福建省龙岩一中2015届高三下学期考前模拟试卷数学【文】试题及答案

龙岩一中2015届高考模拟试卷数学（文科）（考试时间：120分钟 满分：150分 ）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名； 2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).1. 已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，如图阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2B ．{}01，C ．{}34，D ．{}0,1,2,3,4 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足11i z=-，则复数z 所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21 项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 4.设p 在[]0,5上随机地取值,则关于x 的方程210x px ++=有实数根的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．455. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．46.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸，，(nx x ++-长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ） A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=D. 23x π=7.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）A.B. C.D.8．一个四棱锥的三视图如右图所示，那么这个四棱锥的侧面积是（ ）A ．25329++ B ．2329+C ．2529+ D．62+ 9. 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ,则11y x +-的取值范围为（ ）A ．[]2,2-B ．(][),22,-∞-+∞ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知O 是ABC ∆所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,则有（ ） A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =11．设),(11y x P 是圆1O ：922=+y x 上的点，圆2O 的圆心为),(b a Q ，半径为1，则2211()()1a x b y -+-=是圆1O 与圆2O 相切的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ） A．2B．2 C ．34 D ．1第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤， 则函数()f x 的值域是___________14．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________ 15．抛物线)0(42>=a ax y 的焦点恰好是双曲线C ：12222=-b y a x 的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为___________16．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围是___________三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*112()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++的大小．18. （本小题满分12分）某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50].（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率.19. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为a b c 、、，3π=B ．（Ⅰ）若3b =，2sin sin()3A A π=+，求A 和,a c ；（Ⅱ) 若1sin sin 2A C =，且ABC ∆的面积为23，求b 的大小．20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE D E ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面A D E ，6C D D A ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为时，PQ =（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ)试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．22. （本小题满分14分）已知函数21()ln (1)(0)2f x a x x a x x =+-+>，其中a 为实数. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ) 当1a ≤时，若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.（Ⅲ）证明，对于任意的正整数,m n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++恒成立.龙岩一中2015届高考模拟试卷文科数学卷 参考答案及评分标准(本大题共12小题，共60分)(本大题共4小题，共16分)13．[3,)-+∞ 14． 15．y =± 16．(,2)-∞-三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为112n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，112n n a S -=+， ○2 由 ○1○2两式相减，得12n n n a a a +-=，即13n n a a +=(2)n ≥， ………………3分因为当1n =时，2112a a =+=， 所以212a a =， ………………4分 所以211232n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩………………6分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………8分 所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+， ………………10分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………11分 由3n ≥，得(2)0n n ->， 所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………12分18．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）时间分组为[0,10)的频率为110(0.060.020.0030.002)0.15-+++=， ····························································· 2分∴0.150.01510a ==， 所以所求的频率直方图中a 的值为0.015. ···························································· 3分 （Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：0.1550.6150.2250.03350.0245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ············································· 4分 0.7595 1.050.9=++++16.7=. ··················································································································· 5分因为16.720<，所以该校不需要推迟5分钟上课. ······································································· 6分 （Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人，不妨设为123,,a a a ， 单程所需时间在[40,50]中的有2人，不妨设为12,b b ， ····································· 7分 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：12(,)a a ，13(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b ； ··············································································· 10分其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种：11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ； ···························· 11分 故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率63105P ==. ··············· 12分 19. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵3π=B ，)3sin(sin 2π+=A A∴C B A B A A sin ))(sin()sin(sin 2=+-=+=π∵CcA a sin sin = ∴c a =2 ……………………………………………………3分 ∵B ac c a b cos 2222-+= ∴ 222249a a a -+= ∴3=a ………………5分 ∴ 32=c …………………………………………………………………………6分 或：∵)3sin(sin 2π+=A A ∴A A A cos 23sin 21sin 2+=………………………1分 ∴0cos 23sin 23=-A A ∴0)6sin(23=-πA ………………………………2分 ∵ π<<A 0 ∴06=-πA ∴6π=A …………………………………………3分∵ 3π=B ∴2π=C ……………………………………………………………4分∵ 3=b ∴ 在直角ABC ∆中，3=a ，32=c ……………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理：CcB b A a sin sin sin == ∴B bC A ac 22sin sin sin = ∴ 43212b ac = ∴ac b 232= …………………………8分 ∵ 32=∆ABC S ∴ 32sin 21=B ac ∴ 8=ac ……………………………10分 ∴ 2b =23×8=12 ∴ b =23 ………………………………………………12分 20．(本小题满分12分) （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE ==1分因为CD ⊥平面ADE ， BCM所以棱锥C ADE -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DE V S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分 （Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE D E ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分 （Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED=，使//AF 平面BCE .………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED=，过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以M F AB =，//FM AB , 所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . ………………11分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………12分 21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设00()2P x x ， ∵直线PQ斜率为2时，PQ =∴2200)3x x +=，∴202x = …………………………1分∴22211a b+=， …………………………2分∵c e a ===224,2a b ==． …………………………4分 ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． …………………………6分设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，……………7分∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ， ∴002(0,)2y M x + ， …………………………8分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， …………………………9分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， …………………………10分 ∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， …………………………11分 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆经过定点：(． …………………………12分 22. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）(3)(1)()(0)x x f x x x--'=> …………………………1分所以，当()1,3x ∈，()0f x '<，当()(0,1),3,x ∈+∞，()0f x '>，………………3分 所以()f x 的单调递减区间为(1,3)，单调递增区间为(0,1)，(3,)+∞，……………4分（Ⅱ）()(1)()(0)x a x f x x x--'=>当0a ≤时，()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，11()(1)0,22f x f a a ∴≥=--≥∴≤- …………………………6分当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞上递增，在(,1)a 上递减，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立 …………………………7分当1a =时，()f x 在(0,)+∞上递增，1(1)0,()02f a f x =--<∴≥不恒成立 …………………………8分综上：12a ≤- …………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知12a =-时，()0f x ≥恒成立，即2111ln 0222x x x -+-≥ln (1)x x x ∴≤-当且仅当1x =时以“=” …………………………11分1x ∴>时，11ln (1),ln (1)x x x x x x <->- …………………………12分 1111ln(1)(1)1m m m m m ∴>=-+++1111ln(2)(1)(2)12m m m m m >=-+++++……1111ln()()(1)1m n m n m n m n m n >=-+++-+-+ …………………………13分11111ln(1)ln(2)ln(1)()nm m m m m n m m n ∴+++>-=+++++ ………………14分。