【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测：第5章 第1节 数列的概念与简单表示

第一节 数列的概念与简单表示
[全盘巩固]
1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15.
2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
解析：选B 由a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
S 1 (n ＝1)，
S n －S n －1 (n ≥2)
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－8(n ＝1)，
2n －10(n ≥2)，
得a n ＝2n －10. 由5<2k －10<8，得7.5<k <9，由于k ∈N *，所以k ＝8.
3．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 解析：选C ∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n .
两式相减，得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＝0(n ≥2)．
当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0， ∴a n ＝0(n ∈N *)．
4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 解析：选B 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1， 又S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝a n ＝2(a n －a n －1)． ∴a n a n －1
＝2.∴a n ＝1×2n －1，∴a 5＝24＝16. 5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －3
3a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )
A ．0
B ．－ 3 C.3
2
D. 3
解析：选B 利用a 1＝0和递推公式可求得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，以此类推，数列{a n }的项周期性出现，其周期为3.所以a 20＝a 2＝－ 3.
6．在数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1
x n ＋1
－1，则x 2 013＝( )
A ．－1
B ．－12 C.1
2
D ．1
解析：选D 将x 1＝1代入x n ＋1＝1x n ＋1－1，得x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1
x n ＋1
－1，
得x 3＝1，所以数列{x n }的周期为2，故x 2 013＝x 1＝1.
7．根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点．
(1) (2) (3) (4) (5) …
解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n
个图中点的个数为(n －1)×n ＋1＝n 2－n ＋1.
答案：n 2－n ＋1
8．数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．
解析：易知a 1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{a n }的最后一个非负项．令a n ≥0，则－n 2＋10n ＋11≥0，∴－1≤n ≤11，可见，当n ＝11时，a 11＝0，故a 10是最后一个正项，a 11＝0，故前10或11项和最大．
答案：10或11 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________，a n ＝________.
解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1
n
，
则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3
×…×2
1×1＝n ，故a 2＝2，a n ＝n .
答案：2 n
10．已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4，
①数列中有多少项是负数？
②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4，且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 解：(1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.
∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.
②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52
. 又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.
(2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看成是
关于n 的二次函数，又考虑到n ∈N *，当－k 2＝32时a 1＝a 2，所以－k 2<3
2
，即得k >－3.
故实数k 的取值范围是(－3，＋∞)．
11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *
)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由S n ＝12a 2n
＋1
2
a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12
a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋1
2a 2
，解得a 2＝2；
同理，a 3＝3，a 4＝4.
(2)S n ＝12a 2n ＋12
a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋1
2
a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，
故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .
12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)记b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，
即S n ＋1＝2S n ＋3n ，
由此得S n ＋1－3n ＋
1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，
∴数列{b n }是首项b 1＝a －3，公比为2的等比数列．
因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)×2n －
1，n ∈N *.
(2)由(1)知，S n ＝3n ＋(a －3)×2n －
1，n ∈N *，
于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)×2n －1－3n －1－(a －3)×2n －2＝2×3n －
1＋(a －3)2n －
2，
a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)×2n －2＝2n －
2×12×⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，
∵a n ＋1≥a n ，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2
＋a －3≥0，∴a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1，
综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．
[冲击名校]
1．(2014·衢州模拟)将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a 2 014－5＝( )
A ．2 020×2 012
B ．2 020×2 013
C ．1 010×2 012
D ．1 010×2 013
解析：选D 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2)．所以a 2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.
2．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩
⎨⎧
2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1，
若a 1＝6
7，则a 2 013＝________.
解析：因为a 1＝67∈⎣⎡⎭⎫
12，1， 所以a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝5
7
.
因为a 2＝57∈⎣⎡⎭
⎫
12，1， 所以a 3＝2a 2－1＝2×57－1＝3
7.
因为a 3＝37∈⎣⎡⎭⎫0，12，所以a 4＝2a 3＝2×37＝67
. 显然a 4＝a 1，根据递推关系，逐步代入，得a 5＝a 2，a 6＝a 3，…故该数列的项呈周期性
出现，其周期为3，根据上述求解结果，可得a 3k ＋1＝67，a 3k ＋2＝57，a 3k ＋3＝3
7
(k ∈N )．
所以a 2 013＝a 3＝3
7
.
答案：37。