最新北师大版高中数学必修一函数的表示方法3教案(精品教学设计)
高中数学《函数的表示法》教案1北师版必修
函数的表示方法教学目标：1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.3.了解简单的分段函数，并能简单的应用。
一 课题引入与教材认知：1.以引入函数概念的三个问题为背景，引入函数的表示方法。
2.教材认知。
函数的三种表示方法：（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.（3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
缺点：只用于自变量为有限个的函数。
解析法优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
二 典型例题例1、购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x （{}4,3,2,1∈x ）的函数,并指出该函数的值域。
小结：同一个函数可以用不同的方法表示，在实际情境中，能根据不同的要求选择恰当的方法表示函数。
中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km 收费,试写出收费关于路程的函数解析式.例2中的函数具有如下特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析式。
像这样的函数通常叫做分段函数 （注：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
）小结：（1）在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
(2) 回顾初中所学内容，如正比例，一次，二次，反比例函数等若已知函数类型，求函数解析式时常用待定系数法其基本步骤是设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。
最新-高中数学《函数的表示法》学案3 北师大版必修1 精品
函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.2、分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数. 3、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）方程法 ；（4）配凑法等.4、作函数图象的一般步骤：（1）确定函数定义域；（2）化简或变形函数表达式（一般来说可化简成常见函数或其复合函数）；（3）利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有：平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1 （1）已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,求)(x f 的解析式 ； （ 2）已知x x x f 2)1(+=+,求)(x f ； （3）已知)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f思路剖析 根据题设条件的特点，灵活采用相应的方法求解. 解题示范 （1）（待定系数法）设0,)(≠+=k b kx x f ，则 14)(-=++x b b kx k ，即14)1(2-=++x b k x k . 比较系数，得⎩⎨⎧-=+=1)1(42b k k ， 解得，⎪⎩⎪⎨⎧-==312b k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k .∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f . （2）法1（换元法）：令t =1+x （ t ≥1），则2)1(-=t x ,∴1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f ∴1)(2-=x x f （x ≥1）法2（配凑法）：∵1)1(2)1(2-+=+=+x x x x f ，又 ∵ 1+x ≥1， ∴1)(2-=x x f (x ≥1). （3）（方程法）∵x xf x f 3)1()(2=+ ---①，将①中x 换成x1，得 x x f x f 3)()1(2=+---②，①×2-②，得 xx x f 36)(3-=，∴xx x f 12)(-=. 回顾反思 求函数解析式的方法：（1）待定系数法：适用于已知函数的类型，求函数的解析式；（2）换元法或配凑法：适用于已知复合函数))((x g f 的表达式，求)(x f 的解析式，但运用时要注意正确确定中间变量)(x g t =的取值范围；（3）方程法：只已知关于)(x f 及)1(xf 的一个条件要求)(x f ，可通过条件再寻找关于)(x f 及)1(x f 的另一个方程，利用解方程组求出)(x f .请思考：若本题中把x1换成x -，你能求)(x f 的解析式吗？（4）由实际问题求函数解析式时， 常根据实际意义（如面积、距离等）确定函数解析式，并注明符合实际问题的定义域.例2 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A .设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数关系式.思路剖析 视P 点所处的正方形边的位置分别计算PA 的长.解题示范 如图 ，当P 在AB 边上运动，即10≤≤x 时, PA =x ；当P 在BC 边上运动，即21≤<x 时， PA =2)1(1-+x ＝222+-x x ；当P 在CD 边上运动，即32≤<x 时，PA =2)3(1x -+＝1062+-x x ；当P 在DA 边上运动，即43≤<x 时， PA =4-x . ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+-=x x x x x x y 41062222 )43()32()21()10(≤<≤<≤<≤≤x x x xPA 的长度，而x 表示的是P 点从A 点出发后所走的路程，从而计算PA 长度的方式应随着P 点所在正方形边的位置的变化而改变，因此计算PA 时需对P 点的位置进行分类讨论， 故y 不可能用关于x 的一个表达式来表示，应用分段函数来表示.例 3 作出函数（1）y =|122--x x |；（2）y =|x |2-2|x |-1的图象.思路剖析 找出所作图象的函数与常见函数间的联系，利用函数的图象变换作图.解题示范 （1）当122--x x ≥0时，y =122--x x当122--x x <0时，y =-（122--x x ) 作图步骤：①作出函数y =122--x x 的图象②将上述图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x轴上方（原在x 轴上方的部分保留不变），即得y =|x 2-2x -1|的图象（如图）.（2）当x ≥0时 y =122--x x 当x <0时 y =122-+x x即 y =(-x )2-2(-x )-1 作图步骤：①作出y =122--x x 的图象；②保留所得图象在y 轴右方的部分，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分的图象翻折到y 轴的左方（翻折过程中保留y轴右方的图象），即得y =|x |2-2|x |-1的图象（如图）.回顾反思 1、常见的图象变换有： （1）平移变换：用于研究函数)(x f y =的图象与b a x f y ++=)(的图象之间的联系：①将函数)(x f y =的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得)(k x f y +=图象；②将函数)(x f y =的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得k x f y +=)(图象.（2）对称变换： 用于研究函数的图象)(x f y =与)(x f y -=、)(x f y -=及)(x f y --=的图象之间的联系：①函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称； ②函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于y 轴对称； ③函数)(x f y =的图象与)(x f y --=的图象关于原点对称.（3）翻折变换：用于研究函数)(x f y =的图象与|)(|x f y =与|)(|x f y =的图象之间的联系：①将)(x f y =的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分以x 轴为对称轴向上翻折即得|)(|x f y =的图象；②将)(x f y =的图象在y 轴右方的部分保留不变，去掉y 轴左方的部分，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得|)(|x f y =的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x )=⎩⎨⎧.x 0x 1是无理数，是有理数，，,我们就作不出它的图象.例4 对于任意的实数x ，规定y 取4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值. （1）求y 与x 的函数关系式，并画出此函数的图象. （2）x 为何值时，y 最大？最大值是多少？思路剖析 所谓y 是4-x ，x +1，)5(21x -三个值中的最小值，是对于同一个x 值而言的，从图象上反映应是三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象中处于最下方的那一个.解题示范 （1）在同一坐标系中作出三个函数y ＝4-x ，y ＝x +1，y ＝)5(21x -的图象.设函数y ＝)5(21x -的图象分别与函数 y ＝x +1，y ＝4-x 的图象交于A 、B 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1)5(21x y x y 解得A (1, 2)； 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y －4)5(21解得B (3, 1). ∴y 与x 的函数关系式是⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤+=3431)5(2111x xx x x x y ，其图象为实线部分.（2）由图象可知，当x = 1时, y 最大，其最大值为max y = 2 .回顾反思 求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一，它在求解数学问题时有着广泛的应用，它在解题中的独到之处在于以形助数，利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5 已知函数 3222)(a b x a ax x f -++= .（1） 当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负，求a , b 的AB值及f (x )的表达式； （2） 设)16(2)1(4)(4)(-+++-=k x k x f kx F ，k 为何值时，函数F (x )的值恒为负值？思路剖析 利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解. 解题示范 （1）显然0≠a .当x ∈(-2，6)时，其值为正；x ∈),6()2,(+∞--∞ 时，其值为负,∴-2,6是方程02322＝a b x a ax -++的两个根，∴ ⎩⎨⎧=-++=-+-0263602243232a b a a a b a a 解得 a = - 4 ，b = - 8 ∴48164)(2++-=x x x f（2） 24)16(2)1(4)48164(4)(22-+=-+++++--=x kx k x k x x kx F 欲使函数F (x )的值恒为负值，显然0≠k ,故 ⎩⎨⎧<+=∆<08160k k ，解得 k < - 2∴当k < - 2时，函数F (x )的值恒为负值.回顾反思 1、 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间的关系：设)(x f =c bx ax ++2(0≠a )，则（1）方程c bx ax ++2＝0的两根即为)(x f =c bx ax ++2的图象与x 轴两交点的横坐标；（2）不等式c bx ax ++2>0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴上方部分的横坐标x 的取值范围 ；不等式c bx ax ++2<0的解集即为)(x f =c bx ax ++2的图象在x 轴下方部分的横坐标x 的取值范围 ；（3）若不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或，则21,x x 是方程c bx ax ++2＝0的两个根；若21,x x ）（21x x < 是方程c bx ax ++2＝0的两个根，则不等式c bx ax ++2>0()0>a 的解集为}|{21x x x x x ><或.2、 设)(x f =c bx ax ++2(0≠a ),由二次函数的图象可直观地得到：当⎩⎨⎧<->0402ac b a 时，0)(>x f 恒成立；当⎩⎨⎧<-<0402ac b a 时，0)(<x f 恒成立，反之也成立. 【能力训练】一、 选择题1、已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 （ ）A 、11+xB 、x x +1C 、1+x xD 、x +12、在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %),0,(b a b a ≠>， 则x 与y 的函数关系式是 （ ）A 、x b c a c y --=B 、x c b ac y --= C 、x c b c a y --=D 、x a c c b y --= 3、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （ ）A 、B 、C 、D 、4、函数2)1(+=x y -2的图象可由函数2x y =的图象经过（ ）得到. A 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位5、函数1)1(2-+-=x y 的图象与函数1)1(2+-=x y 的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、以上都不对二、填空题6、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，则_______)]}1([{=-f f f .7、已知f (x )=x x 22+，则f (2x +1)= .8、已知x x x f 2)1(+=-，则___________)(=x f . 9、将长为a 的铁丝折成矩形，设矩形的长为x ，则面积y 关于x 的函数关系式是_______ ，其定义域是 ______.10、已知f (x )=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f (x )=10，则x = .三、解答题11、（1）已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )； （2）设二次函数f (x )满足f (x +2)= f (2-x )，且方程f (x )=0的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.12、已知[]221)(,21)(xx x g f x x g -=-= (x ≠0)， 求)21(f . 13、(1) 已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .(2)设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g (x )].14、作出下列函数的图象： (1)⎩⎨⎧---=14)(22x x x f)20()02(≤<≤≤-x x ； (2)322-+=x x y ； (3)x x x y -+=||)21(0 15、讨论函数273++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系. 【素质提高】16、已知函数f (x )满足f (a b )= f (a )+ f (b )且f (2)=p ，f (3)= q ，则f (36)= .17、讨论关于x 的方程)(|34|2R a a x x ∈=+-的实数解的个数.18、设函数f (x )=x 2-4x -4的定义域为[t -2, t -1]，对任意t ∈R ，求函数f (x )的最小值ϕ(t )的解析式，并画出)(t ϕ的图象.2.2 函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、1+π7、3842++x x 8、)1(342-≥++x x x 9、y = 221x ax -,定义域是(0, 2a )10、－3 11、（1）f (x )=2x +7； （2）f (x )=x 2-4x +3 12、15 13、(1)41)(+-=x x f (2) f [g (x )]=296246-+-x x x14、略 15、273++=x x y 的图象可由x y 1=的图象先向左平移两个单位，再向上平移三个单位得到 16、2(p +q ) 17、当)0,(-∞∈a 时，没有解；当0=a 或),1(+∞∈a 时，两解；当1=a 时，三解；当)1,0(∈a 时，四解 18、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t t ϕ ，图略。
函数的表示法教案三篇
函数的表示法教案三篇函数的表示法教案一篇一、目的要求1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、函数及其图象这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
高中数学北师必修一教案
高中数学北师必修一教案学科：数学课程：高中北师必修一教材：《高中北师必修一》课题：函数的概念与性质教学目标：1. 了解函数的基本概念，能够分辨函数和非函数的关系；2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等；3. 能够运用函数的性质解决实际问题；4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的定义和概念；2. 函数的性质。
教学难点：1. 函数的性质的应用；2. 实际问题的函数建模。
教学过程：一、导入（5分钟）通过举例引入函数的概念，让学生理解什么是函数，引起学生的兴趣。
二、讲解函数的定义和概念（15分钟）1. 讲解函数的定义和符号表示；2. 介绍函数的自变量、因变量、定义域、值域等概念；3. 通过例题让学生理解函数的概念。
三、讲解函数的性质（20分钟）1. 介绍函数的奇偶性、单调性等性质；2. 讲解如何判断函数的奇偶性、单调性；3. 通过例题让学生掌握函数的性质。
四、例题训练（20分钟）1. 练习函数的性质；2. 解决实际问题；3. 帮助学生巩固所学知识。
五、课堂小结（10分钟）总结本节课所学内容，强调函数的概念和性质，展示函数在解决实际问题中的重要性。
六、作业布置（5分钟）布置相关作业，巩固学生所学知识，激发学生的学习兴趣。
教学反思：通过本节课的教学，学生对函数的概念和性质有了一定的了解，能够基本应用函数的性质解决问题。
但在实际问题的应用方面，学生还存在一定的困难，需要在以后的教学中重点加强。
同时，为了提高学生的学习兴趣，可以增加一些生活中的例子，让学生更好地理解函数的概念和性质。
北师大版高一数学必修一函数的概念说课稿
北师大版高一数学必修一函数的概念说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是函数的概念。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材《函数的概念》选自北师大版必修一第2章第二节，函数是高中数学学习的一条主线，对整个高中阶段的学习起着至关重要的作用。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，在初中阶段，学生已经根据变量的观点初步探讨函数的概念,高中也学习了集合的相关知识,这为学生重新定义函数的概念提供了必要的知识储备.三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1、理解函数的概念，了解构成函数的要素，能去简单函数的定义域。
2、学生经过讨论和思考的过程，提高发现问题和解决问题的能力。
3、提升学生数学抽象素养和数学运算素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为理解函数单调性的概念。
教学难点为理解f（x）的含义，从具体实例中抽象出函数的概念。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行1、新课导入：我将向学生提出问题：在初中所学的一次函数，反比例函数，一元二次函数，这些函数的基本特征是什么。
对于每一个x的取值，都有唯一确定的y值与之对应，这是函数的基本特征。
【教学设计】《函数的表示法》(北师大)
《函数的表示法》函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
为了帮助学生理解函数概念的本质，教材从函数的三要素、函数的表示法等角度对函数概念进行细化，之后将其推广到了映射，并在后续对基本初等函数的学习中，逐步加深理解。
本节内容起到承上启下的作用，是学生学过的函数概念的拓展和延续，又是后续进一步研究函数及其性质的基础。
因此在整个函数的教学中，占据重要地位。
【知识与能力目标】 1.明确函数的三种表示方法；2.会根据不同实际情境选择合适的方式表示函数；3.通过具体实例，了解简单的分段函数及应用。
【过程与方法目标】通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
【情感态度价值观目标】从学生熟知的实际问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。
【教学重点】函数的三种表示方法，分段函数的概念。
【教学难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示,及其图象。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题。
二、研探新知，建构概念1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？（1）解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域。
（2）列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。
（3）图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。
设计意图：以函数的三种表示方法导入，让学生自学，教师主导，明确每种表示的特点以及现实生活中的大量实例，进一步感受函数的概念所描述的客观世界，体会三种方法所刻画的对应关系。
高中数学教案北师大必修1教案
高中数学教案北师大必修1教案教案名称：函数的概念与表示方法一、教学目标：1.理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2.熟练掌握函数的各种表示方法；3.能够应用函数的概念和表示方法解决实际问题。
二、教学重点与难点：1.函数的定义与性质；2.函数的各种表示方法；3.函数的实际应用。
三、教学过程：1.激发学生的学习兴趣（10分钟）引入函数的概念，通过一些具体的例子，激发学生对函数的兴趣与好奇心。
2.了解函数的基本概念（30分钟）(1)引导学生回顾自变量与因变量的概念，并解释函数的定义；(2)通过实例演示函数的基本性质，包括唯一性、有界性和单调性；(3)小组讨论，总结函数的定义与性质。
3.掌握函数的基本表示方法（40分钟）(1)引导学生回顾函数解析式的写法和表示法；(2)通过具体的例子，教授图形表示法和表格表示法；(3)指导学生掌握函数的定义域和值域的求法；(4)练习题指导学生巩固函数的表示方法。
4.函数的实际应用（30分钟）(1)引导学生回顾函数在实际问题中的应用；(2)演示函数在实际问题中的运用，并引导学生参与讨论；(3)让学生自主解决实际问题，进行小组合作探究；(4)总结函数在实际问题中的应用方法。
五、课堂练习与作业（10分钟）布置一些课堂练习和课后作业，巩固学生对函数概念和表示方法的理解。
六、板书设计：函数的概念与表示方法：1.函数的定义与性质；2.函数的表示方法：解析式、图像、表格；3.函数的实际应用。
七、教学后记：通过本节课的教学，学生对函数的概念有了更清楚的理解，并且掌握了函数的各种表示方法。
在实践应用方面，学生也能够灵活运用函数解决实际问题。
需要注意的是，在课堂教学中要充分调动学生的积极性，注重实际应用的案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
同时，在课后作业中也应该注重练习题的设计，巩固学生的基本知识和应用能力。
函数的三种表示方法教案
函数的三种表示方法教案函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
在数学和计算机科学中，函数有多种表示方法，包括数学公式、图表和程序代码。
本教案将介绍函数的三种表示方法，并提供相关的教学示例和练习。
一、数学公式表示。
数学公式是最常见的函数表示方法之一。
通过数学公式，我们可以用符号和变量的组合来描述函数的关系。
例如，函数f(x) = x^2就是一个数学公式表示的函数，它表示了输入变量x和输出变量f(x)之间的关系。
在教学中，我们可以通过讲解数学公式的含义和使用方法，帮助学生理解函数的抽象概念，并进行相关的练习和作业。
二、图表表示。
图表表示是另一种直观的函数表示方法。
通过绘制函数的图表，我们可以直观地看到输入和输出之间的关系。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以通过绘制正弦曲线来展示函数的周期性和波动特性。
在教学中，我们可以引导学生观察和分析图表，帮助他们理解函数的变化规律和特点，并进行相关的练习和实验。
三、程序代码表示。
在计算机科学中，函数通常通过程序代码来表示和实现。
程序代码表示方法将函数的计算过程具体化，使得函数可以被计算机执行和应用。
例如，对于函数f(x) = 2x + 1，我们可以用Python代码来实现这个函数，并通过输入不同的x值来得到相应的输出结果。
在教学中，我们可以通过编程实践来教授函数的程序代码表示方法，帮助学生理解函数的实际运用和计算机实现。
综上所述，函数的三种表示方法分别是数学公式表示、图表表示和程序代码表示。
通过这些表示方法，我们可以全面地理解和应用函数的概念和特性。
在教学中，我们可以结合具体的例子和练习，帮助学生掌握这些表示方法，并培养他们的函数思维和计算能力。
希望本教案能够对函数的教学和学习有所帮助。
2.2函数的表示方法教学设计-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
3. 函数的表格表示方法：
- 表格的概念：函数的表格是将函数的输入值和输出值列举在一个表格中，以便于观察和分析。
- 表格的编制方法：根据函数的定义，选择合适的输入值，计算对应的输出值，然后将它们放入表格中。
- 表格的作用：表格可以用来查找函数的值，分析函数的特性，以及进行函数的插值和外推等操作。
过程：
开场提问：“你们知道什么是函数的表示方法吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于函数图像的图片或视频片段，让学生初步感受函数图像的魅力或特点。
简短介绍函数的表示方法的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 函数表示方法基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解函数的表示方法的基本概念、组成部分和原理。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，生动形象地展示函数图像和性质，提高学生的直观理解能力。
3. 教学内容：从基础入手，循序渐进，注重函数表示方法的学习与实际问题的结合，提高学生的应用能力。
4. 教学评价：注重过程性评价与终结性评价相结合，全面评价学生在知识、能力、素质等方面的提升。
4. 对课程学习的影响：基于以上学情分析，本节课的教学设计需要注重以下几个方面：
a. 教学内容要从基础入手，循序渐进，让学生逐步建立起对函数表示方法的认识。
b. 教学过程中要注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣，提高学习积极性。
c. 针对学生的不同能力水平，设计适当难度的教学任务，让每个学生都能在课堂上找到成就感。
5. 课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数表示方法的认识和理解。
学年高中数学专题教案 (十五)：函数的表示法3 (北师大版必修1) Word版
函数的表示 3一、内容及其解析（一）内容：函数的表示。
（二）解析：本节课要学的内容函数的表示指的是列表法、图象法、解析法，理解它关键就是，体会三种表示方法的特点，能够根据实际问题情境选择恰当的方法表示一个函数以获得一个函数的游泳信息，培养学生的灵活运用知识的能力。
学生已经学过了函数的概念并且在初中的时候接触过函数的三种表示法本节课的内容函数的表示法就是在此基础上的发展。
由于它还与实际问题有必要的联系,所以在本学科有着很重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。
教学的重点是函数的三种表示方法及根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数，所以解决重点的关键是结合实例让学生加深理解。
二、目标及其解析（一）教学目标1．理解函数的三种表示方法；2．理解分段函数以及表示和映射的概念；3.理解映射的概念；（二）解析1．理解函数的三种表示方法就是指能够根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数；2．理解分段函数以及表示和映射的概念就是指了解分段函数在解决实际问题中的应用，及分段函数解析式的建立及图象的描绘；3. 理解映射的概念就是指要学生体会由特殊到一般的思维方法，掌握映射的概念，会判断一个对应关系是否是映射，并且体验用映射刻画函数的方法，理解函数式一种特殊的映射。
三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是根据不同的需要选择恰当的方法表示一个函数和分段函数解析式的建立及图象的描绘，产生这一问题的原因是：学生根据实际问题情境获取有用信息和灵活运用知识的能力还有待提高；。
要解决这一问题，就要在多结合实际问题其中关键是理论联系实际。
四、教学过程设计一、导入新课在学习函数概念时，三个实例分别是怎样去表示它是函数的？二、提出问题问题1：某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用适当的方式表示函数y=f(x)．1.该函数用解析法怎样表示？2.该函数用列表法怎样表示？3.该函数用图象法怎样表示？问题2：下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及1.上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？2.上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？3.若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？问题3：某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.1.里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？2.该函数用解析法怎样表示？3.该函数用列表法怎样表示？4.该函数用图象法怎样表示？问题4：映射的定义是什么？1.函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？2.映射有哪几种对应形式？3.设集合A=N ，B={x|x 是非负偶数}，你能给出一个对应关系f ，使从集合A 到集合B 的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.4.有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？三．概念的巩固和应用例1 、设周长为20cm 的矩形的一边长为xcm ，面积为Scm 2,那么x 与S 的对应关系是否为函数？若是,试用适当的方法表示出来. 例2 、画出函数y=|x|的图象.例3、 试判断下面给出的对应是否为从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A={P|P 是数轴上的点}，集合B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A={P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x ∈R,y ∈R}，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A={x|x 是三角形},集合B={x|x 是圆},对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A={x|x 是师大附中的班级}，集合B={x|x 是师大附中的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生;(5)集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f ：x →2x+1例2、 已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}. （1）试建立一个从集合A 到集合B 的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A 到集合B 的映射？ 例3、 下列对应关系f 是否为从集合A 到集合B 的函数？22(1),{|0},:||;(2),,:;(3),,:(4),,: 3.A RB y y f x x A R B R f x x A Z B R f x A Z B Z f x x ==>→==→==→==→-四．课堂目标检测优化设计：随堂练习.五．小结1、函数的三种表示方法及各自的特点；2、分段函数解析式的建立及图象的描绘；3、映射的概念，并且体验用映射刻画函数的方法，理解函数式一种特殊的映射。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 2.2 函数的表示法》3
《函数的解析式》教学设计【教学目标】1. 知识与技能（1）了解函数的一些基本表示方法，会用不同表示方法表示函数；（2）掌握分段函数定义，能画出分段函数图像；2.过程与方法通过实例，引入分析并了解函数三种不同的表示方法，通过分段函数改变的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
3.情感态度、态度与价值观通过对函数不同表方法的教学，从中体会数学的简洁统一美，树立应用数形结合的思想方法。
【教学重难点】重点：函数的三种表示方法；分段函数定义。
难点：函数解析法与函数图像法；分段函数的表示及其性质。
【教学过程】一、复习回顾1.函数的定义：2.函数三要素：二、引入新课前面我们已经对函数三要素中定义域的求法做了系统的学习，这节课我们继续来研究函数三要素中的第二个要素——对应关系，在这里，我们考虑：函数的对应关系究竟该怎么表示呢？这就是我们这节课主要研究的内容：（板书课题）1.学习探究：活动：学生快速自由讨论，总结求函数解析式的方法。
探究：回顾我们学习函数概念时所研究的例题，大家来总结一下函数都有哪些表示方法？归纳总结：函数有三种表示方法：具体函数：换元法、配凑法、待定系数法；抽象函数：消去法，赋值法。
2. 实例探究例1、已知()2212++=+x x x f ,求()3f 及()x f ，()3+x f .总结归纳：利用换元法求解析式的步骤。
思考：如果这道例题要使用配凑法去求解析式，又该怎么去做？ 总结归纳：利用配凑法法求解析式的步骤。
练习：已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求f(x). 总结归纳：利用待定系数法法求解析式的步骤。
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).总结归纳：利用配凑法求解析式的步骤。
总结归纳：利用赋值法求解析式的步骤。
四、本课小结函数的解析式求法：换元法、配凑法、待定系数法；消去法、赋值法。
五、作业布置： 思考题：已知2211)11(x x x x f +-=+-，则?)(=x f。
数学北师大版必修一教学设计：函数的表示法Word版含答案
教学设计2．2函数的表示法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图像法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图像法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．3．会用描点法画一些简单函数的图像，培养学生应用函数的图像解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：分段函数的表示及其图像．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：解析法、图像法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式．(2)图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数值y 为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量之间函数关系的方法叫作图像法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫作列表法．应用示例思路1例1 请画出下面函数的图像：y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x ≥0，x <0.活动：学生思考函数图像的画法：①一次函数是基本初等函数，其图像是直线，可直接画出；②利用变换法画出图像，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：函数y ＝|x |的图像如图1所示．图1解法二：画函数y ＝x 的图像，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图像位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x |的图像(如图1所示)．点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等. 变式训练1．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x 2－2x ，－x ＋2，x ≤0，0<x ≤4，x >4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图像．分析：本题主要考查分段函数及其图像．f (x )是分段函数，要求f {f [f (5)]}，需要确定f [f (5)]的取值范围，为此又需确定f (5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图像，再合起来就是分段函数的图像．解：(1)∵5＞4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1. ∵0＜1＜4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1， 即f {f [f (5)]}＝－1.图2(2)图像如图2所示．2．画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，－x ，x ≤0，x >0的图像．步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像．如图3所示．图3点评：函数y＝f(x)的图像位于x轴上方的部分是y＝|f(x)|的图像的一部分，函数y＝f(x)的图像位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y＝|f(x)|的图像的一部分．这两部分合起来是y＝|f(x)|的图像，利用函数y＝f(x)的图像和函数y＝|f(x)|的图像的这种关系，由函数y＝f(x)的图像画出函数y＝|f(x)|的图像.例2 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：活动：学生回顾思考常数函数的图像形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示．解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图4.图4函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.20，0<m ≤20，2.40，20<m ≤40，3.60，40<m ≤60，4.80，60<m ≤80，6.00，80<m ≤100.点评：本题主要考查分段函数的解析式和图像．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 2(x )，…，x ∈D 1，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图像步骤是(1)画整个函数y ＝f 1(x )的图像，再取其在区间D 1上的图像，其他部分删去不要； (2)画整个函数y ＝f 2(x )的图像，再取其在区间D 2上的图像，其他部分删去不要； (3)依次画下去；(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．例3 某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图5.用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．图5解：速度是时间的函数，解析式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，－3t ＋90，t ∈[0，5)，t ∈[5，10)，t ∈[10，20)，t ∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s). 变式训练若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．分析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，2－x ，x ≤1，x >1.画函数f (x )的图像得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]例4 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数y ＝f (x )．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y ＝f (x )”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图像，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y ＝f (x )表示为y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 用列表法可将函数y ＝f (x )表示为图6点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图像法的特点是：直观形象地表示自变量的变化及相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质，图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N＋)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y ＝f(n)不能用解析法来表示．注意：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；(2)解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；(3)图像法：根据实际情境来决定是否连线；(4)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.变式训练1．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图7所示，求f(x)的解析式．图7解：观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1；当0＜x≤2时，f(x)＝－x2，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0<x ≤2.2．已知2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，则f (x )＝________.分析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，把f (x )和f (－x )看成未知数，解方程即得． 答案：3x ＋23思路2例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )＝________. 活动：学生思考函数的解析式表达的含义．设1－x1＋x ＝t ，利用换元法，转化为求f (t )．利用整体思想把1－x1＋x 看成一个整体，即可得函数的解析式．要注意函数f (t )与f (x )是同一个函数．分析：可设1－x1＋x ＝t ，则有x ＝1－t1＋t，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2. 所以f (x )＝2x1＋x 2. 答案：2x1＋x 2例2已知函数f (x )＝3x ＋7x ＋2.(1)画出函数f (x )的图像；(2)观察图像写出函数的定义域和值域．活动：学生思考函数图像的画法．利用变换法画函数f (x )的图像，利用图像法写出函数的定义域和值域．形如函数y ＝ax ＋b cx ＋d(c ≠0，a 2＋b 2≠0)的图像均可由反比例函数y ＝kx 的图像经过平移得到，因此函数y ＝ax ＋bcx ＋d(c ≠0，a 2＋b 2≠0)的图像形状是双曲线． 解：(1)y ＝3x ＋7x ＋2＝3x ＋6＋1x ＋2＝3＋1x ＋2.将y ＝1x 的图像向左平移两个单位得y ＝1x ＋2的图像，再向上平移三个单位得y ＝1x ＋2＋3的图像．图像如图8所示．图8(2)观察函数的图像图8，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)， 图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．则函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)． 点评：本题主要考查函数的定义域、值域和图像．画不熟悉的函数的图像，可以变形后通过基本函数，利用变换法画出图像，但要注意变形过程是否等价，要注意x ，y 的变化范围．因此必须熟记基本初等函数的图像，如：正、反比例函数，一次、二次函数的图像，在变换函数的解析式中运用了转化和分类讨论的思想．求函数值域的方法：(1)图像法，借助于函数值域的几何意义(图像上所有点的纵坐标的取值范围)，利用函数的图像求值域；(2)观察法，对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0等观察出函数的值域；(3)换元法，利用换元法转化为求常见函数如二次函数的值域等． 注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域. 变式训练求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x(－1≤x≤2)；(2)y＝x4＋1.分析：本题主要考查函数的值域及其求法．(1)借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；(2)观察得x4≥0，得函数的值域，也可以利用换元法转化为求二次函数的值域.(1)解：(图像法)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像，如图9所示：图9函数y＝x2－2x(－1≤x≤2)的图像上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域，观察图像知函数的值域是[－1,3]．(2)解法一：(观察法)函数的定义域是R，则x4≥0，有x4＋1≥1，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞)．解法二：(换元法)函数的定义域是R，设x2＝t，则t≥0，则有y＝t2＋1.利用图像可求得当t≥0时，二次函数y＝t2＋1的值域是[1，＋∞)，即函数y＝x4＋1的值域是[1，＋∞).知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则()．A．y＝10－x(0＜x≤10) B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)分析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为()．A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定分析：将函数y＝f(x)的图像向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图像，由于定义域均是R，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()．A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]分析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B拓展提升问题：变换法画函数的图像都有哪些？解答：变换法画函数的图像有三类：1．平移变换：(1)将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像；(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像；(3)将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；(4)将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于直线x＝0即y轴对称；(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于直线y＝0即x轴对称；(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图像可以将函数y＝f(x)的图像位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图像可以将函数y＝f(x)的图像y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y 轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图像即可得到．函数的图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图像是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图像可以比喻成人的相片，观察函数的图像可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图像的特点．借助函数的图像来解决函数问题，函数的图像问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业习题2—2B组2.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图像法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．(设计者：张新军)备课资料例1 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y＝0.3x＋0.5(3 500－x)＝－0.2x＋1 750，x∈N＋且0≤x≤3 500.(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图像，可得函数y＝－0.2x＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2 水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图10甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图10丙所示(至少打开一个水口)．图10给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是( )．A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③分析：由图10甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水； 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A。
高中数学 函数的表示方法 教案北师大版必修1 教案
正整数指数函数一、教材分析１．教材背景正整数指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质，学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，为将幂指数从整数扩充到实数范围之后，学习指数函数的一个基本初等函数。
本节内容1课时完成。
２．本课的地位和作用本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习指数函数、对数函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。
在正整数指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。
二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。
难点：函正整数指数数图像的特征。
三、目标分析１．知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征。
２．过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。
３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、学情分析１．有利因素学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素本节内容对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，同时要求学生勤动手，要求学生有好的学习习惯。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
依据本节为概念学习的特点，类比学习函数的一般思路，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
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函数的表示方法3
教学目标：
1.掌握函数的三种表示方法(列表法、解析法、图象法),会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
2.根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.
3.了解简单的分段函数，并能简单的应用。
一课题引入与教材认知：
1.以引入函数概念的三个问题为背景，引入函数的表示方法。
2.教材认知。
函数的三种表示方法：
（1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。
（2）解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法. （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。
缺点：只用于自变量为有限个的函数。
解析法优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。
缺点：一些实际问题很难找到它的解析式。
图象法优点：能直观形象地表示出函数的变化情况。
缺点：只能近似地反映函数的变化情况。
二典型例题
例1、购买某种饮料x听，所需钱数为y元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示x
（{}4,3,2,1
x）的函数,并指出该函数的值域。
∈
小结：同一个函数可以用不同的方法表示，在实际情境中，能根据不同的要求选择恰当的方法表示函数。
中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数。
例2、某市出租汽车收费标准如下：在3km以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4
元/km收费,试写出收费关于路程的函数解析式.
例2中的函数具有如下特点：
在定义域内不同部分上，有不同的解析式。
像这样的函数通常叫做分段函数
（注：分段函数是一个函数，而不是几个函数。
）
小结：（1）在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。
(2) 回顾初中所学内容，如正比例，一次，二次，反比
例函数等若已知函数类型，求函数解析式时常用待
定系数法其基本步骤是设出函数的一般式（或顶点
式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未
知系数。
三课堂练习:
1.已知一次函数与X轴交点为（-2，0），与Y轴交点为（0，1），求此函数。
2.已知如右图象，请写出解析式.
3.用长为30厘米的铁丝围成矩形，试将矩形面积s表示为矩形一边长x的函数。
4.()()()()==-<≥⎩⎨
⎧=x x f f f x x x x x f 00282,00,,，则的值。
若试求已知函数_____ 。
()().52,10.5==f f 解析式，满足请写出两个不同的函数
的解析式。
的面积，求函数表示点的行程，表示点，若达到、经过出发，沿正方形边顺次，一只蚂蚁从边长为已知正方形)(1.6x f y APD y P x D C B A ABCD =∆
四 课堂小节
1. 本节主要学习了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法的定义以及它们各自的优点以及三者之间的相互转化。
2. 根据实际问题中的条件列出函数解析式,然后解决实际问题.
五教后记。