高三数学总复习第22讲

高三数学第22讲：数列通项求法
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则 21321(1)
(2)
()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111()n
n k a a f n +=-=∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例2 各项均是正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1且*6(1)(2),n n n S a a n N =++∈，求数列｛a n ｝的通项公式．
二、累乘法
1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，111
1()n n k a a f k a +==⋅∏ 例3.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是
n a =________.
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;
（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,
得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c c d λ所以有：)1
(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以 11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1
)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-+
+c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1
(1111-++-=-+c d a c c d a n n 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例4已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

例5已知数列{}n a 的前n 项和为S n 满足：21(*)n n S a n n N +=+∈，求数列{}n a 的通项公式。

3．形如b kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：待定系数法
通过凑配可转化为 ))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤：
1、确定f(n) =kn+b
2、设等比数列)(y xn a b n n ++=，公比为p
3、列出关系式))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b
4、比较系数求x,y
5、解得数列)(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列}{n a 的通项公式
例6. 在数列{n a }中，362,2
311-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）
例7 已知数列{b n }满足8,412361=⋅=-+b b b n n n ，求数列{b n }的通项公式。

例8.已知数列{}n a 满足1,3
42111=⋅+=-+a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式。

例9.数列{a n }的前n 项和为S n 满足14122333
n n n S a +=-⨯+（n ∈N*）,求数列{}n a 的通项公式。

解：1142n n n a a ++=+两式相减整理得，1112144++++=n n n n n a a 可化为
42n n n a ⇒=-
5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例10 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

例11 已知数列{}n a 满足2112562,1,2n n n a a a a a ++=-+==，求数列{}n a 的通项公式。

例12.设p 、q 为实数，α、β是方程x 2-px+q=0的两个实根。

数列{x n }满足：
21212,,(3,4,)n n n x p x p q x px qx n --==-=-=
{}(1), (2)n p q x αβαβ+==证明：；求数列的通项公式；{}1(3) 1 4
n n p q x n S ==若，，求的前项和
五、对数变换法 适用于1r n n a pa += (其中p,r 为常数)型 p>0，0n a >
例13. 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{
}n a 的通项公式.
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例14. 已知数列{}n a 满足112,12
n n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。

七、换元法 适用于含根式的递推关系
例15 已知数列{}n a 满足111(14116n n a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例16 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

课后练习答案
一．填空选择题（每题10分）
1.已知数列}{n a 的首项为1，且*)(21N n n a a n n ∈+=+那么数列}{n a 的通项公式为 .
2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，那么此数列的通项公式为 ． ３.已知1,111->-+=+a n na a n n ,那么数列}{n a 的通项公式为 . ４．已知数列}{n a 中，,2
121,211+==+n n a a a 那么数列}{n a 的通项公式为 。

5.数列n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a . ６. 数列{}n a 中，11=a ，12-=n n a a （n ≥2），那么数列}{n a 的通项公式为 。

７.已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
23 ８. 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.
９.设0a 为常数，且)(23
11N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ⋅-+⋅-+=-；
10.已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。

当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3
111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .
11.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2；
（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式
12.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1
*≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！。