三角形中位线定理
三角形中位线定理课件
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
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在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 A 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E B
D C
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 、F分别 AB 、、 AC 的中点 是 AB AC 、BC的中点
∴ DF=1/2BC，DE=1/2AC。 ∴ 四边形DECF的周长是 B DF+DE+EC+CF=16/2+12/2+1 6/2+12/2=28
D
F
E
C
拓展应用：
在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使 AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理 D 由
理由： ∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
B三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
演练
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边 的中点． （1）若AB=8cm，求EF的长； （2）若DE=5cm，求BC的长． （3）若增加M、N分别是BD、BF的中点， A 问MN与AC有什么关系？为什么？
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分. A
E
C
14
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍 或 1/2提供了一个新的途径
⑶解决“中点问题”
注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线
三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理的证明
三角形中位线定理是指如果一个三角形内某条边的中点和另外两条边连结，它们就能够构成三个等腰三角形。
证明：假设三角形ABC有两边AB和AC，其外角BAC为
$\theta$（由外角定理可知$\angle BAC=\angle A+\angle B$）。
在三角形ABC内将AB延长到D点，且$\angle ADB=\angle B$，由正弦定理可得 $ \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sin{\angle
B}}{\sin{\theta}}$。
假设B点到AC边的垂线延长到交E点，且$\angle BAE=\angle A$。
由正弦定理可得 $ \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{\sin{\angle
A}}{\sin{\theta}}$
链接B，D，E三点，就形成了等腰三角形BDE，其外角DBE为$\angle A$，根据已知$\angle ADB=\angle B$，可知$\angle
DBE=\angle B$，即无论三角形ABC的外角多大，三角形BDE的外角都相等，它们是等腰三角形，三角形中位线定理得证。
中位线定理的三种证明方法
中位线定理的三种证明方法
中位线定理是平面几何中的重要定理，它指出三角形中连接一个顶点与对边中
点的线段叫做中位线，三角形的三条中位线交于同一点，这个点叫做三角形的重心。
下面将介绍中位线定理的三种证明方法。
第一种证明方法是向量法。
通过向量的线性组合和中点的定义，可以证明三角
形的三条中位线交于同一点。
我们可以假设三角形的顶点为A、B、C，对应的中
点为D、E、F，通过向量的线性组合可以得到三角形的三条中位线分别为
$\frac{A+B}{2}$、$\frac{B+C}{2}$、$\frac{C+A}{2}$，然后通过向量的运算可以
证明这三条线交于同一点，即三角形的重心。
第二种证明方法是中位线的性质法。
通过中位线的性质可以证明三角形的三条
中位线交于同一点。
中位线的性质包括中位线平行于底边、中位线的长度等于底边的一半等，通过这些性质可以得出三角形的三条中位线交于同一点的结论。
第三种证明方法是面积法。
通过三角形的面积公式和中位线的定义可以证明三
角形的三条中位线交于同一点。
我们可以利用三角形的面积公式S=1/2*底边*高，
将三角形分成三个小三角形，分别计算它们的面积，然后通过中位线的定义可以得出这三条线交于同一点的结论。
综上所述，中位线定理的三种证明方法分别是向量法、中位线的性质法和面积法。
每种方法都有其独特的角度和思路，通过不同的方式可以证明同一个结论，这也展示了数学的丰富性和多样性。
中位线定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，对于理解三角形的性质和性质的应用具有重要的意义。
三角形中位线定理
结论:（1）三角形三条中位线围成的三角形周长是原三角形
周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一 。 （2）三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
2.你能用三角形中位线定理,证明在开 始分蛋糕的过程中，分得的四块蛋糕 的形状全等吗？
A
D
E
B
F
C
3.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， 5㎝ ① BC=10cm，则DE=___. 60° ②∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
四个小朋友要分一块三角形蛋糕，但 他们想要大小形状完全相同的蛋糕， 线段 DE、EF、FD是怎样得到的线段呢？ 你能帮他们实现这个愿望吗？
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： A
∵点D、E分别是AB和AC的中点 D 中点 ∴DE是△ABC的中位线
一个三角形有几条中位线？ B
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
B
C
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥= CF
A D B A D B E C F
E
F 过点C作CF∥AB，与DE的
延长线相交于点F。
C
延长DE到F，使EF=DE， 连结CF。
A
D B E C
F
A E
H
D
（1）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______ 菱形 ？
G
F D E F H G B C
B
（2）顺次连结菱形各边中点 A 矩形 ？ 所得的四边形是________
C
（3）顺次连结正方形各 边中点所得的四边形是 正方形 ___________ ？
三角形中位线的性质
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理在几何学中有着广泛的应用，如证明某些几何命题、解决几何问题等。
三角形中位线定理的证明方法
证明方法一
利用相似三角形性质证明
第一步
根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则它们的对应边成 比例。
三角形中位线的长度等于它所截得的相对边长的一半。即，如果中位线截取的 相对边长为AB，则中位线的长度为$frac{1}{2}AB$。
三角形中位线与第三边的关系
三角形中位线所截得的第三边与中位线平行且等于中位线长度的两倍。即，如 果中位线截取的第三边为CD，则CD平行于中位线且CD的长度为2倍的中位线 长度。
通过中位线定理，可以求解三角形的 边长。
在解决实际问题中的应用
解决工程问题
在工程设计中，可以利用 中位线定理解决实际的结 构和机械问题。
解决建筑问题
在建筑设计时，可以利用 中位线定理优化建筑物的 结构布局和稳定性。
解决数学建模问题
在数学建模中，可以利用 中位线定理解决一些实际 问题，如最优路径、最短 距离等。
三角形中位线的平行性质
三角形中位线的平行性质
三角形中位线与第三边平行。即，如果中位线为EF，第三边为CD，则EF平行于CD。
中位线与对角线的关系
三角形中位线与对角线互相平分。即，如果中位线为EF，对角线为AC，则E和F分别是AC的两个三等分点。
三角形中位线定理及
03
其证明
三角形中位线定理
三角形中位线定理定义
特殊情况下的三角形
05
中位线性质
等边三角形中的中位线性质
等边三角形中，任意一边的中 位线与相对的顶点连线垂直且 长度等于相对边的一半。
三角形中位线定理
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。
例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．证明：取AE中点F，连结DF．∵D是AB中点，∵O是CD中点，例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、DC的中点，延长AD、MN交于E，延长BC、MN交于F．求证：∠AEM=∠BFM．证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB、BD边中点；N、O为DB、DC边中点．∵AD=BC．∴OM＝ON．∴∠1＝∠2．而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，∴∠AEM＝∠BFM．例3：选择题：(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ](A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)无法确定解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24根据三角形内角和定理，有k+2k+3k＝180°解得 k=30°．∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．故选(C)．(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ](A)50° (B)70°(C)100° (D)140°解：(B)．(3)钝角三角形的三条高 [ ](A)相交于三角形内部的一点(B)相交于大边上的一点(C)相交于三角形外部的一点(D)不能相交于一点解：(C)．(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ](A)③ (B)②(C)②③ (D) ①③解：(A)．在△ABC中，∵ AB＞BC＞CA，∴∠C＞∠A＞∠B．若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．∴∠A=60°，应选(A)．(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]解：(D)．(6)在△ABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]解：(C)．如图P3-5，∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．∴∠EBC＋∠FCB＝360°-180°+∠A=180°+∠A．∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)(7)下列命题中的假命题是 [ ]（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形（B)等边三角形是等腰三角形（C（D）等腰三角形是锐角三角形解：(D)．例4：已知：如图P3-6，AB∥CD。
三角形中位线定理
B
M
C
求证：顺次连结四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形。 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
C G D
F H
A
E
B
求证：顺次连结四边形四条边的中点 所得的四边形是平行四边形。 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EF。因为MN是△ABC 的中位线，利用三角形 中位线定理得MN等于AB 的一半，所以AB为MN的2 倍，等于40m.
A M B
下
C
N
D B
A E C
你能猜出三角形的中位线与第三边 有怎样的关系？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。
你能证明吗？
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于 它的一半。
已知：在△ABC中，AE=EB，AF=FC。 求证：EF∥BC，EF= 1 BC 2 证明： 延长线段EF到M,使FM=EF，连结MC ∵ AF=FC ∠AFE= ∠CFM EF=FM ∴ △AFE≌△CFM (SAS) ∴ ∠AEF= ∠M ∠A= ∠FCM ∴ AB∥CM EF∥BC E ∴ 四边形EBCM是平行四边形 ∴ EM=BC ∵EF=1 EM 2
B
A
F M
C
∴EF=
1 2
BC
1、如图：EF是△ABC 的中位线， 10 ; BC=20，则EF= （ ）
A E
F
B
C
2、在△ABC中，中线CE、BF相交点 O、M、N分别是OB、OC的中点， 则EF和MN的关系是( 平行且相等 )
A
初中数学三角形中位线定理
三角形中位线定理
内容-----
中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形．
（2）三角形中位线定理的作用有二：位置关系：可以证明两条线段平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系．
由三角形中位线定理还可以推出：
①三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半；
②三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；
③三角形三条中位线可从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形；
④三角形任两中位线的夹角与这个夹角所对的三角形的顶角相等．
应用-----
【例题】如图1所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q．
求证：AP=AQ．
【分析】欲证AP=AQ，可考虑证明．根据题设条件，可取BC的中点F，连结FM，FN，（如图2）则MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线．利用BD=CE 易证FM=FN，从而，由平行线的性质可知，于是成立，进而结论成立．
【证明】取BC的中点F，连结FM，FN，
由条件知：MF、NF分别是△BCE和△BCD的中位线,
所以FM∥AC，FN∥BD，．
所以．
又因为BD=CE，所以FM=FN．
所以，，所以，所以AP=AQ．
【评注】若已知条件中有中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等．。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
三角形的中位线定理中位线和边的关系
三角形的中位线定理中位线和边的关系三角形是几何学中非常基础且重要的概念之一。
在三角形的许多定理中，中位线定理是其中一条具有广泛应用的定理。
本文将重点论述三角形的中位线定理中中位线和边的关系。
让我们先明确以下几个概念：1. 三角形的中位线：三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2. 三角形的边：三角形有三条边，分别为AB、BC和CA。
中位线定理陈述如下：三角形的三条中位线交于一个点，且这个点与三个顶点的距离是中位线上点到对边中点距离的2倍。
下面我们将具体推导中位线和边的关系。
假设△ABC为一个三角形，D为边BC的中点，E为边AC的中点，F为边AB的中点，G为三条中位线的交点。
首先，我们可以证明线段AD与线段BE交于点G。
根据中位线的定义，知道线段DF和线段AD是垂直的。
同样地，线段EF和线段BE也是垂直的。
因此，角ADF和角BEG是直角。
其次，我们利用角度相等来进一步推导。
角ADC和角EBC是等角，因为它们都是角ABC的对应角。
根据等角性质，知道这两个角大小相等。
再次，我们利用三角形内角和等于180度来推导。
角ADC、角EBC和角FCA的和是180度，因为它们都是三角形内角。
另一方面，角ADC和角EBC的和是90度，因为它们是直角。
根据等角性质，我们得出角FCA的大小也是90度。
由于角FCA是直角，所以线段AG垂直于边CA。
同样的推理，我们可以得出线段BG和线段CG分别垂直于边AB 和边BC。
综上所述，我们证明了线段AD、BE和CG交于同一点G。
这就是中位线定理中三条中位线的交点。
接下来，让我们推导这个交点与三个顶点的距离是中位线上点到对边中点距离的2倍。
以边BC为例，连接点G和边BC的中点D。
根据三角形相似性质，我们可以得出△AGD与△CGD相似，因为它们有共同的角度，且线段GD是线段AD的一半。
根据相似三角形的性质，线段AG与线段CG的比例等于线段AD 与线段CD的比例，即AG/CG = AD/CD = 1/2。
三角形的中位线定理
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三角形的中位线定理
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• 一、三角形的中位线
• 连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位 线．
• 二、三角形中位线定理
• 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半．
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• 三、由三角形中位线定理可以推出：
• 1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为 原三角形周长一半． • 2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等 的三角形． • 3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面 积相等的三个平行四边形．
• 例3、如图，△ABC中，D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE，F、G分别为BE、CD的 中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于 点Q．求证：AP=AQ．
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• 例4、如图所示，O为等边三角形ABC内的 任意一点，且OD∥BC，交AB于D， OF∥AB，交AC于F，OE∥AC，交BC于 E．求证：OD＋OE＋OF=BC．
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• 例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证： 四边形EFGH是平行四边形．
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• 例2、已知，如图，E、F分别为四边形 ABCD的对角线AC、BD的中点．求证： EF<(AB＋CD)．
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• 例5、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB 边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延 长线上取点E，使DE=BD，连接AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连 接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你 的结论．
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
中位线定理的证明
如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
的中点，连接DF.
求证：（1） DE ∥ BC 辅助线：延长DF至点F， 使EF=DF，连接FC △AED≌△CEF
1 2） DE （BC 2
一题多解
思考1
△ABC与△DEF的周长、面积有什么等量关系？
取AE中点G，连接DG
△DGF≌△CEF
四边形ABCD,AB与DC不平行,点E、F分别是
BC、AD的中点.求证: EF 1 AB CD
连接AC,取AC中点G 1 1 ∵FG=2 CD GE= AB 2
∴FG+GE>EF
1 EF ∴2 AB CD
2
∴平行四边形ABEC ∴F为BC中点，O为AC中 即：AB=2OF 点
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA的中点．求证:四边形EFGH 是平行四边形．
∵HG∥AC∥EF;EH∥BD∥F
GLeabharlann ∴EFGH为平行四边形题型二
增设中点，构造中位线
如图，已知△ABC中，D 是AB的中点， E是BC的三等分点（BE＞CE），AE、CD相交于F. 求证:F是DC的中点.
中 点 的 辅 助 线
倍长中线
三线合一
中位线定理
直角三角形斜边中线定理
三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 注意中线和中位线的区别！
中线：
一个顶点和对边的中点连线
中位线：
两个中点的连线
三角形中位线定理
观察并猜想DE与BC的关系
位置关系
数量关系
三角形中位线定理的推论
三角形中位线定理的推论
1. 三条中位线交于一点，称为重心。
2. 重心所在的中位线距离对应顶点的距离的比例为2：1。
3. 中位线长度为底边长度的一半。
4. 重心到对边中点的距离为一半对边长。
5. 以三角形的重心为圆心，以重心到顶点的距离为半径作圆，可圆上的任意点对三角形三个顶点的距离相等。
6. 以两个中点为圆心，中位线长度为半径作圆，则两圆交点与对边中点重合。
7. 以重心为圆心，以重心到任意顶点为半径作圆，圆心角等于顶点所对的角。
8. 以中线为直径作圆，则圆心在三角形外接圆上。