标准差教案

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高中数学标准差教案

高中数学标准差教案
一、教学目标：
1. 了解标准差的概念和计算公式。

2. 掌握计算标准差的方法。

3. 能够应用标准差进行数据分析和比较。

二、教学重点与难点：
重点：标准差的概念和计算方法。

难点：如何应用标准差进行数据分析。

三、教学准备：
1. PowerPoint课件
2. 教材、教具和练习册
3. 计算器、笔、纸
四、教学过程：
1. 导入：通过实际案例引入标准差的概念，让学生了解什么是标准差及其作用。

2. 讲解：介绍标准差的定义和计算公式，讲解计算标准差的步骤和方法。

3. 示例：给出一组数据，指导学生计算该组数据的标准差，并讲解计算过程。

4. 练习：让学生练习计算标准差的相关题目，巩固所学知识。

5. 应用：引导学生应用标准差进行数据分析，比较不同数据集之间的差异。

6. 总结：总结本节课的重点内容，并给出练习题供学生课下巩固。

五、课后作业：
1. 完成练习册上的相关题目。

2. 收集数据并计算数据的标准差。

3. 阅读相关资料，了解标准差在实际生活中的应用。

六、教学反思与评价：
本节课以提出实际问题引入标准差的概念，引导学生自主探究和计算，通过示例和练习巩固所学知识，使学生能够灵活运用标准差进行数据分析和比较，达到了预期的教学目标。

在未来的教学中，可以增加更多的实际案例，让学生更好地理解标准差的应用。

初中数学教案：3.3 方差和标准差

1．本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手
操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体
地位把握地恰当、到位．
2．本节课采取的教学组织形式，以学生操用，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑问解决到位．这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律．
（四）考考你
甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次第二次第三次第四次第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
分别计算甲、乙两名射击手的方差并决定选派谁参加比赛？
设计意图：让学生练习利用方差就可解决此问题，体会方差的作用．
（五）动动脑
思考：数据的单位与方差的单位一致吗？
学生思考、讨论、交流，确定答案．
①数据 a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3 的平均数为，方差为
标准差为
．
②数据 a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3 的平均数为
，方差为
，
标准差为
．
③数据 3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an 的平均数为
，方差为
，
标准差为
．
④数据 2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3 的平均数为
4．已知一样本 a1，a2，…，an 的平均数＝5，方差＝0．025，则：
(1)4+al，4+a2,…，4+an 的平均数＝

标准差与方差的实际背景教案：探索其来源与发展

【导言】在统计学中，方差和标准差是重要的概念。

作为常用的两种统计量，它们在众多领域中都有广泛的应用。

然而，它们的发展不是一蹴而就的。

本篇文章将带大家探索方差和标准差的来源与发展，具体内容如下。

【正文】一、方差的来源与发展1.1、方差的定义方差是衡量数据分散程度的一种统计量。

它是对每个数据值与其平均数之差的平方进行求和后再除以总数的一种计算方法。

用数学公式来表达，可表示为：s² = [∑(Xi - X)²] / N其中，s²表示样本方差，Xi表示第i个数据值，X表示样本平均数，N表示样本总个数。

1.2、方差的历史方差的概念最早出现于18世纪的数学家勒让德的研究中。

他是法国数学家，同时也是牛顿之后最著名的科学家之一。

他在研究天体物理学时，提出了一种新的概念——“误差”，并用方差来度量这种误差的大小。

在19世纪，另一位著名的数学家高斯对方差进行了深入研究。

他进一步阐明了方差的重要性，并引入了正态分布曲线，使得方差得以在统计学中得到广泛应用。

1.3、方差的应用方差是衡量数据分散程度的重要参数，它在实际应用中有广泛的应用。

以下是方差的几个主要应用场景：（1）地震学在地震学中，方差被用于研究地震波的强度和频率。

它可以帮助科学家预测地震的危险等级，并指导人们制定相应的救援措施。

（2）金融学在金融学领域，方差被用于评估投资组合的风险。

基于方差，投资者可以更准确地控制风险，并推出更适合的投资策略。

（3）生物学在生物学领域，方差被用于研究生物种群的多样性和生存能力。

它可以帮助科学家评估生物种群的健康状况，并揭示其在环境变化下的适应能力。

二、标准差的来源与发展2.1、标准差的定义标准差是衡量数据分散程度的另一种统计量。

它是方差的平方根。

数学公式如下：s = √s²其中s表示样本标准差。

3.2、标准差的历史标准差最早由英国统计学家Karl Pearson提出，目的是帮助研究人员比较均值的差异。

高中数学教案概率分布的方差与标准差

高中数学教案概率分布的方差与标准差高中数学教案：概率分布的方差与标准差概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机事件发生的规律性。

在高中数学课程中，我们需要了解概率分布的方差与标准差，它们是衡量概率分布离散程度的指标。

本教案将详细介绍方差与标准差的计算方法、性质以及在实际问题中的应用。

1. 方差的计算方法方差是用来度量概率分布离散程度的统计量。

对于离散型随机变量X，其方差的计算公式如下：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)]其中，Xi表示随机变量X的取值，μ表示随机变量X的期望值，P(Xi)表示Xi取值的概率。

例如，某班级学生的考试成绩服从离散型随机变量X，其取值为{60, 70, 80, 90, 100}，对应的概率分别为{0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2}。

求该班级学生考试成绩的方差。

解：首先计算随机变量X的期望值μ：μ = Σ(Xi * P(Xi)) = 60*0.1 + 70*0.2 + 80*0.3 + 90*0.2 + 100*0.2 = 82然后计算方差Var(X)：Var(X) = Σ[(Xi - μ)² * P(Xi)] = (60-82)²*0.1 + (70-82)²*0.2 + (80-82)²*0.3 + (90-82)²*0.2 + (100-82)²*0.2 = 1362. 标准差的计算方法标准差是方差的平方根，它衡量了概率分布离散程度相对于期望值的距离。

标准差的计算公式如下：σ = sqrt(Var(X))继续以前述班级学生考试成绩为例，求该班级学生考试成绩的标准差。

解：首先计算方差Var(X)：Var(X) = 136然后计算标准差σ：σ = sqrt(Var(X)) = sqrt(136) ≈ 11.663. 方差与标准差的性质方差和标准差具有以下性质：- 方差和标准差都是非负的。

2、2、2、2标准差、方差学案

2、2、2、2标准差、方差教案讲义编写者：数学教师孟凡洲平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.一、【学习目标】1、理解标准差、方差的真正含义；2、会用标准差、方差解决简单的题目.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材内容，回答问题（标准差、方差） <1>什么是样本平均值？<2>什么是样本标准差和方差？结论：<1>样本平均值：nx x x x n+++=21<2>样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==小知识帮您解决大问题1o 用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.2o ①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(s x s x +-的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.三、【综合练习与思考探索】例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.结论：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?结论：每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性.例3、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单2结论：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.练习题：①在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.②若给定一组数据x1,x2,…,x n,方差为s2,则ax1,ax2,…,ax n的方差是____________.③在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？④某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.⑤某课外活动小组对该市空气含尘调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位3M G )（1）求出这组数据的众数和中位数？（2）若国标（国家环保局的标准）是平均值不得超过0.0253M G ；问这一天城市空气是否符合标准？⑥从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？结论：①9.5,0.016 ②a 2s 2③甲x ＝33，乙x ＝33，33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.④这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入.⑤（1）由题知众数是0.03，中位数为0.03；（2）这一天数据平均数是∵ 0.03>0.025∴ 这一天该城市空气不符合国标.⑥分析：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.（1）-甲X =101（25+41+40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42）＝30；－乙X =101（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝31，-甲X <－乙X （2）可运算 2S 甲＝104.2，2S 乙＝128.8∴ 2S 甲<2S 乙所以乙种玉米苗长得高，甲种玉米的苗长得齐. 四、【作业】1、必做题：习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、22、选做题：某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 五、【课后练习】一、选择题1. 下列说法正确的是：(A)甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样(B)期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好(C)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好(D)期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好 2. 一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的方差是（）Ａ. 22s ；Ｂ. 22s ；Ｃ．24s ；Ｄ．2s二填空题3. 如果14：有6个数4，x , －1 ,y , z 6,它们的平均数为5，则x,y,z 三个数的平均数为___________________4、数据12n x x x ⋅⋅⋅，，的平均数为x ，方差为2s 中位数为a ，则数据1233n x x x ⋅⋅⋅+5，3+5，+5的平均数、标准差、方差、中位数分别为____________________三、解答题5．下面是两个学生的五次英语测试成绩：试用平均数与方差分析两位同学的英语成绩，并说明那一位同学的英语成绩比较稳定？。

标准差教案高中数学

标准差教案高中数学
目标：学生能够理解标准差的概念，掌握计算标准差的方法，并能够应用标准差解决实际问题。

一、引入
1. 引导学生回顾方差的概念，并与标准差进行比较。

2. 提出问题：在统计学中，为什么需要引入标准差这个概念？
二、概念讲解
1. 定义：标准差是一组数据离散程度的一种度量，用来衡量数据集中的值与均值的偏离程度。

2. 计算公式：标准差的计算公式为：$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-
\overline{x})^2}{n}}$，其中$\sigma$代表标准差，$x_i$代表第i个观测值，
$\overline{x}$代表样本均值，n代表样本数量。

3. 解释标准差的意义：标准差越大，说明数据的波动性越大，反之亦然。

三、计算实例
1. 给出一组数据：67, 72, 75, 70, 68，让学生计算这组数据的标准差。

2. 指导学生按照公式计算，并进行详细步骤的解释。

3. 计算结果为2.88，说明这组数据的波动性不大。

四、练习
1. 提供多组数据让学生分组计算标准差，并进行比较。

2. 提出实际问题让学生应用标准差进行分析和解决。

五、总结
1. 总结标准差的重要性和应用场景。

2. 强调标准差是一种重要的统计学指标，能够帮助我们更好地理解数据的分布情况。

六、作业
1. 练习计算标准差的题目。

2. 思考标准差在生活中的应用场景，并写出一篇小结。

以上为标准差教案的内容，希望对您有所帮助。

用计算器求平均数、标准差与方差教案

用计算器求平均数、标准差与方差教学目标 1、掌握用计算器求平均数、标准差与方差的方法．2、会用计算器求平均数、标准差与方差．教学建议重点、难点分析1、本节内容的重点是用计算器求平均数、标准差与方差，难点是准确操作计算器．2、计算器上的标准差用表示，和教科书中用S表示不一样，但意义是一样的．而计算器上的S和我们教科书上的标准差S意义不一样．在计算器上S和是并排在一起的，按同一键，都是统计计算用的．因S在前，在后，这样要想显示出标准差，就需要发挥该键的统计功能中第二功能，于是就得先按键，再按键．教学设计示例1素质教育目标（一）知识教学点使学生会用计算器求平均数、标准差与方差.（二）能力训练点培养学生正确使用计算器的能力.（三）德育渗透点培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.（四）养育渗透点通过本节课的教学，渗透了用高科技产品求方差值的简单美，激发学生的学习兴趣，丰富了学生具有数学美的底蕴.重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：用计算器进行统计计算的步骤.2．教学难点：正确输入数据.3．教学疑点：学生容易把计算器上的键，教科书中的符号的意义不同，而与计算器上的符号相同.4．解决办法：首先使计算器进入统计计算状态，再将一些数据输入，按键得出所要求的统计量.教学步骤（一）明确目标请同学们回想一下，我们已学过用科学计算器进行过哪些运算？（求数的方根、求角的三角函数值等），那么用计算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不同，（计算器运算速度快、准确性高，查表慢，且准确性低）．这节课我们将要学习用计算器进行统计运算．它会使我们更能充分体会到用计算器进行运算的优越性．这样开门见山的引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课的学习．（二）整体感知进行统计运算，是科学计算器的重要功能之一．一般的科学计算器，都含有统计计算功能，教科书以用1206计算器进行统计计算为例说明计算方法．用1206计算器进行统计计算，一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量．这些统计量除了平均数、标准差外，还有数据个数，各数据的和，各数据的平方和．衡量一组数据的波动大小的另一个量．计算器上的键，并不表示教科书上的标准差．（三）教学过程教师首先讲清解题的三个步骤，第一步建立统计运算状态．方法：在打开计算器后，先按键，便使计算器进入计计算状态．第二步输入数据，其过程一定要用表格显示输入时，每次按数据后再按键．表示已将这个数据输入计算器．这时显示的数，是已输入的数据的累计个数，表中所有数据输入后显示的数为8，表明所有数据的个数（样本容量）为8，如果有重复出现的数据，如有7个数据是3，那么输入时可按3×7（前面是输入的数据，后面是输人数据的个数）．第三步按一下有关的键，即可直接得出计算结果．在教师讲情操作要领的基础上，（把学生分成两组）让学生自己操作，用计算器求14.3节例1中两组数据的平均数、标准差与方差．在学生操作过程中，教师要指导学生每输入一个数据，就检查一下计算器上的显示是否与教科书的表格一致，如发现刚输入的数据有误，可按键将它清除，然后继续往下输入．教师还要指出教科书上的符号的意义不同，而与该计算器上的符号相同，在1206型计算器键盘上，用表示一组数据的标准差．由于这个计算器上未单设方差计算键，我们可以选按键，然后将它平方，即按键×=，就得到方差值．根据表5，得到根据表6，得到让学生把表5、表6与前面的笔算结果相比较，结论是一致的．引导学生通过比较计算器与笔算两种算法，总结出计算器有哪些优越性；（省时，省力，计算简便．）这样做的目的，是使学生亲自动手实践．参与教学过程，不仅便于学生掌握用计算器进行统计运算的步骤和要领，而且能使学生充分认识到计算器的优越性，更有利于科学计算器在中学的普及使用．课堂练习：教材P177中1、2．（四）总结、扩展知识小结：通过本节课的学习，我们学会了用科学计算器进行统计运算．在运算中，要注意操作方法与步骤，由于数据输入的过程较长，操作时务必仔细，避免出错，在用计算器进行统计计算的前提下，可通过比较两组数据的标准差来比较它们的波动大小，而不必再转到相应方差的比较．方法小结：用1206型计算器进行统计运算．一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量．布置作业教材P179中A组板书设计随堂练习用计算器计算下列各组数据的平均数和方差、标准差1．60，40，30，45，70，582．9，8，7，6，9，7，8教学设计示例2一、教学目的1．使学生了解计算器上有关统计计算的符号．2．使学生会用计算器求一组数据的平均数、标准差与方差．3．使学生体会到用计算器统计的省时、省力的优越性．二、教学重点、难点重点：掌握用计算器计算平均数、方差的方法．难点：计算器上符号的准确识读与应用．三、教学过程复习提问1．我们学过哪些计算一组数据的平均数的方法？ 2．我们学过哪些计算一组数据的方差与标准差的方法？引入新课随着科学的进步，一些先进的计算工具逐步进入千家万户，我们可以用这些计算工具来进行计算．本课我们学习用计算器计算一组数据的平均数与方差的方法．新课让学生阅读并在教师指导下计算教材例中两组数据的平均数、标准差与方差．同时，通过应用计算器，了解的作用．接下来让学生作如下练习：填空题：2．计算器中，STAT是____的意思，DATA是____的意思．3．计算器键盘上，符号σ与书中符号____意义相同，表示一组数据的____．4．在CZ1206型计算器上设有标准差运算键，而未设____运算键，一般要通过将标准差____得到____．选择题：1．通过使用计算器比较两组数据的波动大小，只需通过比较它们的____即可[]A．标准差B．方差C．平均数D．中位数2．如果有重复出现的数据，比如有10个数据是11，那么输入时可按[]3．用计算器计算样本91，92，90，89，88的标准差为[]A．0B．1C．约1.414D．24．用计算器计算7，8，8，6，5，7，5，4，7，6的平均数、方差分别为[]A．6.3，1.27B．1.61，6.3C．6.3，1.61D．1.27，1.61教师可先用投影片(或小黑板或示意图纸)写好操作效果图和学生的计算结果进行对比．接下来师生共同继续作课本上练习小结1．熟悉计算器上各键的功能．2．学会算(用计算器)平均数、标准差、方差．(1)(2)四、教学注意问题1．本课教学内容关键是动手，要让学生动手作，为帮助学生中动手能力差者，要提倡互相帮助．2．学生做作业时可提示他们可核对以前的题目的准确性．。

小学数学教学备课教案方差与标准差的计算

小学数学教学备课教案方差与标准差的计算教案一：方差与标准差的计算一、教学目标：1. 理解方差和标准差的概念。

2. 掌握方差和标准差的计算方法。

3. 能够应用方差和标准差进行数据分析和比较。

二、教学准备：1. 教师：教学课件、黑板、粉笔、电脑等。

2. 学生：学习用书、练习册、计算器等。

三、教学过程：1. 概念讲解方差和标准差是用来描述数据分散程度的指标。

方差是指各个数据与其均值之差的平方的平均值，标准差是方差的算术平方根。

2. 方差的计算方法方差的计算步骤如下：（1）求出数据的平均值；（2）将每个数据与平均值的差求平方；（3）将所有差的平方求和；（4）将差的平方和除以数据个数，即可得到方差。

3. 标准差的计算方法标准差的计算步骤如下：（1）先计算方差；（2）将方差的值开方即可得到标准差。

4. 例题演示（教师可以选择一到两个具体的实例进行演示和讲解，帮助学生理解方差和标准差的计算过程。

）5. 练习（教师可以出几道相关的题目，让学生动手计算方差和标准差，巩固所学内容。

）6. 拓展应用（教师可以引导学生应用所学知识进行数据的分析和比较，例如，给出一些数据集合，让学生计算其方差和标准差，并分析其分散程度和差异性。

）四、教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解并掌握方差和标准差的计算方法，能够灵活运用这些知识进行数据的分析和比较。

针对不同的学生情况，可以适当调整教学内容和难度，提供更多的练习机会和拓展应用的题目，以巩固和拓展学生的知识。

标准差人教版高中数学必修3教材教案

第2课时标准差授课时间：第周年月日（星期）导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论.(3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n). 于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差:s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- . 意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s,x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s甲=2.用类似的方法，可得s乙≈1.095.由s甲>s乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83.它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.3625.34 25.42 25.45 25.38 25.4225.39 25.43 25.39 25.40 25.4425.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值.解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.强调：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）.解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10,样本方差为［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24.因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例 2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命.解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+ 25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 知能训练（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________. （2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________. (3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：试判断选谁参加某项重大比赛更合适？答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2 (3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x a a这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入. 课堂小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确. 作业习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、2.。

九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案

九年级上册《方差与标准差》导学案数学教案
标题：九年级上册《方差与标准差》导学案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握方差和标准差的概念。

2. 学生能够熟练地计算一组数据的方差和标准差。

3. 学生能够运用方差和标准差来描述数据的离散程度，并能对不同数据集的离散程度进行比较。

二、教学重点难点：
1. 教学重点：方差和标准差的概念及其计算方法。

2. 教学难点：理解和运用方差和标准差描述数据的离散程度。

三、教学过程：
1. 导入新课：
通过实际生活中的例子引入课题，比如学生的考试成绩分布，引出描述数据集中趋势和离散程度的需求。

2. 新课讲解：
（1）介绍平均数作为描述数据集中趋势的一个指标，然后引出描述数据离散程度的需要。

（2）讲解方差的概念和计算方法，引导学生理解方差反映的是数据相对于平均数的偏离程度。

（3）讲解标准差的概念和计算方法，说明它是方差的平方根，更直观地反映了数据的离散程度。

3. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生通过计算实例数据的方差和标准差，加深对方差和标准差的理解。

4. 小结：
总结本节课学习的主要内容，强调方差和标准差在描述数据离散程度中的作用。

5. 作业布置：
布置一些包含计算方差和标准差的题目，让学生在实践中进一步熟悉这两个概念。

四、教学反思：
在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，以提高教学效果。

方差与标准差-北师大版八年级数学上册教案

方差与标准差-北师大版八年级数学上册教案1. 教学目标•了解方差和标准差的定义及计算方法；•能够运用方差和标准差进行数据分析，评价数据分布的离散程度。

2. 教学重点•方差的定义和计算方法；•标准差的计算方法；•方差和标准差在数据分析中的应用。

3. 教学难点•方差和标准差的应用；•方差和标准差的计算方法。

4. 教学内容及实施方法（1）方差的定义和计算方法•学生通过生活实例，引导学生理解什么是方差和方差的计算方法；•强调方差是对平均数的补充，用公式帮助学生深刻理解。

（2）标准差的计算方法•学生通过生活实例，引导学生理解什么是标准差和标准差的计算方法；•强调标准差在数据分析中的作用，用公式帮助学生深刻理解。

（3）方差和标准差在数据分析中的应用•引导学生分析有多组数据时如何比较其离散程度；•通过课堂小组合作探究数据分布及其分析，运用到实际生活中去。

5. 教学过程（1）引入通过举例子引出方差和标准差的概念，引导学生猜想方差和标准差的含义并加以解释。

（2）探究教师给出一组数据，引导学生用求平均数、方差和标准差的方法进行计算，并利用计算结果进一步解释方差和标准差的含义。

（3）总结教师让学生总结方差和标准差的定义及计算方法，并归纳其应用。

（4）练习教师给出多组数据，让学生自主计算方差和标准差，并进一步分析数据的分散程度。

（5）拓展教师给出实际应用中的数据，让学生自行选择使用方差还是标准差进行数据分析，并给出相应的解释。

6. 教学评价本课程以引导性和探究性为主，通过生活例子引入方差和标准差的定义，并通过实例进行计算和应用分析，使学生对方差和标准差有更深入的理解和应用。

教学过程中，教师注重学生参与度的提高，不断鼓励学生在小组中合作，使得学生在课程中有良好的融合感和创造力，提高学生的思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力。

教学结束后，教师可以进行简单的检测或考试，了解学生的掌握情况，及时进行巩固和补充。

高中数学必修三教案-方差与标准差

教学目标：1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质；3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？提出问题①若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax ax ax 的方差为②若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax b ax bax b +++的方差为二、学生活动设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12nx x x n+++＝x ，则样本方差：s 2＝n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕另一组样本数据n ax ax ax ,,21 ，其平均数为12nax ax ax n+++＝a x ,则s样本方差＝n 1〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2〕＝a 2n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕＝22s a ．同样：另一组样本数据b ax b ax b ax n +++,,21 ，其平均数为12n ax b ax b ax bn ++++++＝a x +b ,样本方差＝n 1〔（ax 1+b —a x -b ）２+（ax 2+b —a x -b ）2+…+（ax n +b —a x -b ）2〕＝a 2n 1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕＝22s a ．特别地，当1=a 时，则有b x b x b x n +++,,,21 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性．三、建构数学①若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则n ax ax ax ,,21 的方差为22s a ②若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则b ax b ax b ax n +++,,21 的方差为22s a ；四、数学运用 1．例题讲解．例1 若821,,,k k k 的方差为3，则)3(2,),3(2),3(2821---k k k 的方差为________．例2 将某班学生40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表：试求全班学生的平均成绩和标准差．解：记第一组20人成绩为)20,,2,1( =i x i ，第二组20人成绩为)20,,2,1( =i y i ，则80,90==y x ，全班的平均成绩85)20802090(401=⨯+⨯=z ．2220222120121)(x x x x s -++=＝36，2220222120122)(y y y y s -++=＝16，故全班学生成绩的标准差为222022212202221401)(z y y y x x x s -+++++=2222221401)20202020(z y s x s -+++=5185)80901636(22221=-+++=．例3 已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）：季度一二三四甲厂 70 50 80 40 乙厂55655565试分析两厂上缴利税的情况．解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲＝41（70+50+80+40）＝60，x 乙＝41（55+65+55+65）＝60；甲、乙两厂上缴利税的方差为s 甲2＝41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］＝250，s 乙2＝41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］＝25．经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定．2．巩固深化，反馈矫正．（1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表： 123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是102，则xy = 3．一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差是甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10 频数6446丙的成绩环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 44．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上做实验，每块试验田均为0．5公顷，产量情况如下：问：哪一品种的西红柿既高产又稳定?五、归纳整理，整体认识1．用样本的方差、标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策．。

八年级数学上册4.4方差和标准差教案(1)新人教版

4.4方差和标准差教材分析：方差和标准差是反应一组数据离散程度的统计量。

课本从射击比赛的成绩（当然也可以从学生更熟悉的例子，如投篮）引入，提出问题，并让学生通过画图来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。

课本在本节和4.5节（包括相应的作业题）都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。

计算过程可鼓励学生使用计算器，养成使用计算器的习惯。

本节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。

教学目标：1.了解方差、标准差的概念；2.会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度；3.能用样本的方差来估计总体的方差。

教学难点、重点：重点：方差的概念和计算难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学过程：一、新课引入问题一：要选拔射击手参加比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？二、新课讲授：甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下：我们先计算他们的平均数，发现平均数相同都是8，可见平均数不能反映两个选手成绩是否稳定。

甲、乙两人成绩与平均数的偏差是多少？甲：-1 0 0 0 1乙：2 -2 2 -2 0 数据简单可看出甲稳定。

再看这样一个例子：一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg ）甲：402，452，494.5，408.5，459.5， 411，456，500.5 乙： 428，466，465， 426.5， 436， 455， 448.5，459 哪个品种的产量比较稳定？计算它们的平均数都是448kg ，再看偏差甲：-46 4 46.5 -39.5 11.5 -37 8 52.5 乙：-20 18 17 -21.5 -12 7 0.5 11看不出谁的偏差大。

所以我们需要严密的计算，统计学中计算方法不止一种，我们今天学其中一种，计算偏差平方的平均数如射击的甲、乙两人，甲：()()()()()4.0]8988888887[5122222=-+-+-+-+- 乙：()()()()()2.3]888681086810[5122222=-+-+-+-+-从中可知这个平均数越大，说明波动越大，越不稳定。

标准差与方差概念教案：全面解读两个统计学基础知识

标准差与方差概念教学教案：全面解读两个统计学基础知识引言：标准差与方差是统计学的两个基础概念。

它们在统计学的应用中具有重要的作用。

在许多学科中，如自然科学、社会科学和医学等，都需要用到这两个概念。

因此，对于学生而言，了解它们的意义和应用十分必要。

本教案将全面解读标准差和方差的概念以及运用。

目标：1.理解并掌握标准差与方差的定义及表达方式2.理解标准差与方差的意义及其应用3.能够通过实践练习应用标准差与方差1.标准差的概念标准差是对一组数据中变量的分散程度的度量。

它告诉我们有多少数据落在平均值附近。

标准差的单位与原始数据相同。

标准差(SD)的公式如下：SD = √(Σ( xi - μ )² / ( n - 1 ) )其中，xi表示第i个数据，μ表示总体的平均值，n表示数据的数量。

在样本中，除以n-1而不是n，称为样本标准差。

例如，在假设有一个数列：3, 6, 9, 12，在计算标准差时，首先求出平均值为(3+6+9+12)/4 = 7.5。

然后计算方差：（3-7.5）^2 +（6-7.5）^2 + （9-7.5）^2 +（12-7.5）^2 = 90，最后标准差= √（90/3）= 5。

2.方差的概念方差是指一组随机变量在其均值附近分布的平方偏差，它代表一个数据集合中数据偏离其平均值的程度。

中心定理指出，当数据的样本数量越多时，样本均值越趋近于总体均值。

公式：方差的公式如下：σ^2 = Σ( xi - μ )² / n其中，xi表示第i个数据，μ表示总体或样本的平均值，n表示数据的数量。

3.差异与应用标准差与方差是对一组数据中变量的分散程度的度量。

当相对变化量较小时，它们可以用来比较两组数据之间的差异程度。

例如：在一个班级中，对全班学生的某一次考试成绩进行统计，结果如下：75，80，85，90，95。

则平均值为85，如果只从均值考虑，则无法判断这些分数分布的广度。

此时，我们可以通过计算方差和标准差来确定这些数据的分布情况。

公开课教案方差标准差

方差与标准差教学目标：1. 理解方差与标准差的定义及计算方法。

2. 掌握方差与标准差在描述数据波动程度中的应用。

3. 能运用方差与标准差解决实际问题。

教学重点：1. 方差与标准差的定义及计算。

2. 方差与标准差在实际问题中的应用。

教学难点：1. 方差与标准差的计算。

2. 理解方差与标准差的意义。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平均数的定义及计算方法。

2. 提问：平均数能描述数据的波动程度吗？3. 引导学生思考：如何描述数据的波动程度？二、新课导入（10分钟）1. 介绍方差的定义及计算方法。

2. 举例说明方差在实际问题中的应用。

3. 讲解方差的性质及意义。

三、标准差（10分钟）1. 介绍标准差的定义及计算方法。

2. 举例说明标准差在实际问题中的应用。

3. 讲解标准差与方差的关系。

四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 解答学生疑问，给予个别指导。

2. 提问：方差与标准差在实际生活中有哪些应用？3. 引导学生思考：如何运用方差与标准差解决实际问题？教学反思：六、案例分析（10分钟）1. 分析实际案例，让学生运用方差与标准差描述数据的波动程度。

2. 引导学生通过计算方差与标准差，分析数据的波动情况。

3. 讨论：如何根据方差与标准差判断数据的稳定性？七、方差与标准差的局限性（10分钟）1. 讲解方差与标准差的局限性，如受极端值影响等。

2. 引导学生了解其他描述数据波动程度的统计量，如四分位数、极差等。

3. 讨论：在实际应用中如何选择合适的统计量？八、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 解答学生疑问，给予个别指导。

九、方差与标准差在实际问题中的应用（10分钟）1. 举例说明方差与标准差在实际问题中的应用，如质量管理、金融分析等。

2. 引导学生思考：如何运用方差与标准差解决实际问题？3. 讨论：方差与标准差在实际问题中的局限性。

样本的均值,标准差教案

样本的均值,标准差教案教案：样本的均值和标准差要点：1. 理解样本的概念：样本是总体的一个子集，通常用于对总体进行推断。

2. 理解样本的均值：样本均值是样本观测值的算术平均数，用于表示样本的集中趋势。

3. 理解样本的标准差：样本标准差是样本观测值与样本均值之间的差异的平均度量，用于表示样本的离散程度。

教学步骤：1. 引入概念：让学生了解样本的概念，以及为什么需要使用样本来研究总体。

2. 讲解样本均值的计算：通过一个具体的例子来展示如何计算样本均值。

例如，给出一列数字，让学生计算它们的样本均值。

3. 引入样本标准差的概念：解释样本标准差的定义，用于描述样本数据的离散程度。

4. 计算样本标准差：通过一个示例，教导学生如何计算样本标准差。

例如，给出一个数字列表，让学生计算它们的样本标准差。

5. 练习：给学生一些练习题来巩固他们对样本均值和标准差的理解和计算能力。

6. 总结：总结样本的均值和标准差的概念和计算方法，并强调它们在统计学中的重要性。

课堂互动活动：1. 投票活动：给学生一张纸和笔，在纸上写下自己的年龄，然后收集纸条。

抽取其中一些纸条，计算这些纸条上年龄的样本均值和样本标准差，并和全班数据进行比较。

2. 分组探究：将学生分成几个小组，每个小组给出一个数据集，让他们计算自己数据集的样本均值和样本标准差，并比较不同组的结果。

扩展活动：1. 针对样本均值和标准差的实际应用进行讨论，比如在市场调研、质量控制和金融分析等领域中的应用。

2. 鼓励学生利用电子表格软件（如Excel）进行样本均值和标准差的计算和数据可视化分析。

3. 引导学生阅读相关的统计学和概率论的参考书籍，进一步深入了解样本均值和标准差的概念和应用。

评估方法：1. 练习题：给学生一些有关样本均值和标准差的练习题，检查他们对这两个概念的理解和计算能力。

2. 讨论参与：参与教室活动并对概念和示例的讨论进行评分。

3. 组织小组活动：评估小组活动中学生的合作能力和对样本均值和标准差的理解。

高中数学标准差教案人教版

高中数学标准差教案人教版1. 知道什么是标准差，能够计算标准差。

2. 能够应用标准差解决实际问题。

教学重难点：1. 掌握标准差的计算方法。

2. 学会应用标准差解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备教材《高中数学人教版》、教学课件、笔记本等教学辅助工具。

2. 学生准备好纸笔、计算器等学习工具。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾方差的概念，简单介绍标准差与方差的关系，并提出学习标准差的重要性。

二、讲授（15分钟）1. 教师通过示例讲解标准差的计算方法，并逐步引导学生掌握计算标准差的步骤。

2. 教师结合实际问题，引导学生应用标准差解决实际问题。

三、练习（20分钟）1. 学生进行小组练习，计算给定数据的标准差。

2. 学生自主完成一些练习题，巩固标准差的计算方法。

四、讲评（10分钟）1. 教师对学生练习的结果进行讲评，指出常见错误并纠正。

2. 学生提出问题，教师做相关解答。

五、拓展（5分钟）1. 学生可以通过自行查阅资料，了解标准差在其他领域的应用。

2. 学生思考标准差与其他统计指标的联系与区别。

六、作业布置（5分钟）布置标准差计算方法的相关作业，要求学生复习巩固所学知识。

教学反思：本节课主要介绍了标准差的概念及计算方法，并通过实例讲解的方式让学生更加深入理解标准差的含义和计算步骤。

在教学过程中，学生注意力集中，学习积极性高。

但在练习环节，部分学生对计算步骤理解不够透彻，需要加强练习。

下节课将继续对标准差进行拓展，让学生更好地掌握和应用相关知识。

北师大版八年级上册数学6.4.1方差与标准差教案

五、教学反思
在今天这节课中，我们学习了方差与标准差的概念及其计算方法。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课部分，我通过提出与日常生活相关的问题来激发学生的兴趣。这种方法在一定程度上确实能吸引学生的注意力，但我觉得还可以进一步优化。例如，可以让学生提前收集一些数据，课上分享他们所关注的数据波动现象，这样既能增强学生的参与感，也能让他们更直观地感受到方差与标准差在实际中的应用。
本节课将结合实际数据和问题情境，帮助学生掌握方差与标准差的概念、计算及应用，培养数据分析能力，为后续学习统计学知识打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.数据分析观念：通过学习方差与标准差，培养学生分析数据波动性的能力，使他们在实际问题中能够运用统计学方法，合理选择和运用方差、标准差对数据进行描述和分析。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方差与标准差的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对方差与标准差的理解。我希望大家能够掌握这些பைடு நூலகம்识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
解决方法：教师可以通过图示、例题等多种方式，帮助学生理解方差计算过程中每个步骤的含义，强调平方和平均数的重要性。
（2）标准差的性质：理解标准差与方差之间的关系，掌握标准差的性质。
解决方法：教师可以通过实际案例，让学生观察标准差与方差的变化规律，从而理解它们之间的关系。
（3）在实际问题中应用方差和标准差：学生可能不知道如何将方差和标准差应用于实际问题。

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六、教学难点
把平均数,中位数,众数等有关知识与方差知识综合理解,并与标准差知识应用于实际问题的探究之中．
七、教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
知识复习
设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用公式:
S = [（ - ） +（ - ） +…+（ - ） ]
活动3数据波动性大小的理解,方差公式的知识与理解.
通过解例的分析,引导学生尝试公式的运用。
活动4师生归纳与课时小结.
八、教学反思
本节课沿着实际问题的提出——产生标准差的必要性——标准差公式的探索和推导——方差公式的使用——解决实际问题——巩固练习——总结反思，这样的主线设计的，教学环节符合学生认知要求，尊重了学生的个体差异，体现了新课标中让每一名同学都有不同的收获的理念。学习目标达成很好，学生活动时，动手动脑，自主自愿学习，课堂学生参与率较高，增强了小组合作与交流意识，并且使学生课堂的知识学的扎实。
回顾今天所讲的内容，系统复习与消化,教学重点的理解与掌握.
解决学生的疑惑,谈谈学生的收获.
使学生通过对知识点的运用，加深对知识点的理解，并对所学知识得以巩固和强化
教学流程图：
活动1：复习上节课所学的平均数的知识，这节课要用到平均数。
活动2：通过问题情境的导入,通过现实生活的小例子引入方差定义.情境设计,让学生从生活之中认知数据的波动性特征及与平均数之间的关系.
本节课的不足之处是结尾比较匆忙，时间掌握的不很好。
二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识与技能：使学生能根据统计数据进行简单的分析，对统计结果做出恰当的判断和预测，提高学生的分析能力。
过程与方法：通过创设情境，让学生在自主探究中掌握对数据进行简单分析的方法。。
情感态度与价值观：在学习活动中培养学生的合作意识和创新能力。
三、学习者特征分析
教案
案例名称
标准差及其应用
科目
数据管理技术
教学时间
2013/6/27
课时
2课时
授课据波动性的实际意义及标准差产生的必要性,掌握方差计算公式.
理解标准差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断.并利用标准差知识解决实际生活问题.
把平均数,中位数,众数等有关知识与标准差知识综合理解,并与标准差知识应用于实际问题的探究之中．
1．认知起点：对数据特征中的平均数,中位数,众数以及小学数据统计中的有关知识的积累，以此为起点来认识方差．
2．学习方式：观察数据特征、突出概念理解，强化合作交流．
四、教学策略选择与设计
教法：知道学习与引导探究相结合
学法：自主探究和合作学习相结合
五、教学重点
理解标准差公式，用标准差对数据波动情况的比较、判断.并利用标准差知识解决实际生活问题.
通常改用如下公式来计算标准差:
意义：标准差用来表示稳定性,
标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.
标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.
从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,
当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.
学生先独立思考，小组再进行讨论、交流的标准差含义。并利用该公式解释上述问题是选甲还是乙。
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.
一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．
复习方差知识结构.
让学生理解方差表叙的数据不同特征.
由现实问题入手,让学生系统地,全面地了解数据特征的反映.
通过对比教学的方法让学生对所学知识系统的消化,并达到知识迁移能力
设置情境导入新课
结合奥运会体育比赛,通过选拔运动员活动,提出问题,让学生分析,思考,探究解决问题的办法.
平均数无法比较时,让学生考虑到运动员的射击水平的稳定性,运用方差来探究解决问题.
探究与理解方差所表达的实际含义;掌握方差计算公式的结构与运用.通过解例分析,对教学重点知识强化与巩固.发现疑惑,突出教学难点的化解.
学以致用,边学边用,加强学生对新知的理解与巩固.
课时小结
标准差的概念
标准差的公式
标准差的意义
学生合作交流,谈谈各自想法.
设置情境问题导入本课主题,激发了学生学习的兴趣．
例举现实生活中的学生最感兴趣的问题入手,并通过合作交流的方式来引入课题,增强学生探究新知识心理需求和获取知识的学习欲望.
解析方差的概念和公式
标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。