A动画 管理系统工程教学课件第六章：线性规划剖析

0 90 L
L3
目标函数线的法线方向
0 50 0 30
C D
可行解域
L2
L1
0 10
E 20 40 60 80 100
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（LP）模型图解法之步骤
1、作各等式对应的直线 2、确定可行解域 线 3、作目标函数线及其法 4、找出离目标函数线距 离最远的可行解点 在法线方向找， minZ在负法线方向找 注：maxZ
该模型的解为生产计划
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〈1〉目标函数
〈2〉约束条件
【第六章：线性规划*48*】 有动画
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（LP）模型的形式：
1、矩阵形式
记： C =（c1、c2、c3、……cn）
X =（x1、x2、x3、……xn）T A =（aij）m×n b =（b1、b2、b3、……bm）T 则（LP）模型的矩阵形式为：
价值系数行向量 决策变量列向量
技术系数矩阵
资源限定列向量
max Z CX （＝ ）b AX X 0
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2、极大化典型形式（实际问题一）
max Z CX AX b X 0
3、极小化典型形式（实际问题二）
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（LP）模型图解法
max Z 6x1 4x2
70 60 50 40 30 20 10 0
3x1+9x2=270的法线方向
270 3 x1 9 x2＜（＝） 2 x 3 x ＜（＝） 100 1 2 120 4 x1 2 x2＜（＝） x1、x2 0
C
m
n
个。
☆基本可行解
满足非负要求的基本解称之为基本可行解。
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四、单纯形法求解步骤及单纯形表结构特征
求解步骤： 1、将模型变为标准型，列初表 2、判断解是否最优（判断准则：全部的σj≤0则达优），若不是最优则 进行下一步 3、进行解的转换 （1）确定基准列第k列（确定进基变量） σk=max{σj} （σj＞0） （2）确定基准行第l行（确定退基变量） θl=min{θi} θi=bi/aik （aik＞0） （3）确定主元素：基准行与基准列交叉处的元素 （4）进行矩阵的初等行变换，变换的目标是： “ 基准列的主元素变为1；其余的元素变为0” 4、重复判断步骤，直至寻求到最优解
xl 为剩余变量
x j xj xj 则xj，xj 0 5、 x j 为自由变量，设
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第二节 （LP）模型求解的单纯形法
一、单纯形法的基本思想：
单纯形法的基本思想是从有限个基本可行解中选择几个予以比较，从
而得到最优解。
（六）
《管理系统工程》
线性规划模型、实例及求解 线性规划模型求解的一般方法：单纯形法 线性规划问题的对偶问题，对偶单纯形法
第六章 管理系统决策定量分析模型：线性规划
第一节 第二节 第三节
第四节
第五节
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线性规划问题的灵敏性分析
多目标规划法中的目的规划法简介
【第六章：线性规划*48*】 有动画 1
第一节
线性规划模型、实例及求解
一、线性规划予以解决的实际问题
1、资源给定，如何对给定资源予以充分地、合理地运用，使之完成的
任务尽可能地多。 2、任务给定，如何以尽可能少的资源消耗来完成给定的任务。
可见，上述两类问题都是寻求利润最大。第一类，是以最大收成本。
附加变量：为求解（LP）模型所引入的变量称之。 （1）松弛变量：为处理约束条件所引入，又分为不 足 变量和剩余变量 （2）人工变量：为人为地制造一个基而引入的变量
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【第六章：线性规划*48*】 有动画
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2、目标函数；约束条件
3、（LP）模型的解的概念
可行解：称满足约束条件的解为可行解。 最优解：能使目标函数得以满足的可行解称之为最优解。
二、单纯形法的求解步骤：
1、以最简单的方法确定第一个基本可行解 2、判断该解是否最优，若是最优则最优解得到，若不是最优解则进行下一 步 3、在保证目标函数至少不减（目标函数求最大值模型）的前提下，转换到 另
一个基本可行解上
2017/2/26 4、重复判断步骤，直至寻找到最优解 【第六章：线性规划*48*】 有动画 17
min Z CX
AX b X 0
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4、标准型形式（模型求解的基础）
max Z CX
AX b X 0
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（LP）问题的基本术语
1、变量
决策变量：对需要优化的经济量所设置的变量称之。
（1）基变量的列系数均为单位向量
（2）基变量的检验数均为零 （3）最右边的常量均大于等于零
（4）检验数行全部小于等于零
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【第六章：线性规划*48*】 有动画
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学生练习题1
用单纯形法求解
max Z 3x1 5 x 2 x1 4 2 x 12 2 3x1 2 x 2 18 x1、x 2 0
（2）（LP）模型的最优解如果存在，一定可以在凸集合的极点上得
到。
（ 3）若（LP）模型的最优解在一个极点上得到，则该模型最优解唯
一；若在两个极点上同时取得，则该模型有多重最优解。 （4）若作图以后；满足各约束条件的共同部分不存在，则该模型无可 行解。 （5）若找不到离目标函数线距离最远的可行解点，则该模型无有限最
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• （LP）模型间相互转换的规则
1、 min Z c x c x c x max Z c x c x c x 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
( Z Z )
2、 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
3、 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn xl bi
xl 为不足变量
4、 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn xl bi
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三、线性规划的数学模型
例 1： 某厂拟定利用三种资源：铸件、锻件、加工人时生产A、B两种型号的设
备。已知资料如下表所示：
A 铸件 锻件 加工人时 设备售价 3 2 4 6万元/台 B 9 3 2 4万元/台 资源量 270（吨） 100（吨） 120（百人时）
优解。（开区域时发生）
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1、线性规划模型的一般形式
max(min)Z c1 x1 c2 x2 c j x j cn xn
a11 x1 a12 x 2 a1 j x j a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 j x j a 2 n x n (, )b2 s.t.ai1 x1 ai 2 x 2 aij x j ain x n (, )bi a m1 x1 a m 2 x 2 a mj x j a mn x n (, )bm x j、x n 0 x1、x 2、
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学生练习题2
用单纯形法求解
max Z 6 x1 14x 2 13x3 0.5 x1 2 x 2 x3 24 x1 2 x 2 4 x3 60 x 、x 、 x 0 1 2 3
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【第六章：线性规划*48*】 有动画
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五、用矩阵形式表出的单纯形表
公式（1）某非基变量检验数计算公式： σj=Cj-CBB-1Pj
（2）某非基变量列系数计算公式：
Pj*=B-1Pj
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一、利用铸件、锻件、加工人时生产AB设备之例求解单纯形表
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一、利用铸件、锻件、加工人时生产AB设备之例求解单纯形表
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例1求解的结论
共搜索了三个基本可行解 X（1）=（0、0、270、100、120） X（2）=（30、0、180 、40、0） X（3）=（20、20、30、0、0） 最优解为： X*= （20、20、30、0、0）
max Z 3x1 5 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 x3 4 2 x x 12 2 4 3x1 2 x2 x5 18 x1 _ 5 0
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【第六章：线性规划*48*】 有动画
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【第六章：线性规划*48*】 有动画
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六、利用Excel Solver对线性规划模型求解