甘肃省兰州市2015届高三下学期实战考试数学(理)试题 Word版含答案
甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题
令()ln21fxxax得ln21xax=-，因为函数()lnfxxxax有两个极值点，所以()ln21fxxax有两个零点，等价于函数lnyx与21yax的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作lnyx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率01xk，切线方程为110xxy. 切点在切线上，则01000xxy，又切点在曲线lnyx上，则10ln00xx，即切点为（1，0）.切线方程为1yx. 再由直线21yax与曲线lnyx有两个交点，知直线21yax位于两直线0y和1yx之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sinsin3cosacaCAA， ∴3cossinAA ∴tan3A ∵0A ∴ 3A …………6分 （Ⅱ）由正弦定理得：643sinsinsin3cos3abcABC， ∴43sinbB，43sincC ∴43sin43sinbcBC 43sinsin()43sinsin()3BABBB
C1 D1 z
所以3AC，建立如图空间直角坐标系， 则(3,0,0)A，(0,1,0)B，1(0,0,3)D 设平面11ABCD的一个法向量(,,)nxyzr 由100nABnADuuurruuurr得300yxzx 可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,1)nr． 又1(0,0,3)CDuuur为平面ABCD的一个法向量． 因此1115cos,5||||CDnCDnCDnuuurruuurruuurr 所以平面11ABCD和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nCPAC 由对立事件的概率: ()PA=41().5PA 即2261()5nCPAC， 解得 3.n …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，可能取值分别为1,2,3， 23261(1)5CPC 2211233333222266664(2)25CCCCCPCCCC， 16(3)1(1)(2)25PPP (或222111121111333333333333222222226666666616(3)25CCCCCCCCCCCCPCCCCCCCC) 则 的分布列为：
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g （x ）＞0⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：A ．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O ：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行， ∴λ+=t （+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=x +y 的最大值为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由得D （1，），所以z=x +y 的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n =﹣．【考点】8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】通过S n+1﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．祝福语祝你考试成功!。
2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
兰州一中2015年高三冲刺数学(理)考试及答案
兰州一中2015年高三冲刺数学（理）考试及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M N I =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm 8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ） A.1180 B. 1288 C. 1360D. 1480 9.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ） A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A.3 B. 132+ C. 13 D. 1132+11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞UD. ()()31,3,2-∞+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)AN AC λ=-u u u r u u u r，R λ∈，若2BN CM ⋅=-u u u r u u u u r，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =u u u r u u u r.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅u u u r u u u r ，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +u u u r u u u r的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ；ABCDP（Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>.（Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥L 成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；SD A PCB（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15. 1255； 16. ()1,+∞ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP =u u u r u u u r得 OB OA OP OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-u u u r u u u r22sin 2sin cos 1sin 2cos2θθθθθ=--=-- 2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP uuu r ∥OC u u u r ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+u u u r u u u r222752sin cos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形A BCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P ABCD V -=，即311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =， 而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDC S PD CD PDC =⋅⋅⋅=V ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =，∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色PB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=，02022129(8)||4N x NF y y +==， 022*********[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=， ∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=， 于是020484x y -=代人③式并整理得 2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2111()()[]|()xx x a a a a x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->， 22()1()(0)x x a x a f x x x x x---'=-=>， ∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=， ∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n =L 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n ≥， 将以上各式相乘，得：111123!n n e e n ++++≥L ……………………………… 12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分 （2）由''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分 所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++. 证明：由已知及均值不等式： 33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++ 3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅ 31232==⋅ ……………………… 10分第一课件网系列资料 N M S D A P C B。
2015年甘肃省高考理科综合试题与答案
2015年甘肃省高考理科综合试题与答案2015年甘肃省高考理科综合试题与答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共40题，共300分。
注意事项：1.在答题前，填写姓名和准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
2.选择题需使用2B铅笔填涂，非选择题需使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹工整清晰。
3.在答题区域内按题号顺序作答，超出答题区域的答案无效。
4.作图需先使用铅笔画出，确认后用黑色签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 F19 Na23AI27 P31 S32 CL35.5 Ca40 Fe56 Zn65 Br80第I卷一.选择题：本题共13小题，每小题6分，从每小题的四个选项中选择符合题目要求的一项。
1.某种植物幼根在相同培养液的密闭培养瓶中培养，测定其吸收某一矿质元素离子的量。
下表为不同气体和温度条件下的实验结果：培养瓶中气体 | 温度（℃） | 离子相对吸收量（%） |空气 | 17 | 100 |氮气 | 17 | 10 |空气 | 3 | 28 |分析正确的选项是：A.有氧条件有利于该植物幼根对该离子的吸收。
B.该植物幼根对该离子的吸收与温度的变化无关。
C.氮气环境中该植物幼根细胞吸收该离子不消耗ATP。
D.与空气相比，氮气环境有利于该植物幼根对该离子的吸收。
2.端粒酶由RNA和蛋白质组成，能结合到端粒子上，以自身的RNA为模板合成端粒子DNA的一条链。
下列叙述正确的是：A.大肠杆菌拟核的DNA中含有端粒。
B.端粒酶中的蛋白质为RNA聚合酶。
C.正常人细胞的每条染色体两端都含有端粒DNA。
D.正常体细胞的端粒DNA随细胞分裂次数增加而变长。
3.下列过程中不属于胞吐作用的是：A.浆细胞分泌抗体到细胞外的作用。
B。
mRNA从细胞核到细胞质的过程。
C.分泌蛋白从胰腺的腺泡细胞到胞外的过程。
2015年全国高考数学试卷理科含答案
2０15年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1)设复数Z 满足＝则＝－Z ZZ,i 11+ （Ａ)1 (Ｂ) (C ） (D)2 (2）=-010sin 160cos 10cos 20sin （A ）23－(B)23 (Ｃ)21－ (D ） 21 (3）设命题为则P n N n P n⌝>∈∃,2,:2(A ）nn N n 2,2>∈∀ (Ｂ)nn N n 2,2≤∈∃ (C ）nn N n 2,2≤∈∀ (D ）n n N n 2,2＝∈∃（４)投篮测试中,每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为０。
6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为（A ）0。
6４８ (B ）0.４32 (C ）0。
36 (D)０．３12(5)已知),(00y x M 是双曲线C:1222=-y x 上的一点,的是双曲线C F F 21,两个焦点，若021<⋅MF MF ，则的取值范围是（A ）)33,33(-(Ｂ))63,63(- (C))322,322(- (D ）)332,332(-（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问：积及米几何？”,其意为：“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为５尺,问米堆的的体积和米堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.６２立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为 (A)１４斛 （B)22斛 (Ｃ）36斛 （Ｄ）66斛 (７）设D 为所在平面内一点ABC ∆,CD BC 3=，则(A ）AC AB AD 3431+-= （B)AC AB AD 3431－= (C)AC AB AD 3134+= (D)AC AB AD 3134－=(8）函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的单调减区间为(Ａ)Z k k k ∈+-,43,41）（ππ (Ｂ）Z k k k ∈+-,432,412）（ππ （C ）Z k k k ∈+-,43,41）（（D ）Z k k k ∈+-,432,412）（(９)执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= (A)5 (B)６ (C)７ （D)８（１0）52）（y x x ++的展开式中,25y x 的系数为 (Ａ）10 （Ｂ）２0 (C ）30(D)６0(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球(半径为r ） 组成一个几何休,该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为１6＋20π,则ｒ=（A)1 （B)2 (C ）4 （D ）8(12）设函数ｆ（x)=e x(2x-1）—a ｘ＋a,其中ａ1,若存在唯一的整数x ０,使得f （x 0)0，则a 的取值范围是（ ） （A)［— —，1)（B ） ［—，）(C)［,)（Ｄ) ［,1)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
【数学】甘肃省兰州市2015届高三实战考试(理)
甘肃省兰州市2015届高三实战考试数学（理）试题试卷综述：这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、 思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （MN ）=（ ）A ．{1,4,6,7}B ．{2,4,6,7}C ．{1，2，4，6，7}D ．{1，3，4，6，7}【知识点】交、并、补集的混合运算．A1 【答案】C【解析】由题意知M∩N={3，5}，则C U （M N ）={1，2，4，6，7}，故选C.【思路点拨】求出M∩N ，即可求解C U （M∩N ）即可． 2．iz=1一i （i 为虚数单位），则z=（ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i【知识点】复数代数形式的乘除运算L4 【答案】B【解析】由iz=1+i ，得()()()111i i i z i i i i ---===---，故选B.【思路点拨】由iz=1-i ，两边除以i ，按照复数除法运算法则化简计算．3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是（ ） A ．p ∨q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．⌝q 是真命题D ．p 是假命题【知识点】复合命题的真假．A2 【答案】A【解析】对于p ：取α=2π，则cos （π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题2:,10q x R x ∀∈+>，正确．由上可得：p ∧q 是真命题．故选：A ． 【思路点拨】p ：取α=2π，则cos （π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q ：利用实数的性质可得q 的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=（ ）A ．12B ．一12C D 【知识点】等差数列的性质．D2 【答案】B【解析】∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=3a 4=2π，∴a 4=23π，又a 3+a 5=2a 4=43π，∴cos （a 3+a 5）=cos43π=﹣12，故选B. 【思路点拨】利用等差数列的性质可得a 3+a 5=2a 4=43π，从而可得答案． 5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y >B.sin sin x y >C ．221(1)1(1)n x n y +>+D ．221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．B7 【答案】A【解析】∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ， A ．当x ＞y 时，33x y >，恒成立，B ．当x=π，y=2π时，满足x ＞y ，但sin sin x y >不成立．C ．若221(1)1(1)n x n y +>+，则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．D ．若221111x y >++，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立．故选：A ．【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中点的横坐标为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【知识点】抛物线的简单性质．H7 【答案】B【解析】∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F （1，0），准线方程x=﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），∴|MF|+|NF|=x 1+1+x 2+1=6，解得x 1+x 2=4，∴线段MN 的中点横坐标为2，故选B.【思路点拨】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出MN 的中点横坐标．7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）A B ．13 C ．29D【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案】D【解析】由题意可知几何体是底面为直角梯形，直角边长为：4，2，高为3的梯形，棱锥的高为2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角顶点，所以侧棱最长为，底面梯形下底边锐角顶=．故选D．【思路点拨】由三视图可知几何体是底面为直角梯形的四棱锥，通过三视图的数据，求出最长的侧棱长度即可．8．阅读下侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为（）A．S=2*i-2B．S= 2*i-1C．S=2*iD．2*i+4【知识点】程序框图．L1【答案】C【解析】当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．【思路点拨】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．9．设F1、F2分别是椭圆2214x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是（ ） A ．[一2,1） B ．（—2,1）C ．（一2,1]D ．[—2,1]【知识点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算F3 H5 【答案】D【解析】由椭圆2214x y +=的知F 10），设P （x ，y ），则12.PF PF =x ，﹣y ）x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣3=14（3x 2﹣8） ∵x ∈[﹣2，2]，∴0≤x 2≤4，故12.PF PF ∈[﹣2，1],故选D. 【思路点拨】设出点P 的坐标，进而可表示出12PF PF ⋅，进而根据x 的范围确定12PF PF ⋅的范围。
理科数学 兰州市2015年高三试卷
理科数学兰州市2015年高三试卷理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．已知集合A={x||x -|≤}，B={x|y=lg（4x-x2）}，则A∩B等于（）A. （0，2]B. [-1，0）C. [2，4）D. [1，4）2．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知函数f（x）=cos（2x-），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x-a）恒成立，则a的值是（）A.B.C.D.4．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n-4的符号是（）A. 正B. 负C. 非负D. 非正5．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A.B.C.D.6．设f（x）=（1+x）6（1-x）5，则导函数f ′（x）中x2的系数是（）A. 0B. 15C. 12D. -157．设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）A. 1B.D. 28．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A.B.C.D.9．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A. n>2B. n>3D. n>510．已知双曲线（a>0，b>0），被方向向量为k=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（）A.B.C.D. 211．函数f（x）=（x-a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，3]∪[4，+∞）B. [3，4]C. （-∞，3]D. [4，+∞）12．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A. 3（2-）B. 4（2-）C. 3（2+）D. 4（2+）填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)
2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)1 / 151．设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ， 则=N M （ ）A ．{|2}x x ≥-B ．}1|{->x xC ．}1|{-<x xD ．}2|{-≤x x 2．下面是关于复数iz -=12的四个命题: 1p :2z =， 2:p 22z i = 3:p z 的共轭复数为i +-1 4:p z 的虚部为1其中真命题为（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p 3．已知平面向量与的夹角为3π，==+=,321（ ） A ．1 B ．3 C ．3 D ．2 4．下列推断错误的是（ ）A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）俯视图侧视图正视图A ．312B ．336C ．327D ．66．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．4lg 1+7．若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．13D ．14 8．抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记 为1+i a ，其中i N *∈，若322=a ，则=++642a a a （ ） A ．64 B ．42 C ．32 D ．21 9．定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.若将函数-sin cos ()1x x f x =的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π10．设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影部分为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ，则点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为（ ）A ．9617 B ．325C ．61D ．48711．已知2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．3 C ．2 D ．212．已知实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1813．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图：则式子5324⊗+⊗=_________.2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)3 / 1514．正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，则此球的表面积___________.15．从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是____.17．（本题满12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B aC b cos cos 3cos -=（1）求B cos 的值；（2）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18．（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p 1()2p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE . 19．（本题满分12分）己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．（1）求证：1AC ⊥BN ； （2）求二面角1B A N C --的余弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，若B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)2af x x x =+++ （1）当254a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（1）求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （2）求AD AE ⋅的值. 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分l0分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ （1）当0=a 时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在R x ∈，使得，)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)1 / 15参考答案1．A 【解析】试题分析：由0232<++x x ，得12-<<-x ，{}12|-<<-=x x M ，由221421-⎪⎭⎫⎝⎛=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛x ，得2-≥x ，{}{}2|12|-≥-<<-=∴x x x x N M {}2|-≥=x x ，故答案为A.考点：1、解不等式；2、集合的并集.2．C 【解析】 试题分析：()()()i i i i i z +=-++=-=1111212，211=+=∴z ，()ii i i z 2211222=++=+=，z 的共轭复数为i z -=1，z 的虚部为1，真命题是2p ，4p ，故答案为C.考点：1、复数的概念；2、复数的基本运算. 3．D 【解析】32==，3cos==⋅π，因此得124=++，08=-+0>2=，故答案为D.考点：平面向量的数量积. 4．C 【解析】试题分析：命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”，正确；命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有012≥++x x ，正确；若p 且q 为假命题，则q p ,可能都是假命题，也可能一真一假，错误；当1<x 时，能得到0232>+-x x ；当0232>+-x x2>x 或1<x ，故答案为C.考点：命题真假性的判断. 5．B 【解析】试题分析：该几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是33，设底面边长答案第2页，总11页为x ， 则3323=⋅x ，6=∴x ，故三棱柱的体积336433621=⋅⋅⋅，故答案为B. 考点：由三视图求体积. 6．A 【解析】试题分析：821lg lg lg a a a +++ ()()=⋅=⋅⋅=454821lg lg a a a a a 410lg 4=，故答案为A.考点：1、对数的运算；2、等比数列的性质. 7．D 【解析】 试题分析：不等式组满足的可行域如图所示，由图可知，当直线过点A 时，此时z 取最大值， 由⎩⎨⎧=-+=015y x y ，得⎩⎨⎧=-=54y x ，因此14104max =+=z ，故答案为D.考点：线性规划的应用.8．B 【解析】试题分析：由22x y =，得x y 4='，切线的斜率i a k ⋅=4，因此切线方程()i i i a x a a y -=-422，由于过点()0,1+i a ，代入得()i i i i a a a a -=-+1242，由于点在第一象限，化简得i i i a a a 4421-=-+，即211=+i i a a ， 84124=⋅=a a ，24146=⋅=a a ，42642=++∴a a a ，故答案为B. 考点：1、导数的几何意义；2、等比数列求和.9．A 【解析】2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)3 / 15试题分析：()x x x f cos s in 3-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x c os 21s in 232⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6s in 2πx ，向左平移()0>m m 个单位后得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m x y 6sin 2π，由于是奇函数，因此⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 20πm ，得ππk m =-6，6ππ+=∴k m当0=k 时，m 的最小值是6π，故答案为A. 考点：1、三角函数的化简；2、奇函数的应用. 10．C 【解析】试题分析：由二项式定理得161133=⎪⎭⎫⎝⎛k C k，得()()1611321213=⋅⨯⨯--k k k k ，解得4=k 或54=k （舍去），由⎩⎨⎧==xy x y 42，得0=x 或4，由定积分的几何意义得阴影部分的面积()d xx x ⎰-4024332|3124032=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ，任取[]4,0∈x ，[]16,0∈y ，点()y x ,对应的区域为64164=⋅，由几何概型的概率计算公式得6164332==P ，故答案为C.考点：1、二项式定理的应用；2、定积分的几何意义；3、几何概型的概率计算公式. 11．C 【解析】试题分析：由题意，设()0,2c F ，()0,1c F -，其中一条渐近线方程为x aby =，点2F 到渐近线的距离b ba bc =+22，设2F 关于渐近线的对称点为M ，M F 2与渐近线的交点为A ，因此得b MF 22=，A 是M F 2的中点，O 是21F F 的中点，因此M F OA 1//，因此21MF F ∠是直角，由勾股定理得22244b c c +=，()22243a c c -=∴，224a c =∴，a c 2=，得2=e ，故答案为C.答案第4页，总11页考点：椭圆的几何性质. 12．B 【解析】试题分析：实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，a e a b 2-=∴，cd -=2 因此点()b a ,在曲线xe x y 2-=上，点()d c ,在曲线x y -=2上，()()22d b c a -+-的几何意义就是曲线x e x y 2-=到直线x y -=2上点的距离最小值的平方，求曲线xe x y 2-=平行于直线x y -=2的切线，x e y 21-='，令121-=-='x e y ，得0=x ，因此切点()2,0-，切点到直线x y -=2的距离2211220=+--=d ，就是两曲线的最小距离，()()22d b c a -+-的最小值82=d ，故答案为B.考点：1、求切线方程；2、两点间的距离公式. 13．14 【解析】试题分析：由于35>，故5⊗3()10135=-⨯=，42<，故2⊗4()4124=-⨯=，故结果是14.考点：新定义在程序框图的应用. 14．π36 【解析】试题分析：由图知，正四棱锥ABCD P -的外接球的球心在它的高1PO 上，设为点O ，R AO PO ==∴，41=PO ，41-=r OO ，在O AO Rt 1∆中，()2248-+=R R ，得3=R ，π36=∴S .考点：球的表面积. 15．49 【解析】试题分析：当甲乙两人去1人，则剩余的2人从甲乙丙之外的7人中抽取，有422712=⋅C C ，2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)5 / 15当甲乙2人都去，则剩余1人从甲乙丙之外的7人中抽取71722=⋅C C ，不同的选法共有49742=+.考点：排列、组合的应用. 16．34-【解析】试题分析：圆的方程配方得()1422=+-y x ，以()0,4为圆心，1为半径的圆，要使直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需()4422=+-y x 与直线2+=kx y 有公共点即可，21242≤++∴k k ，即k k 432-≤，得034≤≤-k ，故k 的最小值是34-.考点：圆的方程的应用. 17．（1）31cos =B ；（2）6==c a . 【解析】 试题分析：（1）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形；（2）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围，在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：（1）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===， 则R B A R C B R 2cos sin 6cos sin 2-=B C cos sin 故B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -= 可得B A B C C B cos sin 3cos sin cos sin =+ 即()B A C B cos sin 3sin =+因此得B A A cos sin 3sin =，0sin ≠A ，得31cos =B 解：由2=⋅，可得2cos =B ac ， 又31cos =B ，故6=ac ，由B ac c a b cos 2222-+=，得1222=+c a ，()02=-∴c a 所以6==c a .考点：正余弦定理的应用. 18．（1）32；（2）81266.答案第6页，总11页【解析】 试题分析：（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．∴有225(1)9p p +-=． 解得23p =或13p =．12p >， 23p ∴=． 5分 （2）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6． 6分 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=． 10分 ∴随机变量ξ的分布列为：则 52016266246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯= 12分考点：1、随机事件的概率；2、离散型随机变量的分布列和期望. 19．（1）证明见解析；（2）721. 【解析】 试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键，证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）取AC 的中点O ，连结BO ，1A O ， 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥. 又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. 2分2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)则()0,0,0O，)B，(1A，30,2N ⎛ ⎝⎭，()0,1,0C ，(10,1,AC =. 32BN ⎛= ⎝⎭ 4分因为 ()1330302A C BN =++-=，所以1AC BN ⊥ 6分 （2）取AC 的中点O ，连结BO ，1A O ， 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥. 又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -. 7分则()0,0,0O ，)B ，(1A ，30,,22N ⎛ ⎝⎭，130,,2A N ⎛= ⎝⎭， (13,0,A B =. 设平面1A BN 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11110,0.A N A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,20.y z⎧=⎪⎨= 令1x =.所以11)=n . 9分 又平面1A NC 的法向量2(1,0,0)=n 10分设二面角1B A N C --的平面角为θ，则1212cos 7θ⋅==⋅n n n n . 12分 考点：1、直线与直线垂直的判定；2、平面与平面所成角的余弦值.20．（1）13422=+y x ；（2）()2122=+-y x【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出22,b a 的值，若不明确，需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（1）由题知1=c ，椭圆的焦点()0,11-F ，()0,12F42349222=++=a ∴椭圆C 的方程为13422=+y x （4分）①当直线l ⊥x 轴时，可得A （-1，-23），B （-1，23），B AF 2∆的面积为3，不符合题意． （6分） ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1+=x k y ．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，则2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++ （10分）又圆2F 的半径=r 21||2k k +，∴B AF 2∆的面积=21=r AB 22431||12k k k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x （12分） 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.21．（1）)(x f 的单调递减区间为)3,43(-；（2）2≥a ；（3）证明见解析 【解析】试题分析：（1）函数()x f y =在某个区间内可导，则若()0>'x f ，则()x f 在这个区间内单调递增，若()0<'x f ，则()x f 在这个区间内单调递减；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔；（3）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)()()()x g x f x h -=，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数()0>x h ，其中一个重要的技巧就是找到函数()x h 在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：（1） 当425=a 时 222')2)(1(4)3)(34()2)(1(4994)(++-+=++--=x x x x x x x x x f 由()0<'x f ，得343<<-x ∴)(x f 的单调递减区间为)3,43(- 4分（2） 由12)1ln(>+++x a x 得)1ln()2()2(++-+>x x x a 记[])1ln(1)2()(+-+=x x x g11)1ln(12)1ln(1)('+-+-=++-+-=x x x x x x g 当0>x 时 0)('<x g ∴)(x g 在),0(+∞递减又[]21ln 12)0(=-⋅=g ∴2)(<x g )0(>x∴2≥a 8分（3）由（Ⅱ）知 122)1ln(>+++x x )0(>x ∴2)1ln(+>+x x x 取k x 1=得211)11ln(+>+kkk 即121)1ln(+>+k k k ∴1217151311ln 34ln 23ln 12ln +++++>+++++n n n 12分 考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.22．（1）证明见解析；（2）360.【解析】 试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.试题解析：（1）∵ PA 为圆O 的切线， ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角，PCA PAB ∆∆∽AB PA AC PC∴=. 4分 （2）∵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2,PA PB PC ∴=⋅40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==连接EC ，则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则ACAD AE AB =，∴AD AE AB AC 360⋅=⋅==.考点：1、切割线定理的应用；2、三角形相似的应用.23．（1）θρcos 2=；（2）2.【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若y x ,有范围限制，要标出y x ,的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式θρcos =x 及θρsin =y 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θθρsin ,cos ==y x所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2= （5分） 设),(11θρP ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得3,111πθρ== 设),(22θρQ ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得3,322πθρ== 所以2||=PQ . （10分） 考点：极坐标方程的应用.24．（1）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311, ；（2）21-≥a2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考理科数学试卷(带解析)【解析】试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，x 表示的是数轴的上点x 到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()x f a ≥恒成立()max x f a ≥⇔，（2）()x f a ≤恒成立()min x f a ≤⇔（3）b a b a b a +≤+≤-的应用.（4）掌握一般不等式的解法：()()a x a x a a x -≤≥⇔>≥或01，()()a x a a a x ≤≤-⇔>≤02.试题解析：当0=a 时，由()()x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ， 解得1-≤x 或31-≥x ，因此原不等式的解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞-,311,由()()x g x f ≤得x x a -+≥12，令()x x x h -+=12，则 ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤--=0,1021,1321,1x x x x x x x h 故()2121min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h x h ，从而所求实数a 的范围21-≥a . 考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题.。
甘肃省部分高中2015届高三数学2月第一次联考试卷 理
2015年2月甘肃省局部普通高中高三第一次联考数学 试题〔理科〕本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部,总分150分,考试时间120分钟。
第1卷〔选择题,共6 0分〕一.选择题〔本大题共12个小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.设集合}023|{2<++=x x x M ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N , 如此=N M 〔〕 A ．{|2}x x ≥- B ．}1|{->x x C ．}1|{-<x x D ．}2|{-≤x x2.下面是关于复数i z -=12的四个命题:1p :2z =, 2:p 22z i =3:p z 的共轭复数为i +-14:p z 的虚部为1其中真命题为( ) A ．23,p pB ．12,p pC．24,p pD ．34,p p3.平面向量b a 与的夹角为3π，+,32〔 〕A ．1B ．3C ．3D ．2 4.如下推断错误的答案是( )A.命题“假设2320,x x -+=如此1x =〞的逆否命题为“假设1x ≠如此2320x x -+≠〞B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，如此非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.假设p 且q 为假命题，如此q p ,均为假命题D.“1x <〞是“2320x x -+>〞的充分不必要条件5.假设一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如如下图所示，如此这个棱柱的体积为〔 〕A ．312B ．336C ．327D ．6 6.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，如此数列{lg }n a 的前8项和等于〔〕A ．4B ．5C ．6D ．4lg 1+7.假设实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩如此y x z 2||+=的最大值是〔〕A ．10B ．11C ．13D ．148.抛物线y x 212=在第一象限内图象上一点)2,(2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1+i a ，其中i N *∈，假设322=a ，如此=++642a a a 〔 〕A ．64B ．42C ．32D ．219.定义行列式运算：12142334a a a a a a a a =-.假设将函数-sin cos ()1x x f x =的图象向左平移(0)m >个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，如此的最小值是〔 〕A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10.设k 是一个正整数，1kx k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为116，记函数2x y =与kx y = 的图像所围成的阴影局部为S ，任取]16,0[],4,0[∈∈y x ,如此点),(y x 恰好落在阴影区域内的概率为〔 〕A ．9617B ．325C ．61D ．48711.2F 、1F 是双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，如此双曲线的离心率为( )A ．3B ．3C ．2D ．212.实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,如此22()()a c b d -+-的最小值为〔〕A ．4B ．8C ．12D ．18 第2卷〔非选择题,共90分〕二.填空题〔本大题共4个小题, 每一小题5分,共20分,请把正确的答案填写在各小题的横线上.〕13．定义某种运算⊗，S a b =⊗的运算原理如右图： 如此式子5324⊗+⊗=_________.14.正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，假设正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为62，如此此球的外表积___________.15.从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，如此甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为〔用数字作答〕.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为015822=+-+x y x ，假设直线2+=kx y 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C 有公共点,如此k 的最小值是____. 三、解答题〔本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.〕 17.(此题满12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且B c B a C b cos cos 3cos -=(1)求B cos 的值；(2)假设2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和的值.18.〔本小题总分为12分〕甲乙两人进展围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进展到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率p1()2p >，且各局胜负相互独立．第二局比赛完毕时比赛停止的概率为59．〔1〕求p 的值；〔2〕设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19.〔此题总分为12分〕 己知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，侧面11A ACC 为菱形，160A AC ∠=，平面11A ACC ⊥平面ABC ，N 是1CC 的中点．〔1〕求证：1AC ⊥BN ； 〔2〕求二面角1B A N C --的余弦值．20.〔此题总分为12分〕椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且2||21=F F ，点)23,1(在该椭圆上．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过1F 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，假设B AF 2∆的面积为7212，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21.〔本小题总分为12分〕 函数()ln(1)2a f x x x =+++〔1〕当254a =时，求()f x 的单调递减区间；〔2〕假设当0x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；〔3〕求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，如此按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．〔本小题总分为10分〕选修4—1：几何证明选讲如下列图,PA 为圆O 的切线,A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . 〔1〕求证AB PC PA AC ⋅=⋅ 〔2〕求AD AE ⋅的值.23．〔本小题总分为10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数〕．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 〔1〕求圆C 的极坐标方程；〔2〕直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为P 、O ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题总分为l0分)选修4—5：不等式选讲 函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ 〔1〕当0=a 时，解不等式()()f x g x ≥；〔2〕假设存在R x ∈，使得，)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．2015年2月甘肃省河西五市局部普通高中高三第一次联考 数学试题答案〔理科〕一、选择题：1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.C 12.B二、填空题：13. 14 14.π36 15. 49 16.34-三、解答题17【解析】：〔I 〕由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分 〔II 〕解：由2=⋅BC BA ,可得2cos =B ac ，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝ 6 ----------12分18. 解：〔Ⅰ〕依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛完毕时比赛完毕． ∴有225(1)9p p +-=． 解得23p =或13p =． 12p >， 23p ∴=． ………………………………5分〔Ⅱ〕依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．………………6分设每两局比赛为一轮，如此该轮完毕时比赛停止的概率为59．假设该轮完毕时比赛还将继续，如此甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，5520(4)(1)()9981P ξ==-=，5516(6)(1)(1)19981P ξ==--⋅=． 10分∴随机变量ξ的分布列为：如此52016266246.9818181E ξ=⨯+⨯+⨯=……………………12分19 【解析】：〔Ⅰ〕证明：方法一取AC 的中点O ,连结BO ，ON ,由题意知 BO ⊥AC ．又因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 BO ⊥平面11A ACC ．………………2分因为1AC ⊂平面11A ACC 所以 1BO AC ⊥因为 四边形11A ACC 为菱形，所以 11AC AC ⊥ 又因为 ON ∥1AC , 所以 1AC ON ⊥ 所以1AC ⊥平面BON ………………4分 又BN ⊂平面BON ， 所以 1AC BN ⊥．…6分方法二取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥. 又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC 以O 为原点，建立如下列图的空间直角坐标系 O xyz -. ……………………2分如此()0,0,0O,)B,(1A，30,2N ⎛ ⎝,()0,1,0C ，(10,1,A C =.32BN ⎛=- ⎝……………………4分 因为 ，所以1AC BN ⊥……………………6分 〔Ⅱ〕取AC 的中点O ,连结BO ，1AO , 由题意知 BO AC ⊥，1AO AC ⊥. 又因为 平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以 1AO ⊥平面ABC 以O 为原点，建立如下列图的空间直角坐标系 O xyz-. ……………………7分如此()0,0,0O ,)B,(1A ，30,2N ⎛ ⎝,130,,2A N ⎛=⎝, (13,0,A B =.设平面1A BN 的法向量为1(,,)x y z =n ，如此11110,0.A N A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即30,20.y z ⎧-=⎪⎨-=令1x =.所以11)=n . …………………………………………9分又平面1A NC的法向量2(1,0,0)=n …………………………………10分设二面角1B A N C --的平面角为θ，如此1212cos θ⋅==⋅n n n n .……………12分20. 〔12分〕【解析】〔1〕椭圆C 的方程为13422=+y x ……………．．〔4分〕〔2〕①当直线l ⊥x 轴时，可得A 〔-1，-23〕，B 〔-1，23〕，∆A 2F B 的面积为3，不符合题意． …………〔6分〕 ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k 〔x+1〕．代入椭圆方程得：01248)43(2222=-+++k x k x k ，显然∆＞0成立，设A ),(11y x ，B ),(22y x ，如此 2221438k k x x +-=+，222143128k k x x +-=⋅，可得|AB|=2243)1(12k k ++……………．．〔10分〕又圆2F 的半径r=21||2k k +，∴∆A 2F B 的面积=21|AB| r=22431||12k k k ++=7212，化简得：174k +2k -18=0，得k=±1，∴r =2，圆的方程为2)1(22=+-y x ……………．．〔12分〕 21．〔Ⅰ〕 当425=a 时 222')2)(1(4)3)(34()2)(1(4994)(++-+=++--=x x x x x x x x x f∴)(x f 的单调递减区间为)3,43(- ………………………………… 4分〔Ⅱ〕 由12)1ln(>+++x ax 得)1ln()2()2(++-+>x x x a记[])1ln(1)2()(+-+=x x x g11)1ln(12)1ln(1)('+-+-=++-+-=x x x x x x g当0>x 时 0)('<x g ∴)(x g 在),0(+∞递减又[]21ln 12)0(=-⋅=g ∴2)(<x g )0(>x∴2≥a ………………………………………………………… 8分〔Ⅲ〕由(Ⅱ)知122)1ln(>+++x x )0(>x ∴2)1ln(+>+x xx取k x 1=得211)11ln(+>+k kk即121)1ln(+>+k k k ∴1217151311ln 34ln 23ln 12ln+++++>+++++n n n …… 12分22.〔1〕∵PA 为圆O 的切线,,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角,PCAPAB ∆∆∽AB PAAC PC ∴=. ……………………4分〔2〕∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2,PA PB PC ∴=⋅ 40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由〔1〕知12AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,如此,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，如此AC ADAE AB =，∴AD AE AB AC 360⋅=⋅==. ------10分23．解：圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θθρsin ,cos ==y x 所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2= 〔5分〕设),(11θρP ，如此有⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得3,111πθρ== 设),(22θρQ ，如此有⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得3,322πθρ== 所以2||=PQ (10分)word - 11 - / 11 24故min 11()()22h x h =-=-，从而所求实数a 的范围为21-≥a --------10分。
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word 精校版）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】B（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B（5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51．CBADD 1C 1B 1A 1（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（A ）26 （B ）8（C ）46 （D ）10 【答案】C（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
兰州市教科所高三实战数学答案(理)
2015年兰州市高三实战考试 数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题11.解析：依题意，两函数的周期相同，所以2ω=，所以242x m π+=+，即24x m π=+（m Z ∈），同理2x n πϕ=-（n Z ∈），所以()4n m πϕπ=--，因||2πϕ<，所以选A12.解析：因为31,[0,]32()21,(,1]12xx f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩， 所以()32211,0,2()461,,121x f x x x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪'=⎨+⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦+⎩，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()f x 为增函数，值域为10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数()f x 是增函数，其值域为1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上：函数()f x 值域为[]0,1；当21[0,]2x ∈时，函数()3(0)2a g x ax a =-+>是增函数，值域为3,32a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由对任意1[0,1]x ∈,总存在21[0,]2x ∈,使得12()()f x g x =成立可得：302a -≤，即6a ≥.二、填空题13.12-14.2515.6- 16.5239.解析:因为12a =,21a =,11212 2 4 2n n n n n na a a a a a ++++⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩(n N *∈),所以3142a a ==,34224a a a ==,45324a a a ==,56422a a a ==,67521a a a ==,8642a a ==,89724a a a ==,910824aa a ==,┄,所以数列{}n a 是以5为周期的数列,而20154035=⨯,1234513a a a a a ++++=,所以2015403135239S =⨯=三、解答题 17.解：（Ⅰ）由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos C A B B A -=∴2sin cos sin()sin C B A B C =+= ∵sin 0C ≠∴1cos 2B = ∴3B π=…………6分（Ⅱ）∵11sin sin 223S ac B ac π=== ∴40ac =由余弦定理得 224940a c =+- ∴2289a c +=∴222()28980169a c a c ac +=++=+= ∴13a c +=…………12分 18.解：（Ⅰ）证明：连接1A C∵D 、E 、F 分别是1BB 、1AA 、AC 的中点 ∴1A D ∥BF ，1A C ∥EF ∵在平面1A C D 中111A DAC A = 在平面BEF 中BF EF F =∴平面1A C D ∥平面BEF ，而CD ⊂平面1A C D ∴CD ∥平面BEF …………………6分（Ⅱ）设平面ACD 与平面11AC D 所成二面角的棱为l ∵11A C ∥AC ∴11A C ∥平面ACD ∴l ∥11A C依题意11A C ⊥平面11BCC B ,所以11A C ⊥CD ,11A C ⊥1C D ,所以l ⊥CD ,l ⊥1C D ,所以1CDC ∠是平面ACD 与平面11AC D 所成二面角的一个平面角.…………………10分 ∵D 是1BB 的中点且111122BC AA BB ==∴CD 1C D ==,而12CC BC =∴1CD C D ⊥ ∴12CDC π∠=即平面ACD 与平面11AC D 所成二面角为2π…………………12分 解法二:依题意AC BC ⊥,1BC CC ⊥,1AC CC ⊥,所以分别以、CB 、1CC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设1CA =，则(1,0,0)A ，(0,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,1,1)D ，1(0,0,2)C ，1(1,0,2)A ，(0,0,1)F设1(,,)n x y z =为平面ACD 的一个法向量，则10n CA ⋅=且10n CD ⋅=， 即00000x y z ++=⎧⎨++=⎩，令1y =，则1(0,1,1)n =-同理可得平面11AC D 的一个法向量为2(0,1,1)n = 因为1201111(1)0n n ⋅=⨯+⨯+⨯-= 所以平面ACD 与平面11AC D 所成二面角为2π19.解：(Ⅰ)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：(0.00300.00210.0014)200.13++⨯=所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为6000.1378⨯=…………………5分(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3,4.…………………6分有频率分布直方图知，每位学生上学所需时间少于20分钟的频率为10.0125200.254⨯==∴00441381(0)()()44256P X C ===11341327(1)()()4464P X C ===22241327(2)()()44128P X C ===3314133(3)()()4464P X C ===4404131(4)()()44256P X C ===…………………10分 ∴X 的分布列为∴812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（或1414EX =⨯=）…12分 20.解：（Ⅰ）设(,)N x y ，则由12PN NM +=0，得P 为MN 的中点. ……………2分∴(0,)2yP , (,0)M x -.∴(,)2y PM x =-- , (1,)2yPF =-.∴204y PM PF x ⋅=-+=, 即24y x =. ∴动点N 的轨迹E 的方程24y x =. ………………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去x 得2440y y k--=.设11(,)A x y ，22(,)B x y , 则 124y y k+=, 124y y =-. 假设存在点(,0)C m 满足条件，则11(,)CA x m y =-, 22(,)CB x m y =-,∴2121212()CA CB x x m x x m y y ⋅=-+++22221212()()444y y y y m m +=-+- 221212[()2]34my y y y m =-+-+- 224(2)3m m k =-+-. ………………9分∵224(2)120k∆=++>,∴关于m 的方程224(2)30m m k -+-=有解 .∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立.…………12分 21.解：（Ⅰ）∵21()1(1)mf x x x '=-++ ∴函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率(0)1k f m '==-∵函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线410y x -+=垂直 ∴14m -=-∴5m =………………4分 （Ⅱ）依题意不等式ln(1)12mx x ++≥+在0x ≥时恒成立 ∴2(2)ln(1)m x x x ≥+-++在0x ≥时恒成立 令()2(2)ln(1)g x x x x =+-++（0x ≥），则21()1ln(1)ln(1)11x g x x x x x +'=-+-=-+-++………………6分 ∵0x ≥∴()0g x '<∴函数()g x 在0x ≥时为减函数 ∴()(0)2g x g ≤= ∴2m ≥即实数m 的取值范围是[2,)+∞………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知0x ≥时，2ln(1)12x x ++≥+成立，即有ln(1)2xx x +>+ 令1x k =（k N *∈），则有11ln(1)12k k k+>+即11ln 21k k k +>+ ∴231231ln(1)ln()ln ln ln1212n n n n n+++=⨯⨯⨯=+++ 1113521n >++++（n N *∈） ………………12分 22.证明：（I ）在ABC ∆中∵13BD BC =,13CE CA =知ABD ∆≌BCE ∆∴ADB BEC ∠=∠ ∴ADC BEC π∠+∠=所以四点,,,P D C E 共圆………………5分（II ）连结DE ,在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=,由正弦定理知90CED ∠= 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠,所以.AP CP ⊥………………10分23.解：（I ）由cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)得22(1)1x y +-=………………2分由(cos sin )50ρθθ-+=得cos sin 50ρθρθ-+=即50x y -+=………………5分（II ）由（I ）知1C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆 ，2C 为直线， ∵1C 的圆心(0,1)到2C1=> ∴2C 与1C 没有公共点∴max ||1PM =+min ||1PM =-∴||PM 的取值范围是1]………………10分 24. 解：（I ）当4a =时，|1|||5x x a -+-≥等价为1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤<⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩解得0x ≤或5x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为{|x 0x ≤或5x ≥}………………5分 （II ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以min ()|1|f x a =-要使()4f x ≥对a R ∈恒成立，则须|1|4a -≥即可 所以3a ≤-或5a ≥即实数a 的取值范围是{|a 3a ≤-或5a ≥}………………10分。
2015年甘肃省高考理科试题及答案(汇总)
2015年甘肃省高考理科试题及答案（汇总）（包括语文、理科综合、理科数学、英语四科）目录语文试题与答案-------------- 2～16 理科综合--------------------17～39 理科数学--------------------40～50 英语----------------------51～65语文试题与答案第I卷阅读题甲必考题―、现代文阅读（9分.每小题3分〉阅读下面的文字，完成1〜3题.艺术品的接受在过去并不被看作是重要的美学问题，20世纪解释学兴起，一个名为‚接受美学‛的美学分支应运而生，于是研究艺术品的接受成为艺术美学中的显学。
过去，通常只是从艺术家的立场出发，将创作看作艺术家审美经验的结晶过程。
作品完成就意味着创作完成。
而从接受美学的角度来看，这一完成并不说明创作已经终结。
它只说明创作的第一阶段告一段落，接下来是读者或现众、听众的再创作.由于未被阅读的作品的价值包括审美价值仅仅是一种可能的存在，只有通过阅读，它才转化为现实的存在，因此对作品的接受具有艺术本体的意义。
也就是说，接受者也是艺术劍作的主体之一。
艺术文本即作品对于接受者来说具有什么意义呢？接受美学的创始人。
德国的伊瑟尔说艺术文本是一个‚召唤结构‛，因为文本有‚空白，‚空缺‛‚否定‛三个要素.所谓‚空白‛是说它有一些东西没有表达出来，作者有意不写或不明写，要接受者用自己的生活经验与想象去补充；所谓‚空缺‛，是语言结构造成的各个图像间的空白。
接受者在阅读文本时要把一个个句子表现的图像片断连接起来.整合成一个有机的田像系统；所谓‚否定'指文本对接受者生活的现实具有否定的功能，它能引导接受者对现实进行反思和批判，由此可见，文本的召唤性需要接受者呼应和配合，完成艺术品的第二次创作，正如中国古典美学中的含蓄与简洁，其有限的文字常常引发出读者脑海中的丰富意象。
接受者作为主体，他对文本的接受不是被动的，海德格尔提出‚前理解‛，即理解前的心理文化结构，这种结构影响着理解.理解不可能是文本意义的重现，而只能走丈本与前理解‛的统一。
甘肃省兰州市2015届高三实战考试理综试题
甘肃省兰州市2015届高三实战考试理科综合能力试题注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸相应的位置上。
2．本卷满分300分，考试用时150分钟。
3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
4．可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 Ca-40 S-32 Na-23第I卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于线粒体的叙述，正确的是A.影响线粒体功能的毒素会影响葡萄糖进入人体红细胞B.线粒体中的氧浓度一般比细胞质基质中的氧浓度高C．细菌体内无线粒体，只能通过无氧呼吸获取能量D.线粒体放入清水，其外膜先于内膜破裂2．下列关于生物体内化合物的叙述，错误的是A.细菌的细胞内存在同时含有蛋白质和核酸的结构B．癌细胞代谢旺盛的原因是因为细胞膜上糖蛋白数量增多C．葡萄糖是构成麦芽糖、纤维素、淀粉和糖原的基本单位D.脂质可以作为生物体内的储能物质，同时也可参与生命活动的调节3．下列有关生物变异的叙述，正确的是A.三倍体植物不能由受精卵发育而来B．低温会抑制着丝点的分裂从而导致染色体数目加倍C．可遗传变异中，只有基因突变才能产生新的基因D.染色体变异一定会改变基因的数量4．在某动物种群中，基因型AA、Aa和aa的个体所占比例分别为20%、60%和20%。
在长期的选择过程中A基因和a基因之间的比例变化如右图则各基因型个体在此坏境中竞争能力的大小关系最可能为A. AA<Aa=aaB．AA=Aa>aaC. AA=Aa<aaD. AA<Aa<aa5．下图a-b表示不同的生物学含义，M代表相关的高低量，下列说法错误的是A.若M表示种群密度，a-d表示同种生物的四个种群，则种群b种内斗争最激烈B．若M表示物种丰富度，a-d表示不同生态系统，则b系统的稳定性最强C．若M表示生物所含能量，a-d表示同一条食物链中的四个种群，则a是最高营养级D.若M表示基因多样性，a-d表示不同种类的植物，则在剧烈变化的坏境中最不易被淘汰的是b6．去甲肾上腺素(NE)既是肾上腺髓质细胞分泌的激素，也是某些神经一肌肉接点处神经元分泌的神经递质，这种递质可与突触后膜受体结合，引发突触后神经元兴奋，也可与突触前膜受体结合，抑制NE继续分泌，下列说法错误的是A. NE即参与神经调节，也参与体液调节B．NE作用于突触后膜，促进Na+内流C. NE与突触前膜受体结合，抑制神经元继续分泌属于反馈调节D.突触后神经元兴奋的产生，体现了膜的流动性7．化学与生活、社会可持续发展密切相关。
2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ卷）解析版
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015年新课标1理 设复数z 满足=i ，则|z|=1+z 1z-（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.2015年新课标1理 （2）sin20°cos10°-co s 160°sin10°=（A ）（B （C ） （D ）12-12【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.12考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式2015年新课标1理 （3）设命题P ：n N ，>，则P 为∃∈2n 2n ⌝ （A ）n N, > （B ） n N, ≤∀∈2n 2n ∃∈2n 2n（C ）n N, ≤ （D ） n N, =∀∈2n 2n ∃∈2n 2n【答案】C【解析】试题分析：:，故选C.p ⌝2,2n n N n ∀∈≤考点：特称命题的否定2015年新课标1理 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式2015年新课标1理 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，2212x y -=F 1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是1MF ∙2MF（A ）（）（B ）（）（C ）（） （D ）（【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程2015年新课标1理 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考理科数学试题全国卷2及解析word完美版
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=() A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2}2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)=–4i ，则a=() A ．–1 B ．0 C ．1 D ．23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．20064、已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=，则f(–2)+f(log 212)=() A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，分体积的比值为()A ．B ．C ．D ．7、过三点A ．2 8、如上左2a=() A ．0 9、已知A ，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36A ．36π．256π10、如上左O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x x 的函数，则y=f(x)的图像大致为()A ．B ．C ．D ． 11、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为()A ．B ．2C ．D ．12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(–1)=0，当x>0时，xf’(x)–f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是() A ．(–∞,–1)∪(0,1) B ．(,0)∪(1,+∞)C ．(–∞,–1)∪(–1,0) D ．(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行，向量λa+b 与a+2b 平行，则实数λ=． 14、若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为．15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=–1，a n+1=S n S n+1，则S n =________________． 三、解答题17、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求．(2)若AD=1，DC=，求BD 和AC 的长．18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62738192958574645376 78869566977888827689B 地区：73836251914653736482 93486581745654766579(1)均值及分散程度(记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 19、如图，长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=101F=4．过点E ，F 的平面α(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由(2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值．20、已知椭圆C ：9x 2+y 2=M 2(m>0)．直线l A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1)(2)若l l 的21、设函数(1)证明：(2)2)|≤e –1，求m 的取值范围．22、[选修4ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N E ，F 两点． (1)(2)若AG EBCF 的面积． 23、[选修4xOy 中，曲线C 1：(t 为参数，t≠0)，其中0≤α<π． 在以O C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ． (1)求C 2与C (2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值24、[选修4–5：不等式选讲]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： (1)若ab>cd ，则+>+；(2)+>+是|a –b|<|c –d|的充要条件． 2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案：A ．∵(x–1)(x+2)<0，解得–2<x<1，∴B={x|–2<x<1}，∴A∩B={–1,0}．2、答案：B ．∵(2+ai)(a–2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ，∴a 2–4=–4，解得a=0．3、答案：D ．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．4、答案：B ．∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21，∴1+q 2+q 4=7，整理得(q 2+3)(q 2–2)=0．解得q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42． 5、答案：C ．∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3，()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log 3log 2log 6226+===，∴f(–2)+f(log 212)=9．6、答案：D ．如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为S △ADC ·|DB|=a 3， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为=．7、答案：C ．由题可得，解得，所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0，令x=0，解得y=–2±2， 所以|MN|=|–2+2–(–2–2)|=4． 8、答案：B ．输入a=14，b=18．第一步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=18–14=4； 第二步a≠b第三步a≠b 第四步a≠b 第四步a≠b 第五步a≠b 9、答案：C 点C 到平面10、答案：当点P 在CD 当x=时，从点P B ． 11、答案：过点M 作， 12、答案：因为当x>0 又因为函数且g(–， 二、填空题131415、答案：所以Ca+Ca+C+C+C=32，解得a=3．16、答案：–．∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1，∴–=1．即–=–1，∴{}是等差数列， ∴=–(n –1)=–1–n+1=–n ，即S n =–． 三、解答题17、答案：(1)；(2)|BD|=，|AC|=1．(1)如图，由题意可得S △ABD =|AB||AD|sin ∠BAD，S △ADC =|AC||AD|sin ∠CAD， ∵S △ABD =2S △ADC ，∠BAD=∠DAC，∴|AB |=2|AC|，∴==． (2)设BC 边上的高为h ，则S △ABD =|BD|·h=2S △ADC =2××h ，解得|BD|=，设|AC|=x ，|AB|=2x ，则cos ∠BAD=，cos ∠DAC=．∵cos∠DAC=cos ∠BAD ，∴=，解得x=1或x=–1(舍去)．∴|AC|=1． 18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高，A地区的分散程度大于B地区．(2)记事件不满意为事件A1，B1，满意为事件A2，B2，非常满意为事件A3，B3．则由题意可得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=，P(B2)=，P(B3)=，则P(C)=P(A2)P(B1)+P(A3)(P(B1)+P(B2))=×+×(+)=．19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF=(–10,4,8)，EF=(–10,0,0)，EG=(0,6,–8)．设平面EFHG的一个法向量为n=(x,y,z)，则，即，解得x=0，令y=4，z=3，则n=(0,4,3)．所以直线AF与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF,n>|===．20、(1)设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(,)，联立方程，消去y整理得(9+k2)x2+2kbx+b2–m2=0(*)，∴x1+x2=–，y1+y2=k(–)+2b=，∴kOM ·kAB=·k=·(–)·k=–9．k=4±，有21∴∴，所以此时当令e–m–2m 在而．当当22则∵．在在Rt△AEO中，sin∠OAE===．∴∠OAE=60°，∵∠OAE=∠OAF=∠EAF，AE=AF，∴∠EAF=2∠OAE=60°，∴△AEF、△ABC是等边三角形．连接OM，∴OM=2．∵OD⊥MN，∴MD=ND=MN=．在Rt△ODM中，OD===1，∴AD=OA+AD=4+1=5．在Rt△ADB中，AB===．∴四边形EBCF的面积为S△ABC –S△AEF=×()2–×(2)2=．23、(1)将曲线C2，C3化为直角坐标系方程C2：x2+y2–2y=0，C3：x2+y2–2x=0．联立，解得或．所以交点坐标为(0,0)，(,)．(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π．∵A的极坐标为(2sinα,α)，B的极坐标为(2cosα,α)．∴|AB|=|2sinα–2 cosα|=4|sin(α–)|．当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．24、(1)由题意可得(+)2=a+b+2，(+)2=c+d+2，∵ab>cd，∴>，而a+b=c+d，∴(+)2>(+)2，即+>+．(2)+>+，即a+b+2>c+d+2，∴>，∴ab>cd，∴–4ab<–4cd，∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd，∴(a–b)2<(c–d)2，∴|a–b|<|c–d|．。
甘肃省兰州一中2015届高三数学9月月考试题(含解析)
2014-2015学期高三九月月考数学试题【试卷综析】本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，识考.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、函数模型、导数、简单的线性规划、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分） 【题文】1．已知集合{}{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，则=⋂B A （ ）A ．{}6<x x B ．{}12x x << C ．{}26<<-x x D ．{}2<x x]【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 由A 中不等式变形得：（x+2）（x-6）＜0， 解得：-2＜x ＜6，即A={x|-2＜x ＜6}，由B 中log2（x-1）＜0=log21，得到0＜x-1＜1，即1＜x ＜2， ∴B={x|1＜x ＜2}，则A ∩B={x|1＜x ＜2}．故选B ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的X 围确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【题文】2. 下列函数中既是奇函数，又在()0+∞，上单调递增的是 （ ）A ．sin y x =B ．21y x x =-+C ．33y x x =+ D ．x y e =【知识点】函数的单调性函数的奇偶性B3 B4【答案解析】对于A ，是奇函数，但是在R 是周期函数，不单调；对于B ，f （-x ）=-x2-1x ≠f （x ），也不等于-f （x ），所以是非奇非偶的函数；对于D ，f （-x ）=e|-x|=e|x|=f （x ），是偶函数；故选C ．【思路点拨】对于四个选项分别分析，利用奇偶函数的定义及性质解答． 【题文】3．下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝则p ⌝”互为逆否命题.B ．命题[]0,1,1x x e ∀∈ ≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p q ∨为真.C ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题.D ．“若22am bm <”，则a b <的逆命题为真命题.【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 对于A ，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A 是真命题；对于B ，当x ≥0时，根据指数函数性质ex ≥1，故p 是真命题，所以p ∨q 为真，因此B 项为真命题；对于C ，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C 是真命题；对于D ，其逆命题是：若a ＜b ，则am2=bm2，显然是假命题．故选D ．【思路点拨】对于A ：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B ：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C ：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D ：先写出逆命题，再判断真假．【题文】4. 函数f(x)＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 的图象是( )【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B 由题意得x-1x >0得到-1<x<0或x>1排除A D 由代入法得在x>1时是增数，故选B【思路点拨】先确定定义域然后确定增减性利用排除法求解。
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甘肃省兰州市
2015届高三实战考试
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。
答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7），M={1，3，5，6}，N={2，3，5}，则C U （M N ）=
A ．{1,4,6,7}
B ．{2,4,6,7}
C ．{1，2，4，6，7}
D ．{1，3，4，6，7}
2．i ．z=1一i （i 为虚数单位），则z=
A ．-1+i
B ．-1-i
C ．1+i
D ．1-i
3．已知命题cos()cos R ραπαα∃∈-=：，
；命题2:,10q x R x ∀∈+>．则下面结论正确的是
A ．p ∨q 是真命题
B ．p ∧q 是假命题
C ．⌝q 是真命题
D ．p 是假命题
4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1 +a 4+a 7=2π，则cos （a 3+a 5）=
A ．12
B ．一12
C ．2
D ．－2
5．已知实数x ，y 满足a x <a y （0<a<1），则下列关系式恒成立的是
A ．33x y >
B ．sin sin x y >
C ．221(1)1(1)n x n y +>+
D ．221111
x y >++ 6．已知点F 是挞物线y 2 =4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF| +|NF|=6，则MN 中点的横坐标为
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是
A
B ．13
C ．29 D
8．阅读右侧程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形中应填入的语句为
A ．S=2*i-2
B ．S= 2*i-1
C ．S=2*i
D ．2*i+4
9．设F1、F2分别是椭圆2
214
x y +=的两焦点，点P 是该椭圆上一个动点，则12.PF PF 的取值范围是
A ．[一2,1）
B ．（—2,1）
C ．（一2,1]
D ．[—2,1]
10．已知长方体ABCD – A 1B 1 C l D 1的各个顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π且
AB ：AD ：AA 1
1：2，则球O 到平面ABCD 的距离为
A ．1
B ．
C
D ．2
11．函数()2sin()(0)4f x x πωω=+
>与函数g （x ）= cos (2)()2x πϕϕ+<的对称轴完全相同，则ϕ=
A ．－4π
B ．4π
C ．2π
D ．－2
π 12．已知函数31[0,]32()21(,1]1
2x x f x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，函数()3(0)2a g x ax a =-+>，若对任意1[0,1]x ∈，总存在21[0,]2
x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是
A ．(,4]-∞-
B ．(,6]-∞
C ．[4,)-+∞
D ．[6,)+∞ 第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。
第
22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向2(1,2),(,1)a x x b x =-+=，a ∥b ，则x= 。
14．三名学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为 。
15．已知实数x ，y ，满足约束条件200,0x y x y z x y y k +≥⎧⎪-≤=+⎨⎪≤≤⎩
，若z 的最大值为12，则z 的最小
值为 。
16．已知数列{a n }中11*1221222,1,(),42n n n n n n n
a a a a a a n N S a a ++++⎧≥⎪⎪===∈⎨⎪<⎪⎩ 是数列{a n }的前n 项和，
则S 2015= 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分l2分）
在△ABC 中，a 、b ．c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且有（2c 一a ）cosB=bcosA 。
（I ）求角B 的值：
（Ⅱ）若△ABC 的面积为
b=7，求a+c 的值
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 、F 分别是BB1、AA 1、AC 的中点
，
11,2AC BC AA AB ==
=
（Ⅰ）求证：CD ∥平面BEF
（Ⅱ）求平面ACD 与平面A 1C 1D 所成二面角的大小
19．（本小题满分12分）
据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的
学生就
其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图。
（I ）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需
时间不少于1小时的学生可申请在校内住
宿，请根据抽样数据估计该校600名新生
中有多少学生可以申请在校内住宿；
（II ）从新入校的学生中任选4名学生，以频率
分布直方图中的频率作为概率，这4名学
生中上学所需时间少于20分钟的人数记为
X ，求X 的分布列和期望．
20．（本小题满分12分）
已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点F （1，0）为定点，且满足
10,.02
PN NM PM PE +== （I ）求动点N 的轨迹E 的方程；
（II ）过点F 且斜率为k 的直线，与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，
使得222CA CB AB +=成立，请说明理由，
21． （本小题满分12分）
已知函数()1(1)2m f x n x x =++
+
（I ）当函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m 的值； （Ⅱ）若0x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：*1111(1)()35(1)
n x n N n n +>+++∈+ 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，在正△ABC 中，点D ．E 分别在边BC, AC 上，且BD =
13BC,CE=13
CA ，AD ，BE 相交于点P ．
求证： （I ）四点P 、D 、C 、E 共圆；
（II ）AP ⊥CP ．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy 中，曲线C l 方程为cos (1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩
为参数，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．C 2的极坐标方程为(cos sin )50ρθθ-+=．
（I ）求曲线C l 的普通方程和C 2的直角坐标系方程； （II ）设P 为曲线C l 上的任意一点，M 为C 2上的任意一点，求|PM|的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a R =-+-∈
（I ）当a=4时，求不等式()f x ≥5的解集；
（II ）若()f x ）≥4对a ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．。