2018版高中数学第一章导数及其应用课时作业7函数的最大(小)值与导数新人教A版选修22
高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数习题课件新人教A版选修2_2
5 1， 2
5 2
＋ ↗ 89 8
由上表可知当 x＝1 时，f(x)取最小值 1.
答案：C
6． 设直线 x＝t 与函数 f(x)＝x2， g(x)＝lnx 的图象分别交于点 M，N，则当|MN|达到最小时 t 的值为( A．1 1 B. 2 5 C. 2 2 D. 2 )
解析：由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－lnt(t>0)， 1 2 2 令 F′(t)＝2t－ ＝0，得 t＝ 或 t＝－ (舍去)． t 2 2
答案：A
3．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值为 M，最 小值为 m，则 M－m 的值为( A．2 B．－4 ) C ．4 D．－2
解析：f′(x)＝－6x＝3x(x－2)， 由 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝2. ∵f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0， ∴M＝2，m＝－2，∴M－m＝4.
答案：[e，＋∞)
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．已知函数 f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值． － 解：∵f(x)＝x2e ax(a>0)，
∴f′(x)＝2xe ＝e
－ax －ax
＋x2· (－a)e
－ax
(－ax2＋2x)．
－ax
令 f′(x)>0，即 e
第一章
导数及其应用
1． 3
导数在研究函数中的应用
课时3
函数的最大(小)值与导数
作业 目标 作业 设计
①能够区分极值与最值两个不同的概念．②掌握 在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次)的求法． 限时：40 分钟 满分：90 分
高考数学一轮复习课时作业(七) 函数的单调性与最值
课时作业(七) 函数的单调性与最值1．函数f (x )＝－x ＋1x 在[－2，－13 ]上的最大值是( )A ．32B ．－83C ．－2D ．2A [由y ＝－x 在R 上单调递减，y ＝1x 在(－∞，0)上单调递减，可得f (x )在[－2，－13 ]上单调递减，即f (－2)为最大值，且f (－2)＝2－12 ＝32.]2．(多选)(2020·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln (x ＋1)AD [由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0可知，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．]3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23D [因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，所以2x －1≥0，x ≥12 .又函数在定义区间上单调递增，且满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 ，所以2x －1<13 ，x <23 .故x 的取值范围为12 ≤x <23.] 4．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A ．y ＝1f （x ） 在R 上为减函数B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f （x ）在R 上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数D [特例法：设f (x )＝x ，则y ＝1f （x ） ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A 错；则y ＝|f (x )|＝|x |在R 上无单调性，B 错；则y ＝－1f （x ） ＝－1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C 错；y ＝－f (x )＝－x 在R 上为减函数，所以选项D 正确．]5．函数y ＝2－xx ＋1 ，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－1，2)C ．[1，2)D ．[－1，2)D [函数y ＝2－x x ＋1 ＝3－（x ＋1）x ＋1 ＝3x ＋1 －1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2).]6．函数y ＝x －|1－x |的单调递增区间为________．解析： y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥1，2x －1，x<1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调递增区间是(－∞，1]. 答案： (－∞，1]7．(2020·日照期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0x ＋1x，x>0 ，则f (f (－1))＝________，函数f (x )的最小值为________．解析： 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0，x ＋1x，x>0，所以f (－1)＝f (－1－1)2＝4， 所以f (f (－1))＝f (4)＝4＋14 ＝174 ，当x ≤0时，y ＝(x －1)2≥1； 当x >0时，y ＝x ＋1x≥x·1x＝2. 当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以函数f (x )的最小值为1. 答案：1741 8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析： 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案： (－1，2) 9．已知函数f (x )＝x ＋2x.(1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2，8]上的最大值和最小值． 解析： (1)定义域为{x |x ≠0}． 又f (x )＝1＋2x ，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋2x1 －⎝⎛⎭⎫1＋2x2 ＝2x1 －2x2 ＝2（x2－x1）x1x2 . 又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2，8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.10．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ，求a 的值． 解析： (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x2 －⎝⎛⎭⎫1a －1x1 ＝1x1 －1x2 ＝x2－x1x1x2 >0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上是单调递增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12 ＝12 ，f (2)＝2，解得a ＝25.11．(创新型)在实数R 中定义一种运算“*”，使其具有下列性质： (1) 对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a . (2) 对任意a ∈R ，a *0＝a .(3) 对任意a ，b ，c ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(b *c )－2c .则函数f (x )＝x *x2 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎣⎡⎦⎤－32，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32 D 在(3)中，令c ＝0，得a *b ＝(a *b )*0＝0*(ab )＋(a *0)＋(b *0)－2×0＝ab ＋a ＋b ，则f (x )＝x *x 2 ＝x22 ＋3x 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫x ＋32 2 －98 ，易知函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－32 .故选D.] 12．(开放题)已知f (x )和g (x )在定义域内均为增函数，但f (x )·g (x )在定义域内不一定是单调递增函数，请写出一对这样的函数，例如当f (x )＝________，且g (x )＝________时，f (x )·g (x )在定义域内不是单调递增函数．解析： 根据题意设f (x )＝x ，g (x )＝x ，两个函数的定义域均为R ，则f (x )·g (x )＝x 2，在R 上不是单调递增函数．答案： x ；x (答案不唯一)13．已知f (x )＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12 时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝12 时，f (x )＝x ＋12x＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x1－12x2 ＝（x1－x2）（2x1x2－1）2x1x2 .因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎨⎧x2＋2x ＋a>0，x≥1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>－（x2＋2x ），x≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3. 所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 14．(2020·柳州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解析： (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4， 得f (x 2＋2x )＋f (1－x )＋1>5， 即f (x 2＋x ＋1)>f (3)又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．15．(多选)(2020·山东德州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax ，x≥1 在(－∞，＋∞)上单调递减的充分不必要条件是( )A ．13 <a <12B ．14 ≤a ≤1C ．13 ≤a ≤12D ．13 ≤a ≤38AD [若函数f (x )＝⎩⎨⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，0<a<1，（2a －1）＋8a －2≥a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，0<a<1，即13≤a <12，a ≥13，故当13 <a <12 或13 ≤a <38，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，故选AD.]16．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析： 因为函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12 x －1＋32x ，令g (x )＝12 x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12 －32x2 ＝x2－32x2.由g ′(x )≤0得1≤x ≤ 3 ，即函数f （x ）x ＝12 x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上单调递减．故“缓增区间”I 为[1， 3 ].答案： [1， 3 ]。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数练习(含解析)新人教A版选修2-
高中数学第一章导数及其应用1.3.3 函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.3.3 函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.3.3 函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A 版选修2-2的全部内容。
1.3。
3 函数的最大（小）值与导数一、选择题1．定义在闭区间[a，b］上的函数y＝f（x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0）,则下列说法正确的是（)A．函数f(x）有最小值f(x0）B．函数f(x）有最小值,但不一定是f(x0）C．函数f(x）的最大值也可能是f(x0）D．函数f（x)不一定有最小值【答案】A【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，又f(x）有唯一的极小值f（x0）,则f(x0)一定是最小值．2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1］上的最大值，最小值分别是( ）A．12，－8 B．1,－8C．12，－15 D．5，－16【答案】A【解析】y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2（舍去）．当x＝－2时,y＝1；当x＝－1时，y＝12；当x＝1时，y＝－8。
∴y max＝12，y min＝－8.故选A．3．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1],则导函数f′（x)是（)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数【答案】D【解析】求导可得f ′（x ）＝x ＋sin x ，显然f ′（x ）是奇函数，令h (x ）＝f ′（x ）， 则h (x )＝x ＋sin x ,求导得h ′(x )＝1＋cos x ，当x ∈［－1,1]时，h ′(x ）>0， 所以h (x ）在［－1,1]上单调递增，有最大值和最小值． 所以f ′（x ）是既有最大值又有最小值的奇函数．4．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3,那么此函数在[]-22，上的最小值为（ ）A ．-5B ．-11C ．-29D ．-37【答案】D【解析】令()2()612620f x x x x x '=-=-=，得02x x ==或，当20x -≤<时，()0f x '>,当02x <<时,()0f x '<，所以最大值在0x =处取得，即()03f m ==，又()()237,25f f -=-=-，所以最小值为37-.5．函数()331f x x x =--，若对于区间[－3，2］上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 【答案】A【解析】()()()233311f x x x x '=-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．()319f -=-，()21f =，()11f -=,()13f =-,可知()()12||f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20.6．函数32231(0),()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是( ）A ．1[ln 2,)2+∞ B.1[0,ln 2]2 C 。
2018版高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业2 导数的几何意义 新人教A版选修2-2
课时作业2 导数的几何意义＝x＋x2－2xΔyΔx＝li→0(4xx＋x2－xx，∴x＝2.∴切点坐标为a＋Δx2＋bΔxb＝2，即ba＝2.处切线方程为x＝＋Δx3－2×1Δx＋x2－＋x＋2Δx(3Δx＋2)＝2.，x＋x2－7]－x2－Δx(2,1)．→0f x＋x－f xΔxx＋x2－x2xx.y0)是满足条件的点．①因为切线与直线y＝4Δx→0a＋Δx2－aΔxaΔx2Δx＝li (2a＋1.y0x0x＋x2－xx－x0)，的切线对应的切点到直线x0＋x2－xx本文档仅供文库使用。
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2018年高中数学第一章导数及其应用1.3.1.3函数的最大
(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x) 单调递减
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值，所以 b＝－29.
[活学活用] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在 [－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值； 若不存在，请说明理由． 解：存在．显然 a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)． 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
()
3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________． 答案：1
4．已知 f(x)＝－x2＋mx＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就是函 数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)
求函数的极值
[典例] 求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，＋∞) 上的最值．
(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40. f(0)>f(2)>f(－2)， 所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. 所以当x＝0时，f(x)max＝3.
已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处 的函数值． (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个 是最小值． (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
2018年秋高中数学课时分层作业7函数的最大(小)值与导数新人教A版选修22
课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )A [令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )， 又f ′(x )＜g ′(x )，故F ′(x )＜0， ∴F (x )在[a ，b ]上单调递减， ∴F (x )max ≤F (a )＝f (a )－g (a )．] 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [令y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0(x ＞0)， 解得x ＝e.当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以y max ＝1e .]3．函数f (x )＝x 2·ex ＋1，x ∈[－2,1]的最大值为( )【导学号：31062064】A ．4e －1B ．1C ．e 2D ．3e 2C [∵f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ＋1＝x (x ＋2)ex ＋1，∴f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.又当x ∈[－2,1]时，ex ＋1＞0，∴当－2＜x ＜0时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜1时f ′(x )＞0.∴f (x )在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增． 又f (－2)＝4e －1，f (1)＝e 2， ∴f (x )的最大值为e 2.]4．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m 的值为( )A ．16B ．12C ．32D ．6C [∵f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M －m ＝24－(－8)＝32.]5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12B [∵f ′(x )＝3x 2－3a ，则f ′(x )＝0有解，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B.] 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.【导学号：31062065】[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.则f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )max ＝k －76＝－71. [答案] －717．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.【导学号：31062066】[解析] 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x－2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．[答案] (－∞，2ln 2－2]8．已知函数f (x )＝a x2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 由f (x )＝a x 2＋2ln x 得f ′(x )＝2x 2－ax 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.[答案] [e ，＋∞) 三、解答题9．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值． [解] 易知f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝22x ＋1x ＋12x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减． (2)由(1)知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 2＋14.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝116＋ln 72. 10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥2 017对于∀x ∈[－2,2]恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022.[能力提升练]1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13 B．－15C．10 D．15A[对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9，故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，11) B．(－1,4)C．(－1,2] D．(－1,2)C[由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)－222解得－1＜a＜11.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.]3．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：31062067】[解析] 设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2) 由f ′(x )＝0得x ＝－23或x ＝0.又f (－1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1. 故a ≤1.[答案] (－∞，1]4．已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若∃x 0∈[－1,4]，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a的取值范围是________．[解析] ∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－232，16 5．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值. 【导学号：31062068】 [解] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.令x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )－ek －1(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。
【中小学资料】2018版高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业7 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修2-2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
解析：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得
x＝－1，或x＝0，或x＝1.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，
要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，
只需m<f(x)min，∴m<0.
答案：m<0
13．已知函数f(x)＝lnx＋ ，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是 ，求a的值．
解析：函数的定义域为[1，e]，
当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.
|
11．若函数f(x)＝asinx＋ sin3x在x＝ 处有最值，则a等于()
A．2 B．1
C. D．0
解析：∵f(x)在x＝ 处有最值，
∴x＝ 是函数f(x)的极值点．
f′(x)＝ － ＝ ，
令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤1时，f′(x)≥0，
函数f(x)在[1，e]上是增函数，
f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝ ，
∴a＝ ∉(－∞，1]，故舍去．
②当1<a<e时，令f′(x)＝0得x＝a，
函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，
∴f(x)min＝f(a)＝lna＋ ＝ .
人教版全国通用版2018_2019版高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值
1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.类型一由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,4) C ．(－1,2]D ．(－1,2)考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 C解析 由f ′(x )＝3－3x 2＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由此得a 2－12<－1<a ，解得－1<a <11. 又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．跟踪训练 1 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D解析 由题意得，函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <12，故选D.类型二 与最值有关的恒成立问题例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－43a ＋b ＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，所以f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c 为极大值，因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立”，结果如何？解 由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －32为极小值，又f (－1)＝12＋c >c －32，所以f (1)＝c －32为最小值．因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2－2c ＋3>0，解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]解析 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 得a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋3x ＋x (x >0)．则h ′(x )＝错误!，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.(2)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．①求L 的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 恒成立中的证明问题 ①解 设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln xx2，所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，g (x )>0.g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x2－1＋ln xx2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方.1．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 f ′(x )＝e －x－x e －x＝e －x(1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1e .故选B.2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2B ．－eC ．－e －1D ．－103考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C解析 ∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1e，故选C.3．已知函数f (x )＝e x－x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－1]考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 A解析 f ′(x )＝e x－1， 令f ′(x )>0，解得x >0， 令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a ， 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.4．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋2，x 1，x 2是区间[－1,1]上任意两个值，M ≥|f (x 1)－f (x 2)|恒成立，则M的最小值是________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案 4解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x≤1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)的最小值为－2，对[－1,1]上任意x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.5．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·1x＋4bx3＝x3(4a ln x＋a＋4b)，由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1.故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－4 B.427，－4 C.427，0 D ．2,0考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B解析 由题意得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝1，3－2p －q ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.则f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，f (－1)＝－4，f (1)＝0，∴f (x )max ＝427，f (x )min ＝－4.2．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为( )A ．0 B.32 C ．－2D ．2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求含参数函数的最值 答案 A解析 因为a ，b 为正实数， 所以f (x )＝ax 3＋bx ＋2是增函数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值f (1)＝a ＋b ＋2＝4，a ＋b ＝2. 在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2＝0.3．若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立，其中－2≤x ≤3，则实数a 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－5D ．－21考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 D解析 若关于x 的不等式x 3－3x ＋3＋a ≤0恒成立， 则a ≤－x 3＋3x －3在[－2,3]上恒成立， 令f (x )＝－x 3＋3x －3，x ∈[－2,3]， 则f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，解得－1<x <1， 令f ′(x )<0，解得x >1或x <－1，故f (x )在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减， 而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21， 故a ≤－21，故a 的最大值是－21.4．当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x－x －2mx >0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e －12B.⎝⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x－x －2mx >0恒成立， 即为2m ＋1<exx 在(0,3)上的最小值，令f (x )＝exx ，则f ′(x )＝错误!，当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 可得f (x )在x ＝1处取得最小值e ， 即有2m ＋1<e ，可得m <e －12.5．若函数f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－3,0)D ．[－3,0]考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 D解析 ∵f (x )＝－x 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝－3x 2－6x ，令f ′(x )＝－3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由f (x )＝1，得－x 3－3x 2＋1＝1， 解得x ＝0或x ＝－3. 当x >0时，f (x )<f (0)＝1， 当x <－3时，f (x )>f (－3)＝1，又f (x )＝－x 3－3x 2＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1， ∴a 的取值范围为[－3,0]．6．关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x的命题：①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．其中正确的命题是( )A．①②B．①②③C．②③D．①③考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用答案 A解析①由于e x>0，所以f(x)>0，即需2x－x2>0解得{x|0<x<2}，①正确．②因为f(x)＝(2x－x2)e x的定义域是R，f′(x)＝(2－2x)e x＋(2x－x2)e x＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确．③由图象(图略)知f(2)为最大值，无最小值，③错误．7．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是( ) A．(－7，－1) B．(－7，－1]C．(－7，－2) D．(－7，－2]考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题答案 D解析由题意知f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0， 故x ＝－1是函数f (x )的极大值点，f (－1)＝－1＋3＝2，令x 3－3x ＝2，解得x ＝2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<6－a2，a<－1，6－a2>－1，6－a2≤2，解得－7<a ≤－2. 二、填空题8．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题意得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．9．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x的图象始终在函数g (x )＝x －a 图象的上方，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 (－1，＋∞)解析 由题意知f (x )－g (x )＝e x－x ＋a >0，对一切实数x 恒成立， 令h (x )＝e x－x ＋a ，则h (x )min >0， ∵h ′(x )＝e x－1， 令h ′(x )＝0得x ＝0，当x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减， 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝0时，h (x )取得极小值，即最小值为h (0)＝1＋a ， ∴1＋a >0，即a >－1.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，且对任意x ∈(0,1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [4，＋∞)解析 当x ∈(0,1]时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x3.设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0,1]，则g ′(x )＝错误!＝－错误!. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：因此g (x )的最大值等于极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为正实数，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值，且g (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [1，e]解析 ∵f (x )＝ax －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值， 则f (x )在(1，＋∞)上单调， ∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 或f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≥1x 或a ≤1x ，而函数y ＝1x 在(1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，函数y 取得最大值1，∴a ≥1或a ≤0，而a 为正实数，故a ≥1，① 又∵g (x )＝e x －ax ，∴g ′(x )＝e x－a ，∵函数g (x )＝e x－ax 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝e x－a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(e x)min 在区间(1，＋∞)上恒成立． 而e x>e ，∴a ≤e.② 综合①②，a ∈[1，e]． 三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝2a3，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，令f ′(x )＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－1)＝c ＋5，f (3)＝c －27，f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |.当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.故实数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax2＋x ＋a ex ，若当x ∈[0,2]时，f (x )≥1e2恒成立，求a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 f ′(x )＝错误! ＝错误!.当a ＝0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．又f (0)＝0，f (2)＝2e2，故函数f (x )的最小值为f (0)＝0，结论不成立．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－1a .若a <0，则f (0)＝a <0，结论不成立． 若0<a ≤1，则1－1a≤0.在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．只需错误!得到错误! 所以1e2≤a ≤1.若a >1，则0<1－1a <1，函数在x ＝1－1a 处有极小值，只需错误!得到错误! 因为2a －1>1，11ea--<1，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是a ≥1e2.四、探究与拓展14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t2－1t＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有极小值也是最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 已知最值求参数解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．。
2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数优质课件
互动探究学案
命题方向1 ⇨求函数的最值
典例 1 (1)(2017·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1 在区间[ 为( C )
A．2227
B．2
C．－1
D．4
(2)(2016·安庆高二检测)已知函数 f(x)＝x3－3x，x∈R．
①求 f(x)的单调区间；
②当 x∈[－ 3，3]时，求 f(x)的最大值与最小值．
2°当 a>0 时，令 f ′(x)＝0，有 x1＝0，x2＝21a－1， ①当 a＝12时，函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，显然符合 ②当21a－1>0 即 0<a<12时，函数 f(x)在(－1,0)和21a－1，＋∞ 0，21a－1上单调递减，f(x)在 x＝0 处取得极大值，且 f(0)＝0， 要使对任意实数 b∈(1,2)，当 x∈(－1，b]时，函数 f(x)的最大 f(1)≥0，解得 a≥1－ln2，又 0<a<12， 所以此时实数 a 的取值范围是 1－ln2≤a<12．
[解析] (1)y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，令 y′＝0 解得
当 x＝－2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝2； 当 x＝13时，y＝2227；当 x＝1 时，y＝2，所以函数的最小值为 (2)①f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0，当－1<x<1 时，f′(x)<0． 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区 ②由①知 x∈[－ 3，3]时，f(x)的极大值为 f(－1)＝2，f(x)的极 2，又 f(－ 3)＝0，f(3)＝18． 所以 f(x)的最大值为 18，f(x)的最小值为－2．
高中数学第一章导数及其应用1.5.3课时作业新人教版选修2-2
定积分的概念明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用概念求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的大体性质．定积分概念一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<x2<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃb a f(x)d x，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃb af(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b).探讨点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的一路点．答两个问题都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 如何正确熟悉定积分ʃb a f(x)d x?答 (1)定积分ʃba f (x )d x 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃba f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃba f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上持续这一条件是不能轻忽的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数持续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的概念，计算ʃ10x 3d x 的值． 解 令f (x )＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等距离地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每一个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分概念求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一进程，需要注意的是在本题中快要似代替、求和一路作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从进程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用概念计算ʃ21(1＋x )d x .解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每一个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i－1n，1＋in上取点ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而得∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n(2＋i－1n)·1n＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·n(n－1)2＝2＋n－12n.(3)取极限：S＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫2＋n－12n＝2＋12＝52.因此ʃ21(1＋x)d x＝52.探讨点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，若是在区间[a，b]上函数f(x)持续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)d x表示什么？答当函数f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f(x)在区间[a，b]上持续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)d x表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？答若是在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．由于b－an>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)b－an≤0.从而定积分ʃb a f(x)d x≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb a f(x)d x＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃb a f(x)d x表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部份面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f(x)d x＝－S1＋S2－S3.例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，和y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0和y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确肯定被积函数的图象，和积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常常利用分割法求面积，注意分割点的准确肯定． 跟踪训练2 按照定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3别离表示图中相应遍地面积)探讨点三 定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推行？ 答 定积分的性质的推行①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N *)． 思考2 若是一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上持续不断，则ʃa－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上持续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa0g (x )d x . 例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2d x＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3d x＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)d x＝ʃ3－39－x2d x－ʃ3－3x3d x＝9π2.反思与感悟按照定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的概念或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x3d x＝14，ʃ21x3d x＝154，ʃ21x2d x＝73，ʃ42x2d x＝563，求：(1)ʃ203x3d x；(2)ʃ416x2d x；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x.解(1)ʃ203x3d x＝3ʃ20x3d x＝3(ʃ10x3d x＋ʃ21x3d x)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2d x＝6ʃ41x2d x＝6(ʃ21x2d x＋ʃ42x2d x)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x＝ʃ213x2d x－ʃ212x3d x＝3ʃ21x2d x－2ʃ21x3d x＝3×73－2×154＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x3d x＝∑i＝1n i3n3·1n；②ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n(i－1)3n3·1n；③ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n i3n3·1n.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ②③成立．2．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]和ξi 的取法无关C ．与f (x )和ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A3．按照定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x . 答案 ①> ②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝Tn. (2)近似代替、求和取ξi ＝T i n(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3. [呈重点、现规律]1．定积分ʃbaf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮忙简化定积分运算.一、基础过关1．下列命题不正确的是( )A．若f(x)是持续的奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0B．若f(x)是持续的偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d xC．若f(x)在[a，b]上持续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0D．若f(x) 在[a，b]上持续且ʃb a f(x)d x>0，则f(x)在[a，b]上恒正答案 D解析对于A，f(－x)＝－f(x)，ʃa－a f(x)d x＝ʃ0－a f(x)d x＋ʃa0f(x)d x＝－ʃa0f(x)d x＋ʃa0f(x)d x＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，ʃb a f(x)d x>0即C正确；但ʃb a f(x)d x>0，不必然有f(x)恒正，故选D.2．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于( )．A．0 B．16 C．12 D．8答案 B解析偶函数图象关于y轴对称，故ʃ6－6f(x)d x＝2ʃ60f(x)d x＝16，故选B.3．已知ʃt0x d x＝2，则ʃ0－t x d x等于( )A．0 B．2 C．－1 D．－2答案 D解析∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，∴ʃt－t x d x＝0.而ʃt－t x d x＝ʃ0－t x d x＋ʃt0x d x，又ʃt0x d x＝2，∴ʃ0－t x d x＝－2.故选D.4．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封锁图形的面积(如图)是( ) A ．ʃ40(x 2－4)d xC ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x 答案 C5．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B解析 按照定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36 D ．2 016 答案 A解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016， 得ʃa－a |x |d x ≤36，∴ʃa－a |x |d x ＝2ʃa0x d x ＝a 2≤36， 即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.lnn(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d xD ．ʃ21ln 2(1＋x )d x答案 B解析 lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋1n )(1＋2n)…(1＋n n ) ＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋i n )n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间[1,2]或2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋in )n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间[0,1])．二、能力提升8．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案 －ʃ0－πsin x d x解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsinx d x .9．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 答案 π解析 由于ʃ1－14－4x 2d x ＝2ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的面积π，所以ʃ1－14－4x 2d x ＝π. 10．设f (x )是持续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________. 答案 －2解析 因为ʃ20f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ， 所以ʃ21f (x )d x ＝ʃ20f (x )d x －ʃ10f (x )d x ＝－2.11．利用定积分的概念计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么． 解 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等距离地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间[1＋i －1n ，1＋in](i ＝1,2，…，n )，每一个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3[2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．12．用定积分的意义求下列各式的值： (1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)3232-⎰1－x 2d x .解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.按照定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知323-⎰1－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，百度文库 - 让每个人平等地提升自我- 11 -∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 三、探讨与拓展13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．解 由定积分的几何意义知 ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，ʃ2ππcos x d x ＝0，由定积分的性质得ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。
高中数学第一章导数及其应用第3节导数在研究函数中的
(2)f′(x)＝2x＋5x42 . 令 f′(x)＝0 得 x＝－3. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以 x＝－3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值， 故 f(x)的最小值为 f(－3)＝27，无最大值．
(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅 仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
2．归纳总结，核心必记 (1)函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最值 一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象
是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)函数最值的求法 求函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值 ； ②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b) 比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[课前反思] (1)如何求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小 值？ …………………………………………………….
(2)函数 f(x)的最大值和最小值与极值有什么区别与 联系？
……………………………………………………… .
讲一讲 1，.(链接教材 P30－例 5)求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ 3，3]； (2)f(x)找出函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小 值吗？
提示：最大值为 f(a)，最小值为 f(x3)．
(2)观察教材 P30 图 1.3－14，函数 f(x)在[a，b]上有最 大值和最小值吗？分别是什么？
提示：最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
(3)观察教材 P30 图 1,3－15，函数 f(x)在[a，b]上有最 大值和最小值吗？分别是什么？
高中数学第一章导数及其应用课时作业12定积分在几何中的应用新人教A版选修2-2(2021年整理)
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课时作业12 定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用｜基础巩固|(25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知自由落体运动的速度v＝gt（g是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t＝0到t＝t所走的路程为( )A。
错误!B．gt错误!C.错误! D。
错误!解析:由定积分的物理意义，得所走的路程为答案：C2．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于（)A. 错误!（x－x3)d xB. 错误! (x3－x)d xC．2错误!(x－x3)d x D．2错误!（x－x3）d x解析:由错误!求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1,－1）,（1，1）,由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2⎠⎛1(x－x3)d x.答案：C3．如果某物体以初速度v(0)＝1,加速度a（t）＝4t做直线运动,则质点在t＝2 s时的瞬时速度为( )A．5 B．7C．9 D．13解析：v（2)－v(0）＝错误!a（t)d t＝错误!4t d t＝2t2错误!错误!＝8.∴v（2）＝9.答案：C4．如图,两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( ）A．6 B．9C．12 D．3解析：由错误!解得交点(－1,2)，(2，－1），所以S＝错误!－1［（3－x2)－（x2－2x－1）]d x＝错误!－1（－2x2＋2x＋4)d x＝错误!错误!＝9，故选B。
2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业(七)函数的极值与导数 新人教A版选修
∴方程3x2＋2ax＋1＝0在区间[－1,1]上有两个相异的实根，
则
解得
∴－2≤a＜－ 或 ＜a≤2，即常数a的取值范围是－2≤a＜－ 或 ＜a≤2.
14．已知函数f(x)＝x2＋blnx和g(x)＝ 的图象在x＝4处的切线互相平行．
(1)求b的值；
课时作业(七)函数的极值与导数
A组 基础巩固
1．函数f(x)＝x＋2cosx在 上的极大值点为()
A．0B.
C. D.
解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0知x＝ .
当0＜x＜ 时，f′(x)＞0；
当 ＜x＜ 时，f′(x)＜0.
∴当x＝ 时，f(x)有极大值．
答案：B
2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，无极大值．
B组 能力提升
11．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝ 处有极值，则b的值为________．
解析：f′(x)＝2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝ 处有极值，
∴f′ ＝2a· ＋b＝0，即b＝－2，
故答案为－2.
答案：－2
12．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
f(x)→－∞，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值 ＋a＜0，
即a＜－ 时，它的极小值a－1小于0，
因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；
当f(x)的极小值a－1＞0，即a＞1时，
它的极大值 ＋a也大于0，
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数明目标、知重点1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．1．函数f(x)在闭区间a，b]上的最值函数f(x)在闭区间a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义：(1)最值是在区间a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1 如图，观察区间a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？答 函数y ＝f (x )在区间a ，b ]上的最大值是f (a )，最小值是f (x 3)．若区间改为(a ，b )，则f (x )有最小值f (x 3)，无最大值．小结 一般地，如果在区间a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得． 思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a ，b )上若存在最值，则必是极值． 小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1．求导，确定函数在闭区间上的极值点． 2．求出函数的各个极值和端点处的函数值． 3．比较大小，确定结论． 例1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈－2,3]； (2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈0,2π]．解 (1)f (x )＝2x 3－12x ，∴f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或x ＝ 2. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增因为f (－2)＝8，f (3)＝18，f (2)＝－82，f (－2)＝82；所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32，f (43π)＝23π－32. ∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈0,3]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈2,5]． 解 (1)∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. ∵f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，∴函数f (x )在0,3]上的最大值为4，最小值为－43.(2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0， 即函数f (x )在区间2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.探究点二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间0,2]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0<a ≤2，0， 2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0， a >2.反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在本例中，区间0,2]改为－1,0]结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．例3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，∴x ∈0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . ∵对任意的x ∈0,3]，有f (x )<c 2恒成立， ∴9＋8c <c 2，即c <－1或c >9.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)由(1)知f (x )<f (3)＝9＋8c ， ∴9＋8c ≤c 2即c ≤－1或c ≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪9，＋∞)．反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1 (x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时g ′(t )、g (t )的变化情况如下表：∴对t ∈(0,2)，当t max ∵h (t )<－2t －m 对t ∈(0,2)恒成立， 也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立， ∴只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. 故实数m 的取值范围是(1，＋∞)1．函数y ＝f (x )在a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在a ，b ]上的最大值一定大于极小值． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71. 呈重点、现规律]1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．一、基础过关1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数y ＝x e －x，x ∈0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2答案 B解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x(1－x )， 令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值，故选B.3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103答案 A解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2＝0. 解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .4．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( ) A ．有最大值2，无最小值 B ．无最大值，有最小值－2 C ．有最大值2，最小值－2 D ．无最值 答案 C解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得x ＝±1.单调递减单调递增单调递减5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32答案 C解析 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是______．答案π6＋ 3 解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝y ＝|x ＝π6＝π6＋ 3.7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案 －4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈－2，－1]，故m ∈－4，－2]．二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22答案 D解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2(t ＋22)(t －22)t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值． 9．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，因而g (x )＝2x －e x的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．10．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减min 当x ＝0时，f (x )的最大值为3.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：单调递增单调递减单调递增而f(∴当x∈－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在－1,2]上单调递增．又由于f(x)在－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，所以b＝d＝2；因为f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝k e x(2x＋2)－x2－4x－2，则F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当x∈－2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即F(x)在－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)≥0在－2，＋∞)上恒成立，故F(x)在－2，＋∞)上单调递增，因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，从而当x∈－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为1，e2]．。
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课时作业7 函数的最大(小)值与导数 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 解析：f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]．∴f ′(x )＝1－2sin x >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增． ∴f (x )min ＝－π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2. 答案：A2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A ．5,15B ．5，－4C ．5，－15D ．5，－16解析：y ′＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)，令y ′＝0得x ＝－1或x ＝2.当x ＝2时y ＝－15，当x ＝0时y ＝5，当x ＝3时，y ＝－4.故选C.答案：C3．函数y ＝ln x x的最大值为( ) A ．e －1 B ．eC ．e 2 D.103解析：令y ′＝1－ln x x2＝0，则x ＝e 当x ∈(0，e)时，y ′>0，当x ∈(e，＋∞)时，y ′<0.∴当x ＝e 时y 取最大值1e，故选A. 答案：A4．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大．∴当m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案：A5．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－ 2)是极小值，f ( 2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值．A ．①③ B．①②③C ．② D．①②解析：由f (x )>0得0<x <2，f ′(x )＝(2－x 2)e x ，故①正确．令f ′(x )＝0，得x ＝± 2，当x <－ 2或x > 2时，f ′(x )<0.当－ 2<x < 2时，f ′(x )>0.∴x ＝－ 2时，f (x )取得极小值，当x ＝ 2时，f (x )取得极大值，故②正确．当x →－∞时，f (x )<0，当x →＋∞时，f (x )<0.综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．∴函数f (x )有最大值无最小值，故③不正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为________． 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 7．若函数f (x )在区间[a ，b ]上满足f ′(x )>0，则f (a )是函数的最________值，f (b )是函数的最________值．解析：由f ′(x )>0知，函数f (x )在区间[a ，b ]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (b )为最大值．答案：小 大8．函数f (x )＝ax 3＋2ax ＋1在区间[－3,2]上有最大值4，则实数a ＝________.解析：f ′(x )＝3ax 2＋2a ＝a (3x 2＋2)．当a >0时，f ′(x )>0，∴f (x )max ＝f (2)＝8a ＋4a＋1＝4，解得a ＝14；当a <0时，f ′(x )<0，∴f (x )max ＝f (－3)＝－27a －6a ＋1＝4，解得a＝－111答案：14或－111三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝－x 4＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．解析：(1)f ′(x )＝－4x 3＋4x ，令f ′(x )＝－4x (x ＋1)(x －1)＝0得x ＝－1，或x ＝0，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－3时，f (x )取最小值－60；当x ＝－1或x ＝1时，f (x )取最大值4.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.10．已知h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k 的取值范围．解析：h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1，当x 变化时h ′(x )及h (x )的变化情况如下表：当x ＝－3时，取极大值28；当x ＝1时，取极小值－4.而h (2)＝3<h (－3)＝28，如果h (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则k ≤－3. |能力提升|(20分钟，40分)11．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2 B ．1C.233D ．0 解析：∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos3x (x ∈R )，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cosπ＝0，解得a ＝2. 答案：A12．设函数f (x )＝12x 2e x ，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2·x (x ＋2)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )>m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m <f (x )min ，∴m <0.答案：m <0 13．已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 解析：函数的定义域为[1，e]，f ′(x )＝1x －a x2＝x －a x2， 令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1，e]上是增函数，f (x )min ＝f (1)＝ln1＋a ＝32，∴a ＝32∉(－∞，1]，故舍去． ②当1<a <e 时，令f ′(x )＝0得x ＝a ，函数f (x )在[1，a ]上是减函数，在[a ，e]上是增函数，∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋a a ＝32. ∴a ＝ e ∈(1，e)，故符合题意．③当a ≥e 时，f ′(x )≤0，函数f (x )在[1，e]上是减函数，f (x )min ＝f (e)＝lne ＋a e ＝32， ∴a ＝12e ∉[e ，＋∞)，故舍去， 综上所述a ＝ e.14．已知函数f (x )＝－23x ＋13x ＋ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的取值范围．解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ， 由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－2x －1x －13x2， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(1,2)上单调递减；∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的极小值． 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln2，f (2)＝－76＋ln2， 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－ln4＝lne 32－ln4， 又e 3－16>0，∴lne 32－ln4>0， ∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上f (x )min ＝f (2)， ∴c ≥f (x )min ＝－76＋ln2. ∴c 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－76＋ln2，＋∞.。