静定结构的位移计算

第4章 静定结构的位移计算4.1 结构位移的概念4.1.1 结构位移结构都是由变形材料制成的，当结构受到外部因素的作用时，它将产生变形和伴随而来的位移。

变形是指形状的改变，位移是指某点位置或某截面位置和方位的移动。

如图4.1(a)所示刚架,在荷载作用下发生如虚线所示的变形，使截面A 的形心从A 点移动到了A ′点，线段AA ′称为A 点的线位移，记为A ∆，它也可以用水平线位移Ax ∆和竖向线位移Ay ∆两个分量来表示如图4.1(b)。

同时截面A 还转动了一个角度，称为截面A 的角位移，用A ϕ表示。

又如图4.2所示刚架，在荷载作用下发生虚线所示变形，截面A 发生了A ϕ角位移。

同时截面B 发生了B ϕ的角位移，这两个截面的方向相反的角位移之和称为截面A 、B 的相对角位移，即B A AB ϕϕϕ+=。

同理，C 、D 两点的水平线位移分别为C ∆如D ∆，这两个指向相反的水平位移之和称为C 、D 两点的水平相对线位移，既D C CD ∆+∆=∆。

除上述位移之外，静定结构由于支座沉降等因素作用，亦可使结构或杆件产生位移，但结构的各杆件并不产生内力，也不产生变形，故把这种位移称为刚体位移。

一般情况下，结构的线位移、角位移或者相对位移，与结构原来的几何尺寸相比都是极其微小的。

图4.1图4.2引起结构产生位移的主要因素有：荷载作用、温度改变、支座移动及杆件几何尺寸制造误差和材料收缩变形等。

4.1.2 结构位移计算的目的1. 验算结构的刚度结构在荷载作用下如果变形太大，即使不破坏也不能正常使用。

既结构设计时，要计算结构的位移，控制结构不能发生过大的变形。

让结构位移不超过允许的限值，这一计算过程称为刚度验算。

2. 解算超静定计算超静定结构的的反力和内力时，由于静力平衡方程数目不够，需建立位移条件的补充方程，所以必须计算结构的位移。

3. 保证施工在结构的施工过程中，也常常需要知道结构的位移，以确保施工安全和拼装就位。

4. 研究振动和稳定在结构的动力计算和稳定计算中，也需要计算结构的位移。

可见，结构的位移计算在工程上是具有重要意义的。

4.1.3 位移计算的有关假设在求结构的位移时，为使计算简化，常采用如下假定：(1) 结构的材料服从胡克定律，既应力应变成线性关系。

(2) 结构的变形很小，不致影响荷载的作用。

在建立平衡方程时，仍然用结构原有几何尺寸进行计算；由于变形微小，应力应变与位移成线性关系。

(3) 结构各部分之间为理想联结，不需要考虑摩擦阻力等影响。

对于实际的大多数工程结构，按照上述假定计算的结果具有足够的精确度。

满足上述条件的理想化的体系，其位移与荷载之间为线性关系，常称为线性变形系。

当荷载全部去掉后，位移即全部消失。

对于此种体系，计算其位移可以应用叠加原理。

位移与荷载之间呈非线性关系的体系称为非线性变形体系。

线性变形体系和非线性变形体系统称为变形体系。

本书只讨论线性变形体系的位移计算。

4.2 变形体系的虚功原理4.2.1 虚功和刚体系虚功原理实功：若力在自身引起的位移上做功，所做的功称为实功。

虚功：若力在彼此无关的位移上做功，所做的功称为虚功。

虚功有两种情况：其一，在做功的力与位移中，有一个是虚设的，所做的功是虚功；其二，力与位移两者均是实际存在的，但彼此无关，所做的功是虚功。

刚体系虚功原理：刚体系处于平衡的充分必要条件是，对于任何虚位移，所有外力所做虚功总和为零。

所谓虚位移是指约束条件所允许的任意微小位移。

4.2.2 变形体系虚功原理变形体系虚功原理：变形体系处于平衡的充分必要条件是，对任何虚位移，外力在此虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在微段虚变形位移上所做虚功总和。

此微段内力所做虚功总和在此称为变形虚功(其他书也称内力虚功或虚应变能)。

用变外W W =表示或W W v = 接下去着重从物理概念上论证变形体系虚功原理的成立。

做虚功需要两个状态，一个是力状态，另一个是与力状态无关的位移状态。

如图4.3(a)所示，一平面杆件结构在力系作用下处于平衡状态，称此状态为力状态。

如图4.3(b)所示该结构由于别的原因而产生了位移。

称此状态为位移状态。

这里，位移可以是与力状态无关的其他任何原因(例如另一组力系、温度变化、支座移动等)引起的，也可以是假想的。

但位移必须是微小的，并为支座约束条件如变形连续条件所允许，既应是所谓协调的位移。

图4.3现从如 4.3(a)所示力状态任取出一微段来作用在微段上的力既有外力又有内力，这些力将在如图4.3(b)所示位移状态中的对应微段由ABCD 移到了A ′B ′C ′D ′的位移上做虚功。

把所有微段的虚功总和起来，便得到整个结构的虚功。

(1) 按外力虚功和内力虚功计算结构总虚功。

设作用于微段上所有各力所做虚功总和为d w ，它可分为两部分：一部分是微段表面上外力所做的功d w e ，另一部分是微段截面上的内力所做的功d i w ，既d d de i w w w =+沿杆段积分求和，得整个结构的虚功为d d de i w w w ∑⎰=∑⎰+∑⎰简写为e i w w w =+e w 是整个结构的所有外力(包括荷载和支座反力)所做虚功总和，简称外力虚功；iw 是所有微段截面上的内力所做虚功总和。

由于任何相邻截面上的内力互为作用力与反作用力，它们大小相等方向相反，且具有相同位移，因此每一对相邻截面上的内力虚功总是互相抵消。

由此有0i w =于是整个结构的总虚功便等于外力虚功e w w = (a) (2) 按刚体虚功与变形虚功计算结构总虚功我们可以把如图 4.1(b)所示位移状态中微段的虚位移分解为两部分，第一部分仅发生刚体位移 (由ABCD 移到A B C D '''''')，然后再发生第二部分变形位移(A B C D ''''''移到A B C D '''')。

作用在微段上的所有力在微段刚体位移上所做虚功为d s w ，由于微段上的所有力含微段表面的外力及截面上的内力，构成一平衡力系。

其在刚体位移上所做虚功d 0s w =。

作用在微段上的所有力在微段变形位移上所做虚功为d v w ，由于当微段发生变形位移时，仅其两侧面有相对位移，故只有作用在两侧面上的内力做功，而外力不作功。

d v w 实质是内力在变形位移上所做虚功，即d d d s v w w w =+沿杆段积分求和、得整个结构的虚功为d d d s v w w w =+∑∑∑⎰⎰⎰ 简写为s v w w w =+由于d 00s s w w ==v w w = (b)所以有结构力状态上的力在结构位移状态上的虚位移所做虚功只有一个确定值，比较(a)、(b)式可得e v w w w ==这就是要证明的结论。

V W 的计算如下：对平面杆系结构，微段的变形如图 4.36(b)所示。

可以分解为轴向变形d u ，弯曲变形d ϕ和剪切变形为d r s 。

微段上的外力无对应的位移因而不做功，而微段上的轴力、弯矩和剪力的增量d d N F M 和d S F 在变形位移所做虚功为高阶微量，可略去。

因此微段上各内力在其对应的变形位移上所做虚功为d d d d v N w F u M Fs s ϕγ=++ 对于整个结构有d d d d v v N w w F u M s Fsr s ϕ==++∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰为书写简便，将外力虚功e w 改用w 表示，变形体虚功方程为：v w w = (4-1) 对于平面杆件结构有d d d v N w F m M Fs s ϕγ=++∑∑∑⎰⎰⎰ (4-2)故虚功方程为d d d N w F m M Fs s ϕγ=++∑∑∑⎰⎰⎰ (4-3)上面讨论中，没有涉及到材料的物理性质，因此对于弹性、非弹性、线性、非线性的变形体系，虚功原理都适用。

刚体系虚功原理是变形体系虚功原理的一个特例，即刚体发生位移时各微段不产生变形，故变形虚功0V W =。

此时(4-1)式成为0W = (4-4)虚功原理在具体应用时有两种方式：一种是对于给定的力状态，另外虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力，这样应用的虚功原理可称为虚位移原理。

在理论力学中曾讨论过这种应用方式。

虚功原理的另一种应用方式是对于给定的位移状态，另外虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的未知位移，这样应用的虚力原理可称为虚功原理。

4.3 结构位移计算的一般方式虚力原理是在虚功原理两个彼此无关的状态中，在位移状态给定的条件下，通过虚设平衡力状态而建立虚功方程求解结构实际存在的位移。

4.3.1 结构位移计算的一般公式1. 公式推导如图4.4(a)所示,刚架在荷载支座移动及温度变化等因素影响下，产生了如虚线所示的实际变形，此状态为位移状态。

为求此状态的位移需按所求位移相对应的虚设一个力状态。

若求4.4(a)所示刚架K 点沿k k -方向的位移K ∆，现虚设如图4.4(b)所示刚架的力状态。

即在刚架K 点沿拟求位移K ∆的K K -方向虚加一个集中力K F ，为使计算简便令1K F =。

为求外力虚功W ，在位移状态中给出了实际位移K ∆、1C 、2C 和3C ，在力状态中可根据1K F 的作用求出1R F 、2R F 、3R F 支座反力。

力状态上的外力在位移状态上的相应位移做虚功为。

1122331K K R R R K R W F F C F C F C F C=∆+++=⨯∆+∑为求变形虚功，在位移状态中任取一d s 微段，微段上的变形位移分别为d d d u s ϕγ、和在力状态中，可在与位移状态相对应的相同位置取d s 微段，并根据1K F =的作用可求出微段上的内力。

N S F M F 、和这样力状态微段上的内力，在位移状态微段上的变形位移所做虚功为：d d d d v N S w F u M F s ϕγ=++图4.4而整个结构的变形虚功为d d d v N S w F u M F s ϕγ=++∑∑∑⎰⎰⎰由虚功原理v w w =有1d d d K R N S F C F u M F s ϕγ⨯∆+=++∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰可得d d d K R N S F C F u M F s ϕγ∆=-+++∑∑∑∑⎰⎰⎰ (4-5)(4-5)式就是平面杆件结构位移计算的一般公式。

如果确定了虚拟力状态，其反力R F 和微段上的内力1N S F M F 、和，可求，同时若已知了实际位移状态支座的位移C ，并可求解微段的变形d d d u s ϕγ、、。

则位移K ∆可求。

若计算结果为正，表示单位荷载所做虚功为正，即所求位移K ∆的指向与单位荷载1K F =的指向相同，为负则相反。