2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二集合的表示方法新人教B版必修第一册

课时素养评价
二集合的表示方法
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为( )
A.{x=-1，x=5}
B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0}
D.{-1，5}
【解析】选D.根据题意，解x2-4x-5=0可得x=-1或5，用列举法表示可得
{-1，5}.
2.集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x，y)|y=x2+1}(A，B中x∈R，y∈R).关于元素与集合关系的判断都正确的是( )
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
【解析】选C.集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对.集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以选项A错.选项C经验证正确.
【加练·固】
下列集合的表示，正确的是( )
A.{2，3}≠{3，2}
B.{(x，y)|x+y=1}={y|x+y=1}
C.{x|x>1}={y|y>1}
D.{(1，2)}={(2，1)}
【解析】选C.{2，3}={3，2}，故A不正确；
{(x，y)|x+y=1}中的元素为点(x，y)，{y|x+y=1}中的元素为实数y，{(x，y)|x+y=1}≠{y|x+y=1}，故B不正确；{(1，2)}中的元素为点(1，2)，而{(2，1)}中的元素为点(2，1)，
{(1，2)}≠{(2，1)}，故D不正确.
3.(多选题)方程组的解集可表示为()
A.{(x，y)|
B.{(x，y)|
C.(1，2)
D.{(2，1)}
【解析】选A、B、D.方程组只有一个解，解为，
所以方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D 都符合题意.
4.下列说法中正确的是( )
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程x2(x+1)=0的所有解的集合可表示为{0，0，-1}；
④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
A.只有①和④
B.只有②和③
C.只有②
D.只有②和④
【解析】选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误.根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举.
【误区警示】解本题时注意集合与元素的区别，集合中元素的互异性和无序性，列举法与描述法表示一个集合的区别.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.小于3.14的自然数集可表示为________，小于3.14的有理数集可表示为________. 【解析】小于3.14的自然数集可表示为{0，1，2，3}，小于3.14的有理数集可表示为{x ∈Q|x<3.14}.
答案：{0，1，2，3} {x∈Q|x<3.14}
6.已知集合A={x|2x+a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.(用区间表示)
【解析】因为1∉A，所以2+a≤0，所以a≤-2.
答案：(-∞，-2]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.在平面直角坐标系中，点P(m-1，m+2)在第二象限，求实数m的取值构成的集合B. 【解析】根据题意，得：
解得-2<m<1，所以B=(-2，1).
8.用描述法表示下列集合：
(1){0，2，4，6，8}.
(2){3，9，27，81，…}.
(3).
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【解析】(1){x∈N|0≤x<10，且x是偶数}.
(2){x|x=3n，n∈N*}.
(3).
(4){(x，y)|x±y=0}.
【加练·固】
用描述法表示下列集合：(1){3，6，9，12，…}.
(2).
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【解析】(1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n，n∈N*}.
(2)先统一形式，，，，，…找出规律，集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应，集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同，即乘积大于零.所以集合表示为{(x，y)|xy>0}.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知P={x|2<x≤k，x∈N}，若集合P中恰有4个元素，则( )
A.6<k<7
B.6≤k<7
C.5<k<6
D.5≤k<6
【解析】选B.P={x|2<x≤k，x∈N}，若集合P中恰有4个元素，则P={3，4，5，6}，故6≤k<7.
2.(5分)集合A={1，-3，5，-7，9，-11，…}，用描述法表示正确的是( )
①{x|x=2n±1，n∈N}；
②{x|x=(-1)n(2n-1)，n∈N}；
③{x|x=(-1)n(2n+1)，n∈N}.
A.③
B.①③
C.②③
D.①②③
【解析】选A.取n=0，1，2验证各表达式，可知①②不符合，③正确.
3.(5分)用列举法表示集合A={∈Z|x∈N}=________.
【解题指南】根据x∈N，且∈Z，让x从0取值，看是否满足∈Z，这样找出A的所有元素即可.
【解析】根据x∈N，且∈Z可得：
x=0时，=-3；x=1时，=-6；
x=3时，=6；x=4时，=3；
x=5时，=2；x=8时，=1；
所以A={-3，-6，6，3，2，1}.
答案：{-3，-6，6，3，2，1}
4.(5分)若集合A={x|ax2+1=0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________.(用区间表示)
【解析】由题意得，关于x的方程ax2+1=0没有实数根，(1)当a=0时，原方程可化为1=0，没有实数根，符合题意.
(2)当a≠0时，由x2=-无实根，得a>0.
综上所述，实数a的取值范围是[0，+∞).
答案：[0，+∞)
【加练·固】
已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}，则a+b= ( )
A. 0或1
B.
C. D.或
【解析】选D.因为集合{b}为单元素集，所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0，a，b∈R}也只有一个元素b，
所以方程ax2-4x+1=0只有一个解，
①当a=0时，方程只有一个解x=，
即b=，满足题意，此时a+b=0+=；
②当a≠0时，则Δ=42-4a=0，解得a=4，
方程只有一个解x=，满足题意，此时
a+b=4+=.
综上所述，a+b=或.
5.(10分)用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数.
(2)方程组的解.
(3)函数y=图象上的所有点.
【解析】(1)因为|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为
-2，-1，0，1，2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为
{-2，-1，0，1，2}.
(2)解方程组得
故用列举法表示方程组的解为{(0，1)}.
(3)函数y=图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y=，
所以用描述法表示为.
1.两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________，
用描述法表示为
【解析】设三角形第三边长度为x，根据三角形三边长度的关系得：x>5-3，x>2；x<5+3，x<8，所以x的取值范围为：2<x<8.又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，
用描述法表示为{x|2<x<8，x∈N}.
答案：{3，4，5，6，7} {x|2<x<8，x∈N}
【加练·固】
集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为________.
【解析】当2为底边时，30°角可以是顶角或底角，有两种情形；当2为腰长时，30°角也
可以是顶角或底角，也有两种情形，故集合中有4个元素.
答案：4
2.已知集合A={x|x=m2-n2，m∈Z，n∈Z}.
求证：(1)3∈A.
(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.
【证明】(1)因为3=22-12，所以3∈A.
(2)设4k-2∈A，则存在m∈Z，n∈Z，使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立，
①当m，n同奇或同偶时， m-n，m+n均为偶数，
所以(m+n)(m-n)为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾.
②当m，n一奇，一偶时，m-n，m+n均为奇数，
所以(m+n)(m-n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾.
综上4k-2∉A.。