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杭州市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(专题培优)

杭州市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(专题培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题1．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（）A．3B．33C．2 D．322．如图，O是ABC的外接圆，60BAC∠=︒，若O的半径OC为1，则弦BC的长为（）A．12B．32C．1 D．33．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )A．31)m B．31)mC．31)m D．31)m4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB5tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1 B．2 C5D．55．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）A．34m B．13m C．23m D．12m6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC7．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A．100m B．1002m C．1003m D．2003m38．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角BCD∠的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°9．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝12，则sinB＝（）A．12B3C5D2510．点E在射线OA上，点F在射线OB 上，AO⊥BO，EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，则tan∠EMF的值为( )A ．12B ．33C ．1D ．311．如图，在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，连接A 1C ，取A 1C 的三等分点Q （CQ ＜A 1Q ），当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为（ ）A ．πB ．23πC ．433πD ．233π 12．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．4813．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（ ）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24π14．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝3△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题15．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接DA 、DB ，则=ADB ∠______度；若4OA =，则该正八边形的面积为______．16．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 所成的锐角为60,10AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值为_______________________．17．已知菱形ABCD 的边长为6，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为点E ，AC ＝4，那么sin ∠AOE ＝_____．18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．19．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．21．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 ________ 米（结果保留根号）22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD=6，sin∠ADB=1010，若△AEF的周长为18，则S△BOE=_____．23．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2016的坐标是______．24．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.25．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）26．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．三、解答题27．2）0+cos60°﹣|13|．28．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =5，求tan ∠ABD 的值．参考答案29．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，//,BC AD BE AD⊥，斜坡AB长为51062m，坡度9:5i=．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE．（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米? 30．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．【参考答案】一、选择题1．B2．D3．A4．B5．D6．C7．A8．D9．D10．C11．D12．C13．A14．C二、填空题15．225【分析】连接OAOB由正八边形的性质求出得到过A作于K可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB∵ABCDEFGH是正八边形∴∴过A作于K16．【分析】根据四边形面积公式S＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S＝x（10−x）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC与BD所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC17．【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD根据∠OAE＝∠BAO∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO进而得到∠AOE＝∠BAO再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值【详解】∵菱形对角线18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x则AE=6﹣x∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC∴∠EDB=∠DBC由题意得20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解【详解】解：过C作CE⊥AB于EDF⊥AB于F可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA∵BC=6∴22．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt△ABF中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S△BDF由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=6∠BAD=9023．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B24．4【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E由锐角三角函数可得EP＝即PB+=PB+PE则当点B点P点E三点共线且BE⊥AD时PB+PE有最小值即最小值为BE【详解】解：如图过点P作PE⊥AD交25．【分析】设圆弧与AC交于F连接BF过F作FH⊥BC于H解直角三角形得到∠BAC＝60°求得△ABF是等边三角形得到∠ABF＝60°推出∠FBE＝30°然后根据S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△A26．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．B解析：B【分析】设AC=AB=x，求得tan3ACCDD===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设AC=AB=x，则tanACCDD===，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴BE ABCE CD===故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB∴BC＝2BD＝故答案是【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．3．A解析：A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx=3√3，解得：3，则建筑物MN的高度等于3 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.4．B解析：B【分析】根据正切的定义得到BC=12AC，根据勾股定理列式计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴ACBC=2，∴BC=12AC，由勾股定理得，AB2=AC2+BC252=AC2+（12AC）2，解得，AC=2，故选B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．5．D解析：D【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝22AC BC+＝5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为34，∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB＝22AC BC+＝5k＝5，∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m，∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，∴A′C＝12A′B′＝52，∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣52＝12m，故梯子下滑的距离AA'的长度是12 m，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．6．C解析：C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．7．A解析：A【分析】根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．【详解】解：由已知得，∠AOB=90°-60°=30°，OA=200m．则AB=12OA=100m．故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．8．D解析：D【分析】作AE⊥BC于E，根据平行四边形的面积=矩形面积的一半，得出AE=12AB，再由三角函数即可求出∠ABC的度数，即可得到答案．【详解】解：作AE⊥BC于E，如图所示：则∠AEB=90°，根据题意得：平行四边形的面积=BC•AE=12 BC•AB，∴AE=12AB，∴sinB=12AE AB =， ∴∠ABC=30°，∴∠BCD=150°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9．D解析：D【分析】作出草图，根据∠A 的正切值设出两直角边分别为k ，2k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12， ∴设AC ＝2k ，BC ＝k ，则AB ＝22(2k)k +＝5k ，∴sinB ＝AC AB＝2k 5k ＝255． 故选：D ．【点睛】考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．10．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．11．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =AD ＝9， ∴3tan AB ADB AD ∠==30ADB ︒∠=，∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ， ∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==， 当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长1203231803ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．12．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形，160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,22DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,44S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．13．A解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63∵OH ⊥AB ，∴BH ＝AH ＝33∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 3AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=， 故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．14．C解析：C【分析】连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，根据勾股定理可得AC ，根据直角三角形的边角关系可得∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°，再根据正三角形的性质可得：∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝3△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得EC 的长．判断△EAB ≌△EDC ，根据全等三角形的性质可得EB ＝EC ，继而根据题意可判断能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ，从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．根据等腰三角形的判定和性质可得F 是BC 中点，BF ＝CF 3EF ⊥BC ，由勾股定理可得EF 的长，继而列出关于R 的一元二次方程，解方程即可解答．【详解】如图所示，连接AC 、BE 、CE ，取BC 的中点F ，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DAB ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°,AD ∥BC ，AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2 ∵BC ＝AB ＝2由勾股定理可得：AC 4∴sin ∠ACB ＝24AB AC =＝12，sin ∠CAD ＝24CD AC =＝12∴∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°∵△ADE 是正三角形 ∴∠EAD ＝∠EDA ＝60°，AE ＝AD ＝DE ＝∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠CAD ＝90°,∴△EAC 是直角三角形，由勾股定理可得：EC∵∠EAB ＝∠EAD ＋∠BAD ＝150°∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝150°∴∠EAB ＝∠EDC∵EA ＝ED ，AB ＝DC∴△EAB ≌△EDC∴EB＝EC ＝即△EBC 是等腰三角形∵五边形ABCDE 是轴对称图形，其对称轴是直线EF ，∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的圆心在线段EF 上，且此圆只要覆盖住△EBC 必能覆盖五边形ABCDE ．从而此圆的圆心到△BCE 的三个顶点距离相等．设此圆圆心为O ，则OE ＝OB ＝OC ＝R ，∵F 是BC 中点∴BF＝CF EF ⊥BC在Rt △BEF 中，由勾股定理可得：EF 5∴OF ＝EF －OE ＝5－R在Rt △OBF 中，222BF OF OB即()2225R R +-= 解得：R ＝2.8∴能够覆盖五边形ABCDE 的最小圆的半径为2.8．故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系．解题的关键是理解圆内接五边形的特点，并且灵活运用所学知识．二、填空题15．225【分析】连接OAOB 由正八边形的性质求出得到过A 作于K 可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK 由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB ∵ABCDEFGH 是正八边形∴∴过A 作于K解析：22.5 322【分析】连接OA 、OB ，由正八边形的性质求出45AOB ∠=︒，得到22.5ADB ∠=︒，过A 作AK OB ⊥于K ，可证得AKO ∆是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK ，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：连接OA 、OB ，∵ABCDEFGH 是正八边形，∴360845AOB ∠=︒÷=︒，∴122.52ADB AOB ∠=∠=︒， 过A 作AK OB ⊥于K ，∴90AKO ∠=︒，∵45AOB ∠=︒，，∴AKO ∆是等腰直角三角形，∵4OA =，∴422AK ===∴11422OAB S OB AK ∆=⋅=⨯⨯=∴正八边形ABCDEFGH 88OAB S ∆==⨯=故答案为：22.5，．【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．【分析】根据四边形面积公式S ＝AC×BD×sin60°根据sin60°＝得出S ＝x（10−x ）×再利用二次函数最值求出即可【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°∴根据四边形面积公式得四边形ABC【分析】根据四边形面积公式，S ＝12AC×BD×sin60°，根据sin60°＝2得出S ＝12x （10−x ）【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S ＝12AC×BD×sin60°， 设AC ＝x ，则BD ＝10−x ，所以S ＝12x （10−x ）x−5）2所以当x ＝5，S【点睛】 此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．17．【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC ⊥BD 根据∠OAE ＝∠BAO ∠OEA ＝∠AOB 可以判定△OAE ∽△ABO 进而得到∠AOE ＝∠BAO 再由AO 和AB 的值即可求得sin ∠AOE 的值【详解】∵菱形对角线解析：13【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC ⊥BD ，根据∠OAE ＝∠BAO ，∠OEA ＝∠AOB 可以判定△OAE ∽△ABO ，进而得到∠AOE ＝∠BAO ，再由AO 和AB 的值即可求得sin ∠AOE 的值．【详解】∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA ＝∠AOB ，∵∠OAE ＝∠BAO ，∴△OAE ∽△ABO ，∴∠AOE ＝∠ABO ，∵AO ＝12AC ＝2，AB ＝6， ∴sin ∠AOE ＝sin ∠ABO ＝AO AB ＝13． 故答案为：13． 【点睛】 考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO ．18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH 表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C解析：)12001 【解析】【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB tan B tan303∠∴====米)， )AB HB HA 120012001∴=-==米，故答案为()120031-. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x 则AE=6﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB=∠DBC 由题意得 解析：3.75【分析】首先根据题意得到BE =DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED =x ，则AE =6﹣x ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ．由题意得：∠EBD =∠DBC ，∴∠EDB =∠EBD ，∴EB =ED =x ．由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6﹣x ）2，解得：x =3.75，∴ED =3.75．故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：2+3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，222221OA AC -=-3∴BC=OB ﹣OC=2﹣3， ∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=123AC BC =-=2+3． 故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ∵BC=6∴解析：62【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ， ∵BC=6，∴CE=2sin 456322BC ︒=⨯=， ∴DF=CE=32，∴62sin 30DF AD ==︒， 故答案为：62．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．22．【分析】根据题意求出AD=18设AF=则BF=在Rt △ABF 中利用勾股定理可求得求出DF=10可求出S △BDF 由三角形中位线定理可求出答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=6∠BAD=90解析：152【分析】根据题意求出AD=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求得8a =，求出DF=10，可求出S △BDF ，由三角形中位线定理可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=6，∠BAD=90°，OB=OD ，∵sin ∠ADB=10，∴610AB BD BD ==， ∴BD =∴18DA ===，∵E 为BF 中点，∴AE=BE=EF ，∵△AEF 的周长为18，∴AE+EF+AF=BE+EF+AF=BF+AF=18，设AF=a ，则BF=18a -，在Rt △ABF 中，AB 2+AF 2=BF 2，∴62+a 2=(18a -)2，解得：8a =，∴DF=18-8=10．∵E 为BF 中点，O 为BD 的中点， ∴OE ∥DF ，OE=12DF ， ∴△BOE ∽△BDF ， ∴BOE BDF 14SS =， ∵BDF 12S =DF•AB=12×6×10=30， ∴S △BOE =BDF 111530442S =⨯=． 故答案为：152． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，中位线定理，三角形的面积等知识，熟练掌握几何基本图形的性质是解题的关键．23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x 进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x 轴作垂线B1C 垂足为C 由题意可得：A （10）AO ∥A1B解析：（1009，10083） 【分析】 根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝32， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：32， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，32）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，32n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．24．4【分析】过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E 由锐角三角函数可得EP ＝即PB+=PB+PE 则当点B 点P 点E 三点共线且BE ⊥AD 时PB+PE 有最小值即最小值为BE 【详解】解：如图过点P 作PE ⊥AD 交解析：4【分析】过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，由锐角三角函数可得EP ＝12PD ，即PB+12PD =PB+PE ，则当点B,点P ,点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为BE ．【详解】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD∴∠EDP ＝∠DAB ＝30°，∴sin ∠EDP ＝12EP DP = ∴EP ＝12PD ∴PB ＋12PD ＝PB ＋PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB ＋PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠DAB ＝12BE AB = ∴BE ＝12AB =4 故答案为:4【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】设圆弧与AC 交于F 连接BF 过F 作FH ⊥BC 于H 解直角三角形得到∠BAC ＝60°求得△ABF 是等边三角形得到∠ABF ＝60°推出∠FBE ＝30°然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF−S △A解析：34π 【分析】 设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，解直角三角形得到∠BAC ＝60°，求得△ABF 是等边三角形，得到∠ABF ＝60°，推出∠FBE ＝30°，然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE计算即可．2【详解】解：设圆弧与AC交于F，连接BF，过F作FH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∵∠ABC＝90°，AB＝BE＝3，BC＝33∴tan∠BAC333=∴∠BAC＝60°，∵BA＝BF＝3，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠FBH＝30°，∴FH＝12BF＝32，∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22603303333360360244，故答案为：34π．【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a－x然后利用锐角三角函数求出PM和P3【分析】连接PM、PN，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x，则PB=2a－x，然后利用锐角三角函数求出PM和PN，然后利用勾股定理求出MN2与x的函数关系式，化为顶点式即可求出MN2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 的最小值为32a 3． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．三、解答题27．532【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】 2）0+cos60°﹣|13|＝1+1231）＝1+12＝52 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键． 28．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO ，∵∠EDC=90°，F 是EC 的中点，∴DF=FC ，∴∠FDC=∠FCD ，∵OD=OC ，∴∠OCD=∠ODC ，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙O 的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD ，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E ，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE ∽△ADC ， ∴DC DE AD DC， ∴DC 2=AD•DE ∵，∴设DE=x ，则，则AC 2﹣AD 2=AD•DE ，期（）2﹣AD 2=AD•x ，整理得：AD 2+AD•x ﹣20x 2=0，解得：AD=4x 或﹣4.5x （负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x -=，故tan ∠ABD=tan ∠ACD=422AD x DC x==． 29．（1）452m ；（2）10米 【分析】 （1）根据坡度设9BE x =，5AE x =，利用勾股定理得222BE AE AB +=，列出方程求出x 的值，可以求出BE 的长；（2）连接AF ，过点F 作FH AD ⊥于点H ，根据FAH ∠是45︒，利用它的正切值得到FH 和AH 的比值，设BF xm =，列式求出x 的值． 【详解】（1）∵坡度9:5i =， ∴95BE AE =，设9BE x =，5AE x =， 根据勾股定理，222BE AE AB +=，则222581251062x x +=，解得52x =， ∴545922BE m =⨯=； （2）如图，连接AF ，过点F 作FHAD ⊥于点H ， 由（1）得525522AE m =⨯=， 设BF xm =，∵tan tan 451FH FAH AH=∠=︒=， ∴4521252x =+，解得10x =， ∴BF 至少是10米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法． 30．（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3，AC ＝32DC 2；（2）E （1，0）；（32【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可解的a ，b 的值，从而得到解析式，tan ∠DAC ＝DC AC，可根据表达式求出C ，D 的坐标然后计算DC 和AC 的长度计算；（2）可取一点E ，过E 作EF 平行于x 轴，交AC 于F 此时可表示出S △ACE ，根据类方程S △ACE ＝2S △ACD ，求E 点坐标即可；（3）根据题能得到Q 的运动轨迹为直线，且当P 在A 处时Q 在C 处，当P 运动到C 处时，可以得到△ADC ∽PQD ，根据形似性质可得到PQ 长度即为Q 的运动路径长．【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）分别代入抛物线y ＝ax 2+bx +3可得： 093303a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩； ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴D （﹣1，4），C （0，3）；∴AC ＝32DC 2；∴tan ∠DAC ＝21=332DC AC ． （2）如图1所示，过E 作EF //x 轴交AC 于点F ，设点E （m ，﹣m 2﹣2m +3），直线AC 的表达式为y ＝kx +n ，将A （﹣3，0），C （0，3）分别代入y ＝kx +n 可得：033k n n =-+⎧⎨=⎩，解得13k n =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 表达式为y ＝x +3，。

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数(公式、定理、结论图表) --中考数学知识必备

锐角三角函数（公式、定理、结论图表）--中考数学知识必备考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c∠==的邻边斜边；BCa c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为16m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB ＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==．(4)如图，若直角三角形ABC 中，CD⊥AB 于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a 2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b 2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h 2＝pq；由△ACD∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝12AB；②点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R＝12AB．(6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-==++．直角三角形的面积：①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B === △．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABCS r a b c=++△．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）A ．232cmB ．23cmC ．22cmD ．223cm 2．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）A ．4B ．5C ．163D ．833．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）A ．7.6 米B ．27.5 米C ．30.5 米D ．58.5 米 4．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．5:1B ．4:1C ．3:1D ．2:1 5．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限的点B 在反比例函数kyx的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（）A．4 B．8 C．-4 D．-86．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=22；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=52S△ABF ,其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（）A．23B．33C．63D．93 28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值等于（）A．43B．34C．45D．359．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）A．34m B．13m C．23m D．12m10．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos 的值是（）A．34B．43C．35D．4511．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBCB．BCABC．ADACD．CDAC12．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（ OC⊥OB，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知AB a，AD b，∠BCO=α．则点A到OC的距离等于（）A．asinα+bsinαB．acosα+bcosαC．asinα+bcosαD．acosα+bsinα13．如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（）A ．()3,3B ．()3,1C ．()2,1D ．()2,3 14．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，B 在y 轴正半轴上，D 在x 轴负半轴上，将正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30至AB C D '''，CD 与B C ''相交于点E ，则E 坐标为（ ）A ．31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛- ⎝⎭ D ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题15．某斜坡的坡度33i =，则它的坡角是__________度．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点P （1，1），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝2，那么点A 的坐标是_____． 17．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C 处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．19．如图，长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C’处，BC’交AD于点E，则线段DE的长为____.20．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为_____．21．如图，已知直线l：33y x=，过点()0,1A作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点1A；过点1A作y轴的垂线交直线l于点1B，过点1B作直线l的垂线交y轴于点2A；…；按此作法继续下去，则点2020A的坐标为__________．22．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=____．23．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．24．如图，矩形ABCD 中，AD=1，CD=3，连接AC ，将线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，线段AE 与弧BF 交于点G ，连接CG ，则图中阴影部分面积为__.25．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．26．如图，在ABC ∆中10AB AC ==，以AB 为直径的圆O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF A ∠=∠，1tan 3CBF ∠= ，则BC 的长为__________．三、解答题27．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：ACD △∽BFD △；（2）当tan 1ABD ∠=，3AC =时，求BF 的长．28．我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）29．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.30．计算：（1）()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒（2）23260x x --=（3）2(1)5(1)140x x -+--=【参考答案】一、选择题1．D2．C3．C4．A5．D6．D7．B8．C9．D10．D11．C12．D13．B14．A二、填空题15．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键16．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan∠ABO＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x轴y轴的交点坐标为（17．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x则AE=6﹣x∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC∴∠EDB=∠DBC由题意得20．2+【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB﹣OC=2﹣在Rt△ABC中根据tan∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA过点A 作AC⊥OB于点21．【分析】先求出点B的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B（1）∴OA=1OB=∴tan∠A22．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD 即可求出OM的长【详解】过P作PD23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x轴作垂线B1C垂足为C由题意可得：A（10）AO∥A1B24．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD中∵AD=1CD=25．【分析】连接PMPN根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x则PB=2a －x然后利用锐角三角函数求出PM和P26．【分析】连接AE根据AB是直径得出AE⊥BCCE=EB依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB 是圆的且线进而得出CB的长【详解】解：连接AE∵AB为直径∴AE⊥BC∵AB=AC∴∠EAB=∠CABEB三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．D解析：D【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm，∴AB=BC=2cm，∵有一个内角是60°，∴∠ABC=60°，∴AM=ABsin60°，∴此菱形的面积为：=2cm )．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质． 2．C解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则5,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴= 2,BC x AD ∴== ()()()2222255,x x ∴=++235250,x x ∴--=55x ∴=5x = 55855DE ∴== ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛∴= ⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．3．C解析：C【分析】延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，得到GF=BC=5，设DF=3k，CF=4k，解直角三角形得到结论．【详解】解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，则四边形BGFC是矩形∴GF=BC=5，∵山坡CD的坡度为1：0.75，∴设DF=3k，CF=4k，∴CD=5k=35，∴k=7，∴DF=21，BG=CF=28，∴EG=GF+DF+DE=5+21+19=45，∵∠AED=52.5°，∴AG=EG•tan52.5°=45×1.30=58.5，∴AB=AG-BG=30.5米，答：铁塔AB的高度约为30.5米．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．4．A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A，进而可求出∠ADC，从而可得答案．【详解】解：如图，DE是菱形ABCD的高，DE=1cm，∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AD=2cm，在Rt△ADE中，∵DE=12AD，∴∠A=30°，∵AB∥DC，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC：∠A=150°：30°=5:1．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．5．D解析：D【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得214AOCBODS OAS OB⎛⎫==⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124 AOCBODS OAS OB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵1212AOCS⨯==，12BODS k=△，∴11142k =，∴8k =， ∵k ＜0，∴k=﹣8．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．6．D解析：D【分析】依据△AEF ∽△CBF ，即可得出CF=2AF ；依据△BAE ∽△ADC ，即可得到tan ∠ ；过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，依据DM 垂直平分CF ，即可得出DF=DC ；依据∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF ∽△CAB ；设△AEF 的面积为s ，则△ABF 的面积为2s ，△CEF 的面积为2s ，△CDE 的面积为3s ，四边形CDEF 的面积为5s ，进而得出S 四边形CDEF =52S △ABF 【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， AE AF BC CF∴= ∵AE=12AD= 12BC ， 12AF CF ∴= ∴CF=2AF ，故①正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，∵BE ⊥AC ，∠BAD=90°，∴∠ABE=∠ADC ，而∠BAE=∠ADC=90°，∴△BAE ∽△ADC ，2b aa b∴=，即b ∴=22CD tan CAD AD b a =∠=∴=，故②正确；如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=12BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得12AFCF EFBF==设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF=52S△ABF，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．7．B解析：B【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF 是菱形，所以可求出BE ，AE ，进而可求出BC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，//,DE BF ∴,,DEO BFO EDO FBO ∴∠=∠∠=∠ EF 垂直平分BD ，OB OD ∴=，BOF DOE ∴∆∆≌，,OE OF ∴=∴ 四边形BEDF 是菱形，∵四边形ABCD 是矩形，四边形BEDF 是菱形，∴∠A=90°，AD=BC ，DE=BF ，OE=OF ，EF ⊥BD ，∠EBO=FBO ，∴AE=FC ．又EF=AE+FC ，∴EF=2AE=2CF ，又EF=2OE=2OF ，AE=OE ，∴△ABE ≌OBE ， ∴∠ABE=∠OBE ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE= cos30BO ︒＝ ∴BF=BE=∴∴BC=BF+CF=故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°． 8．C解析：C【解析】∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴sinB=45AC AB = ， 故选C. 9．D解析：D【分析】设AC＝3k，BC＝4k，根据勾股定理得到AB＝22AC BC+＝5k＝5，求得AC＝3m，BC＝4m，根据直角三角形的性质健康得到结论．【详解】解：如图，∵梯子倾斜角α的正切值为34，∴设AC＝3k，BC＝4k，∴AB＝22AC BC+＝5k＝5，∴k＝1，∴AC＝3m，BC＝4m，∵A′B′＝AB＝5，∠A′B′C＝30°，∴A′C＝12A′B′＝52，∴AA′＝AC﹣A′C＝3﹣52＝12m，故梯子下滑的距离AA'的长度是12 m，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．10．D解析：D【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα=BCAB进而求出即可．【详解】解：如图所示：∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosα=45BC AB ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键． 11．C解析：C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD ，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠α+∠BCD ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠α＝∠ACD ，∴cosα＝cos ∠ACD ＝BD BC ＝BC AB ＝DC AC， 只有选项C 错误，符合题意．故选：C ．【点睛】 此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD 是解题关键．12．D解析：D【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离即可求解．【详解】解：作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．13．B解析：B【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB 的值，再根据勾股定理可得OB 的值，进而可得点A 的坐标．【详解】解：如图，过A 点作AD x ⊥轴于D 点，Rt OAB ∆的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30．30AOD ∴∠=︒，12AD OA ∴=， C 为OA 的中点，1AD AC OC BC ∴====，2OA ∴=，3OD ∴=，则点A 的坐标为：(31)．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．14．A解析：A【分析】连接AE，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12∠B′AD=30°，由DE=ADtan∠DAE可得答案．【详解】如图：连接AE∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB C D'''，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△A B′E中，∵AD AB AE AE'=⎧⎨=⎩∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∠B′AD=30°，∴DE=ADtan∠33∴点E的坐标为（-13故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形旋转．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．二、填空题15．30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答【详解】解：设斜坡的坡角为则有∵故答案为【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键解析：30【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．【详解】解：设斜坡的坡角为α，则有()tan 3i α==，∵()tan 3030α︒=∴=︒， 故答案为30 ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．16．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan ∠ABO ＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x 轴y 轴的交点坐标为（解析：（﹣1，0）或（3，0）【分析】依题意得1k b =+，即1b k =-，可得一次函数解析式为1y kx k =+-，所以1k OA k -=，1OB k =-，由tan ∠ABO ＝2得到121k k k -=-且1k ≠可解得12k =或12k =-，进而求得结论． 【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,1P ，∴1k b =+，即1b k =-，∴一次函数解析式为1y kx k =+-，∴一次函数1y kx k =+-与x 轴、y 轴的交点坐标为（1k k -，0）、（0，1k -）， ∴1k OA k-=，1OB k =-， ∵tan 2OA ABO OB ∠==, ∴121k k k-=-且1k ≠， 解得，12k =或12k =-， 当12k =时，OA=1，此时点A 在x 轴负半轴上，所以点A 坐标为（﹣1，0），当12k=-时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），∴A点的坐标是1,0或3,0故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解决本题时要注意点A的坐标有两种情况，不要漏解．17．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求解析：5 12【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．【详解】2213050-（米），故坡道的坡比是：50：120=512．故答案是：5 12．【点睛】本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．18．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH的长然后计算出AB的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C解析：()120031【解析】【分析】在Rt ACH和Rt HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．【详解】由于CD//HB，CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB tan B tan303∠∴====米)， )AB HB HA 120012001∴=-==米，故答案为)12001. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．19．375【分析】首先根据题意得到BE=DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可解决问题【详解】设ED=x 则AE=6﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB=∠DBC 由题意得解析：3.75【分析】首先根据题意得到BE =DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED =x ，则AE =6﹣x ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ．由题意得：∠EBD =∠DBC ，∴∠EDB =∠EBD ，∴EB =ED =x ．由勾股定理得：BE 2=AB 2+AE 2，即x 2=9+（6﹣x ）2，解得：x =3.75，∴ED =3.75． 故答案为3.75．【点睛】本题考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．20．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出、BC=OB ﹣OC=2Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，222221OA AC -=-3∴BC=OB ﹣OC=23∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=23AC BC =-3 故答案是：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 21．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入3y x =中得3 ∴B 3，1），∴OA=1，3∴tan ∠AOB=3AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =, ∴133AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)； 同理：1143A B =，1211312A A AB ==， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键. 22．5【分析】过P 作PD ⊥OB 交OB 于点D 在直角三角形POD 中利用锐角三角函数定义求出OD 的长再由PM=PN 利用三线合一得到D 为MN 中点根据MN 求出MD 的长由OD-MD 即可求出OM 的长【详解】过P 作PD解析：5．【分析】过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在直角三角形POD 中，利用锐角三角函数定义求出OD 的长，再由PM=PN ，利用三线合一得到D 为MN 中点，根据MN 求出MD 的长，由OD-MD 即可求出OM 的长．【详解】过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D ，在Rt △OPD 中，cos60°12OD OP ==，OP =12， ∴OD =6．∵PM =PN ，PD ⊥MN ，MN =2，∴MD =ND 12=MN =1， ∴OM =OD ﹣MD =6﹣1=5．故答案为：5．【点晴】本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．23．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x 进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x 轴作垂线B1C 垂足为C 由题意可得：A （10）AO ∥A1B解析：（1009，10083） 【分析】 根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝32， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：32， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，32）， 同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，32n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．24．﹣【分析】由勾股定理得到AC=2由三角函数的定义得到∠CAB=30°根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°求得∠BAG=60°然后根据图形的面积即可求得【详解】在矩形ABCD 中∵AD=1CD=解析：2π【分析】由勾股定理得到AC=2，由三角函数的定义得到∠CAB=30°，根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAF=90°，求得∠BAG=60°，然后根据图形的面积即可求得．【详解】在矩形ABCD 中，∵AD=1，，∵AC=2，tan ∠CAB=3BC AD AB CD ==， ∴∠CAB=30°，∵线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，∴∠CAE=∠BAF=90°，∴∠BAG=60°，∵，∴阴影部分面积=S △ABC +S 扇形ABG -S △ACG 1112222π=+=-故答案为：2π 【点睛】考查了扇形的面积计算，解题关键是灵活运用矩形、旋转的性质和熟记扇形的面积计算公式． 25．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ） 在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2 ∴MN 3 3． 【点睛】 此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．26．【分析】连接AE 根据AB 是直径得出AE ⊥BCCE=EB 依据已知条件得出∠CBF=∠EABFB 是圆的且线进而得出CB 的长【详解】解：连接AE ∵AB 为直径∴AE ⊥BC ∵AB=AC ∴∠EAB=∠CABEB 解析：10【分析】连接AE ，根据AB 是直径，得出AE ⊥BC ，CE=EB ，依据已知条件得出∠CBF=∠EAB ，FB 是圆的且线，进而得出CB 的长.【详解】解：连接AE ，∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴∠EAB=12∠CAB ，EB=CE=12CB ， ∵∠CBF=12∠CAB ，tan ∠CBF=13， ∴∠CBF=∠EAB ，tan ∠EAB=EB AE =13， ∴∠CBF+∠ABC=∠EAB+∠ABC=90°，∴FB 是⊙O 的切线，∴FB 2=FD•FA ，在RT △AEB 中，AB=10， ∴10，∴10，故答案为：10.【点睛】此题考查圆周角的性质，解直角三角形，求得FB 是圆的切线是解题的关键．三、解答题27．（1）见解析；（2）3【分析】（1）由90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，推出DBF DAC ∠=∠，由此即可证明；（2）先证明AD BD =，由ACD △∽BFD △，得1AC AD BF BD ==，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴DBF DAC ∠=∠，∴ACD △∽BFD △．（2）∵tan 1ABD ∠=，90ADB ∠=︒， ∴1AD BD=， ∴AD BD =，∵ACD △∽BFD △， ∴1AC AD BF BD==， ∴3BF AC ==．【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．28．该文化墙PM 不需要拆除，见解析【分析】首先过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则天桥高CD=6，由新坡面的坡度为13tanα=tan ∠CAB=33==，然后由特殊角的三角函数值来求AD ，BD 的长；由坡面BC 的坡度为1：1，新坡面的坡度为13AD ，BD 的长，继而求得AB=AD-BD 的长，则可求得PA 答案．【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为13， ∴tanα33==，∴α＝30°．作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米， ∵新坡面的坡度为13∴tan ∠CAD CD 6AD AD 3===解得，AD ＝63，∵坡面BC 的坡度为1：1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD ﹣BD ＝（3-6）米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB ﹣AB ＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1．732≈3．6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除．【点睛】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形，利用好坡比，会解直角三角形是关键．29． AB=7)31米． 【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x （米），再利用CD=BC-BD=14的关系，进而可解即可求出答案．【详解】解：在Rt △ABD 中，∵∠ADB=45°，∴3．在Rt △ABC 中，∵∠ACB=30°， ∴BC=AB ．设AB=x （米），∵CD=14，∴BC=x+14．∴3x∴x=7)31 即铁塔AB 的高为7)31米． 【点睛】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．30．（1）15342--2）11193x +=，21193x -=；（3）13x =，26x =-； 【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）利用求根公式计算即可；（3）将（x -1）看作整体，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：222cos30sin 45cos 60tan 45-+︒+︒︒︒=214()1222-++⨯=14++1)124---=1542--； （2）解：23260x x --=，∵3,2,6a b c ==-=-，∴2(2)43(6)472760,∆=--⨯⨯-=+=>∴方程有两个不相等的实根，∴x ==∴113x =，213x =； （3）解：2(1)5(1)140x x -+--=，[][](1)7(1)20,x x -+--=∴60x +=或30x -=，∴126,3x x =-=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算以及一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案一、锐角三角函数1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BGCF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.【解析】 【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E e 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆∴11NF AF AN AB BC AC== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x ==1504333131OF =-=即143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x =∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MGCF BC == ∵MG ≤半径4=∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH =（t ﹣3）2cm 2∴S 关于t 的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC 时，易知此时N 点为DC 的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s 的时候，△CPD 为等腰三角形； ②当DC=PC 时，DC=PC=12cm ∴NC=6cm∴EN=16cm ﹣1cm ﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s 时，△CPD 为等腰三角形．综上所述，当t=9s 或t=（15﹣6）s 时，△CPD 为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.5．许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A ，B 两点之间的距离他沿着与直线AB 平行的道路EF 行走，走到点C 处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D 处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF 之间的距离为200米，求A ，B 两点之间的距离（结果保留一位小数）【答案】215.6米． 【解析】 【分析】过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点，根据Rt △ACM 和三角函数tan BDF ∠求出CM 、DN ，然后根据MN MD DN AB =+=即可求出A 、B 两点间的距离. 【详解】解：过A 点做EF 的垂线，交EF 于M 点，过B 点做EF 的垂线，交EF 于N 点在Rt △ACM 中，∵45ACF ∠=︒，∴AM=CM=200米，又∵CD=300米，所以100MD CD CM =-=米， 在Rt △BDN 中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴115.6tan 60BNDN =≈o米，∴215.6MN MD DN AB =+=≈米 即A ，B 两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键.6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．8．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．10．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE=15cm，AD=14cm．（1）求半径OA的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）（2）求扇形BOC的面积（π取3.14，结果精确到1cm）822cm．【答案】(1)半径OA的长约为24.5cm；(2)扇形BOC的面积约为2【解析】【分析】(1)在Rt△ODE中，DE=15，∠ODE=67°，根据∠ODE的余弦值，即可求得OD长，减去AD 即为OA．(2)用扇形面积公式即可求得.【详解】(1)在Rt △ODE 中，15cm DE =，67ODE ∠=︒． ∵cos DE ODE DO ∠=， ∴150.39OD ≈， ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈．．， 答：半径OA 的长约为24.5cm ．(2)∵67ODE ∠=︒，∴157BOC ∠=︒，∴2360BOC n r S π=扇形 2157 3.1424.52360⨯⨯≈ ()2822cm ≈．答：扇形BOC 的面积约为2822cm ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，本题把实际问题转化成数学问题，利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键．11．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FHAB BE CH==；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝8463 FH EHCH AB===，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝43．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．14．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：12．(1)求此人所在位置点P的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)【答案】（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为127.1米【解析】分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x 的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，∵斜坡的坡度i＝5:12，设PF＝5x，CF＝12x，∵四边形BFPE为矩形，∴BF＝PEPF＝BE.在RT△ABC中，BC＝90，tan∠ACB＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋120x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝207，∴PF＝5x＝10014.37≈.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米.由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×207≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1.答：从P到点B的路程约为127.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC=解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EFAC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH 垂直平分线段AD ，∴FA ＝FD ，∴当点D 与O 重合时，△AOF 是等腰三角形，此时AB ＝2BC ，∠CAB ＝30°， ∴AB ＝83， ∴⊙O 的面积为163π． 如图2中，当AF ＝AO 时，∵AB 22AC BC +216x +∴OA ＝2162x +， ∵AF 22EF AE +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴216x +2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得x ＝4（负根已经舍弃），∴AB ＝2∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2164x+，∵△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴16＝x•2164x+，解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，∴⊙O的面积＝π•14•AB2＝（217+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF ＝18x 2＝98， ∴FG＝2﹣98，AF158，AH， ∵∠CFG ＝∠AFH ，∠FCG ＝∠AHF ，∴△CFG ∽△HFA ， ∴GF CG AF AH=，∴928158-= ∴CG，∴＝．故答案为【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数

九年级数学同步培优竞赛详附答案 16第十六讲 锐角三角函数

【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R Cc B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21 ，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值． 10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51C ．92D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a 与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14) (2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲 锐角三角函数精编版

数学培优竞赛新方法(九年级)-第14讲 锐角三角函数精编版

第14讲 锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。

正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的cot tan cos sin 、、、的通用形式。

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质： 1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。

平方关系1cos sin 22=+a a商数关系aaa a a sin cos cot ,cos sin tan == 倒数关系1cot tan =a a例题求解【例1】（1）如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠,则ABM ∠tan 的值为 .（全国初中数学联赛题）(2)已知在ABC ∆中，B A ∠∠、是锐角，且135sin =A ，则ABC S ∆= . （黄冈市竞赛题）思路点拨 对于（1），由MBC NMB ∠=∠，分别延长MN BC 、交于T ，可构造等腰三角形，作AB TE ⊥于D ，通过相似三角形建立线段关系；对于（2），过C 作AB CD ⊥于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，135sin ==AC CD A ,2tan ==BDCDB ,设n BD n CD cm AC cm CD ====,2,13,5，解题的关键是求出n m 、的值。

【例2】如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC 则AC = A.32+ B.32- C.3.0 D.23-（全国初中数学联赛试题）【例3】如图，在直角坐标系中，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,点C A 、的坐标分别为43tan ),01()0,3(=∠-BAC C A ，、 （1）求过点B A 、直线的函数表达式.（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB ∆与ABC ∆相似（不包括全等），并求点D 的坐标.（3）在（2）的条件下，如果Q P 、分别是AB 和AD 的动点，连接PQ ，设m DQ AP ==，问是否存在这样的m 使得APQ ∆与ADB ∆相似，如存在，求出m 的值，如不存在，请说 明理由。

数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》

数学九年级培优第25讲 《锐角三角函数》

第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝12，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝12BCAC=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB，∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴AE MDAM CD=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM＝CMCE=．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．αA BCCBEA M D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴ODtan∠CDO＝OCOD＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝53，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝53ADAB=，设AD＝5x，AB＝3x，而13DE CDAB BC==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝155DE xAD x==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝HE AH AECH CH EB==，设BE ＝x ，则BD ＝CD，∴BC ＝x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AEEB＝3．【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝PCPA，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝35． 【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似三角形对应线段成比例进行转化．题型五 利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝12∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BDa a ，∴CD ＝(1)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D＝AC CD =－1．A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值．【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD，∴AC ＝(2x ，∴tan 15°＝BC AC＝2针对练习11．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B ＝ 125 ．3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝12．4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝12． A D CBABCDG F DCBA E5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝tan 2A的值．解：AB=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7＋tan2A＝tan ∠D＝7－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝CD AC ＝13． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x，则AB x ．∴BC，BD ．∴tan ∠ADB ＝AMDM8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值．ABCDEAAEDCBABCDM解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝92．∴BH＝12，CH∴tan12∠BAC＝tan∠D＝CHDH＝2962+．tan12∠CBA＝tan∠E＝CHHE＝2142+，∴tan12∠BAC·tan12∠CBA＝13．方法技巧：深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的正切值为12时，sin2a＝．【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BCAC＝12，设BC＝1，AC＝2，则AB．sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2＝45．【点评】紧扣定义，运用公式解题．▶题型二利用已知三角函数，求线段长【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝34，AE⊥BC于点E，若CD＝2AD，求AE的长．BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CDAC＝DFAE＝23．∴AE＝32DF＝9．【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．▶题型三利用已知三角函数，求线段比【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan∠DCE＝12，求ab的值．【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA，∴BD2，同理CD＝DE＝BE－BD222，又∵谈∠DCE＝DECD＝222b aab-＝12，∴a2＋ab－b2＝0，∴ab▶题型四利用已知三角函数，求面积【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝12，cos∠ACD，AC与BD交于点E，CDBE＝2ED，求四边形ABCD的面积．【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴ABDF＝AEEF＝BEED＝2，设EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FDAF＝12，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝CFCD．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝12AB·AC＋12AC·DF＝12×6×7＋12×7×3＝632．针对练习21．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝34．∠B＝30°，则AB2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝34，则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913．3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝B＝30°，则△ABC4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝34，AB＝20，BC＝10，AD＝13，求CD的长．解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AHBH＝34，∴设AH＝3x，BH＝4x，(3x)2＋(4x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GBGC＝34，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求ADDB的值．解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝52，tan∠DBF＝DFBF＝34．∴DF ＝158，在Rt△BFD中，BD＝258，∴AD＝5－258＝158，∴ADDB＝35．6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝35，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD＝3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝12ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG＝30°，AB＝12，∴AG＝EFC∽△EAG，得EFEG＝CFAG，可求EG＝BE＝EG－BG＝9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝126)×6＝75－E DCBA ABCDE FG。

锐角三角函数培优讲义33113

锐角三角函数培优讲义33113

讲义编号：组长签字：签字日期：（2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：（1）平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：00 300450 600sin α2122 23 cos α 1 23 22 21 tan α33 1 （1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cos α=35，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。

5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1ncosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案

备战中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案

-X 锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1. 如图，山坡上有一棵树AB,树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6jj 米，山坡的坡角 为30。

・小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的髙，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=I 米，【解析】解：・・・底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30。

・CF=I 米, ・•・ DC=9+l=10 米, /. GE=IO 米, •・・ Z AEG=45∖・•・ AG=EG=I0 米， 在直角三角形BGF 中，BG=GF ∙tan20o=10×0.36=3.6 米， ・•・ AB=AG-BG=IO-3.6=6.4 米, 答：树髙约为6.4米首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直 角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高2. 如图，等腰AABC 中，AB=AC, ZBAC=36。

，BC=I l 点 D 在边 AC 上且 BD 平分ZABC, 设 CD=×.(1) 求证：△ ABC- ∆ BCD ： (2) 求X 的值：(3) 求 cos36o-cos72°的值.DC=BC ∙cos30o==6√3×√3 2【答案】6.4米 （参考【答案】⑴证明见解析：（2） 土JE ： （3） 7近+ X.216【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线 求出ZDBC 的度数，得到Z DBC=Z A,再由ZC 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得 到三角形ABC 与三角形BCD 相似：（2） 根据（1）结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC 表示出AC,由（1）两三角形相似得比 例求岀X 的值即可；（3） 过B 作BE 垂直于AC,交AC 于点E,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用 锐角三角函数左义求出∞s360与cos72o的值，代入原式计算即可得到结果. 试题解析：（1） T 等腰AABC 中，AB=AC, Z BAC=36o, ・•・ Z ABC=Z C=72% ••・BD 平分Z ABC, ••・ Z ABD=Z CBD=36% ∙/ Z CBD=Z A=36% Ze=Z C, ・•・△ ABC - A BCD ； （2） V Z A=Z ABD=36∖ .∙. AD=BDf ∙.∙ BD=BC, ・•・ AD=BD=CD=I, 设 CD=x,则有 AB=AC=×+l, •・• △ ABc - △ BCD,AB BC _x+l 1整理得：×2+×-l=0, ≡=E 舍去2（3） IiB 作BE 丄AC,交AC 于点E,BD = CD, i 1~Γ = 7：.E 为 CD 中点，即 DE=CE=二4BC 14√5+l -l + √5 _£2 ,2・等腰三角形的性质：3•黄金分割；4•解直角三角 3. 如图，在AABC 中，ZABC=90\以AB 的中点0为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点 D, E 是BC 的中点，连接DE, OE.(1) 判断DE 与OO 的位置关系，并说明理由： (2) 求证：BC 2=2CD ∙0E:3 14 (3) 若COSZBAD = —，BE = -,求 OE 的长.53【答案】(1)DE 为Oo 的切线，理由见解析：(2)证明见解析：(3) OE=^-・6【解析】试题分析：(1)连接0D, BD,由直径所对的圆周角是直角得到ZADB 为直角，可得岀 ∆BCD 为宜角三角形，E 为斜边Be 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,I +Ξ!±√ΣZIAE4在 Rt ∆ ABE 中，COSA=COS36°=——一 分 AB√5+l4在 Rt ∆ BCE 中,COSC=COS72°= EC土逅+ 1 2 _i+7? 4 -1 + \/5 9则 cos36o-cos72°= =4 4【考点】1.相似三角形的判左与性质; 形・得到CE=DE f从而得Z C=Z CDE,再由OA=OD.得Z A=Z ADO l由Rt∆ ABC中两锐角互余，从而可得ZADO与ZCDE互余，可得出ZODE为直角，即DE垂直于半径0D,可得岀 DE为C)O的切线：(2)由已知可得OE是AABC的中位线，从而有AC=20E,再由ZC=ZC, Z ABC=Z BDC, 可得AABO ABDC,根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得：(3)在直角AABC中，利用勾股左理求得AC的长，根据三角形中位线左理OE的长即可求得. 试题解析：(i) DE为C)O的切线，理由如下：连接0D, BD,∙.∙ AB为C)O的直径，・•・ Z ADB=90%在Rt∆ BDC中，E为斜边BC的中点，1 ∙∙∙ CE=DE=BE=-BC,2・•・ Z C=Z CDE,•・・ OA=OD,・•・ Z A=Z ADO,T Z ABC=90o,・•・ Z C+Z A=90o,・•・ Z ADO+Z CDE=90∖・•・ Z ODE=90∖.∙. DE丄OD,又OD为圆的半径,.∙. DE为C)O的切线；(2)∙.∙E是BC的中点，O点是AB的中点,.∙. OE ⅛Δ ABC的中位线,・•・ AC=20EtT Z C=Z C t Z ABC=Z BDC,••・△ ABC- BDC,BC AC Un 7・•・——=——,即BC2=AC∙CD.CD BC：.BC2=2CD∙OE;3(3)解：∙.∙ COSZ BAD= τ,BC 4.∙. SinZ BAC= = —»AC 5]斗28又TBE=*, E是BC的中点，即BC=学，3 335.∙. AC=—•3又・・• AC=20E,135.・・ OE=-AC=—.2 6考点：1、切线的判泄：2、相似三角形的判定与性质：3、三角函数4.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 分）已知：如图，AB是半圆0的直径，弦CDlIAB ,动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ = OP . AP的延长线与射线O0相交于点E、与弦CD相交于点F （点F与（1）求证：AP = OQ.（2）求y关于X的函数关系式，并写出它的定义域：（3）当PE是直角三角形时，求线段OP的长.【答案】（1）证明见解析；（2） y=3・「-6（）工+ 30（）（巴＜牙＜]0）；（S）OP = EX13【解析】【分析】（1）IiE明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP = DQ,联结OD后还有OA = DO ,再结合要证明的结论AP = OQ ,则可肯泄需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即ZPoA = ZQD O即可：（2）根据APFC-ΔΛ4O,将而积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分4成三种情况讨论，充分利用已知条件CoSZAOC = -.以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中泄义域的答案舍去.【详解】2，(1) 联结 OD, ∙.∙ OC = OD,∙∙. Z0CD = Z(9DC,∙.∙ CDlIAB.：.ZOCD = ZCOA,.∙. ZPOA = ZQDO.在SAOP 和'ODQ 中，OP = DQ {ZPOA = ZQDO,OA = DO ∙. SAOP^ ^ODQ t •・ AP = OQ.(2)作PH 丄04,交OA 于H ,4.∙ COSZAoC =—,443m UoP 卡,Pr ，・ SMoP =丄 Ao ・ PH = 3x .2・• CDIIAB, ∙. APFCs MA0、Jy=3√-60A÷300t 当F 与点D 重合时,・・ CD = 2OC ∙CoS ZOCD = 2×10×⅛ = 16.51⅛Γ护解得"罟3X 2-60X + 300 z 50 InX・•・ y = --------- ( VX<10)：X13(3) ①当ZOPE = 90 时，ZOPA = 90 ,4・・・ OP = OA cOSZAOC = ∖0×- = S;CC- - -- -IQ 25 ②当 ZPOE = 90」时， CoS ZQCO CoS ZAOC 4 25 25 7 ・・・ OP = DQ = CD-CQ = CD-- =16- — = -2 2 2OC 10•・•一VOPVlO,137・•・OP = -（舍去）：2③当APEO = 90 时，V CDIIAB ,・・・ ZAOQ = ZDQO ,∙.∙ SAOP里'ODQ,：.ZDQO = ZAPO ,・•・ ZAOQ = ZAPO,∙∙∙ ZAEO = ZAOP = 90 ,此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去; 综上，线段OP 的长为8・5.如图，已知二次函数y = [x'+bΛ∙ + c的图象经过点A (-3, 6),并与X轴交于点8 (- 1，0)和点C,顶点为点P.(1)求这个二次函数解析式；(2)设D为X轴上一点，满足Z DPC=Z BAC,求点D的坐标；(3)作直线&P,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP±是否存在点Λ/,使AM+M∕V 的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)点C坐标为(3, 0),点P (1, -2) : (2)点P (7, 0): ⑶点N (・5 5【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解：1I BH O «</2 1 J (2)利用SΔ ABC= —×AC×BH= —×BC×yA> 求出 Sina= = 一= —= ♦则 tana=—, 在2 2 AB2√10√5 2MD X 1Δ PMD 中，tana= --- = ---- ,即可求解；PM x + 2√2 2(3>作点A关于对称轴的对称点A，(5, 6),过点A，作AN丄AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.13 故：抛物线的表达式为：X=-X 2-X--.22 3令尸0,则X=.或3,令x=0,则y=-— »2故点C 坐标为（3, 0）,点P （1, -2）:（2）过点3作BH 丄AC 交于点H,过点P 作PG 丄X 轴交于点G,由题意得：AB=2 √10 > ∕AC=6√2 > BC=4, PC=2 √2 »1 1S Δ ABC= — ×AC×BH= — ×BC×VA ^22解得：BH=2BHSina= ------- 2√2 1nιl1=——F = = 一T=,贝IJ tana=—, 由题意得： GC=I=PG.故Z PCB=AS 09延长PC,过点D 作DM 丄PC 交于点M,则 MD=MC=X,八 IMD X 1 ∏.∆ PMD ψ, tanα= = ------ T ==—PM x+2√2 2解得：×=2Λ∕2 ,则 CD=TJX 二4, 故点 P （7, 0）:（3）作点A 关于对称轴的对称点A （5, 6）,过点A 作AN 丄AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N,此时AM^M N 最小,【详解】（1）将点人、B 坐标代入二次函数表达式得:.96 = _-3/? + 32 O = - — -/? +C2b = -∖解得： 3C =——2Q 1直线AP表达式中的k值为：—=-2,则直线AN表达式中的k值为丄，-4 2设直线AN的表达式为：y=*χ+b,将点A坐标代入上式并求解得：b=[,21 7故直线AN的表达式为：y=-x÷-...①，2 2当E时,y=4,故点 M (1, 4 ),同理直线AP的表达式为：y=-2x...②，联立①②两个方程并求解得：X=-L714故点N§)・【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中(3),利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.6.如图，正方形ABCD的边长为√2+l.对角线AC、BD相交于点O, AE平分ZBAC分别交 BC、BD 于 E、F,(1)求证：△ ABz △ ACE：(2)求 tanZ BAE 的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE÷PF最小，求出最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) tanZ EAB=JJ - 1：(3) PE+PF的最小值为√2 + √2 ∙【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图i中，作EH丄AC于H.首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=X,构建方程求出X 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时 PF+PE 的值最小，最小值为线段EH的长：【详解】（1）证明：T四边形ABCD是正方形，・•・ Z ACE = Z ABF=Z CAB=45%••• AE 平分Z CAB,・•・Z EAC = Z BAF = 22.5°,・•・△ ABF- ∆ ACE.（2）解：如图1中，作EH丄AC于H・D C图1∙/ EA 平分Z CAB, EH丄AC, EB丄AB,・•・ BE = EB,•・・ Z HCE = 45o, Z CHE=90%・•・ Z HCE = Z HEC = 45%・•・ HC=EH,・•・ BE = EH = HC,设 BE = HE = HC=x,则 EC=JJx,T BC=√2+1»・•・x+x=匝+1，.∙. X=I t在 Rt∆ ABE 中，∙/ Z ABE=90%BE _ 1 _ ZT・•・ta∩Z EAB = ——=—7=——=72 -I.AB√2 + l（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF÷PE的值最小.•・• AC= √AB 2 3+BC 2=2÷√2 >・•・ OA=OC = OB=丄 AC= $ + 忑,2 2HM = OH+OM =••・PE+PF 的最小值为J2 + √Σ・・ 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型・7. 在矩形ABCD 中，AD>AB,点P 是CD 边上的任意一点（不含C, D 两端点），过点P 作PFIl BC,交对角线BD 于点F.2 如图1，将ZkPDF 沿对角线BD 翻折得到ZkQDF, QF 交AD 于点E.求证：Δ DEF 是等 腰三角形; 3如图2,将APDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△ P ,DF,连接PC, F ,B.设旋转角为α（0o<a<180o）・,1・•・ OH = OF = OA ∙tanZ OAF = OA ∙tanZ EAB =2 +√2~~2在 Rt ∆ EHM 中，EH=JEM$+ HNf = C（备用图）②如图3,若点P 是CD 的中点，ADFB 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 ta∩Z DBF I的值，如果不能，请说明理由・1 /T【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析：②亍或字. 【解析】【分析】（2）根据翻折的性质以及平行线的性质可知ZDFQ=Z ADF,所以ADEF 是等腰三 角形；（2）①由于PFIl BC,所以△ DPF 〜△ DCB,从而易证厶DPF-厶DCB ；②由于ADFB 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分 类讨论.【详解】（I ）由翻折可知：ZDFP=ZDFQ, ・・ PFIl BC, •・ Z DFP=Z ADF t •・ Z DFQ=Z ADF, •・△ DEF 是等腰三角形；(2)①若(TVaVZ BDC,即DF 1在Z BDC 的内部时,・• Z P ,DF Z=Z PDF, •・ Z P ZDF Z- Z F ZDC=Z PDF - Z FDC,•・ Z P ,DC=Z F zDB, 当ZDBF=90。

初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题

初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题

锐角三角函数提升题与常考题和培优题(含分析 )一．选择题（共11 小题）1．假如把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为本来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为本来的 3 被B．减小为本来的C．没有变化D．不可以确立2．在△ ABC中，∠ C=90°， AB=5，BC=4，那么∠ A 的正弦值是（）A．B．C． D．3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（）A．B．2sin αC．D．2cosα4．假如锐角α的正弦值为，那么以下结论中正确的选项是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜ 45° D．45°＜α＜ 60°5．如图，在 4× 4 的正方形方格中，△ ABC和△ DEF的极点都在边长为 1 的小正方形极点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C． D．3）6．在 Rt△ ABC中，各边都扩大 3 倍，则角 A 的正弦值（A．扩大 3 倍 B．减小 3 倍 C．不变 D．不可以确立7．如图，港口 A 在观察站 O的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后抵达 B 处，此时从观察站 O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km8．如图，在 2× 2 的网格中，以极点O为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则 tan ∠ ABO的值为（）A． B．2C． D．39．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ ABC 的正切值是（）A．2B． C． D．10．如图，点 D（ 0，3），O（0，0）， C（ 4， 0）在⊙ A 上， BD是⊙ A 的一条弦，则 sin ∠OBD=（）A． B． C． D．11．如图，已知在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，点 D沿 BC自 B 向 C运动（点 D 与点 B、C 不重合），作 BE⊥AD于 E，CF⊥AD于 F，则 BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小二．填空题（共12 小题）12．假如等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．13．如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥ AB于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．14．如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=2，边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，联络 DB，那么 tan ∠DBC的值是．15．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB的底部A 处，利用对面楼 CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB顶部B 处的仰角是α，若 tan α=，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB的高度是米．16．如图，在边长同样的小正方形网格中，点A、B、C、 D 都在这些小正方形的极点上， AB，CD订交于点 P，则的值 =，tan∠APD的值=．17．如图，在半径为 3 的⊙ O中，直径 AB与弦 CD订交于点 E，连结 AC，BD，若AC=2，则 tanD=．18．如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（﹣ 1，0），∠ ABO=30°，线段 PQ的端点 P 从点 O出发，沿△ OBA的边按 O→B→A→O运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，假如 PQ=，那么当点 P运动一周时，点Q运动的总行程为．19．如图，丈量河宽AB（假定河的两岸平行），在 C 点测得∠ ACB=30°， D 点测得∠ ADB=60°，又 CD=60m，则河宽 AB为m（结果保存根号）．20．如图，∠ AOB是搁置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．21．如图，P（12，a）在反比率函数图象上， PH⊥x 轴于 H，则 tan ∠POH的值为．22．已知 cosα=，则的值等于．23．如图，△ ABC 的三个极点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则tan（α +β）tan α +tan β．（填“＞”“ =”“＜”）三．解答题（共17 小题）24．计算： cos245° +﹣ ? tan30 °．25．计算： 2cos230°﹣ sin30 ° +．26．如图，在△ ABC中，∠ C=150°， AC=4， tanB=．（1）求 BC的长；（2）利用此图形求 tan15 °的值（精准到，参照数据： =，=，=）27．如图，已知四边形 ABCD中，∠ ABC=90°，∠ ADC=90°， AB=6，CD=4，BC的延伸线与 AD的延伸线交于点 E．（1）若∠ A=60°，求 BC的长；（2）若 sinA= ，求 AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保存根号）28．如图，在四边形 ABCD中，∠ BCD是钝角， AB=AD，BD均分∠ ABC，若CD=3，BD=， sin ∠DBC=，求对角线 AC的长．29．如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，点 D在边 AC上，且 AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点 E，联络 CE，求：（1）线段 BE的长；（2）∠ ECB的余切值．30．如图，在正方形ABCD中， M是 AD的中点， BE=3AE，试求 sin ∠ECM的值．31．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， sinA= ， BC=8，D 是 AB中点，过点 B 作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段 CD的长；（2）求 cos∠ABE的值．32．如图，已知∠ MON=25°，矩形 ABCD的边 BC在 OM上，对角线 AC⊥ON．当AC=5 时，求 AD的长．（参照数据： sin25 ° =；cos25°=；tan25 °=，结果精准到）33．一副直角三角板如图搁置，点 C 在 FD的延伸线上，AB∥ CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠ A=60°， BC=10，试求 CD的长．34．已知：如图，在△ ABC中，∠ ABC=45°， AD是 BC边上的中线，过点D作 DE ⊥AB于点 E，且 sin ∠DAB=，DB=3．求：（1） AB的长；（2）∠ CAB的余切值．35．数学老师部署了这样一个问題：假如α，β都为锐角．且 tan α=，tan β=．求α+β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图 1 和图 2．（1）请你分别利用图 1，图 2 求出α+β的度数，并说明原因；（2）请参照以上思虑问题的方法，选择一种方法解决下边问题：假如α，β都为锐角，当 tan α=5，tan β=时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明原因．36．如图，点 P、M、Q在半径为 1 的⊙ O上，依据已学知识和图中数据（、为近似数），解答以下问题：（ 1）sin60 °=；cos75°=；（2）若 MH⊥x 轴，垂足为 H， MH交 OP于点 N，求 MN的长．（结果精准到，参照数据：≈，≈）37．阅读下边的资料：某数学学习小组碰到这样一个问题：假如α，β都为锐角，且 tan α=，tan β=，求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ ABD=α，∠ CBE=β，且 BA，BC在直线 BD的双侧，连结 AC．（1）察看图象可知：α +β= °；（2）请参照该数学小组的方法解决问题：假如α，β都为锐角，当 tan α=3，tan β=时，在图 2 的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠ MON的度数．38．阅读以下资料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 Rt △ABC中，∠ACB=90°， AB=1，∠ A=α，求 sin2 α（用含 sin α， cosα的式子表示）．聪慧的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 AB的中点 O，连结 OC，过点 C 作 CD ⊥AB于点 D，则∠ COB=2α，而后利用锐角三角函数在 Rt△ ABC中表示出 AC，BC，在 Rt△ ACD中表示出 CD，则能够求出sin2 α====2sin α ? cosα．阅读以上内容，回答以下问题：在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=1．（ 1）如图 3，若 BC=，则 sin α=，sin2α=；（2）请你参照阅读资猜中的推导思路，求出 tan2 α的表达式（用含 sin α，cosα的式子表示）．39．图 1 是小明在健身器械长进行仰卧起坐锻炼时情形．图2是小明锻炼时上半身由 EM 地点运动到与地面垂直的EN 地点时的表示图．已知BC=米， AD=米，α=18°．（sin18 °≈， cos18°≈， tan18 °≈）（1）求 AB的长（精准到米）；（2）若测得 EN=米，试计算小明头顶由 M点运动到 N点的路径弧 MN的长度（结果保存π）40．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光芒 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8°和 10°，大灯 A 与地面离地面的距离为 1m求该车大灯照亮地面的宽度 BC．（不考虑其余要素）（参数数据： sin8 °=，tan8 °=，sin10 °=，tan10 °=）锐角三角函数常考题型与分析参照答案与试题分析一．选择题（共 11 小题）1．（ 2017? 奉贤区一模）假如把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为本来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为本来的 3 被B．减小为本来的C．没有变化D．不可以确立【剖析】依据△ ABC三边的长度都扩大为本来的 3 倍所得的三角形与原三角形相像，获得锐角 A 的大小没改变和余切的观点解答．【解答】解：因为△ ABC三边的长度都扩大为本来的 3 倍所得的三角形与原三角形相像，因此锐角 A 的大小没改变，因此锐角 A 的余切值也不变．应选： C．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的重点．2．（2017? 金山区一模）在△ ABC中，∠ C=90°， AB=5， BC=4，那么∠ A 的正弦值是（）A． B． C． D．【剖析】依据 sinA= 代入数据直接得出答案．【解答】解：∵∠ C=90°， AB=5，BC=4，∴sinA== ，应选 D．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（ 2017? 浦东新区一模）已知在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=α， BC=2，那么AB的长等于（）A． B．2sin αC． D．2cosα【剖析】依据锐角三角函数的定义得出sinA= ，代入求出即可．【解答】解：∵在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=α， BC=2，∴sinA= ，∴AB==，应选 A．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解本题的重点，注意：在 Rt△ ACB中，∠ ACB=90°，则 sinA= ， cosA=，tanA=．4．（ 2017? 静安区一模）假如锐角α 的正弦值为，那么以下结论中正确的选项是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜ 45° D．45°＜α＜ 60°【剖析】正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜ 45°，应选： C．【评论】本题考察了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值跟着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考察了互余两角的三角函数之间的关系．5．（ 2017? 莒县模拟）如图，在 4× 4 的正方形方格中，△ ABC和△ DEF的极点都在边长为 1 的小正方形极点上，则tan ∠ ACB的值为（）A． B． C． D．3【剖析】依据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，而后证明△ FDE∽△ ABC，因此【解答】解：由勾股定理可求出：BC=2，AC=2，DF=，DE=，∴，，，∴，∴△ FDE∽△ CAB，∴∠ DFE=∠ACB，∴tan ∠DFE=tan∠ACB=，应选（ B）【评论】本题考察解直角三角形，波及勾股定理，相像三角形的判断与性质．6．（2017 春?兰陵县校级月考）在Rt△ABC中，各边都扩3 倍，则角 A 的正大弦值（）A．扩大 3 倍B．减小3 倍C．不变D．不可以确立【剖析】依据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：由题意，得Rt △ABC中，各边都扩大3 倍，则角 A 的正弦值不变，应选： C．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题重点．7．（ 2017? 兴化市校级一模）如图，港口 A 在观察站 O的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后抵达 B 处，此时从观察站 O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即 AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km【剖析】依据题意，能够作协助线AC⊥OB于点 C，而后依据题目中的条件，可以求得 AC和 BC的长度，而后依据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：作 AC⊥OB于点 C，如右图所示，由已知可得，∠COA=30°， OA=6km，∵AC⊥OB，∴∠ OCA=∠BCA=90°，∴OA=2AC，∠ OAC=60°，∴AC=3km，∠ CAD=30°，∵∠ DAB=15°，∴∠ CAB=45°，∴∠CAB=∠B=45°，∴BC=AC，∴AB=，应选 A．【评论】本题考察解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答此类问题的重点是明确题意，利用在直角三角形中 30°所对的边与斜边的关系和勾股定理解答．8．（2017 春? 萧山区月考）如图，在2× 2 的网格中，以极点O 为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则 tan ∠ABO的值为（）A． B．2C． D．3【剖析】连结 OA，过点 A 作 AC⊥ OB于点 C，由题意知 AC=1、OA=OB=2，从而得出 OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在 Rt △ABC中，依据 tan ∠ABO=可得答案．【解答】解：如图，连结 OA，过点 A 作 AC⊥OB于点 C，则 AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC中，OC===，∴ BC=OB﹣OC=2﹣，∴在 Rt △ABC中， tan ∠ABO===2+，应选： C．【评论】本题主要考察解直角三角形，依据题意建立一个以∠ ABO为内角的直角三角形是解题的重点．9．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C 都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【剖析】依据勾股定理，可得AC、AB的长，依据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=， AB=2， BC=，∴△ ABC为直角三角形，∴tan ∠B==，应选： D．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，先求出 AC、AB的长，再求正切函数．10．（ 2016? 攀枝花）如图，点D（ 0， 3）， O（0，0），C（4， 0）在⊙ A 上， BD 是⊙ A 的一条弦，则 sin ∠OBD=（）A． B． C． D．【剖析】连结CD，可得出∠OBD=∠OCD，依据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin ∠ OBD 即可．【解答】解：∵ D（0，3），C（4，0），∴OD=3， OC=4，∵∠ COD=90°，∴CD==5，连结 CD，如下图：∵∠ OBD=∠OCD，∴sin ∠OBD=sin∠OCD==．应选： D．【评论】本题考察了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；娴熟掌握圆周角定理是解决问题的重点．11．（ 2016? 娄底）如图，已知在Rt △ABC中，∠ ABC=90°，点 D 沿 BC自 B 向 C运动（点 D与点 B、C 不重合），作 BE⊥ AD于 E，CF⊥AD于 F，则 BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【剖析】设 CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，易知 BE+CF=BC? cosα，依据 0＜α＜90°，由此即可作出判断．【解答】解：∵ BE⊥AD于 E，CF⊥AD于 F，∴CF∥BE，∴∠ DCF=∠DBF，设 CD=a， DB=b，∠ DCF=∠DBE=α，∴CF=DC? cosα， BE=DB? cosα，∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，∵∠ ABC=90°，∴O＜α＜ 90°，当点 D 从 B→D运动时，α是渐渐增大的，∴c osα的值是渐渐减小的，∴BE+CF=BC? cosα的值是渐渐减小的．应选 C．【评论】本题考察三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，获得 BE+CF=BC? cosα，记着三角函数的增减性是解题的重点，属于中考常考题型．二．填空题（共12 小题）12．（ 2017? 普陀区一模）假如等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．【剖析】如图，△ ABC中， AB=AC，AC：BC=5：6，作 AE⊥BC于 E，则 BE=EC，在Rt △AEC中，依据 cos∠C===，即可解决问题．【解答】解：如图，△ ABC中， AB=AC，AC：BC=5：6，作 AE⊥BC于 E，则 BE=EC，，在 Rt△ AEC中， cos∠ C===，故答案为．【评论】本题考察等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的重点是娴熟掌握所学知识，掌握等腰三角形中的常用协助线，属于中考常考题型．13．（ 2017? 宝山区一模）如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥AB于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．CD的长度，而后根【剖析】先证明△ BDC∽△ CDA，利用相像三角形的性质求出据锐角三角函数的定义即可求出 tanA 的值．【解答】解：∵∠ BCD+∠ DCA=∠ DCA+∠A=90°，∴∠ BCD=∠A，∵ CD⊥AB，∴∠ BDC=∠CDA=90°，∴△ BDC∽△ CDA，2∴ CD=BD? AD，∴ CD=6，∴ tanA==故答案为：【评论】本题考察解直角三角形，波及锐角三角函数，相像三角形的判断与性质．14．（ 2017? 青浦区一模）如图，在△ABC中，∠ C=90°， AC=3，BC=2，边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，联络 DB，那么 tan ∠DBC的值是．【剖析】由 DE垂直均分 AB，获得 AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=3﹣ x，在直角三角形 BCD中，利用勾股定理求出 x 的值，确立出 CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，∴AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，在 Rt△ BCD中，依据勾股定理得：（ 3﹣ x）2=x2 +22，解得： x=，则 tan ∠DBC==，故答案为：【评论】本题考察认识直角三角形，以及线段垂直均分线性质，娴熟掌握性质及定理是解本题的重点．15．（ 2017? 黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB的底部 A 处，利用对面楼 CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB顶部 B 处的仰角是α，若 tan α=，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼AB的高度是 27 米．【剖析】作 PE⊥ AB于点 E，在直角△ AEP中，利用三角函数求得 AE的长，依据AB=2AE即可求解．【解答】解：作 PE⊥AB于点 E，在直角△ AEP中，∠ APE=∠α，则 AE=PE? tan ∠ APE=30×=（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【评论】本题考察解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的重点是记着特别三角形的边之间关系，学会把问题转变为方程解决，属于中考常考题型．16．（2016? 自贡）如图，在边长同样的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的极点上， AB，CD订交于点 P，则的值 = 3，tan∠APD的值=2．【剖析】第一连结 BE，由题意易得 BF=CF，△ACP∽△ BDP，而后由相像三角形的对应边成比率，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF： CF=PF：BF=1：2，在 Rt△ PBF 中，即可求得 tan ∠ BPF的值，既而求得答案．【解答】解：∵四边形 BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△ DBP∽△ CAP，∴==3，连结 BE，∵四边形 BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE， CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，依据题意得： AC∥BD，∴△ ACP∽△ BDP，∴DP：CP=BD：AC=1： 3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在 Rt△ PBF中， tan ∠BPF==2，∵∠ APD=∠BPF，∴ tan ∠APD=2，故答案为： 3，2．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质与三角函数的定义．本题难度适中，解题的重点正确作出协助线，注意转变思想与数形联合思想的应用．17．（2016? 枣庄）如图，在半径为 3 的⊙ O中，直径 AB与弦 CD订交于点 E，连接 AC， BD，若 AC=2，则 tanD= 2 ．【剖析】连结 BC可得 RT△ACB，由勾股定理求得 BC的长，从而由 tanD=tanA= 可得答案．【解答】解：如图，连结 BC，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵ AB=6， AC=2，∴ BC===4，又∵∠ D=∠A，∴ tanD=tanA===2．故答案为： 2．BC构【评论】本题考察了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连结造直角三角形是解题的重点．18．（ 2016? 舟山）如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P 从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x 轴的非负半轴上运动，假如PQ=，那么当点 P 运动一周时，点Q运动的总行程为4．【剖析】第一依据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种状况进行计算：①点 P 从 O→B时，行程是线段 PQ的长；②当点 P 从 B→C时（ QC⊥AB，C为垂足），点 Q从 O运动到 Q，计算 OQ的长就是运动的行程；③点 P 从 C→A时，点Q由 Q向左运动，行程为 QQ′；④点 P 从 A→O时，点 Q运动的行程就是点 P 运动的行程；最后相加即可．【解答】解：在 Rt△AOB中，∵∠ ABO=30°， AO=1，∴AB=2， BO==，①当点 P 从 O→B时，如图 1、图 2 所示，点 Q运动的行程为，②如图 3 所示， QC⊥AB，则∠ ACQ=90°，即 PQ运动到与 AB垂直时，垂足为P，当点 P 从 B→C时，∵∠ ABO=30°∴∠ BAO=60°∴∠ OQD=90°﹣ 60°=30°∴c os30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣ 1=1则点 Q运动的行程为 QO=1，③当点 P 从 C→A时，如图 3 所示，点 Q运动的行程为 QQ′=2﹣，④当点 P 从 A→O时，点 Q运动的行程为 AO=1，∴点 Q运动的总行程为： +1+2﹣ +1=4故答案为： 4【评论】本题主假如应用三角函数定义来解直角三角形，本题的解题重点是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点当作是两个动点，将线段挪动问题转变为点挪动问题．19．（2016? 新疆）如图，丈量河宽AB（假定河的两岸平行），在C 点测得∠ACB=30°， D点测得∠ ADB=60°，又 CD=60m，则河宽 AB为 30 m（结果保存根号）．【剖析】先依据三角形外角的性质求出∠ CAD的度数，判断出△ ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出 AB的值．【解答】解：∵∠ ACB=30°，∠ ADB=60°，∴∠ CAD=30°，∴AD=CD=60m，在 Rt△ ABD中，AB=AD? sin ∠ADB=60×=30 （m）．故答案为： 30 ．【评论】本题考察的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，波及到三角形外角的性质、等腰三角形的判断与性质、锐角三角函数的定义及特别角的三角函数值，难度适中．20．（2016? 港南区二模）如图，∠ AOB是搁置在正方形网格中的一个角，则cos ∠ AOB的值是．222222222【剖析】第一连结 AB，由勾股定理易求得 OA=1 +3 =10，AB=1 +3 =10，OB=2 +4 =20，而后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，既而可求得cos∠AOB的值．【解答】解：连结 AB，222222222∵ OA=1 +3 =10， AB=1 +3 =10，OB=2+4 =20，222∴ OA+AB=OB，OA=AB，∴△ AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，∴∠ AOB=45°，∴cos∠AOB=cos45°=．故答案为：．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．本题难度不大，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．21．（ 2016? 于田县校级模拟）如图，P（ 12，a）在反比率函数图象上，PH⊥x 轴于 H，则 tan ∠POH的值为．【剖析】利用锐角三角函数的定义求解， tan ∠POH为∠ POH的对边比邻边，求出即可．【解答】解：∵ P（12，a）在反比率函数图象上，∴a==5，∵ PH⊥x 轴于 H，∴PH=5， OH=12，∴tan ∠POH=，故答案为：．【评论】本题主要考察了反比率函数图象上点的坐标特点，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．22．（ 2016? 雅安校级模拟）已知 cosα=，则的值等于0．【剖析】先利用 tan α=获得原式 ==，而后把 cosα=代入计算即可．【解答】解：∵ tan α=，∴==，∵cosα=，∴==0．故答案为 0．【评论】本题考察了同角三角函数的关系：平方关系： sin 2 A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或 sinA=tanA ? cosA．23．（ 2016?鞍山二模）如图，△ABC的三个极点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则tan （α +β）＞tan α +tan β．（填“＞”“=”“＜”）【剖析】依据正切的观点和正方形网格图求出tan α和 tan β，依据等腰直角三角形的性质和 tan45 °的值求出 tan （α +β），比较即可．【解答】解：由正方形网格图可知，tan α=，tan β=，则 tan α +tan β=+=，∵AC=BC，∠ ACB=90°，∴α +β=45°，∴ tan （α +β） =1，∴ tan （α +β）＞ tan α +tan β，故答案为：＞．【评论】本题考察的是特别角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特别角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的重点．三．解答题（共17 小题）24．（ 2017? 普陀区一模）计算： cos245°+﹣? tan30 °．【剖析】依据特别角三角函数值，可得答案．2=+﹣1=．【评论】本题考察了特别角三角函数值，熟记特别角三角函数值是解题重点．25．（ 2017? 浦东新区一模）计算： 2cos230°﹣ sin30 ° +．【剖析】依据特别角三角函数值，可得答案．2=1++．【评论】本题考察了特别角三角函数值，熟记特别角三角函数值是解题重点．26．（ 2016? 连云港）如图，在△ ABC中，∠ C=150°， AC=4，tanB=．（1）求 BC的长；（2）利用此图形求 tan15 °的值（精准到，参照数据： =，=，=）【剖析】（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC的延伸线于点 D，由含 30°的直角三角形性质得 AD=AC=2，由三角函数求出 CD=2，在 Rt △ABD中，由三角函数求出 BD=16，即可得出结果；（2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连结 AM，求出∠ AMC=∠MAC=15°，tan15 °=tan ∠ AMD=即可得出结果．【解答】解：（1）过 A 作 AD⊥ BC，交 BC的延伸线于点 D，如图 1 所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠ C=150°，∴∠ ACD=30°，∴ AD=AC=2，CD=AC? cos30°=4× =2，在Rt△ABD中，tanB===，∴ BD=16，∴BC=BD﹣CD=16﹣2；（2）在 BC边上取一点 M，使得 CM=AC，连结 AM，如图 2 所示：∵∠ ACB=150°，∴∠ AMC=∠MAC=15°，tan15 °=tan ∠ AMD====2﹣≈≈．【评论】本题考察了锐角三角函数、含 30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；娴熟掌握三角函数运算是解决问题的重点．27．（2016? 包头）如图，已知四边形 ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延伸线与 AD的延伸线交于点 E．（1）若∠ A=60°，求 BC的长；（2）若 sinA= ，求 AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保存根号）【剖析】（1）要求 BC 的长，只需求出 BE和 CE 的长即可，由题意能够获得 BE 和CE的长，本题得以解决；（2）要求 AD的长，只需求出 AE和 DE的长即可，依据题意能够获得 AE、 DE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）∵∠ A=60°，∠ ABE=90°， AB=6，tanA=，∴∠ E=30°， BE=tan60° ? 6=6，又∵∠ CDE=90°， CD=4， sinE= ，∠ E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ ABE=90°， AB=6，sinA== ，∴设 BE=4x，则 AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴ BE=8， AE=10，∴tanE====，解得， DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即 AD的长是．【评论】本题考察解直角三角形，解题的重点是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．28．（ 2016? 厦门）如图，在四边形ABCD中，∠ BCD是钝角， AB=AD，BD均分∠ABC，若 CD=3，BD=，sin ∠ DBC=，求对角线 AC的长．【剖析】过 D 作 DE⊥BC交 BC的延伸线于 E，获得∠ E=90°，依据三角形函数的定义获得 DE=2，推出四边形 ABCD是菱形，依据菱形的性质获得 AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，依据勾股定理获得结论．【解答】解：过 D 作 DE⊥BC交 BC的延伸线于 E，则∠ E=90°，∵sin ∠DBC=，BD=，∴DE=2，∵ CD=3，∴CE=1， BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠ CBD=∠CDB，∵BD均分∠ ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴ AB∥CD，同理 AD∥BC，∴四边形 ABCD是菱形，连结AC交 BD于 O，则 AC⊥ BD，AO=CO，BO=DO=，∴ OC==，∴ AC=2．【评论】本题考察了菱形的判断和性质，解直角三角形，正确的作出协助线是解题的重点．29．（ 2016? 上海）如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，点 D 在边AC 上，且 AD=2CD， DE⊥AB，垂足为点 E，联络 CE，求：（1）线段 BE的长；（2）∠ ECB的余切值．【剖析】（ 1）由等腰直角三角形的性质得出∠ A=∠B=45°，由勾股定理求出 AB=3，求出∠ ADE=∠A=45°，由三角函数得出 AE=，即可得出 BE的长；（2）过点 E 作 EH⊥BC，垂足为点 H，由三角函数求出 EH=BH=BE? cos45°=2，得出 CH=1，在 Rt△CHE中，由三角函数求出 cot ∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵ AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，∴∠ A=∠B=45°， AB===3，∵DE⊥AB，∴∠ AED=90°，∠ ADE=∠A=45°，∴AE=AD? cos45°=2× =，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段 BE的长为 2；（ 2）过点 E 作 EH⊥ BC，垂足为点 H，如下图：∵在 Rt △BEH中，∠ EHB=90°，∠ B=45°，∴EH=BH=BE? cos45° =2×=2，∵BC=3，∴ CH=1，在 Rt△ CHE中， cot ∠ ECB==，即∠ ECB的余切值为．【评论】本题考察认识直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；娴熟掌握等腰直角三角形的性质，经过作协助线求出 CH是解决问题（ 2）的重点．30．（ 2016? 厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中， M是 AD的中点， BE=3AE，试求 sin ∠ ECM的值．【剖析】依题意设 AE=x，则 BE=3x， BC=4x，AM=2x， CD=4x，先证明△ CEM 是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设 AE=x，则 BE=3x，BC=4x， AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，222∴ EM+CM=CE，∴△ CEM是直角三角形，∴sin ∠ECM==．【评论】本题考察了锐角三角函数值的求法．重点是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转变到直角三角形中求解．31．（ 2016? 江西模拟）如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°， sinA= ，BC=8，D 是AB 中点，过点 B 作直线 CD的垂线，垂足为点 E．（1）求线段 CD的长；（2）求 cos∠ABE的值．【剖析】（1）在△ ABC中依据正弦的定义获得 sinA== ，则可计算出 AB=10，而后依据直角三角形斜边上的中线性质即可获得 CD=AB=5；（ 2）在 Rt △ABC中先利用勾股定理计算出 AC=6，在依据三角形面积公式获得S△ BDC=S△ ADC，则S△BDC=S△ABC，即 CD? BE=? AC? BC，于是可计算出BE=，而后在 Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ ABC中，∵∠ ACB=90°，∴sinA== ，而 BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴ CD=AB=5；（ 2）在 Rt △ABC中，∵ AB=10，BC=8，∴ AC==6，∵D是 AB中点，∴BD=5， S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即 CD? BE=? AC? BC，∴BE==，在 Rt△ BDE中， cos∠ DBE===，即 cos∠ABE的值为．【评论】本题考察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考察了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．32．（ 2016? 启东市二模）如图，已知∠MON=25°，矩形 ABCD的边 BC在 OM上，对角线 AC⊥ON．当 AC=5时，求 AD的长．（参照数据： sin25 °=；cos25°=；tan25 °=，结果精准到）【剖析】延伸 AC交 ON于点 E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等获得∠ ACB=∠OCE=65°，接着在 Rt△ ABC中利用∠ ACB的余弦可计算出 BC，而后依据矩形的性质即可获得AD的长．【解答】解：延伸 AC交 ON于点 E，如图，∵AC⊥ON，∴∠ OEC=90°，在 Rt△ OEC中，∵∠ O=25°，∴∠ OCE=65°，∴∠ ACB=∠OCE=65°，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ ABC=90°， AD=BC，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，∴ BC=AC? cos65°=5× =，∴ AD=BC=．【评论】本题考察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵巧因为勾股定理、互余关系和三角函数关系．33．（2016? 松阳县二模）一副直角三角板如图搁置，点C在 FD的延伸线上， AB∥CF，∠ F=∠ACB=90°，∠ E=45°，∠ A=60°， BC=10，试求 CD的长．【剖析】过点 B 作 BM⊥ FD于点 M，依据题意可求出BC的长度，而后在△ EFD中可求出∠ EDF=45°，从而可得出答案．【解答】解：过点 B 作 BM⊥FD于点 M，在△ ACB中，∠ ACB=90°，∠ A=60°， BC=10，∴∠ ABC=30°， AC=10，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30 °=10× =5，CM=BC×cos30°=15，在△ EFD中，∠ F=90°，∠ E=45°，∴∠ EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．【评论】本题考察认识直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的重点依据题意成立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．34．（2016? 闸北区二模）已知：如图，在△ ABC中，∠ ABC=45°， AD是 BC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥ AB于点 E，且 sin ∠DAB=，DB=3．求：（1） AB的长；（2）∠ CAB的余切值．【剖析】（1）在 Rt△BDE中，求得 BE=DE=3，在 Rt △ADE中，获得 AE=4，依据线段的和差即可获得结论；（ 2）作 CH⊥AB 于 H，依据已知条件获得BC=6，由等腰直角三角形的性质获得BH=CH=6，依据三角函数的定义即可获得结论．【解答】解：（1）在 Rt △BDE中， DE⊥ AB，BD=3∠ABC=45°，∴BE=DE=3，在 Rt△ ADE中， sin ∠ DAB=， DE=3，∴ AE=4， AB=AE+BE=4+3=7；（2）作 CH⊥AB于 H，∵AD是BC边上是中线，BD=3，∴ BC=6，。

保定市第一中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典测试题(培优)

保定市第一中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典测试题(培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm ，此时小球距离桌面的高度为5cm ，则这个斜坡的坡度i 为（ ）A ．2B ．1：2C ．1：2D ．1：3 2．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（ ）A ．11sin a +米B ．11cos a -米C ．11sin a -米D ．11cos a +米 4．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x =的图象上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=的图象上，且OA ⊥OB ，tanA=2，则k 的值为（ ）A．4 B．8 C．-4 D．-85．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m6．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（）A．355B．175C．35D．457．如图，四边形 ABCD中，BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD的面积为（）A．43B．8 C．23+4 D．368．如图，在A处测得点P在北偏东60︒方向上，在B处测得点P在北偏东30︒方向上，若2AB=米，则点P到直线AB距离PC为（）．A．3米B3米C．2米D．1米9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）A ．6B ．3C ．32D ．62﹣6 10．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB 表示，小李站在C 点测得∠BCA ＝45°，小李从C 点走4米到达了斜坡DE 的底端D 点，并测得∠CDE ＝150°，从D 点上斜坡走了8米到达E 点，测得∠AED ＝60°，B ，C ，D 在同一水平线上，A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，则大树AB 的高度约为（ ）米．（结果精确到0.12≈1.413≈1.73）A．24.3 B．24.4 C．20.3 D．20.412．如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．13．点E在射线OA上，点F在射线OB 上，AO⊥BO，EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，则tan∠EMF的值为( )A．12B．33C．1 D．314．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则cos A＝（）A．12B5C25D5二、填空题15．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm．16．已知AD 是△ABC 的高，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则∠BAC ＝_______．17．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米.18．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 边长为3，则AH=__．19．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB AC =，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60︒时，两梯角之间的距离BC 的长为2m ．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60︒，后又调整α为45︒，则梯子顶端A 离地面的高度下降了___________m ．20．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=）21．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，3AB=_____．22．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= .23．在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则折痕的长是______．24．如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．25．如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，cos∠FGO=0.6，则点F的坐标是_______．26．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，10BC =，3sin 5B ∠=，D 是BC 边上的一个动点（异于B 、C 两点），过点D 分别作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为E 、F ，则EF 的最小值是________．三、解答题27．如图，AB 是圆O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上． （1）若∠AOD =50°，求∠DEB 的度数；（2）若OC =3，∠A =30°，求AB 的长．28．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称 红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．参考答案30．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【参考答案】一、选择题1．D2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．B9．D10．A11．B12．B13．C14．D二、填空题15．64【分析】连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEEFDF即可解決问题；【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB//EFAE//BF∴16．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD∠CAD 的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan17．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考18．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB19．m【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米在Rt中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AD=即可求出AD的长同理算出进而20．520【分析】过点A作于点F利用特殊角的锐角三角函数值和坡度求出AFBFCE的长把整个梯形分成两个三角形和一个矩形去计算面积【详解】解：如图过点A作于点F∵∴∵∴故答案是：520【点睛】本题考查锐角21．4【解析】分析：由CE所在直线垂直平分线段AD可得出CE平分∠ACD进而可得出∠ACE=∠DCE由CD平分∠BCE利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB结合∠ACB=90°可求出∠ACE∠A的度22．【详解】如图延长CA使AF=AE连接BF过B点作BG⊥AC垂足为G∵四边形ABCD是正方形∴∠CAB=45°∴∠BAF=135°∵AE⊥AC∴∠BAE=135°∴∠BAF=∠BAE∵在△BAF和△B23．【分析】先利用勾股定理得出AC根据翻折变换的性质可得AC⊥EFOC=AC然后利用∠ACB的正切列式求出OF再求出△AOE和△COF全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF从而求出折痕的长【详解】解24．【分析】连接OP先确定OD的长和B点坐标然后证明四边形OPME是平行四边形可得OP=EM因为PM是定值推出PB+ME=OP+PB的值最小时即当OPB共线时BP+PM+ME的长度最小最后根据两点间的距25．【分析】先过点F作直线交轴于点过点作于点证明根据cos∠FGO=06以及勾股定理即可得到答案【详解】过点F作直线交轴于点过点作于点如图：∴（两直线平行内错角相等）又∵∠EFG=90°∴∠AFE+∠H26．【分析】先利用求得AC的长再证明四边形AEDF是矩形推出EF＝AD根据垂线段最短即可解决问题；【详解】解：如图连接AD在△ABC中∵∠BAC＝90°∴∴AC＝6∴AB＝＝10∵DF⊥ACDE⊥BC∴三、解答题27．28．29．30．【参考解析】一、选择题1．D解析：D【分析】过B作BC⊥桌面于C，由题意得AB=10cm,BC=5cm,再由勾股定理得AC=然后由坡度的定义即可得出答案．【详解】解：如图，过B 作BC ⊥桌面于C ，由题意得：AB ＝10cm ，BC ＝5cm ，∴AC=222210553AB BC -=-=，∴这个斜坡的坡度i ＝BC AC ＝553＝1：3 ，故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理;熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．2．B解析：B【分析】连接OC ，则∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，根据勾股定理即可列出方程222(2)()x k x k +=+，解得32x k =，再根据余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：如图，连接OC ，∵CE 切O 于点E ，∴∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，∵在Rt OCE △中，222OC CE OE +=，∴222(2)()x k x k +=+，解得32x k =， ∴52OE OB BE k =+=， ∴24cos 552CE k E OE k ===，故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理以及锐角三角函数，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解决本题的关键．3．C解析：C【分析】设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，根据sin αPC PB =＇，列出方程即可解决问题． 【详解】解：设PA=PB=PB′=x ，在RT △PCB′中，sin αPC PB =＇∴1sin αx x-=∴x 1xsin α-=， ∴（1-sin α）x=1，∴x=11sin α-． 故选C ．【点睛】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．4．D解析：D【分析】过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，垂足分别为点C 、D ，如图，易证△AOC ∽△OBD ，则根据相似三角形的性质可得214AOC BOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 的值．【详解】解：过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，垂足分别为点C 、D ，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124 AOCBODS OAS OB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵1212AOCS⨯==，12BODS k=△，∴11142k=，∴8k=，∵k＜0，∴k=﹣8．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．5．B解析：B【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．【详解】解：如图，Rt△ABC中，tan A＝12.4，AB＝260米．设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：x2+（2.4x）2＝2602，解得x＝100（负值舍去）．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力，难度不大，注意掌握坡度的定义及数形结合思想的应用．6．C解析：C【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．利用勾股定理求出AC 即可解决问题．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =， 2222435AC AH CH ∴=+=+=，3cos 5CH ACH AC ∴∠==， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．A解析：A【分析】先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM是等边三角形，进而得到∆BCM ≅∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；【详解】∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，∵∠ADC=60°，CM=CD ，∴△CDM 是等边三角形，∴60MCD ∠=︒，∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，即：∠BCM=∠ACD ，∴∆BCM ≅∆ACD ，∴∠BMC=∠ADC=60°，∴∠BMC=∠MCD ，∴BM ∥CD ，根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，过点M 作MH CD ⊥，∵CD=4，∴2==CH HD ， ∴tan 602MH MH DH ︒==， ∴MH =，∴△△142BDC CDM S S ==⨯⨯= 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 8．B解析：B【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，tan PC AC PAC ==∠，在Rt BPC △中，tan PC BC x PBC ==∠，2x -=，解得，x =)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 9．D解析：D【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得22AB AD '=，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】解：26,62,2AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=,又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又22AB AD '=， AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=626-,故选D..【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 10．A解析：A【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==，∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴2222CE x =-， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误；II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())24sin 454CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF 的面积为()222144822x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．11．B解析：B【分析】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG=EF ，EG=BF ，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=12DE=4，33即可得到结论．【详解】过E 作EG ⊥AB 于G ，EF ⊥BD 于F ，则BG ＝EF ，EG ＝BF ，∵∠CDE ＝150°，∴∠EDF ＝30°，∵DE ＝8，∴EF ＝12DE ＝4，DF ＝43， ∴CF ＝CD +DF ＝4+43，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ，∴GE ＝BF ＝AB +4+43，AG ＝AB ﹣4，∵∠AED ＝60°，∠GED ＝∠EDF ＝30°，∴∠AEG ＝30°，∴tan30°＝433443AG AB GE AB -==++ ， 解得：AB ＝14+63≈24.4，故选：B ．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 12．B解析：B【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．【详解】设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，AA x '=，∴tan ∠CAB =A M BC AA AB =''， ∴A 'M =12x ，其面积y=12AA A M ''=12x •12x =14x 2， 故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ； 当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，AA x '=，2AF x '=-，同理：A 'M =12x ，()122F M x ='-， 其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12（x ﹣2）=x ﹣1， 故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，AF '=x ﹣2，F 'N =12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2， 其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14x 2+x +3， 故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；综上，只有B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．13．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．14．D解析：D【分析】此题根据已知可设AC ＝x ，则BC ＝2x ，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：∵BC ＝2AC ，∴设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵∠C ＝90°，∴AB 225AC BC a +=， ∴cosA ＝55AC AB a== 故选：D ．【点睛】此题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．二、填空题15．64【分析】连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEEFDF即可解決问题；【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB//EFAE//BF∴解析：64【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解決问题；【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB//EF，AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE//PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．16．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD∠CAD的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan解析：75°或15°【分析】分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出∠BAD、∠CAD的度数，最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数．【详解】解：如图所示：①tan ∠BAD ＝BD AD ＝1， ∴∠BAD ＝45°， tan ∠CAD ＝CD AD ＝33， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°+30°＝75°； ②tan ∠BAD ＝BD AD＝1， ∴∠BAD ＝45°， tan ∠CAD ＝CD AD ＝33， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°﹣30°＝15°．故∠BAC ＝75°或15°．【点睛】本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键． 17．【分析】先画出图形再根据坡度的可得然后设米从而可得米最后利用勾股定理求出x 的值由此即可得出答案【详解】如图由题意得：米设米则米由勾股定理得：即解得（米）则米即他上升的高度是米故答案为：【点睛】本题考 解析：5【分析】先画出图形，再根据坡度的可得12AC BC =，然后设AC x =米，从而可得2BC x =米，最后利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．【详解】 如图，由题意得：90C ∠=︒，100AB =米，1tan 2AC B BC ==， 设AC x =米，则2BC x =米，由勾股定理得：22AB AC BC =+()222100x x +=， 解得205x =（米），AC=米，则205即他上升的高度是205米，故答案为：205．【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用：坡度问题，掌握理解坡度的概念是解题关键．18．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD 和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，∵BH=BH，AB=EB，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=1∠ABE=30°，2∴AH=AB•tan∠33，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．19．m 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判断出是等边三角形根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米在Rt 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值由AD=即可求出AD 的长同理算出进而 解析：()32-m ． 【分析】根据有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形判断出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米，在Rt ABD 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AB?sin60︒即可求出AD 的长，同理算出11A D ，进而根据AD-11A D 即可得出答案．【详解】解：如图1，由题意可得：∵∠B=∠C=60︒，AB=AC∴ABC 是等边三角形BC=AB=AC=2米 在Rt ABD 中：23AD 2sin603=︒== 如图2，由题意可得：∵∠B 1=∠C 1=45︒，A 1B 1=A 1C 1=2m在111Rt A B D 中：11222sin4522A D =︒== ∴(1132AD A D -=m ． 故答案为：(32m ． 【点睛】此题主要考查锐角三角函数定义、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值，正确理解锐角三角函数定义是解题关键． 20．520【分析】过点A 作于点F 利用特殊角的锐角三角函数值和坡度求出AFBFCE 的长把整个梯形分成两个三角形和一个矩形去计算面积【详解】解：如图过点A 作于点F ∵∴∵∴故答案是：520【点睛】本题考查锐角解析：52.0【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，利用特殊角的锐角三角函数值和坡度求出AF 、BF 、CE 的长，把整个梯形分成两个三角形和一个矩形去计算面积．【详解】解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ， 3sin 606332AF AB =⋅︒=⨯=， 1cos60632BF AB =⋅︒=⨯=， 33DE AF ==，∵13DE EC =， ∴9EC =， ∵1193333222ABF S AF BF =⋅=⨯⨯=， 11273933222CDE S CE DE =⋅=⨯⨯=， 433123ADEF S AD AF =⋅=⨯=，∴9327312330352.022ABCD S =++=≈． 故答案是：52.0．【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，解题的关键是掌握利用特殊角的锐角三角函数值解直角三角形的方法．21．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD 进而可得出∠ACE=∠DCE 由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB 结合∠ACB=90°可求出∠ACE ∠A 的度解析：4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，∴CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE．∵CD平分∠BCE，∴∠DCE=∠DCB．∵∠ACB=90°，∴∠ACE=13∠ACB=30°，∴∠A=60°，∴AB=236032BCsin=︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．22．【详解】如图延长CA使AF=AE连接BF过B点作BG⊥AC垂足为G∵四边形ABCD是正方形∴∠CAB=45°∴∠BAF=135°∵AE⊥AC∴∠BAE=135°∴∠BAF=∠BAE∵在△BAF和△B解析：2 3【详解】如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°．∵AE⊥AC，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE．∵在△BAF和△BAE中，BA BA{BAF BAEAE AF∠∠＝＝＝，∴△BAF≌△BAE（SAS）．∴∠E=∠F．∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中点．∴BG=AG=2．在Rt△BGF中，BG2tanFFG3==，即tanE=23．考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，23．【分析】先利用勾股定理得出AC根据翻折变换的性质可得AC⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB的正切列式求出OF再求出△AOE和△COF全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF从而求出折痕的长【详解】解解析：15 2【分析】先利用勾股定理得出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=12AC，然后利用∠ACB的正切列式求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而求出折痕的长．【详解】解：如图∵AB=6，BC=8，∴AC==10，∵折叠后点C与点A重合，∴AC⊥EF，OC=12AC=12×10=5，∵tan∠ACB=OFCO ＝ABCB，∴OF5＝68，解得OF=154，∵矩形对边AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE 和△COF 中OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF=154， ∴EF=152故答案为152【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．24．【分析】连接OP 先确定OD 的长和B 点坐标然后证明四边形OPME 是平行四边形可得OP=EM 因为PM 是定值推出PB+ME=OP+PB 的值最小时即当OPB 共线时BP+PM+ME 的长度最小最后根据两点间的距解析：22123+【分析】连接OP ,先确定OD 的长和B 点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得OP=EM ，因为PM 是定值，推出PB+ME'=OP+PB 的值最小时，即当O 、P 、B 共线时BP+PM+M E 的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．【详解】解:如图：连接OP在Rt △ADO 中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4tan60°3∴A （-4，3∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6 ∴B （6，43）∵线段EF 垂直平分OD∴OE=12OD=23，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°， ∴四边形OMPE 是矩形，∴PM=OE=23，∵OE=0E'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPME'是平行四边形，∴0P=EM ，∵PM=23是定值，∴PB+ME'=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME 的长度最小，∴当0、P 、B 共线时，BP+PM+ME 的长度最小∴BP+PM+ME 的最小值为OB+PM=()226432322123++=+．故答案为22123+．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键． 25．【分析】先过点F 作直线交轴于点过点作于点证明根据cos ∠FGO=06以及勾股定理即可得到答案【详解】过点F 作直线交轴于点过点作于点如图：∴（两直线平行内错角相等）又∵∠EFG=90°∴∠AFE+∠H解析：(8,12)【分析】先过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，证明FGO ∠HFG FEA =∠=∠，根据cos ∠FGO =0.6以及勾股定理即可得到答案．【详解】过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，如图：∴FGO HFG ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵∠EFG =90°，∴∠AFE+∠HEG =90°，又∵∠AFE+∠FEA =90°，∴HFG FEA ∠=∠，∴FGO HFG FEA ∠=∠=∠，在Rt AEF ∆中，10EF =，则10cos 100.66AE FEA =⋅∠=⨯= ∴221068AF =-=（勾股定理），∴1789FH =-=，在Rt FGH ∆中，90.615FG =÷=，∴2215912HG =-=（勾股定理）， ∴(8,12)F ，故答案为：(8,12)．【点睛】本题主要考查了平行的性质（两直线平行，内错角相等）、勾股定理的应用以及三角函数，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．26．【分析】先利用求得AC 的长再证明四边形AEDF 是矩形推出EF ＝AD 根据垂线段最短即可解决问题；【详解】解：如图连接AD 在△ABC 中∵∠BAC ＝90°∴∴AC ＝6∴AB ＝＝10∵DF ⊥ACDE ⊥BC ∴解析：245【分析】先利用10BC =，3sin 5B ∠=求得AC 的长，再证明四边形AEDF 是矩形，推出EF ＝AD ，根据垂线段最短即可解决问题；【详解】解：如图，连接AD ．在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，10BC =，3sin 5B ∠=， ∴3105AC =， ∴AC ＝6， ∴AB 2268+＝10，∵DF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠DFA ＝∠DEA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形，∴EF ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时EF 最小值＝AD ＝245AC AB BC =， 故答案为：245． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题27．（1）25°；（2）【分析】（1）由垂径定理可证AD =BD ，再利用圆周角与圆心角的关系求解．（2）由垂径定理可证AC=BC ，△AOC 为直角三角形，由30°的角可求得直角边AC 的长度，从而求得AB 的长度．【详解】（1）∵OD ⊥AB ，∴AD =BD ，∵∠AOD =50°， ∴∠DEB=12∠AOD =25°； （2）∵OD ⊥AB ， ∴AC=BC ，△AOC 为直角三角形，∵OC=3，∠A=30°，∴tan 30OC AC ︒=，即OC AC = ∴AC=，∴AB=2AC=【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数．注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．28．该设备的安装高度OC 约为2.9m ．【分析】根据题意可得OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，所以得AC=AB+BC=4+BC ，。

2020年四川省成都市 中考数学 B卷培优专练(21)锐角三角函数 PDF版含答案

2020年四川省成都市 中考数学 B卷培优专练(21)锐角三角函数 PDF版含答案

18.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ ，AD＝3，点 P 是 AD 边上的一个动点，连接 BP，作点 A 关于直
线 BP 的对称点 A1 ， 连接 A1C，设 A1C 的中点为 Q，当点 P 从点 A 出发，沿边 AD 运动到点 D 时停止 运动，点 Q 的运动路径长为________.
19.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，以点 C 为圆心作⊙C 与直线 BD 相切，点 P 是⊙C 上一个动
由题意可知：∠BAD=60°，∠CAD=30°， 在 Rt△ABD 中，tan∠BAD＝ ，
∴BD＝AD•tan60°＝
；
在 Rt△ACD 中，tan∠CAD＝
，
∴CD＝AD•tan30°＝
．
∴BC＝BD−CD＝
-
＝200，
∴AD＝
．
∴河的宽度为 173.2 米． 28. 解：如图，在 Rt△BCD 中，依题意得 BD=9m，
30.将一副直角三角尺如图放置，A，E，C 在一条直线上，边 AB 与 DE 交于点 F，已知∠B=60°，∠D=45°， AD=AC= ，求 DF 的长.
一、单选题
1. C 2. A 3. D 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9. D 10. D 二、填空题
答案解析部分
11.
，
∴DF＝
，
∵DE＝20， ∴2x+8x＝20. ∴x＝2. ∴CG＝CF﹣GF＝14﹣﹣13＝1. ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣90°＝30°. ∴CB＝2CG＝2， 答：灯杆 CB 的长度为 2 米. 22. 解：如图，作 DH⊥AB 于 H，CN⊥AB 于 N，BM⊥AC 交 AC 的延长线于 M.

锐角三角函数锐角三角函数

锐角三角函数锐角三角函数

03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
01
02
总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。

锐角三角函数(培优)

锐角三角函数(培优)

知识要点1、锐角三角函数定义斜边的对边αα∠=sin 斜边的邻边αα∠=cos的邻边的对边ααα∠∠=tan 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300、450、600、的记忆规律： 3、角度变化与锐角三角函数的关系当锐角α在00∽900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。

4、同角三角函数之间有哪些关系式平方关系：sin 2A ＋cos 2A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tanB ＝1； 5、互为余角的三角函数有哪些关系式Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900－A ）＝ctan A ；一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ．21 B ．22 C ．23D ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ．21 B ．33C ．1D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的51，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小51B ．都不变C ．都扩大5倍D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝54B ．cos α＝53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 43 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin =A B ．31cos =B C ．42tan =A D ．2tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）．A ．sinAB ．cosAC ．tanAD ．1tan A7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A.513B.1213 C.1013D.5128．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG =B. sin EH G EF =C. sin GH G FG =D. sin FHG FG= 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、ACB45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高10．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于（ ）．A ．43B ．34 C ．53 D ．35第4题 第8题 第10题二、填空题11．32 可用锐角的正弦表示成__________.12．如图表示甲、乙两山坡情况，其中t a n α_____t a n β，_____坡更陡. (前一空填“>”“<”或“＝”，后一空填“甲”“乙”)13．在Rt △ABC 中，若∠C ＝900，∠A ＝300，AC ＝3，则BC ＝__________． 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，a ＝2， sinA ＝13， 则c ＝______． 15．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin （900 - α）＝_______.16．已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______． 17．在△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则∠A ＝ ，若BC ＝4，则AB ＝ ．18．已知直角三角形的两直角边的比为1:7，则最小角的正弦值为__________. 三、解答题19．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5， 求A sin ， A cos ，A tan ． 20．计算： （1）︒⨯︒45cos 2260sin 21（2）tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° CBAEF Dαβ1213 34甲乙（3）0000tan 60tan 45tan 60tan 45-g ＋2sin 60°21．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝32，求cosA 、tanB ．22．已知α为锐角，求下列各题中α的度数： （1）tan(α＋12°)＝33 （2）24cos 10α-= 23．在△ABC 中，内角∠A 、∠B 满足|sinA －23|＋(1－tanB)2＝0，请说出△ABC 的至少三个特征．24．在△ABC 中，∠C ＝900，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，试证明sin 2A ＋cos 2A ＝1；并利用这个公式计算：若sinA ＝71，求cosA 的值（∠A 为锐角）． 25． 如图，△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC＝BD ＝3. （1）求cosA（2）求BC 的长及△ABC 的面积．26．在△ABC 中，∠A ＝1200，AB ＝12，AC ＝6．求sinB ＋sinC 的值．(提示：过C 点作CE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，过点B 作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ．)ABCED1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，（精确到千米）A 图12.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=ο60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F=ο45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据:414.12≈,732.13≈).3．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =米，斜坡总长DE =85米． （1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶4． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸请说明理由．5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈NM 东北BCAl(2题图)17cm（第3题）A BCD参考数据 cos20°≈， sin20°≈，sin18°≈，ABE F QP第5题6．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BF Q＝60°，EF＝1km．（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）7．图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．8．在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到m；参考数据：sin45°≈,cos45°≈,tan45°=1,sin60°≈,cos60°=,tan60°≈）9．为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．AB4560CE D(第19题10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC为______米（精确到）．（参考数据：414.12≈732.13≈）11. 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米（结果精确到米）（参考数据：,75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈︒≈︒≈︒73.13≈）12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈， 结果保留整数）．13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算第19题图ABC D45°60° 第（12）题BAC（第11题图）湖中两个小亭A 、B 之间的距离．14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）15.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第15题图B37° 48°DCA。

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案

九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．（1）求证：△MED∽△BCA；（2）求证：△AMD≌△CMD；（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；（3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBDS ME S EB =V ，从而可知52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ，∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，∵1EBDS MES EB=V ，∴1125S MEEB S =，∴52ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，∵12MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =，∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．5．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ，根据切线的性质可证明DE ⊥OD ，进而得证．（2）过O 作OF ⊥BD ，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长，根据三角函数的定义求解． 试题解析：证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中，∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=3OB∵BD=DC, BF=FD，∴FC=3BF=33OB在Rt△OFC中，tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=12OB，BF=3OB，FC=3BF=33OB是解题关键．6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203∵∠MCF＝30°∴FC＝3MF，即x＋203＝3 ( x－20)解得：x＝403 31＝60＋203≈95m答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′； （2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）； （2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283． （3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

中考数学培优 易错 难题(含解析)之锐角三角函数附详细答案

中考数学培优 易错 难题(含解析)之锐角三角函数附详细答案

中考数学培优 易错 难题(含解析)之锐角三角函数附详细答案一、锐角三角函数1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米 【解析】解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3639=⨯=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）235. 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==，'30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ，∴AB=sin 30AC︒=6012=120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°，∴DC=3AC=203∴DE=503∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE =503=235答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是235．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO ＇后，电脑转到AO ＇B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm ，O ＇C ⊥OA 于点C ，O ＇C=12cm ．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．7．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与上，且DQ OP点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】 【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=，∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．8．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．9．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．(1)求证：∠EPD=∠EDO；(2)若PC=3，tan∠PDA=34，求OE的长．【答案】（1）见解析；（25.【解析】【分析】（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=34，可求出CD=2,进而求得OC=32，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.【详解】（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，∵DE⊥PO，∴∠PAO=∠E=90°，∵∠AOP=∠EOD，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO.（2）连接OC，∴PA=PC=3，∵tan∠PDA=34，∴在Rt△PAD中，AD=4，PD=22PA AD+=5，∴CD=PD-PC=5-3=2，∵tan∠PDA=34，∴在Rt△OCD中，OC=32，OD=22OC CD+=52，∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，∴PDDO =PEDE=DEOE=2，∴DE=2OE,在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=252⎛⎫⎪⎝⎭=254，∴OE=5．【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan∠PDA=34，得线段的长是解题关键.10．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝12，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或16421642--⎝⎭，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B（4，4），再由tan∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D坐标；（2）由1tan2GFGOFOF∠==知GF=12OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=12EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位线，即HD∥BE，据此可得答案；（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．【详解】解：（1）∵A（4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC为正方形，∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，∴B（4，4），在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，∵tan∠AOD＝12，∴AD＝12OA＝12×4＝2，∴D（4，2）；（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣22x，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣22x）＝2﹣2x，则x＝2﹣2x，解得：x＝22﹣2，∴E（8﹣42，8﹣42），如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x2x﹣2，解得：x＝2∴E（2，2②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ， EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ， ∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ，∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点， ∴GH 为△AFE 的中位线， ∴GH ＝12AF ＝12×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴4227x +=， ∴42164216,E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭； 如图5，当点E 在线段OM 上时，GQ ＝PM ＝23x ，则23x ＝22， 解得4227x =，∴16421642,E ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，3x ﹣22x ﹣2， 解得：4227x =（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点B 坐标（﹣6，0），点C 在y 轴正半轴上，且cos B ＝35，动点P 从点C 出发，以每秒一个单位长度的速度向D 点移动（P 点到达D 点时停止运动），移动时间为t 秒，过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q ． （1）求点D 坐标；（2）求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值； （3）在直线l 移动过程中，是否存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（10，8）．（2）S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或7. 【解析】 【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OBBC B∴== 228OC BC OB ∴=-=∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴， ∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0）， ∴点A 的坐标为（4，0）． 分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ，∵4＞0，∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+ 22202502(5),033333S t t t =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80． 当0≤t ≤4时，4t ＝12， 解得：t ＝3； 当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO ）的距离为120米的点P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为5秒且∠APO ＝60°，∠BPO ＝45°． （1）求A 、B 之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数据：2 1.414,3 1.73≈≈）．【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度．【解析】解：（1）100(31)AB =-73.2 (米)．…6分 (2) 此车制速度v==18.3米/秒13．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且3PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）23PQ t =；（2）45；（3）2193403163t t -+-；（4） 23t = 或87t = ． 【解析】【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF，PF=P A•sin60°=3t，即可得出结果；（2）当点M落在边BC上时，由题意得：△PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得PN=3PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；（3）当0＜t≤45时，PQ=23t，PN=3PQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN，即可得出结果；当45＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=3NE=3（5t-4），S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，△ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是△MNH的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；当45＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出EF OFEQ MQ=，即233ttEF t-=+，解得EF=2332t t-，得出EQ=23323t tt-+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×32=3t，∴PQ=23t；（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，∵333t=3t，∴PD=3t，∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，解得：t=45．（3）当0＜t≤45时，如图1所示：PQ=23t，PN=3PQ=3×23t=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；当45＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，∴335t-4），∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积32-2×1235t-4）2=-19t233，即S=-19t233（4）分两种情况：当0＜t≤45时，如图4所示：∵△ACD 是等边三角形，∴AC=AD=4，∵O 是AC 的中点，∴OA=2，OG 是△MNH 的中位线，∴OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4，∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=13×63t 2， 解得：t=23； 当45＜t≤2时，如图5所示：∵AC ∥QM ，∴△OEF ∽△MEQ ，∴EF OF EQ MQ =233t t EF t-=+， 解得：2332t t -， ∴23323t t t - ∴△MEQ 的面积=12×3t×23323t t t -+=1332， 解得：t=87； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．14．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题：（发现）（1）MN n的长度为多少；（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．（拓展）当MN n 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．【答案】【发现】（1）MN n 的长度为π3；（2）重叠部分的面积为38；【探究】：点P 的坐标为10（，）；或23 0）或23 0（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．【解析】【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；（2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论；探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出·MN和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】[发现]（1）∵P （4，0），∴OP =4．∵OA =3，∴AP =1，∴·MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°．∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°32=，∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 38=． 即重叠部分的面积为38． [探究]①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1；∴点P 的坐标为（1，0）；②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 12330cos ==︒，∴点P 的坐标为（23，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 23=； ∴点P 的坐标为（23-，0）；[拓展]t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：如图5，当点N 运动到与点A 重合时，·MN与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 411-==3，·MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，·MN与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=4；直到⊙P运动到点N与点O重合时，·MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=5；∴4≤t＜5，即：t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG．①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析；（2）y＝18x2（x＞0）；（3）①163π或8π或（17+2）π；21．【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EFAC BC解决问题；（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；②只要证明△CFG∽△HFA，可得GFAF=CGAH，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，∴DG＝DH，∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴AE EF AC BC=，∴124x yx=，∴y＝18x2（x＞0）．（3）①解：如图1中，连接DF．∵GH垂直平分线段AD，∴FA＝FD，∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB＝833，∴⊙O的面积为163π．如图2中，当AF＝AO时，∵AB ＝22AC BC +＝216x +，∴OA ＝216x +， ∵AF ＝22EF AE +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴216x +＝2221182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得x ＝4（负根已经舍弃），∴AB ＝42，∴⊙O 的面积为8π．如图2﹣1中，当点C 与点F 重合时，设AE ＝x ，则BC ＝AD ＝2x ，AB ＝2164x +，∵△ACE ∽△ABC ，∴AC 2＝AE•AB ，∴16＝2164x +解得x 2＝17﹣2（负根已经舍弃），∴AB 2＝16+4x 2＝17+8，∴⊙O 的面积＝π•14•AB 2＝（17+2）π综上所述，满足条件的⊙O的面积为163π或8π或（217+2）π；②如图3中，连接CG．∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴OH＝OA＝52，∴AE＝32，∴OE＝OA﹣AE＝1，∴EG＝EH2512⎛⎫-⎪⎝⎭212，∵EF＝18x2＝98，∴FG＝212﹣98，AF22AE EF+158，AH22AE EH+302，∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，∴GF CGAF AH=，∴219281530 8-=∴CG＝705﹣33010，∴30＝21．故答案为21【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。

清华大学附属中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典测试题(培优)

清华大学附属中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典测试题(培优)

一、选择题1．如图，在等边△ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB 、BC 相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥ACC ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若32BE EC =，则AC 是⊙O 的切线 2．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，延长PO 交⊙O 于点C ，若60APB ∠=︒，6PC =，则AC 的长为（ ）A ．4B ．22C ．23D ．333．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ）A 10B 310C 210D 10 4．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）A．7.6 米B．27.5 米C．30.5 米D．58.5 米5．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）A．12B．55C．2 D．2556．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（）A．3B．33C．2 D．327．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m8．如图，四边形 ABCD中，BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD的面积为（）A．3B．8 C．3D．369．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB5tan∠B＝2，则AC的长为（）A ．1B ．2C ．5D ．25 10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )A ．23-B ．23+C ．36D ．32 11．如图，ABC 中，6AB AC AE AC DE ==⊥，，垂直平分AB 于点D ，则EC 的长为（ ）A ．23B ．43C ．22D ．4212．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（ ）A ．2B ．52C ．5D ．213．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．4514．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48 15．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45二、填空题16．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

天津市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典题(培优练)

天津市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典题(培优练)

一、选择题1．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）A ．232cmB ．23cmC ．22cmD ．223cm 2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，则sin ∠BOD 的值等于（ ）A ．1010B ．31010C ．2105D ．1053．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）A ．12.9B ．22.2C ．24.9D ．63.14．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE的值是（ ）A 3B 3C ．2D 3 5．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．36．已知二次函数y ＝ax 2＋6ax ＋c （a ＜0），设抛物线与x 轴的交点为A （﹣7，0）和B ，与y 轴的交点为C ，若∠ACO ＝∠CBO ，则tan ∠CAB 的值为（ ）A ．142B ．22C ．73D ．777．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下面四个结论：①CF=2AF ；②tan ∠CAD=22 ；③DF=DC ；④△AEF ∽△CAB ；⑤S 四边形CDEF =52S △ABF ,其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )A ．23B ．23C 3D ．32 9．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC 与DF 共线，将△DEF 沿CB 方向平移，当EF 经过AC 的中点O 时，直线EF 交AB 于点G ，若BC=3，则此时OG 的长度为（ ）A ．322B ．332C ．32D ．33322- 10．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点，且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（ ）A ．3+1B ．7+1C ．23+1D ．27+1 11．如图，反比例函数k y x=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．212．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．4513．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2AC ，则cos A ＝（ ）A ．12B ．52C ．255D ．5514．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（ ）A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭15．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题16．某人沿坡度是1:2的斜坡走了100米，则他上升的高度是_____米.17．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =DE与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=）18．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，BC=23，则AB=_____．19．在ABCD 中，若30B ∠=︒，BC 10cm =，6AB cm =，则ABCD 的面积是__________.20．如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA PB +的最小值为______．21．已知在矩形ABCD 中，AC ＝12，∠ACB ＝15°，那么顶点D 到AC 的距离为_____． 22．如图，已知∠AOB =60°，点P 在边OA 上，OP =12，点M ，N 在边OB 上，PM =PN ，若MN =2，则OM =____．23．如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A′处折痕交AE 于点G ，则∠ADG=____°EG=___cm ．24．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH =____________．25．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米． 则标识牌CD 的高度是米__________．26．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B'的坐标是_______．三、解答题27．（1）计算：|﹣1|﹣（3﹣π）016（﹣12）-1+2cos60°； （2）解方程：2x （x ﹣1）＝x ﹣1．28．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD ，∠A ＝60°，AB ＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH ，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE 为x 米．(1)填空：ED ＝ 米，EH ＝ 米，(用含x 的代数式表示)；(2)若矩形鱼池EFGH 的面积是32，求EF 的长度；(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF 的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？29．（1）计算：(﹣2)﹣3+16﹣2sin30°+(2020﹣π)0+|3﹣4|；（2）解不等式组3(1)(5)01223x x x x ---≥⎧⎪+⎨>⎪⎩，并求出正整数解． 30．如图，在ABC ∆中，5AC =，3tan 4A =，45B ∠=︒．点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B 运动（不与点A 、B 重合）．过点P 作PH AB ⊥，交折线--AC B 于点H ，点Q 为线段AP 的中点，以PH 、PQ 为边作矩形PQGH ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出矩形PQGH 的边PH 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当点G 落在边AC 上时，求t 的值；（3）当矩形PQGH 与ABC ∆重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S （平方单位）．求S 与t 之间的函数关系式；（4）当ABC ∆的重心落在矩形PQGH 的内部时，直接写出此时t 的取值范围．。

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锐角三角函数
题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论：
（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α>
2
1
,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。

正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式：
1、下列各式中，不正确的是（ ）
A.160cos 60sin 0
2
2
=+ B .130cos 30sin 0
=+ C.0
55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ）
°<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90°
3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。

若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α=
8
1
，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A.
23 B.23- C.4
3 D.23± 变式：
1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos
2sin
C B A += D.2
tan 2tan C
B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122
+=n m D.n m 212
-=
题型：求三角函数值
例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则
下列式子正确的是（ ） A.sin α=
54 α=53 α=34 α=3
4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=
16
7
3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=
51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3
4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。

（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

题型：三角函数值的计算(1)
例：计算：0
00020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ⋅⋅-+= 变式：1、计算：200202001
0)60cot 4()
60tan 25.0(⋅=
2、计算：0000
002000027tan 63tan 60cot 360
sin 60cot 45cos )
45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++-
题型：三角函数值的计算(2)
例：化简根式：251cos 2451cos 4002+-= 变式：1、若0
9045<<a ，化简下式：
αααα
αααsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--=
2、已知tanA=3,且∠A 为锐角，则cotA-A 2
sin = 3、已知α为锐角，2tan =α，求
α
αα
αsin 2cos 5cos sin 3-+的值。

题型：三角函数与一元二次方程的综合题(1)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°,斜边=5，两直角边的长a,b 是关于x 的一元二次方程0222
=-+-m mx x 的两个实数根，求Rt △ABC 中较小锐角的正弦值。

变式：1、若c b a ,,是ABC ∆的三边，c b a 3=+，且方程0)1(2)1(22=+++-x c bx x a 有两个相等的实数
根，求B A sin sin +的值。

2、已知a,b,c 为△ABC 中三个内角∠A,∠B,∠C 的对边。

当m>0时，关于x 的方程
02)()(22=⨯--++ax m m x c m x b 有两个相等的实数根，且0sin cos cos sin =⨯-⨯A C A C 。

试判断△ABC
的形状.
3、在斜边长为10的△ABC 中，∠C=90°，两直角边b a ,是关于x 的方程0632
=++-m mx x 的两根。

（1）求m 的值。

（2）求两个锐角的正弦值。

题型：三角函数与一元二次方程的综合题(2)
例：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，tanA,tanB 是关于的一元二次方程
026371222=+-+-k k kx x 的两个实数根。

（1）求k 的值。

（2）若c=10，且a>b ，求a,b.
变式：
1、在△ABC 中，a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边，且c=53，若关于x 的方程0
)35(2)35(2
=-+++b ax x b 有两个相等的实数根，又方程0sin 5)sin 10(22
=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积
2、如图，梯形ABCD 中，AD
813ABC =∆S S ABCD 梯形23540
13
11=
+BC AD 1）求∠B 的度数。

（2）设点M 是梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 交于点F ，当32
3
125=
∆ADM S 时，求以CF,DF 的长为根的一元二次方程.
题型：构造直角三角形求线段的长(1) 例：1、如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=
2
3
,AC=23,则AB 的长是（ ） +
3
+2
3
D.2
9
2、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在1A 处，已知3OA =，1AB =，则点1A 的
坐标是
3、如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1
tan 5
DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 变式：在△ABC 中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC 和sinB.
2.已知在△ABC 中，∠B=45°, ∠C=60°，AB+AC=32+23。

求BC 的长
例 已知在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°。

求AB 的长
变式 1.某片绿地形状如图，其中∠A=60°，AB ⊥BC,AD ⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD,BC 的长（精确到1m, 3
≈）
2、一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,A C=10,试求CD 的长．
3、如图,ΔABC 中,CD 是中线,且CD ⊥CA,CD=3,tan ∠BCD=,求ΔABC 各边的长。

题型：构造直角三角形求线段的长(3)
例 如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ，BC=)2264( m,则电线杆AB 的长为 m （精确到0.1m ）
变式 1. 如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB=a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM+CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．a B ．a 5
4
C ．a 22
D ． a 23
2. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH ． （1）求sinB 的值；（2）如果CD=，求BE 的值．
题型：构造直角三角形求角的度数
例 如图，P 为△ABC 边BC 上一点，且PC=2PB 。

已知∠ABC=45°，∠APC=60°.求∠ACB.
变式 1.如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E ，DE 的延长线交AB 于F 。

已知AB=15，
DE=744
,tanB=43，且S △AFE:S 四边形EFBC=1：8，求∠ADB 的度数.
是正方形ABCD 内一点，且PA=a,PB=2a,PC=3a 。

求：（1）∠APB 的大小；（2）正方形的边长.
a
M C
D
B。

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