2019探究理数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用含解析
2019版理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( ) A ．一个圆和一条直线 B ．一个圆和一条射线 C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0. 答案：D2．(2018·呼和浩特调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．答案：B3．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， ∵△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a2＋y 2，∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a 212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线．故选D. 答案：D4．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为 ． 解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝yx ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)5．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是 ．解析：由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R， 即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a4且y ≠0)．答案：16x 2a 2－16y 215a 2＝1(x ＞a4且y ≠0)6．(2018·杭州市质检)在平面直角坐标系内，点A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，点P 满足AP →·BP →＝k |PC →|2. (1)若k ＝2，求点P 的轨迹方程；(2)当k ＝0时，若|λAP →＋BP →|max ＝4，求实数λ的值．解析：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →＝(1－x ，－y )． 因为k ＝2，所以AP →·BP →＝2|PC →|2，所以(x ，y －1)·(x ，y ＋1)＝2[(1－x )2＋y 2]， 化简整理，得(x －2)2＋y 2＝1， 故点P 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1. (2)因为k ＝0，所以AP →·BP →＝0， 所以x 2＋y 2＝1，所以|λAP →＋BP →|2＝λ2AP →2＋BP →2 ＝λ2[x 2＋(y －1)2]＋x 2＋(y ＋1)2 ＝(2－2λ2)y ＋2λ2＋2(y ∈[－1,1])． 当2－2λ2>0时，即－1<λ<1，(|λAP →＋BP →|max )2＝2－2λ2＋2λ2＋2＝4≠16，不合题意，舍去； 当2－2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤－1时， (|λAP →＋BP →|max )2＝2λ2－2＋2λ2＋2＝16， 解得λ＝±2.7．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |. (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程． 解析：(1)由题意，得|MP ||MQ |＝5， 即x －2＋y －2x －2＋y －2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为252－32＝8， 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心(1,1)到直线l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得(|3k ＋2|k 2＋1)2＋42＝52，解得k ＝512. 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.B 组——能力提升练1．(2017·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( ) A ．x 2＝4y B ．y 2＝3x C ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：设点P (x ， y )，则Q (x ，－1)． ∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y . 答案：A2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －12＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16＞0，所以动点P 的轨迹是圆． 答案：B3．已知过点A (－2,0)的直线与x ＝2相交于点C ，过点B (2,0)的直线与x ＝－2相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 ．解析：设点M (x ，y )，C (2，m )，D (－2，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －4y ＋2(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝4相切，所以2|m ＋n |m －n 2＋16＝2，所以mn ＝4，又直线AC 与BD 的交点为M ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y x ＋2＝y －m x －2，y x －2＝y －n x ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4yx ＋2，n ＝－4y x －2，所以－16y 2x 2－4＝4，所以点M的轨迹方程为x 24＋y 2＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 2＝1(y ≠0)4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程为 ．解析：设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1，即所求的轨迹方程为x 2a 2＋4y 2b2＝1.答案：x 2a 2＋4y 2b2＝15．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程．解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．6．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围． 解析：(1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝x －2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2， 则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)， 可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23＋m 2m 2＋，所以⎝⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋3m 2＋＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 7．定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4＞|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1，∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k 21＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝＋k 2k 2＋4.∴S△ABC＝2S △AOC＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k 2k 2＋.∵＋4k2k 2＋≤＋4k 2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.8 5，∴△ABC面积的最小值是85，此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.∵2＞。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第四节二次函数的再研究与幂函数含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练α1 2 ，则 k ＋ α＝ ()1．已知幂函数 f(x)＝k ·x 的图像过点 2， 2 1 B ．1A. 23C.2D ．21 2 1 α2 1分析：由幂函数的定义知 k ＝1.又 f 2 ＝ 2 ，因此 2＝2 ，解得 α＝2，进而 k 3＋ α＝ 2.答案： C2．已知幂函数 f(x)＝x n，n ∈{ －2，－ 1,1,3} 的图像对于 y 轴对称，则以下选项正确的是 ()A ． f(－ 2)>f(1)B ．f(－2)<f(1)C ． f(2)＝ f(1)D ．f(－2)>f(－1)分析：因为幂函数 f(x)＝x n 的图像对于 y 轴对称，可知 f(x)＝x n 为偶函数，因此 n ＝－ 2，即 f(x)＝ x－2，则有 f(－ 2)＝f(2)＝14，f(－1)＝f(1)＝1，因此 f( －2)<f(－1)，应选 B. 答案： B3．若幂函数 y ＝ (m 2－ 3m ＋ 3) ·xm 2－m － 2 的图像可是原点，则 m 的取值是 ()A ．－ 1≤ m ≤2B ．m ＝1 或 m ＝2C ． m ＝ 2D ．m ＝1分析：由幂函数性质可知 m 2－＋＝，∴＝ 2 或 ＝ 又幂函数图像可是原3m 3 1 mm 1.点，∴m 2－m － 2≤ 0，即－ 1≤m ≤2，∴m ＝2 或 m ＝1.答案： B4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，假如 a ＞ b ＞c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则它的图像是 ()。
2019一轮北师大版(理)数学教案 第2章 第8节 函数与方程含解析
第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b) D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )【导学号：57962074】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：57962075】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0， ∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]【导学号：57962076】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．(1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．(2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图像是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．][规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5【导学号：57962077】A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．2 [f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )， 3分所以函数图像关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧ a ＞1，f (6)＜2，f (10)＞2，8分 如图，即⎩⎨⎧ a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.【导学号：57962078】(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图像公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．[易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程学案理(含解析)新人教A版
第八节函数与方程2019考纲考题考情1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。
(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点。
函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x )＝0的实根。
2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。
一、走进教材1．(必修1P 92A 组T 2改编)已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 88例1改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 由f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性 含解析
课时作业A组——基础对点练1.函数f(x)的导函数f′(x)的图像是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与f(3)的大小关系为()A．f(0)<f(3)B．f(0)>f(3)C．f(0)＝f(3)D．无法确定解析：由题意知f(x)的图像是以x＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B.答案：B2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是() A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，∴0<1x<1，∴k≥1，故选D.答案：D3．已知函数f(x)＝e x－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图像大致为()解析：依题意得f′(x)＝e x－2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，f(x)＞f(ln 2)＝1－2ln 2；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，因此对照各选项知选C.答案：C4．函数f (x )＝sin x 2e x 的大致图像是( )解析：当x ＝－π2时，f (－π2)＝排除D ；当x ＝－π4时，f (－π4)＝＜0，排除C ；又f ′(x )＝cos x －sin x 2e x ＝2cos (x ＋π4)2e x ，当x ∈(0，π4)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(π4，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A.答案：A5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，322]B ．(0，322)C ．(－∞，322)D ．(－∞，322]解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈[1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤(3x ＋6x )min ，又3x ＋6x ≥23x ·6x ＝62，当且仅当3x ＝6x ，即x ＝2时取“＝”，所以4a ≤62，即a ≤322.答案：C6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( )A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2)。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第十节第一课时利用导数研究函数的单调性含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第十节第一课时利用导数研究函数的单调性含解析 1 / 11 / 1
课时作业
A 组 —— 基础对点练
1.函数
f(x)的导函数 f ′(x)的图像是如下图的一条直线 l ，l 与
x 轴的交点坐标为 (1,0)，则 f(0)与 f(3)的大小关系为 ( )
A ． f(0)<f(3)
B ．f(0)>f(3)
C ． f(0)＝ f(3)
D ．没法确立
分析：由题意知 f(x)的图像是以 x ＝1 为对称轴，且张口向下的抛物线，所以 f(0)
＝ f(2)>f(3)．选 B.
答案： B
2．若函数 f(x)＝ kx －ln x 在区间 (1，＋∞ )单一递加，则 k 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－ 2]
B ．(－∞，－ 1]
C ．[2，＋∞ )
D ．[1，＋∞ )
1
1
分析：依题意得 f ′(x)＝k －x ≥0 在(1，＋∞ )上恒建立，即 k ≥ x 在 (1，＋∞ )上恒
1
建立，∵ x>1，∴ 0<x <1，∴ k ≥1，应选 D.
答案： D
3．已知函数 f(x)＝ e x －2x － 1(此中 e 为自然对数的底数 )，则 y ＝f(x)的图像大概为
( )
分析：依题意得 f ′(x)＝e x －2.当 x ＜ln 2 时，
f ′(x)＜ 0， f(x)是减函数， f(x)＞f(ln 2) ＝1－ 2ln 2 ；当 x ＞ln 2 时， f ′(x)＞0， f(x) 是增函数，所以比较各选项知选 C.
答案： C
4．函数 f(x)＝ sin x ) x 的大概图像是 ( 2e。
2019北师大版同步优化探究理数练习：第二章 第七节 函数的图像含解析
课时作业A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝Error!，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝Error!，∴g (x )的图像是选项D 中的图像．答案：D2．如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D.答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为1x ( )解析：函数f (x )＝(x －)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当1x x ＝π时，f (x )＝(π－)cos π＝－π＜0，排除选项C ，故选D.1π1π答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝lnx －x 2，则y ′＝－2x ，当x ∈(0，)时，y ′＝－2x ＞0，1x 221x y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos2xxD ．f (x )＝cos xx解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D.答案：D6．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图像对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图像向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D7．函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( ) A．3 B．2C．1 D．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2) 2＋1的图像，如图所示．∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图像的交点个数为2.故选B.答案：B8．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：作出函数y＝log2(x＋1)的图像，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D (1,1)，结合图像可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.答案：C9．已知函数f (x )＝|2x －m |的图像与函数g (x )的图像关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[，2]B ．[2,4]12C ．(－∞，]∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)12解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|()x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与12g (x )＝|()x －m |的图像如图1或图2所示，易知Error!解得≤m ≤2；当f (x )在1212[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|()x －m |的图像如图3所示，由图像12知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，≤m ≤2，即实数m 的取值12范围为[，2]．12答案：A10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是 ．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝x －1＋m ；函数y ＝x －1的图像如所示，(12)(12)则要使其图像不经过第一象限，则m ≤－2.答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝Error!的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝ .解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝logc的图像过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝(x ＋19)，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋＝.1313133答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是 ．解析：f (x )的图像如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ，y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点，故m 的取值范围为(－1,0)．答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝Error!则不等式－≤f (x )≤的解集为．1313解析：函数f (x )＝Error!和函数g (x )＝±的图像如图所示．当x <0时，是区间13(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－≤f (x )≤的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．1313答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组——能力提升练1．函数y ＝的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐x ＋2x ＋1标之和等于( )A ．－6 B ．－4C ．－2D ．－1解析：依题意，注意到函数y ＝与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)均是奇函数，1x因此其图像均关于原点成中心对称，结合图像不难得知，它们的图像共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y ＝与函数1x y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)的图像同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y ＝1＋＝、y ＝－2sin π(x ＋1)＋1＝2sin πx ＋1)仍有2对关于点(－1,1)对1x ＋1x ＋2x ＋1称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y ＝的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐x ＋2x ＋1标之和等于－4，因此选B.答案：B2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图像在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴＞0，－＞0，可得c ＞0，b ＜0.c3a 2b3a 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( )A ．3c ＞3aB ．3c ＞3bC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图像，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0.由y ＝3x 的图像可得0＜3c ＜1＜3a .∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2.答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图像如图所示，观察函数的图像，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A. B.(0，12)(0，12]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝x －1，当3434a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤×2－1，即a ≤，所以a 的取值范围是，故选B.3412(0，12]答案：B6．若函数f (x )＝的图像如图所示，则m 的取值范围为( )(2－m )xx 2＋m A ．(－∞，－1) B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图像过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，则f ′(x )＝＝≥0，(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ，∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D.答案：D7．设函数f (x )＝若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝Error!关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝.解析：函数f (x )的图像如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0.答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，17x ＋33x ＋2…，(x m ，y m )，则(x i ＋y i )＝.m∑i ＝1解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－＝－17的图像也关17x ＋33x ＋21x ＋2于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝×(－17)m2m2×2＝－17m ，∴(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .m∑i ＝1答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )1|x |－1的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图像关于y 轴对称．④y ＝f (x )的图像与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是 ．解析：函数f (x )＝＝Error!，其图像如图所示，由图像可1|x |－1知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图像关于y 轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第九节 导数概念及其运算 Word版含解析-数学备课大
课时作业 A 组——基础对点练1．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2D ．1解析：∵y ′＝x ′·e x －1＋x ·(e x －1)′＝(1＋x ) e x －1，∴曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.故选C. 答案：C2．(2018·济南模拟)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[2xf ′(1)]′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x ， ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1. 答案：B3．函数f (x )＝e x sin x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π6 解析：因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1.所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4，故选C. 答案：C4．曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是x ln 2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12 B ．2 C ．ln 2D ．ln 12解析：由题知，y ′＝a x ln a ，y ′|x ＝0＝ln a ，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a －y ＋1＝0，∴a ＝12，故选A. 答案：A5．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23 B ．－43 C.43D.34解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 答案：D6．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A ．4 B ．5 C.254D.132解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8 (x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54， ∴所求面积S ＝12×54×10＝254. 答案：C7．(2018·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：y′＝2(x－1)－2x(x－1)2＝－2(x－1)2，y′|x＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得|2×2＋4－b|5＝25，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.答案：B8．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f (x)在(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1 B．y＝xC．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3解析：法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，∴f′(x)＝4x－1，∴f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f′(1)＝－3，即f′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.答案：C9.(2018·潍坊模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1 B．0C．2 D．4解析：由题意知直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图可得f(3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，∴k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，故选B.答案：B10．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.答案：D11．若直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln x 相切，且a ∈(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln x 相切的切点为(x 0，a ln x 0)，则在该点处曲线的切线方程为y －a ln x 0＝a x 0(x －x 0)，即y ＝ax 0x ＋a ln x 0－a ，又该直线与直线y＝x ＋1重合，所以a ＝x 0且a ln x 0－a ＝1，即a ln a －a ＝1.构造函数g (a )＝a ln a －a －1，则g ′(a )＝ln a ，当a ＞1时，g ′(a )＞0，g (a )单调递增，又g (3)＝3ln 3－4＜0，g (4)＝4ln 4－5＝8 ln 2－5＞0，所以函数g (a )在(1，＋∞)内唯一的零点在区间(3,4)内，所以n ＝3. 答案：C12．(2018·石家庄模拟)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( ) A ．ln 2 B ．－ln 2 C.ln 22D ．－ln 22解析：对f (x )＝e x ＋a ·e －x 求导得f ′(x )＝e x －a e －x ，又f ′(x )是奇函数，故f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1，故有f ′(x )＝e x －e －x ，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝32，解得e x 0＝2或e x 0＝－12(舍去)，所以x 0＝ln 2. 答案：A13．如图，曲线y ＝3525－x 2(|x |≤5)在点T (－3，125)处的切线与x 轴交于点P ，点T 在x 轴上的射影为点Q ，则|PQ |＝ .解析：因为y ′＝35×－x 25－x 2，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝－3＝920，切线方程为y－125＝920(x ＋3)，令y ＝0，得x ＝－253，所以P (－253，0)，则|PQ |＝－3＋253＝163. 答案：16314．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为 ．解析：y ′＝3ln x ＋1＋3＝3ln x ＋4，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －315．(2018·合肥市质检)已知直线y ＝b 与函数f (x )＝2x ＋3和g (x )＝ax ＋ln x 分别交于A ，B 两点，若|AB |的最小值为2，则a ＋b ＝ .解析：设点B (x 0，b )，欲使|AB |最小，曲线g (x )＝ax ＋ln x 在点B (x 0，b )处的切线与f (x )＝2x ＋3平行，则有a ＋1x 0＝2，解得x 0＝12－a ，进而可得a ·12－a ＋ln 12－a ＝b ①，又点A 坐标为(b －32，b )，所以|AB |＝x 0－b －32＝12－a －b －32＝2 ②，联立方程①②可解得，a ＝1，b ＝1，所以a ＋b ＝2. 答案：216．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，若函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图像相切，则m 的值为 ．解析：易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x ，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R)的图像相切于点P (x 0，y 0),从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧g ′(x 0)＝2x 0＋m ＝x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 20＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－m ＝3.答案：－1或3B 组——能力提升练1．已知函数g (x )＝sin x ，记f (0)＝g (x )＝sin x ，f (1)＝(sin x )′＝cos x ，f (2)＝(cos x )′＝－sin x ，…依次类推，则f (2 019)＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin xD ．－cos x解析：由题意得f (3)＝－cos x ，f (4)＝sin x ，f (5)＝cos x ， 周期为4.∴f (2 019)＝f (3)＝－cos x ，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝e x －2ax ，g (x )＝－x 3－ax 2.若不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′(x 1)＝g ′(x 2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,3) B ．(－6,0) C ．[－2,3]D ．[－6,0]解析：依题意，知函数f ′(x )与g ′(x )值域的交集为空集，∵f ′(x )＝e x－2a ＞－2a ，g ′(x )＝－3x 2－2ax ≤a 23，∴a 23≤－2a ，解得－6≤a ≤0.答案：D3．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上解析：f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，由题意知4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B. 答案：B4．已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N 的图像与直线x ＝1交于点P ，若图像在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为( ) A ．－1B ．1－log 2 0132 012C ．－log 2 0132 012D ．1解析：由题意可得点P 的坐标为(1,1)，f ′n (x )＝(n ＋1)·x n ，所以f n (x )图像在点P 处的切线的斜率为n ＋1，故可得切线的方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以切线与x 轴交点的横坐标为x n ＝nn ＋1，则log 2 013x 1＋log 2013x 2＋…＋log 2013x 2 012＝log 2013(x 1x 2…x 2 012)＝log 2013(12×23×34×…×2 0122 013)＝log 2 01312 013＝－1.故选A. 答案：A5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx ，它们的图像在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x ) C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图像在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －bx 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x 2＝－(x －1)22x 2，因为x >1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B. 答案：B6．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝ . 解析：令t ＝e x，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2. 答案：27．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．解析：y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，所以b ＝1，故P (1,1)．答案：(1,1)8．已知函数f (x )＝1－2ln x x 2，若对任意的x 1，x 2∈(0，1e ]，且x 1≠x 2，|f (x 1)－f (x 2)x 21－x 22|＞k x 21·x 22恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 解析：由对任意的x 1，x 2∈(0，1e ]，且x 1≠x 2，|f (x 1)－f (x 2)x 21－x 22|＞kx 21·x 22，得|f (x 1)－f (x 2)1x 21－1x 22|min ＞k ，令g (1x 2)＝f (x )，x ∈(0，1e ]，则g (x )＝x ＋x ln x ，x ∈[e 2，＋∞)，g ′(x )＝2＋ln x ≥4，又|f (x 1)－f (x 2)1x 21－1x 22|＝|g (1x 21)－g (1x 22)1x 21－1x 22|表示曲线y ＝g (x )在[e 2，＋∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值，则|f (x 1)－f (x 2)1x 21－1x 22|＞4，则k ≤4，则实数k 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点(2，－2)的曲线的切线方程． 解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.11．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解析：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得，x 21＋⎝⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. 因为P 在第一象限，所以所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第七节 函数的图像 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥1x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≤1x ，x ＞0，∴g (x )的图像是选项D 中的图像．答案：D2．如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D. 答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln |x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x －2x ＞0， y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22x B ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xx D ．f (x )＝cos xx解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D.答案：D6．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的图像对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图像向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.答案：D7．函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图像，如图所示．∵f(2)＝2ln 2＞g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图像的交点个数为2.故选B.答案：B8．如图，函数f(x)的图像为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}解析：作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D (1,1)，结合图像可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C. 答案：C9．已知函数f (x )＝|2x －m |的图像与函数g (x )的图像关于y 轴对称，若函数f (x ) 与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围 是( ) A ．[12，2]B ．[2,4]C ．(－∞，12]∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与 g (x )＝|(12)x －m |的图像如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图3所示，由图像知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是 ． 解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图像如所示，则要使其图像不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x ＞0的图像如图所示，则a ＋b ＋c＝ .解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图像过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是 ．解析：f (x )的图像如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点， 故m 的取值范围为(－1,0)． 答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为 ．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图像如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组——能力提升练1．函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．－1解析：依题意，注意到函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)均是奇函数，因此其图像均关于原点成中心对称，结合图像不难得知，它们的图像共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)的图像同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y ＝1＋1x ＋1＝x ＋2x ＋1、y ＝－2sin π(x ＋1)＋1＝2sin πx ＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sinπx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图像在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减， (x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( ) A ．3c ＞3a B ．3c ＞3b C ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图像，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图像可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图像如图所示，观察函数的图像，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2) C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图像过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立， 则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D7．设函数f (x )＝若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎨⎧lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝ . 解析：函数f (x )的图像如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝ .解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③y ＝f (x )的图像关于y 轴对称． ④y ＝f (x )的图像与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中，结论正确的序号是 ．解析：函数f(x)＝1|x|－1＝⎩⎨⎧1x－1，x≥1－x－1，x＜0，其图像如图所示，由图像可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图像关于y轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。
2019北师大版同步优化探究理数练习：第二章 第一节 函数及其表示含解析
课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x解析：在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()解析：A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y 值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 答案：A5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝{ 3x －b ，x <1，x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，解得b ＝12.故选D.答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝－x解析：对于A ，f (x )＝x ＋1，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )＝2x ＋2，A 不满足；对于B ，f (x )＝x －|x |，f (2x )＝2x －|2x |＝2f (x )，B 满足；对于C ，f (x )＝|x |，f (2x )＝2|x |＝2f (x )，C 满足；对于D ，f (x )＝－x ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，D 满足．故选A. 答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)． 答案：B10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1， 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为 ． 解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝ .解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是 ．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1－log 2x ，x ＞0，若|f (a )|≥2，则实数a的取值范围是 ．解析：当a ≤0时，1－a ≥1,21－a ≥2，所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0＜a ≤12或a ≥8.综上，实数a 的取值范围是(－∞，12]∪[8，＋∞)． 答案：(－∞，12]∪[8，＋∞)B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝{ 2e x －1，x ＜x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))＜2的解集为( ) A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2) C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B2．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋xB.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都 有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －4)，xe x ，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 315＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ．4B ．－2C ．4或－12 D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B11．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确．②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3， ∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴④错误．故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是 ．解析：由题意得⎩⎨⎧x ≤0，x2＋1≥－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]13．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎨⎧ lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为 ．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：任意a ，b ∈R ，都有3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝ .解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋m ＝4k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2 017－1＝4 033.答案：4 033。
2019年试题同步优化探究理数 北师大版 第二章 第一节 函数及其表示
课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞、－3]∪[1、＋∞)D．(－∞、－3)∪(1、＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0、解得x＞1或x＜－3、所以f(x)的定义域为(－∞、－3)∪(1、＋∞)．答案：D2．下列各组函数中、表示同一函数的是()A．f(x)＝x、g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2、g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2、g(x)＝|x|D．f(x)＝0、g(x)＝x－1＋1－x解析：在A中、定义域不同、在B中、解析式不同、在D中、定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}、N＝{y|0≤y≤2}、函数f(x)的定义域为M、值域为N、则f(x)的图像可以是()解析：A项、定义域为[－2,0]、D项、值域不是[0,2]、C项、当x＝0时有两个y 值与之对应、故选B.答案：B4．设f、g都是由A到A的映射、其对应法则如下：映射f的对应法则则f [g (1)]的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由映射g 的对应法则、可知g (1)＝4、由映射f 的对应法则、知f (4)＝1、故f [g (1)]＝1. 答案：A5．已知f (x )是一次函数、且f [f (x )]＝x ＋2、则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b 、则由f [f (x )]＝x ＋2、可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2、即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2、∴k 2＝1、kb ＋b ＝2、解得k ＝1、b ＝1、则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝{ 3x －b ，x <1，x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4、则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b .当52－b <1、即b >32时、3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4、解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1、即b ≤32时、解得b ＝12.故选D.答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0、则实数a 的值等于( )A．－3 B．－1C．1 D．3解析：由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0、∴f(a)＋2＝0.①当a＞0时、f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；②当a≤0时、f(a)＝a＋1、∴a＋1＋2＝0、∴a＝－3.答案：A8．下列函数中、不满足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝|x| D．f(x)＝－x解析：对于A、f(x)＝x＋1、f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2、A不满足；对于B、f(x)＝x－|x|、f(2x)＝2x－|2x|＝2f(x)、B满足；对于C、f(x)＝|x|、f(2x)＝2|x|＝2f(x)、C满足；对于D、f(x)＝－x、f(2x)＝－2x＝2f(x)、D满足．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)、则()A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)解析：因为f(x)＝2x＋1、所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]、所以1≤x－1≤3、即2≤x≤4、故f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．答案：B10．某学校要召开学生代表大会、规定各班每10人推选一名代表、当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么、各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析：取特殊值法、若x ＝56、则y ＝5、排除C 、D ；若x ＝57、则y ＝6、排除A 、选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0、函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )、则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞、－2] B ．[－2、－1] C ．[－1,0)D ．(－∞、0)解析：当a <0时、1－a >1,1＋a <1、所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1、f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1、 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0、解得－2≤a ≤－1、所以a ∈[－2、－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3、g (x ＋2)＝f (x )、则函数g (x )的表达式为 ． 解析：令x ＋2＝t 、则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3、所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3、所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1、若f (－2)＝2、则f (2)＝ .解析：因为f (－2)＝2、所以－32a ＋2b ＋2－1＝2、即32a －2b ＝－1、则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是 ．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2、∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1－log 2x ，x ＞0、若|f (a )|≥2、则实数a的取值范围是 ．解析：当a ≤0时、1－a ≥1,21－a ≥2、所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时、由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2、所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2、解得0＜a ≤12或a ≥8.综上、实数a 的取值范围是(－∞、12]∪[8、＋∞)． 答案：(－∞、12]∪[8、＋∞)B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝{ 2e x －1，x ＜x 3＋x ，x ≥1、则f (f (x ))＜2的解集为( ) A ．(1－ln 2、＋∞) B ．(－∞、1－ln 2) C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时、f (x )＝x 3＋x ≥2、当x ＜1时、f (x )＝2e x －1＜2、所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1、即2e x －1＜1、解得x ＜1－ln 2、所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞、1－ln 2)、故选B.答案：B2．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数、我们称为满足“倒负”变换的函数、下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：对于①、f (x )＝x －1x 、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )、满足；对于②、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )、不满足；对于③、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )、满足．综上可知、满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x 、则f (x )的表达式为( ) A.21＋x B.21＋x 2C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t 、则x ＝1－t1＋t 、代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x 、得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t 、故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1、且对任意x 、y ∈R 都 有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2、则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0、则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0、则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2、将f (0)＝1、f (1)＝2代入、可得f (x )＝1＋x 、所以f (2 017)＝2 018.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －4)，xe x ，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2、则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得、当x >2时、f (x )＝f (x －4)、故其周期为4、f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4、－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10、＋∞)D ．(10、＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)、解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)、解得x >10、故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2、∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 315＝115、故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12、则实数a ＝( )A ．4B ．－2C ．4或－12 D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥－x ln (1－x )＋x 2，x <0、若f (－a )＋f (a )≤2f (1)、则实数a的取值范围是( ) A ．(－∞、－1]∪[1、＋∞) B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[－1,1]解析：若x >0、则－x <0、f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )、同理可得x <0时、f (－x )＝f (x )、且x ＝0时、f (0)＝f (0)、所以f (x )为偶函数．当x ≥0时、易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数、所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)、即f (a )≤f (1)、亦即f (|a |)≤f (1)、则|a |≤1、解得－1≤a ≤1、故选D. 答案：D10．已知实数a ≠0、函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )、则a 的值为( ) A ．－32 B ．－34 C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时、1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a 、解得a ＝－32、不合题意；当a <0时、1－a >1,1＋a <1、由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a 、解得a ＝－34、所以a 的值为－34、故选B. 答案：B11．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)、则m 叫作离实数x 最近的整数、记作{x }、即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R 、值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④ 解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12、∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1、 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12、 ∴①正确．②∵3－12＜3.4≤3＋12、∴{3,4}＝3、 ∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4、 ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12、∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0、∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12、∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0、∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14、 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14、 ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R 、值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12、∴④错误．故选B.答案：B12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是 ．解析：由题意得⎩⎨⎧x ≤0，x2＋1≥－1、或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2、即－4≤x ≤2、即不等式的解集为[－4,2]． 答案：[－4,2]百度文库：精选试题仔细审题、认真作答 13．已知函数f (x )的定义域为实数集R 、任意x ∈R 、f (x －90)＝⎩⎨⎧ lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为 ．解析：令t ＝x －90、得x ＝t ＋90、则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2、f (－100)＝－(－100＋90)＝10、所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：任意a 、b ∈R 、都有3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )、且f (1)＝1、f (4)＝7、则f (2 017)＝ .解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m 、易验证f (x )＝kx ＋m 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 由f (1)＝1、f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋m ＝4k ＋m ＝7、由此解得k ＝2、m ＝－1、故f (x )＝2x －1、f (2 017)＝2×2 017－1＝4 033.答案：4 033。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第2章 第8节 函
第八节函数与方程[考纲传真](教师用书独具)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(对应学生用书第27页)[基础知识填充]1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点所似值的方法叫作二分法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系[(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4)D ．(4，＋∞)B [易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B ．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．] 4．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)·f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.](对应学生用书第28页)(1)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2018·北京东城区综合练习(二))已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝________.(1)C (2)5 [(1)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C ．(2)∵f ′(x )＝1x ＋2＞0，x ∈(0，＋∞)，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，∴f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k＝5.]A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)(2)函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．(1)B(2)存在[(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．](1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________.【导学号：79140061】(1)C (2)3 [(1)由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x ＞0)，y ＝ln x (x ＞0)的图像，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14， 综上，f (x )有3个零点．][跟踪训练] (1)函数f (x )＝0.9x －221x 的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(2)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(1)B (2)B [(1)因为f (x )＝0.9x－221x ，则函数f (x )为减函数，值域为R ，所以函数f (x )的图像必与x 轴有一个交点，即方程0.9x －221x ＝0有一解．(2)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．](1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )＜0＜f (b ) B ．f (b )＜0＜g (a ) C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)A (2)(3，＋∞) [(1)∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，又f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 且f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，∴g ′(x )＝1x ＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0，g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，∴a ＜b ，∴⎩⎨⎧f (b )＞f (a )＝0，g (a )＜g (b )＝0.故选A ． (2)作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c(2)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140062】A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(1)A (2)C [(1)∵e a ＝－a ，∴a ＜0，∵ln b ＝－b ，且b ＞0，∴0＜b ＜1，∵lnc＝1，∴c＝e＞1，故选A．(2)∵函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a －3)＜0，∴0＜a＜3.]。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第五节 指数与指数函数 含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )解析：f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数． 答案：B2．(2018·广州市模拟)设a ＝0.70.4，b ＝0.40.7，c ＝0.40.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解析：∵函数y ＝0.4x 在R 上单调递减，∴0.40.7＜0.40.4，即b ＜c ，∵y ＝x 0.4在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4＜0.70.4，即c ＜a ，∴b ＜c ＜a . 答案：C 3．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )解析：故选C.答案：C4．设x >0，且1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵1<b x ，∴b 0<b x ，∵x >0，∴b >1，∵b x <a x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1，∵x >0，∴a b >1⇒a >b ，∴1<b <a .故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 答案：A则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数，35>25，∴b <c .又∵在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a ，故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )。
数学高考总复习同步优化探究理数(北师大版)练习第二章第八节函数与方程及应用含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·乌鲁木齐模拟)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A ．(－12，0) B ．(0，12) C ．(12，1) D ．(1，32)解析：因为f (12)＝－2＜0，f (1)＝e －1＞0，所以零点在区间(12，1)上．答案：C2．函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0 解析：函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数，就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数，变形为2x 6＝x 4＋1，显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时，等价于2x 2＝1＋1x 4，令g (x )＝2x 2，h (x )＝1＋1x 4，作出函数g (x )和h (x )的图像如图所示，数形结合知函数g (x )和h (x )的图像有2个交点，即函数f (x )有2个零点．答案：B3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ， 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 1＝3，x 2＝1.当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )，∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0， 得x 3＝－2－7， x 4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案：D4．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a ＞b ，c ＞d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( ) A ．a ＞c ＞b ＞d B ．a ＞b ＞c ＞d C ．c ＞d ＞a ＞bD ．c ＞a ＞b ＞d解析：f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a ＞b ，c ＞d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图像，如图所示，由图可知c ＞a ＞b ＞d ，故选D.答案：D5．(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．18解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图像，如图，所以有10个零点，故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)D ．[－1,0)解析：当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时， e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D. 答案：D7．(2018·长沙市模拟)对于满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca 的取值范围是( )A ．(1，74]B ．(1,2]C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac ＞0，于是c ＜b 24a ，从而a ＋b －c a ＞a ＋b －b 24aa ＝1＋b a －14(b a )2，对满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0＜b ≤3a ，所以0＜t ≤3.因此－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，故a ＋b －c a ＞2.选D. 答案：D8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(0,3) C ．(0, 2)D ．(0,1)解析：画出函数f (x )的图像如图所示，观察图像可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D. 答案：D9．(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)解析：∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点， ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点， 作出函数y ＝log a x 的图像，如图，∴⎩⎨⎧log a 3＜1log a 5＞1a ＞1，解得3＜a ＜5.故选C.答案：C10．(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.答案：C11．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，当－1≤x＜0时，则方程f(x)－12＝0在(0,6)内的所有根之和为()A．8 B．10C．12 D．16解析：∵奇函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期T＝4.又当x∈[－1,0)时，f(x)＝－log 12(－x)，故f(x)在(0,6)上的函数图像如图所示．由图可知方程f(x)－12＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故选C.答案：C12．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．解析：易知函数f(x)＝e|x|＋|x|为偶函数，故只需求函数f(x)在(0，＋∞)上的图像与直线y＝k有唯一交点时k的取值范围．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝e x＋x，此时f′(x)＝e x＋1＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而当x＞0时，f(x)＝e x＋x＞f(0)＝1，所以要使函数f(x)在(0，＋∞)上的图像与直线y＝k有唯一交点，只需k＞1，故所求实数k的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)13．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像，如图所示：由图可知k ∈(0,1]． 答案：(0,1]14．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是 ．解析：当x ＞0时，令ln x －x 2＋2x ＝0， 得ln x ＝x 2－2x ，作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图像， 显然有两个交点． 当x ≤0时，令4x ＋1＝0， ∴x ＝－14.综上共有3个零点． 答案：315．已知函数f (x )＝|x －a |－2x ＋a ，a ∈R ，若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．解析：令g (x )＝|x －a |＋a ，h (x )＝2x ＋1，作出函数h (x )＝2x ＋1的图像，易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2x ＋1的图像的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图像是由函数y ＝|x |的图像的顶点在直线y ＝x 上移动得到的，且当函数h (x )＝2x ＋1的图像和g (x )＝|x －a |＋a 的图像相切时，切点为(2，1＋2)，(－2，1－2)，切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1，又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222，1＋222)，(1－222，1－222)，故a ＝1±222，结合图像可知a 的取值范围是(－∞，1－222)∪(1＋222，2)．答案：(－∞，1－222)∪(1＋222，2)B 组——能力提升练1．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设函数f (x )＝sgn (1－x )＋12·f 1(x )＋sgn (x －1)＋12·f 2(x )，其中f 1(x )＝x 2＋1，f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，94) B ．(－∞，94] C ．[2，94]D ．(2，94)解析：①若x ＞1，则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.②若x ＝1，则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋12·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.③若x ＜1，则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12·f 2(x )＝x 2＋1.综上，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ＜1，2，x ＝1，2x ＋4，x ＞1，作出其图像如图所示．若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根，令t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m ＞0，得m ＜94.数形结合知1＜f (x )＜2，所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点，又函数g (t )图像的对称轴为t ＝32∈(1,2)，所以需⎩⎨⎧g (1)＞0，g (2)＞0，即⎩⎨⎧1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，得2＜m ＜94，故选D. 答案：D2．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1＜f (x 1)＜x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1＜f (x 1)＜x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.答案：D3．(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜0|12x 2－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( ) A ．[6,11] B ．[3,11] C ．(6,11)D ．(3,11)解析：首先作出函数f (x )的图像(如图)，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图像可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件⎩⎨⎧b ＞01－a ＋b ＜04－2a ＋b ＞0，画出可行域(图略)，计算出目标函数z ＝3a ＋b 的取值范围为(3,11)．答案：D4．(2018·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e ＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10D ．e ＜x 1x 2＜10解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图像(图略)，结合图像不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，故选A. 答案：A5．设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析：∵f (x )＝e x ＋x －2， ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0， 则f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 又f (a )＝0，∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3， ∴g ′(x )＝1x ＋2x .当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0， 得g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0， g (2)＝ln 2＋1＞0，且g (b )＝0，∴1＜b ＜2，即a ＜b ， ∴⎩⎨⎧f (b )＞f (a )＝0，g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A6．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图像过点(－1，4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a 2－a ＋3≤0，解得a ≥2或a ≤－6(舍去)，易知g (0)≥0，即a ≤3，此时2≤a ≤3，满足题意． 答案：D7．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个解析：依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0得，πx 0＝k π，k ∈Z ，即x 0＝k ，k ∈Z.当k 是奇数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33，|k |＜34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1，|x 0|＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33，|k |＜32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 答案：C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x <11x ＋1－1，－1<x <0，设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥14或m ＝－1 B ．m ≥14 C ．m ≥15或m ＝－1D ．m ≥15解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ＜1，1x ＋1－1， －1＜x ＜0.作函数y ＝f (x )的图像，如图所示．函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数． 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15； 当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，可求得m ＝－1. 根据图像可知，当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点． 答案：C9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图像，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图像有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e ，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图像相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln x 0x 20a 1x 0－1＝ln x 0x 0，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图像，结合图像可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图像有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，选B. 答案：B11．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，若方程g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪{1} B ．(－∞，－1] C ．(0,1] D ．[1，＋∞)解析：∵f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，∴f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1，∴f ′(1)＝e ，∴f (0)＝f ′(1)e－1＝1，∴f (x )＝12x 2－x ＋e x ，∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －12x 2＋x ＝e x ， ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x －x ＝0， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a －x ＝x ＝g (ln x )，∴x 2a －x ＝ln x ，∴x 2a ＝x ＋ln x ．当a >0时，只有y ＝x 2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图像相切时，满足题意，作出图像如图所示，由图像可知，a ＝1，当a <0时，显然满足题意，∴a ＝1或a <0，故选A. 答案：A12．已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋1(x >1)，若关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54B ．[0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54C ．(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫54D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧54sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋1(x >1)的大致图像如图所示，又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f (x )＝65和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f (x )＝65有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f (x )＝a (a ∈R)有且仅有2个不同的实数根，由图可知0<a ≤1或a ＝54.故选C.答案：C13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为 ．解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则方程2a ＝|x －a |－1只有一解，即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解，故2a ＋1＝0，所以a ＝－12. 答案：－1214．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为 ．解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图像均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图像(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 答案：1015．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ＜1x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为 ．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1，作出y ＝f (x )，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1的图像，由图像可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案：216．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥2)2(1≤x ＜2)，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图像相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。
2019秋新版高中数学北师大版必修1习题：第二章函数 2.4.1 Word版含解析.docx
§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像课时过关·能力提升1已知二次函数f(x)的图像与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2-1B.f(x)=-x2+1C.f(x)=x2+1D.f(x)=-x2-1答案:B2如何平移二次函数y=2x2的图像可得到二次函数y=2(x-4)2-1的图像()A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度解析:要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案:D3二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,有下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由题图可得f(1)=a+b+c<0;f(-1)=a-b+c>0;∵-=-1,∴b=2a;∵由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0,又f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A4设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列图像中的一个,则a的值为()A.1B.-1C.--D.-解析:从左数,由第一个图像与第二个图像,知函数图像与x轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.又已知x1+x2=-≠0,故可排除.由第三个图像与第四个图像,知一个根为0,另一个根为正数,即x1+x2=->0,又b>0,故a<0,图像开口向下,应为第三个图像.由图像过原点(0,0),得a2-1=0,解得a=-1,或a=1(舍去).答案:B5二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么()A.f(2)>f(3)B.f(2)<f(3)C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定解析:由已知f(4)=f(1)可得,该函数的对称轴为x=,根据二次函数的对称性可得f(2)=f(3).答案:C6函数y=x2-|x|-12的图像与x轴两个交点间的距离为()A.1B.6C.7D.8解析:由y=x2-|x|-12=0,得|x|=4,∴x=±4,∴两交点间的距离为8.答案:D7将函数y=x2+m的图像向下平移2个单位长度,得函数y=x2-1的图像,则实数m=.解析:将y=x2-1的图像向上平移2个单位长度,得函数y=x2+1的图像,则m=1.答案:18将二次函数y=-2x2的顶点移到点(-3,2)后,得到的函数的解析式为.解析:∵二次函数y=-2x2的顶点为(0,0),∴要将其顶点移到(-3,2),只要把图像向左平移3个单位长度,向上平移2个单位长度即可,∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2.答案:y=-2(x+3)2+29当m在区间上时,函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方.解析:①当m-2=0,即m=2时,f(x)=-7,符合题意.②当m-2≠0时,f(x)为二次函数.方法一:函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方,则函数图像开口向下,且最高点(顶点)在x轴下方,有---解得-<m<2.综合①②知m∈-.方法二:函数f(x)=(m-2)x2-3-2m的图像总在x轴下方,则函数图像开口向下,且图像与x轴无交点,有-----解得-<m<2,综合①②知m∈-.答案:-10已知二次函数f(x)在x=4时取最小值-3,且它的图像与x轴的两个交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.分析:因为二次函数f(x)在x=4时取最小值-3,所以顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上.由于图像与x 轴的两个交点间的距离为6,根据图像的对称性就可以得到图像与x轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),如图.解:方法一:设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由已知条件,可得其图像的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得-解得-故所求二次函数的解析式为f(x)=x2-x+.方法二:∵由已知可得,这个函数的图像与x轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),∴设这个函数的解析式为f(x)=a(x-1)·(x-7)(a≠0),把顶点(4,-3)的坐标代入,得-3=a(4-1)(4-7),解得a=.∴这个二次函数的解析式为f(x)=(x-1)·(x-7),即f(x)=x2-x+.方法三:∵由已知条件得,这个函数图像的顶点坐标为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数的解析式为f(x)=a(x-4)2-3(a≠0).将点(1,0)的坐标代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.∴二次函数的解析式为f(x)=(x-4)2-3,即f(x)=x2-x+.11已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:无论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式.(1)证明:与这个二次函数对应的一元二次方程是x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.∵Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16>0,∴方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,∴无论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点.(2)解:由题意可知,x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个不同的实数根,∴x1+x2=2(m-1),x1·x2=m2-2m-3.∵,即,∴---, ①解得m=0或m=5,经检验m=0,m=5都是方程①的解.∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.。
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课时作业
A 组——基础对点练
1．(2018·乌鲁木齐模拟)函数f(x)＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( )
A ．(－1
2
，0)
B ．(0，1
2
)
C ．(1
2，1)
D ．(1，3
2
)
解析：因为f(1
2)＝
－2＜0，f(1)＝e －1＞0，所以零点在区间(1
2
，1)上．
答案：C
2．函数f(x)＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A ．4 B ．2 C ．1
D ．0
解析：函数f(x)＝2x 6－x 4－1的零点个数，就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数，变形为2x 6＝x 4＋1，显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时，等价于2x 2＝1＋1
x
4，令g(x)＝2x 2，h(x)＝1＋
1
x 4
，作出函数g(x)和h(x)的图像如图所示，数形结合知函数g(x)和h(x)的图像有2个交点，即函数f(x)有2个零点．
答案：B
3．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2－3x.则函数g(x)＝f(x)
－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－7，1,3} D．{－2－7，1,3}
解析：当x≥0时，f(x)＝x2－3x，
令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，
得x1＝3，x2＝1.
当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.
令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，
得x3＝－2－7，
x4＝－2＋7＞0(舍)，
∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.
答案：D
4．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
解析：f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图像，如图所示，由图可知c＞a＞b＞d，故选D.
答案：D
5．(2018·德州模拟)已知函数y ＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( ) A ．9 B ．10 C ．11
D ．18
解析：由F(x)＝0得f(x)＝|lg x|分别作f(x)与y ＝|lg x|的图像，如图，
所以有10个零点，故选B. 答案：B
6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，
则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)
D ．[－1,0) 解析：当x ＞0时，f(x)＝3x －1有一个零点x ＝1
3，所以只需要当x ≤0时， e x
＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a.当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.。