2019届苏教版(理科数学) 第1章 第3课时 简单的逻辑联结词、量词 单元测试

第3课时 简单的逻辑联结词、量词
一、 填空题
1. 给出下列命题：
① 原命题为真，它的否命题为假；
② 原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③ 一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④ 一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．
其中真命题是________．(填序号)
答案：②③
解析：原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．
2. 已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a>b ，则1a <1b
.给出下列四个命题：① p 且q ，② p 或q ，③ 綈p ，④ 綈q.其中真命题的个数为________．
答案：2
解析：p 真，q 假，②④真．
3. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1<0，B ＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件． 答案：充分不必要
解析：∵ A＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x x －1<0＝{x|0<x<1}，B ＝{x|0<x<3}，∴ A ≠B.当m ∈A 时，必有m∈B；而当m∈B 时，m ∈A 不一定成立．∴ “m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
4. “x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．
答案：充要
解析：由条件显然易得结论，由x 1x 2>0可得x 1，x 2同号，由x 1＋x 2>0可得x 1，x 2同正．
5. 已知命题p ：点P 在直线y ＝2x －3上；命题q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上．则使命题“p 且q”为真命题的点P 的坐标是______________．
答案：(1，－1)
解析：命题“p 且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P 既在直线y ＝2x －3上，又在直线y ＝－3x ＋2上，即点P 是这两条直线的交点．
6. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是
________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.
7. 已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．
答案：[1，＋∞)
解析：綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇒,/)q ，条件p 化简为x>1或x<－3，所以当a≥1时，q ⇒p.
8. (2018·溧阳中学周测)下列说法中错误的是________．(填序号)
① 命题“∃x 1，x 2∈M ，x 1≠x 2，有[f(x 1)－f(x 2)]·(x 2－x 1)>0”的否定是“∀x 1，x 2∉M ，x 1≠x 2，有[f(x 1)－f(x 2)](x 2－x 1)≤0”；
② 若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③ 已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：13－x
>1，若(綈q)∧p 为真命题，则实数x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，2)∪[3，＋∞)；
④ “x ≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．
答案：①③④
解析：因为命题“∃x 1，x 2∈M ，x 1≠x 2，有[f(x 1)－f(x 2)]·(x 2－x 1)>0”的否定是“∀x 1，x 2∈M ，x 1≠x 2，有[f(x 1)－f(x 2)](x 2－x 1)≤0”，所以命题①不正确；由于一个命题的
逆命题与否命题是等价命题，而且同真假，故命题②正确；由于不等式x 2
＋2x －3>0的解集
是x>1或x<－3，不等式13－x
>1的解集是2<x<3，故綈q: x≤2或x ≥3，所以若(綈q)∧p 为真命题，则实数x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)，故③不正确；由于x ＝－3≠3，但|x|＝3，故命题④不正确．
点睛：本题是一道多项选择的填空题，旨在综合考查命题真假的判定、命题的否定、复合命题的真假的判定、充分必要条件的判定等基础知识，以及综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力．
9. 已知函数f(x)＝ln (1＋|x|)－11＋x 2，命题p ：实数x 满足不等式f(x ＋1)>f(2x －1)；命题q ：实数x 满足不等式x 2－(m ＋1)x ＋m≤0.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实
数m 的取值范围是________．
答案：(0，2)
解析：綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于p 是q 的必要不充分条件．由题意得f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由p: f(x ＋1)>f(2x －1)得f(|x ＋1|)> f(|2x －1|)，即|x ＋1|>|2x －1|，解得0<x<2；由q ：(x －1)(x －m)≤0，得m 的取值范围是(0，2)．
二、 解答题
10. 已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若
p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解：p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根
⇔⎩
⎪⎨⎪⎧Δ1＝m 2－4>0，－m<0⇔m>2.q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ2＝16(m －2)2－16<0⇔1<m<3.
因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假．
① 当p 真且q 假时，有⎩
⎪⎨⎪⎧m>2，m ≤1或m≥3⇒m ≥3； ② 当p 假且q 真时，有⎩
⎪⎨⎪⎧m≤2，1<m<3⇒1<m ≤2. 综上可知，m 的取值范围是{m|1<m≤2或m≥3}．
11. 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共
根的充要条件是∠A＝90°.
证明：必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，
则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，
两式相减可得x 0＝b 2c －a
，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A＝90°. 充分性：∵ ∠A＝90°，
∴ b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2 ①.
将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，
可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，
即(x ＋a －c)(x ＋a ＋c)＝0.
将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，
可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，
即(x ＋c －a)(x ＋c ＋a)＝0.
故两方程有公共根x ＝－(a ＋c)．
∴ 方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
12. 命题p ：函数f(x)＝（x －2）2（x ＋5）x －7
，且满足f(a)<0. 命题q ：集合A ＝{x|x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x|x>0}，且A∩B＝∅.求实数a
的取值范围，使命题p ，q 中有且只有一个为真命题．
解：由f(a)<0得（a －2）2（a ＋5）a －7
<0， 整理得p ：－5<a<7且a≠2.
由A∩B＝∅知方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0不存在正根，
所以有Δ<0或⎩
⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－（a ＋2）<0， 化简整理得q ：a>－4.
由题意，若p 真q 假，则－5<a≤－4，
若q 真p 假，则a≥7或a ＝2.
综上， －5<a≤－4或a≥7或a ＝2.
13. 已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m∈ .
求两方程的根都是整数的充要条件．
解：∵ mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴ m ≠0.另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，
两方程都要有实根，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0，
解得m∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.∵ 两方程的根为整数，故和与积也为整数，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4m
∈Z ，4m ∈Z ，
4m 2－4m －5∈Z ，∴ m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2
＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均有整数根．∴ 两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。