线性代数B11-12(2)B试卷
同济大学线性代数B期中试卷(A卷)11-12参考答案
一、填空题与选择题(每空3分，共24分,选择题为单选)1、行列式10110111中21a 的代数余子式21A = 1 .2、矩阵302101153049217C -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭中的元素23c = 75 .3. 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵(n>1)，下列命题正确的是 B .(A). ()TT T A A A A -=-(B). ,TAB B A =(C). ()()22A B A B A B -+=-(D).AB AC =且0A ≠则B C =4、设n 阶方阵A ,B ,C 满足等式 ABC E = (E 为单位矩阵)，则等式 A 成立.(A). BCA E = (B). BAC E =(C).ACB E =(D). CBA E = 5、设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123112233123333b b b B a c a c a c cc c ⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭,1010100001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2100013001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则有 C(A). 21P AP B = (B). 12PAP B = (C). 21P PA B = (D). 12APP B =6、设3阶矩阵A 的伴随矩阵为*A , A =12，则1*(3)2A A --=1627-. 7、 已知方阵A 满足3A A E O --=, 则()1A E --=2A A +.8、设A 是()m n m n ⨯<.矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，秩()R A r =，秩1()R AC r = , 则 C .(A).1n r r >>, (B ).1r r n >>, (C). 1r r =, (D). 1r n =二、(12分)行列式1357246813301111D =- 求211A +412A －213A +14A . 解: 211A +412A －213A +14A =24212468'13301111D -=-2421000024682468'01330133011111111D -===--三、（6分）已知A 为3阶方阵，P 为3阶可逆阵，且满足1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 求100A .解: 由1100010001PAP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭知10011003100010001PA P E -⎛⎫⎪=-= ⎪⎪⎝⎭,故100133A E E P P -==四、(6分)设矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 求1A -.解:方法1:012100114010210001r B ⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭10021101042131001122⎛⎫⎪- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故121142131122A -⎛⎫⎪- ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭方法2:2A =, *422842321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭1*211142131122A A A -⎛⎫⎪- ⎪==- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭五、(12分)设331211223132222x x a x x x a x x x x a-+=⎧⎪-+=-=+⎨+⎪⎩，证明这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑证: 方程组增广矩阵1121232110332000ra B a a a a a -⎛⎫⎪−−→-+ ⎪ ⎪++⎝⎭, 则()2R A =, \而()2R B =当且仅当1230a a a ++=, \ 因方程组有解当且仅当()()R A R B =,故这个方程组有解的充分必要条件是310ii a==∑六、(10分)设121212a a A b b c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111222x y z B x y z ⎛⎫=⎪⎝⎭, (1). 求AB ; (2).求行列式AB . 解 (1).112211221122112211221122112211221122a x a x a y a y a z a z AB b x b x b y b y b z b z c x c x c y c y c z c z +++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭(2). 由()min{(),()}()2R AB R A R B R A ≤≤≤. 故AB 不是满秩的, 故0AB =七、(本题15分)设n 阶方阵,A B 满足A B AB +=(1). 证明A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 若200030004B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A .(3). 等式AB BA =是否成立? 为什么?(1)证:由A B AB +=及()()A E B E AB A B E --=--+知()()A E B E E --=\故A E -可逆且其逆阵为B E -.(2). 由A B AB +=知()A B E B -=,而100020003B E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭可逆,故1()A B B E -=-1002002001303000002200414000033⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3). 等式AB BA =成立. 由()()()()A E B E A E B E E --=--=, 故AB A B E BA B A E --+=--+ 故AB BA =八、(15分)设线性方程组12321231232121x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪-++=-+⎨⎪++=⎩， 问当λ取何值时，(1). 此方程组有唯一解? (2). 此方程组无解?(3). 此方程组有无穷多解?解:()211211121,11B A b λλλ⎛⎫ ⎪== ---+ -⎪⎪⎝⎭()()112211111A λλλλ-=-=-++(1)当2λ≠- 且1λ≠-时,A 可逆, 此方程组有唯一解. (2)当2λ=-时,112111222111B --⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ 103001500001r ⎛⎫ ⎪−−→ ⎝-⎭-⎪⎪此时()2R A =,()3R B =,方程组无解 (3).当1λ=-时,112111111111B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 110100100000r --⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭此时()()23R A R B ==<, 方程组有无穷多解.。
淮海工学院11-12-2线性代数B答案
淮 海 工 学 院11 - 12 学年 第2 学期 线性代数 期末试卷（B 卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，C 是m s ⨯矩阵，则下列运算有意义的是（ C ） (A ) AB (B ) BC (C ) T ABD. T AC2.设A,B 为n 阶矩阵，下列命题正确的是--------------------------------------------（ C ）(A )2222)(B AB A B A ++=+ (B )22))((B A B A B A -=-+ (C )2()()A E A E A E -=+- (D )222)(B A AB =3. 设矩阵111213212223313233a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0(1,2,3)i i a b i ≠=则()R A ＝--（ B ） (A ) 0 (B )1 (C )2 (D )34. 在下列矩阵中，可逆的是-----------------------------------------------------------（ D ）(A )000010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )110220001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C )110011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )100111101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5. 如果行列式1112132122233132330a a a a a a d a a a =≠，则112133132321223222333a a a a a a a a a =--------------（ B ）（A )2d (B )6d (C )3d (D )6d -6. 设A 为n 阶方阵且0A =，则------------------------------------------------------（ C ）(A )A 中必有两行（列）的元素对应成比例；(B )A 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合； (C )A 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；(D )A 中至少有一行（列）的元素全为07.设A 是n 阶矩阵，则以下选项中错误的结论是--------------------------------（ C ） (A )当AX b =无解时，A O = (B )当AX b =有无穷多解时，A O = (C ) 当A O =时， AX b =无解 (D )当AX b =有唯一解时，A O ≠8.矩阵112A ⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭与下列哪个矩阵相似----------------------------------------（ C ） (A )203034001⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )100020002⎫⎛⎪⎪⎪⎝⎭(C )100011002⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )101030001⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.1211A ⎫⎛=⎪ -⎝⎭,32a b B ⎫⎛=⎪ ⎝⎭，若AB BA =,则a = 8 ，b = 62．若A 为三阶方阵，21A =,则1A -= 8 ,*A =1643.设矩阵103101230000A -⎫⎛⎪=⎪⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组AX O =的基础解系中向量个数为 2 。
《线性代数》样卷B及答案(1)
《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。
线性代数试卷及答案
考试科目： 线性代数考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1.设n B A 均为,阶方阵，则必有（ D ）(A) B A B A +=+(B) BA AB = (C) 111)(---+=+B A B A(D) BA AB =2. 已知,A B 均为n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 一定是( C )(A) 对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵3．设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则( C )(A) 0,0a b ==(B) 0,0a b =≠ (C) 0,0a b ≠=(D) 0,0a b ≠≠4．设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则2*-A =（ A ）5. 设 (),ij n n A a ⨯=且A 的行列式A =0, 但A 中某元素kl a 的代数余子式 0,kl A ≠ 则齐次线性方程组0AX =的基础解系中解向量个数是( A )二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 设四阶行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3且他们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D=______2_______．7. 向量[1,4,0,2α=与[2,2,1,3]β=-的距离和内积分别为_________和___0____.8. 设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k ==-αβ(1,1,4)=--T γ线性相关，则k =___1___.(A) 52-(B) 32-(C) 32(D) 52(A) 1 (B) k (C) l (D) n9. 已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x x x x x x x x x λ=+-+++正定, 则λ的取值范围为 ．10. Matlab 软件中，在命令窗口输入rank(ones(2,3))，显示ans= ．三、计算题11.(8分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A B A -.12.（8分）计算行列式1111111111111111D -=--.四、解方程组13. (10分) λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+=+-13113321321321x x x x x x x x x λ 有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解.五、解答题14.（10分）求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)T T T T αααα=-=-=-=-的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.15. (7分) 求矩阵A=2000014000100009⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.16.(10分) 设2阶矩阵A 的特征值为1，2，对应的特征向量依次为1201,,11αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求矩阵A ; （2）求2010A .17.（6分） 求二次型112212(,)34x f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵A ，并求f 的秩.六、证明题18.(6分) 设A ，B 都是n 阶矩阵，AB A B =+，证明 （1）A E -，B E -都可逆； （2）AB BA =.参考答案和评分标准一. 每小题3分，共15分， 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A二 每小题4分，共20分 6. 27.0 8. 19. 405λ-<<10. 1 三.11. 满分8分110012001T A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,………………………2分 122013002T A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭………………………5分1222213040T A B A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………8分12. 满分8分8-（用行列式性质或行列式定义，适当给步骤分） ………………………8分四13. 满分10分131111111111()11110422042231104320010R A b λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………5分 1,()()3R A R B λ∴≠-==当时有唯一解1,()()23R A R B λ=-==<当时有无穷多解 ……………………7分11111100,0422021100000000R ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时基础解系为 ()1,1,2T ξ=， 特解为 ()0,0,1Tη=…………………10分五14. 满分10分12342314113311332314(,,,)3241324110211021A αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭………2分 11331133102105510011201120551000000000011200000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭………6分 12312412() 2.,R A αααααααα∴=就是一个极大无关组,且=2-,=-+2 …10分15. 满分7分1100020140001010009A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (用初等变换或定义或分块矩阵，适当给步骤分) ………7分16. 满分10分（1）由题意：1201()11P αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，1P AP -=Λ， ………………2分 所以10110012011021111A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………5分 （2）201020101-=ΛA P P ………………7分 12010011001110211-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2010201020211⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………10分17. 满分6分51121312(2)34245242A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭； …………………4分 因为0A ≠，所以()2R A =；即二次型f 的秩为2. …………………6分 六18. 满分6分（1） 因为()()(),A E B E AB A B E E --=-++=所以A E -，B E -都可逆。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
线代B试题与答案
《线性代数》试题B 与答案一、填空题（每空格2分，共14 分）1.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.2.设矩阵1102A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则2A = ；nA = . 3.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()T A A -= .4.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .5.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 .6.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = . 二、选择题（每小题 3分，共 15 分）1.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( ) （A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出 2.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*16A 3.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r > 4.设同阶非零矩阵,A B 满足A B O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( ) （A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关 （C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错 5.若矩阵10000201a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与1000002b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似,则( ) （A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=-三、计算题（每小题9 分，共27分）1．求行列式10121103111010203040---的第四行元素的代数余子式之和.2．设矩阵011221103A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,0,1,0)a = ，(1,1,0,1)b =- ，(1,2,1,2)c =-- ，(1,1,0,1)d =--的秩和一个极大无关组.四、计算、讨论题（每小题12分，共36分） 1．设矩阵121201101A a a a⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组A X b =对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且A X b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵00111100A a-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．3．用矩阵形式表示三元二次型222123233222f x x x x x =+++，并判别f 是否为正定二次型？五、证明题（共8分）设*X 是非齐次线性方程组A X b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证: 向量组*X ，1X ，2X 线性无关.答案：一、填空题（每空格2分，共14 分）1.负.2.1304⎛⎫⎪⎝⎭；12102nn⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3.3n. 4.1-. 5.1-. 6.1. 二、选择题（每小题 3分，共 15 分） 1.D . 2.B . 3.B . 4.C . 5.A . 三、计算题（每小题9 分，共27分） 1．1-． 2．122210025⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. 3．3r =；,,a b c . 四、计算、讨论题（每小题12分，共36分） 1．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．3．记300021012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123x X x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，T f X AX =；f 是正定二次型． 五、证明题（共8分）提示：设有常数012,,k k k 使得*01122k X k X k X O ++=，推出00k =，120k k ==．。
线性代数B期末试卷及答案
线性代数B期末试卷及答案2008 – 2009学年第⼆学期《线性代数B 》试卷⼀⼆三四五六总分⼀、填空题(共6⼩题，每⼩题 3 分，满分18分）1。
设??-=*8030010000100001A ,则A ＝。
2。
A 为n 阶⽅阵，T AA =E 且=+3．设⽅阵12243,311t -??=-A B 为三阶⾮零矩阵，且AB=O ，则=t . 4。
设向量组m ααα,,,21 线性⽆关，向量不能由它们线性表⽰，则向量组,,,,21m ααα的秩为。
5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0,则⼆次型f =x T A x 化为f =y T A —1 y 的线性变换是x = ．６．设3R 的两组基为()T11,1,1a =，()21,0,1a T=-，()31,0,1a T=；),1,2,1(1=βT ，()()232,3,4,3,4,3ββ==T T，则由基123,,a a a 到基123,,βββ的过渡矩阵为 .得分6⼩题，每⼩题3分，满分18分）1.设D n为n阶⾏列式，则D n＝0的必要条件是[ ].（A）D n中有两⾏元素对应成⽐例；(B) D n中各⾏元素之和为零;(C） D n中有⼀⾏元素全为零；（D）以D n为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有⾮零解．2．若向量组，，线性⽆关，，，线性相关，则[ ].(A)必可由，,线性表⽰；（B) 必可由，,线性表⽰;(C）必可由,,线性表⽰；(D）必可由，，线性表⽰.３．设3阶⽅阵A有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P1，P2，P3,令P＝（P1，P2，P3），则P－1AP＝[ ]。
（A)100010000-；（B)000010001-；（C)000010001－； (D）100000001－．４．设α1，α2，α3线性⽆关，则下列向量组线性相关的是[ ］.（A）α1，α2，α3 - α1；（B)α1，α1+α2，α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1； (D)α1-α2，α2—α3，α3—α1.５．若矩阵A3×4有⼀个3阶⼦式不为0，则A的秩Ｒ（A） =[ ].（A) 1； (B）2；（C）3； (D）4．６．实⼆次型f＝x T Ax为正定的充分必要条件是［］.（A) A的特征值全⼤于零；（B） A的负惯性指数为零；（C）｜A| > 0 ; （D) R(A) = n .得分三、解答题（共5⼩题，每道题8分，满分40分）1。
线性代数B同步测试题五套
线性代数B同步测试题五套线性代数习题库第一套一.填空题(每小题3分,满分30分) ????1?m,?1?2?2?3?n,则1.设?1,?2,?3,?1,?2都是4维列向量,且4阶行列式124阶行列式?5?A??4?6?2x4?3?? 1???4????4??相似于对角阵?A?18,则2???3??,则x? *?3?2?1??1??2??_______________。
9.设A为3阶方阵,A为伴随矩阵,*?,?,???,??,??1??A??3??1?8A=______ _____ 2.已知123线性相关,3不能12线性表示则12线性__________ 10.设 3.设A是m?n阶矩阵,B 是n?s阶矩阵,,R?A??r,且AB?0,则R?B?的取值范围是________________ ?12?1?4.设A是4?3矩阵,且A的秩R?A??2且A???3x?2???102???5?41??B???020??是不可逆矩阵,则x?____________ 二(8分)计算行列式???103?? 1?x111则R?AB??__________- 11?x115.设0是矩阵111?y1?一. 1111?yA??101?? ?020? ??10a?? 三.(8分) 三阶方阵A,B满足关系式:AB?E?A2?B,且的特征值,则a?_____________. ?101?f(x22226.设1,x2,x3)?x1?kx2?kx3?2x1x2是正定二次型, A???020???则t的取值区间为?101??, 7.矩阵求 B. ?104? A??四.(10分)设?02?1????1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1, 2?,?4?13?? 对应的二次型是_______________ ?3??3,0,7,14?,? 4??1,?1,2,0?,8. 设求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数k 取何值时, 方程组1 ?5??2,1,5,6? 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. ?x1???x1?x? 1???x2kx2x2???kx3x32x3???4k24. 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则A=?45. 11111111T与向量组α1= (2,2,2,2) , α2= (2,2, -2, -2)T , 六. (16分)求正交变换X?PY,将二次型f?x1,x2,x3??x?4x?4x?4x1x2?4x1x3?8x2x 3化为2122231111α3= (2, -2,2, -2)T ,都正交的单位向量α4= 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设A,B 都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA 有相同的特征值. 八. (8分)设向量组A:?1,?2,?,?m线性无关,向量?1可向量组A线性表示,而向量?2不能向量组A 线性表示. 证明:m?1个向量?1,?2,?,?m,l?1??2必线性无关.第二套一. 填空题(每小题3分，满分30分) 9. 100085007602003= β 1 6.A是3×4矩阵，其秩rank?A?=2, B=?1??0???2?010??0????2??1, 则rank?BA?= _____7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用,β2 ,α表示Ax=b的通解为。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
线性代数B模拟试卷参考答案
线性代数B模拟试卷参考答案线性代数B 模拟试卷参考答案模拟试卷⼀⼀、（15分）填空题：1.设123456110A ??=-，则 |A|= , A*=,A -1=.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= , 夹⾓<α,β>= .3.齐次线性⽅程组123412341234123423024025200ax x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-+-=??+--=??+++=?有⾮零解，则a= . （由系数⾏列式为0推得） 4.设矩阵123456A ??=??-??，1224510B ??=??-??，初等矩阵P 满⾜：AP=B,则P=.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 5. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性关. （ch3/Th7/推论2）⼆、（15分）选择题： 1.设3阶⾏列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+；（B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++. (ch1/⾏列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（）.(A)A 中只有⼀个r 阶⼦式不为零，其余的r 阶⼦式全为零；(B) A 中存在⼀个r 阶⼦式不为零，所有的r+1阶⼦式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶⼦式均不为零，⽽⾼阶⼦式全为零.3. 设线性⽅程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=??++=??++=?有唯⼀解，则（）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（）.(A) α1⼀定可由α2,α3,…，αs 线性表⽰； (B) α1⼀定不可由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(C) 其中⾄少有⼀个向量可由其余s-1个向量线性表⽰. 5.n 阶⽅阵A 与对⾓阵相似，则（）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性⽆关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT = (1/2,0,…,0,1/2),⼜A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合. 五、（14分）求⾮齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.六、（18分）设⼆次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.⽤正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q. 七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵.模拟试卷⼆⼀、（15分）填空题：1.在4阶⾏列式det[aij]中，含有因⼦a 11a 32的项有：.130121A ??=A T 为A 的转置矩阵，则矩阵乘积AA T = ，A T A= .3. 矩阵103211000000A =??的秩= . 4.设B,C 为可逆矩阵，分块矩阵O B A C O ??=??, 则A -1= 5. ⽤矩阵形式表⽰⼆次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ?? ?，.⼆、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21；（C ）10101010101011123221()333()12. .2.设线性⽅程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=?++-+=??-++=-?有⽆穷多组解，则（）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性⽆关的充要条件为（）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表⽰；(B)α1,α2,…，αs 的秩⼩于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s. 4.设b A a ??=为正交矩阵，则（）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶⽅阵A 与对⾓阵100020003??-??相似，则（）.(A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A=，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E-?--1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r--→→---???---, ∴A -1=0001001301/21/211025-?--??-??. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性⽅程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??-+-=?的通解.五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T ,α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组的秩及⼀个最⼤⽆关组，并将其余向量表⽰成最⼤⽆关组的线性组合.六、（20分）设对称矩阵A=2000120211.求A 的特征值与特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q 和对⾓阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.模拟试卷三⼀、（15分）填空题：1.设n 阶⽅阵A 的⾏列式|A|=2,则A 的伴随阵的⾏列式|A*|= .123110,111A =--??121111,110B ??=--矩阵X 满⾜： AX=B,则X=A -1B=3. 设ξ1=(2,0,-1)T, ξ2=(1,0,0)T 为线性⽅程组1231231232112225x x x x x x ax bx cx ++=??-+=??++=? 的两个解向量，则⽅程的通解为 .（⽅程解不唯⼀，故系数⾏列式|A|=0，R （A ）=2，AX=0基础解系有n- R （A ）=3-2=1个解向量, ξ=ξ1-ξ2=(1,0,-1)T 为基础解系）4. 向量组α1=(1,2,-3)T , α2=(-2,1, 0)T , α3=(0,5,-6)T ,线性关.5. 设n 阶⽅阵A 与B 相似，A 有特征值1，2，-3,则 B -1+E 有特征值 . ⼆、（15分）多项选择题：1.设A,B 均为n 阶可逆⽅阵,则（）.(A)齐次线性⽅程组ABX=0只有零解; (B)(A+B)-1=A -1+B -1; (C) A 的特征值全不为零.2.设A,B 均为n(n ≠1)阶矩阵则（）. (A)(AB)T =A T B T ;(B)|AB|=|A||B|;(C)|2A|=2|A|.3.设λ为n 阶可逆矩阵A 的特征值，则（）. (A)1/λ为A -1的特征值；(B) λ2为A 2的特征值； (C)φ(λ) 为φ(A)的特征值,其中φ(x)为x 的多项式.4.n 阶⾏列式.....................a b b b a bb b a的值为（）. (A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n +nb(a-b)n-1；(C)[a+(n-1)b](a-b)n-1. 5.设α1=(1,-2,5)T , α2=(-2,4,-10)T ,则（）.(A)(α1,α2)= -60；(B) α1 与α2正交；(C) α1,α2线性相关. 三、（10分）求⾮齐次线性⽅程组四、（10分）求向量组α1= (1,1,2,3)T , α2=(1,-1, 1,1)T , α3=(1,3,3,5)T , α4=(4,4,8,12)T ,的秩及五、（15分）问a,b 为何值时，线性⽅程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=??++=??++=?有唯⼀解？有⽆穷多组解？⽆解？六、（20分）设对称矩阵A=120 220 001-1.求A的特征值与全部特征向量；2.求⼀个正交矩阵Q和对⾓阵Λ,使得Q-1AQ=Λ.七、证明题：1.（7分）设A,B均为n阶正交矩阵，试证A-1B也是正交矩阵.2.（8分）设向量组α1,α2,…，αs（s>1）线性⽆关，⼜β1=α2+α3+…+αs，β2=α1+α3+…+αs ，β3=α1+α2+α4+…+αs，… ，βs=α1+α2+…+αs-1，证明向量组β1, β2,…，βs线性⽆关.。
2022年线性代数试卷及答案6套
线性代数试卷及答案6套．试卷(一): 一． 填空题（每小题4分，共20分）1．已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ，则.________)(2006=+P A E A P T2．设A 为n 阶方阵，n λλ,,1 为A 的n 个特征值，则 ._________)det(2=A 3．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：._________4．若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5．,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二． 选择题 （每小题4分，共20分）1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题（每小题6分,共30分）1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷（二）：一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）（1）,180380162176380162225379162（2）求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A（3）已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3+t ）的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =5. 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A ：A, 左乘一个));(,(k j i P B ，右乘一个));(,(k j i PC ． 左乘一个));(,(k i j PD ，右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维非零列向量，()min{,}r A r m n =<。
《线性代数》期末试题B卷参考答案及评分标准
《线性代数》试题 参考答案及评分标准一、（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、设122122A -=⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求6A 。
解2122122A ⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，6A E =， ……………… 7分 2、计算行列式1234234134124123D =.解 原式=11111105413132413-=---- . ……………… 7分3、计算行列式121212n n n x ax x x x a x D x x x a--=-.解121212n n n x a x x x x a x D x x x a--=-212121nin i ni ni ni n i x ax x x a x ax x ax x a===---=--∑∑∑ ……………… 3分221211()1n nn i i n x x x a x x a x x a=-=--∑ ……………… 5分2111100()()()0n nnn i i i i x x a x a a x a a-==-=-=---∑∑ ……………… 7分4、计算矩阵20202010102102101010⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩。
解2020222220202010100101001010210210122100211010100000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………… 7分 5、设矩阵111111000,010004b A b a B =⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且A 与B 相似，求,a b 。
解 由两行列式相等得：，2(1)0b -=，得1b = ……………… 4分由两对角线的和相等得：25a +=，则3a = ……………… 7分二、（本大题共4小题，每小题9分，共36分）6、设矩阵101020101A =⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且2AB E A B +=+，求B 。
线代期末考试B卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （B ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．下列等式中正确的是（ ） A ．()222A B A AB BA B +=+++ B ．()TT T AB A B = C ．()()A B A B A B -+=-22 D ．()33A A A A -=-22.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311132213A 则21a 的代数余子式21A 的值为 （ ）A. 1.B. 1-C. 2.D. 2-3．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ） A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 4．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（ ）A ．210λ B ．021λ C ．20λD ．2λ 5．设向量组(I)：1α，2α，…r α，向量组(II)：1α，2α，…r α，1r +α，…，s α则必有（ ）。
A ．若(I)线性无关，则(II)线性无关B ．若(II)线性无关，则(I)线性无关C ．若(I)线性无关，则(II)线性相关D ．若(II)线性相关，则(I)线性相关6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211121113A 的三个特征值分别是321,,λλλ，则321λλλ++的值等于（ ） A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.7.已知A 是一个43⨯阶矩阵，则下列命题正确的是( )__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………2 A. 若A 中所有三阶子式都为零，则 2.R AB. 若 2.R A则A 中所有三阶子式都为零C. 若A 中所有二阶子式都不为零，则 2.R AD. 若 2.R A则A 中所有二阶子式都不为零8.．设n 阶方阵A 的0=A 则A 的列向量（ ）A ．0)(=A RB ． 0)(≠A RC ．线性相关D ．线性无关 9.设向量组A 可由向量组B 线性表示，则有（ ）A. )()(B R A R ≤B. )()(B R A R ≥C. )()(B R A R =D. 不能确定)(A R 和)(B R 的大小. 10．设n 元线性方程组Ax =b 且为()()n b A R A R ==,，则该方程组（ ）A.有唯一解；B.有无穷多解；C.无解；D.不确定。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
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上海应用技术学院2011—2012学年第二学期
《线性代数B 》期（末）（B ）试卷
课程代码: B2220035 学分: 2 考试时间: 100 分钟
课程序号: 1211
班级： 学号： 姓名:
我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，
如有违反将愿接受相应的处理。
试卷共6页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。
一、 填空题（每小题3分，共3*5=15分）
1、 排列987654321的逆序数为 。
2、 行列式
4
200530076825
421= 。
3、设A=⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛400003000020
0001，则1
-A = _________________。
4、已知A 为3阶方阵，且3=A ，则=--1
*
)4
1(
2A A ____________ 。
5、设两个列向量1η和2η都是非齐次线性方程组b Ax =的解，则21ηη- 是方程组 的解.
二、选择题（每小题3分，共3*5=15分）
1、设行列式D=3332
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a =1，D 1=33
32
3131
2322212113
121111
324324324a a a a
a a a a a a a a ---，则D 1=____________
A. -12 B 。
12 C. -24 D. 24 2、设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=y x B A 21,3421，则A 与B 可交换的充分必要条件是（ ）.
A. 1=-y x
B. 1-=-y x
C. y x =
D. y x 2=
3、已知矩阵≠=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=k A r A 则，且,2)(1121k 2411
2__________。
A. 1
B. -1
C. 0
D.
2
4、设A ，B 为同阶方阵，则__________。
A. 由AB=AC 可得B=C
B. B A AB *=
C. 由AB=0可得A=0或B=0
D. B A B A +=+
5、若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=+-0
002321
321321x x kx x kx x x x x 仅有零解，则k 必须满足
（ ）.
A. 4=k
B. 1-=k
C. 1-≠k 或4≠k
D.
1-≠k 且4≠k
三、计算题（每小题10分，共6*10=60分）
1、计算行列式
3
214214314324
321
2、、设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=443132322A ，AB=A+B ，求B 。
3、 已知向量组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03
12,2110,1010,10014321αααα，求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组表示。
4、设c bx ax x f ++=2
)(，A 为n 阶矩阵，I 为n 阶单位矩阵，定义
cI bA aA A f ++=2
)(。
若32)(2
--=x x x f ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3221A ，求
)(A f 。
5、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0
79308303205432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解及一个基础解系。
6、 a,b 为何值时方程组⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
-=+++=--+-=++=+++1
232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x （1）有唯一解？（2）有无穷多解？（3）无解？
四、证明题（每小题5分，共2*5=10分） 1. 设向量组321,βββ，线性无关，
证明：向量组133221,, ββββββ+++也线性无关．（本题5分）
2、设A 为n 阶方阵，且0422
=--I A A ，证明（A+I ）可逆。