弦定理求得3πA =，第一问根据题中所给的条件，利用正弦定理，求得4bc =，利用三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问根据题中所给的条件，利用向量数量积的定义式，求得8bc =，结合余弦定理，利用基本不等式求得结果．试题解析：由条件结合正弦定理得：sin C sin c a==A，从而sin A =A ，tan A ， 0π<A <，∴3πA =．（1）由正弦定理得：24sin C sin c =B ⇒4bc =，∴C 1sin 2S bc ∆AB =A =（2）2C C cos604cb AB⋅B +AB =AB⋅A ==⇒8bc =．又2222cos6028a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c ==∴min a =【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积，向量数量积的定义式，基本不等式． 【思路点睛】该题属于三角和向量的综合题，属于较简单的题目，在解题的过程中，注意从大前提所给的条件中，利用正弦定理得出3πA =，第一问中根据正弦定理求得4bc =，结合三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问应用向量的数量积的定义式，求得8bc =，再结合3πA =利用余弦定理，再利用基本不等式求得结果，注意基本不等式中等号成立的条件就行．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-（n *∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列(){}9log 4n b -的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=⋅ （2）()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【解析】试题分析：该题考查的是有关等比数列的问题，属于中档题目，在解题的过程中，第一问根据数列的项与和的关系，整理得出当2n ≥时，13n n a a -=， 从而得到数列是{}n a 等比数列，令1n =，求得数列的首项，从而得到数列的通项公式，第二问将第一问所求的通项公式代入，得到数列{}n b 的递推公式，利用累加法求得数列{}n b 的通项公式，得到134n n b -=+，从而有()91log 42n n b --=，利用等差数列的求和公式得到所求的结果．试题解析：（1）当1n =时，11312a a =-，∴12a =， 当2n ≥时， 312n n S a =-①，11312n n S a --=-②①-②得：1331122n n n a a a -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，∴123n n a -=⋅．（2） 1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅，则13223b b =+⋅，02123b b =+⋅，相加得()12111132333523413n n n n b b ----=+⋅+⋅⋅⋅++=+⋅=+-，当1n =时，111345b -+==，∴134n n b -=+．()91log 42n n b --=，∴()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【考点】数列的项与和的关系，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，等差数列的求和公式． 19．某市政府欲在如图所示的矩形CD AB 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形R OP E （线段EO 和R P 为两条底边），已知2AB =km ，C 6B =km ，F 4AE =B =km ，其中曲线F A 是以A 为顶点、D A 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积； （2）求该公园的最大面积．【答案】（1）283km（2）10427【解析】试题分析：第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程2y ax =（0a >），由已知可知()F 2,4在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得1a =，从而确定出抛物线的方程，再利用定积分求得对应图形的面积；第二问根据题意，确定好点E 和C 的坐标，从而确定出C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于x 的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果．试题解析：（1）以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设曲线FA 所在抛物线的方程为2y ax =（0a >），抛物线过()F 2,4，∴242a =⨯，得1a =，∴F A 所在抛物线的方程为2y x =，∴曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积2223001833S x dx x ===⎰2km ．（2）又()0,4E ，()C 2,6，则C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），则x PO =，24x OE =-，2R 4x x P =+-，∴公园的面积()22321144422S x x x x x x x =-++-⋅=-++（02x <<），∴234S x x '=-++，令0S '=，得43x =或1x =-（舍去负值），'当43x =时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427． 【考点】抛物线的方程的求解，定积分求面积，导数的应用．【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，利用定积分求得对应的图形的面积，第二问将图形的面积表示为关于x 的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果．20．已知数列{}n a ，12a =，当2n ≥时，11232n n n a a --=+⋅． （1）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭及数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n c a =-⋅，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）()12231nn n n a b n -==-（2）()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-【解析】试题分析：第一问将题中所给的式子变形可以得到当2n ≥时，113222n n n n a a --=+，从而得到数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式，求得结果，进一步求得数列{}n a 的通项公式，第二问将第一问的结果代入，求得数列{}n c 的通项公式，求得2322n n n c n +=⨯⨯-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式以及错位相减法，将结果求出．试题解析：（1） 当2n ≥时，113222n n n n a a --=+； 令2n n n a b =，则数列{}nb 是以首项11b =，公差为32的等差数列，312n n b -=； ∴()12231n n n n a b n -==-．（2） 2322n n n c n +=⨯⨯-∴()()223212224222n n n n T =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-++⋅⋅⋅+，记221222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，则231221222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②， ①-②得：()21121222212n n n n S n n ++-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=--，∴()1212n n S n +=-+．故()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-．【考点】数列的递推公式，通项公式，求和方法．21．已知函数()()2sin 2f x x x=+-． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()()21124g x f x f x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先将函数解析式展开，用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式得()2sin(2)6f x x π=+，再求出函数本身的单调增区间，再给k 赋上相应的值，结合题中所给的研究的区间，从而求得函数的增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第二问将函数解析式确定，利用公式化简得213()2[cos(2)]622g x x π=-+++，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得整体角52[,]666x πππ+∈-，根据余弦函数的性质，求得cos(2)[6x π+∈，利用二次函数的性质求得函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：()22sin cos 3cos 2f x x x x x =++-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （1）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得222233k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，即36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）()()22112sin 22cos 212466g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22cos 22cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2132cos 2622x π⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 26x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 当1cos 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()g x 取最大值32；当c o s 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()g x 取最小值3-．∴函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【考点】倍角公式，辅助角公式，函数在某个区间上的单调性，函数在某个区间上的值域．22．设函数()()ln 1f x m x m x =+-．（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围；（2）当1m =时，试问方程()2x x xf x e e -=-是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【答案】（1）,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）方程()2x x xf x e e -=-没有实数根，理由见解析． 【解析】试题分析：第一问先确定函数的定义域，对函数求导，对参数m 的取值进行讨论，当函数在定义域上是单调函数时，函数没有最大值，当01m <<时，求得函数的单调增区间和减区间，从而确定好函数的最值点，将自变量代入函数解析式，求得函数值，令其大于零，解得1e m e>+，结合大前提，从而求得结果，第二问将1m =代入上式，变形可得2ln x x x x e e =-，利用导数研究函数的性质，可知1(ln )x x e≥-，21x x e e e -≤-恒成立，但是最值点不是同一个，从而得到相应的方程没有实根．试题解析：（1）()()ln 1f x m x m x =+-的定义域为()0,+∞，()()11m x m m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤或1m ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭内单调递增，在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭内单调递减， 所以当01m <<时，函数()f x 有最大值． 最大值ln 11m m f m m m m ⎛⎫M ==- ⎪--⎝⎭． 因为0M >，所以有ln01m m m m ->-，解之得1e m e >+． 所以m 的取值范围是,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． （2）当1m =时，方程可化为2ln x x x x e e -=-，即2ln x x x x e e =-， 设()ln h x x x =，则()1ln h x x '=+， ∴10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， ∴()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设()2x x g x e e =-，则()1x x g x e-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()1,+∞上单调递减；∴()()max 11g x g e ==-． 11e≠，∴数形结合可得()()h x g x >在区间()1,+∞上恒成立， ∴方程()2x x xf x e e-=-没有实数根． 【考点】导数的综合应用．。
2016年山西省朔州市怀仁一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣23．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．46．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a2011．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．2015-2016学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|x≥m}．若A∩B={x|x＞4}，则实数m的取值范围是（（）A．（﹣4，3）B．[﹣3，4]C．（﹣3，4）D．（﹣∞，4]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞4，即A={x|x＜﹣3或x＞4}，∵B={x|x≥m}，A∩B={x|x＞4}，∴﹣3≤m≤4，则实数m的取值范围是[﹣3，4]．故选：B．2．（5分）设向量，=（2，﹣2），且（），则x的值是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2【解答】解：向量，=（2，﹣2），=（4，x+2），（），可得：8+（﹣2）（x+2）=0，解得x=2．故选：C．3．（5分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，则n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣1，公差d=2，a n﹣1=15，∴15=﹣1+2（n﹣2），解得n=10．故选：D．4．（5分）已知cos（π﹣θ）=3m（m＜0），且cos（+θ）（1﹣2cos2）＜0，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵cos（π﹣θ）=3m（m＜0），0＜3m＜1∴﹣cosθ∈（0，1），∵cos（+θ）（1﹣2cos2）=sinθcosθ＜0，∴sinθ＞0，∴θ是第二象限角．故选：B．5．（5分）若，则a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：由，，所以，解得a=2．故选：C．6．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则sinB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理可得：b2﹣a2=，又∵c=2a，∴a2+c2﹣b2=4a2﹣=3a2，∴利用余弦定理可得：cosB===，∴由于0＜B＜π，解得：sinB===．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，故f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x﹣）．故函数g（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象，∵﹣=﹣+，可以由f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位得到的，故选：C．8．（5分）已知命题p：∀x∈[﹣1，2]，函数f（x）=x2﹣x的值大于0，若p∨q 是真命题，则命题q可以是（）A．∃x∈（﹣1，1）使得cosx＜B．“﹣3＜m＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的必要不充分条件C．x=是曲线f（x）=sin2x+cos2x的一条对称轴D．若x∈（0，2），则在曲线f（x）=e x（x﹣2）上任意一点处的切线的斜率不小于﹣【解答】解：对于命题p：函数f（x）=x2﹣x=﹣，则函数f（x）在上单调递减；在上单调递增．∴当x=时，取得最小值，=＜0，因此命题p是假命题．若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．A．∀x∈（﹣1，1），cosx∈（cos1，1]，而cos1＞=，因此A是假命题；B．函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上单调递增，若函数f（x）在此区间上有零点，则=＜0，解得，因此“﹣3＜m ＜0”是“函数f（x）=x+log2x+m在区间（，2）上有零点”的充分不必要条件，因此是假命题；C．f（x）=sin2x+cos2x=2，当x=时，==1，因此x=是函数f（x）的一条对称轴，是真命题；D．曲线f（x）=e x（x﹣2），f′（x）=e x+e x（x﹣2）=e x（x﹣1），当x∈（0，2）时，f′（x）＞f′（0）=﹣1，因此D是假命题．故选：C．9．（5分）设函数f（x）=，则不等式f（6﹣x2）＞f（x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，2）C．（﹣2，） D．（﹣，2）【解答】解：当x≥1，f（x）=x+﹣，f′（x）=1﹣＞0，故函数f（x）为增函数，且f（x）≥f（1）=1．故由不等式f（6﹣x2）＞f（x），可得①，或6﹣x2＞x≥1②．解①求得﹣＜x＜1，解②求得1≤x＜2．综上可得，不等式的解集为（﹣，2），故选：D．10．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，则下列项中是数列{a}中的项是（）A．a86B．a84C．a24D．a20【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的部分项a，a，a…构成等比数列{a}，且k 1=1，k2=2，k3=6，∴a1，a2，a6构成等比数列，∴（a1+d）2=a1（a1+5d），得d=3a1，∴等比数列的公比q===4，等差数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）×3a1=3a1n﹣2a1=（3n﹣2）a1，等比数列{a}的通项公式为=，a86=a1+85d=256a1=，a84=a1+83d=250a1，a24=a1+23d=70a1，a20=a1+19d=58a1，∴a 86是数列{a}中的项．故选：A．11．（5分）若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，（t∈R）取最小值．向量满足，则当取最大值时，等于（）A．B．C．D．【解答】解：设=，=，=，如图：∵向量，的夹角为钝角，∴当与垂直时，取最小值，即．过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=，∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．∵，∴（）=0，∴||•||•cos120°+||2=0，∴||=2，即MA=2，∵，∴的终点C在以AB为直径的圆O上，∵O是AB中点，∴=2，∴当M，O，C三点共线时，取最大值，∵AB==2，∴OB=0C==，∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，∴∠BOC=∠MOA=90°，∴||=BC=OB=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，） D．（﹣∞，）【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）若x∈[，]，则f（x）=的最小值为﹣1．【解答】解：x∈[，]，则f（x）===tanx﹣，tan=tan（+）==2+，令t=tanx，则1≤t≤2+，f（x）=y=t﹣，∴y′=1+2•＞0，故函数y在[1，2+]上单调递增，故当t=1时，f（x）=y取得最小值为1﹣2=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||=3||，当=，则x﹣y=﹣2．【解答】解：如图所示，△ABC中，||=3||，∴=3，∴=，即=；∴=+=+=+（﹣）=﹣+；又=，∴x=﹣，y=，∴x﹣y=﹣﹣=﹣2．故答案为：﹣2．15．（5分）若不等式x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，则实数a的最小值为．【解答】解：x3﹣2xlog a x≤0在x∈（0，]恒成立，x2﹣2log a x≤0∴x2≤log a x在x∈（0，）时恒成立∴x2的最大值小于log a x的最小值∴x2≤1/4≤log a x当a＞1时，log a x为递增但最小值为负数不成立当0＜a＜1时，log a x为递减最小值在x=上取到，∴log a≥1/4=log a∴a≥，故a的最小值为．16．（5分）数列{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k＞0，且k≠1，设c n=a n lga n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为∪（1，+∞）．【解答】解：∵log k a n=4+2（n﹣1）=2n+2，∴a n=k2n+2．∴==k2．∴数列{a n}是等比数列，首项为k4，公比为k2．∴c n=a n lga n=（2n+2）•k2n+2lgk．要使c n＜c n对∀n∈N*恒成立，∴（2n+2）•k2n+2lgk＜（2n+4）k2n+4•lgk，化为：+1（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk．当k＞1时，lgk＞0，化为：（n+1）＜（n+2）•k2．此式恒成立．当0＜k＜1时，lgk＜0，化为：（n+1）＞（n+2）•k2．对n∈N*恒成立，只需k2＜，∵=1﹣单调递增，∴当n=1时，=．∴k2，且0＜k＜1，∴．综上可得：∪（1，+∞）．故答案为：∪（1，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足=（1）若4sinC=c2sinB，求△ABC的面积；（2）若+=4，求a的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理，可得==1，即有tanA=，由0＜A＜π，可得A=，由正弦定理可得4c=bc2，即有bc=4，△ABC的面积为S=bcsinA=×4×=；（2）+=4，可得c2﹣accosB=4，由余弦定理，可得2c2﹣（a2+c2﹣b2）=8，即b2+c2﹣a2=8，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即有bc=8，由a2=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，当且仅当b=c时，a取得最小值，且为2．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，b1=5，b n+1=b n+a n，求数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵S n=﹣1（n∈N*），∴当n=1时，a1=﹣1，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：a n=3a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2•3n﹣1．（II）∵b n=b n+a n，+1﹣b n=2×3n﹣1．∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+5=2×+5=3n﹣1+4．∴log9（b n﹣4）==．∴数列{log9（b n﹣4）}的前n项和T n==．19．（12分）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线AF与AB，BF所围成区域的面积；（2）求该公园的最大面积．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设曲线AF所在抛物线方程为y=ax2（a＞0），∵抛物线过F（2，4），∴4=a×22，得a=1．∴AF所在抛物线方程为y=x2．则曲线AF与AB，BF所围成区域的面积km2；（2）又E（0，4），C（2，6），则EC所在直线方程为y=x+4．设P（x，x2）（0＜x＜2），则PO=x，OE=4﹣x2，PR=4+x﹣x2，∴公园的面积S=（0＜x＜2）．∴S′=﹣3x2+x+4，令S′=0，得x=或x=﹣1（舍去）．当x变化时，S′和S的变化情况如下表：极大值当x=时，S取得最大值．故该公园的最大面积为．20．（12分）已知数列{a n}，a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1（1）求数列{}及数列{a n}的通项公式；（2）令c n=2a n﹣3•2n，设T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）a1=2，当n≥2时，a n=2a n﹣1+3•2n﹣1即有=+，则数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，=1+（n﹣1）=，即有a n=（3n﹣1）•2n﹣1；（2）c n=2a n﹣3•2n=（3n﹣4）•2n；T n=（﹣1）•2+2•22+5•23+…+（3n﹣4）•2n，2T n=（﹣1）•22+2•23+5•24+…+（3n﹣4）•2n+1，两式相减可得，﹣T n=﹣2+3（22+23+24+…+2n）﹣（3n﹣4）•2n+1=﹣2+3•﹣（3n﹣4）•2n+1，化简可得T n=14+（3n﹣7）•2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣，]，求函数g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函数f（x）的单调递增区间[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1 =2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值为，最小值为﹣3．∴值域为[﹣3，]．22．（12分）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h （x ）＞g （x ）在区间（1，+∞）上恒成立， ∴方程xf （x ）﹣=﹣没有实数根．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式x(0,1)O1y =x(0,1)O 1y =log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
【20套试卷合集】怀仁县第一中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容，并正确涂黑相关标记;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){},,,,,5,4,3,2,1A y x A y A x y x B A ∈-∈∈==则B 中所含元素的个数为（ ▲ ） A 、3 B 、6 C 、8 D 、102.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图），试求第七个三角形数是（ ▲ ）( )A ．27B ．28C ．29D ．303．函数11ln+=x y 的大致图像为（ ▲ ）4.设数列}{n a 的通项公式nn n n a n 21 (3)12111+++++++=，那么n n a a -+1等于（ ▲ ）A ．121+n B ．221+nC ．221121+++n n D ．221121+-+n n5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1,ABC a b S ∆=则=（ ▲ ）ABC D ．26.函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ▲ ） A、2 B 、0 C 、－1 D、1-- 7.若函数 ()(21)()x f x x x a =+- 为奇函数,则a=（ ▲ ）A 、23 B 、12 C 、 34D 、 1 8．已知复数1z i =-，则21z z =-（ ▲ ） A ． 2 B ． －2 C ． 2i D ． －2i9.等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为（ ▲ ）A ．180B ．240C ．360D ．72010.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈.若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ▲ ）A.(1,1](2,)-+∞ B.(2,1](1,2]-- C.(,2)(1,2]-∞-D.[-2，-1]第II 卷（选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共24分 11. 已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则x 、y 、z 三者比较为 ▲12. 从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
山西省怀仁市普通高中2022届高三毕业班上学期期中考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前山西省怀仁市普通高中2022届高三毕业班上学期期中教学质量调研考试数学(理)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知设集合{}220M x x x =--≤，{}πx N y y ==，则M N ⋂=（ ）．A ．(]0,1B ．(]0,2C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞ 2．函数()()()340121f x x x -=-+-的定义域是（ ）．A ．(],1-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,122⎛⎤⎡⎫-∞⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．79- B ．29- C ．29 D ．794．已知向量()3,4a =-，(),8b λ=，且a b ∥，则a b -=（ ）．A ．12B ．14C ．15D ．165．定积分(22sin d x x -⎰的值（ ）． A ．π2B ．πC ．2πD ．3π26．已知定义在R 上的函数()2x f x x e =⋅，(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>7．函数()22x x e e f x x x --=+-的图像大致为（ ）． A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()f x x ∈R 满足()()42f x f x -=-+,函数()211x g x x -=-．若函数()f x 与()g x 与的图像共有214个交点,记作()(),1,2,,214i i i p x y i =,则()()()()21411221i i n n i x y x y x y x y =+=++++∑的值为（ ）． A ．214 B ．321C ．642D ．1284 9．下列说法中正确的是（ ）． A ．已知()1,2a =,()1,1b =,且a 与a b λ+的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-,213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可以作为平面内所有向量的一组基底 C ．非零向量a 和b ,满足a b >,且两个向量是同向,则a b > D ．非零向量a 和b ,满足a b a b ==-,则a 与a b +的夹角为30°10．已知函数()()πcos 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭,()()()32F x f x f x =+为奇函数,则下列叙述四个结论中正确的是（ ）．A ．tan 3ϕ=。
山西省怀仁市普通高中2021届高三毕业班上学期期中教学质量调研考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前山西省怀仁市普通高中2021届高三毕业班上学期期中教学质量调研考试数学(理)试题(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.下列集合中，表示方程组x y 3x y l +=⎧⎨-=⎩的解集的是 A.{2，1} B.{x ＝2，y ＝1} C 、{(2，1)} D.{(1，2)}2.若α，β∈(2π，π)，且sinα＝255，sin(α－β)＝－1010，则sinβ＝ A.7210 B.22 C.12 D.1103.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A.y ＝2x －2B.y ＝log 2xC.y ＝12(x 2－1)D.y ＝12log x 4.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP xOA yOB zOC =++(x ，y ，z ∈R)，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.函数f(x)＝sin(2x ＋3π)向右平移φ(0≤φ≤π)个单位后得到函数g(x)，若g(x)在(－6π，6π)上单调递增，则φ的取值范围是 A.[0，4π] B.[0，23π] C.[4π，23π] D.[12π，4π]6.在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝，则△ABC 的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形7.若函数f(x)＝e |2x －m|，且f(2x －1)＝f(1－2x)，则f(ln3)＋f(－ln3)＝A.0B.12C.18D.9e ＋9e8.已知函数f(x)在(0,1)恒有f'(x)>2()f x x,其中f(x)为函数f(x)的导数,若α,β 为锐角三角形的两个内角,则下列正确的是A.cos 2βf(sinα)<sin 2αf(cosB)B.sin 2βf(sinα)>sin 2αf(sinβ)C.cos 2βf(cosα)>cos 2αf(cosB)D.sin 2βf(cosα)<cos 2αf(sin),其中f"(x)为函数f(x)的导数,则9.已知函数f(x)＝()22x 1sinx x 1+++,其中f'(x)为函数f(x)的导数,则f(2020)＋f(－2020)＋f'(2019)－f'(－2019)＝A.0B.2C.2019D.202010.关于函数f(x)＝sinx ＋cos|x|有下述四个结论：①f(x)的周期为2π；②f(x)在[0,54π]上单调递增；③函数y ＝f(x)－1在[－π,π]上有3个零点；④函数f(x)的最小值为－。
山西省怀仁市2021届高三上学期期中理科数学答案
怀仁市2021-2021学年度上学期期中教学质量调研测试高三理科数学答案一选择题 CBCBD DCDBA CD二．填空题13．(0,1) 14．-3. 15．[55]-，16．②③ 三、解答题17、(10.分) 解答评分细那么：〔1〕选择条件①②得出，32π=A 得5分，求得周长得5分，也可以采用余弦定理求出a,b 的值，正确得5分。
18．解析：〔Ⅰ〕∵114n n a a +=,11,4a =∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭......6分〔Ⅱ〕由〔1〕知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，nn n n n n n s n c 4323-32)23()41(3132)23()41(⨯+=+-=-•=， . ....................................12分. 19．【解析】〔1〕由题意可得，()f x ∴的最小正周期为22T ππ==上单调递减，上单调递增，在在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡266,0)(πππx f .......................6分〔2〕由〔1〕知()sin(2)26f x x π=++又(A)f 恰是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 A 为锐角，故2626A A πππ+=∴=由余弦定理可得：22313232b b =+-⨯⨯解得：1b =或2b =.....................................................................12分. 20．【解析】〔1〕∵1AF AE ==，AD AB =，π2D B ∠=∠=， 所以ADF ∆与ABE ∆全等.所以1π22DAF BAE θ⎛⎫∠=∠=- ⎪⎝⎭，欣赏区的面积为 ，要使得欣赏区的年收入不低于5万元，那么要求51204S ≥=Ⅱ，即1cos 2θ≥，结合ππ42θ<<可知ππ43θ<≤，那么θ的最大值为π3. .......................................6.分. 〔2〕种植区的面积为11··22S AF AE θθ==Ⅰ， 正方形面积为221cos 21sin cos 22DAF S AD DAF θ+∠+==∠==，设年总收入为()W θ万元，那么1sin 1()1020201020()5201010sin 522W S S S S S S θθθθθθ+⎛⎫=++=+-=+-=+- ⎪⎝⎭ⅠⅡⅢⅠⅠ，其中ππ42θ<<，求导可得()10cos 5W θθ'=-. 当ππ43θ<≤时，()0W θ'>，()W θ递增；当ππ32θ<<时，()0W θ'<，()W θ递增. 所以当π3θ=时，()W θ取得最大值，此时年总收入最大.........................................12分.21．【解析】〔1〕由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=..............................2分. 〔2〕12x =，由于1()n n x f x +=，那么21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=................6分.〔3〕由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，那么sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+，...........…………9分. 此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=6532k n =-=-. .............................................................................................................12分.22．【解析】〔1〕∵f 〔x 〕＝ax 2﹣4ax +4a +2ln x ，∴()'f x ＝2ax ﹣4a 22242ax ax x x-++=；又∵f 〔x 〕在[1，4]上是增函数，∴在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立； 令φ〔x 〕＝2ax 2﹣4ax +2，那么φ〔x 〕＝2a 〔x ﹣1〕2﹣2a +2，当a ＞0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ〔1〕≥0，即﹣2a +2≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ〔4〕≥0，即16a +2≥0，解得a 18≥-，∴18-≤a ＜0； 综上，实数a 的取值范围是{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}．......................5分. 〔2〕由题意，使a 〔x ﹣2〕2+2ln x ﹣4a 14a+≥x 在[2，+∞〕上恒成立，令h〔x〕＝a〔x﹣2〕2+2ln x﹣4a14a+-x，那么h〔x〕min≥0在[2，+∞〕上恒成立②；∴h′〔x〕＝2ax﹣4a2x+-1，即h′〔x〕()()221x axx--=；〔i〕当a＜0时，∵x＞2，∴h′〔x〕≤0，∴h〔x〕在[2，+∞〕上是减函数，且h〔4〕＝2ln4﹣414a+＜0，∴②不成立；〔ii〕当0＜a14＜时，212a＜，此时当x∈[2，12a]时，h'〔x〕＜0，当x∈[12a，+∞〕时，h'〔x〕＞0，∴h〔x〕在[2，12a]上是减函数，在[12a，+∞〕上是增函数，∴h〔x〕min＝h〔12a〕＝a〔12a-2〕2+2ln12a-4a1142a a+-=-2﹣2ln2a，∴只需﹣2﹣2ln2a≥0，解得a12e≤；∴0＜a12e≤时②成立；〔iii〕当a14≥时，212a≥，此时当x∈[2，+∞〕时，h'〔x〕＞0，∴h〔x〕在[2，+∞〕上是增函数，∴h〔x〕min＝h〔2〕＝2ln2﹣4a14a+-2，∵﹣4a14a+≤0，2ln2﹣2＜0，∴h〔x〕min＝h〔2〕＜0，∴②不成立；综上，0＜a12e ≤．......................................12分.。
2021届山西省怀仁市高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2021届山西省怀仁市高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．下列集合中，表示方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集的是（ ）A ．{}2,1B ．{}2,1x y ==C ．(){}2,1D ．(){}1,2【答案】C【分析】解出方程组，方程组的解构成的集合，即有序数对构成的集合.【详解】解方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩即(2,1)，所以方程组的解集(){}2,1.故选：C【点睛】此题考查集合元素的辨析，正确解出方程组，方程组的解是有序数对，其解集是由有序数对构成的集合，容易出现概念混淆，把解集的形式弄错.2．若,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,且sin α=()sin αβ-=,则sin β=（ ）A ．10 B ．2C ．12D ．110【答案】B【分析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可． 【详解】β＝α-(α﹣β)，∵2π＜απ＜，2π＜βπ＜，π∴--＜β＜2π-，∴2π-＜αβ2π-＜，∵sin （αβ-）10=-0， ∴αβ2π--＜＜0，则cos （αβ-）10====，∵sinα5=，∴cosα====则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos （α﹣β）-cosαsin （α﹣β）⎛=-⨯ ⎝⎭（）===故选B【点睛】本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．22y x =-B ．()2112y x =- C ．2log y x =D ．12log y x =【答案】B【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案 【详解】由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题． 4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可.【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面 若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件 故选B.【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题. 5．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x 在,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.6．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题. 7．若函数()2x mf x e-=，且()()2112f x f x -=-，则()()ln3ln3f f +-=（ ）A ．0B ．99e e+C ．12D ．18【答案】D【分析】由()()2112f x f x -=-可知()f x 关于y 轴对称，可求出m ，即可求出函数值.【详解】由()()2112f x f x -=-，可知函数()2x mf x e -=的图象关于y 轴对称，则02m=，得0m =，故()2x f x e =， ()()()2ln3ln3ln32ln3218f f f e +-===.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想. 8．已知函数()f x 在(0,1)恒有2()()f x f x x'>，其中()'f x 为函数()f x 的导数，若,αβ为锐角三角形的两个内角，则下列正确的是（ ） A ．22cos (sin )sin (cos )f f βααβ< B ．22sin (sin )sin (sin )f f βααβ> C ．22cos (cos )cos (cos )f f βααβ> D ．22sin (cos )cos (sin )f f βααβ<【答案】D【分析】由三角函数性质得sin cos αβ>，sin cos βα>，构造新函数2()()f x g x x =，由已知确定()g x 的单调性，则函数单调性得不等关系． 【详解】因为,αβ为锐角三角形的两个内角，所以2παβ+>，022ππαβ>>->，sin sin()cos 2παββ>-=，同理sin cos βα>，设2()()f x g x x=，则322()()()2()'()f x fx xf x f x x g x x x '-'-==， 因为函数()f x 在(0,1)恒有2()()f x f x x'>，所以()0g x '>，即()g x 在(0,1)上是增函数，所以(sin )(cos )g g αβ>，即22(sin )(cos )sin cos f f αβαβ>，22cos (sin )sin (cos )f f βααβ>，A 错．所以(sin )(cos )g g βα>，即22(sin )(cos )sin cos f f βαβα>，22sin (cos )cos (sin )f f βααβ<，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查构造新函数，考查导数与函数的单调性．利用函数单调性得出不等关系．解题关键 函数2()()f x g x x=，同时由正弦函数性质得sin cos αβ>，sin cos βα>．9．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．2020【答案】B【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.10．关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④函数()f x 的最小值为2-.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①④ B ．②C ．①③④D ．①②④【答案】A【分析】作出函数()sin cos ||f x x x =+的图像,根据图像逐一判断四个结论即可. 【详解】因为cos y x =为偶函数，所以cos ||cos y x x ==，故()sin cos ||sin cos 2sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，作出函数图像如下：①：2=2T wππ=，故①对； ②：由图可知，5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内为减函数，故②错； ③：()1y f x =-的零点个数等价于()y f x =与1y =的图像交点个数，在[,]-ππ内两个交点，故()1y f x =-有2个零点，③错； ④：当sin 14x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为2-.故④对； 故选：A.【点睛】涉及三角函数性质的题目，作出图像，由图像直观的找到性质.11．对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]0,2 B ．(],2-∞ C ．()0,2 D ．(),2-∞【答案】D【分析】设(1,2)x ∈时，2485()1x x f x x -+=-的值域A ，2()1mx m g x x -+=-的值域B ，只要A B ⊆即可满足题意．【详解】设2485()1x x f x x -+=-（(1,2)x ∈），24(1)11()4(1)11x f x x x x -+==-+--， 设1t x =-，则1()4f x y t t ==+，则(0,1)x ∈，由勾形函数性质知当102t <<时，y 递减，当112t <<时，y 递增， min 1144122y =⨯+=，[4,)y ∈+∞，即()f x 值域为[4,)+∞， 2()1mx m g x x -+=-（(1,2)x ∈），设1x t -=，(0,1)t ∈，则2()g x y m t==+，(0,1)t ∈时，2y m t=+是减函数，(2,)y m ∈++∞，即()(2,)g x m ∈++∞，对于()11,2x ∀∈，()21,2x ∃∈，使得211212485211x x mx m x x -+-+=--，则24m +<，2m <．故选：D ．【点睛】本题考查含有存在题词与全称题词的命题恒成立问题，解题关键是把问题转化为集合之间的包含关系．12．定义：1M 表示函数()y f x =在I 上的最大值，已知奇函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()f x x =，正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥则（ ） A ．[]0,2a M =B ．[]0,9a M =C ．a 的取值范围为[]4,9D ．a 的取值范围为[]6,9【答案】D【分析】先结合题中条件得出()f x 的最小正周期，然后再画出函数()f x 的图象，然后结合图象进行分析即可得解.【详解】因为()()44f x f x +=-，所以有()()8f x f x +=-， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()8f x f x +=-，所以有()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期为16， 画出函数()f x 的图象，如图所示：当4a <时，[]0,a M a =，显然正数a 不满足[][]0,,22a a a M M ≥， 所以4a ≥，故[]0,4a M =，所以AB 错； 因为[][]0,,22a a a M M ≥，所以[],22a a M ≥， 即()y f x =在[],2a a 上的最大值不大于2，故6218a a ≥⎧⎨≤⎩，所以69a ≤≤.故C 错，D 正确.故选：D.【点睛】思路点睛：求解函数新定义问题时，首先理解所给函数的新定义，结合函数的基本性质（单调性、奇偶性、最值等），逐步求解即可；有时也需要利用数形结合的方法进行求解.二、填空题13．已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B =________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合,A B ，然后由交集运算计算出AB 的结果.【详解】因为2log 1x <，所以02x <<，所以()0,2A =，又因为102x x -<+，所以()()120x x -+<，所以()2,1B =-， 则()0,1AB =.故答案为()0,1.【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集； （2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.14．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅的最小值是________.【答案】-3.【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(3C ,AC 中点13,22N ⎛- ⎝⎭. 设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+，33,22BN ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭33(1)22AM BN x y ⋅=-++.∵(,)M x y 在直线310:BC x y +-=上，∴31x y =， ∴33AM BN y ⋅=- ∵03y，∴当0y =时，AM BN ⋅的最小值为-3.故答案为-3【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量数量积的应用，属于基础题. 15．已知()3216132m f x x x x =-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为______． 【答案】[]5,5-【分析】由函数在给定区间的单调性，得到()0f x '≤在()1,1-恒成立，进而可得m 的取值范围. 【详解】()f x 在()1,1-单调递减，∴2()60f x x mx '=+-≤在()1,1-恒成立，又2()6f x x mx '=+-是开口向上的二次函数，为使()0f x '≤在()1,1-恒成立，只需(1)0(1)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩，即160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，则[]5,5m ∈-.故答案为：[]5,5-. 【点睛】思路点睛：利用已知函数在给定区间上的单调性求参数时，通常需要对函数求导，根据函数在给定区间的单调性，得到导函数在给定区间的符号（正负），由此列出不等式求解即可. 16．函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数,x y 满足：(2)2,()()()f f xy xf y yf x ==+,(2)(2n n nf a n =∈*)N ,*(2)()n n f b n N n=∈ 考查下列结论：①(1)1f = ；②()f x 为奇函数；③数列{}n a 为等差数列；④数列{}n b 为等比数列.以上结论正确的是__________． 【答案】②③④【解析】 ①因为对定义域内任意x ,y ,f (x )满足f (xy )=yf (x )+xf (y )， ∴令x =y =1,得f (1)=0，故①错误， ②令x =y =−1,得f (−1)=0； 令y =−1,有f (−x )=−f (x )+xf (−1)， 代入f (−1)=0得f (−x )=−f (x )，故f (x )是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确， ③若()22n n nf a =(n ∈N ∗)，则()()()()()()()()1111111222222222222212222222n n nn n n n n n nn n n nf f f f f f f f a a -------+--=-=-====.为常数.故数列{n a }为等差数列，故③正确，④∵f (2)=2,f (xy )=xf (y )+yf (x )， ∴当x =y 时,f (x 2)=xf (x )+xf (x )=2xf (x )， 则()()22242822f f ===⨯，()()()3223332222222232f f f =+=+⨯=⨯.… 则()22nnf n =⨯，若()2n nf b n=n ∈N ∗)，则()()()()()()()11112121221222n 1nnn n n n n n f n f n n b n b nn f nf ------====--为常数， 则数列{n b }为等比数列，故④正确， 故答案为②③④．三、解答题17．在①22cos b c a C +=，②三角形ABC 的面积为)2224a b c --，③sin 3sinc A a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ab ，1c =，______？【答案】选条件①：存在，2+②：存在，2+③：不存在，答案见解析.【分析】方案一：选条件①：先求出cos A 以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出a =1b =以及ABC 的周长；方案二：选条件②：先求出tan A=以及A ，再求出sin B 以及B ，最后求出a =1b =以及ABC 的周长；方案三：选条件③：先求出13b =以及a =13a b c +=+<，最后判断三角形不存在. 【详解】解：方案一：选条件①因为22cos b c a C +=，所以2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，整理得()sin 2cos 10C A +=. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-， 解得23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =，所以ABC 的周长为2+ 方案二：选条件②因为)2221sin 24ABCa b c Sbc A --==△，所以)212cos n 4si bc bc A A -=，即tan A =， 因为()0,A π∈，所以23A π=. 又因为3a b ，所以sin 3sin AB ，即1sin 2B =，6B π=，所以6C π=，则sin sin a cA C=，得a =1b =，所以ABC 的周长为2+方案三：选条件③sin 3sin c A a B =，则3ac ab =，得133c b ==，因为3ab ，所以a =又因为13a b c +=+<，则问题中的三角形不存在. 【点睛】本题考查三角形的面积公式、正弦定理、三角形是否存在的判断，是基础题. 18．在数列{}n a 中，已知114a =，(),m t m t a a a m t +++=⋅∈∈N N ，1423log n nb a +=，（n ∈+N ）（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-；（2）232334n nn s +=-⨯. 【分析】（1）令,m n =1t =，可得数列{}n a 是等比数列，即可求出通项公式，进而求出n b ；（2）利用错位相减法可求出.【详解】（1）令,m n =1t =，则11n n a a a +=⋅，114n n a a +∴=，114a =，∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；（2）由（Ⅰ）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*32nb n n N=-∈，则()1324nn c n ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭， ()2311111+4+7++324444nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()234+1111111+4+7++3244444n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()234+13111111+3+3+3++3324444444n n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1+1+131116411132+321442414n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⨯=- ⎪⎝⎭-， 232334n nn S +∴=-⨯． 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.19．已知向量()cos ,1m x =-，13sin ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函数()()f x m n m =+⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期，以及()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．（2）已知a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，1a =，c =且()f A 恰是函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A 和b ．【答案】（1）最小正周期为π；()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）π6A =；1b =或2b =． 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，以及三角恒等变换，将函数解析式化为()πsin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期性与单调性，即可求出函数最小正周期，以及给定区间的单调性；（2）根据（1）的结果，由（2）中条件，求出A ，再由余弦定理，即可求出b . 【详解】（1）因为向量()cos ,1m x =-，13sin ,2n x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()()()221cos 1cos 2f x m n m m m n x x x ==+⋅=+⋅++cos 211π12sin 222226x x x +⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期为2ππ2T ==； 由π222,262k x k k Z ππππ-+≤+≤+∈可得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；由π3222,262k x k k Z ππππ+≤+≤+∈可得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈； 所以函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 又π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（2）由（1）知()πsin 226f A A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又()f A 恰是函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，A 为锐角，故ππ262A +=，∴π6A =； 由余弦定理可得：2231323b b =+-⨯⨯ 解得：1b =或2b =．20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角42EAF ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值； （2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？ 【答案】（1）π3（2）π3【分析】（1）由1AF AE ==，AD AB =，π2D B ∠=∠=，所以ADF ∆与ABE ∆全等.可得1π22DAF BAE θ⎛⎫∠=∠=- ⎪⎝⎭，根据面积公式，可求得观赏区的面积为112?cos 22S DF AD θ=⨯=Ⅱ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求51204S ≥=Ⅱ，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为1122S AF AE θθ=⋅⋅=Ⅰ，正方形面积为21sin 2S AD θ+==，设年总收入为()W θ万元，则()1020201010sin 5W S S S θθθ=++=+-ⅠⅡⅢ，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1）∵1AF AE ==，AD AB =，π2D B ∠=∠=，所以ADF ∆与ABE ∆全等.所以1π22DAF BAE θ⎛⎫∠=∠=- ⎪⎝⎭，观赏区的面积为 111π12?sin ?cos sin 2sin cos 22222S DF AD DAF DAF DAF θθ⎛⎫=⨯=∠∠=∠=-= ⎪⎝⎭Ⅱ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求51204S ≥=Ⅱ，即1cos 2θ≥，结合ππ42θ<<可知ππ43θ<≤，则θ的最大值为π3. （2）种植区的面积为11··22S AF AE θθ==Ⅰ， 正方形面积为221cos 21sin cos 22DAF S AD DAF θ+∠+==∠==，设年总收入为()W θ万元，则1sin 1()1020201020()5201010sin 522W S S S S S S θθθθθθ+⎛⎫=++=+-=+-=+- ⎪⎝⎭ⅠⅡⅢⅠⅠ，其中ππ42θ<<，求导可得()10cos 5W θθ'=-. 当ππ43θ<≤时，()0W θ'>，()W θ递增；当ππ32θ<<时，()0W θ'<，()W θ递增. 所以当π3θ=时，()W θ取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.21．对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表：（1）求[]{}(0)ff f ：（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上，求1234n x x x x +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0,0,0,03A b ωπϕπ><<<<<<，求此函数的解析式，并求*(1)(2)(3)()f f f n n N ++⋅⋅⋅+∈． 【答案】（1）2；（2）4n ；（3）见解析 【分析】（1）由内往外计算即可；（2）由已知，通过计算易得数列{}n x 是以4为周期的周期数列，先计算1234x x x x +++的值，利用1234n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=1234()x x x x +++即可得到答案；（3）代入表中数据即可得到()y f x =的解析式，再分n 为奇数、偶数讨论求和即可. 【详解】（1）由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=.（2）12x =，由于1()n n x f x +=，则21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=.（3）由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，则sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+，此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)(62)(61)(6)[(1)(2)(6)]5f f f k f k f k f k k f f f +++-----=+++-6532k n =-=-.【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.22．已知0a ≠，函数()()222ln f x a x x =-+（1）若函数()f x 在区间[]1,4上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()144g x f x a a=-+，[)2,x ∈+∞，且对于任意的2x ≥，有()g x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}，（2）0＜a 12e ≤ 【分析】（1）求导后，转化为在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立；再分类讨论求函数φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2在[1，4]上的最小值即可得解； （2）转化为h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x 在[2，+∞）上恒成立，再利用导数求得最小值可得结果.【详解】（1）∵f （x ）＝ax 2﹣4ax +4a +2ln x ，∴()'f x ＝2ax ﹣4a 22242ax ax x x-++=；又∵f （x ）在[1，4]上是增函数，∴在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立； 令φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2，则φ（x ）＝2a （x ﹣1）2﹣2a +2，当a ＞0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（1）≥0，即﹣2a +2≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（4）≥0，即16a +2≥0，解得a18≥-，∴18-≤a＜0；综上，实数a的取值范围是{a|18-≤a＜0或0＜a≤1}．（2）由题意，使a（x﹣2）2+2ln x﹣4a14a+≥x在[2，+∞）上恒成立，令h（x）＝a（x﹣2）2+2ln x﹣4a14a+-x，则h（x）min≥0在[2，+∞）上恒成立②；∴h′（x）＝2ax﹣4a2x+-1，即h′（x）()()221x axx--=；（i）当a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）＝2ln4﹣414a+＜0，∴②不成立；（ii）当0＜a14＜时，212a＜，此时当x∈[2，12a]时，h'（x）＜0，当x∈[12a，+∞）时，h'（x）＞0，∴h（x）在[2，12a]上是减函数，在[12a，+∞）上是增函数，∴h（x）min＝h（12a）＝a（12a-2）2+2ln12a-4a1142a a+-=-2﹣2ln2a，∴只需﹣2﹣2ln2a≥0，解得a12e≤；∴0＜a12e≤时②成立；（iii）当a14≥时，212a≥，此时当x∈[2，+∞）时，h'（x）＞0，∴h（x）在[2，+∞）上是增函数，∴h（x）min＝h（2）＝2ln2﹣4a14a+-2，∵﹣4a14a+≤0，2ln2﹣2＜0，∴h（x）min＝h（2）＜0，∴②不成立；综上，0＜a12e ≤．【点睛】本题考查了由函数的单调性求参数的取值范围，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了函数与方程思想，考查了转化化归思想，属于较难题.。
山西省怀仁县高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线1:210l x ay +-=，2:(1)0l a x ay +-=，若12//l l ，则实数a 的值为（ ）A ．32-B ． 0C ．32-或0 D ．2 2.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，则下列叙述正确的是（ ）A ．若//m n ，m α⊂，则//αβB ．若//αβ，m α⊂，则//m nC ．若//m n ，m α⊥，则αβ⊥D ．若//αβ，m n ⊥，则m α⊥3. ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ． 1B ． D 4.“2a =”是“直线2y ax =-+与14a y x =-垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.在三棱锥S ABC -中，12G G ，分别是SAB ∆和SAC ∆的重心，则直线12G G 与BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行 C.异面 D ．以上都有可能6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A ． 1B ．2 C. 3 D ．47. 若直线1:l y x =，2:2l y x =+与圆22:220C x y mx ny +--=的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则m =（ ）A ．0或-1B ．0或1 C.1或-1 D ．0或1或-18.设两条直线的方程分别为0x y a ++=，0x y b ++=，已知a b ，是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）A ，14B C. ，12 D ，129. 已知正三棱锥P ABC -的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余，则正三棱锥P ABC -的体积为（ ）A 3B 33 D 3h 10. 如图，正方体1111ABCD A BCD -的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ）A. 点H 是1A BD ∆的垂心 B ．AH 的延长线经过点1CC. AH 垂直平面11CB D D ．直线AH 和1BB 所成的角为4511.已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，,A B 是切点.若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A B C. D ． 2 12.已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ． 1,1)- C.1]- D ．[1]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.经过两条直线220x y ++=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为___________.14.长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为___________.15.点过直线220(,)ax by a b R -+=∈始终平分圆22(1)(2)4x y ++-=的周长，则ab 的最大值是__________.16.矩形ABCD 中，2AD =，4AB =，E F ，分别为边AB AD ，的中点，将ADE ∆沿DE 折起，点A F ，折起后分别为点''A F ，，得到四棱锥'A BCDE -.给出下列几个结论： ①',,,'A B C F 四点共面；②'//EF 平面'A BC ；③若平面'A DE ⊥平面BCDE ，则'CE A D ⊥；④四棱锥'A BCDE -.其中正确的是_____________.（填上所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知一个几何体的三视图如图所示.（1）求此几何体的表面积；（2）如果点,P Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长.18.（12分）已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程.19.已知四边形ABCD 满足//AD BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点.（1）证明：1//B E 平面ACF ；（2）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC .20.（12分）已知圆224x y +=上一定点(2,0)A ，(1,1)B 为圆内一点，,P Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若90PBQ ∠=，求线段PQ 中点的轨迹方程.21.（12分）已知以点3(,)(,0)C t t R t t ∈≠为圆心的圆过原点O .（1）设直线340x y +-=与圆C 交于点M N 、，若||||OM ON =，求圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，设(0,2)B ，且P Q 、分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求||||PQ PB -的最大值及此时点P 的坐标.22.（12分）如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值；（3）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A ，求线段AM 的长.高二理科数学期中答案一、选择题1-5:CCBAB 6-10: BADCD 11、12：DB二、填空题13. 2320x y +-= 14.48 15. 1416.②③三、解答题17. 解：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、 圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.21(2)(2)2S a a a π==圆锥侧，2(2)(2)4S a a a ππ==圆柱侧，2S a π=圆柱底所以222245)S a a a a πππ=++=表面. （2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQ ===，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为.18. 解：线段AB 的垂直平分线方程为0x =，线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=，所以外接圆圆综上，直线l 的方程为3x =或4360x y --=.19.解：（1）证明：连接ED 交AC 于O ，连接OF ，∵四边形AECD 为菱形，∴O 为AC 的中点，又F 为1B D 的中点，∴1//FO B E .又1B E ⊄平面ACF ，FO ⊂平面ACF ，∴1//B E 平面ACF .（2）证明：连接GD ，则DG AE ⊥，又1B G AE ⊥，1B G GD G =，∴AE ⊥平面1B GD . 又//AE DC ，∴CD ⊥平面1B GD .又DC ⊂平面1B DC ，∴平面1B GD ⊥平面1B DC .20.解：（1）设AP 中点为(,)M x y ，由中点坐标公式可知，P 点坐标(22,2)x y -.因为P 点在圆224x y +=上，所以22(22)(2)4x y -+=.故线段AP 中点的轨迹方程为22(1)1x y -+=.（2）设PQ 的中点为(,)N x y .在Rt PBQ ∆中，||||PN BN =，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON PQ ⊥，所以22222||||||||||OP ON PN ON BN =+=+，所以2222(1)(1)4x y x y ++-+-=.故线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=.21. 解：（1）∵OM ON =，所以，则原点O 在MN 的中垂线上.设MN 的中点为H ，则CH MN ⊥，∴C H O 、、三点共线. ∵直线MN 的方程是340x y +-=，∴直线OC 的斜率23313t k t t ===，解得3t =或3t =-，∴圆心为(3,1)C 或(3,1)C --，∴圆C 的方程为22(3)(1)10x y -+-=或22(3)(1)10x y +++=.由于当圆方程为22(3)(1)10x y +++=时，圆心到直线340x y +-=的距离d r >， 此时不满足直线与圆相交，故舍去.∴圆C 的方程为22(3)(1)10x y -+-=.（2）在三角形PBQ 中，两边之差小于第三边，故||||||PQ PB BQ -≤， 又,,B C Q 三点共线时||BQ 最大，所以||||PQ PB -的最大值为||BC =.∵(0,2)B ，(3,1)C ，∴直线BC 的方程为123y x =-+， ∴直线BC 与直线20x y ++=的交点P 的坐标为(6,4)-.22.解：（1）∵侧棱1CC ⊥底面1111A B C D ，11B C ⊂平面1111A B C D ，∴111CC B C ⊥.经计算可得1B E =11B C =，1EC =，∴2221111B E B C EC =+，∴在11B EC ∆中，111B C C E ⊥.又∵1CC ，1C E ⊂平面1CC E ，111CC C E C =，∴11B C ⊥平面1CC E .又CE ⊂平面1CC E ，∴11B C CE ⊥.（2）如图所示，过1B 作1B G CE ⊥于点G ，连接1C G .由（1）知，11B C CE ⊥，故CE ⊥平面11B C G ，得1CE C G ⊥.∴11B GC ∠为二面角11B CE C --的平面角.在1ECC ∆中，由1CE C E ==，12CC =，可得1C G =.在11Rt B C G ∆中，1B G =，∴11sin B GC ∠=，即二面角11B CE C --. （3）如图所示，连接1D E ，过点M 作1MH ED ⊥于点H ，可得MH ⊥平面11ADD A ， 连接AH AM ，，则MAH ∠为直线AM 与平面11ADD A 所成的角.设AM x =，从而在Rt AHM ∆中，有MH x =，AH x =.在11Rt C D E ∆中，111C D =，1ED =13EH x ==. 在AEH ∆中，135AEH ∠=，1AE =， 由2222cos135AH AE EH AE EH =+-，得221711189x x x =++，整理得2560x --=，解得x =（负值舍去）.∴线段AM .。
山西省怀仁市2022届高三上学期期中考试化学试题 Word版含答案
怀仁市2021-2022学年高三上学期期中考试化学（考试时间90分钟，满分100分）可能用到的相对原子质量：C —12O —16S —32Ba —137一、选择题：本题共24小题，每题2分，共48分。
每题只有一项是符合题目要求的。
1．《本草经集注》中记载有关于鉴别硝石)(3KNO 和朴硝)(24Na SO 之法：“以火烧之，紫青烟起，云是真硝石也”。
文中渉及到“法”是指（ ） A ．升华B ．蒸馏C ．焰色反应D ．丁达尔效应2．化学与生活密切相关。
下列说法错误的是（ ）A ．家庭装修时用水性漆替代传统的油性漆，有利于健康及环境B ．泡沫灭火器可用于一般的起火，也适用于电器起火C ．疫苗一般应冷藏存放，以避免蛋白质变性D ．汽车远程灯照在前方扬尘上有光亮的通路，说明混有扬尘的空气属于胶体 3．下列对化学知识的认识正确的是（ ） A ．FeO 粉末在空气中受热，迅速被氧化成34Fe O B ．化合物与金属氧化物属于交叉关系 C ．2SO 可漂白纸浆，不可用于杀菌、消毒 D ．氯化钠溶于水发生电离，电离方程式为：NaClNa Cl +-+通电4．宏观辨识与微观探析是化学学科核心素养之一。
下列物质性质实验对应的反应方程式书写正确的是（ ）A ．22Na O 放入水中：2222Na O H O 2NaOH O ++↑B ．)(2H O g 通过灼热铁粉：22322Fe 3H OFe O 3H ++高温C ．铜丝插入热的浓硫酸中：)(2442Cu H SO CuSO H ++↑△浓D ．硫酸铝溶液中滴加过量氨水：)(33243Al3NH H OAl OH 3NH +++⋅↓+5．下列有关物质的性质与用途不具有对应关系的是（ ） A ．铬耐磨、耐腐蚀，可镀在钢铁制品表面防生锈B ．Al 具有良好的延展性，表面易形成保护膜，常用铝箱包装物品C ．NaClO 溶液显碱性，可用于杀菌、消毒D ．CaO 能与水反应，可用作食品干燥剂 6．下列叙述错误的是（ ）A ．利用如图装置可制取3NHB ．将干燥的红色石蕊试纸接近图中a 处，可观察到试纸变蓝C ．图中收集完3NH 后，取下试管，在导管口b 处堵上浸有稀硫酸的棉花可防止3NH 污染空气D ．进行图所示实验时，可观察到液体迅速充满试管并变为红色，说明3NH 极易溶于水，其水溶液显碱性7．下列离子方程式书写正确的是（ ） A．向3NaHCO 溶液中加足量)(2Ba OH 溶液：2233232HCO Ba 2OH BaCO 2H O CO -+--++↓++B ．向饱和2CaCl 溶液中通入少量2CO ：2223CaCO H O CaCO 2H ++++↓+C ．2NO 溶于水：2233NO H O 2H 2NO NO +-+++D ．向稀3HNO 中滴加23Na SO 溶液：2+322SO 2HSO H O -+↑+8．“碳中和”是指2CO 的排放总量和减少总量相当。
山西省朔州市怀仁市2024届高三上学期期中数学试题含解析
山西省朔州市2023-2024学年高三上学期期中数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题（每题4分，共48分）1.已知，，，则的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．2.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为（）A4 B.5 C.16 D.25【答案】D【解析】【分析】根据正切函数二倍角公式求得，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边长，即可得大正方形的边长，可求得面积.【详解】因为，所以由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为,所以，解得，所以大正方形的边长为，故大正方形的面积为.故选：D.3.设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.的最大值为或【答案】D【解析】【分析】AB选项，先根据题目条件得到，从而，，AB错误；C选项，由得到C错误；D选项，得到当时，，，当时，，故D正确.【详解】AB选项，因为，所以，因为数列是以为公差的等差数列，所以，故，解得，又，所以，，AB错误；C选项，，故C错误；D选项，由于，，，故当时，，当时，，故的最大值为或，D正确.故选：D4.已知函数，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为函数，所以由得；由得，所以，所以．因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型.5.已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式即可.【详解】∵是偶函数∴，即化简得∴，（，）,时都能得到，所以在上是增函数∴（，）为偶函数且在上是增函数，∴，，即，即或解得或.即.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题.6.已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把不等式化为，设，求得的导数，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】不等式可化为，因为，所以，设，则，设，其中，则恒成立，则在上单调递增，由，令，得，所以在单调递减，单调递增，所以，对任意正数恒成立，即.故选：B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．7.已知，是方程的两根，且，，则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.【详解】由题知，，是方程的两根，所以，即，因为，，所以，，所以，因，所以，故选：B8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而即可求解.【详解】设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知，，因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为故选：D.9.若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可.【详解】因为，所以，设，则，，令恒成立，故单调递减，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；.故所以，得到.故选:A.10.已知点是角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.【详解】依题意点P的坐标为，，；故选：D.11.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，则，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.故选：D12.过抛物线的焦点作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则A.10B.8C.6D.4【答案】A【解析】【详解】设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为(x0,y0),，，相减可得，可得则，∴MN的垂直平分线为令y=0,则∴∵∴，故选A.二、填空题（共22分）13.设样本数据，，，的平均数为，方差为，若数据，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_____________．【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．【详解】数据，，，的平均数为，方差为，所以，，即，则，因为，所以，因函数在上单调递减，故当时，的最大值是．故答案为：．14.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，由此可求得，，从而表示出，再根据基本不等式求解即可．详解】解：∵，且，∴，∴公比，∴，，∴，当且仅当，即时等号成立，故答案为：8．【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比数列的前项和，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．15.设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】依题意首先求出的大致范围，再根据在区间内有零点，无极值点，得到不等式组，，即可求出的取值范围.【详解】解：依题意得，因为函数在区间内有零点，无极值点，，，解得，，当时，满足条件，当时，满足条件，当时，显然不满足条件，综上可得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题.16.设数列{}为等差数列，其前n项和为，已知，若对任意n∈N*，都有成立，则k的值为______.【答案】20【解析】【分析】由题意，转化“对任意n∈N*，都有成立”为S k为S n的最大值．可求得d＝－2，a n＝41－2n，当S n取得最大值时，对任意n∈N*满足，求解即可【详解】对任意n∈N*，都有成立，即S k为S n的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当S n取得最大值时，对任意n∈N*满足解得n＝20.即满足对任意n∈N*，都有成立的k的值为20.故答案为：2017.设，是函数（）的两个极值点，若，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】，是的两个极值点，是的两根，又当时，方程不成立，即，两式作比得到:==，所以，令，所以令，则令，则所以在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以令，则恒成立所以在上单调递减，即故答案为：.三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）18.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，，根据线面平行判定定理证明即可得结论；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求平面与平面的法向量，在根据向量夹角余弦公式即可得所求.【小问1详解】证明：取的中点，连接，．因为是的中点，所以，．又底面为正方形，是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面【小问2详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，，．设，得，则，．因为，所以，解得，从而，，．设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则令，得故平面与平面的夹角的余弦值为19.已知椭圆，离心率为，直线恒过的一个焦点.（1）求的标准方程；（2）设为坐标原点，四边形的顶点均在上，交于，且，若直线的倾斜角的余弦值为，求直线与轴交点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.（2）根据向量等式，可以确定分别是的中点.设，求出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出的坐标，同理求出点坐标，求出直线的方程，最后求出直线与轴交点的坐标.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，可化为，所以直线恒过点，所以点，可得.因为离心率为，所以，解得，由得，所以的标准方程为.（2）因为，所以.由得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为，得直线的斜率为2，所以，联立消去，得.显然，，且，，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直线与轴交点的坐标为.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，考查了数学运算能力.20.已知函数，（，是自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，然后对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）首先令，代入，求得的一个取值范围.构造函数，利用的导函数研究的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1），当时，，函数在上递减；当时，由，解得，故函数在上单调递减，由，解得，故函数在上单调递增．综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当时，，即，故，令，则，若，则当时，，函数在上单调递增，当时，，当时，单调递增，则，符合题意；若，则，，由得，故，存在，使得，且当时，，在上单调递减，当时，，不合题意，综上，实数的取值范围为．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.21.如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．（1）试用，表示、；（2）试用，表示．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.【小问1详解】平行四边形的对角线AC和BD交于点M，，.【小问2详解】点E在BC上，且，，则，于是，即，，所以.22.规定，其中，，且，这是组合数（，且）的一种推广.（1）求的值.（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到（，）？若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意代入计算可得答案.（2）性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.性质②能推广，当时，有；时，运用已知的关系式代入可得证.【详解】解：（1）由题意得.（2）性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.性质②能推广，它的推广形式是.证明如下：当时，有；当时，有.综上，性质②的推广得证.。
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怀仁市2020－2021学年度上学期期中.高三教学质量调研测试理科数学(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.下列集合中，表示方程组x y 3x y l+=⎧⎨-=⎩的解集的是A.{2，1}B.{x ＝2，y ＝1} C 、{(2，1)} D.{(1，2)} 2.若α，β∈(2π，π)，且sinα＝25，sin(α－β)＝－10，则sinβ＝A.7210 B.22 C.12 D.1103.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A.y ＝2x －2B.y ＝log 2xC.y ＝12(x 2－1) D.y ＝12log x 4.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP xOA yOB zOC =++(x ，y ，z ∈R)，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.函数f(x)＝sin(2x ＋3π)向右平移φ(0≤φ≤π)个单位后得到函数g(x)，若g(x)在(－6π，6π)上单调递增，则φ的取值范围是 A.[0，4π] B.[0，23π] C.[4π，23π] D.[12π，4π]6.在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝3，则△ABC 的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 7.若函数f(x)＝e |2x－m|，且f(2x －1)＝f(1－2x)，则f(ln3)＋f(－ln3)＝A.0B.12C.18D.9e ＋9e8.已知函数f(x)在(0，1)恒有f'(x)>2()f xx，其中f(x)为函数f(x)的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则下列正确的是A.cos2βf(sinα)<sin2αf(cosB)B.sin2βf(sinα)>sin2αf(sinβ)C.cos2βf(cosα)>cos2αf(cosB)D.sin2βf(cosα)<cos2αf(sin)，其中f"(x)为函数f(x)的导数，则9.已知函数f(x)＝()22x1sinxx1+++，其中f'(x)为函数f(x)的导数，则f(2020)＋f(－2020)＋f'(2019)－f'(－2019)＝A.0B.2C.2019D.202010.关于函数f(x)＝sinx＋cos|x|有下述四个结论：①f(x)的周期为2π；②f(x)在[0，54π]上单调递增；③函数y＝f(x)－1在[－π，π]上有3个零点；④函数f(x)的最小值为－2。
其中所有正确结论的编号为A.①④B.②C.①③④D.①②④11.对于∀x1∈(1，2)，∃x2∈(1，2)，使得211212485211x x mx mx x-+-+=--，则实数m的取值范围是A.[0，2]B.(－∞，2]C.(－∞，2)D.(0，2)12.定义：M1表示函数y＝f(x)在I上的最大值，已知奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(4－x)，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]则A.M[0，a]＝2B.M[0，a]＝9C.a的取值范围为[4，9]D.a的取值范围为[6，9]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知集合A＝{x|log2x<l}，B＝{x|x1x2-+<0}，则A∩B＝。
14.如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点N为AC的中点，点M是边CB(包括端点)上的一个动点，则AM BN⋅的最小值是。
15.已知f(x)＝3216132m x x x +-+在(－1，1)单调递减，则m 的取值范围为 。
16.函数f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意实数x ，y 满足： f(2)＝2，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，a n ＝()n nf 22(n ∈N *)，b n ＝()n f 2n+1(n ∈N *)考查下列结论：①f(1)＝1；②f(x)为奇函数：③数列{a n }为等差数列；④数列{b n }为等比数列。
以上结论正确的是 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(10分)在①2b ＋c ＝2acosC ②△ABC csinA ＝3asinB 这三条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC 的周长；若问题的三角形不存在，说明理由。
问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，c ＝1， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝14，a m ＋t ＝a m ·a t (m ∈N ＋，t ∈N ＋)，b n ＋2＝314log n a，(n ∈N ＋) (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·b n ，求{c n }的前n 项和S n 。
19.(12分已知向量m ＝(cosx ，－1)，n ＝，－12)，设函数f(x)＝(m ＋n )·m 。
(1)求函数f(x)的最小正周期，以及f(x)在[0，2π]上的单调性。
(2)已知a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a ＝1，c f(A)恰是函数f(x)在[0，2π]上的最大值，求A 和b 。
20.(12分)某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域(区域I)设计成半径为1km 的扇形EAF ，中心角∠EAF ＝θ[4π<θ<2π]。
为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III)，并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上。
已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元。
(1)要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；(2)试问：当θ为多少时，年总收入最大？21.(12分)对于定义域为R的函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：(1)求f{f[f(0)]}；(2)数列{x n}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，求x1＋x2＋x3＋…＋x4n。
(3)若y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b，其中A>0，0<ω<π，0<φ<π，0<b<3，求此函数的解析式，并求f(1)＋f(2)＋…＋f(3n)(n∈N*)。
22.(12分)已知a≠0，函数f(x)＝a(x－2)2＋2lnx。
(1)若函数f(x)在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围；(2)设函数g(x)＝f(x)－4a＋14a，x∈[2，＋∞)，且对于任意的x≥2，有g(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围。
怀仁市2020-2021学年度上学期期中教学质量调研测试高三理科数学答案一选择题 CBCBD DCDBA CD二．填空题13．(0,1) 14．-3. 15．[55]-，16．②③ 三、解答题17、(10.分)解答分在。
则问题中的三角形不存又分10....................,31337 (3)3,3c b a a b a <+=+=∴=评分细则：（1）选择条件①②得出，32π=A 得5分，求得周长得5分，也可以采用余弦定理求出a,b 的值，正确得5分。
18．解析：（Ⅰ）∵114n n a a +=,11,4a = ∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭6分（Ⅱ）由（1）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，nn n n n n n s n c 4323-32)23()41(3132)23()41(⨯+=+-=-•=， . 12分. 19．【解析】（1）由题意可得，2()()()f x m n m m m n =+⋅=+⋅21cos 13sin cos 2x x x =+++cos 21311sin 2222x x +=+++sin(2)26x π=++ ()f x ∴的最小正周期为22T ππ==上单调递减，上单调递增，在在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡266,0)(πππx f ..6分（2）由（1）知()sin(2)26f x x π=++ 又(A)f 恰是函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值 A 为锐角，故2626A A πππ+=∴=由余弦定理可得：2231323b b =+-⨯⨯解得：1b =或2b =12分.20．【解析】（1）∵1AF AE ==，AD AB =，π2D B ∠=∠=， 所以ADF ∆与ABE ∆全等.所以1π22DAF BAE θ⎛⎫∠=∠=- ⎪⎝⎭，观赏区的面积为 ，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求51204S ≥=Ⅱ，即1cos 2θ≥，结合ππ42θ<<可知ππ43θ<≤，则θ的最大值为π3. 6.分. （2）种植区的面积为11··22S AF AE θθ==Ⅰ，正方形面积为221cos 21sin cos 22DAF S AD DAF θ+∠+==∠==，设年总收入为()W θ万元，则1sin 1()1020201020()5201010sin 522W S S S S S S θθθθθθ+⎛⎫=++=+-=+-=+- ⎪⎝⎭ⅠⅡⅢⅠⅠ，其中ππ42θ<<，求导可得()10cos 5W θθ'=-. 当ππ43θ<≤时，()0W θ'>，()W θ递增；当ππ32θ<<时，()0W θ'<，()W θ递增. 所以当π3θ=时，()W θ取得最大值，此时年总收入最大..12分.21．【解析】（1）由表中数据可得[]{}(0)f f f =((3))(1)2f f f =-=2分.（2）12x =，由于1()n n x f x +=，则21()(2)0x f x f ===，32()(0)3x f x f ===，43()(3)1x f x f ===-，54()(1)2x f x f ==-=，所以15,x x =，依次递推可得数列{}n x 的周期为4，又12344x x x x +++=，所以12344n x x x x n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=.6分.（3）由题意得(1)2(1)2(0)3(2)0f f f f -=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，由(1)(1)f f -=，得sin()sin()ωϕωϕ+=-+，即sin cos 0ωϕ=，又0ωπ<<，则sin 0ω≠，从而cos 0ϕ=，而0ϕπ<<，所以2ϕπ=，故(0)3(2)cos 20(1)cos 2f A b f A b f A b ωω=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+=⎩，消b ，得2cos 32(2cos 1)30A A A A ωω+-=⎧⎨-+-=⎩ 所以22242230A A A A -+-+=，解得12,1,cos 2A b ω===，又0ωπ<<， 所以3πω=，所以()2sin()12cos 1323f x x x πππ=++=+，.. …………9分. 此函数有最小正周期6，且(6)(0)3f f ==，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6f f f f f f +++++=，当*2,n k k N =∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)[(1)(2)(6)]63f f f k k f f f k n +++=+++==；当*21,n k k N =-∈时，(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+=(1)(2)(6)(62)(61)(6)[(1)(2)(6)]5f f f k f k f k f k k f f f +++-----=+++-6532k n =-=-. .12分.22．【解析】（1）∵f （x ）＝ax 2﹣4ax +4a +2ln x ，∴()'f x ＝2ax ﹣4a 22242ax ax x x-++=；又∵f （x ）在[1，4]上是增函数，∴在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立； 令φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2，则φ（x ）＝2a （x ﹣1）2﹣2a +2，当a ＞0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（1）≥0，即﹣2a +2≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（4）≥0，即16a +2≥0，解得a 18≥-，∴18-≤a ＜0； 综上，实数a 的取值范围是{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}..5分. （2）由题意，使a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a +≥x 在[2，+∞）上恒成立， 令h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x ，则h （x ）min ≥0在[2，+∞）上恒成立②； ∴h ′（x ）＝2ax ﹣4a 2x +-1，即h ′（x ）()()221x ax x--=； （i ）当a ＜0时，∵x ＞2，∴h ′（x ）≤0，∴h （x ）在[2，+∞）上是减函数，且h （4）＝2ln4﹣414a+＜0， ∴②不成立；（ii ）当0＜a 14＜时，212a ＜，此时当x ∈[2，12a ]时，h '（x ）＜0，当x ∈[12a，+∞）时，h '（x ）＞0，∴h （x ）在[2，12a ]上是减函数，在[12a ，+∞）上是增函数， ∴h （x ）min ＝h （12a ）＝a （12a -2）2+2ln 12a -4a 1142a a+-=-2﹣2ln2a ， ∴只需﹣2﹣2ln2a ≥0，解得a 12e ≤；∴0＜a 12e≤时②成立；（iii）当a14≥时，212a≥，此时当x∈[2，+∞）时，h'（x）＞0，∴h（x）在[2，+∞）上是增函数，∴h（x）min＝h（2）＝2ln2﹣4a14a+-2，∵﹣4a14a+≤0，2ln2﹣2＜0，∴h（x）min＝h（2）＜0，∴②不成立；综上，0＜a12e≤12分.。