三角函数初三数学经典题1

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三角函数初三数学练习题

三角函数初三数学练习题
在初三数学中，三角函数是一个重要的概念。

它不仅在初中阶段的数学学习中经常出现，而且在高中以及大学的数学课程中也是必不可少的内容。

为了帮助同学们更好地掌握三角函数的知识，以下是一些初三数学练习题。

1. 计算下列三角函数的值：
(1) sin 30°
(2) cos 45°
(3) tan 60°
2. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=12cm，求BC 的长度。

3. 已知sin θ = 0.6，0°＜θ＜90°，求cos θ的值。

4. 已知tan α = 1/3，0°＜α＜180°，求sin α的值。

5. 计算下列方程的解：
(1) sin x = 1/2
(2) cos 2x = 0
(3) tan x = √3
6. 在单位圆上，点P的坐标为(√3/2, 1/2)，求∠POA的度数。

7. 若sin α = cos β，0°＜α，β＜90°，求α和β的值。

8. 设sin α = 4/5，α＜180°，求cos α的值。

9. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，tan A = 3/4，求sin B的值。

10. 解方程sin x + cos x = 1。

以上是一些关于三角函数的初三数学练习题。

希望同学们通过认真思考与练习，能够在数学学习中对三角函数有更深入的了解与掌握。

祝大家学业进步！。

初三三角函数试的题目精选

初三三角函数试题精选一．选择题（共10小题）1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．2．（2016?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．3．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．4．（2016?西宁）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm 2B．12cm2C．9cm2D．3cm25．（2016?绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．6．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）7．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.48．（2016?苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m9．（2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米10．（2015?扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③ D．①③二．填空题（共4小题）11．（2016?枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=．12．（2016?新疆）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为m（结果保留根号）．13．（2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．14．（2016?岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米．三．解答题（共1小题）15．（2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．初三三角函数试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．2．（2016?乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，综上，只有C不正确故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．3．（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．4．（2016?西宁）如图，在△ABC 中，∠B=90°，tan ∠C=，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（）A ．18cm2B ．12cm2C ．9cm 2D ．3cm2【分析】先根据已知求边长BC ，再根据点P 和Q 的速度表示BP 和BQ 的长，设△PBQ 的面积为S ，利用直角三角形的面积公式列关于S 与t 的函数关系式，并求最值即可．【解答】解：∵tan ∠C=，AB=6cm ，∴=，∴BC=8，由题意得：AP=t ，BP=6﹣t ，BQ=2t ，设△PBQ 的面积为S ，则S=×BP ×BQ=×2t ×（6﹣t ），S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9，P ：0≤t ≤6，Q ：0≤t ≤4，∴当t=3时，S 有最大值为9，即当t=3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．【点评】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．5．（2016?绵阳）如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．6．（2016?福州）如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．7．（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．8．（2016?苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故选B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．9．（2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE?tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．（2015?扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③ D．①③【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．【解答】解：如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，∵∠AEB=∠D+∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin∠C＞sin∠D，故①正确；cos∠C＜cos∠D，故②错误；tan∠C＞tan∠D，故③正确；故选：D．【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞∠D．二．填空题（共4小题）11．（2016?枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=2．【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=可得答案．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=6，AC=2，∴BC===4，又∵∠D=∠A，∴tanD=tanA===2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．12．（2016?新疆）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为30m（结果保留根号）．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD?sin∠ADB=60×=30（m）．故答案为：30．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．13．（2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为： 4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．14．（2016?岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了100米．【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．【解答】解：根据题意得tan∠A===，所以∠A=30°，所以BC=AB=×200=100（m）．故答案为100．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式三．解答题（共1小题）15．（2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．【分析】过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，根据勾股定理得到结论．【解答】解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，则∠E=90°，∵sin∠DBC=，BD=，∴DE=2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，∴OC==，∴AC=2．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。

初三数学三角函数(含答案)

初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随的增大而增大，cos 随的增大而减小7、正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随的增大而增大，cot 随的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的边和角。

依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。

（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。

用字母i 表示，即i y 。

坡度一般写成1: m 的形式，如i 1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么h + i tan 。

l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向），南偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向），北偏西60° （西北方向）。

铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面米高。

三角函数经典练习题

三角函数复习题一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的选项中只有一个符合题目的要求） 1、△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件2、给出下面四个函数，其中既是区间（0，)2π上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（） A ．x y 2tan = B.x y sin = C. y ＝cos2x D.x y cos = 3、)12cos()12sin(ππ--=x x y ，正确的是() A ．π2=T ，对称中心为）（0,12πB. π=T ，对称中心为）（0,12πC ．π2=T ，对称中心为）（0,6πD ．π=T ，对称中心为）（0,6π4、ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q,则角C 的大小为A.6πB.3πC. 2π D. 23π5、若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、若c Cb B aA cos cos sin ==，则△ABC 是（） A ．等边三角形 B ．有一个内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角是30°的等腰三角形 8、设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是 A.sin2α＞sin αB.cos2α＜ cos αC.tan2α＞tan αD.cot2α＜cot α9、若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ如下图所示，则ω和ϕ的取值是 A.ω=1，ϕ=3π B.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6π10、如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形11、已知y =f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π）时，f （x ）=sin2x ，则f （x ）=21的解集为 A.{x |x =2k π+3π，k ∈Z } B.{x |x =2k π+3π5，k ∈Z } C.{x |x =2k π±3π，k ∈Z }D.{x |x =2k π+（－1）k 3π，k ∈Z }12、关于函数f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21，有下面四个结论，正确的是（） ①f （x ）是奇函数 ②当x ＞2003时，f （x ）＞21恒成立③f （x ）的最大值是23 ④f （x ）的最小值是－21其中正确结论的个数为 A.1B.2C.3D.413、函数xxx f cos 2cos 1)(-= （）A.在],2]2,0[πππ、（上递增，在]2,23)23,[ππππ、（上递减B. 在]23,)2,0[πππ、（上递增，在]2,23],2(ππππ、（上递减 C. 在]2,23),2[ππππ、（上递增，在]23,)2,0[πππ、（上递减 D. 在]2,23)23,[ππππ、（上递增，在],2)2,0[πππ、（上递减二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上）14、若方程sin x + cos x =k 在0≤x ≤π上有两解，则k 的取值范围是 .15、函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______.16、当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值是17、设函数())()cos0f x ϕϕπ=+<<。

三角函数练习题目初三

三角函数练习题目初三1.已知直角三角形中一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm。

求其两条直角边上的正弦、余弦和正切值。

解析：已知直角边 a = 3cm、直角边 b = 4cm。

根据三角函数的定义可知：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c余弦(cos) = 直角边b / 斜边c正切(tan) = 直角边a / 直角边b其中，斜边c可以通过勾股定理求得：斜边c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5代入计算得：正弦(sin) = 3 / 5 = 0.6余弦(cos) = 4 / 5 = 0.8正切(tan) = 3 / 4 = 0.75所以，该直角三角形的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75。

2.已知角度θ的正弦值为0.5，求角度θ的余弦值和正切值。

解析：已知正弦(sin) = 0.5，要求余弦(cos)和正切(tan)。

根据正弦函数的定义可得：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c已知正弦(sin) = 0.5，令直角边a = 0.5，斜边c = 1。

根据勾股定理可得：直角边b = √(c² - a²) = √(1² - 0.5²) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866所以，余弦(cos) = 直角边b / 斜边c = 0.866 / 1 = 0.866正切(tan) = 直角边a / 直角边b = 0.5 / 0.866 ≈ 0.577所以，角度θ的余弦值为0.866，正切值为0.577。

3.已知角度α的正切值为2，求角度α的正弦值和余弦值。

解析：已知正切(tan) = 2，要求正弦(sin)和余弦(cos)。

根据正切函数的定义可得：正切(tan) = 直角边a / 直角边b已知正切(tan) = 2，令直角边a = 2，直角边b = 1。

初三数学三角函数(含答案)

则电线杆的高度为 ( A．9 米 B．28 米
)
C． 7 3米
D. 14 2 3 米
19、如图 6,两建筑物的水平距离为 am,从 A 点测得 D 点的俯角为 a,测得 C 点的
俯角为β,则较低建筑物 CD 的高为 ( )
A.a m
B.(a·tanα)m
C. a m tan
D.a(tanα－tanβ)m
24、已知 Rt△ABC 的斜边 AB 的长为 10cm , sinA、sinB 是方程 m(x2－2x)+5(x2+x)+12=0 的两根。（1）求 m 的值（2）求 Rt△ABC 的内切圆的面积
25、如图,△ABC 是等腰三角形,∠ACB=90°,过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E,连结 CE,求 sin∠ACE 的值.
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系： a2 b2 c2 ；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函
数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
铅垂线
视线
A.(cosα,1)
B.(1,sinα) C.(sinα,cosα)
D.(cosα,sinα)
14、如图 4，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，
连结 BD，若 cos∠BDC= 3 ，则 BC 的长是（
5
A、4cm
B、6cm C、8cm
） D、10cm
tan A cotB cot A tanB tan A 1 (倒数)

初中三角函数练习试题和答案解析

初中三角函数练习题及答案一精心选一选1、在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A 的正弦值与余弦值都 A 、缩小2倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、不能确定12、在Rt △ABC 中,∠C=900,BC=4,sinA=54,则AC=A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角,且sinA=31,则A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31,则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中,∠C=900,则下列式子成立的是A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点-sin60°,cos60°关于y 轴对称的点的坐标是A ．32,12B ．-32,12C ．-32,-12D ．-12,-329．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,•若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地,再从B 地向正南方向走200m 到C 地,此时王英同学离A 地A 350m B100 m C150m D 3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒,图145︒30︒BAD C向高楼前进60米到C 点,又测得仰角为45︒,则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地,则A 、C 两地相距．A30海里 B40海里 C50海里 D60海里二细心填一填1．在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=3,则sinB=_____． 2．在△ABC 中,若BC=2,AB=7,AC=3,则cosA=________． 3．在△ABC 中,AB=2,AC=2,∠B=30°,则∠BAC 的度数是______．4．如图,如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B,且BP=2,那么PP ＇的长为____________．不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-,cos15°=624+5．如图,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图,机器人从A 点,沿着西南方向,行了个4错误!单位,到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为___________结果保留根号．7．求值：sin 260°+cos 260°=___________．8．在直角三角形ABC 中,∠A=090,BC=13,AB=12,那么tan B =___________． 9．根据图中所给的数据,求得避雷针CD 的长约为_______m 结果精确的到0.01m ．可用计算器求,也可用下列参考数据求：sin43°≈,sin40°≈,cos43°≈,cos40°≈,tan43°≈,tan40°≈10．如图,自动扶梯AB 段的长度为20米,倾斜角A 为α,高度BC 为___________米结果用含α的三角比表示．第6题图 xO A y B北甲北乙第5题图αBCD第4题图1 211．如图2所示,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树与地面成30°角,•这时测得大树在地面上的影子约为10米,则大树的高约为________米．•保留两个有效数字,2≈,3≈三、认真答一答1,计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒ 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解;注意分母有理化,3 如图1,在∆ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan cos B DAC =∠; 1求证：AC ＝BD2若sinC BC ==121312，,求AD 的长;图1分析：由于AD 是BC 边上的高,则有Rt ADB ∆和Rt ADC ∆,这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解;4如图2,已知∆ABC 中∠=∠C Rt ,AC m BAC =∠=，α,求∆ABC 的面积用α的三角函数及m 表示图2分析：要求∆ABC 的面积,由图只需求出BC;解应用题,要先看条件,将图形抽象出直角三角形来解.5. 甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.6. 从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.分析:求CD,可解Rt ΔBCD 或Rt ΔACD.但由条件Rt ΔBCD 和Rt ΔACD 不可解,但AB=100若设CD 为x,我们将AC 和BC 都用含x 的代数式表示再解方程即可.7、如图,一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ,斜坡BC 的坡度为3:2=ι,路基高AE 为3m,底CD 宽12m,求路基顶AB 的宽B ADCE300 450ArE D BCAH8.九年级1班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度3m CD =,标杆与旗杆的水平距离15m BD =,人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =,人与标杆CD 的水平距离2m DF =,求旗杆AB 的高度．9.如图3,沿AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工;从AC 上的一点B,取∠=︒=ABD BD 145500，米,∠=︒D 55;要使A 、C 、E 成一直S 线,那么开挖点E 离点D 的距离是多少图3分析：在Rt BED ∆中可用三角函数求得DE 长;10 如图8-5,一条渔船某时刻在位置A 观测灯塔B 、C 灯塔B 距离A 处较近,两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l 小时45分钟之后到达D 点,观测到灯塔B 恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里／时,又知在灯塔C 周围海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险分析：本题考查解直角三角形在航海问题中的运用,解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．11、如图,A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处,以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动,距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域;问A 城是否会受到这次台风的影响为什么若A 城受到这次台风的影响,那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长图8-4EA C BD北东12. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器;1请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案;具体要求如下：测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上如果测A 、D 间距离,用m 表示；如果测D 、C 间距离,用n 表示；如果测角,用α、β、γ表示;2根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG 用字母表示,测倾器高度忽略不计;13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行;为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问1需要几小时才能追上点B 为追上时的位置2确定巡逻艇的追赶方向精确到01.︒如图 4图4参考数据：sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..6680919166803939674092316740384668409298684036817060943270603322︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，分析：1由图可知∆ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求;2利用三角函数的概念即求;14. 公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠=︒QPN 30,点A 处有一所中学,AP=160m,一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响如果不受影响,请说明理由；如果受影响,会受影响几分钟NP A Q M.15、如图,在某建筑物AC 上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F 处,看条幅顶端B,测的仰角为︒30,再往条幅方向前行20米到达点E 处,看到条幅顶端B,测的仰角为︒60,求宣传条幅BC 的长,小明的身高不计,结果精确到0.1米16、一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北°方向上．之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近参考数据：°≈925,°≈25, °≈910,°≈217、如图,一条小船从港口A 出发,沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处,然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里结果精确到1海里友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈,cos 400.7660≈,tan 400.8391≈,3 1.732≈．A BC北东P 北403018、如图10,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6km ,仰角是43．1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54,解答下列问题：1火箭到达B 点时距离发射点有多远精确到0.01km2火箭从A 点到B 点的平均速度是多少精确到0.1km/s19、经过江汉平原的沪蓉上海—成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向,测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处,测得68=∠ACB .1求所测之处江的宽度.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈； 2除1的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米,现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC 杆子的底端分别为D,C,且∠DAB=66. 5°．1求点D 与点C 的高度差DH ；2求所用不锈钢材料的总长度l 即AD+AB+BC,结果精确到0.1米．参考数据：°≈,°≈,°≈答案一、选择题1——5、CAADB 6——12、BCABDAB 二、填空题图10ABOCCB图①图②1,352, 3,30°点拨：过点C 作AB 的垂线CE,构造直角三角形,利用勾股定理CE4连结PP ＇,过点B 作BD ⊥PP ＇,因为∠PBP ＇=30°,所以∠PBD=15°,利用sin15°=,先求出PD,乘以2即得PP ＇5．48点拨：根据两直线平行,内错角相等判断6．0,4+B 作BC ⊥AO,利用勾股定理或三角函数可分别求得AC 与OC的长7．1点拨：根据公式sin 2α+cos 2α=18．125点拨：先根据勾股定理求得AC=5,再根据tan ACB AB =求出结果 9．点拨：利用正切函数分别求了BD,BC 的长 10．20sin α点拨：根据sin BCAB α=,求得sin BC AB =•α11．35三,解答题可求得 1． -1； 2． 43．解：1在Rt ABD ∆中,有tan B AD BD=, Rt ADC ∆中,有cos ∠=DAC ADACtan cos B DACAD BD ADACAC BD =∠∴==，故 2由sinC AD AC ==1213；可设AD x AC BD x ===1213，由勾股定理求得DC x =5, BC BD DC x =∴+==121812即x =23 ∴=⨯=AD 122384．解：由tan ∠=BAC BCAC∴=∠=∠=∴=∴=⋅=⋅=BC AC BAC AC m BAC BC m S AC BC m m m ABC tan tan tan tan ，αααα∆12121225解过D 做DE ⊥AB 于E∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45在Rt ΔACB 中,BCAB tgACB =)(4545米=⋅=∴ tg BC AB在Rt ΔADE 中,∠ADE=30°DEAE tgADE =315334530=⋅=⋅=∴tg DE AE )(31545米-=-=∴AE AB CD答:甲楼高45米,乙楼高31545-米. 6 解:设CD=x在Rt ΔBCD 中,CD BCctgDBC =∴BC=x 用x 表示BC 在Rt ΔACD 中,CDACctgDAC = x ctgDAC CD AC 3=⋅=∴∵AC-BC=100 1003=-x x 100)13(=-x ∴)13(50+=x 答:铁塔高)13(50+米. 7、解：过B 作BF ⊥CD,垂足为FBF AE =∴ 在等腰梯形ABCD 中 AD=BC D C ∠=∠ 3:2=iBC AE=3m ∴DE=4.5mAD=BC,D C ∠=∠,︒=∠=∠90DEA CFB ∴∆BCF ≅∆ADE ∴CF=DE=4.5m ∴EF=3m300450Ar E D BC︒=∠=∠90AEF BFE∴BF ∴∴3m CD FB ⊥AB FB ⊥CD AB∴∥CGE AHE∴△∽△CG EG AH EH∴=CD EF FD AH FD BD -=+3 1.62215AH -∴=+11.9AH ∴=11.9 1.613.5(m)AB AH HB AH EF ∴=+=+=+=∠=︒∠=︒∴∠=︒ABD D BED 1455590，，Rt BED ∆ cos cos D DEBDDE BD D =∴=⋅， BD =500∠=︒D 55︒=∴55cos 500DE 716284AD =⨯=∵cos24°15′=ADAB, ∴2830.71cos 24150.9118AD AB ==≈'︒海里.AC=AB+BC=+12=海里. 在Rt△ACE 中,sin24°15′=CEAC, ∴CE=AC·sin24°15′=×=海里. ∵＜,∴有触礁危险;答案有触礁危险,不能继续航行; 11、1过A 作AC ⊥BF,垂足为C︒=∠∴︒=∠30601ABC在RT ∆ABC 中 AB=300km响城会受到这次台风的影A kmAC ABC ∴=∴︒=∠150302AHh hkm kmt h km v km DE kmCD kmad km AC AD AE E ，BF km AD D ，BF 1071071007107100750200,150200==∴==∴=∴==== 使上取在使上取在答：A 城遭遇这次台风影响10个小时;12 解：1在A 处放置测倾器,测得点H 的仰角为α 在B 处放置测倾器,测得点H 的仰角为β（）在中，2Rt HAI AI HI DI HI AI DI m ∆==-=tan tan αβHI m=-tan tan tan tan αββαHG HI IG mn =+=-+tan tan tan tan αββα13解：设需要t 小时才能追上; 则AB t OB t ==2426，1在Rt AOB ∆中, OB OA AB 222=+,∴=+()()261024222t t则t =1负值舍去故需要1小时才能追上; 2在Rt AOB ∆中sin .∠==≈AOB AB OB tt242609231 ∴∠=︒AOB 674. 即巡逻艇沿北偏东674.︒方向追赶; 14 解：1008030sin 1<=︒=∆AP AP APB Rt 中，）在（ ∴会影响N（）在中（米）2100806022Rt ABD BD ∆=-=6023610006022⨯⨯=∴.（分钟）分钟15 解： ∵∠BFC =︒30,∠BEC =︒60,∠BCF =︒90 ∴∠EBF =∠EBC =︒30 ∴BE = EF = 20 在Rt⊿BCE 中, )(3.17232060sin m BE BC ≈⨯=︒⋅= 答：宣传条幅BC 的长是17.3米;16 解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D,得到Rt△ACD 与Rt△BCD．设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,∴CD＝x ·°．在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝60＋x 海里,tan∠A＝CDAD,∴CD＝ 60＋x ·°．∴x·°＝60＋x·°,即 ()22605x x =+．解得,x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近17 解：过B 点作BE AP ⊥,垂足为点E ；过C 点分别作CD AP ⊥, CF BE ⊥,垂足分别为点D F ，,则四边形CDEF 为矩形． CD EF DE CF ∴==，,…………………………3分30QBC ∠=,60CBF ∴∠=．2040AB BAD =∠=，,B CDAFP 北4030cos 40200.766015.3AE AB ∴=⨯≈≈； sin 40200.642812.85612.9BE AB =⨯=≈≈． 1060BC CBF =∠=，,sin 60100.8668.668.7CF BC ∴=⨯=≈≈； cos60100.55BF BC ==⨯=．12.957.9CD EF BE BF ∴==-=-=． 8.7DE CF =≈,15.38.724.0AD DE AE ∴=++=≈．∴由勾股定理,得222224.07.9638.4125AC AD CD =++=≈≈．即此时小船距港口A 约25海里 18 解1在Rt OCB △中,sin 45.54OBCB=1分 6.13sin 45.54 4.375OB =⨯≈km 3分火箭到达B 点时距发射点约4.38km 4分 2在Rt OCA △中,sin 43OACA=1分 6sin 43 4.09(km)OA =⨯= 3分()(4.38 4.09)10.3(km /s)v OB OA t =-÷=-÷≈ 5分答：火箭从A 点到B 点的平均速度约为0.3km/s 19解：1在BAC Rt ∆中,68=∠ACB , ∴24848.210068tan =⨯≈⋅=AC AB 米答：所测之处江的宽度约为248米……………………………………………………3分 2从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的,只要正确即可得分 20 解：1DH=×34=米．2过B 作BM ⊥AH 于M,则四边形BCHM 是矩形． MH=BC=1 ∴AM=AH -MH=1+一l=．在RtAMB 中,∵∠A=° ∴AB=1.23.0cos66.50.40AM ≈=︒米．∴S=AD+AB+BC ≈1++1=米．答：点D 与点C 的高度差DH 为l.2米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0米。

初中三角函数练习题(经典版)

初中三角函数练习题(经典版)1. 已知直角三角形ABC，其中∠B = 90°，BC = 5cm，AC = 12cm，求∠A和∠C的正弦、余弦和正切值。

解答：根据直角三角形的定义，可以得知：∠A = 90° - ∠C根据正弦定理，可以得知：sin(∠A) = AC / hypotenusecos(∠A) = BC / hypotenusetan(∠A) = sin(∠A) / cos(∠A)代入已知数据，可以计算出：sin(∠A) = 12 / 13 ≈ 0.92cos(∠A) = 5 / 13 ≈ 0.38tan(∠A) ≈ 2.41同理，我们可以计算出：sin(∠C) ≈ 0.38cos(∠C) ≈ 0.92tan(∠C) ≈ 0.412. 已知角A的正弦值sin(∠A) = 0.6，∠A为锐角，求∠A的角度。

解答：根据正弦函数的定义，可以得知：sin(∠A) = opposite / hypotenuse代入已知数据，可以得到：0.6 = opposite / 1解方程，可以得到：opposite ≈ 0.6由于∠A为锐角，因此0° < ∠A < 90°通过查表或计算可以得知：∠A ≈ 36.87°3. 已知∠A = 60°，求sin(∠A)和cos(∠A)的值。

解答：根据正弦函数和余弦函数的定义，可以得知：sin(∠A) = opposite / hypotenusecos(∠A) = adjacent / hypotenuse对于∠A = 60°，可以设置一个等边三角形，即opposite = adjacent = hypotenuse，代入已知数据，可以计算出：sin(∠A) = 0.87cos(∠A) = 0.5...（继续列出更多练题）总结：通过解答以上练习题，我们可以更好地理解和掌握三角函数的概念和计算方法，同时加深对直角三角形的认识。

“三角函数”中考试题分类汇编(含答案)

1、锐角三角函数要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（）A ．35B ．43 C ．34 D ．452.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B ＝（）A ．1010 B ．23C ．34D ．310103.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23 B ．32 C ．34 D ．434.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．436.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（）（A ）2 （B ）22 （C ）63（D ）33二、填空题7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ，则AB 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形ACBD的面积= cm 2．答案：60 三、解答题10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE =1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．DABCEFOEC D14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（）A ．32B ．22C ．12D ．33答案：C2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（）A ．2，B ．2)，C ．211)，D ．(121)，答案：C3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米 B ．3 C 83米 D 43米4.（2008·宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（）Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒805.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（）A ．1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 二、填空题7. （2009·荆门中考）104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．答案：238.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是米．（结果保留根号）．答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1sin 60cos302-= ．答案：1410.（2007·济宁中考）计算sin 60tan 45cos30︒-︒︒的值是。

九年级数学三角函数习题

九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（一）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______ 1.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =___ ___.2.支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5 那么旗杆的有为米（用含α的三角比表示）．3.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠墙），小明测得甲与地面的夹角为603米，且顶端距离墙脚3米；丙的坡31。

那么，这三张梯子的倾斜程度（）A.甲较陡 B ．乙较陡 C ．丙较陡 D ．一样陡4.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是（）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米5.如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）αP oy34第4题图︒60︒45A B北北6.（2012•陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）7.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（二）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______一、选择题1．在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有（）。

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．4．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数7．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切，则可与OC 相切；或与OA 相切；或与AB 相切，应分三种情况探讨：①当圆P 与OC 相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC 垂直于OC ，再由OA=+t ，根据菱形的边长相等得到OC=1+t ，由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°，在直角三角形POC 中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ，表示出OC ，等于1+t 列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；②当圆P 与OA ，即与x 轴相切时，过P 作PE 垂直于OC ，又PC=PO ，利用三线合一得到E 为OC 的中点，OE 为OC 的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；③当圆P 与AB 所在的直线相切时，设切点为F ，PF 与OC 交于点G ，由切线的性质得到PF 垂直于AB ，则PF 垂直于OC ，由CD=FG ，在直角三角形OCD 中，利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ，即为FG ，在直角三角形OPG 中，利用OP 表示出PG ，用PG+GF 表示出PF ，根据PF=PC ，表示出PC ，过C 作CH 垂直于y 轴，在直角三角形PHC 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，综上，得到所有满足题意的t 的值．8．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB =+=，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.9．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键．10．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD b ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a C A =，sin sin a b A B=，所以sin sin sin a b c A B C ==．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝；（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ．（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2 【解析】【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．【详解】解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°，∵ABsinC =sinBCA，∴45ABsin o=60sin60o，即2 =3，解得：AB=206.（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，sin AB ACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin，解之得：AB=156．答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，15315+156sin75°6+2．【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．11．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的¶BD 交y轴正半轴于点D，¶BD与BC有交点时，交点为E，P为¶BD上一点．（1）若c＝3，①BC＝，¶DE的长为；②当CP＝2时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①65；②65（3）答案见详解【解析】【分析】（1）①先求出AB ，AC ，进而求出BC 和∠ABC ，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC 是直角三角形，即可得出结论；（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）①如图1，∵c ＝3+2，∴OC ＝3，∴AC ＝3﹣2＝3∵AB ＝6，在Rt △BAC 中，根据勾股定理得，BC ＝12，tan ∠ABC ＝AC AB3 ∴∠ABC ＝60°，∵AE ＝AB ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠BAE ＝60°，∴∠DAE ＝30°， ∴»DE的长为306180π⨯＝π，故答案为12，π；②CP 与⊙A 相切．证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝63， ∴AP 2+CP 2＝108，又AC 2＝（63）2＝108，∴AP 2+PC 2＝AC 2．∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ．而AP 是半径，∴CP 与⊙A 相切．（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．①若点P 在»BE上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ，则PF 的长就是最大距离，如图2，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝245， ∴PF ＝AP ﹣AF ＝65； ②如图3，若点P 在»DE 上，作PG ⊥BC 于点G ，当点P 与点D 重合时，PG 最大．此时，sin ∠ACB ＝PG AB CP BC =，即PG ＝AB CP BC ⋅＝65∴若c ＝10，点P 与BC 距离的最大值是65；（3）当c ＝1时，如图4，过点P 作PM ⊥BC ，sin ∠BCP ＝AB PMBC CD= ∴PM ＝67423737AB CD BC ⋅⨯===423737；当c ＝6时，如图5，同c ＝10的①情况，PF ＝6﹣1213=1213613-，当c ＝9时，如图6，同c ＝10的①情况，PF ＝4285685-，当c ＝11时，如图7，点P 和点D 重合时，点P 到BC 的距离最大，同c ＝10时②情况，DG 18117．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O e 的切线. ②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ．【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥Q ， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =Q ，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q ， 321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠，//OC DB ∴. CE DB ⊥Q ， OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径， CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==. OC CF Q ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解；（2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3，将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2，故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2，即点A （2，0），则点D （4，1）；（2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．14．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）)25880010x x x y x -+=<<；（3）105- 【解析】【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解；（2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BFPF，即：2248805x x x y xy--+=，即可求解；（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解．【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409；（2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=35，设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=25x ，则BD=45-25x ，如下图所示，PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则cosβ=5，sinβ=5，EB=BDcosβ=（45-25x）×5=4-25x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+-=，整理得：y=()25x x8x800x10-+<<；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，55AG=2r，5551+，则：55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE ＝GE ；（2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ；（3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ，在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ．（2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ，则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．。

(完整版)三角函数的运算经典习题

（完整版）三角函数的运算经典习题以下是一些关于三角函数运算的经典题，希望能对大家的研究有所帮助。

题一：正弦函数的运算1. 求解 $\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ 的解集。

2. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题二：余弦函数的运算1. 求解 $\cos \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$ 的解集。

2. 计算 $\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)$。

4. 计算 $\cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

题三：正切函数的运算1. 求解 $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ 的解集。

2. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

3. 简化表达式 $\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

4. 计算 $\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

(完整版)初中三角函数专项练习题及答案

初中三角函数基础检测题得分（一）精心选一选（共３６分）1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=90，BC=4,sinA=54,则AC=( ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（）A 、00〈∠A<300B 、300〈∠A 〈450C 、450〈∠A 〈600D 、600<∠A 〈9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=( ）A 、1：1:2B 、1：1：2C 、1：1:3D 、1：1:226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中,正确的是( ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是（ )A ．(3，12）B ．（-3，12）C ．（—3，-12）D ．(—12，—32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。

6米，则旗杆的高度约为( )A ．6。

9米B ．8。

5米C ．10。

3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地（）（A)350m (B)100 m（C)150m(D ）3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（） A 。

三角函数基本练习题初三

三角函数基本练习题初三三角函数是数学中的重要概念之一，对于初中学生来说，掌握三角函数的基本知识和解题技巧是非常重要的。

本文将针对初三学生，提供一些三角函数的基本练习题，帮助学生进一步巩固和应用所学的知识。

一、填空题1. sin(30°) = ____2. cos(45°) = ____3. tan(60°) = ____4. csc(45°) = ____5. sec(60°) = ____6. cot(30°) = ____思考：这些角度的特殊值都是多少呢？你能利用特殊角的定义来解答吗？二、简单计算题1. 计算 sin(60°) + cos(30°) 的值2. 计算 2tan(45°) - 3cot(60°) 的值3. 计算 csc(30°) × sec(60°) 的值思考：在计算过程中，你是如何应用三角函数的性质和定义的？三、综合应用题1. 一个直角三角形的两个锐角大小分别为α 和β，已知sin(α) = 3/5，cos(β) = 4/5，求sin(α + β) 的值。

2. 在一个直角三角形中，已知斜边长为 10cm，一个锐角的大小为30°，求与该锐角相对的直角边的长度。

3. 已知三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 5cm，tan(∠BAC) =4/3，求 AB 和 AC 的长度。

思考：在解决这些综合问题时，你是如何运用三角函数的基本理论和计算方法的？四、证明题对于初三学生来说，证明题可以帮助学生更深入地理解三角函数的相关属性和性质。

以下是两个简单的证明题，希望能够帮助你进一步掌握三角函数的知识。

1. 证明：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 已知角 x 的终边在第二象限，tan(x) = -3/4，求 sin(x) 和 cos(x) 的值。

三角函数经典练习题

三角函数经典练习题1．在直角三角形中，两锐角为A 、B ，则B A sin sin （B ） A ．有最大值21和最小值0 B ．有最大值21，但无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1，但无最小值提示：A A A B A 2sin 21cos sin sin sin ==，注意到角度的取值范围，所以选B ． 2．已知集合{|cos sin 02}E θθθθπ=<≤≤，，}sin tan |{θθθ<=F ，则F E 是区间（A ） A ．)2(ππ，B ．)434(ππ，C ．)23(ππ，D ．)4543(ππ，提示：即}sin tan |{}454|{θθθπθπθ<<< ，所以选A ． 3．函数22()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（B ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数提示：2222()sin ()sin ()cos ()sin ()cos(2)44442f x x x x x x πππππ=+--=---=-=sin 2x ，所以选B ． 4．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程为（B ）A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．π=x提示：对应的x 的值应该使得函数取得最值，所以选B ．5．函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域为（B ）A ．)656(ππ，B ．5[0)6π，C ．)323(ππ，D ．)326(ππ，提示：sin (1]2x ∈-，再由arccos (1]2u u ∈-，得，所以选B ． 6．下列函数中以2π为周期的函数是（D ） A ．x x y 4cos 2sin += B ．x x y 4cos 2sin = C ．x x y 2cos 2sin += D ．x x y 2cos 2sin =提示：D 中x x x y 4sin 212cos 2sin ==，且用定义可以检验得其余都不满足，所以选D ． 7．在直角坐标系中，曲线C 的方程是x y cos =，将曲线C 沿向量)22(ππ，-=→a 平移，则平移后的曲线方程是（B ） A ．2sin //π+=x y B ．2sin //π+-=x y C ．2sin //π-=x y D ．2sin //π--=x y提示：2/π-=x x ，2/π+=y y ，解出y x 、代入已知式化简得，所以选B ．8．函数)43cos(3)43sin(4ππ+++=x x y 的最小正周期是（C ）A ．π6B ．π2C ．32π D ．3π提示：)43sin(5ϕπ++=x y ，所以选C ．9．已知θ是第三象限的角，且95cos sin 44=+θθ，那么=θ2sin （A ） A ．322 B ．322-C ．32 D ．32-提示：θ2在第一．二象限，∴02sin >θ，由95cos sin 2)cos (sin 22222=-+θθθθ，解得982sin 2=θ，取算术根即得，所以选A ． 10．使得33)32tan(=+πx 成立，且∈x )20[π，的x 个数是（B ） A ．5B ．4C ．3D ．2提示：函数tan(2)3y x π=+的周期为2π，因此在4个周期长的区间里使33)32tan(=+πx 的x 必有4个，所以选B ．11．若α是第三象限的角，且2524sin -=α，则=2tan α（D ）A ．34B ．43 C ．43-D ．34-提示：257cos -=α，ααααααcos 1sin 2cos 22cos2sin22tan 2+==，代入求得，所以选D ．12．当22ππ≤≤-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（D ）A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是21-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1-提示：)3sin(2)(π+=x x f ，且22ππ≤≤-x ，所以选D ．13．函数x x y 2cos )23sin(+-=π的最小正周期是（B ）A ．2π B ．πC ．π2D ．π4提示：用诱导公式．和．差角公式得12cos)122cos(22cos )62cos(πππ+=++=x x x y ，所以选B ．14．已知点P （αααtan cos sin ，-）在第一象限，则在]20[π，内α的取值范围是（B ） A )45()432(ππππ，， B ．)45()24(ππππ，， C ．)2345()432(ππππ，， D ．)43()24(ππππ，，提示：0tan cos sin >>ααα，，且在指定范围内，利用三角函数线分析，选B ．15．若)22(cot tan sin παπααα<<->>，则∈α（B ）A ．)42(ππ--， B ．)04(，π-C ．)40(π，D ．)24(ππ，提示：即在)02(，π-内ααcot tan >，所以选B ．16．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（D ）A ．若βα、是第一象限的角，则βαcos cos >B ．若βα、是第二象限的角，则βαtan tan >C ．若βα、是第三象限的角，则βαcos cos >D ．若βα、是第四象限的角，则βαtan tan >提示：当βα、是第四象限的角时，由已知可设112απα-=k ，212k βπβ=-，其中1102παβ<<<，由诱导公式和正切函数的单调性知11tan tan αβ>，即βαtan tan >，所以选D ．17．函数xx y cos sin 21++=的最大值是（B ）A ．122- B ．122+ C ．221-D ．221--提示：)4sin(221π++=x y ，所以选B ．18．设βα、是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（D ）A 1tan tan <βαB ．2sin sin <+βαC ．1cos cos >+βαD ．2tan )tan(21βαβα+<+提示：20πβα<+<，∴12tan 0<+<βα，=+-+2tan 2)tan(βαβα02tan 12tan 2tan 2)12tan 11(2tan 2222>+-+⨯+=-+-+βαβαβαβαβα，所以选D ． 19．振动量)32sin(3π+=x y 的周期．振幅依次是（A ）A ．34，πB ．34-，πC ．3，πD ．3-，π提示：由概念知振幅为3，由212π得周期，所以选A ．20．若A ．B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P )cos sin sin (cos A B A B --，在（B ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限提示：2π>+B A ，∴022>->>A B ππ，∴A A B cos )2sin(sin =->π，同理B A cos sin >，所以选B ． 21．若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（B ）A ．b a >B ．b a <C ．1<abD ．1>ab提示：)4sin(2πα+=a ，)4sin(2πβ+=b ，由正弦函数的单调性得，所以选B ．22．下列命题中正确的命题是（D ）A ．若点P )0)(2(≠a a a ，为角α终边上的一点，则552sin =αB ．同时满足1sin cos 2αα==， C ．当1||<a 时，)tan(arcsin a 的值恒正 D ．满足条件3)3tan(=+πx 的角的集合是∈=k k x x ，π|{Z }提示：由3)3tan(=+πx ，得33πππ+=+k x ，所以选D ．23．若0cos sin >θθ，则θ在（B ）A ．第一．二象限B ．第一．三象限C ．第一．四象限D ．第二．四象限提示：θsin 与θcos 同号，所以选B ．24．在△ABC 中，若C A B sin sin cos 2=，则△ABC 的形状一定是（C ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形提示：∵π=++C B A ，∴)sin(sin cos 2B A A B +=，展开化简得0)sin(=-B A ，所以选C ．25．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=提示：当0=t 时，有12y =，3=t 时，15≈y ，这只有A 适合，故选A ．26．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+==4tan ,2cos ,2sin πααα则b a 的值为（D ）A ．b a b a +-+11＋ B ．11-++-b a b a C ．ba +1 D ．a b-1提示：已知条件中的角度是欲求式中角度的2倍，能否整体利用已知条件进行变换是解题的一个思考点：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 24cos 4sin 24cos 4sin 4tan 2παπαπαπαπαπα=ααπαπα2sin 12cos 42cos 142sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+.1a b -=27．00165cos 15sin 的值等于（B ） A ．41 B ．41-C ．21D ．21-提示：即00030sin 21)15cos (15sin -=-．28．下列等式正确的是（D ）A ．ααsin )180sin(-=+-oB ．ααπ22sin )(sin -=+C ．)cos()cos(βαβα--=+-D ．απαtan )tan(=-提示：)tan()tan(αππα--=-．29．若ΔABC 内角满足0sin tan <-A A ，0cos sin >+A A ，则角A 的取值范围是（C ） A ．)40(π，B ．)24(ππ，C ．)432(ππ，D ．)43(ππ，提示：已知0)cos 1(tan <-A A ，∴0tan <A ，又0)4sin(2>+πA ，综合得．30．函数)3cos(3)(θ-=x x f 是奇函数，则θ的一个值是（D ） A ．πB ．6π C ．3π D ．2π-提示：x x 3sin 3))2(3cos(3-=--π．31．函数x x y tan cos =)(ππ<<-x 的大致图像是（C ）2232．给出下列三角函数：①)34sin(ππ+n ； ②)62cos(ππ+n ；③)32sin(ππ+n ； ④]6)12cos[(ππ-+n ；⑤)](3)12sin[(Z n n ∈-+ππ；其中函数值为3sin π的是（C ）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤提示：根据诱导公式逐一检验得，或对于n 取一系列特殊值检验．33．若θθπ,53)sin(-=+是第二象限角，φφπ,552)2sin(-=+是第三象限的角，则)cos(φθ-的值是（B ） A ．55- B ．55 C ．25511 D ．5提示：即53sin =θ，552cos -=φ，求得54cos -=θ，55sin -=φ．34．设一个半径为10的水轮，水轮的圆心距水面为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y 与时间x （秒）之间满足函数关系7)sin(++=ϕωx A y ，若0>ω，则其中的（A ）A ．10152==A ，πω B ．10215==A ，πω C ．171522==A ，ωD ．17152==A ，πω提示：A=10，转动的频率为151=f （圈/秒），∴周期151==f T ，而ωπ2=T ，故得．35．函数)0)(cos()sin()(>++=ωφωφωx x x f 以2为最小正周期，且能在x=2时取最大值，则φ的一个值是（A ） A ．43π-B ．45π-C ．47π D ．2π提示：)22sin(21)(φω+=x x f ，且222=ωπ，∴2πω=，反代即得． 36．函数22sin =x 是1tan =x 成立的（D ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件提示：注意角的取值范围变化．37．函数25cos 32cos 21+-=x x y 的最小值为（B ） A ．2B ．0C ．41D ．41-提示：25cos 3)1cos 2(212+--=x x y ，∴2cos 3cos 2+-=x x y ，且1|cos |≤x ． 38．将函数))(6sin(R x x y ∈+=π的图像上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的解析式为（B ） A ．)1252sin(π+=x y B ．)1252sin(π+=x y C ．)122sin(π-=x y D ．)2452sin(π+=x y提示：左移得)64sin(ππ++=x y ，即)125sin(π+=x y ，再将x 变为2x．39．函数44()tan (cos sin )22x xf x x =-的最小正周期是（A ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π提示：()tan cos sin (,)2f x x x x x k k Z ππ==≠+∈，选A ．40．已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．[答案]31-提示：)](sin[)2sin(βααβα++=+．41．设x x t sin cos +=，若0cos sin 33<+x x ，则实数t 的取值范围是___________．[答案]02<≤-t 提示：对已知的第一式平方，变形得21cos sin 2-=t x x ，且22≤≤-t ，而第二式即0)cos sin 1)(cos (sin <-+x x x x ，∴0)211(2<--t t ，即0)3(2>-t t ，∴03<<-t ，或3>t ；综合得02<≤-t ．42．函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小正周期为 __________．[答案]π提示：)32cos(2sin 232cos 212cos 2sin 232cos 21π-=+=-+=x x x x x x y ． 43．关于三角函数的图像，有下列命题：①x y sin =与x y sin =的图像关于y 轴对称； ②)cos(x y -=与x y cos =的图像相同；③x y sin = 与)sin(x y -=的图像关于y 轴对称；④ x y cos =与)cos(x y -=的图像关于轴对称；其中正确命题的序号是 ___________．[答案]②④ 提示：逐一作图判断．44．已知一扇形的中心角为α，其所在的圆的半径为R ．（1）若060α=，R=10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为定值p ，当α为多少弧度时，该扇形有最大的面积？这一最大面积是多少？[解析]计算弧长和扇形面积都存在有由角度和弧度制表示的两种公式，显然，用弧度表示的相应公式易于记忆、便于使用，其核心公式是周长公式(2)C r π=和圆的面积公式21(2)2S r π=，对于一般扇形，作相应的计算只需将两个核心公式中的2π换之以扇形的圆心角的弧度数α即可：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则∵0603πα==，R=10，∴10()3l cm π=，211011010sin 2323S S S ππ∆=-=⨯⨯-⨯弓扇250()3cm π=；（2）∵扇形周长22p R l R R α=+=+，∴2pR α=+，∴222111()422224p p S R ααααα===⨯+++扇，由44αα+≥，得216p S ≤扇，∴当且仅当4αα=，即2α=时，扇形取得最大面积216p .45．已知)35tan(1)35tan(1)]104tan(31[sin )(000---++-+=x x x x x f ，求)50(0f ．[解答]015tan 115tan 1)190tan 31(50sin )50(-+++=f000015tan 45tan 115tan 45tan )10tan 60tan 1(50sin -+++=00000060tan )10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos (50sin ++= =31310cos 50cos 50sin 2310cos 2150cos 50sin 000000+=+=+． 46．已知函数)0(3cos >-=b x b a y 的最大值为23，最小值为21-，求函数bx a y 3sin 4-=的单调区间、最大值和最小正周期．[解答]由已知条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+；，2123b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==；，121b a ∴x y 3sin 2-=，其最大值为2，最小正周期为32π，在区间[326326ππππk k ++-，]（Z k ∈）上是增函数，在区间[322326ππππk k ++，]（Z k ∈）上是减函数． 47．已知,32tan ,31tan -==βα求βαβαβα22cos sin )sin()sin(-+的值． [解答]利用和角、差角公式展开，并借助分式的性质，分子分母同除以βα22cos cos 可得原式＝αβαβαβαβα2222222tan tan tan cos sin )sin (cos )cos sin -=-（＝1)2(1)3132(1)tan tan (1222-=--=--=-αβ．48．已知βαtan ,tan 是方程0342=--mx x 的两个根．（1）证明对于任意实数m ，都有βαβαcos cos 4)cos(=+；（2）若32)tan(2-=+m βα，求实数m 的值． [解答]（1）3tan tan ,4tan tan -==+βαβαm ，3cos sin cos sin ,4cos sin cos sin -=⨯=+∴ββααββααm ，即βαβαβααββαcos cos 3sin sin ,4cos cos cos sin cos sin -==+m ，βαβαβαβαβαcos cos 4sin sin cos cos ,cos cos 4)sin(=-=+m ，即βαβαcos cos 4)cos(=+；（2）由（1）可得m =+)tan(βα，∴m m =-322，即0322=--m m ，∴1-=m ，或23=m ． 49．已知R a a x x x f ∈++=.(2sin 3cos 2)(2为常数）（1）若，R x ∈求)(x f 的单调递增区间；（2）若]20[π，∈x 时，)(x f 最大值为4，求a 的值．[解答]（1）1)62sin(22sin 32cos 1)(+++=+++=a x a x x x f π，当时，226222πππππ+≤+≤-k x k 为单调增函数)(x f ，即当)(63x f k x k 时，ππππ+≤≤-为单调增函数，同理，当为单调减函数时，＋)(326x f k x k ππππ+≤≤；（2）当1,412)(6=∴=++=a a x f x 有最大值时，π．50．如图扇形AOB 的半径为1，中心角为060，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样位置时，矩形PQRS的面积最大？并求出这个最大值． [解答]设∠)60,0((,00∈=x x AOP )，则060cot sin cos ,sin x x RS x PS -==，x x x x x S 20sin 332sin 21sin )60cot sin (cos -=-=∴ 63)2sin(3322cos 1332sin 21-+=--=φx x x ，其中33tan =φ，所以当,9020=+φx 即030=x 时S 有最大值6333-．51．判定函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x y sin sin 1log 221的奇偶性，并求函数的最值．[解析] 判断函数的奇偶性，先看定义域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的关系，为方便运算，常常根据题目本身的特点而转化，为考查)()(x f x f -±是否为0，甚至也可考查)(x f 与)(x f -的比值，观察本题的特点是对数函数，不妨先考查)()(x f x f +-,求最值时若注意到sin x 的有界性以及函数的单调性，则最值易求：函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x f sin sin 1log )(221的定义域为R ,又⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-x x x f x f sinsin 1log )()(221＋.01log sin sin 1log 21221==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x.)(),()(为奇函数即函数x f x f x f -=-∴令],1,1[sin -∈=x t上是单调递减函数，在是单调递减函数]1,1[1,log 221--+==t t u u y ⎪⎭⎫⎝⎛-+=t t y 2211log 则在[-1,1]上是增函数．()()12log 12log 1221max +=-==∴y t 时，当,()()12log 12log 1221min -=+=-=y t 时，当．[点评] （1）函数定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的必要条件；（2）要掌握利用函数单调性求函数最值的方法． 52．已知函数()().,0,2sin225sin21πθθθθ∈+-=f （1）将()θf 表示为θcos 的多项式；（2）求曲线k k y +=θcos 与()θf y =至少有一个公共点的实数k 的取值．（注)sin 4sin 33sin :3θθθ-=．[解析] 这是一道带指令性的三角形问题，欲()θf 为关于θcos 的多项式，必须考虑去分母，这就需要在做出一定变换之后，能够约分，注意到,2225,3225,22θθθθθθθθθ=-=+=+有下列解法：（1）()θθθθθθθθθθsin 225sin 225sin 21212cos 2sin 22cos25sin 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-=f ()θθθsin 2sin 3sin 2121++-θθθθθθθcos sin 22321sin 2cos sin 2sin 4sin 32123+-+-=+-+-=• ();1cos cos 2cos cos 12122-+=+--=θθθθ（2）令()()1,1,,0,cos -∈∈=t t πθθ .122-+=+t t k kt ()()t k t k t ,01122=+--+∴＝-1（舍），或.21+=k t 则－1＜21+k ＜1，－3＜k ＜1．[点评]第（1）问的求解方程不止上面给出的一种，还可以尝试通分后用和差化积变分子的方法去做；而第（2）问也可以由一元二次方程的实根分布理论来指导求解．53．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为()f θ．求：（1）θ的取值范围；（2）()f θ的解析式；（3）()f θ的值域．[解答]（1）BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角的范围为[0,]2π．（2）连BD ，则6DBC π∠=，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt BDE ∆中，6DBE πθ∠=+，2DB =，()2sin()(0)62f ππθθθ∴=+≤≤．（3）()2sin()(0)62f ππθθθ=+≤≤，2663πππθ≤+≤，1sin()126πθ∴≤+≤，即()f θ的值域为[1,2]．54．已知奇函数()f x 的定义域为实数集R ，且()f x 在[)0,+∞上是增函数．是否存在这样的实数m ，使()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，求出适合条件的实数m 的值或范围；若不存在，说明理由． [解答]()f x 为奇函数，()00f ∴=．()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->，()()cos2342cos f f m m θθ∴->--，即()()cos232cos 4f f m m θθ->-． ()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()f x 为奇函数， ()f x ∴在(),-∞+∞上也为增函数．cos232cos 4m m θθ∴->-，即22cos 42cos 4m m θθ->-，即2cos cos 220m m θθ-+->．[]0,,cos 0,12πθθ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦．令[]cos ,0,1t t θ=∈，则满足条件的m 应该使不等式2220t mt m -+->对任意的[]0,1t ∈均成立．设()222222224m mg t t mt m t m ⎛⎫=-+-=--+- ⎪⎝⎭，则()0,200,m g ⎧<⎪⎨⎪>⎩或01,20,2m m g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()1,210,m g ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解之得42m -<≤，或2m >，故满足条件的m存在，取值范围是()4-+∞．55．在∆ABC 中，0,,,CB AC a b c =为角A,B,C 所对的三条边．（1）求t=sinA+sinB 时，t 的取值范围；（2）化简()()()222a b c b c a c a b abc+++++（用（1）中t 表示）．[解答]（1）0,,CB AC CB AC ABC =∴⊥∴∆为直角三角形，2A B π∴∠+∠=,又sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭,30,,124444A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<∴<+≤ ⎪⎝⎭．（2）cos ,sin ,b c A a c A ==()()()222a b c b c a c a b abc+++++∴()()()222223sin cos cos sin sin cos sin cos c A c A c c A c A c c c A c A c A A+++++=2222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos A A A A A A A A A A+++++=1sin cos sin cos sin cos A AA A A A++=++(22122,1112t t t t t t t t t +-+=+=+=∈--- ．56．等比数列{}n a 中，23sin cos ,1sin 2a a ααα=+=+，其中2παπ<<．（1）问：132sin 2cos 422αα-+是数列{}n a 的第几项？（2）若()4tan 3πα-=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．[解答]（1）设数列{}n a 的公比是q ，则有()2sin cos 1sin 2sin cos sin cos sin cos q ααααααααα++===+++所以211a a q==，从而通项()1sin cos n n a αα-=+．又()()21312sin 2cos44sin 2cos431sin 2222ααααα-+=-+=+()45sin cos a αα=+=，故132sin 2cos 422αα-+是数列{}n a 的第5项．（2）()44tan ,tan 33παα-=∴=-，又2παπ<<，可得43sin ,cos 55αα==-，于是1sin cos 5q αα=+=，即115n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1111511155445n n n S --⎛⎫⎛⎫∴=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．57．已知函数sin cos y a x b x c =++的图像上有一个最低点11,16π⎛⎫⎪⎝⎭，如果图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移1个单位可得()y f x =的图像，又知()3f x =的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求()f x 的解析式，最小正周期和单调减区间．[解答]()sin cos .y a x b x c x c ϕ=++=++（其中ϕ满足tan,abϕϕ=与点(),a b 同象限），由于11,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭是图像上最低点，所以1172,2.,6231. 1.k k k Z c c ππϕπϕππ⎧⎧+=-=-∈⎪⎪⇒⎨⎪==-⎩所以()()71sin 21sin 33y c x k c c x c πππ⎛⎫⎛⎫=-+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将上述函数图像上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3π倍，然后向左平移1个单位可得()()()21sin 11sin ,63333y c x c c x c T πππππ⎡⎤=-+-+=-+∴==⎢⎥⎣⎦．由于()3f x =的所有正根依次成等差数列，即曲线()y f x =与直线3y =的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图像和性质，直线3y =要么与曲线()y f x =相切，即过()f x 的最高点或最低点，要么过曲线的拐点，又11,16π⎛⎫⎪⎝⎭是图像上的最低点，故3y =与曲线()y f x =在最高点相切．当sin13x π=时，()213f x c =-=，所以2c =，此时周期应为公差3，这与上面已知周期6矛盾，故舍去．若过曲线的拐点，当sin03x π=时，()3f x c ==，此时周期6恰为公差3的2倍，符合题意．所以()2sin33f x x π=+，由322,232k x k k Z πππππ+≤≤+∈得396622k x k +≤≤+，即函数()y f x =的减区间为396,6,22k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 58．设函数=)(x f )4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ，求函数)(x f 的最大值和最小正周期．[解析]虽然本题并没有要求我们化简所给函数的解析式，但可以看出化简是解决问题的一条必由之路.同样我们也不能预测化简的具体结果，但总的目标应该是相对清楚的，那就是设法不断地“化繁为简”.从函数解析式的结构看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次数，减少所含的三角函数的名数”．原式)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x ---=-⋅--+-=πππππx x x 2cos 21)22sin(22cos 2=-=π，即最大值为21，最小正周期为π．59．证明：x 2tan xx x 4cos 1)4cos 3(2cot 2-+=+.[解析]观察欲证等式两边，可以考虑遵循从左到右的“化切为弦”的证明路线，也可以考虑运用从右到左的“化倍角关系为单角关系”的证明思路.方法一：左边xx x x x x x x 22442222cos sin cos sin sin cos cos sin +=+=x xx x x 2sin 41cos sin 2)cos (sin 222222-+=)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 211222x xx x --=-= x x x x 4cos 12cos 444cos 12sin 4822-+=--==-+=-++=xx x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)4cos 1(24右边；方法二：右边xx x x 2sin 2)2cos 22(22sin 2)4cos 12(2222+=++=xx x x x x x x x 2222222222cos sin 2)sin (cos )cos (sin cos sin 4)2cos 1(2--+=+==+=+=x x xx x x 222244cot tan cos sin 2)cos (sin 2左边． 60．已知函数2222)2tan 1(8sin )2tan 1(2tan 44sin 3sin 2)(x x x x x x x f +--+=，求该函数的定义域、最小正周期和最大、最小值．[解答]xx xx x x x f 2sec 8sin 4cos 2tan 44sin 34cos 1)(2-+-=)64sin(24sin 2cos 2sin 2)64sin(21ππ-=--+=x x x x x ，由sin80x ≠和tan2x 有意义知8()x k k Z π≠∈且2()2x l l Z ππ≠+∈，即函数的定义域为{|,}8k x R x k Z π∈≠∈，且)(x f 的最小正周期是2π，最大值是2，最小值是2-．61．设0≥a ，π20<≤x ，已知函数b x a x x f +-=sin cos )(2的最小值和最大值分别是4-和0，求实数b a 、的值．[解析]这是一道三角函数最值问题的逆问题，可以按照求函数最值的思路求解，用b a 、表示出所求函数的最大值和最小值后，对照已知条件建立方程组求解.14)2(sin sin sin 1)(222++++-=+--=b a a x b x a x x f ,令x t sin =，则11≤≤-t ，且02≤-a，有14)2((22++++-=b a a t y ，10当021≤-≤-a，即20≤≤a 时，01422max =++==-=b a yy a t ，41min -=+-===b a y y t ，此时解得2=a ，2-=b ；20当12-<-a，即2>a 时， 01max =+==-=b a y y t ，41min -=+-===b a y y t ，此时的解应该舍去；∴2=a ，2-=b 即为所求.62．有一农民在自留地里建造了一个长10m ，深0.5m ，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽（如图所示）.已知该引水槽侧面材料每m 2造价40元，底面材料每m 2造价50元，顶盖材料每m 2造价10元.（1）把建造引水槽的费用y （元）表示为引水槽的侧面与地面所成角∠DAE θ=的函数；（2）引水槽的侧面与地面所成的角θ为多大时，其材料费最低？最低的材料费是多少（精确到0.01，且取732.13=）？（3）按照题设条件，在引水槽的深度和横截面积及所用的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与（2）中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用的材料费更省？省多少？D CθE A B62题图[解析]利用角θ逐一表示出引水槽的底、侧、盖的面积，再乘以相应的单位费用数即能得到总费用y .（1）作AH ⊥CD 于H ，则AH 21=，且∠ADH θ=，设AB x =，由AD=BC=θsin 21，DH 2cot θ=，∴)(2141CD AB AH S +⋅==，即12cot 2=⨯++θx x ， ∴1010402105010⨯+⨯⨯+⨯=CD AD AB y2cot 1100sin 14002cot 1500θθθ+++-=θθθθsin cos 2200300)sin 42cot 46(100-⨯+=+-=，即所求函数为θθθsin cos 2200300)(-⨯+=f ；（2）令θθsin cos 2-=u ，则2cos sin =+θθu ，∴2)sin(12=++ϕθu ，由正弦函数的有界性得212≥+u ，∴412≥+u ，故3≥u ，从而3200300min +=y ，此时1)sin(=+ϕθ，由623arccos1arccos2πϕ==+=u u ，知∠EAD=3πθ=时，所用材料费最低，最低费用为4.646元；（3）若截面为正方形时，材料费7001002150021400)2121(1=⨯+⨯+⨯+=y 元，两相比较知横截面为等腰梯形时所用材料费比横截面为正方形时所用的材料费要省53.6元.63．如图，ABCD 是一块边长为100m 正方形地皮，其中A TPS 是一半径为90m 的扇形小山，P 是弧TS 上的一点，其余部分都是平地.现有一开发商想有平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场的面积的最大值和最小值. [解答]连结AP ，设∠PAB=θ，(0)2πθ<<，延长RP 交AB 于M ，则AM θcos 90=，MP θsin 90=，PQ=MB=AB-AM θcos 90100-=，PR=MR-MP θsin 90100-=，故矩形面积)cos 90100)(sin 90100()(θθθ--==f S θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=，令t =+θθcos sin ，由21≤<t ，故得950)910(281002+-=t S ，∴当910=t 时，)(9502min m S =，而当2=t 时，)(29000140502max m S -=．。

初三数学三角函数基础练习题

初三数学三角函数基础练习题
一、填空题：
1. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值等于 0.75，那么这个锐角的度数为______°。

2. 若一个锐角的余切值等于 2，则这个锐角的弧度数为______。

3. 若一个锐角的正切值为 0.6，那么这个锐角的对边与临边的比值为______。

4. 若sinθ = 0.4，那么tanθ = ______。

二、选择题：
1. 在△ABC中，∠B = 30°，sin A = 0.6，那么 cos C =
A) 0.6 B) 0.4 C) 0.8 D) 0.2
2. 已知一个直角三角形的一条直角边长为 5，斜边长为 13，那么另一直角边的长度为
A) 5 B) 12 C) 10 D) 9
三、解答题：
1. 一个直角三角形中，一条锐角的余切等于2，求这个锐角的弧度数。

2. 已知sin α = 0.6，求α 的弧度数。

3. 在△ABC中，∠B = 30°，边 AC = 8 cm，边 BC = 6 cm。

求 sin A 和 cos A 的值。

四、应用题：
1. 一座高度为 10 米的灯杆从水平地面上的一点 A 引出光线，与水平地面的夹角为 60°，求这根光线到地面上一点 B 的水平距离。

2. 两艘船同时从一个港口出发，船 A 每小时向东航行 30 公里，船
B 每小时向北航行 20 公里。

求 3 小时后船 A 和船 B 的距离。

（取
π≈3.14）
以上是初三数学三角函数基础练习题。

希望通过这些练习能够巩固你对三角函数及相关概念的理解和应用能力。

祝你学业进步！。

三角函数50题精选题附答案

1. 已知方程（a 为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.解析：属于易错题，由于限定了角的范围，所以最终答案只有一个，1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα2.函数f(x)=的值域为______________。

解析：易错题，错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而121)(-≠-=t t g ，得到错解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2122,2122 正解：⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---2122,11,2122 3.在△ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则∠C 的大小应为( )A ．B ．C ．或D ．或解析：遇到这类型题，首先排除两个答案，因为给定条件就是让我们去排除4.已知tana tanb 是方程x 2+3x+4=0的两根，若a ，b ∈(-)，则a+b=（）A ．B ．或-C ．-或D ．-解析：tana .tanb=4；tana +tanb=-3，所以tana tanb 均为负，即a ，b 都属于四象限 5.在中，，则的大小为（）A. B. C.D.解析：由3s i n 463c o s 41A B A B +=+=⎧⎨⎩c o s s i n 平方相加得115sin()sin 2266A B C C ππ+=∴=∴=或若C =56π，则A B +=π6113cos 4sin 0cos 3A B A -=>∴<又1312<5366A C C πππ∴>∴≠∴= ∴选A ，实际上首先排除两个答案的6.函数为增函数的区间是……………… ( ) A.B.C.D.解析：注意x 前面系数为负7.已知且，这下列各式中成立的是（） A.B.C.D.解析：解法1sin β＞-cos α=sin （3π/2-α），因为β、（3π/2-α）都在二象限，sinx 二象限为减函数，所以β＜（3π/2-α）解法2：首先排除AC（为什么），由特殊值法排除B8.△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A、 B、 C、或 D、9.设cos1000=k，则tan800是（）A、 B、 C、 D、10.函数的单调减区间是（）A、（）B、C、 D、11.在△ABC中，则∠C的大小为（）A、30°B、150°C、30°或150°D、60°或150°12.若,且,则_______________.13、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____14已知奇函数单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A、f(cosα)＞ f(cosβ)B、f(sinα)＞ f(sinβ)C、f(sinα)＜f(cosβ)D、f(sinα)＞ f(cosβ)15.函数的值域是．16.若，α是第二象限角，则=__________17.已知定义在区间[-p，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-<j<)，其图象如图所示。

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10．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B 点最近的D 点，再跳入海中。

救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。

若∠BAD=45°,∠BCD=60°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B 。

（参考数据2 1.4≈，3 1.7≈）
初三锐角三角函数经典题
（本大题共10小题，每小题３分，共30分）
1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（）
A.30米
B.10米
C.1030米
D.1010米
2．坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（）
Ａ．4m Ｂ．3m Ｃ．
43
m 3
Ｄ．43m 3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（）Ａ.250ｍＢ．2503ｍＣ．
500
33
ｍＤ．2502ｍ 4．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sinB 的值是（）
Ａ． 2 3 B. 3 2
C. 3 4
D. 4
3
6.等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（） A.030 B.060 C.090 D.0120
A
B
C
D
7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（） A ．150 B ．375 C ．9 D ．7 8．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2
sin 3
A =
，则边AC 的长是（） A ．5 B ．3 C ．
43
D ．13
9．如图，两条宽度均为40m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)
的路面面积是（）α
A.
αsin 1600(m 2) B.α
cos 1600(m 2
) C.1600sin α(m 2) D.1600cos α(m 2) 10.如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠BCD ＝
3
1
，则tanA ＝（） A.1 B. 31 C.
23 D.3
2 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．已知α为锐角,sin(α-0
90)=0.625,则cos α=___ 。

12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos ∠BAC=
4
3
，则梯子长AB= 米。

13．一棵树因雪灾于A 处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米，∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米（答案可保留根号）。

14．如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30，旗杆底部B 点的俯角为
45．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度
为米（结果保留根号）。

四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
17．如图，在某建筑物AC 上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为030，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测的仰角为060，求宣传条幅BC 的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）
第4题图
C
D
B
A
18．如图，甲船在港口P 的北偏西60方向，距港口80海里的A 处，沿AP 方向以12
海里/时的速度驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向。

求乙船的航行速度。

七、（本大题满分8分）22．如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东
30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC＝15°。

（1）求B 、D 之间的距离；（2）求C 、D 之间的距离。

300
150
450环城路
和平路
文化路中山路
F
B
E
D
C
A
八、（本大题满分10分）如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，
以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。

（1）问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（h ）和长度（l ）的比。

记作i ,即i = ；
（2）坡角——坡面与水平面的夹角。

记作α，有i ＝l
h
=tan α
（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越，坡面就越如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡BC 的坡度为3:2=ι，路基高
AE
为3m ，底CD 宽12m ，求路基顶AB 的宽
B A
D
C
E
60º
F
B
A。