下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表

第四章（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：（1）利用短期生产的总产量（TP）、平均产量（AP）和边际产量（MP）之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如下表：（2）所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。

本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2．用图说明短期生产函数(,)Q f L K =的TP L 曲线、AP L 曲线和MP L 曲线的特征及其相互之间的关系。

关于TP L 曲线。

由于LLdTP MP dL=，所以，当MP L >0时，TP Ｌ曲线是上升的；当MP L ＜0时，TP Ｌ曲线是下降的；当MP L ＝0时，TP Ｌ曲线达到最高点。

换言之，在Ｌ＝Ｌ３时，ＭＰＬ曲线达到零值的Ｂ点与ＴＰＬ曲线达到最大值的Ｂ′点是相互对应的。

此外，在Ｌ＜Ｌ３即MP L >0的范围内，当L MP '﹥0时，ＴＰＬ曲线的斜率递增，即ＴＰＬ曲线以递增的速率上升；当L MP '<0时，ＴＰＬ曲线的斜率递减，即ＴＰＬ曲线以递减的速率上升；而当L MP '=0时，ＴＰＬ存在一个拐点，换言之，在Ｌ＝Ｌ１时，ＭＰＬ曲线斜率为零的Ａ点与ＴＰＬ曲线的拐点Ａ′是相互对应的。

关于AP L 曲线。

由于L L TP AP L=，所以在Ｌ＝Ｌ2时，TP L 曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C 。

该切点是由原点出发与TP L 曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是AP L 的最大值点。

再考虑到AP L 曲线和ＭＰＬ曲线一定会相交在AP L 曲线的最高点。

因此，在上图中，在Ｌ＝Ｌ2时，AP L 曲线与ＭＰＬ曲线相交于AP L 曲线的最高点C ′，而且与C ′点相对应的是TP L 曲线上的切点C 。

3.已知生产函数22(,)20.50.5Q f L K KL L K ==--，假定厂商目前处于短期生产，且K=10.（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L 函数、劳动的平均产量AP Ｌ函数和劳动的边际产量ＭＰＬ函数。

（２）分别计算当劳动的总产量ＴＰＬ、劳动的平均产量ＡＰＬ和劳动的边际产量ＭＰＬ各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。

（３）什么时候ＡＰＬ＝ＭＰＬ？它的值又是多少？ 解答：（1）由生产数Q=2KL-0.5L 2-0.5K 2,且K=10，可得短期生产函数为：Q=20L-0.5L 2-0.5*102 =20L-0.5L 2-50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：劳动的总产量函数TP L =20L-0.5L 2-50 劳动的平均产量函数AP L =20-0.5L-50/L 劳动的边际产量函数MP L =20-L （2）关于总产量的最大值：令L dTP dL =0，即LdTP dL=20-L=0 解得L=20且2210Ld TP dL=-<所以，劳动投入量L=20时，劳动的总产量达到极大值。

关于平均产量的最大值：令L dAP dL =0，即LdAP dL=-0.5+502L -=0 解得L=10（负值舍去）且2321000Ld AP L dL-=-<所以，劳动投入量为L=10时，劳动的平均产量达到极大值。

关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MP L =20-L 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。

考虑到劳动投入量总是非负的，所以，L=0时，劳动的边际产量达到极大值。

（3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有AP L =MP L 。

由（2）可知，当L=10时，劳动的平均产量AP L 达最大值，及相应的最大值为：AP L 的最大值=20-0.5×10-50/10=10以L=10代入劳动的边际产量函数MP L =20-L ，得MP L =20-10=10很显然AP L =MP L =10时，AP L 一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L=10。

4、已知生产函数为{}min 2,3Q L K =。

求：（1）当产量Q=36时，L 与Ｋ值分别是多少？（２）如果生产要素的价格分别为ＰＬ＝２，ＰＬ＝５，则生产４８０单位产量时的最小成本是多少？ 解答：（1）生产函数Q=min ｛2L,3L ｝表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q=2L=3K. 因为已知产量Q=36，所以相应地有L=18,K=12。

（2）由Q=2L=3K,且Q=480，可得： L=240,K=160又因为P L =2,P K =5，所以 C=2×240+5×160=1280 即最小成本。

5、已知生产函数是{}12332(1)5(2)(3)(4)min 3,Q L K KL Q K LQ KL Q L K ==+==求：（１）厂商长期生产的拓展线方程。

（２）当P Ｌ＝１，ＰＫ＝１，Ｑ＝１０００时，厂商实现最小成本的要素投入组合。

（1）思路：先求出劳动的边际产量与要素的边际产量 根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。

（a ） K=(2P L /P K )L（b ） K=( P L /P K )1/2·L （c ） K=(P L /2P K )L （d ） K=3L（2）思路：把PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出（a ）L=200×4-1/3K=400×4-1/3 (b) L=2000， K=2000 (c) L=10×21/3 K=5×21/3 (d) L=1000/3 K=1000６.已知生产函数Ｑ＝AL 1/3K ２/３.判断：（１）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？（２）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？(1).因为Q=f(L,K)=AL 1/3K ２/３于是有F( λl ，λk )=A （λL ）1/3（λK ）２/3=λAL 1/3K 1/3=λf(L,K) 所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。

（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以k 表示；而劳动 投入量可变，以L 表示。

对于生产函数Q=AL 1/3k -2/3，有：MP L =1/3AL -2/3k -2/3，且d MP L /d L =-2/9 AL -5/3k -2/3<0 这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。

相类似的，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以L 表示；而资本投入量可变，以K 表示。

对于生产函数1233Q ALK=，有：MP k =113323AL L -,且143329dMPk AL K dK -=-﹤0 这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPk 是递减的。

7、令生产函数120123(,)(),010,1,2,3.i f L K a a LK a K a L a i =+++≤≤=其中，，（１）当满足什么条件的时候，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（２）证明：在规模报酬不变的情况下，相应地边际产量是递减的。

解答：规模报酬不变的定义f (λL,λK)=λ⋅f (L,K) (0λ>)于是有：f ()()()()()120123,L K a a L K a K a L λλλλλλ=+++⎡⎤⎣⎦()()()()()12012312012301,1a a LK a K a La a LK a K a L a f L K a λλλλλλλ=+++⎡⎤=++++-⎢⎥⎣⎦=+- 由上式可见：当00a =时，对于任何的0λ>，有()(),,f L K f L K λλλ=⋅成立，即当α0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模保持不变，即α0=0，生产函数可以写成()()12123,f L K a LK a K a L =++相应地，劳动与资本的边际产量分别为：()112213112212(,)1,,2(,)1(,)2L K f L K MP L K a L K a L f L K MP L K a L K a K --∂==+∂∂==+∂ 而且有：31222121322212(,)(,)14(,)(,)14L K MP L K f L K a L K L L MP L K f L K a L KK K --∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂ 显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。

8．已知某企业的生产函数为Ｑ＝L ２１３３Ｋ，劳动的价格ｗ＝２，资本的价格ｒ＝１.求：（１）当成本Ｃ＝３０００时，企业实现最大产量的Ｌ、Ｋ和Ｑ的均衡值。

（２）当产量Ｑ＝８００时，企业实现最小成本的Ｌ、Ｋ和Ｃ的均衡值。

解答：(1).根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：113322331133223323132,122311311L K L K MP wMP rdQ MP L K dL dQ MP L K dK w r L KL K K L K L----==========再以K=L 代入约束条件2L+1×K=3000，有： 2L+L=3000解得L=1000，K=1000以L=K=1000代入生产函数，求得最大的产量2121333310001000Q L K +===（2）可由同（1）的思路得L=K=800； C=24009利用图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。

解答：以下图为例，要点如下：分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等成本线AB 之间的关系.等产量线Q3虽然高于等产量线Q2。

但惟一的等成本线AB 与等产量线Q3既无交点又无切点。

这表明等产量曲线Q3所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量。

再看Q1虽然它与惟一的等成本线相交与a 、b 两点，但等产量曲线Q1所代表的产量是比较低的。

所以只需由a 点出发向右或由b 点出发向左沿着既定的等成本线 AB 改变要素组合，就可以增加产量。

因此只有在惟一的等成本线AB 和等产量曲线Q2的相切点E ，才是实现既定成本下的最大产量的要素组合。

10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。

解答：如图所示，要点如下：（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本线以供分析，并从中找出相应的最小成本。

（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，A”B”虽然代表的成本较低，但它与既定的产量曲线Q 既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q 所代表的产量，等成本曲线AB 虽然与既定的产量曲线Q 相交与a 、b 两点，但它代表的成本过高，通过沿着等产量曲线Q 由a 点向E 点或由b 点向E 点移动，都可以获得相同的产量而使成本下降。