福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(理)试题(有答案)(精选)
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试卷及答案
（2）设 ,求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分12分）
在① ,② ,
③ 这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．
已知 的角 , , 对边分别为 , ,而且______．
（1）求 ；
（2）求 周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①,在菱形 中, 且 , 为 的中点,将 沿 折起使 ,得到如图②所示的四棱锥 .
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
8．已知可导函数 的定义域为 ,其导函数 满足 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的5分,有选错的得0分,部分选对得3分）
9．已知复数 满足 为虚数单位 ,复数 的共轭复数为 ,则（）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
10．已知 ,如下四个结论正确的是（）
A． ；B．四边形 为平行四边形；
C． 与 夹角的余弦值为 ；D．
11．在 中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 , ,则下列结论正确的是（）
A． B． C． D． 的面积为6
12．已知直三棱柱 中, , , 是 的中点, 为 的中点.点 是 上的动点,则下列说法正确的是（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 是定义在 上的偶函数,且函数 在 上是减函数,如果 ,则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
4．右图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（）
A．直线 与直线 平行B．直线 与直线 相交
C．直线 与直线 异面且垂直D．直线 与直线 异面且所成的角为60°
福建省福州市八县(市、区)一中高三数学上学期期中联考试题 理
福建省福州市八县〔市、区〕一中2021届高三数学上学期期中联考试题 理考试日期：11月14日 完卷时间： 120 分钟 总分值：150 分一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.〕1. 复数z 满足()132z i i -=+，那么复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，那么AB =〔 〕A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，那么以下为真命题的是〔 〕A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，那么数列{}n a 的前11项和为〔 〕 A ．40B ．45C ．50D ．555. 函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，那么〔 〕A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，假设函数()g x 的图象关于y 轴对称，那么ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 假设1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，那么()f x 的极大值为〔 〕A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为〔 〕A B C D 9. 向量a ，b 的夹角为135，且1a =，2b =．假设向量m 满足4a m b m ⋅=⋅=，那么m = ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 函数()2018,2020,412022,2020,2019x m x f x m x x -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a 满足(),n a f n n N *=∈，且{}n a 是单调递增函数，那么实数m 的取值范围是〔 〕A.(]1,3B.()1,+∞C.[)3,+∞D.()3,+∞11. 函数()2sin cos (0,0)6f x x a x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭对任意12,x x R ∈都有()()1243f x f x +≤，假设()f x 在[0,]π上的值域为[3,3]，那么实数ω的取值范围为( ) A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e ∈，总存在三个不同的实数[]1,4y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．3160,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23163,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．23161,e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3163,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：本大题共4题，每题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
福建省福州市八县一中(福清一中,长乐一中等)2017届高三上学期期中联考数学(理)试题.doc
2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中三年数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.．．设集合．．．2{3,log }P a =，．{,}Q a b =，若．．{0}P Q = ，则．．P Q = （． ）． A.．．{3,0} B.．．{3,0,1} C.．．{3,0,2} D.．．{3,0,1,2} 2.．．已知复数．．．．131iz i +=-，则下列说法正确的是（．．．．．．．．．．． ）． A.．．z 的共轭复数为．．．．．．12i -- B.．．z 的虚部为．．．．2iC.．．5z =D.．．z 在复平面内对应的点在第三象限．．．．．．．．．．．．．．34.．．直线．．4y x =与曲线．．．3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（．．．．．．．．．．．．．．．．．． ）．A.．．2B.．．4C.．．22D.．．24 5.．．下列命题中正确的是（．．．．．．．．．． ）．A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+> B ．“ln ln a b >”是“22a b>”的充要条件C.．．命题“若．．．．22x =，则．．x =．x =的逆否命题是“若．．．．．．．．．x ≠．x ≠则．．22x ≠”．D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.．．已知数列．．．．{}n a 是等比数列，数列．．．．．．．．{}n b 是等差数列，若．．．．．．．1598a a a ⋅⋅=-，．2586b b b π++=，．则．4637cos1b b a a +-⋅的值是（．．．． ）．A.．．12．．12-D.．．8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++= 且OA AB =，则向量CA 在CB方向上的投影为（ ）A.12 B.12-9.．．若函数．．．()f x 同时满足以下三个性质；①．．．．．．．．．．．．()f x 的最小正周期为．．．．．．．π；②对任意的．．．．．．x R ∈，都．．有．()()4f x f x π-=-；③．．()f x 在．3(,)82ππ上是减函数，则．．．．．．．()f x 的解析式可能是．．．．．．． A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos 2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.．．．已知数列．．．．{}n a ，．{}n b ，满足．．．11a =且．1,n n a a +是函数．．．2()2nn f x x b x =-+的两个零点，．．．．．．则．10b 等于．．(． )．A.．．64B.．．48C.．．32D.．．24 11.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
福建省福州市八县市2023-2024学年高一上学期期中联考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷（答案在最后）11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,4,5A B ==，则U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4,5 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,52.以下选项正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若a b >，则22ac bc >C.若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+3.设()11,,1,2,32f x x αα⎛⎫⎧⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，则“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知)1fx -=-+()f x 的值域是（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0xf x >的解集是（）A.()3,3- B.()()3,03,-⋃+∞ C.()(),33,-∞-+∞ D.()(),30,3-∞-⋃6.设函数()()210f x mx x m =-->，命题“存在()12,2x f x ≤≤>”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A.54m ≥B.504m <≤C.04m <≤D.504m <<7.已知函数()212x f x x +=+，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于y 轴对称；②函数()f x 与()3f x +的值域相同；③()f x 在[]1,2上有最大值23；④()f x 的图像恒在直线1y =的下方．A.1B.2C.3D.48.若至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，则实数a 的取值范围是（）A.37,34⎛⎫-⎪⎝⎭B.133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3713,44⎛⎫-⎪⎝⎭ D.()3,3-二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合{}03x x ∈≤<N 的真子集有7个B.已知命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R ，则2000:,10p x x x ⌝∃∉-+<R C.函数y =与函数y =表示同一个函数D.若函数()2f x 的定义域为[]0,2，则函数()31f x +的定义域为[]1,510.已知,a b 为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若2a b +=的最大值是2．C.若2a b ab +=则ab 的最小值是8．D.若121a b+=则2a b +的最大值是8．11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()(),f x g x 在(],0-∞单调递增，则以下结论正确的是（）A.()()()()12ff f f < B.()()()()12f g f g -<C.()()()()12g f g f > D.()()()()12g g g g >12.已知函数()[)()[)0,212,2,2x f x f x x ∞∈=⎨-∈+⎪⎩，则以下结论正确的是（）A.当[)()2,4,x f x ∈=B .[)()()1212,0,,x x f x f x ∀∈+∞-<C.若()24f x <在[),t +∞上恒成立，则t 的最小值为6D.若关于x 的方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数根则(a ∈--．第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式102x x3-≥-的解集为______．14.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，若()3f a =-，则实数a 的值为______．15.若函数()()239g x f x x =-是奇函数，且()13f -=，则()1f =______．16.已知命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”，若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则实数m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设U =R ，已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当4m =时，求()U A B ð；（2）若B ≠∅，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．18.已知函数()()2,2,24xf x x x =∈-+．（1）求()()1ff 的值；（2）用定义证明函数()f x 在()2,2-上为增函数；（3）若()()1210f t f t +-->，求实数t 的取值范围．19.均值不等式)0,02a ba b +≥>>可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应()20,0112a b a b a b+≥≥≥>>+．（12a b+≥.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中()0,02a ba b +≥>>指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为,a b ，斜边4c =，求直角三角形周长l 的取值范围．20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50150x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当0150x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21.已知函数()()()2236f x ax a x a =-++∈R （1）若()0f x >的解集是{|2x x <或}3x >，求实数a 的值；（2）当1a =时，若22x -≤≤时函数()()532f x m x m ≤-+++有解，求m 的取值范围．22.设函数()(),f x F x 的定义域分别为,I D ，且ID ．若对于任意x I ∈，都有()()F x f x =，则称()F x 为()f x 在D 上的一个延伸函数．给定函数()()22103f x x x x =+-<≤．（1）若()F x 是()f x 在给定[]3,3-上的延伸函数，且()F x 为奇函数，求()F x 的解析式；（2）设()g x 为()f x 在()0,∞+上的任意一个延伸函数，且()()g x h x x=是()0,∞+上的单调函数．①证明：当(]0,3x ∈时，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭．②判断()h x 在(]0,3的单调性（直接给出结论即可）；并证明：0,0m n ∀>>都有()()()g m n g m g n +>+．2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,4,5A B ==，则U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4,5 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【答案】A 【解析】【分析】应用集合的补集和并集的运算即可.【详解】依题得U {1,2,3}B =ð，则{}U 1,2,3A B =⋃ð.故选：A2.以下选项正确的是（）A.若a b >，则11a b< B.若a b >，则22ac bc >C.若0c a b >>>，则a bc a c b>-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.【详解】A 选项，若a b >，如1,1a b ==-，则11a b>，所以A 选项错误.B 选项，若a b >，0c =，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，则()()()()()()()0a c b b c a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==>------，所以a bc a c b>--，所以C 选项正确.D 选项，若0a b c >>>，则0a b ->，()()()()()0a b c b a c a b c a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，所以a a cb b c+>+，所以D 选项错误.故选：C3.设()11,,1,2,32f x x αα⎛⎫⎧⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，则“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数()f x 的图象经过点()1,1-，则()()11f x α=-=，因为11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以()f x 在(),0∞-上递减，而()f x 在(),0∞-上递减，函数()f x 的图象不一定经过点()1,1-，如：()1f x x -=.所以“函数()f x 的图象经过点()1,1-”是“函数()f x 在(),0∞-上递减”的充分不必要条件.故选：A .4.已知)1fx -=-+()f x 的值域是（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】求出函数()f x 的表达式即可得出值域.【详解】由题意，在)1fx -=-+1t-=，即()21x t=+,∴()()2211f t t t t t=-+++=--即()2f x x x=--，在()2f x x x=--中，10-<，开口向下，对称轴()112212bxa-=-=-=-⨯-，∴()211112224f x f⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x的值域是1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦，故选：A.5.定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，且()30f=，则不等式()0xf x>的解集是（）A.()3,3- B.()()3,03,-⋃+∞ C.()(),33,-∞-+∞D.()(),30,3-∞-⋃【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性的定义知，()f x在[)0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，且()30f=，分0x>与0x<两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为对任意的[)()1212,0,,x x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，所以()f x在[)0,∞+上单调递减，又()f x为定义在R上的偶函数，所以()f x在(),0∞-上单调递增，且()()330f f-==，当0x>时，由()0xf x>得()()03f x f>=，故03x<<，当0x<时，由()0xf x>得()()03f x f<=-，故3x<-，综上：不等式()0xf x>的解集是()(),30,3-∞-⋃.故选：D.6.设函数()()210f x mx x m=-->，命题“存在()12,2x f x≤≤>”是假命题，则实数m的取值范围是（）A.54m ≥B.504m <≤C.04m <≤D.504m <<【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得m 的取值范围.【详解】由于“存在()12,2x f x ≤≤>”是假命题，所以“任意12x ≤≤，()2f x ≤”是真命题，即任意12x ≤≤，212mx x --≤，22331x m x x x+≤=+，令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，23y t t =+的开口向上，对称轴为16t =-，所以当12t =，即2x =时，231x x +取得最小值为315424+=，所以504m <≤.故选：B7.已知函数()212x f x x +=+，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于y 轴对称；②函数()f x 与()3f x +的值域相同；③()f x 在[]1,2上有最大值23；④()f x 的图像恒在直线1y =的下方．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D 【解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性定义判断出函数为偶函数，①正确；对于②，由两函数图象关系得到值域相同；对于③，变形后，结合对勾函数性质得到最值；对于④，先得到0x ≥时，()212x f x x +=+，换元后结合对勾函数性质得到函数值域，再由函数的奇偶性得到值域为10,4⎛+⎤⎥ ⎝⎦，故④正确.【详解】对于①，()212x f x x +=+的定义域为R ，且()()()2112x x f x f x x -++-===+-+，故()212x f x x +=+为偶函数，故函数图象关于y 轴对称，①正确；对于②，()3f x +是由()f x 向左平移3个单位得到的，故值域不改变，②正确；对于④，当0x ≥时，()212x f x x +=+，令11x t +=≥，()222113322y t t t tt t t -+-===++-，由对勾函数性质可知，()3g t t t=+在⎡⎣上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min g t ==，故104y +<≤，由①可知，()212x f x x +=+为偶函数，故()f x 在R 上的值域为310,4⎛⎤⎥ ⎝⎦，由于114+<，故满足()f x 的图像恒在直线1y =的下方，④正确；对于③，因为[]1,2x ∈，则[]12,3x t +=∈，()3g t t t=+在[]2,3上单调递增，故()()()[]2,3 3.5,4g t g g ∈=⎡⎤⎣⎦，故132y t t=+-的值域为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故()f x 在[]1,2上有最大值为23，③正确.故选：D8.若至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，则实数a 的取值范围是（）A.37,34⎛⎫-⎪⎝⎭B.133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3713,44⎛⎫-⎪⎝⎭D.()3,3-【答案】A 【解析】【分析】化简不等式2332x a x x -->+，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【详解】依题意，至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2332x a x x -->+成立，即至少存在一个0x <，使得关于x 的不等式2233x x x a --+>-成立，画出()2230y x x x =--+<以及3y x a =-的图象如下图所示，其中2230x x --+>.当3y x a =-与()2230y x x x =--+<相切时，由2323y x a y x x =-⎧⎨=--+⎩消去y 并化简得2530x x a +--=，37254120,4a a ∆=++==-.当3y x a =-+与()2230y x x x =--+<相切时，由2323y x a y x x =-+⎧⎨=--+⎩消去y 并化简得230x x a -+-=①，由14120a ∆=-+=解得134a =，代入①得2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭，解得12x =，不符合题意.当3y x a =-+过()0,3时，3a =.结合图象可知a 的取值范围是37,34⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合{}03x x ∈≤<N 的真子集有7个B.已知命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R ，则2000:,10p x x x ⌝∃∉-+<R C.函数24y x =-与函数22y x x =+-表示同一个函数D.若函数()2f x 的定义域为[]0,2，则函数()31f x +的定义域为[]1,5【答案】BCD 【解析】【分析】由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A 项；由命题的否定可判断B 项；求出两个函数的定义域可判断C 项；根据抽象函数定义域的求法可判断D 项.【详解】对于A 项，因为集合{}{}030,1,2x x ∈≤<=N ，所以该集合有3217-=个真子集，所以A 项正确；对于B 项，命题2:,10p x x x ∀∈-+≥R 的否定2000:,10p x x x ⌝∃∈-+<R ，所以B 项错误；对于C 项，由240x -≥得2x ≥或2x ≤-，所以函数y =的定义域为(][),22,-∞-+∞U ，由2020x x +≥⎧⎨-≥⎩得2x ≥，所以函数y =的定义域为[)2,+∞，由于函数y =与函数y =定义域不同，所以不是同一函数，所以C 项错误；对于D 项，由于函数()2f x 的定义域为[]0,2，所以024x ≤≤，令0314x ≤+≤得113x -≤≤，所以函数()31f x +的定义域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以D 项错误.故选：BCD.10.已知,a b 为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若2a b +=的最大值是2．C.若2a b ab +=则ab 的最小值是8．D.若121a b+=则2a b +的最大值是8．【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A≥=无实数解，所以①的等式不成立，所以A 选项错误.B 选项，2222a b⎛+≤= ⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C 选项，220a b ab ab +=≥-≥，8ab ≥≥，当且仅当24a b ==时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，()124224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭48≥+=，当且仅当4,24b ab a a b===时等号成立，所以D 选项错误.故选：BC11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()(),f x g x 在(],0-∞单调递增，则以下结论正确的是（）A.()()()()12ff f f < B.()()()()12f g f g -<C.()()()()12g f g f > D.()()()()12g g g g >【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】A 选项，()f x 是奇函数，且在(],0-∞单调递增，则()f x 在R 上单调递增，所以()()12f f <，则()()()()12ff f f <，所以A 选项正确.B 选项，()g x 是偶函数，且在(],0-∞单调递增，则()g x 在[)0,∞+上单调递减，所以()()()112g g g -=>，所以()()()()12f g f g ->，所以B 选项错误.C 选项，()()()0012f f f =<<，则()()()()12g f g f >，所以C 选项正确.D 选项，()()12g g >，但符号无法确定，所以()()()()1,2g g g g 大小关系不确定，所以D 选项错误.故选：AC12.已知函数()[)()[)0,212,2,2x f x f x x ∞∈=⎨-∈+⎪⎩，则以下结论正确的是（）A.当[)()2,4,x f x ∈=B.[)()()1212,0,,x x f x f x ∀∈+∞-<C.若()4f x <在[),t +∞上恒成立，则t 的最小值为6D.若关于x 的方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数根则(a ∈--．【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，作出[)2,22,N x n n n ∈+∈时，()f x =的图像，数形结合逐个判断即可.【详解】设[)2,4x ∈时，则[)20,2x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)2,4x ∈时，()f x =当[)4,6x ∈时，则[)22,4x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)4,6x ∈时，()f x =当[)6,8x ∈时，则[)24,6x -∈，所以()2f x -=，又()()122f x f x =-，所以当[)6,8x ∈时，()f x =所以由此可知[)2,22,N x n n n ∈+∈时，()f x =；作出函数()f x 的部分图象，如下图所示：则A 正确，由图象可知，()f x ⎡∈⎣，所以1x ∀，[)20,x ∈+∞，()()12f x f x -<，故B 正确；在同一坐标系中作出函数()f x 和函数4y =的图象，如下图所示：由图象可知，当[)4,∈+∞x 时，()24f x <恒成立，所以t 的最小值为4，故C 错误；令()t f x =，则2t ⎡∈⎣，则方程()()()22210a f x a f x ⎡⎤+++=⎣⎦等价于()()22210at t a a +++=∈R ，即()()1210t at ++=，所以1t a =-，或12t =-（舍去），在同一坐标系中作出函数()f x ，函数24y =和函数28y =的图象，如下图所示：由图象可知，当122,84a ⎫-∈⎪⎪⎣⎭时，即4222a -≤<-关于x 的方程()()()()22120a f x f a a x ++⎦+⎤=⎡⎣∈R 有三个不同的实根，故D 错误.故选：AB第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式102x x 3-≥-的解集为______．【答案】1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可得到答案.【详解】不等式102x x 3-≥-，等价于()()312020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得123≤<x ，所以不等式的解集为1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，若()3f a =-，则实数a 的值为______．【答案】5-或3【解析】【分析】根据()3f a =-列方程，从而求得a 的值.【详解】当1a ≤-时，由23a +=-解得5a =-；当1a >-时，由2123a a a >-⎧⎨-+=-⎩解得3a =.所以a 的值为5-或3.故答案为：5-或315.若函数()()239g x f x x =-是奇函数，且()13f -=，则()1f =______．【答案】1-【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求【详解】函数()()239g x f x x =-是奇函数，则()()g x g x -=-，当13x =-时，()12131g f ⎛⎫=--= ⎝-⎪⎭，则213(1)1g f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(1)1f =-.故答案为：1-16.已知命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”，若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则实数m 的取值范围是______．【答案】0m >【解析】【分析】先求得p 为真命题时a 的取值范围，再根据必要不充分条件求得m 的取值范围.【详解】若命题:p “方程2210ax x ++=至少有一个负实根”为真命题，0a =时，1210,2x x +==-，符合题意；当a<0时，440a ∆=->，且1212210,0x x x x a a+=->=<，则此时方程2210ax x ++=有一个正根和一个负根，符合题意；当0a >时，由440a ∆=-=，解得1a =，此时方程为()222110,1x x x x ++=+==-符合题意；由440a ∆=->解得01a <<，此时1212210,0x x x x a a+=-<=>，则此时方程2210ax x ++=有两个负根，符合题意.综上所述，p 为真命题时，a 的取值范围是(],1-∞.若p 为真命题的一个必要不充分条件为1a m ≤+，则11,0m m +>>.故答案为：0m >【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设U =R ，已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当4m =时，求()U A B ð；（2）若B ≠∅，且B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{2x x <-或}7x >；（2）[]2,3.【解析】【分析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果；（2）由题意可得12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解不等式组即可求出结果.【小问1详解】当4m =时，{}57B x x =≤≤，且{}25A x x =-≤≤，则{}27A B x x ⋃=-≤≤，所以(){2U A B x x ⋃=<-ð或}7x >；【小问2详解】因为B ≠∅，且B A ⊆，所以需满足12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,3.18.已知函数()()2,2,24xf x x x =∈-+．（1）求()()1ff 的值；（2）用定义证明函数()f x 在()2,2-上为增函数；（3）若()()1210f t f t +-->，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()51101ff =（2）证明见解析（3）1(,1)2-【解析】【分析】（1））先求(1)f 的值，再求((1))f f 的值即可；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）根据题意，由（2）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】()115f =，155101f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()51101f f ∴=【小问2详解】证明：任取12,x x ，且1222x x -<<<,()()()()()()121212122222121244444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++2212121240,40,0,40x x x x x x +>+>-<-< ()()()()12120,f x f x f x f x ∴-<∴<()f x \在()2,2-上为增函数.【小问3详解】若()()1210f t f t +-->，则()()121f t f t +>-由（2）知，()f x 在()2,2-上为增函数22112t t ∴-<-<+<，112t ∴-<<，则实数t 的取值范围是1(,1)2-.19.均值不等式)0,02a ba b +≥>>可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应()20,0112a b a b a b+≥≥≥>>+．（12a b+≥.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中()0,02a ba b +≥>>指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为,a b ，斜边4c =，求直角三角形周长l 的取值范围．【答案】（1）证明见解析，三元形式见解析（2）(8,4⎤⎦【解析】【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式.（2）根据基本不等式求得a b +的范围，进而求得三角形周长的取值范围.【小问1详解】2a b +≥即证22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()()22222222222022444a b a b a b a b a b a b ab +-+-+++-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，22222a b a b ++⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭2a b+≥当且仅当a b =时等号成立.()0,0,03a b c a b c ++≥>>>.【小问2详解】22216a b c +== ，由（1()0,0,2a b a b a b +≥>>∴+≤当且仅当a b ==取“=”，又4a b c +>=，8a b c ++>，所以三角形周长的取值范围(8,4⎤+⎦.20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当50150x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当0150x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【答案】（1）()50,050175,501502x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩（2）75辆/千米，2812辆/小时．【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组求得,a b ，进而求得()v x .（2）根据函数的单调性以及二次函数的性质求得()f x 的最大值以及此时对应的x 的值.【小问1详解】由题意：当050x ≤≤时，()50v x =；当50150x ≤≤时，设()v x ax b=+再由已知得15005050a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1275a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故函数()v x 的表达式为()50,050175,501502x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩．【小问2详解】依题并由（1）可得()250,050175,501502x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩，当050x ≤<时，()f x 为增函数，()()502500f x f ∴<<，当50150x ≤≤时，()2max 755625()75281222f x f ===≈，即当75x =时，()f x 在区间[]0,150上取得最大值约为2812，即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．21.已知函数()()()2236f x ax a x a =-++∈R （1）若()0f x >的解集是{|2x x <或}3x >，求实数a 的值；（2）当1a =时，若22x -≤≤时函数()()532f x m x m ≤-+++有解，求m 的取值范围．【答案】（1）1（2）4m ≥【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得a 的值.（2）化简不等式()()532f x m x m ≤-+++，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得m 的取值范围.【小问1详解】依题意，()()()2236f x ax a x a =-++∈R 的解集是{|2x x <或}3x >，则0a >，且122,3x x ==是方程()22360ax a x -++=的两个根，所以02323623a a a a ⎧⎪>⎪+⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得1a =．【小问2详解】1a =时，()()532f x m x m ≤-+++在22x -≤≤有解，即2320x mx m ++-≤在[]22-,有解，法一：因为232y x mx m =++-的开口向上，对称轴2m x =-①22m -≤-即4,2m x ≥=-时，函数取得最小值4232740,4m m m m -+-=-≤∴≥.②222m -<-<即44m -<<时，当2m x =-取得最小值，此时23204m m -+-≤，解得4m ≥或4m ≤-.又44,44m m -<<∴-≤<.③当22m -≥即4m ≤-，当2x =时取得最小值，此时423270m m ++-=≤不成立，即m 无解.综上，4m ≥．法二：()2320x m x ++-≤在[]22-,有解，当2x =时()2320x m x ++-≤不成立，当2x ≠时()2320x m x ++-≤，即232x m x +≥-在[]22-,有解，2min 32x m x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，令(]2,0,4t x t =-∈，223477442x t t t x t t+-+==+-≥-，当且仅当7t t =即t =取“=”，2min342x x ⎛⎫+∴=- ⎪-⎝⎭，4m ∴≥.22.设函数()(),f x F x 的定义域分别为,I D ，且I D ．若对于任意x I ∈，都有()()F x f x =，则称()F x 为()f x 在D 上的一个延伸函数．给定函数()()22103f x x x x =+-<≤．（1）若()F x 是()f x 在给定[]3,3-上的延伸函数，且()F x 为奇函数，求()F x 的解析式；（2）设()g x 为()f x 在()0,∞+上的任意一个延伸函数，且()()g x h x x =是()0,∞+上的单调函数．①证明：当(]0,3x ∈时，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．②判断()h x 在(]0,3的单调性（直接给出结论即可）；并证明：0,0m n ∀>>都有()()()g m n g m g n +>+．【答案】（1）()2221,030,021,30x x x F x x x x x ⎧+-<≤⎪==⎨⎪-++-≤<⎩（2）①证明见解析；②单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得()F x 的解析式；（2）①通过差比较法证得不等式成立；②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立.【小问1详解】依题可知()00F =，当(]0,3x ∈时()()221F x f x x x ==+-．[)3,0x ∀∈-则(]0,3x -∈，()221F x x x ∴-=--，()F x Q 为奇函数，()()221F x F x x x ∴=--=-++，()2221,030,021,30x x x F x x x x x ⎧+-<≤⎪∴==⎨⎪-++-≤<⎩.【小问2详解】①证明： 当(]0,3x ∈时()()121g x h x x x x==-+，()()()121212121212112221222x x h x h x x x x x h x x x x ⎛⎫+-++ ⎪++⎛⎫⎝⎭∴-=+-- ⎪+⎝⎭()()()()221212121212121212121212121142202222x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++--+=-=-==≥++++，()()121222h x h x x x h ++⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭.② 当(]0,3x ∈时()()121g x h x x x x==-+且单调递增，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()()0,00m n m n m h m n h m >>∴+>>∴+> ，即()()g m n g m m n m +>+，即()()()mg m n m n g m +>+，同理可得()()()ng m n m n g n +>+，将上述两个不等式相加可得()()()g m n g m g n +>+．∴原不等式成立.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.。
福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(理)试题(有答案)
第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}PQ =，则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 2.已知复数131iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的共轭复数为12i -- B.z 的虚部为2iC.5z =D.z 在复平面内对应的点在第三象限 3.函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是( )4.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.2B.4C.22D.24 5.下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22ab>”的充要条件C.命题“若22x =，则x =x =的逆否命题是“若x ≠x ≠则22x ≠”D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12 B.2 C.12- D.2-8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA 在CB 方向上的投影为（ ）A.12 B.12- D.9.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.已知数列{}n a ，{}n b ，满足11a =且1,n n a a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于( )A.64B.48C.32D.2411.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
解析2022届福建省福州市八县(市)协作校高三上学期期中联考数学试卷及答案
2022届福建省福州市八县（市）协作校高三上学期期中联考数学试题一、单选题 1．1x >是21x >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．因为“1x >”，则“21x >”；但是“21x >”不一定有“1x >”. 所以“1x >”，是“21x >”成立的充分不必要条件． 故选A.充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 2．已知||2a =，||1b =，且a b -与2a b +相互垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°答案：C利用向量垂直列方程，化简求得a 与b 的夹角. 设a 与b 的夹角为θ，0180θ︒≤≤︒， 由于a b -与2a b +相互垂直，所以()()2222221cos 20,cos 0a b a b b a a b θθ+=+⋅-=+⨯⨯-==-⋅，所以90θ=︒. 故选：C3．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为（ ）A ．2B ．C ．4D ．答案：A设圆锥的母线长为r ，底面圆的半径为1r ，计算出底面圆的周长，得出该圆锥的母线长与底面半径的比.设圆锥的母线长为r ，底面圆的半径为1r ，由题意可知，底面圆的周长为r π，故12r r ππ=，12r r =，则该圆锥的母线长与底面半径的比为22r r =. 故选：A4．设3log 0.3a =，0.33b =，30.3c =，则（ ） A ． a b c >> B ． b c a >>C ． c b a >>D ． b a c >>答案：B利用“0,1分段法”确定正确选项.33log 0.3log 10a =<=， 0.30331b =>=，()30.30,1c =∈， 所以b c a >>. 故选：B5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足51L gV =+.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.6，则其视力的五分记录法的数据约为（ ） 参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈. A ．4.5 B ．4.6C ．4.7D ．4.8答案：D根据对数运算求解即可. 由题意可知，65lg 5lg 61lg 2lg34 4.810L =+=+-=++≈ 故选：D6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33S =，66=S ，则12S =（ ） A ．12 B ．15C ．18D ．21答案：A设等差数列{}n a 的首项和公差，利用等差数列的前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，进而求出12S .设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3636S S =⎧⎨=⎩ ，得113336156a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得110a d =⎧⎨=⎩ ，则1212S =. 故选：A.7．在平行四边形ABCD 中，AB 的中点为M ，过A 作DM 的垂线，垂足为H ，若2AH =，则AH AC ⋅=（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12答案：D根据题意可得2AH AC AH AM AH AD ⋅=⋅+⋅，再利用数量积的定义化简求出. 在平行四边形ABCD 中，AC AB AD =+, 所以()()2AH AC AH AB AD AH AM AD ⋅=⋅+=⋅+2AH AM AH AD =⋅+⋅2cos cos AH AM MAH AH AD DAH =⋅⋅∠+⋅⋅∠2222312AH AH AH =+==.故选：D.8．函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ-<<）的部分图象如图所示，已知函数()f x 在区间[]0,m 有且仅有3个极大值点，则m 的取值范围是（ ）A ． 1721[,)44B ． 1721,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 1725[,)44D ． 1725,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C根据图象求得()f x 解析式，结合()f x 在区间[]0,m 上极大值点的个数求得m 的取值范围.由图可知1A =，5312,2,44422T T πωπ=-====， ()()33cos ,cos 044f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于330,2444ππππϕϕ-<<<+<，所以3,424πππϕϕ+==-， 所以()cos 4f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.12,244x k x k πππ-==+，取0,1,2,3k =，得191725,,,4444x =，所以172544m ≤<. 故选：C 二、多选题9．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}|5A x N x =∈<，{}1,3,5,7B =，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ． {}0,2,4B ． {}2,4C ． ()U A BD ． ()()U U A B答案：AC根据图可知阴影部分所表示的集合为()UA B ，再利用交集补集定义可求出.由图可知阴影部分所表示的集合为()UA B ，故C 正确；因为{}{}|50,1,2,3,4A x N x =∈<=， 所以{}0,2,4,6U B =，所以(){}0,2,4UA B =，故A 正确.故选：AC.10．复数132z =-+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D．202112z = 答案：ABC根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可．解：因为12z =-+，所以12z =-，对于A ：21113i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=--=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B：2220111113i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=++= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭⎪ ⎪，故B 正确； 对于C：211122132i 44z -===--，2221131i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D：12z =-，212z -=，2231111222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以2021212z z -==，故D 错误．故选：ABC ．11．已知函数()lg 2f x x kx =--，则下列结论正确的有（ ） A ．若0k =，则()f x 有2个零点 B ．存在0k <，使得()f x 有1个零点 C ．存在0k <，使得()f x 有3个零点 D ．存在0k >，使得()f x 有3个零点答案：ABD画出函数图象，根据lg y x =与2y kx =+的函数图象交点个数可判断. 由题，()f x 的零点个数可转化为lg y x =与2y kx =+的函数图象交点个数， 画出函数图象如下，若0k =，函数lg y x =与2y =在()0,1和()1,+∞各有一个交点，故()f x 有2个零点，故A 正确； 当2k =-时，当(0,1]x ∈，()lg 22f x x x =-+-，()211022050f -=+->，()11101205f -=+-<， 故()f x 在()2110,10--上至少有一个零点，又(1)0f =，结合图象知，()f x 在(0,1]上有两个零点，即lg y x =与22y x =-+有两个不同的交点，则当直线绕点(0,2)顺时针旋转时，存在直线2y kx =+与lg y x =的图象相切，即()f x 有1个零点，故B 正确，当0k <时，lg y x =与2y kx =+至多有两个交点，故C 错误；当0k >时，如图，存在函数lg y x =与2y kx =+的图象分别在(0,1)和(1,)+∞上分别有1个和2个交点，故存在 0k >，使得()f x 有3个零点，故D 正确. 故选：ABD.12．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（ ）A ． BF ⊥平面EAB B ．AB 与PF 所成角为45°C ．该二十四等边体的体积为203D ．该二十四等边体外接球的表面积为8π答案：CD将该二十四等边体补形为正方体, 利用RS 与BF 是异面直线判定选项A 错误，利用PF AH ∥和ABH 的形状判定选项B 错误，利用正方体和等二十四等边体的关系和分割法判定选项C 正确，利用该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心及球的表面积公式判定选项D 正确. 将该二十四等边体补形为正方体（如图所示），因为该二十四等边体的所有棱长都为2，所以正方体的棱长为2，对于A ：正方体的体对角线RS ⊥平面EAB ，而RS 与BF 是异面直线， 所以BF ⊥平面EAB 不成立，即选项A 错误； 对于B ：因为PF AH ∥，所以ABH ∠是AB 与PF 所成角或其补角，在ABH 中，2AH AB ==22221216BH =++=， 因为222+AH AB BH ≠，所以45ABH ∠≠， 即选项B 错误；对于C 2， 所以正方体的棱长为2，所以该二十四等边体的体积为331202(1)833V =-⨯⨯=，即选项C 正确；对于D ：设该二十四等边体外接球的半径为R ， 该二十四等边体外接球的球心即为正方体的中心， 正方体六个表面的面积都为1， 所以222221(22R =+=，所以其表面积为24π8πS R ==，即选项D 正确. 故选：CD. 三、填空题13．命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定形式是________. 答案：x R ∃∈，210x x -+≤根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解；解：命题“2,10x R x x ∀∈-+>”为全称量词命题，其否定为：x R ∃∈，210x x -+≤； 故答案为：x R ∃∈，210x x -+≤14．写出一个同时满足下列要求的函数()f x =_________.①1212()()()f x f x f x x =；②()'f x 是偶函数；③12,x x R ∀∈，()12x x ≠，1212()(()())0x x f x f x -->. 答案：3x （答案不唯一）根据题意，结合幂函数的性质分析可得答案． 解：根据题意，结合所给的三个条件，()f x 可以为幂函数()f x x α=，其中α为正奇数，如3()f x x =，则()311f x x =，()322f x x =，()()()()33312121212f x x x x x x f x f x ===，2()3f x x '=为偶函数，且()0f x '≥恒成立，所以3()f x x =在R 上单调递增，故答案为：3x （答案不唯一）．15．已知i 为虚数单位，复数11z =，在复平面中将1z 绕着原点逆时针旋转165°得到2z ，则2z =______.答案：结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．解：11z =在复平面内对应的点为(A ，所以2OA =，且OA 与x 轴正方向的夹角为60︒，将其逆时针旋转165︒后落在第三象限，且与x 轴负半轴的夹角为6016518045︒+︒-︒=︒，所以对应的点为(，所以2z =．故答案为：． 四、双空题16．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则4a =_________；数列{}n n a b +的通项公式为________.答案： 14 13n n n a b -+=根据图象得出规律即可求出.对于白圈，由图可得1113112a -+==，2123122a -+==，3133152a -+==，所以41431142a -+==， 则1312n n a -+=，对于黑圈，12340,1,4,13b b b b ====，…，所以13112n n n b a --=-=，所以1113131322n n n n n a b ---+-+=+=. 故答案为：14；13n n n a b -+=.五、解答题17．在①()6f x π-为偶函数；②24x π=是函数()f x 的一个零点；③当6x π=时，()2f x =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答：已知函数()1f x a b =⋅-，其中(2cos ,32)a x x ωω=-，(cos ,1)b x ω=，04ω<<，且N ω∈，且 ，求()f x 在,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.答案：[]1,2-化简可得()2cos(2)3f x x πω=+，再根据余弦函数的性质求得2ω=，即可求出值域.2()12cos 21f x a b x x ωω=⋅-=-cos 222cos(2)3x x x πωωω==+，选择①：由()6f x π-为偶函数得，6x π=是()f x 的对称轴，故263k ππωπ⋅+=，31,k k Z ω=-∈，因为04ω<<，且N ω∈，所以2ω=，故())3f x x π=+，因为,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以240,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(4),132x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.选择②： 由已知得，()024f π=，即cos()0123ππω+=，1232k πππωπ+=+，解得122,k k Z ω=+∈，因为04ω<<，且N ω∈，所以2ω=.故())3f x x π=+，因为,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以240,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(4),132x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.选择③：由已知得，()26f π=-，即cos()133ππω+=-，233k ππωππ+=+，解得62,k k Z ω=+∈，因为04ω<<，且N ω∈，所以2ω=，故())3f x x π=+，因为,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以240,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(4),132x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-.18．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6a =，8+=b c .(1)若1()(sin sin )()sin 4a b A B c b C -+=+，求△ABC 的面积； (2)我国古代数学家秦九韶发现已知三角形三边求面积公式：()()()S p p a p b p c =---，其中2a b c p ++=，请利用该公式求△ABC 面积的最大值. 答案：(1)37(2)37（1）由正弦定理化角为边结合余弦定理求出cos A ，即可得出sin A ，结合已知求得16bc =，即可得出面积；（2）求得7p =，利用面积公式结合基本不等式即可求出.(1)由正弦定理得，1()()()4a b a b c b c -+=+，即22214b c a bc +-=-， 由余弦定理可得2221cos 28b c a A bc +-==-， 在△ABC 中，237sin 1cos 8A A =-=. 又因为222217()44a b c bc b c bc =++=+-，所以16bc =， 1sin 372S bc A ==； (2)由已知7p =，故2777(7)(7)7()372b c S b c -+-=--≤⨯=， 当且仅当4b c ==时等号成立，故当4b c ==时，△ABC 面积有最大值37.19．在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，侧面P AD 是等边三角形，AD =2，且PB 与底面ABCD 所成角为45°.(1)求证：AD ⊥PB ；(2)求二面角A -PB -C 的余弦值.答案：(1)证明见解析； (2)105-. (1)取AD 中点O ，连接PO ，BO ，计算证得AD ⊥BO ，进而证得AD ⊥平面POB 即可得解.(2)以O 为原点，射线,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量即可计算作答.(1)取AD 中点O ，连接PO ，BO ，如图，因PAD △是等边三角形，则PO ⊥AD ，又侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD 底面ABCD =AD ，PO ⊂平面P AD ，则有PO ⊥底面ABCD ，即∠PBO 即为PB 与底面ABCD 所成的角，于是∠PBO =45︒，OB =OP =3，又1AO =，2AB =，则222AO BO AB +=，即AD ⊥BO ，而AD ⊥PO ，PO BO O =，,PO BO ⊂平面POB ，因此，AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以AD ⊥PB.(2)由(1)知，,,OA OB OP 两两垂直，以O 为原点，射线,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系O -xyz ，则(1,0,0)A ，3)P ，3,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3),(0,3,3),(2,0,0)AP PB CB DA =-=-==，设平面APB 的法向量111(,,)m x y z =，则1111030m AP x m PB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令11z =，得(3,1,1)m =， 设平面PBC 的法向量222(,,)n x y z =，则2223020n PB y n CB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，得(0,1,1)n =， 于是得2cos ,||||5m nm n m n ⋅〈〉===⨯A -PB -C 的平面角为钝角， 所以二面角A -PB -C 的余弦值为. 20．已知“悬链线”函数为：()()122x x f x e e -=+-. (1)请分析函数()f x 所有可能具有的性质并说明必要的理由；(2)若除了原点，“悬链线”始终在抛物线2y ax =图象的上方，求实数a 的取值范围.答案：(1)答案见解析(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （1）从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性一一分析；（2）依题意等价于()2f x ax 恒成立，设()()2122x x h x e e ax -=+--，首先判断()h x 的奇偶性，即可得到题意等价于()0h x 在[)0,∞+上恒成立，求出函数的导函数，再对a 分12a ≤和12a >两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性与极值，即可得解；(1)解：()f x 具有以下性质：①值域为[)0,∞+.理由：()()()11e e 22e 2022x x x f x -=+-=，当且仅当0x =时等号成立. ②()f x 为偶函数.理由：定义域为R .因为x ∀∈R ，都有x -∈R ，且()()()1e e 22x x f x f x --=+-=，故()f x 为偶函数.③()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减.理由：()()1e e 2x x f x -'=-，易知()f x '在R 上单调递增，当0x 时，()()00f x f ''=，故()f x 在[)0,∞+上单调递增.当0x 时，()()00f x f ''=，故()f x 在(],0-∞上单调递减.(2)解：依题意等价于()2f x ax 恒成立.设()()2122x x h x e e ax -=+--，因为()()h x h x -=，所以()h x 为偶函数， 故题意等价于()0h x 在[)0,∞+上恒成立.()()()112422x x x x h x e e ax e e ax --'=--=--， ()()142x x h x e e a -''=+-， ①当12a ≤时，()()12402x x h x e e a -''⋅-，故()h x '在[)0,∞+上单调递增，又()00h '=，故()0h x '，()h x 在[)0,∞+上单调递增，故()0h x .②当12a >时，因为()()102402h a ''=-<，所以存在0x 使得当()00,x x ∈，()0h x ''<，故()h x '在()00,x x ∈上单调递减，故()()00h x h ''<=，故()h x 在()00,x x ∈上单调递减，故()()00h x h <=与()0h x 在[)0,∞+上恒成立矛盾.故综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 21．已知等比数列{}n a 满足：126a a +=，2312a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12log n n n b a a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值. 答案：(1)2n n a =(2)9（1）根据已知求出首项和公比即可求出；（2）利用错位相减法求出n S ，根据不等式即可求出.(1)设数列的公比为q ，则11211612a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =；(2)∵1122log 2log 22n n n n n n b a a n ===-⋅，∴2(12222)n n S x n =-⨯+⨯++⋅，①212(12222)n n n S n n +=-⨯+⨯+⋅+⋅，②②①得31112222222n n n n n n S n n +++=+++-⋅--⋅，∵1111222221000n n n n n S n n n +++++⋅=--⋅+⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈，9102512,21024==，所以110n +≥，所以9n ≥， 所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为9.22．已知函数()ln(1)ln x f x ae x b =-+-(1)若()f x 在0x =处的切线方程为1y =，（i ）求a ，b 的值；（ii ）讨论()f x 的单调性.(2)若b a =，证明：()f x 有唯一的极小值点.答案：(1)（i ）11a b =⎧⎨=⎩，（ii ）答案见解析 (2)证明见解析（1）（i ）求出导数，由题可得(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩即可求出； （ii ）根据导数的正负即可求出.（2）求出导数，构造函数()(1)1x g x ae x =+-，利用零点存在定理可判断函数的变化情况，得出单调性即可判断.(1)（i ）()11x f x ae x =-+'， 由已知得，(0)0(0)1f f =⎧⎨='⎩，故10ln 1a a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩； （ii ）1()(1)1x f x e x x '=->-+， 显然()'f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f '=，所以10x -<<时，()0f x '<；0x >时，()0f x '>，因此()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．(2)()ln(1)ln x f x ae x a =-+-，则1(1)1()11x xae x f x ae x x '+-=-=++，令()(1)1x g x ae x =+-，0a >，1x ≥-，显然()g x 在[1,)-+∞上单调递增，又(1)0g -<，10g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以存在11,t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0g t =， 当1x t -<<时，()0<g x ；x t >时，()0>g x ， 所以1x t -<<时，()0f x '<；x t >时，()0f x '>， 即()f x 在(1,)t -上单调递减；在(,)t ∞+上单调递增， 因此f (x )有唯一极小值点t ．。
2023-2024学年福建省福州八中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省福州八中高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上．）1．若集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{x |y ＝lnx }，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |x ＞﹣1}D ．{x |x ＞0}2．i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）＝1﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．√52D ．√1023．直线l ：y ＝kx +1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB|=√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜3）＝0.6，则P （1＜ξ＜2）＝（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c （Bq /L ）与时间t （年）近似满足关系式c ＝k •a t （k ，a 为大于0的常数且a ≠1）．若c =16时，t ＝10；若c =112时，t ＝20．则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为1120时，大约需要（ ）（参考数据：log 23≈1.58，log 25≈2.32）A ．43年B ．53年C ．73年D ．120年6．已知数列{a n }是等差数列，若a 9+a 12＜0，a 10•a 11＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，当S n ＞0时，n 的最大值为（ ） A ．20B ．17C ．19D ．217．已知圆锥SO 的轴截面为正三角形，用平行于底面的平面截圆锥SO 所得到的圆锥SO 1与圆台O 1O 的体积之比为1：7，则圆锥SO 1与圆台O 1O 的表面积之比为（ ） A ．311B ．38C ．12D ．238．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x +1）+f （x ﹣1）＝2，f （x +2）为偶函数，若f （0）＝0，则∑ 110k=1f(k)=（ ） A ．109B ．110C ．111D ．112二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，且1a＞1b，则ab＜0B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2C．若c＞a＞b＞0，则ac−a ＜bc−bD．若a＞b＞c＞0，则ab＞a+cb+c10．在二项式(√x−12x)6的展开式中，下列说法正确的是（）A．常数项是134B．各项系数和为164C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为3211．函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f（x）的最小正周期T为πB．f（x）向右平移3π8个单位后得到的新函数是偶函数C．若方程f（x）＝1在（0，m）上共有4个根，则这4个根的和为7π2D．f(x)(x∈[0，5π4])图象上的动点M到直线2x﹣y+4＝0的距离最小时，M的横坐标为π4．12．如图，曲线C：x2＝2y的焦点为F，直线l与曲线C相切于点P（异于点O），且与x轴y轴分别相交于点E，T，过点P且与l垂直的直线交y轴于点G，过点P作准线及y轴的垂线，垂足分别是M，N，则下列说法正确的是（）A．当P的坐标为(1，12)时，切线l的方程为2x﹣2y﹣3＝0B．无论点P（异于点O）在什么位置，FM都平分∠PFTC．无论点P（异于点O）在什么位置，都满足|PT|＝4|FP|•|ON|D ．无论点P （异于点O ）在什么位置，都有|PF |•|GM |＜|PG |•|FM |+|GF |•|PM |成立 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若角α的始边是x 轴非负半轴，终边落在直线x +2y ＝0上，则sin(π2−2α)= ．14．点A （2，1，1）是直线l 上一点，a →=（1，0，0）是直线l 的一个方向向量，则点P （1，2，0）到直线l 的距离是 ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂足为Q ，若|PQ |＝|F 1F 2|且PF 1与QF 2垂直，则双曲线C 的离心率为 ． 16．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝2，BC ＝3，PA =3√3，点E 为棱P A 的中点，则三棱锥E ﹣PCD 的体积为 ；若四棱锥P ﹣ABCD 所有顶点均在球O 的球面上，过点E 的平面截球O 所得的截面面积的最小值为 ．四、解答题（本大题共有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 17．（10分）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为{a n }的前n 项和，且{√S n }也是等差数列． （1）求a n ； 2）设b n =S na n a n+1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．（12分）在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√2bsinC +asinA =bsinB +csinC ． （1）求A ；（2）若a =√2，求BC 边上的高AD 的最大值．19．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的六面体中（其中F ∈平面EDC ），四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，BF ＝FE ，且平面FEB ⊥平面EDB ． （1）设M 为棱EB 的中点，证明：A ，C ，F ，M 四点共面； （2）若ED ＝2AB ＝2，求平面FEB 与平面EAB 的夹角的余弦值．20．（12分）现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m（m＞2且m∈N*）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用g（p）表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g（p）的最大值及此时m的值．21．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A（2，0），B(1，√32)，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），Q（1，0），直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP 垂直于直线NC，P为垂足．（1）求E的方程；（2）证明：（i）直线NC过定点，（ii）存在定点R，使|PR|为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（1）当a＜e时，讨论函数f（x）零点的个数；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥ax a lnx﹣xe x恒成立，求a的取值范围．2023-2024学年福建省福州八中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上．）1．若集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，B ＝{x |y ＝lnx }，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |x ＞﹣1}D ．{x |x ＞0}解：由x 2﹣1＜0得﹣1＜x ＜1，即A ＝{x |﹣1＜x ＜1}， 又函数y ＝lnx 的定义域满足x ＞0， 所以B ＝{x |x ＞0} 则A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}． 故选：C ．2．i 为虚数单位，复数z 满足z （1+i ）＝1﹣2i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√22C ．√52D ．√102解：z =1−2i 1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−i−2i+2i 22=−1−3i 2，故|z|=√14+94=√102．故选：D ．3．直线l ：y ＝kx +1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB|=√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：圆心到直线的距离d =|1|√1+k =1√1+k ，当k ＝1时，d =√2，|AB |＝2√R 2−d 2=2√1−(1√2)2=2√1−12=2√12=2×√22=√2，即充分性成立，若|AB|=√2，则|AB |＝2√R 2−d 2=2√1−d 2=√2，即1﹣d 2=12，即d =√22，则由圆心到直线的距离d =|1|√1+k =1√1+k =√22得1+k 2＝2，即k 2＝1，则k ＝±1，即“k ＝1”是“|AB|=√2”的充分不必要条件， 故选：A ．4．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），且P （ξ＜3）＝0.6，则P （1＜ξ＜2）＝（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解：由题意可得μ＝2，且P （ξ＜3）＝0.6，则P （ξ＞3）＝P （ξ＜1）＝1﹣0.6＝0.4，∴P(1＜ξ＜2)=1−0.4×22=0.1． 故选：A ．5．今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c （Bq /L ）与时间t （年）近似满足关系式c ＝k •a t （k ，a 为大于0的常数且a ≠1）．若c =16时，t ＝10；若c =112时，t ＝20．则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为1120时，大约需要（ ）（参考数据：log 23≈1.58，log 25≈2.32）A ．43年B ．53年C ．73年D ．120年解：由题意得：{16=k ⋅a 10112=k ⋅a 20，解得{a =(12)110k =13，所以c =13⋅(12)t 10， 当c =1120时，得1120=13⋅(12)t10，即(12)t 10=140，两边取对数得t 10=log 12140=log 240=3+log 25≈3+2.32=5.32，所以t ＝5.32×10＝53.2，即这种有机体体液内该放射性元素浓度c 为1120时，大约需要53年．故选：B ．6．已知数列{a n }是等差数列，若a 9+a 12＜0，a 10•a 11＜0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，当S n ＞0时，n 的最大值为（ ） A ．20B ．17C ．19D ．21解：因为a 10a 11＜0，所以a 10和a 11异号， 又等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值， 所以数列{a n }是递减的等差数列， 所以a 10＞0，a 11＜0，所以S 19＝19a 10＞0，S 20＝10（a 1+a 20）＝10（a 9+a 12）＜0， 所以n 的最大值为19． 故选：C ．7．已知圆锥SO 的轴截面为正三角形，用平行于底面的平面截圆锥SO 所得到的圆锥SO 1与圆台O 1O 的体积之比为1：7，则圆锥SO 1与圆台O 1O 的表面积之比为（ ）A ．311B ．38C ．12D ．23解：根据题意，圆锥SO 1与圆台O 1O 的体积之比为1：7， 则圆锥SO 1与圆锥SO 的体积之比为1：8，则有SO 1SO =12，如图：由于圆锥SO 的轴截面为正三角形，设圆锥SO 底面半径为2r ，则其母线SA ＝4r ， 又由SO 1SO =12，则圆锥SO 1底面半径为r ，则其母线SA 1＝2r ， 故圆锥SO 1的表面积S 1＝πr 2+πr ×（2r ）＝3πr 2， 圆台O 1O 的表面积S 1＝πr 2+4πr 2+π（r +2r ）×2r ＝11πr 2， 故圆锥SO 1与圆台O 1O 的表面积之比为311．故选：A ．8．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x +1）+f （x ﹣1）＝2，f （x +2）为偶函数，若f （0）＝0，则∑ 110k=1f(k)=（ ） A ．109B ．110C ．111D ．112解：∵f （x +1）+f （x ﹣1）＝2，∴f （x +2）+f （x ）＝2，∴f （x +2）＝2﹣f （x ）， ∴f （x +4）＝2﹣f （x +2）＝2﹣[2﹣f （x ）]＝f （x ）， ∴f （x ）的周期为4，又f （x +2）为偶函数，∴f （﹣x +2）＝f （x +2）， ∴f （x ）＝f （﹣x +4）＝f （﹣x ）， ∴f （x ）为偶函数， ∵f （x +1）+f （x ﹣1）＝2，∴f （1）+f （3）＝2，f （2）+f （4）＝2， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4，又f（1）+f（﹣1）＝2，∴2f（1）＝2，∴f（1）＝1，又f（0）+f（2）＝2，f（0）＝0，∴f（2）＝2，∵110＝27×4+2，∴∑110k=1f(k)=f（1）+…+f（110）＝27×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝27×4+1+2＝111，故选：C．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．下列命题为真命题的是（）A．若a＞b，且1a＞1b，则ab＜0B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2C．若c＞a＞b＞0，则ac−a ＜bc−bD．若a＞b＞c＞0，则ab＞a+cb+c解：对于A，1a−1b=b−aab＞0，又b﹣a＜0，故ab＜0，A正确．对于B，若a＜b＜0，则a2＞b2，故B错误．对于C，ac−a −bc−b=ac−ab−bc+ab(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)，由c＞a＞b＞0可得c﹣a＞0，c﹣b＞0，a﹣b＞0，∴(a−b)c(c−a)(c−b)＞0，∴ac−a＞bc−b，C错误．对于D，∵a＞b＞c＞0，∴a﹣b＞0，b+c＞0则ab−a+cb+c=ab+ac−ab−bcb(b+c)=(a−b)cb(b+c)＞0，∴ab＞a+cb+c，D正确．故选：AD．10．在二项式(√x−12x)6的展开式中，下列说法正确的是（）A．常数项是134B．各项系数和为164C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32解：二项式(√x−12x)6的展开式的通项为C6r(√x)6−r⋅(−12x)r=C6r⋅(−12)r x3−32r，r=0，1，2，⋯，6，（r∈N）；当r＝2时，得常数项为C62⋅(−12)2=154，故A不正确；当x＝1时，可得展开式各项系数和为(√1−12)6=164，故B正确；由于n＝6，则二项式系数最大为C63=20为展开式的第4项，故C不正确；奇数项二项式系数和为C60+C62+C64+C66=1+15+15+1=32，故D正确．故选：BD．11．函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f（x）的最小正周期T为πB．f（x）向右平移3π8个单位后得到的新函数是偶函数C．若方程f（x）＝1在（0，m）上共有4个根，则这4个根的和为7π2D．f(x)(x∈[0，5π4])图象上的动点M到直线2x﹣y+4＝0的距离最小时，M的横坐标为π4．解：因为f（x）经过点(5π8，0)，所以f(5π8)=√2sin(5ωπ8+φ)=0，又x=5π8在f（x）的单调递减区间内，所以5ωπ8+φ=π+2kπ，(k∈Z)①，又因为f（x）经过点(5π4，1)，所以f(5π4)=√2sin(5ωπ4+φ)=1，sin(5ωπ4+φ)=√22，又x=5π4是f（x）＝1在x＞5π8时最小的解，所以5ωπ4+φ=9π4+2kπ，(k∈Z)②．联立①②，可得5ωπ8=5π4，解得ω＝2，代入①，可得φ=−π4+2kπ，(k∈Z)，又|φ|＜π2，所以φ=−π4，则f(x)=√2sin(2x−π4 )．故f （x ）的最小正周期T =2π2=π，则A 正确； f （x ）向右平移3π8个单位后得到的新函数是g （x ）=√2sin[2（x −3π8）−π4]=−√2sin2x ，则g （x ）为奇函数，故B 错误；设f （x ）＝1在（0，m ）上的4个根从大到小依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 令2x −π4=π2，则x =3π8， 根据f （x ）的对称性，可得x 1+x 22=3π8，则由f （x ）的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8，所以x 1+x 2+x 3+x 4=72π，故C 正确；作与直线l ：2x ﹣y +4＝0平行的直线l ′，使其与f(x)，(x ∈[0，5π4])有公共点， 则在运动的过程中，只有当直线与f(x)，(x ∈[0，5π4])相切时，直线l ′与直线l 存在最小距离，也是点M 到直线2x ﹣y +4＝0的最小距离， 令f ′(x)=2√2cos(2x −π4)=2，则2x −π4=±π4+2kπ，(k ∈Z)， 解得x ＝k π，（k ∈Z ）或x =π4+kπ，(k ∈Z)， 又x ∈[0，5π4]， 所以x ＝0或π4或5π4（舍去），又f （0）＝﹣1，令M 1（0，﹣1），f(π4)=1，M 2(π4，1)，则由√5|π2−1+4|√5，可得M 1到直线l 的距离大于M 2到直线l 的距离，所以M 到直线2x ﹣y +4＝0的距离最小时，M 的横坐标为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．如图，曲线C ：x 2＝2y 的焦点为F ，直线l 与曲线C 相切于点P （异于点O ），且与x 轴 y 轴分别相交于点E ，T ，过点P 且与l 垂直的直线交y 轴于点G ，过点P 作准线及y 轴的垂线，垂足分别是M ，N ，则下列说法正确的是（）A．当P的坐标为(1，12)时，切线l的方程为2x﹣2y﹣3＝0B．无论点P（异于点O）在什么位置，FM都平分∠PFTC．无论点P（异于点O）在什么位置，都满足|PT|＝4|FP|•|ON|D．无论点P（异于点O）在什么位置，都有|PF|•|GM|＜|PG|•|FM|+|GF|•|PM|成立解：因为曲线C：x2＝2y，即y=12x2，所以y′＝x，设点P（x0，y0），则y0=12x02，k=x0，所以切线l的方程为y=x0x−12x02，当x0＝1时，切线方程为2x﹣2y﹣1＝0，故A错误；由题意F(0，12)，M(x0，−12)，T(0，−12x02)，所以PM=FT=12x02+12，因为PM∥FT，所以四边形PFTM为平行四边形，又PF＝PM，所以四边形PFTM为菱形，可得FM平分角∠PFT，故B正确；因为N（0，y0），T（0，﹣y0），所以|PT|2=x02+4y02=2y0+4y02，4|FP|⋅|ON|=4|PM|⋅|ON|=4(y0+12)⋅y0=2y0+4y02，所以|PT|2＝4|FP|•|ON|，故C正确；直线GP方程：y=−1x0x+y0+1，可得G（0，1+y0），所以|GF|=12+y0，又|PM|=y0+12，所以GF∥MP且GF＝MP，所以四边形GFMP为平行四边形，故PG＝FM．|PG|⋅|FM|+|GF|⋅|PM|=|PG|2+|GF|2=|PF|2+|GM|22，因为PG 与GF 不垂直，所以|PF |≠|GM |，所以|PF|2+|GM|22＞|PF|⋅|GM|，即|PF |•|GM |＜|PG |•|FM |+|GF |•|PM |成立，故D 正确； 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若角α的始边是x 轴非负半轴，终边落在直线x +2y ＝0上，则sin(π2−2α)= 35．解：由于角α的始边是x 轴非负半轴，终边落在直线x +2y ＝0上， 所以角α为直线的倾斜角，倾斜角α∈[0，π）； 所以tanα=−12，故sin(π2−2α)=cos2α=cos 2α−sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=35．故答案为：35．14．点A （2，1，1）是直线l 上一点，a →=（1，0，0）是直线l 的一个方向向量，则点P （1，2，0）到直线l 的距离是 √2 ．解：由题意，点A （2，1，1）和P （1，2，0），可得AP →=(−1，1，−1)，且|a →|=1， 所以点P （1，2，0）到直线l 的距离是√(AP →)2−(AP →⋅a →)2=√3−1=√2． 故答案为：√2．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过双曲线C 上一点P 向y 轴作垂线，垂足为Q ，若|PQ |＝|F 1F 2|且PF 1与QF 2垂直，则双曲线C 的离心率为 √3+12． 解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)焦距为2c ，不妨设点P 在第一象限， 由题意知PQ ∥F 1F 2，由|PQ |＝|F 1F 2|且PF 1与QF 2垂直可知：四边形PQF 1F 2为菱形，且边长为2c ， 又△QF 1O 为直角三角形，|QF 1|＝2c ，|F 1O |＝c ， 故∠F 1QO ＝30°， ∴∠QF 1O ＝60°， 则∠F 1QP ＝120°， 则|PF 1|=2c ×√32×2=2√3c ，|PF 2|=2c ，故|PF1|−|PF2|=2√3c−2c=2a，即离心率e=1√3−1=√3+12．故答案为：√3+1 2．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，AB＝2，BC＝3，PA=3√3，点E为棱P A的中点，则三棱锥E﹣PCD的体积为3√32；若四棱锥P﹣ABCD所有顶点均在球O的球面上，过点E的平面截球O所得的截面面积的最小值为27π4．解：依题意，作出图形如图所示：因为P A⊥底面ABCD，点E为棱P A的中点，所以V E−PCD=12V A−PCD=12V P−ACD=12×13×12×2×3×3√3=3√32．将四棱锥P﹣ABCD补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥P﹣ABCD的外接球，如图所示：因为PC为长方体的体对角线，所以球心O在PC的中点上，设平面α为过点E的球O的截面，则当OE⊥α时，截面积最小，因为点E为棱P A的中点，P、C在球面上，所以过点E的球O的截面圆的半径r=PA2=3√32，所以过点E的平面截球O所得的截面面积的最小值为πr2=π×(3√32)2=27π4．故答案为：3√32；27π4．四、解答题（本大题共有6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}的前n项和，且{√S n}也是等差数列．（1）求a n；2）设b n=S na n a n+1(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵{√S n}是等差数列，∴2√S2=√S3+√S1，又a1＝1，∴2√2+d=√3+3d+1，解得d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）由（1）可得S n=n(1+2n−1)2=n2，∴b n=n2(2n−1)(2n+1)=14×4n2−1+1(2n−1)(2n+1)=14+18（12n−1−12n+1），∴数列{b n}的前n项和T n=14×n+18[（1−13）+（13−15）+…+（12n−1−12n+1）]=n4+18（1−12n+1）=n2+n 4n+2．18．（12分）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√2bsinC+asinA=bsinB+ csinC．（1）求A；（2）若a=√2，求BC边上的高AD的最大值．解：（1）根据正弦定理可得：√2bc=b2+c2−a2，又b2+c2﹣a2＝2bc cos A，∴cosA=√22，∴A=π4；（2）a2=2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−√2bc≥(2−√2)bc，∴bc≤2+√2，当且仅为b＝c=√2+√2时取等号，∵S△ABC=12bcsinA≤12×(2+√2)×√22=1+√22，∴(S△ABC)max=√2+1 2，∴S△ABC=12×a×AD=12×√2×AD≤√2+12，∴AD≤1+√22，∴AD的最大值为1+√22．19．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F∈平面EDC），四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，BF＝FE，且平面FEB⊥平面EDB．（1）设M为棱EB的中点，证明：A，C，F，M四点共面；（2）若ED＝2AB＝2，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值．（1）证明：连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥DB，又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC，因为DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面EDB，所以AC⊥平面EDB，因为M 为棱EB 的中点，且BF ＝FE ，所以FM ⊥EB ，又平面FEB ⊥平面EDB ，平面FEB ∩平面EDB ＝EB ，FM ⊂平面EFB ， 所以FM ⊥平面EDB ，所以FM ∥AC ，故A ，C ，F ，M 四点共面．（2）解：由于ED ，DA ，DC 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣zyz ， 则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），E （0，0，2），M(12，12，1)，设F （0，a ，b ），所以FM →=（12，12−a ，1﹣b ），AC →=（﹣1，1，0），由（1）知FM →∥AC →，所以（12，12−a ，1﹣b ）∥（﹣1，1，0），解得a ＝1，b ＝1，即F （0，1，1），所以BE →=(−1，−1，2)，BF →=(−1，0，1)，AB →=(0，1，0)，设平面BEF 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{BE →⋅m →=0BF →⋅m →=0，即{−x −y +2z =0−x +z =0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以m →=(1，1，1)， 同理可得，平面ABE 的法向量为n →=(2，0，1)，设平面FEB 与平面EAB 的夹角为θ，则cosθ=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=3√3×√5=√155，故平面FEB 与平面EAB 的夹角的余弦值为√155． 20．（12分）现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． （2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的m （m ＞2且m ∈N *）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为p ． （i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用g （p ）表示恰有3组被标为Ⅱ的概率，试求g （p ）的最大值及此时m 的值．解：（1）∵单人间、双人间、三人间入住人数比为36：60：24，即3：5：2， ∴这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为10×310=3，10×510=5，10×210=2， ∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 74C 104=16，P(ξ=1)=C 73C 31C 104=12，P(ξ=2)=C 72C 32C 104=310，P(ξ=3)=C 71C 33C104=130， ∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．（2）（i ）从m +2人中任选2人，有C m+22种选法，其中入住房间类型相同的有C m 2+C 22种选法，∴询问的某组被标为Ⅱ的概率为1−C m 2+C 22C m+22=1−m 2−m+2m 2+3m+2=4mm 2+3m+2． （ii ）由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率g(p)=C 53p 3(1−p)2=10p 3(1−2p +p 2)=10(p 3−2p 4+p 5)，∴g ′（p ）＝10（3p 2﹣8p 3+5p 4）＝10p 2（p ﹣1）（5p ﹣3）， ∴当p ∈(0，35)时，g ′（p ）＞0，函数g （p ）单调递增，当p ∈(35，1)时，g ′（p ）＜0，函数g （p ）单调递减，∴当p =35时，g （p ）取得最大值，最大值为g(35)=C 53×(35)3×(1−35)2=216625，由p =4m m 2+3m+2=35且m ∈N *，得m ＝3， ∴当m ＝3时，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大，且g （p ）的最大值为216625． 21．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A （2，0），B(1，√32)，M ，N 为椭圆E 上关于x 轴对称的两点（不与点B 重合），Q （1，0），直线MQ 与椭圆E 交于另一点C ，直线QP垂直于直线NC ，P 为垂足． （1）求E 的方程；（2）证明：（i ）直线NC 过定点，（ii ）存在定点R ，使|PR |为定值． 解：（1）不妨设E 的方程为mx 2+ny 2＝1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ）， 因为椭圆E 经过点A （2，0），B(1，√32)，所以{4m =1m +34n =1， 解得{m =14n =1， 则E 的方程为x 24+y 2=1；（2）（i ）证明：易知直线MQ 的斜率存在且不为0，不妨设MQ 的方程为x ＝ty +1（t ≠0），C （x 1，y 1），M （x 2，y 2）， 可得N （x 2，﹣y 2）， 联立{x =my +1x 2+4y 2=4，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 此时Δ＝16t 2+48＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 易知2ty 1y 2＝3（y 1+y 2）， 直线NC 的斜率k NC =y 1+y 2x 1−x 2， 则直线NC 的方程为y −y 1=y 1+y 2x 1−x 2(x −x 1)， 令y ＝0，解得x ＝x 1−y 1(x 1−x 2)y 1+y 2=y 2x 1+x 2y 1y 1+y 2=y 2(ty 1+1)+(ty 2+1)y 1y 1+y 2=2ty 1y 2+(y 1+y 2)y 1+y 2=4，所以直线NC 恒过定点（4，0）；（ii ）证明：不妨设直线NC 过的定点（4，0）为点H ， 因为QP →⋅NC →=0， 又点P 在NC 上， 所以QP ⊥PH ，则点P 在以QH 为直径的圆上，此时QH 的中点R(52，0)为定点，|PR |为定值，定值为32．22．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ∈R ）．（1）当a＜e时，讨论函数f（x）零点的个数；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥ax a lnx﹣xe x恒成立，求a的取值范围．解：（1）由f′（x）=x−a x，当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且x→0，时，f（x）＜0，又f（1）＝1＞0，故f（x）只有1个零点；当0＜a＜e时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，故f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；∴当x＝a时，f（x）取得最小值f（a）＝a﹣alna＝a（1﹣lna），当0≤a＜e时，f（a）＞0，f（x）无零点，综上所述，当0≤a＜e时，f（x）无零点，当a＜0时，f（x）只有一个零点；（2）由已知有x﹣alnx≥ax a lnx﹣xe x⇒x+xe x≥alnx+alnx•x a⇒x+xe x≥alnx+alnx•e alnx，构造函数g（x）＝x+xe x，g′（x）＝1+e x（x+1）＞0，故g（x）单调递增，故原不等式转化为g（x）≥g（alnx），即x≥alnx，即a≤xlnx，令h（x）=xlnx，（x＞1），ℎ′(x)=lnx−1(lnx)2，令h′（x）＞0，解得x＞e，故h（x）在（1，e）单调递减，（e，+∞）单调递增，故h（x）的最小值为h（e）=elne=e，故a的取值范围是（﹣∞，e]．。
2023-2024学年福建省福州市八县(区市)协作校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省福州市八县（区市）协作校高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤6}，集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，3，5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{6}B ．{0，6}C ．{0，2，4，5，6}D ．{1，2，4，5，6}2．已知函数f(x)={log 2x ，x ＞0cosx ，x ≤0，则f(f(−π3))=（ ）A ．2B ．12C ．﹣1D ．−123．星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，﹣0.58等星的星等值为﹣0.58．已知两个天体的星等值m 1，m 2，和它们对应的亮度E 1，E 2满足关系式m 1−m 2=−2.5lg E 1E 2（E 1＞0，E 2＞0），则1等星的亮度是6等星亮度的（ ） A ．110倍B ．10倍C ．1100倍 D ．100倍4．函数y =−x+3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．平面向量a →，b →满足|a →|=√3，b →=（1，√3），|2a →+b →|＝2√6，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．（1，√3）B ．（√22，√22）C ．（12，√32）D ．（√32，12） 6．“不等式ax 2+2ax ﹣1＜0恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．﹣1≤a ＜0B ．a ≤0C ．﹣1＜a ≤0D ．﹣1＜a ＜07．设函数f （x ）＝sin （ωx +π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．[53，136）B ．[53，196）C ．（136，83]D ．（136，196] 8．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（ ） A ．12ln2B ．2﹣2ln 2C ．−12ln2D ．2+2ln 2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 与曲线f （x ）＝lnx +x 2相切，则下列直线中可能与l 平行的是（ ） A ．3x ﹣y ﹣1＝0 B ．2x ﹣y +1＝0 C ．4x ﹣y +1＝0 D ．5x ﹣y +3＝010．已知直线x =π12是函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|＜π2)图像的一条对称轴，则（ ） A ．φ=−π6B ．f （x ）的图像关于点(5π12，0)对称 C ．f （x ）在(π3，7π12)上单调递减D ．将f （x ）的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移π24个单位长度后所得的图像关于y 轴对称11．设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+b ．若f （0）+f （3）＝9，则下列关于f （x ）的说法正确的有（ ） A ．f （x ）的一个周期为4B ．x ＝2022是函数的一条对称轴C ．x ∈[1，2]时，f （x ）＝3x 2﹣3D ．f(20252)=15412．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，且a n+1−2a n =2n+1(n ∈N ∗)，则下列结论正确的是（ ） A ．{na n }是等比数列 B ．{a nn}是等比数列 C ．a n ＝n •2nD ．S n ＝（n ﹣1）•2n +2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z =|3+4i|2+i（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点在第 象限． 14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C =2π3，c =√7，a ＝2，则△ABC 的面积为 ． 15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，点M 为AC 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP →⋅MP →的最小值为 ．16．已知函数f （x ）＝lnx ﹣k （x 2﹣x ），若不等式f （x ）＞0恰有两个整数解，则实数k 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项递增的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，满足S 2＝6，S 4＝30． （1）求{a n }的通项公式；（2）记数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ﹣1，将数列{a n }与{b n }中的项按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的前50项和T 50．18．（12分）已知函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在[﹣2，3]上的最大值；（2）若函数f （x ）恰有三个零点，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=√3sin(π−ωx)cosωx +cos 2(ωx +π2)−12(ω＞0)的最小值周期为π．（1）求ω的值与f （x ）的单调递增区间；（2）若x 0∈(π4，7π12)且f(x 0)=√33，求cos2x 0的值．20．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设（sin B +sin C ）2＝sin 2A +sin B sin C ． （1）求A ；（2）若AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ＝1，求4b +c 的最小值． 21．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝3，S n =n+23a n． （1）求{a n }的通项公式；（2）证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n ＜23．22．（12分）设函数f （x ）＝e 2x ﹣alnx ． （1）求a ＝e 时f （x ）的单调区间； （2）求证：当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a．2023-2024学年福建省福州市八县（区市）协作校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
福建省八县(市)一中联考高三(上)期中数学.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．643．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log354．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）A．B．C．D．5．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．6．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）7．下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个8．对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6y 2 4 7 5 1 8数列{x n}满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=g（x）的图象上，则+1x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．60479．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A．B．C．D．10．已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是增函数B．f（x）在上是减函数C ．f （x ）在上是增函数 D ．f （x ）在上是减函数12．若关于x 的不等式a ≤﹣3x +4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a +b 的值为（ ）A ．5B ．4C ．D ．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．13．若z=（sin θ﹣）+i （cos θ﹣）是纯虚数，则tan θ的值为 ．14．若幂函数f （x ）过点（2，8），则满足不等式f （2﹣a ）＞f （1﹣a ）的实数a 的取值范围是 ．15．函数的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为 ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数x ，y 满足：f （2）=2，f （xy ）=xf （y ）+yf （x ），，，考查下列结论：①f （1）=1；②f （x ）为奇函数；③数列{a n }为等差数列；④数列{b n }为等比数列． 以上命题正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设p ：关于x 的不等式a x ＞1的解集是{x |x ＜0}；q ：函数的定义域为R ．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．18．已知向量=（sinx ，﹣1），向量=（cosx ，﹣），函数f （x ）=（+）•．（1）求f （x ）的最小正周期T ；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a=2，c=4，且f （A ）恰是f （x ）在[0，]上的最大值，求A 和b ．19．已知数列{a n }与{b n }满足：a 1=1，b n =且a n b n +1+a n +1b n =1+（﹣2）n ，（1）求a 2，a 3的值：（2）令c k =a 2k +1﹣a 2k ﹣1，k ∈N *，证明：{c k }是等比数列．20．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y 最小？21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．22．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．2．已知和，若，则||=（）A．5 B．8 C． D．64【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出||．【解答】解：∵和，，∴x+2﹣2x=0，解得x=2，∴||=|（5，0）|=5．故选：A．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B4．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；向量加减法的应用．【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，可得，=∠ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案【解答】解：由正六边形的性质可得，=∠ABF=30°∴==||•||cos30°==故选C5．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】y=cosx+sinx=2cos（x﹣），故将函数平移后得到y=2cos（x﹣﹣θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立，于是x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解出θ=kπ﹣．【解答】解：∵y=cosx+sinx=2cos（x﹣），∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x﹣﹣θ），∵y=2cos（x﹣﹣θ）的图象关于y轴对称，∴cos（﹣x﹣﹣θ）=cos（x﹣﹣θ），即cos（x++θ）=cos（x﹣﹣θ）恒成立．∴x++θ=x﹣﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣．∵θ＞0，∴当k=1时，θ取最小值．故选：D．6．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．7．下列四个结论：①设为向量，若，则恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个【考点】复合命题的真假．【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．【解答】解：对于①设为向量，若cos＜，＞，从而cos＜，＞=1，即和的夹角是90°，则恒成立，则①对；对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；故选：A．8．对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6y 2 4 7 5 1 8数列{x n}满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点（x n，x n）都在函数y=g（x）的图象上，则+1x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．6047【考点】函数的图象．【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得．）都在函数y=g（x）的【解答】解：∵数列{x n}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1=g（x n），图象上，∴x n+1∴由图表可得x1=2，x2=f（x1）=4，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=1，x5=f（x4）=2，∴数列是周期为4的周期数列，故x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047，故选：D．9．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f （t））处的导数值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f'（x）=（xsinx）'+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选B．10．已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论．【解答】解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a•bx+7在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6||x+6≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=2﹣4≤0 恒成立，再由，可得8||2≤8||2cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选：C．11．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（）A．f（x）在上是增函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】利用图象得出对称轴为：x=整体求解x1+x2=﹣∅，，代入即可得出f（x）=2sin（2x）根据正弦函数的单调性得出不等式+kπ≤x≤+kπ．k∈z．即可判断答案．【解答】解：根据函数图象得出；A=2，对称轴为：x=2sin（x1+x2+∅）=2，x1+x2+∅=，x1+x2=﹣∅，∵，∴2sin（2（﹣∅）+∅）=．即sin（π﹣∅）=，∵|∅|，∴∴f（x）=2sin（2x）∵+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈z，∴+kπ≤x≤+kπ．k∈z．故选：A12．若关于x的不等式a≤﹣3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b的值为（）A．5 B．4 C．D．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】确定f（x）=﹣3x+4的对称轴，然后讨论对称轴是否在区间[a，b]内，分别求解即可．【解答】解：令f（x）=﹣3x+4．对称轴为x=2，若a≥2，则a，b是方程f（x）=x的两个实根，解得a=，b=4，矛盾，易错选D；若b≤2，则f（a）=b，f（b）=a，相减得a+b=，代入可得a=b=，矛盾，易错选C；若a＜2＜b，因为f（x）min=1，所以a=1，b=4．因为x=0时与x=4时，函数值相同：4，所以a=0，a+b=4，故选：B．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．13．若z=（sinθ﹣）+i（cosθ﹣）是纯虚数，则tanθ的值为．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．【解答】解：∵是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴sin，cos，∴cos，∴tan，故答案为：﹣14．若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】2α=8⇒α=3，则f（x）=x3．通过f（2﹣a）＞f（a﹣1），利用函数f（x）的单调性可得a范围；【解答】解：∵2α=8⇒α=3，则f（x）=x3，由f（2﹣a）＞f（a﹣1），⇒2﹣a＞a﹣1⇒a＜；则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围是．故答案为：．15．函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．【解答】解：∵，∴函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=．故答案为：．16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），，，考查下列结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是②③④．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，=﹣则a n﹣a n﹣1===为常数，故数列{a n}为等差数列，故③正确，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…则f（2n）=n×2n，若，则====2为常数，则数列{b n}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用求出命题q 为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q 一真一假，分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集．【解答】解：∵关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；故命题p为真时，0＜a＜1；∵函数的定义域为R，∴⇒a≥，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，当p真q假时，则⇒0＜a＜；当q真p假时，则⇒a≥1，综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．18．已知向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A和b．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大值求出A的度数，利用余弦定理求出b的值即可．【解答】解：（1）∵向量=（sinx，﹣1），向量=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）•=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣）+2，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴当2x﹣=时，f（x）取得最大值3，此时x=，∴由f （A ）=3得：A=，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， ∴12=b 2+16﹣4b ，即（b ﹣2）2=0， ∴b=2．19．已知数列{a n }与{b n }满足：a 1=1，b n =且a n b n +1+a n +1b n =1+（﹣2）n ，（1）求a 2，a 3的值：（2）令c k =a 2k +1﹣a 2k ﹣1，k ∈N *，证明：{c k }是等比数列． 【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）根据数列的递推关系即可求a 2，a 3的值：（2）分别令n=2k ，n=2k ﹣1，化简条件，利用构造法先求出c k =a 2k +1﹣a 2k ﹣1，k ∈N *的通项公式，即可证明：{c k }是等比数列．【解答】解：（1）∵a 1=1，b n =，∴b 1==1，b 2==2，b 3=1，b 4=2，∵a n b n +1+a n +1b n =1+（﹣2）n ，∴当n=1时，a 1b 2+a 2b 1=1﹣2=﹣1， 即2+a 2=﹣1，则a 2=﹣3， 当n=2时，a 2b 3+a 3b 2=1+4=5， 即﹣3+2a 3=5，则a 3=4．（2）由（1）知当n 为奇数时，b n =1， 当n 为偶数时，b n =2，∵a n b n +1+a n +1b n =1+（﹣2）n ，∴令n=2k ，则a 2k b 2k +1+a 2k +1b 2k =1+（﹣2）2k ， 即a 2k +2a 2k +1=1+（﹣2）2k ，①令n=2k ﹣1，则a 2k ﹣1b 2k +a 2k b 2k ﹣1=1+（﹣2）2k ﹣1 即2a 2k ﹣1+a 2k =1+（﹣2）2k ﹣1，②①一②得2a 2k +1﹣2a 2k ﹣1=1+（﹣2）2k ﹣1+（﹣2）2k ﹣1=4k ﹣•4k =•4k ，即a 2k +1﹣a 2k ﹣1=•4k ， ∵c k =a 2k +1﹣a 2k ﹣1，k ∈N *，∴c k =•4k ，k ∈N *，则当k ≥2时， ==4为常数，即{c k }是等比数列．20．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系．（2）当m=96米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值．【解答】解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即n=﹣1，…所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+）x=32（﹣1）+（2+）m=m（+）+2m﹣32，（0＜x＜m）…（2）当m=96时，f（x）=96（+）+160则f′（x）=．…令f′（x）=0，得=64，所以x=16当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；当16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在区间（16，96）内为增函数．所以f（x）在x=16处取得最小值．此时n=﹣1=5…故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．…21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，（Ⅰ）求△ABC的面积．（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，由此能求出△ABC的面积．（Ⅱ）数列{a n }的公差为d 且d ≠0，由a 1cosA=1得a 1=2，由a 2，a 4，a 8成等比数列，得d=2，从而，由此利用裂项求和法能求出{}的前n 项和S n ．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且，∴由正弦定理得：，即：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理得：，又∵0＜A ＜π，∴，…∵且，即：5acosC=﹣5，即：，与联立解得：c=12，…∴△ABC 的面积是：；…（Ⅱ）数列{a n }的公差为d 且d ≠0，由a 1cosA=1，得a 1=2，又a 2，a 4，a 8成等比数列，得，解得d=2…∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，有a n +2=2（n +2），则…∴=．…22．已知函数g （x ）=（2﹣a ）lnx ，h （x ）=lnx +ax 2（a ∈R ），令f （x ）=g （x ）+h ′（x ），其中h ′（x ）是函数h （x ）的导函数． （Ⅰ）当a=0时，求f （x ）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a ＜﹣2时，若存在x 1，x 2∈[1，3]，使得恒成立，求m 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f （x ）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m 的范围．【解答】解：（I ）依题意h ′（x ）=，则，x ∈（0，+∞），当a=0时，，，令f ′（x ）=0，解得．当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，当时，f ′（x ）＞0．∴f （x ）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f （x ）取得极小值，无极大值；（II ）=，x ∈[1，3]．当﹣8＜a ＜﹣2，即＜＜时，恒有f ′（x ）＜0成立，∴f （x ）在[1，3]上是单调递减．∴f （x ）max =f （1）=1+2a ，，∴|f （x 1）﹣f （x 2）|max =f （1）﹣f （3）=，∵x 2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得，又a ＜0，∴，令t=﹣a ，则t ∈（2，8），构造函数，∴，当F ′（t ）=0时，t=e 2，当F ′（t ）＞0时，2＜t ＜e 2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．2016年10月21日。
2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高三(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|2＜2x＜128}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤6}B．{2，3，4，5，6}C．{x|1≤x≤6}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}2．已知p：“函数y＝x2+2ax+1在（1，+∞）上是增函数”，q：“a＞﹣2”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，如果f （3）＝﹣1，则不等式f（x﹣1）+1≥0的解集为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，4]D．[1，4]4．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A．直线AB与直线CD平行B．直线AB与直线CD相交C．直线AB与直线CD异面垂直D．直线AB与直线CD异面且所成的角为60°5．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S2＝1，S4＝5，则S7＝（）A．S7＝10B．C．D．6．已知m＞0，n＞0，m+4n＝2，则的最小值为（）A．36B．16C．8D．47．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．已知可导函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数f′（x）满足xf'（x）﹣2f（x）＞0，则不等式f（2020+x）﹣（x+2020）2f（﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2021）B．（﹣2021，﹣2020）C．（﹣2021，0）D．（﹣2020，0）二、选择题（共4小题）.9．已知复数z满足z（2﹣i）＝i（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则（）A．B．＝﹣C．复数z的实部为﹣1D．复数z对应复平面上的点在第二象限10．已知A（2，4），B（4，1），C（9，5），D（7，8），如下四个结论正确的是（）A．B．四边形ABCD为平行四边形C．与夹角的余弦值为D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，a cos B+b sin A＝c，则下列结论正确的是（）A．tan C＝2B．C．D．△ABC的面积为612．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O为A1C 的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°三、填空题（共4小题）.13．若cos（﹣θ）＝，则sin2θ＝．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣3n﹣1，则a n＝．15．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB垂直平面ABC，，∠BAC＝120°，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．16．函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x＞1时，，若f2（x）﹣2mf（x）+4m＝0有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题
12020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中 命题教师：审核教师：考试日期：11月12日 完卷时间：120分钟 满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（ ） A ．{x |1<x ≤6}B ．{2,3,4,5,6}C ．{x |1≤x ≤6}D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6}2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（ ） A ． (−∞，2]B ．[2，+∞)C ．[−2，4]D ．[1，4]4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面且垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（ ）． A ．S 7=10 B ．S 7=23 C ．S 7=623D ．S 7=12736．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4m+1n的最小值为（ ）A ．36B ．16C ．8D ．417．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线x =π4对称D ．关于直线x =−π4对称8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角的余弦值为145； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√85 11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ， 若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（ ）1A ．tan 2C =B ．4A π=C ．2b =D ．∆ABC 的面积为612．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111ABC 所成的角的正切值为5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若10cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题含答案
2022—2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考高中三年数学科试卷命题学校：长乐一中 命题教师：高三集备组 审核教师：考试时间：11月9日 完卷时间：120分钟 满 分：150分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若z ＝1+i ，则 |i z +3| ＝（ ） A ．54B ．24C ．52D ．222．设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1}C ．φD ．{x |0＜x ＜2} 3．已知f （x ）＝e x ，若a ＞0，b ＞0，且f （a ）•f （2b ）＝e 3，则ba 21+的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．29D ．54．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（ ） A ．如果α∥β，m ∥α，l ∥β，那么l ∥m B ．如果l ∥α，m ⊂α，且l ，m 共面，那么l ∥mC ．如果α⊥β，l ⊥α，那么l ∥βD ．如果l ⊥m ，l ⊥α，那么m ∥α 5．已知角θ的大小如图所示，则θθ2cos 2sin 1+＝（ ）A ．﹣35 B ．35C ．﹣4D ．46．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5（单位：cm ） 且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝（ ）A ．160B ．128C ．96D ．647．已知向量b a ,满足a＝5，b ＝6，b a •＝﹣6，则cos ＜b ，b a +＞ ＝（ ）A ．﹣75 B ．﹣3519 C ．3519 D ．75 8．已知实数y x ,满足333x ex-=，2ln 5+=ye y （其中e 是自然对数的底数），则=y x 3（ ）A ．5eB ．4e C ．3e D ．2e4πθyP (-1,4)x二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分） 9．已知函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图像关于点)0,32(π中心对称，则（ ） A ．f （x ）在区间），（1250π单调递减B ．f （x ）在区间)1211,12(ππ-内有两个极值点C ．直线x ＝67π是曲线y ＝f （x ）的对称轴 D ．函数f （x ）的图像向右平移6π个单位长度可以到到函数g （x ）＝sin （2x +3π）10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （x +2）＝2 ，若f （x ）的图象关于点（1，1）对称，f （0）＝0，则（ ）A ．f （2）＝4B ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称C ．f （x ）＝f （x +4）D ．f （2k ）＝1211．如图，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为1，P 为正方形底面ABCD 内一动点，则下列结论正确的有( )A ．三棱锥1B -11A D P 的体积为定值 B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P ，Q 作平面α垂直于平面11ACC A ，则平面α截正方体111ABCD A B C D -的截面周长为3212．已知函数f （x ）＝e x ln （1+x ），则以下判断正确的是（ ） A ．函数y ＝f （x ）的零点是（0，0） B ．不等式f （x ）>0的解集是（0，+∞）． C ．设g （x ）＝f ′（x ），则g （x ）在[0，+∞）上不是单调函数 D ．对任意的s ，t ∈（0，+∞），都有f （s +t ）＞f （s ）+f （t ）．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设a ，b ∈R ，写出一个使a ＜b 和ba 11<同时成立的充分条件，可以是 ． 14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4， 点M 为边AB 的中点， 点P 在边BC 上，则CP MP •的最小值为 ．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥,2AC =，14AA =，6AB =，点E ,F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是 ， 此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为 .四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(理)试题(有答案)
第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}PQ =，则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 2.已知复数131iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的共轭复数为12i -- B.z 的虚部为2iC.5z =D.z 在复平面内对应的点在第三象限 3.函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是( )4.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.2B.4C.22D.24 5.下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22ab>”的充要条件C.命题“若22x =，则x =x =的逆否命题是“若x ≠x ≠则22x ≠”D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12 B.2 C.12- D.2-8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA 在CB 方向上的投影为（ ）A.12 B.12- D.9.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.已知数列{}n a ，{}n b ，满足11a =且1,n n a a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于( )A.64B.48C.32D.2411.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
福建省福州市八县市一中高三数学上学期期中联考 理
考试日期： 11月10 日 完卷时间：120分钟 满 分：150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知：集合M=｛-1，0，2a ｝，N=｛0，a ，-1｝，若N M ⊆，则实数a 的值为（ ） A ．0或1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1 2．若a ∈R ，m R ∈且0m >。
则“a ≠m ”是“|a|≠m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．设全集为R ，A =}01|{<xx ，则=A C R （ ） A ．}01|{≥x x B ． ｛x | x 0≥｝ C ．｛x | x ＞0｝ D ．}01|{>xx 4．[]1cos (0,2 )y x x π=+∈的图象与直线32y =的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =， 则cos B =( )A ．34 B ． 14C D6．已知集合},{21x x A =，B={x ∈R| x 2+mx+1=0}，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（-1，1） B ．（-2，2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 7．过原点与曲线)2)(1(--=x x x y 相切的直线方程是（ ） A ．02=-y x B ．04=+y xC ．02=-y x 或04=+y xD ．02=-y x 或04=-y x 8．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为( ) A ．sin(2)14y x π=-+B ．22cos y x = C ．22sin y x =D ．cos 2y x =-9.已知)(x f y =为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，|34|)(2+-=x x x f ，那么当0<x 时，=)(x f （ ）A.|34|2++-x x B.|34|2+--x x C.|34|2+--x x D.|34|2+---x x 10．设x x x f --=)12sin(2)(，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的区间是（ ） A.[-1，0] B.[0，1] C.[ 1，2 ] D.[2，3 ] 11．给定以下命题：（1）函数cos y x x =+在区间(,)22ππ-上有唯一的零点； （2）向量a 与向量b 共线，则向量a 与向量b 方向相同或是方向相反； （3）若角αβ=，则一定有tan tan αβ=；（4）若R x ∈∃0,使0)(0/=x f ，则函数)(x f 在0x x =处取得极大或是极小值。
2024届福州市高三数学上学期期中联考试题卷附答案解析
2024届福州市高三数学上学期期中联考试题卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集{N06}U x x =∈≤≤∣，集合{}{}1,2,3,4,1,3,5A B ==，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}6B ．{}0,6C ．{}0,2,4,5,6D ．{}1,2,4,5,62．已知函数2log ,0()cos ,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，则π((3f f -=（）A ．2B ．12C ．1-D ．12-3．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，0.58-等星的星等值为0.58-.已知两个天体的星等值1m ，2m ，和它们对应的亮度1E ，2E 满足关系式11222.5lgE m m E -=-（10E >，20E >），则1等星的亮度是6等星亮度的（）A ．110倍B ．10倍C ．1100倍D ．100倍4．函数3sin e x x xy -+=的大致图象是（）A ．B．C D ．5．平面向量a 、b满足a =(b =，2a b += a 在b 上的投影向量为（）A．(B ．2222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．12⎫⎪⎪⎝⎭6．命题“R x ∀∈，不等式2210ax ax +-<”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．10a -≤<B ．0a ≤C ．10a -<≤D ．10a -<<7．设函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有三个极值点，则ω的取值范围为（）A ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知正数,x y 满足ln ln e xy x y y +=，则2xy x -的最小值为（）A ．1ln 22B ．22ln 2-C ．1ln 22-D ．2ln 2+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 与曲线()2ln f x x x =+相切，则下列直线中可能与l 平行的是（）A ．310x y --=B ．210x y -+=C ．410x y -+=D ．530x y -+=10．已知直线π12x =是函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴，则（）A ．π6ϕ=-B ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在π7π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移π24个单位长度后所得的图象关于y 轴对称11．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b=+.若()()039f f +=，则下列关于()f x 的说法正确的有（）A ．()f x 的一个周期为4B ．2022x =是函数的一条对称轴C ．[]1,2x ∈时，()233f x x =-D ．20251524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，且()1*122n n n a a n ++-=∈N ，则下列结论正确的是（）A ．{}n na 是等比数列B ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．2nn a n =⋅D ．()122n n S n =-⋅+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知复数34i2i z +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点在第象限.14．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若2π3C =，c =2a =，则ABC 的面积为.15．在ABC 中，90A ∠=︒，4AB AC ==，点M 为AC 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为.16．已知函数()()2ln f x x k x x =--，若不等式()0f x >恰有一个整数解，则实数k 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知各项递增的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足26S =，430S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，将数列{}n a 与{}n b 中的项按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前50项和50T .18．已知函数()32962f x x x x a=-+-（R a ∈）.(1)求()f x 在[]2,3-上的最大值；(2)若函数()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.19．已知函数()()()2π1πcos cos 022f x x x x ωωωω⎛⎫=-++-> ⎪⎝⎭的最小值周期为π.(1)求ω的值与()f x 的单调递增区间；(2)若0π7π,412x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0f x =，求0cos2x 的值.20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C+=+.(1)求A ；(2)若AD 为∠BAC 的角平分线，且1AD =，求4b c +的最小值.21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，23n n n S a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：1211123n a a a +++<.22．设函数2()e ln xf x a x =-．(1)求e a =时，()f x 的单调区间；(2)求证：当0a >时，2()2lnf x a a a ≥+．1．B【分析】求出集合A ，B 的并集，根据补集的概念和运算，即可得出答案.【详解】由题意知{}0,1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4,5A B =U ，所以(){}0,6U A B ⋃=ð.故选：B 2．C【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算作答.【详解】函数2log ,0()cos ,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，则ππ1()cos()332f -=-=，所以2π11(((log 1223f f f -===-.故选：C3．D【分析】根据题意建立对数关系式，并结合指对数互化求解.【详解】由题意得：当11m =，26m =时，11225 2.5lgE m m E -=-=-，即：12lg2E E =，解之得：21210100E E ==，故D 项正确.故选：D.4．A【分析】根据函数为奇函数排除BD ，再根据函数值的符号排除选项C.【详解】易知函数3sin e xx x y -+=的定义域为R ，且()()3sin 3sin 3sin e e e x x x x x x x x x---+---+==-，所以函数3sin e x x xy -+=为奇函数，其图象关于原点对称，故选项BD 不符合.当1x =时，函数值为13sin13sin1160e e2e π-+-+>=>，故选项C 不符合，选项A 符合.故选：A.5．C 【分析】求出b的值，由2a b +=结合平面向量数量积的运算性质求出a b ⋅ 的值，再利用投影向量的定义可求得a 在b上的投影向量.【详解】因为a =，(b =，则2b ==，因为2a b +=222244124424a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，可得2a b ⋅=，所以，a 在b上的投影向量为22cos ,4b a b b a b a a b a b bb a bb b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅(1122⎛== ⎝⎭，故选：C.6．D【分析】利用分类讨论思想，结合一元二次不等式的性质，根据充分不必要条件的定义，可得答案.【详解】当0a =时，不等式化简为10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，()20Δ240a a a <⎧⎪⎨=+<⎪⎩，解得10a -<<；综上所述，a 的取值范围为10a -<≤.由()1,0-是(]1,0-的一个真子集，则D 符合题意.故选：D.7．B【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦定理的性质得到不等式组，解得即可.【详解】依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x x πππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点，根据sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭图象：可得：57232πππωπ<+≤，解得：131966ω<≤，即1319,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B8．B【分析】利用构造函数法，结合导数求得2xy x -的最小值.【详解】依题意，正数,x y 满足ln ln e xy x y y +=，所以()ln e xy xy =，即()ln e xxy xy x =，所以()()ln ln e e xy xxy x ⋅=，令()()()()e 0,1e 0x x g x x x g x x '=>=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()()ln ln g xy g x x xy =⇒=，即e x xy =，所以2e 2xxy x x -=-，令()()e 2,e 2x x f x x f x =='--，所以()f x 在区间()0,ln 2上()()0,f x f x '<单调递减；在区间()ln 2,+∞上()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 的最小值是()ln 2ln 2e 2ln 222ln 2f =-=-，所以2xy x -的最小值为22ln 2-.故选：B【点睛】利用导数研究函数的最值，首先要确定函数的定义域，然后对函数进行求导，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值、最值.题目已知条件是一个等量关系，这个等量关系的作用一般是进行等量转化，如本题中，通过等量关系可将xy 转化为e x.9．ACD【分析】根据导数的几何意义和平行关系的斜率关系对选项一一分析即可.【详解】()2ln f x x x=+，0x >，则()12f x x x '=+≥12x x =即2x =等号成立，根据导数的几何意义知，切线的斜率k ≥l 平行，所以l 的斜率l k ≥选项A 中直线的斜率为3>选项B 中直线的斜率为2<选项C 中直线的斜率为4>选项D 中直线的斜率为5>故选：ACD.10．CD【分析】利用正弦型函数的对称性求出ϕ的值，可判断A 选项；利用正弦型函数的对称性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为直线π12x =是函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴，则()ππ2π122k k ϕ⨯+=+∈Z ，则()ππ3k k ϕ=+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，可得π3ϕ=，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为5π7π1sin 01262f ⎛⎫==-≠ ⎪⎝⎭，故()f x 的图象不关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 错；对于C 选项，当π7π312x <<时，π3ππ232x <+<，所以，函数()f x 在π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），可得到函数πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向左平移π24个单位长度，可得到函数πππsin 4sin 4cos 42432y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且函数cos 4y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，D 对.故选：CD.11．ABD 【分析】由()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数()f x 的对称性，由()1f x +为奇函数，可得()10f =，结合()()039f f +=，可求得a ，b 的值，从而得到[]1,2x ∈时，()f x 的解析式，再利用周期性从而求出20252f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【详解】对于A ，因为()1f x +为奇函数，所以()10f =，且()()11f x f x +=--+，函数()f x 图象关于点()1,0对称，因为()2f x +偶函数，所以()()22f x f x +=-+，函数()f x 图象关于直线2x =对称，()()()111f x f x f x ⎡⎤⎡⎤++=--++=--⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=--，所以()()()22f x f x f x +=-+=--，令t x =-，则()()2f t f t +=-，所以()()()42f t f t f t +=-+=，所以()()4f x f x +=，故()f x 的一个周期为4，故A 正确；对于B ，()f x 图象关于直线2x =对称，()f x 的一个周期为4，所以直线2022x =是函数的一个对称轴，故B 正确；对于C ，D ，∵当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，()()024f f a b =-=--，()()31f f a b ==+，又()()039f f +=，所以39a -=，解得3a =-，因为()10f a b =+=，所以3b a =-=，当时[]1,2x ∈，()233f x x =-+，故C 不正确；因为202511315253422224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD .12．BC【分析】根据等差数列和等比数列的定义，结合错位相减法逐一判断即可.【详解】1122n n n a a ++-=⇒11122n n n n a a ++-=，则2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列，()112nn a n n =+-=，则2nn a n =⋅．故B ，C 正确，A 错误；122222n n S n =+⋅++⋅ ，23122222n n S n +=+⋅++⋅ ，两式相减得()()1212222122n n n n S n n ++=⋅-+++=-⋅+ ，故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题的关键是把递推公式变形为11122n nn na a ++-=.13．四【分析】根据复数的模长和除法运算求复数z ，进而结合复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可知：()()()34i 52i 2i 2i 2i 2i +-===-++-z ，所以复数z 在复平面内所对应的点为()2,1-，位于第四象限.故答案为：四.14．2【分析】先由余弦定理求出1b =，再用in 12s S ab C =求出面积即可.【详解】由余弦定理可得2222147cos 2222a b c b C ab b +-+-==-=⨯⋅，解得1b =，或3b =-（舍）所以ABC 面积11sin 2122S ab C ==⨯⨯，故答案为：15．72##3.5【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】如图建立坐标系，()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，()0,2M 由()4,0B 与()0,4C ，则直线BC 的方程为144x y +=，整理可得40x y +-=，设(),4P x x -，则(),4AP x x =-uu u r ，(),2MP x x =-uuu r，()()22222374286268222AP MP x x x x x x x x x ⎛⎫⋅=+--=+-+=-+=-+⎪⎝⎭uu u r uuu r ，当()30,42x =∈时，所以AP MP ⋅ 的最小值为72.故答案为：72.16．ln3ln2,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】转化()0f x >有且仅有1个整数解为2ln ()x k x x >-有1个整数解，数形结合列出不等关系即可求得答案．【详解】由题()0f x >有且仅有2个整数解即2ln ()0x k x x -->恰有1个整数解，也即2ln ()x k x x >-有1个整数解，令()ln g x x =，2()()h x k x x =-，（1）当0k =时，ln 0x >，则1x >，此时有无数个整数解，不成立；（2）当0k <时，如图所示，2ln ()x k x x >-有无数个整数解，也不成立；（3）当0k >时，要符合题意，如图，由于()ln g x x =，2()()h x k x x =-均经过点()1,0，要使2ln ()x k x x >-有1个整数解，则(2)(2)(3)(3)g h g h >⎧⎨≤⎩，即ln 22ln 36k k >⎧⎨≤⎩，解得ln 3ln 262a ≤<，故答案为：ln3ln2,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭17．(1)2nn a =(2)2062【分析】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，根据等比数列求和公式得到方程组，解得1a 、q 即可；（2）依题意可知新数列{}n c 的前50项中，数列{}n a 的项只有前6项，数列{}n b 有44项，再利用分组求和法计算可得.【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，显然0q >且1q ≠，由已知得()()21411611301a q q a q q ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除可得2q =（负值舍去），所以12a =，所以2n n a =；（2）数列{}n a 中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，L ，而4079b =，5099b =，依题意可知新数列{}n c 的前50项中，数列{}n a 的项只有前6项，数列{}n b 有44项，所以()()50248163264135787T =++++++++++⋅⋅⋅+()()62124418712619362062122-⨯+=+=+=-.18．(1)92a-(2)52,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数明确函数的单调性，求出极值和端点值，可得答案；（2）根据函数的单调性，求得其极大值和极小值，结合零点存在性定理，可得答案.【详解】（1）()()()2396312f x x x x x ¢=-+=--，可知[]2,1x ∈-时，()f x 单调递增，[]1,2x ∈时，()f x 单调递减，[]2,3x ∈时，()f x 单调递增，由()22f a -=--，()512f a =-，()22f a =-，9(3)2f a =-，则()()max 932f x f a ==-.（2）由（1）知()f x 在(),1-∞和()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()()5=12f x f a =-极大，()()=22f x f a =-极小，因为()f x 有三个零点，所以()()00f x f x ⎧>⎪⎨<⎪⎩极大极小，即50220a a ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得522a <<，故a 的取值范围为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.19．(1)1ω=，单调递增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()πsin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求出ω的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数()f x 的增区间；（2）由已知条件可得出0πsin 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求出0πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的余弦公式可求出0cos2x 的值.【详解】（1）解：()211cos 21cos sin cos 222x f x x x x x x ωωωωωω-=+-=+-n cos 22πsi 26in 22x x x ωωω⎛⎫=- ⎝-⎭=，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>。
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第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学科（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}PQ =，则P Q =（ ）A.{3,0}B.{3,0,1}C.{3,0,2}D.{3,0,1,2} 2.已知复数131iz i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的共轭复数为12i -- B.z 的虚部为2iC.5z =D.z 在复平面内对应的点在第三象限 3.函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是( )4.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.2B.4C.22D.24 5.下列命题中正确的是（ ）A.命题p ：“0x R ∃∈，200210x x -+<”，则命题p ⌝：x R ∀∈，2210x x -+>B ．“ln ln a b >”是“22ab>”的充要条件C.命题“若22x =，则x =x =x ≠x ≠22x ≠”D.命题p ：0x R ∃∈，001ln x x -<；命题q ：对x R ∀∈，总有20x>；则p q ∧是真命题6.如图，,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为30︒和45︒，则A 点离地面的高AB 等于( )A.10mB.C.1)mD.1)m7.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12 B.2 C.12- D.2-8．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0OA AB AC ++=且OA AB =，则向量CA 在CB方向上的投影为（ ）A.12 B.12- D.9.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()()4f x f x π-=-；③()f x 在3(,)82ππ上是减函数，则()f x 的解析式可能是A.()cos()8f x x π=+B.()sin 2cos2f x x x =+C.()sin cos f x x x =D.()sin 2cos 2f x x x =-10.已知数列{}n a ，{}n b ，满足11a =且1,n n a a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于( )A.64B.48C.32D.2411.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.312.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
13.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则sin cos()sin()sin()2θπθπθπθ+---+=__________．14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为_________． 15.在ABC ∆中，4AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，E 为线段AC 的中点，则EB EA ⋅的值为 ．16.对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”.现给出两个函数：①2()f x x =，()22g x x =-；②()f x =()2g x x =+；③()xf x e -=，1()g x x=-；④()ln f x x =，()g x x =. 则在区间(0,)+∞上存在唯一“友好点”的是_ __. (填上所有正确的序号) 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．。
17.（本小题满分10分）设命题p ：函数2()lg(2)f x mx x m =-+-的定义域为R ；命题q ：函数21()4ln (1)2g x x x m x =+--的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2， 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()cos f x x x m ωω=-+（0ω>，x R ∈，m 是常数）的图象上的一个最高点(,1)3π，且与点(,1)3π最近的一个最低点是(,3)6π--. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且12AB BC ac ⋅=-，求函数()f A 的值域．19.(本小题满分12分） 已知函数2()(23)xf x x x e =-⋅ （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若方程(23)x ax e x-⋅=有且仅有一个实根，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BAD CAD ∠∠的值．21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *∈，且满足222n n a S n +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：21223111133(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)4n n n a a a a a a +⋯+++<------.CD B A22.（本小题满分12分） 已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．第一学期八县（市）一中期中联考 高中 三 年 数学 科（理）参考答案一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 题号 123456789101112答案BACBDDCCDACB二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13.12 14．11015.1- 16．①④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）解：若p 为真命题，则220mx x m -+->恒成立，即220mx x m -+<恒成立．……1分当0m =时，不等式为20x -<，解得0x >，显然不成立；当0m ≠时，2(2)40m m m <⎧⎨∆=--⨯<⎩，解得1m <-. ∴若p 为真命题，则1m <-．…………4分 若q 为真命题，则当1x >-时，4()12g x x m x '=+-+>，41m x x<+-，∵4113x x+-≥=，当且仅当1x =时取等号，∴3m <.…………6分 ∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真. ………8分 若p 真q 假，则13m m <-⎧⎨≥⎩，∴m ∈∅；若p 假q 真，则13m m ≥-⎧⎨<⎩，∴13m -≤<.综上所述，实数m 得取值范围为[1,3)m ∈-.………10分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()cos f x x x m ωω=-+，∴()2sin()6f x x m πω=-+，∵点(,1)3π，点(,3)6π--分别是函数()f x 图象上相邻的最高点和最低点，∴2()22362T ππππω==--=，且1(3)2m +-=，∴2ω=，1m =-. ∴()2sin(2)16f x x π=--.∴令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈.（Ⅱ）∵在ABC ∆中，12AB BC ac ⋅=，∴1cos()2ac B ac π-=-，∴1cos 2B =， ∵0B π<<，∴3B π=，∴23A C π+=.∵203A π<<，∴4023A π<<，72666A πππ-<-<，∴1sin(2)126A π-<-≤，∵()2sin(2)16f A A π=--， ∴2()1f A -<≤，∴()f A 的值域为(2,1]-. 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得：'2()(23)xf x x x e =+-⋅ …………………………………1分令'()0f x <，得 2230x x +-<，解得：312x -<< …………………3分 ∴函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-．…………………………………4分 （Ⅱ）∵方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根 ∴方程2(23)xx x e a -⋅=有且仅有一个非零实根，即方程(),(0)f x a x =≠有且仅有一个实根． 因此，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………6分 结合（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间是3(,1)2-，单调递增区间是3(,),(1,)2-∞-+∞ ∴函数()f x 的极大值是323()92f e --=，极小值是(1)f e =-．……………………9分又3(0)()02f f ==且0x <时，()0f x >．∴当329a e ->或0a =或a e =-时，函数(),(0)y f x x =≠的图像与直线y a =有且仅有一个交点．……………………11分 ∴若方程(23)xax e x-⋅=有且仅有一个实根， 实数a 的取值范围是32{,0}(9,)e e --+∞.…12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵3cos cos cos a B b C c B -=，∴3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+，3sin cos sin()A B B C =+，∵B C A π+=-，∴3sin cos sin A B A =，∵(0,)A π∈，∴sin 0A >，1cos 3B =.…………2分 ∵(0,)B π∈，∴sin 3B =.…………3分 ∵34ADC π∠=，∴4ADB π∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠32=，83AD =.…………6分（Ⅱ）设DC a =，则2BD a =，∵2BD DC =，ACD ∆∴3ABC ACD S S ∆∆==12323a =⨯⨯⨯，∴2a =.…………8分∴AC ==42sin sin BAD ADB =∠∠， ∴1sin sin 2BAD ADB ∠=∠．2sin sin CAD ADC =∠∠，∴sin 4CAD ADC ∠=∠，∵sin sin ADB ADC ∠=∠，∴sin sin BADCAD∠=∠12分21. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：∵222n n a S n +=+，令1n =，得11434,3a a ==.…………2分 由222n n a S n +=+得 2n ≥时，1122(1)2n n a S n --+=-+ 两式相减得；132n n a a -=+…………3分 ∴111(1)(2)3n n a a n --=-≥ ………4分 ∴数列{}1n a -是以首项为113n a -=，公比为13的等比数列， ∴11111()()333n n n a --=⋅=，∴1()13n n a =+.…………6分 （Ⅱ）证明：∵1111131313(2)(2)333n n nn n n n n a a +++=----⋅⋅1113311()(31)(31)23131n n n n n +++==--⋅--- …8分 ∴2122311113(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)n n n a a a a a a +⋯+++------13111111()2288263131n n +⋯=-+-++--- 1311()2231n +=--131342(31)4n +=-<-…………12分22. （本小题满分12分）（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．当2a =时,21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-（舍去）．……2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：4分 （Ⅱ）2221(21)(1)()2 a x ax f x a x x x --+'=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增；…… 5分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增；……7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -上()0f x '>，)(x f 单调递增．……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； ∴当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++.……10分 问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立，即a am 432->，∵0a <，∴243m a <-，∴min 2(4)3m a<-. ∴实数m 的取值范围是13(,]3-∞-.……12分。